广东省深圳市盐田某中学2023-2024学年高一年级下册4月月考数学试题（含答案解析）

广东省深圳市盐田高级中学2023-2024学年高一下学期4月

月考数学试题

学校:姓名班级：考号：

一、单选题

1.a=巴是sin[1+巴]=立的（）

6V6J2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知复数z=（2-6（1）（i为虚数单位），则|z|=（）

A.回B.而C.2百D.714

3.如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形A8CZ）的顶点。被阴影遮住,

则（）

A.10B.11C.12D.13

4.已知向量。=（4,3）,则与向量.同向的单位向量的坐标为（）

3_4434334

A.B.C.D.

5，-555555555

5.已知圆锥尸O的母线长为2,。为底面的圆心，其侧面积等于2扃，则该圆锥的体

积为（）

A.3兀B.血兀C.兀D.2兀

6.函数y=Asin（〃次+。）（人＞0,。＜。＜兀）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解

析式为（）

B.y=2sinl2x+-j

7兀11兀

C.y=sinIx+—D.y=2sinx+

1212

7.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折

扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜

千里、大智大勇的象征（如图甲）.图乙是扇形的一部分，若两个圆弧OE,AC所在圆的

半径分别是12和27,且NA8C=120.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面

口1330直

A.292KD,--------------71C.195TID.243兀

3

8.已知sine+cos6=g(0<e<7T),贝|cos26=()

A.土竺24

BD.C.D-

25254

二、多选题

•2023

9.若复数Z=------------，则()

l-2i

z的共轨复数彳=等|z|=¥

A.B.

C.复数z的虚部为-D.复数z在复平面内对应的点在第四象

限

10.对于.ABC,有如下命题，其中正确的有（)

A.若A>B,则sinA>sinB

试卷第2页，共4页

B.若sin2A=sin25,则ABC是等腰三角形

C.若sin?A+sin?5+cos2c<1,则为钝角三角形

D.若AB=E,AC=1,3=30。，贝。ABC的面积为3

4

11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的

正八边形ABCDEFGH,其中|。4|=1,则下列结论正确的有（）

图

图12

A.OAOD=-—B.OB+OH=-^2OE

2

c.AHH6=BCBOD.A”在四向量上的投影向量为

一旦AB

2

三、填空题

什一sin2a+3sinacostz

12.右tana=2,则-----------------

cosa+1

13.圣・索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体,

极具对称之美.为了估算圣・索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物

AB,高约为36m,在它们之间的地面上的点M（B,M,。三点共线）处测得建筑

物顶A、教堂顶C的仰角分别是45。和60。，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15。,

则可估算圣•索菲亚教堂的高度C。约为

14.在平行四边形ABCD中，分别为AB,4。上的点，且AM=2Affi,AN=,

连接AC,与MN交于点、P,若AP=XAC，则％的值为.

四、解答题

15.已知卜|=1,愀=2,〃与％的夹角为120。

⑴求国-母.

⑵求(a+26).(a-36).

(3)若向量6+左£与6-左°相互垂直，求实数上的值.

16.已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，A=y.

⑴若5=C,a=2A/3,求c；

(2)若.ASC的面积为26，c=2,求a.

17.已知向量£=(3,1),6=(—2,力2).

(1)若a与b的夹角为钝角，求实数加的取值范围；

⑵若£””26),求向量〃在。上的投影向量的坐标.

18.在①右(a-6cosC)=csin3,②S.=BA.BCsinB,③

cos2A-COS2B=sin2C-sinAsinC三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题.

在［ABC中，角AC所对的边分别为〃也。，,且。=2.求：

⑴以

(2)ABC周长的取值范围.

19.已知函数/(x)=2sinxcosx+26cos之冗一6.

⑴求/(九)的单调递增区间；

TTJT

(2)当工£一§'1时，求/(龙)的最值.

⑶当时，关于x的不等式4匕彳一)一/卜+石卜4有解，求实数a的取值

范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】解出sin"/邛中。的值，即可判断出答案.

【详角军】当sin〔a+C]=3时，cif+—=—+2fai(^</+—=—+2fai(^eZ),

6J26363

jrjr

即a=—+2E(Ze2)或1=—■卜2kn(keZ),

62

所以a=J是sin(a+0=且的充分不必要条件.

6I2

故选：A

2.A

【分析】利用复数的乘法运算以及复数的模求法公式即可求解.

【详解】由z=(2—7)(1—力)=1一3力，

贝U|z|=J/+(_3)2=回,

故选：A.

【点睛】本题考查了复数的乘法运算、复数模的求法，属于基础题.

3.B

【分析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则4(0,0),2(4,1),C(6,4),

AB=(4,1),AD=2C=(2,3),

.-.AB-AD=4x2+1x3=11,

故选：B.

【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.

4.B

答案第1页，共10页

【分析】由向量一的坐标除以向量a的模，可得与向量a同向的单位向量的坐标.

【详解】向量a=（4,3）,忖=5,

a143、

所以与向量°同向的单位向量为甲仁,3

故选：B

5.C

【分析】根据圆锥的侧面积等于2扃，可求得圆锥的底面圆半径为厂=括，再由体积公式

求解即可.

