（电力系统及其自动化专业论文）分形和混沌理论在漏电痕实验中的应用.pdf

a b s t r a c t n eg r o w i n gi n t e r e s ti np o l y m e ri n s u l a t i o nm a t e r i a l sf o rh i g hv o l t a g ea p p l i c a t i o n sa r e m a i n l yd u et ot h es i m p l i c i t yi nm a n u f a c t u r e ，g o o di n s e r v i c ep e r f o r m a n c ea n dt h el o w c o s to ft h e s em a t e r i a l s h o w e v e r , s t u d i e ss h o wt h a tw h e n e v e rp o l y m e ri n s u l a t i o n m a t e r i a l sa r ee x p o s e dt o 趾e n v i r o n m e n tt h a ti sl e s st h a ni d e a l t r a c k i n gb e c o m e sa l l i m m i n e n tp o s s i b i l i t y s ot r a c k i n go nt h es u r f a c eo fp o l y m e ri n s u l a t i o nm a t e r i a li s c o n s i d e ra sam a j o rc a u s ea t t a c h e di m p o r t a n c et ot h es a f e t ya n dr e l i a b i l i t yo fr u n n i n g e l e c t r i c a le q u i p m e n t i no r d e rt o s t u d yt h ec h a r a c t e r i s t i co ft r a c k i n go nt h es u r f a c ea n de v a l u a t et h e i n s u l a t i o na b l i t yo fp o l y m e rm a t e r i a l s ，al o to fe x p e r i m e n t sh a v eb e e nt a k e nt o m e a s u r et h e d i s c h a r g ec u r r e n t s a c c o r d i n gt o t h ec h a r a c t e r i s t i c so fs t a t i s t i c a l s e l f - s i m i l a r i t ya n dc o m p l e x i t yo ft h ed i s c h a r g ec u r r e n la na p p r o a c hw a sp r e s e n t e dt o f m dt h ef m c t a ld i m e n s i o nb a s e do nt h ee m b e d d i n gs p a c et h e o r y ，s t a t es p a c e r e c o n s t r u c t i o na n dg pa l g o r i t h m t 1 l i sp a p e rm a k e sa ni n v e s t i g a t i o no fc h a r a c t e r i s t i co fs u f a c ed i s c h a r g eb a s e do n i e c 6 0 1 1 2 i nt h i sr e a s e r c h ，3p o l y m e ri n s u l m i o nm a t e r i a l sw e r eu s e d , t h e ya r ep e t ， e xa n dp l t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ef r a c t a ld i m e n s i o nc a nb eu s e da sa na v a i l a b l e f e a t u r ef o re v a l u a t i n gt h ei n s u l a t i o nd e g r a d a t i o no fp o l y m e ri n s u l a t i n gm a t e r i a l s t h e h i g h e rv o l t a g ea p p l i e di ne x p e r i m e n t ，t h em o r et h ef i - a c t a ld i m e n s i o ni s a tl a s t , ac o m p a r i s o nw a sm