（理论物理专业论文）brst量子化及其在约束hamilton系统中的应用.pdf

摘要 本文综述了约束h a m i l t o n 系统的计算方法，针对系统不再有约束的三种情 况分别作了讨论，并各举了一例加以说明。进而综述了b r s t 变换的内秉性、 相空f l | j 变换的正则w 打d 恒等式和规范生成元，综合地讨论了约束h a m i l t o n 系统 中第一类约束和第二类约束以及第一类约束与规范变换生成元的关系。 导出了物质场与非a b e l 规范场耦合系统的b r s t 变换以及此变换下的w a r d 恒等式和正规顶角的生成泛函，给出了其b r s t 变换下的n o e t h e r 守恒荷。针对 l o r e n t z 规范、库伦规范、辐射规范三种情况分别给出了此模型的b r s t 变换， 并得到了自洽的结果。完成了( 1 + 2 ) 维时空中非a b e lc h e m s i m o n 项和标量场耦 合系统中鬼场的b r s t 量子化，得到了b r s t 变换下的n o e t h e r 荷和其对应的拉 氏量和哈密顿量。 最后依据d i r a c 约束规范理论和推广的条件，导出了规范生成元，推导出了 l + 1 维0 ( 3 ) 非线性。模型的新的一般条件下的b r s t 变换，给出了其b r s t 变换 与d i r a c 规范变换的等价性，首次得到了鬼场的一般对易关系，且其一般参数b 为零时就回到通常的鬼场的对易关系，第一次由规范生成元导出了b r s t 荷， 进而完成了此模型的一般的b r s t 量子化，并在此基础上进一步导出了此系统 的g r c e n 函数、连通g r e e n 函数生成泛函和正规顶角生成泛函，获得了三种不同 的w a r d 恒等式。完成了有拓扑项的l + l 维o ( 3 ) 非线性o - 模型的b r s t 量子化。 关键字：约束系统、b r s t 量子化、生成泛函、w a r d 恒等式 a b s t r t a b s t r a c t 1 1 h i sm e s i sr c v i e w s 1 1 em c 1 1 0 do fc a l c u j a t i o no fh a m i i t o n i a ns y s t e m ，t h r c c c o l l d i t i o n st l l a t 也es y s t e md o e s n th a v ec o n s t r 面n sa r cd i s c u s s e d ，a 1 1 dm e e x a n l p l e so f t h c s ec a s e sa r eg i v e n t h e r c a r ，w es u m m a r i z et h ei n t r i n s i c p r o p e r t i e so fb r s t t r a n s f b 蛐a t i o n ，t h ec a l l o n i c a lw a r di d e n t i t i e so f p h a s es p a c ea n dt l l eg a u g eg e n e r a t o r s ， f u m l e rs u t l lu pt l l ef i r s t c l 解s & m es e c o n d c l 硒sc o n s t r a i n s ( i nh 蛳i i t o n i a i ls y s t e m ) a 1 1 d 也er c l 撕o n sb e t w e e nt h en t 砒c o n s t r a i n t s 弧dg a l l g e 仃r m s f o r m a t i o n g e n e r a t o r s t h et l 坨s i sd c d u c e st l l e g e n e r a t i n g c t j o n a lo fp r o p c rv e n e x e sa n db r s t t r a n s f o r i n a t i o no fm e s y s t e mo f m a n e rf i e l dc o u p l i n gt on o n - a b c lg a u g e f i e l d ，g i v e s n o e 也e rc o n s e “a t i o nc h a 鹅eo fb r s t 协m s f o 珊a 土i o n ，s h d w su p 也em o d e l sb r s t t r a n s f 0 啪a t i o nw h e nt h e g 叭g e s a r e l o r e m z ， c o u l o m b鳓d 伯d i a t i o n g a u g e s ， r e s p e c t i v e l y ，6 n i s l l e s l eb r s tq u a n t j z a t i o no f g h o s tf i e l di n ( 1 + 2 ) d i m e n s j o n s m o d e j w i t in o n - a b e lc h c m - s i m o n st e m c o t l p l i n g t ot l l es c a l a rf i e l d ，a c h i e v e st h el a g r a n g e d e n s i t y a 1 1 dh 锄i l t o nd c n s i t ) ，u n d e rb r s tt r a n s f o 珊a t i o n a c c o i d i n g t 0t l l ed i r a cc o n s t m i n 出e o r y 赳l dt l l ee x t e n d e dc o n d i t i o n ，、v cd e d u c e t h c g a u g eg e n e r a _ t o r s ，s h o wt l l e b r s tt r a n s f o r m a t i o no f ( 1 + 1 ) d i m e n s i o no ( 3 ) n o n l i n c a rm o d e lu n d c rt l l en e wg e n c r a lc o n d i t i o n w 色f i r s tg a i nt h en e wg e n e r a l c o m m u 潍i o nr c l a t i o n so fg h o s tf i e l d ，d e d u c et 他b r s tc h a r g e 矗d mg a u g cg c n e r a t o r ， c o m p l e t e t h eg e n c r a lb r s t 删z a t i o n o f 坞m o d e l ，g c t g f e e n f u n c t i o n ，c o n n t i n g g r e e nf i l n c t i o n 铋dg e n e r a t i n g & n c t i o n a l ，g 抽恤e ek i n d so fw 甜d i d c n t m e s a tl a s t ， w c c o m p l e t et h eb r s t 皑m t i z a t i o no fo ( 3 ) n o n - l i n c a r 口m o d e l 、i mt o p o l o g i c a i t c r mi n ( 1 + 1 ) d i m e n s i o n ss p e t i m e k e yw o r d s ： c o n s n 面n ts y s t e m ，b r s tq n t i 盈t i o n ，g e n c r a t i n gf i m c t i o n a i ，w 打d i d e n t i t y n 一 1 1 约束系统 第1 章绪言 物理系统的状态和运动过程常常受到某些条件的限制，这些条件称为约束 条件。约束条件可分为两类：一类是在位形空间中描述系统运动时出现的附加 条件( 约束) ，如力学中的几何约束和运动约束( 包括完整约束和非完整约束) ， 连续介质力学中的热力学关系，场论中场变量满足某些附加条件等等；另一类 是在相空间中描述系统的运动时，其正则变量是不独立的，正则变量之间存在 某些约束关系。 宇宙中物质的运动形式虽然千变万化、复杂多样，但总表现出一定的规律。 这种规律就是对称性的体现。从量子场论的观点来看，所有基本粒子都是相应 的场的量子，场是物质的基本形态。规范不变性是场的一种基本对称性。对场 量的规范变换可分为两类，一类变换不涉及时空点，称为整体规范变换；另 类变换依赖时空，称为定域规范变换。相应的对称性，分别称为整体规范对称 性和定域规范对称性。宇宙的和谐和内部空间的对称要求物理系统以及描述它 的l a 鲈锄g e 密度，不仅在整体规范变换下不变，而且在定域规范变换下也是不 变的。