【详解】设圆锥PO的底面圆半径为人由母线长为2,侧面积等于2扃，

得;x2ax2=26兀，解得r二百，

因此圆锥的高/z=V22—r2=,4—（6）=1，

所以该圆锥的体积为y=g口%=g兀x（追）xi=7t.

故选：c.

6.A

【分析】根据图象先确定A的值及周期，进而得到同=±2,分类讨论，结合函数图象过点

求出夕的值即可.

【详解】根据函数图象可得A=2,

由周期T=2『喋"，

即*兀掴=±2,

当。=2时，y=2sin（2x+。），

又函数图象过点［展,21

71JT

所以---\-cp=2kji+—,kGZ,

62

答案第2页，共10页

2兀

即"=2fal+—,kwZ,

2兀

又因为°<9<兀，故。

贝Uy=2sin12%+g

当g=-2时，y=2sin（―2x+夕）,

又函数图象过点

TTTT

所以一+0=2E+一,左£Z,

62

71—

即0=2kn+—,kE,Z,

TT

又因为0＜夕＜兀，故夕=§,

=2sin(2%+-^

综上知，y=2sin（2x+1

故选：A.

7.C

【分析】设圆台的上底面半径为人下底面半径为R,利用弧长公式求出厂、R,再得到母

线长，最后由侧面积公式计算可得.

【详解】设圆台的上底面半径为「，下底面半径为R,

2兀271

则利用弧长公式可得2a=（xl2,即厂=4；2欣=（x27,即生9；

又圆台的母线长为/=27-12=15,

所以圆台的侧面积S=7i（4+9）xl5=1957i,

故选：C.

8.D

【分析】根据给定条件，求出sin，-cos〃，再利用二倍角的余弦公式计算即得.

答案第3页，共10页

124

【详角军】由sine+cos9=y两边平方得：2sin6>cos6>=-—<0,而0<9<兀，sin6^>0,则

cos3<0,

.____________7

因止匕sin6-cose=Jl-2sin9cos夕=—,

177

所以cos20=cos20-sin20—(cos0+sin6)(cos^-sin^)=—x(--)=--.

故选：D

9.ABD

【分析】首先化简复数z,再根据复数的相关概念，即可判断选项.

【详解】•・・z=/3,.\z=1=上一=上支吆匕=2一,则三=2±1故A正确•

…十用牛，i-2il-2il-2i(l-2i)(l+2i)55人,5口乂人正明，

1^1=!|：+:口,冬，故B正确；复数z的虚部为-故C错误；

复数z在复平面内对应的点为||，-()在第四象限，故D正确.

故选：ABD

10.AC

【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式，逐项判定，即可求

解.

【详解】对于A中：若A>B,可得。>人,由正弦定理可得sinA>sin3,所以A正确；

对于B中：若sin2A=sin23,因为A,3e(0,兀)，且4+3<兀，

则2A23«0,2兀)，2A+2B<2TC,所以2A=23或24+28=兀，则A=B或4+8=5,所

以.ABC是等腰三角形或直角三角形，所以B错误；

对于C中：若sin?A+sin2B+cos2C<L贝!Jsin?A+sin2B<sin2C,

^2>2_2

由正弦定理可得〃+/<，，即/+/_02<0,则cosC=<0,

lab

因为。£(0,兀)，可知角C钝角，所以JU3C为钝角三角形，所以C正确；

对于D中：因为‘=质力=1,8=30。，由余弦定理可得：b2^cr+c2-2accosB,

即1=/+3-3〃,解得。=1或〃=2,

所以ABC的面积为工acsinB=3或工acsinB=3,所以D错误.

2422

故选：AC.

答案第4页，共10页

11.ABD

【分析】正八边形ABCDEFG以中，每个边所对的角都是45。，中心到各顶点的距离为1,

然后再由数量积的运算逐一分析四个选项得答案.

【详解】正八边形ABCDEFG〃中，每个边所对的角都是45。，中心到各顶点的距离为1,

对于A,OAOD=lxlxcosl35°=--,故A正确；

2

对于B,NBOH=90。,则以OB,为邻边的对角线长是1。川的血倍，

可得OH+OB=yflOA=f/^OE,故B正确；

对于c,|AH|=|BC|,\HO\=\BO\,A〃与80的夹角为180。一/AHO,

8c与8。的夹角为/O3C=NAHO,AH-HO=-BC-BO)故C错误；

AHABAB…y夜…

对于D,A〃在AB向量上的投影向量为飞旷.同=COS135,AB-；-AB,故D正确.

故选：ABD.

12.I/

33

【分析】不难发现所求式易于转化成正余弦的齐次式，故通过弦化切即可计算得到.