a d et o p o i n to u tt h ed i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i co ft h e3 m a t e r i a l s k e yw o r d s ：p o l y m e ri n s u l a t i n gm a t e r i a l s ，t r a c k i n g ，f r a c t a l ，c o r r i l m i o n d i m e n s i o n ，f e a t u r ee x t r a c t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘茎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：忍、豸芝 签字日期：2 p 。多年弓月1日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫奎盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 疹救 导师签名： 签字日期：a i d 6 年弓月1 日签字日期：彻纬；月 日 天津大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 有机绝缘材料凭借其低成本、制造成型简单、机械和电绝缘强度良好等多方 面的优势，使得有机绝缘材料的电力设备研制开发已经成为绝缘领域的主要发展 方向。与传统的陶瓷绝缘材料相比，有机绝缘材料具有更强的耐腐蚀能力，无需 保养性及重量大大减轻等优点，在各种电压等级的输变电线路与各种输变电设备 上都可以看到有机绝缘产品的大量应用。 但是，随着应用于高压输电线路上的有机绝缘设备数量以及绝缘材料种类的 逐渐增多，由有机绝缘破坏导致的绝缘事故也日趋增多。除了产品本身的设计缺 陷和质量问题以外，人们对有机绝缘材料的适用范围了解的不足而导致的使用不 当，也是事故产生的主要原因。特别是近年来，在电力电子技术高速发展的同时， 有机绝缘材料的使用环境也趋于多样化，不仅在普通环境下，还在低气压，室外 全天候，海岸等盐害地区，高温潮湿环境，沙尘暴，化学气体，放射线辐射，高 磁场等特殊环境下大量应用【8 】。这些环境下的电痕破坏特性都有着自身的特点， 而目前国内尚无完整的、系统的有关有机绝缘产品结构、材料、性能、运行维护 检测方法以及有机绝缘设备事故的有效分析试验方法。因此研究有机绝缘材料在 各种环境下的漏电痕迹特性对于工程的实际使用有着极为重要的意义。 1 2 有机绝缘材料表面漏电痕迹 1 2 1 漏电痕迹的概念 漏电起痕( t r a c k i n gf a i l u r e ) 是有机绝缘材料表面所特有的一种绝缘破坏形 式，其主要是由于当材料表面的污秽( 主要指水分) 蒸发不均匀而形成干燥带以 致产生局部强电场进而引起放电，放电产生的热量使得材料中的碳元素析出，从 而形成碳化导电路，最终绝缘被破坏。碳化导电路的形成是一个过程，随着碳路 的不断延伸，放电的特性也会随之变化。这种现象被称为漏电痕迹劣化【”。 天津大学硕士学位论文第一章绪论 1 2 2 漏电痕迹研究的历史和现状 为了评估有机绝缘材料的耐绝缘性和在实际应用中选择合适的绝缘材料，国 际电工学会创建了国际标准试验法i n t e r n a t i o n a le l e c t r o t e c h n i c a lc o m m i s s i o n p u b l i c a t i o n6 0 1 1 2 ( 以下简称i e c6 0 1 1 2 ) 。这个标准的发展历史如表1 1 所示。 表1 1 漏电痕迹国际标准试验法发展历史 时间漏电痕迹国际标准试验法发展历史 2 0 世纪5 0 年代创建了i e c p u b l 1 1 2 国际标准试验法。 7 0 年代漏电痕迹劣化的发展机理的研究，1 9 7 1 年对i e cp u b l 1 1 2 试验 法进行了修订，发表了第二版i e cp u b l 1 1 2 试验法。1 9 7 9 年对 第二版进行了修订，发表了第三版i e cp u b l 1 1 2 试验法。 8 0 年代表面火花放电的光谱分析。 9 0 年代 环境因素影响漏电痕迹劣化特性的基础研究( 大气压；t 射线； 温度；紫外线；酸雨等) 。 2 1 世纪初 电压波形影响漏电痕迹劣化特性的研究，放电能量分析和新试 验方法的探索。 二十世纪八十年代，国际上主要采用化学方法、现象学方法和光谱分析法来 研究和阐述漏电痕迹劣化现象的原理。现象学研究方法主要考虑材料表面污染和 放电方式 2 1 d 。光谱分析法主要研究材料表面的火花放电光谱【4 】。早期的研究工 作为揭示漏电痕迹劣化的机理提供了理论基础。 二十世纪九十年代，随着电力及电子工业的快速发展，有机材料广泛应用于 各种复合环境，例如海拔在4 0 0 0 米以上的西藏地区、受到放射物质辐射的原子 能发电站和空间站、各种高温环境等。i e c6 0 1 1 2 的c o m p a r a t i v et r a c k i n g i n d e x ( c t i ) 值成为评估与选择绝缘材料所不可缺少的重要指标。