将整体规范对称性扩充到局域规范对称性的时候须引入规范场。人们最 与l 认识的规范场是电磁场，它具有a b e lu ( 1 ) 群的定域对称性。1 9 5 4 年，杨振宁 和m i l l s 引进定域s u ( 2 ) 规范对称性，建立了杨m i l l s 理论。非a b e l 定域规范对 称的杨m i l l s 场在描述自然界的四种基本相互作用中起着十分重要的作用，物理 学界普遍地认为自然界的四种基本相互作用都是由杨4 以i l l s 场来传递的。另外， 在量子昧动力学( q f d ) 、量子色动力学( q c d ) 、大统一理论( g u t ) 、超对称、 超引力理论中提出了更高的对称性。 通过对物理学中对称性的认识，可进一步理解物理规律。对称性总是和某 北京t 业人学理学硕士学位论文 种变化联系在起的。物理系统在某个连续对称群的变化下保持不变，由 n o e t h e r 定理可以导出系统具有某些守恒量的结论。例如：由空间平移下作用量 不变性可导出动量守恒。经典物理学和量子物理学中都有对称性原理。应用对 称性原理来描述纷繁复杂的物质世界，可以使问题得到简化。量子力学向量子 场论的发展，使对称性原理深入到更一般的微观物理学领域，成为人们探索微 观粒子运动规律的重要工具之一。在原子核物理和粒予物理学中，对称性理论 的重要性就更为突出。在物理学中对称性理论的研究是多方面的，其中的一个 重要方面是对称性和守恒律的联系。物理规律对称性的数学形式体现为系统的 运动方程( 或作用量) 在某种对称群作用下具有不变性。连续对称性和守恒量 的联系表现为：系统的作用量在某种对称群下具有的不变性，必导致系统的某 种守恒量存在。连续对称性所联系的守恒律可分为时空对称和内部对称两类。 重要的时空对称群有p o i n c a r e 群和共形群等。时空的均匀性和各向同性产尘能 餐、动量和角动量守恒，共形对称群也存在相应的守恒量。重要的内部对称群 有u ( 1 ) ，s u ( 2 ) 和s u ( 3 ) 群等，它们所联系的守恒量有电荷、同位旋、么旋和s u ( 3 ) 整体对称等，来源于对称性变换不变的守恒葡也称为n d e t l l e r 荷。还有另类不 来源于对称性的守恒荷，称拓扑荷。场量和连续介质的状态参量般有多个分 量，组成一个矢量空问，称为常量空间。场量作为时空的函数，可以看作时空 流形到场量空间的映象，这个映象的任一连续变形下的不变量称为场的拓扑不 变量或拓扑荷，他们是守恒的。拓扑荷与n o c t h e r 荷是不同的概念。拓扑性孤立 予的稳定性是由拓扑荷守恒保证的。 时空对称和内部对称群所联系的守恒量，与群的生成元有关( 从量子理论角 度) 。分立对称变换( 非连续变换) ，虽然没有相应的生成元，但一般来说，分立 对称变换也导致相应的守恒量存在。例如，空间反演p 下的不变性，导致宇称 守恒；电荷共轭宇称守恒。结合同位旋空间中的转动，有g 宇称守恒等。但时 n q 反演t 下的不变性，却不导致相应的守恒量( 可导致细致平衡原理和超选择定 则等) 。在粒子的弱相互作用中，p ，c ，t 均不守恒。对于具有l o r e n t z 群对称 性的定域相互作用，尽管p ，c 或t 受到破坏，但乘积p c t 总是一个对称变换。 在粒f 物理学中，已经知道，较强的相互作用具有较高的对称性，在弱作用中， 时问反演和c p 的破坏程度比p 和c 的破坏程度要小得多。另一类分离对称变 换足量子理论中全同粒子的交换对称性，即对称群为置换群s 。这种对称性和 多粒子系统的统计性密切相关。 从量子场论的观点，所有的( 基本) 粒子都是相应的场的量子，场是物质的基 本形态。如果对所描写场的场量的对称变换在时空每一点上一齐施行，这样得 到的对称性是整体对称性，相应的对称群为有限李群g ，如果在时空每一点独 立施行对称变换，所得到的对称为定域对称性，相应的对称群为无限李群g 。，。 电磁场具有a b e lu ( 1 ) 群的定域对称性。非a b c l 群定域规范对称的杨m i l l s 场( 通 过真空自发破缺和h i g g s 机制) 在描述自然界的四种基本相互作用中起有十分重 要的作用，普遍认为自然界的四种基本相互作用均是由规范场( 杨m i l l s 场) 来传 递的。粒子物理学的发展表明，对某些最终受到破缺的近似对称性的研究也是 重要的。