.、斗即、+sin2a+3sinacosasir?o+3sinacos。tan2a+3tan。h

【详解】由-------z--------------=---------z--------z——=------------2-------，因tana=2,故

cosa+12cosa+sina2+tana

sin2a+3sinacosa_tan2a+3tana_10_5

cos2a+12+tan2a63

故答案为：

13.54m

【分析】根据题意求得|AM|=36五，在AMC中由正弦定理求出|CW|,即可在直角VCDAf

中求出|CD|

【详解】由题可得在直角.中，ZAMB=45°,\AB\=36,所以|AM|=360,

在，AWC中，ZAMC=180°-60°-45°=75°,ZM4C=15°+45°=60°,

所以ZACM=180。-75。-60。=45。，

所以由正弦定理可得出L=上空L,所以|CM|=——=36g,

sin45°sin60°J2

~T

答案第5页，共10页

则在直角VCDM中，|CD|=|OW|-sin60o=54,即圣・索菲亚教堂的高度约为54m.

故答案为：54m

14.-

7

【分析】根据给定条件，利用向量的加法，结合共线向量定理的推论求解作答.

【详解】在YABCD中，不共线，因为AM=2助5,AN=A©,

332

则有AP=2AC=A(AB+AD)=A{-AM+2AN)=—AM+2AAN,

又P,M,N三点共线，于是得皇+22=1,解得2=。，

所以2的值为方

故答案为：

15.(1)2A/3；

(2)-22；

(3)k=12.

【分析】(1)根据平面数列数量积的定义可得°包=-1，计算|2〃-巧即可求解;

(2)由(1),根据平面向量的数量积的运算律计算即可求解；

(3)根据平面垂直向量可得其数量积为0,计算即可求解.

【详解】⑴由题意得，"心曰珊cosl20°=-l,

所以"-目=4a--4a-b+b~=12,

所以悔叫=26；

(2)由(1)知〃./?=—1,

贝！J(a+2Z?>(a-3b)=/—"为一6片=-22;

（3）因为（/?+左a）_L（Z?—左a）,

答案第6页，共10页

所以S+ka)•(/?一ka)=0,

即/-左2j=o，得4/2=0,解得左=±2,

即实数上的值为±2.

16.(1)2

(2)2^

【分析】（1）先求出角C,结合正弦定理可得答案;

（2）先利用面积求出6,结合余弦定理可得答案.

【详解】⑴因为A=亭，B=C,所以B=C=g

36

c

由正弦定理二可得c=2.

sinAsinC

(2)因为."C的面积为2石，所以gbcsinA=2百，

因为A=§,c=2,所以立6=2g,解得6=4.

32

2TT

由余弦定理可得。2=16+4-2X4X2COS可=28,即〃

22

17.(l)(-<x),--)u(--,6)

⑵（一套a

【分析】（1）依题意需使a2<0且a与。不共线，求解不等式组即得；

（2）由26）代入坐标计算求出机=11,再由向量〃在匕上的投影向量公式繇b,代

入求解即得.

【详解】⑴因。=（3,1）,6=（-2,间，要使a与b的夹角为钝角，需使［“"I；：［:<°，

222

解得：相<6且相即实数用的取值范围为（-8,-1）口（-耳,6）.

（2）由a_L（a-2b）可得Q（Q-2Z?）=a2-2a-b=10-2（-6+m）=22-2m=0,解得加=n,

故a=（3,1）力二（一2,11）,则〃=3x（-2）+1x11=5,

答案第7页，共10页

因向量.在万上的投影向量为篙匕=展匕,故投影向量坐标为（-己）.

|b\123232525

71

18.⑴§

⑵（4,6]

【分析】(1)选①由三角恒等变换可得tan2=石求出角，选②由三角形面积公式及数量积

公式化简得出cosB即可求解，选③转化为正弦函数，利用正弦定理、余弦定理求出cosB得

解；

7T

(2)由正弦定理及三角恒等变换可得a+c=4sin(C+z),利用正弦函数的值域求范围即可

O

得解.

【详解】(1)若选①

A/3(6Z-Z?COSC)=csinB,由正弦定理得：

/.百(sinA-sinBcosC)=sinCsinB,

/.V3[sin(B+C)-sinBcosC]=sinCsinB,

^3sinCcosB=sinCsinB,sinCW0,

A/3COSB=sinBtanB=^3(0<B<TI),

：.B=-.

3

若选②

S4ABe=BABCsinB,二S4ABe=c«cosB-sinB

=

SABC=；〃csinB,cos^~，

cC兀

0<B<TI,：.B=—.

3

若选③

cos2A-cos2B=sin2C-sinAsinC

/.(1-sin2A)-(1-sin2B)=sin2C—sinAsinC,

/.sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,

答案第8页，共10页

由正弦定理得：a1+C1-b2=ac,

由余弦定理得：cosB=a2+c2~b2=—=1

2ac2ac2

71

：.B=—.

3

(2)27?=上=唯，

sin83

:.a+c=2RsinA+2RsinC=2Rsin(B+C)+2RsinC

1

2

..._71.

=4sin(C+—),

6

2兀7171571

0<C<——，Q-<C+-<—,

3666

I71JT

/.-<sin(C+-)<1,/.2<4sin(C+—)(4,

266

即2<a+c<4,所以△ABC周长的取值范围(4,6].

,5兀-7L/,r—r\

19.(1)-+-(keZ)

(2)最小值为-6；最大值为2

(3)a>l

【分析】(1)根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案;

TVJ1