这一时期，研究 人员在各种复合环境下测试了环氧树脂、聚碳酸酯、聚乙烯、聚苯醚树脂、聚对 苯二甲酸丁二醇酯、聚萘二酸丁醇酯等有机绝缘材料的漏电痕迹劣化特性，并对 结果进行了理论分析。 现行的评估试验方法有很多种，例如斜板法( i e c6 0 5 8 7 试验方法) ，尘雾 天津大学硕士学位论文第一章绪论 法( a s t md 2 1 3 2 6 2 t 试验方法) ，及旋转水轮法和i e c 6 0 1 1 2 法【5 。1 2 】。上述几种 方法各有优缺点，i e c 6 0 1 1 2 对耐绝缘性较弱的绝缘材料( 由于此类材料的绝缘击 穿时间较短) 评估精确度较低，评估范围有一定的局限性，但是试验时间短。a s t m d 2 1 3 2 6 2 t 有着与前者相反的特点。i e c 6 0 5 8 7 弥补了以上的不足，但不适用于 有些易溶材料( 例如聚乙烯) 。目前，研究者们也在不断的对现有的方法进行改 进，以便更好更准确地模拟现实的外界环境。 1 3 表面电痕破坏的理论分析 当高分子绝缘材料表面受到潮气和离子污染时，其上的泄漏电流要比干净表 面大得多。该泄漏电流使绝缘材料表面的某些区域的污染物质( 主要是水份) 蒸发 并形成干燥区( 高电阻区) 。干燥区使电流通道突然中断引起火花放电，反复放电 所产生的热量等因素足以使高分子材料分解碳化，形成一个短的导电“电痕”。随 着时间的延续，这些电痕发展成树枝状，直到最后贯穿电极间的全部间隙。由此， 电痕是由污秽材料的表面放电和表面电流联合作用产生的，放电是产生电痕的直 接因素。电痕形成，发展及破坏的整个过程可以描述为以下的几种状态： 1 3 3 起始状态 在表面放电前，许多初始性的降解老化已经发生，这是由于：1 环境；2 放 电前的表面热；3 放电前的材料状态。例如，假设一种高分子绝缘材料，它的 表面已经被污染了，则引起表面放电的原因为：( a ) 绝缘材料表面的离子累积； ( b ) 由于污染层的潮湿而形成电解液；( c ) 表面泄露电流和由于电解液形成的 干燥带。其中，( a ) 和( b ) 是环境因素，( c ) 正是由于电解液里电流的流动 而产生了热量。 1 3 4 电痕破坏过程 如果此过程降解产生物为碳，并且以非晶态形式存在，则由于碳元素具有的 导电性，使得相当于导电通道的形成，这个过程可以被描述为： 天津大学硕士学位论文第一章绪论 藏囊羹发 ( c )( d ) 图1 1 材料表面碳化导电路的形成过程示意图 如上图1 - 1 所示，最终，一个完整的碳化导电路开始形成，这实际上是一个 在绝缘材料表面的“树”的发展过程。 1 3 5 侵蚀过程 如果降解产物一碳与空气中的氧作用，生成c o ，c 0 2 等气体或易挥发性物 质，从而从材料表面逸出，结果在材料表面不会产生碳化导电路，这个过程只有 简单的一步，即： 赫一 图1 2 材料表面侵蚀过程示意图 显然，如上图1 - 2 ( a ) ，( b ) 所示，在这种情况下，放电只会在开始的一个位置 发生，并不会产生移动，所以，表面击穿是很难发生的。这是目前来说最好的情 况，所以，具有侵蚀性的材料常被用于对表面放电要求很严格的情况。 以上的分析可以用下图1 - 3 来表示： 生产懈一嘞+羁 天津大学硕士学位论文第一章绪论 外加电压外加电流 离子化 高r 解 气体 固体了留物 导电电痕 图1 3 电痕破坏机理图 1 4 论文的主要工作及创新点 目前，人们对于分形和混沌理论的研究已经比较多，但将分形和混沌理论应 用到绝缘材料漏电痕迹分析方面还属于探索阶段。l a d i s s a d o 等人利用分形与 混沌的方法分析了固体高分子材料中电树的发展过程【6 】。imi r u r z u n 等人利用计 算机分析了绝缘破坏模型( d m a ) 的分形特性 7 1 。在国内，许多电树枝中的分形 及混沌现象正逐渐引起人们的注意。而对于有机绝缘破坏的另一个主要因素 表面绝缘破坏问题，国内外的这方面的研究很少。在有机绝缘介质发生表面放电 时，放电特征会与介质表面形状、表面污秽、潮湿环境等许多因素有关，其放电 过程会变得十分复杂。此外，有机绝缘介质表面破坏时也会伴随着碳化导电通路 的产生，其特征与局部放电中的电树枝形状相似，使放电电流的复杂程度发生相 应的变化。 本文采用i e c 6 0 11 2 标准实验法，对几种常见的有机绝缘材料进行漏电痕破 坏实验，并采集表面放电的漏电流数据。实验采用了改良的交流电源，电源内部 加入了全新的短路电路设计，不但降低了实验成本，还使实验更加安全和有效。 在处理有机绝缘材料漏电流数据的过程中，本文应用分形和混沌的方法，提 取有机绝缘材料表面放电漏电流波形的分形维数，并成功的运用分形维数这个有 效的特征量去表征复杂的有机绝缘材料表面放电现象，这对揭示有机绝缘材料表 面放电的内在规律有十分重要的意义。 另外，随着对电痕破坏理论的深入研究，对于整个破坏过程，很多文章也都 天津大学硕士学位论文第一章绪论 有论述，但却很少有文章考虑用一种直观的数学方法来识别这一过程：本文研究 高分子绝缘材料表面放电t r a c k i i l gf a i l u r e ( 电痕破坏) 的基础原理，分析其 从开始放电到击穿的整个过程，并用分形理论来进行分析和识别。 最后，考虑到有机绝缘材料的种类很多，不同类型的绝缘材料的自身材料特 性导致其电痕特性的不同。本文对实验中采用的几种有机绝缘材料的放电特性进 行分析和比较，可以更好了解不同材料的绝缘性能及适用范围。 1 5 全文总结 第一章首先简述了有机绝缘材料的优点和缺点。之后，介绍了漏电痕迹的概 念、研究方法的发展历史及当前的研究发展现状，然后在理论上对漏电痕破坏的 机理进行了分析，为后续章节里提供了理论基础。 第二章介绍分形与混沌理论的历史和研究现状，常用计算和分析方法，并对 描述混沌分形的一些重要指标做了简单的解释，为后面的章节做理论上的准备。 第三章介绍了有机绝缘材料漏电痕实验。这章主要介绍漏电痕实验的材料、 实验标准、实验设备和实验方法。 第四章首先对所有需要用到的数据处理方法进行了说明。最主要的方法有： 互信息量法求混沌系统的时间延迟、用时间序列重构相空间、用g p 算法计算整 个系统的关联维数。然后则分三种材料的叙述每一步数据处理的结果，其中着重 介绍p l 的数据处理过程。主要工作为：计算时间序列的延迟时间，从而重绘了 放电时间序列的吸引子相图，求取了系统的关联维数，同时也验证了系统的混沌 特性。最后还画出了实验的c t i 图。由于e x 和p e t 的数据处理方法和p l 是相同 的，而且很多的结果都和p l 的结果相似，因此没有着重去讲解。 天津大学硕士学位论文第二章分形和混沌的基本理论 2 1 分形理论简介 第二章分形和混沌的基本理论 “分形”这个词是由美国i b m ( i n t e r n a t i o n a lb u s i n e s sm a c h i n e ) 公司研究 中心物理部研究员暨哈佛大学数学系教授曼得勃罗特( b e n o i tb m a n d e l b r o t ) 在 1 9 7 5 年首次提出的，其原义是“不规则的、分数的、支离破碎的”物体。1 9 7 7 年，他出版了第一本著作“分形：形态，偶然性和维数”( f r a e t a l ：f o r m , c h a n c ea n d d i m e n s i o n ) 标志着分形理论的正式诞生。五年后，他出版了著名的专著“自然 界的分形几何学”( t h ef r a c t a lg e o m e t r yo f n a t u r e ) ，至此，分形理论初步形成。 目前，分形是非线性科学中的一个前沿课题，在不同的文献中，分形被赋予不同 的名称，如“分数维集合”，“豪斯道夫测度集合”，“具有精细结构集合”等。一 般的可以把分形看成大小碎片聚集的状态，是没有特征长度的图形、构造以及现 象的总称。 分形几何( f r a e t a lg e o m e t r y ) 是用来描述大自然中广泛存在的不规则几何形 体的一种数学理论。自然界大部分都是处于无序的、不稳定的、不平衡的和随机 的状态之中，它存在着无数的非线性过程。在非线性世界里，随机性和复杂性是 其主要特征，但同时，在这些极为复杂的现象背后，存在着某些规律性。分形理 论使人们能以新的观念、新的手段来处理这些难题、透过扑朔迷离的无序的混乱 现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间的本质 联系。分形理论( f r a e t a lt h e o r y ) ，混沌理论( c h a o st h e o r y ) 、耗散理论( d is s i p a t i o n t h e o r y ) 被称为8 0 年代三大理论成果。分形最初很好地解决了“海岸线的长度问 题”，海岸线长度增加率是以它的分维数而变化的。分形的概念正是因为解决了 这个难题而步入科学的殿堂。经过2 0 几年的发展，分形已成为一门重要的新学 科，广泛应用与各个领域。 分形理论在某些学科中的成功的尝试，极大的激发了研究工作者的兴趣，他 们把分形理论广泛而深入的运用在各自的研究领域中。反过来，这种应用又促使 了分形理论的进一步发展。自然科学领域( 如物理化学、地球物理学及生物学等) 中的分形学术论文正不断增加，社会科学领域涉及分形的论文和书籍也越来越 多。有关分形的国际会议及各种专题讨论会有增无减。国际学术刊物“混沌、孤 子和分形”和“分形学”先后于1 9 9 1 年和1 9 9 3 年正式创刊。分形理论已经涉及 天津大学硕士学位论文第二章分形和混沌的基本理论 到包括哲学、数学、物理、化学、材料科学、电子技术、表面科学、计算机科学、 生物学、医学、农学、天文学、气象学、地质学、地理学、城市规划学、地震学、 经济学、情报学等多个领域中。 分形理论是一门新的学科，它的历史很短，目前正处于发展之中，随着人们 更加深入的探讨和研究，它必将在发展中不断完善和走向成熟。 2 2 分形的定义与分形维数 自然界中所有迄今人类所考虑的图形，大致分为两种：具有特征长度的图形 和不具有特征长度的图形。特征长度并没有严格的定义，如果考虑的对象是球， 则其特征长度则是它的半径。正方形、矩形、椭圆等几何学图形，都有其特征长 度；其它人造物件，如自行车、香烟等都有其特征长度。不具有特征长度的图形 的重要性质是自相似性自相似性指的是图形的部分若放大，其形状与整体( 或 大部分) 相同。这些图形有大量的例子，其中有众多数学家构造的如威尔斯特拉 斯( w e i e r s t r a s s ) 曲线科赫( k o c h ) 曲线、康托( c a n t o r ) 集、皮亚诺( p e a n o ) 曲线、塞尔宾斯基( s i e r p i n s k i ) 地毯，曼德布罗特集和朱立叶( j u l i a ) 集等。另 外，自然界中存在大量此类图形，如布朗运动曲线、积雨云的形状、山脊曲线、 海岸线、河流的形状和动物体内血管的复杂分支构造等。 首先以v o n k o c h 曲线为例，通过曲线的构造过程来分析相似维数。起始于n = o 的单位长度线段称为v o n k o c h 曲线的军阶生成；将直线段中间的1 3 用边长 为l 3 直线段长的等边三角形的另外两段取代，得至l j n = l 的v o n k o c h 曲线生成 元，称为第一阶生成；把第一阶生成的4 个直线段类似于第一阶生成进行变形， 就得到v o nk o c h 曲线的第二阶生成；类似地无穷变形下去，虽后得到的曲线 ”斗就是v o n k o c h 曲线，如图2 1 所示。 图2 - 1 科赫( k o c h ) 曲线 - 8 - 天津大学硕士学位论文 第二章分形和混沌的基本理论 英国数学家法尔科尼尔( f a l c o n e r ) 认为，不应该寻求分形的简明定义，而是 寻求分形的特性，井将分形看作具有如下所列性质的集合f ： ( 1 ) f 具有精细结构，即具有任意小的比例细节； ( 2 ) f 是如此不规则，以至于它的整体和局部都不能用传统的几何语言来 描述； ( 3 ) 通常具有某种自相似性； ( 4 ) f 的分形维数大于它的拓扑维数； ( 5 ) f 往往可以用简单的方法定义，可能由迭代产生。 由上述的分形定义，我们可以理解到分形是描述自然界复杂物件的一种工 具，对于研究表面放电漏电痕迹的复杂特征具有一定意义。 因此，对于分形，无论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等 各种特性均不会发生变化。无论从局部或整体上来看，分形都是极其不规则的， 一般不能用传统的几何语言来描述，而要用一种简单的递归算法来描述，对分形 的描述最主要的参量是它的分维数。 分维数也称作分形维数，是描述分形集合复杂性的一种数量，对研究复杂 现像有很大的意义。针对不同的研究对象，分维数的定义有多种形式，以下介绍 几个常用的分维数的定义。 2 2 1 豪斯道夫维数 h a u s d o r f f 于1 9 1 9 年提出了一种维数的一般化表达，他的思想依赖于“标度” 概念( s c a l i n g ) ，即测量同一对象用测量的不同单位。设有一条长度为工的线，若 用一长为r 的“尺”作为单位去量它，量度的结果是，我们就说这条线有尺。 显然，的数值是与所用尺的大小有关，它们之间具有下列关系： ( 厂) = l r - r 。1 ( 2 1 ) 同理，若测量的是一块面积为爿的平面，这时就应用，2 的单位小方快去测定它 才能给出确定的值，其值为 n ( r 1 = a r 2 ，之 ( 2 2 ) 如果不是用单位小方块去测量，而是用，的尺度直接测量，那是测不出这块面积 的大小的。从数学角度来看，这无疑是提出了“一块面积有多长? ”这样的问题。 天津大学硕士学位论文第二章分形和混沌的基本理论 由此可见，测量任何一个物体时都必须要用一种适合于它的“尺”去量度，才能 给出正确的数值，否则就会给出牛头不对马嘴的答案。数学家们把这个事实归纳 为下述结论：对于任何一个有确定维数的几何体，若用与它相同维数的“尺”去 量度，则可得到一确定的数值，若用低于它维数的“尺”去量它，其结果为 无穷大，若用高于它维数的“尺”去量它，其结果为零。其数学表达式为： ( ，) r 一。，d = f m l l n n ( r ) i n ( 1 ，) ( 2 3 ) 式中d 就称为豪斯道夫维数，它可以是整数，也可以是分数。我们通常把豪斯道 夫维数是分数的物体称为分形，有时也称d 为分数维数。上式是在假定物体的宏 观尺度三保持不变，而不断改变测量尺的大小，的条件下给出的。对于一些物理 中的生长问题，这时构成物体的小单元( 如胶体凝聚时的分子等) 的尺度不变， 即，不变，但物体的宏观尺度l ( 如回旋半径等) 在不断地增大。因此，可将上 式改写成 n ( l ) ，d = ! i m l n n ( l ) l n ( l ) ( 2 - 4 ) 式( 2 3 ) 和式( 2 - 4 ) 是两个常用的确定分数维数d 的公式。 豪斯道夫维数是最古老，也是最重要的一种维数，它对任何集合都有定义。 然而，直接利用豪斯道夫维数的定义来计算一个分形的维数是繁杂而困难的。 2 2 2 盒维数 盒维数也有人称其为容量维数。设，是平面上的有界点集，根据f 的有界 性，总可以找到一个矩形，使f 包含在这个矩形之中，将这个矩形分割成若干个 边长为占的小方格，于是必有某些小方格内包含f 中的点，数一数包含，中的点 的小方格的数目，记为g ) 。这时定义f 的盒维数也就是容量维数为： 以( f ) = l i r a i l n n ( n 1 ( 6 e ) ) ( 2 - 5 ) 我们对平面点集f 引入这个定义，实际上并不限于平面点集。如果f 是一 条直线上的点集，则定义中所说的小方格应理解为长度为s 的小区间。如果f 是 r ”中的一个有界点集，则小方格应理解为r ”中边长s 为的立方体。 从定义出发，考虑一个单位长的直线段f ，那么用 o ，1 1 区间刚好覆盖f 。 将 0 ，l l n n 分割成若干个小区间，每个小区间的长度为s ，由于f 是 o ，1 】区 天津大学硕士学位论文 第二章分形和混沌的基本理论 间上的全体点，那么每个小区间都有f 中的点，因此包含f 中的点的小区间数耳 ( s ) ：l l z 。于是按定义得以( d = l 姆：! ；桨= 1 。而通常认为线段的维数为l ， 叶”u i j 这正好是一致的。如果考虑一个单位正方形点集f ，分割它为边长为s 的小方格， 那么其中包含f 中点的小方格数为( ) = l l z 2 ，从而有吐( f ) = l 脚罢华黑= 2 。 u l l i 0 ， 同时，定义也提供了在计算机上近似计算点集，的盒维数的方法。以平面点集f 为例，计算的准备工作是任意选定一个矩形，使这个矩形完全覆盖点集f 。然后， 任意给定一个小的正数s ，以s 为边长将覆盖f 的矩形分割成若干个小方格( 调整 矩形的尺寸，这样的分割一定可以作到) 。通过对矩形内所有象素的扫描，记录 含有f 中点的小方格数目，记为( s ) 。那么比值罢华婴，可以看成是以旷) 的 l l i j 近似值。当加细矩形的分割，例如以三取代s 时，重复这一计算过程，将算出新 2 的比值。如果两次比值比较接近，则可以认为得到了d ( ，) 的较准确的近似值。c 2 2 3 信息维数 设分形f 置于欧几里德空间尺4 中，令 置 兰是在f 上长时间序列的诸点，n 很 大；用大小为，4 的d 维立方体去覆盖整个空间，设m ( r ) 是含有序列 置 l 中点的 立方体数目，m 为第i 个立方体中含点的数目，p 。= m n ，信息维数定义为： 其中， ( 2 6 ) 吖( r ， 口的定义是把概率引入维数，与信息理论熵s ( r ) = 一只觑( 只) 紧密联系，因 j - l 此被称为信息维数。 2 2 4 关联维数 分形的自相似结构往往表现在统计意义之下，这时，有必要引入关联维数的 概念，这种维数可以从实验中直接测定，从而为复杂分形提供一种手段。 想要计算关联维数，必须要理解嵌入理论和重建相空间思想【1 3 1 4 1 。最初提 出相空间重构的目的在于在高维相空间中恢复混沌吸引子。混沌吸引子作为混沌 万 l 0 型叫 。一只 嘞 。 唑 d 卜 州 天津大学硕士学位论文 第二章分形和混沌的基本理论 系统的特征之一，体现着混沌系统的规律性，意味着混沌系统最终会落入某一特 定的轨迹之中，这种特定的轨道就是混沌吸引子。时间序列是一种综合反映，它 含有丰富信息并蕴藏着参与动态全部其他变量的痕迹。为了从单变量时间序列中 提取信息，t a k e n s 提出了对时间序列进行重建相空间的思想，在另一坐标系中研 究时间序列，使问题得到了简化。根据t a k e n s 嵌人定理，只要嵌人相空间维数d 足够大( d 2 d + 1 ) ，它就能足以刻画该尺度层次上的d 维混沌吸引子。 将时间序列x g ) ，x ( t o ，x ( f 。) 重新排列在一个d 维的向量空间j ( f ) 中： x ( t ) = x ( f ) ，x ( t + f ) ，x t + ( d - 1 ) r ) ( 2 - 7 ) 其中，f = m a t ，为时间间隔，m 取整数，f 的选取原则应保证上式中各坐标是 线性无关的【1 3 1 。随着时间推移x “) ，j ( ，) ，这些d 维空间的点就可以在d 维状态空间中描绘出一条可以反映系统状态变化的轨迹。t a k e n s 理论认为，嵌人 变换重建相空间得到的状态轨道，保留了原空间轨道的最主要特征：它尽管使轨 道变形，但两者之间存在等价关系；嵌入变换是一个光滑的一对映射，它不改变 轨道上点的次序，保留了原方向。建立相空间后，为了计算相空间奇异吸引子维 数，任给一个小尺寸，然后检查有多少点对( ，x ，) 之间的距离小于，把距 离小于r 的“点对”在所有点对中的比例记为： c ( ，) = 可1 h ( r k 一一i ) ( 2 8 ) j ；l 7 = 1 其中，日( z ) 是h e a v i s i d e 函数，该函数有如下性质：当z 0 时，日( z ) = 1 ；当z o ，p ( r ) 一p ( r ) 成立。能满足该式的函数类型只限于幂型，b p p ( o o c ：，这个d 就是所求的分形 维数。 ( 4 ) 用相关函数求维数 该方法是用基本的统计量之一的相关函数来求分形维数。设空间随机分布的 某量在坐标x 处的密度为p ( ) ( ) ，则相关函数c ( r ) 可定义为： c ( r ) = a v e ( p ( x ) p ( x + r ) ) ， ( 2 1 2 ) 天津大学硕士学位论文第二章分形和混沌的基本理论 其中a v e ( ) 表示平均，r 表示两点距离。一般作为相关函数c ( r ) 的函数类型 有指数型p ”7 m 和高斯型e - r 2 v ，但由于它们存在特征距离，0 ，故它们不是分形。 当相关函数为幂型时，由于不存在特征长度，则分布为分形，此时有：c ( r ) 一，- a 。 a 为幂指数。它与分形维数d 的关系为：a = d _ d ，d 是欧氏空间维数。 ( 5 ) 用频谱求维数 该方法是通过观测随机变量的频谱来求维数。从频谱观点来看，改变观察尺 度就是改变截止频率，即更细小的振动成分舍去的界限频率，如果某个变动 是分形，那么即使变换截止频率疋也不会改变频谱的形状，即变换观测尺度， 其波谱形状也不会改变。具有这种性质的频谱s ( f ) 只限于幂型：s ( f ) 。cf ， 其中b 与分形维数的关系为：1 3 = c nd ，其中c 和a 是常数。随着频谱曲线图 的不同，c 和a 常数值也是不同的。 分形维数的定义和测量都是在分形理论不断得到应用的前提下得到发展的。 随着分形理论的广泛应用，必将要求对很多复杂的分形现象提出解决其分形维数 的定义和测量方法，例如智能系统知识表示及其分形维数的计算等诸多问题。 2 3 混沌理论简介 混沌是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中不需附加任何随机 因素就可出现的类似随机的行为。混沌科学是随着现代科学技术的迅猛发展，尤 其是在计算机技术出现和普遍应用的基础上发展起来的- - n 新兴学科【l5 1 。混沌学 被认为是继相对论和量子力学问世以来，上世纪物理学的第三次革命：是非线性 现象的核心问趔”j 。混沌之所以受到学术界如此广泛的重视，主要是因为在现代 的物质世界中，混沌现象无处不在，大至宇宙，小至基本粒子。无不受混沌理论 的支配。如气候变化会出现混沌，数学、物理、化学、生物、哲学、经济学、社 会学、音乐、体育中也存在混沌现象。因此科学家们认为，在现代科学中普遍存 在的混沌现象，打破了不同科学间的界限，混沌科学是涉及系统总体本质的一门 新兴科学。 混沌研究提出了一些新问题，他向传统的科学提出了挑战。如，“决定论非 周期流【l7 】”，即确定性系统中有时会表现出随机行为，这一论点打破了拉普拉斯 决定论的经典理论，以至于连根深蒂固的牛顿力学也受到了它的冲击。美国数学 家彭加莱( p o i n c a r e ) 及洛伦兹( l o r e n z ) 的发现表明，在复杂性面前，牛顿力 学也是无能为力，从而拉开了混沌研究的序幕，使混沌的研究成果给自然科学的 一些最基本概念，如确定性、随机性、统计规律等注入了新的含义，进而也给一 些更普遍的哲学范畴如因果、机遇等赋予了新的含义。同时数学中的动态系统理 天津大学硕士学位论文第二章分形和混沌的基本理论 论、分叉理论、遍历性理论和分形几何学等都在混沌研究中起着不可替代的作用。 实际上，混沌科学的研究也表明了，现实世界是一个有序与无序相伴、确定性与 随机性统一、简单与复杂一致的世界，而那种只追求有序、精确、简单的观点是 不全面的。 从本质上讲，混沌是直接研究我们看得见摸得着的宇宙，以及在人类本身的 尺度大小差不多的对象中发生的过程，所有日常生活经验与这个世界的真实图像 都是我们研究混沌时所探索的目标。因此混沌是一种关于过程的科学而不是关于 状态的科学，是关于演化的科学而不是关于存在的科学【l 引。混沌中蕴含着有序， 有序的过程也可能出现混沌。大自然就是如此纵横交错，如此复杂，包含着无穷 的奥妙。因此对混沌科学的进一步研究将使我们增加对自然界更深刻的理解，对 一切复杂现象都遵循着的新规律有一个更深刻的认识。 传统上，“混沌”常常用它来描述混乱、乱七八糟、杂乱无章等状态，从这 个意义上讲，它与无序的概念相同。但在中国古代，混沌有时又指宇宙之初物质 某种原始的没有分化的状态，还可以进一步引申出人类在认识上浑浑噩噩的朦胧 状态。 近代科学由于以研究自然界的秩序和规律为其宗旨，所以数百年来它把混沌 现象排除在外。使得自然界中大量的混沌现象被科学家们遗忘了。在这期间值得 一提的是康德，他的星云假说认为，太阳系是由处于混沌状态的原始星云演化而 来的，并指出“我在把宇宙追溯到最简单的混沌状态以后，没有用别的力，而只 是用了引力和斥力这两种力来说明大自然的有序的发展”。因此，康德是考察宇 宙从混沌到有序的演化的第一人。 1 9 世纪中期，自然科学家首先在热力学系统中对混沌问题进行讨论，认为 热力学的平衡问题实际上是一种混沌态。与此同时，科学家们还探讨了布朗运动、 丁铎现象、反应体系中反应基团的无规则碰撞等微观状态，发现它们与混沌有关， 都是混沌无序的状态。 1 9 世纪末2 0 世纪初，彭加莱在研究三体问题时遇到了混沌问题，并于1 9 0 3 年在他的科学与方法中提出了彭加莱猜想。他把动力学系统和拓扑学有机地 结合起来，指出三维问题中，在一定的范围内，其解是随机的。实际上这是一种 保守系统中的混沌，从而他成为世界上最先了解混沌存在可能性的第一人。 2 0 世纪中后期，混沌现象得到了各领域研究者的认同，并受到了广泛的关 注。各种研究成果相继出现，为混沌学的诞生和茁壮成长奠定了坚实的基础。此 期间，具有代表性的成果有： 2 0 世纪6 0 年代初期，洛仑兹在著名论文“决定论非周期流”中讨论了天气 预报的困难和大气湍流现象，给出了三变量的自治方程，即著名的洛仑兹方程【19 】： 天津大学硕士学位论文第二章分形和混沌的基本理论 ( 2 1 3 ) 方程右端不显含时间，它是一个完全确定的三阶常微分方程组。三个参数仃( 普 兰德尔p r a n a t l 数) ，7 ( 瑞利数与其临界值之比) ，b 为正实数。如取b = ，仃= 1 0 ， ，o 改变参数，：当， 1 时，其解为非周 期的，看起来很混乱。这便是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的 第一个实例。2 0 0 0 年，自然杂志发表论文“t h e l o r e n z a t t r a c t o r e x i s t s , 首次从 数学上严格证明了l o r e n z 吸引子在自然界中存在。同样，阿诺尔德( a r n o l d v i ) 和莫塞尔( m o s ej ) 分别证明了：在近可积的哈密顿系统中，随机成分是有限的， 导致不可积性的扰动项很小。这被称为k a m 定理，该定理讨论的是保守系统， 而洛仑兹方程讨论的是耗散系统，它们分别从不同的角度说明，两种不同类型的 动力学系统，在长期的演化过程中是怎样出现混沌态的。从此，对混沌理论的研 究便进入了新的时期。l o r e n z 吸引子3 维图形如图2 3 所示，其中b = ， ，o j = 1 0 ，r = 2 8 。 图2 - 2l o r e n z 时间序列图2 - 3l o r e n z 吸引子 1 9 6 4 年，法国天文学家伊侬( h e n o n ) 从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得 到启发，给出了下面的h e n o n 映射 f 矗+ l = l + b y 。一麟。2 1 虬+ l ：矗 ( 2 - 1 4 ) y 口一 m 拓 叫一矿 = = = k 抄p 天津大学硕士学位论文第二章分形和混沌的基本理论 在上述方程中，当参数b = 0 3 ，改变参数a 时，发现其系统运动轨道在相空间中 分布似乎越来越随机。伊侬得到了一个最简单的吸引子，并用它建立了“热引力 崩坍”理论，解释了几个世纪以来一直遗留的太阳系的稳定性问题。h e n o n 吸引 子相图如图2 - 2 所示，其中a = 1 4 ，b = 0 3 。 图2 4 h e n o n 吸引子 1 9 7 1 年法国物理学家芦厄勒( r u e l ld ) 和荷兰数学家塔肯斯( t a k e n sf ) 为 耗散系统引入了“奇异吸引子”这一概念，发现了混沌现象，提出了一个新的湍 流发生机制，以揭示湍流的本质。 1 9 7 5 年美籍华人学者李天岩和美国数学家约克( y o r k ej ) 在美国数学月 刊发表了题为“周期3 意味着混沌的著名文章1 2 0 ，深刻揭示了从有序到混沌的 演化过程。从此，“混沌”( c h a o s ) 一词便在现代意义下正式出现在科学词汇 之中。 1 9 7 6 年美国数学生物学家梅( m a yr ) 在自然杂志上发表了题为“具有 极其复杂的动力学的简单数学模型”文章中，给出了著名的描述人口( 或虫口) 的方程，即逻辑斯谛( l o g i s t i c ) 模型【2 l 】；并指出，在生态学中一些非常简单的 确定性的数学模型具有极为复杂的动力学行为，其中包括分叉和混沌，从而向人 们表明了混沌理论的惊人信息。 1 9 7 8 和1 9 7 9 年费根包姆( f e i g e n b a u m ) 等人在梅的基础上独立地发现了倍 周期分叉中的标度性和普适常数，从而使混沌在现代科学中具有坚实的理论基 础。 2 0 世纪8 0 年代以来，混沌科学得到了迅猛的发展，人们这种研究系统如何 从有序进入新的混沌及其混沌的性质和特点。除此之外，借助于多标度分形理论 和符号动力学，还进一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结。如：1 9 8 0 年， 天津大学硕士学位论文第二章分形和混沌的基本理论 美国数学家b m a n d e l b r o t 用计算机绘出了第一张m a n d e l b r o t 集的图像，这是一 张五彩缤纷、绚丽无比的混沌图像，拓展了混沌科学的一个重要应用领域。1 9 8 3 年，加拿大物理学家l g l a s s 在物理学杂志上发表著名文章“计算奇异吸引 子的奇异程度”，开创了全世界计算时间序列维数的热潮。1 9 8 7 年g r a s s b e rp 等 人提出了重构动力系统的理论方法，揭示了产生复杂性结构的动力学特性。通过 由时间序列中提取分数维、l y a p u n o v 指数等混沌特征量，从而使得混沌理论进 入到实际应用阶段。 到了9 0 年代，基于混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式，所以 对混沌的研究不仅推动了其它科学的发展，而且其它科学的发展又促进了对混沌 的深入研究。因此，混沌科学与其它科学相互交错、渗透、促进，综合发展，使 得混沌不仅在生物学、数学、物理学、化学、电子学、信息学、气象学、宇宙学、 地质学，而且还在经济学、人脑科学，甚至是音乐、美术、体育等多个领域中得 到了广泛的应用，并形成了一门新的分支混沌工程学，从而确立了混沌在现 代科学技术中的重要地位。 2 4 混沌时间序列的特征分析 从时间序列研