内部对称性的研究已成功得到了拓广，规范理论中提出了各种定域规 范对称群，如量子昧动力学( q f d ) 中的s u ( 2 ) o u ( 1 ) ，量子色动力学( q c d ) 中的 s u ( 3 ) ，大统一( g u t ) 中的s u ( 5 ) ，s o ( 1 0 ) ，超对称和超引力( 定域超对称) 、 k ：1 l u z a k l e i n 理论以及超弦理论中提出了更高的对称性等。 在传统的对称性理论中，一般未考虑系统受约束的情况，将描写系统的念 函数作为独立变量来处理的。然而，实际物理系统的运动往往受到约束的限制。 即使是在位形空间中来描述，也是存在不少受约束的系统。 用奇异l a g r a n g e 量描述的系统，简称奇异系统，奇异系统在相空间中存在 固有约束，奇异系统的正则形式及其量子化的研究始于d i r a c 。在物理学的众多 领域中，广泛存在着奇异系统，例如相对论性粒子运动满足的质壳条件，表明 北京工业人学理学硕士学位论文 动量的分量是不独立的；用光锥坐标描述的系统是奇异系统；f e 咖i 场的 l a g r a n g e 量是奇异的；所有定域规范不变的l a g r a l l g e 量均是奇异的，规范场理 论就属于这种类型。粒子物理的发展表明，描述自然界基本相互作用的电磁场、 杨一m i l l s 场、引力场、超对称、超引力和超弦等理论，都是具有奇异l a g m g e 量的系统( 或约束i a l n i l t o n 系统) 。因此，研究和处理约束成为规范理论中的基 本问题之一，他在现代量子场论中，特别是在规范场和引力场的量子化中占有 重要地位。由于奇异系统在相空间存在约束，而系统的量子化是通过相空间中 的正则变量的经典和量子对应来实现的，这就需要恰当处理约束。用d i r a c 括号 刘杨一m i l l s 场进行正则量子化，在处理上遇到了困难。对非a b e l 规范场( 杨m i l l s 场) 利用泛函积分( 路径积分) 量子化则是一种有效的发案。f a d d e e v 利用f e y m a j l 路径积分成功的实现了含第一类约束系统的量子化。对于同时含第一类约束和 第二类约束的系统以及含g r a s 姗a n n 数系统的泛函积分量子化也已建立，同时 还建立了相对论协变性的泛函积分量子化理论。 对动力学系统的描述有位形空间中的l a g r a n g e 体制和相空间中的h a m i l t o n 体制两种形式，后者在量子理论中有更重要的作用。在对称性分析中，传统的 研究是在位形空间中讨论的，且未考虑系统受约束的情况。而实际上，物理系 统的运动往往受到约束的限制，其约束分为两类：一类是位形空间中存在的附 加的条件( 如力学中完整约束和非完整约束) ；另一类是在相空间中，正则变量 闷存在的固有约束。众多的物理体系虽然在位形空间不存在附加约束，但过渡 到相空问描述时，正则变量却存在约束关系。一般来说，用所谓奇异l a g 埘1 9 e 量描述的系统，过度到相空间描述时，其正则变量闻存在固有约束，即为约束 i i 锄i i t o n 系统。约束h 嘲i l t o n 系统的基本理论在现代物理学中，特别是在量予 场论中占有十分重要的地位。对称性理论在物理学中占重要地位。经典物理到 量子理论的发展，将连续对称的研究扩充到了分立对称的研究；微观领域规律 的深入探索，将整体对称的分析扩充到了定域对称的研究，系统的整体和局域 d 一 刈你性与系统存在的守恒律有密切联系；规范对称( 定域不变性) 制约了基本粒子 的几种基本相互作用形式，并且是量子场可重整化的一个基础。关于系统对成 性的分析，传统的研究通常是在位性空间中讨论的( 系统不含附加约束) 。约束系 统对称性的研究具有全新的，重要的意义。 1 2 约束系统量子化的发展 1 约束h a m i l t o n 系统正则量子化 对奇异l a g 啪g e 量描述的系统，从经典场论过渡到量子场论，最初人们采 用d i r a c 正则量子化方法，但是，当用于非a b e j 理论时，遇到了困难，原因在 于上述力学系统存在非线性约束，p o i s s o n 括号不能直接过渡到量子括号。实际 上标准正则量子化只对j 下规系统适用，对复杂奇异系统不适用。约束h 锄i i t o n 系统量子化问题的关键在于约束如何处最。当然，最简单的方法就是解约束方 程，约化相空间，分离出真正的独立的正则变量。懈复杂的约束方程是很难做 到的，这种解约束方程来解约束系统量子化的方法原理上是可行的，但存在许 多原因( 如明显的协变性l “，计算上的方便等等) 使之在现实中行不通。 约束h 锄j j t o n 系统实际上有两种量子化框架【2 1 ( 1 ) 先分离出物理自由度( 约化相空间) ，再对物理自由度量子化，即r p s 量子化方法f 3 一。 ( 2 ) 先量子化全部力学变量，再利用约束条件消除非物理自由度对量子系统 产生的影响。 解约束方程来解决约束系统量子化的方法属于第一种情况。约化相空间量 予化方法，一般来说，要通过规范固定条件去掉纯规范自由度，只量子化物理 自由度。约化相空间，分离物理自由度和非物理自由度，作了大量工作，现在 仍没完全解决【4 1 。约化相空间有两种途径：规范固定约化相空间和无规范约化相 空间方法。规范固定方法完全去掉非物理自由度，这种方法适用于a b e l 规范理 北京工业大学理学硕士学位论文 论，对非a b e l 和引力理论则有困难m 况且规范固定条件有可能破坏某些经典 对称性【“3 1 。因此约化相空间量予化只适用于极少数奇异系统。 建立在d i r a c 约束理论上的主要量子化方法都属于第二种情况。d j f a c 等人 采用第二种量子化框架，把标准j 下则量子化法推广到含有约束的系统。用 d j l a c - b e f g m a n n 算法，算出约束h 锄i l t o n 系统的第一类约束和第二类约束；算 出场变量之间d i r a c 括号，d i r a c 括号直接对应量子正则对易关系：最后利用约 水条什挑选物理态。约束h a m i i t o n 系统正则量子化理论是选取固定规范条件处 理约束的理论。路径积分量子化基于最子力学的基本原理，物理意义明确；是 基fc 数的理论，而不是q 数的算符，易于计算；对于含有约束的复杂系统有 协变的b f v 量子化形式；目前，复杂的约束系统用路径积分量子化比较方便。 2 路径积分量子化 路径积分量子化起源于d i r 工作，而后由f e y 吣a n 进一步加以发展。1 9 6 7 年f a d d e “和p o p o v 把f e y n m a n 在1 9 4 8 年提出的路径积分方法推广到量子场 沧，成功地实现了非a b e l 规范场( 如杨- m i i l s 理论) 的量子化( 简称为f p 量 予化) ，而后杨小删s 场论可重整性得到证明。f p 方法是非a b e j 规范场量子化 的最简单的方法；用f p 方法量子化电磁场以及杨- m i l l s 场和严格方法量子化 甜到的结果相同，但对于一般动量不可积的约束系统，f - p 量子化方法得到的 纳果是否和其他方法一致需分别研究；f p 量子化方法通过考虑系统的规范不 变性，固定规范条件，用超曲面的积分代替对整个函数空间的积分，人为的丢 掉无穷大积分，是不严格的；f p 量子化方法是比较直观的，是处理规范理论 的量子化方法。 1 9 7 0 年f a d d e e v 在d i r a c 约束理论基础上，考虑系统在相空间存在固有约 束，给出了含第一类约束系统的路径积分量子化1 5 j ，1 9 7 6 年s e n j a n o v i c 解决了 忖含第一类约束和第二类约束的路径积分量子化【6 】，称为f s 路径积分量子 一6 第l 币缔育 化。f s 路径积分量子化是规范固定的量子化方法，比f p 量子化方法严格。 用f p 和f - s 方法量子化非a b e l 规范场能够得到相同的结果。非a b e l 规范 场量予化后的有效拉氏量中增添了规范固定项和规范补偿项( 鬼场) 。鬼场用来 补偿纯规范自由度的效应，可以保证幺正性。但引进鬼场，增添规范固定项， 破坏了原始拉氏量的规范不变性。含鬼场的有效拉氏量不能令人满意有两个原 因【7 l ：首先，拉氏量中明显含有鬼场，他们必须和其他场一样对待，鬼场是否为 物理场不清楚。最初引进鬼场只是一种手段，文献【8 】中以计算出鬼场对量子角 动量的贡献；但是现在还无法找到一个导致含鬼场的拉氏量的原理。 1 9 7 4 年，b e c c h i 、r o u e t 和s t o r a 发现虽然原始拉氏量不再有规范不变性， 但有效拉氏量有一种新的规范不变性，既b r s ( 目前逐渐为与其性质相近的 b r s t 规范不变性所代替) 规范不变性。b r s 变换就是将对易量与反对易量互 相联系起来的某种超对称变换，是变换参数为反对易数的特殊的规范变换，是 非线性变换。建立在b r s 对称原理上的b f v 量子化法方法提供了一个吸引人的 描述约束h a m i l t o n 系统的方法，它不直接约化相空间，而是通过增添g r a s s m a n n 数扩展相空问，扩展相空间中的b f v 泛函积分相应于一个没有约束的系统。 3 b f v 量子化方案 非a b e l 规范场正则量子化的困难来自规范代数是不是闭合的( 约束之间的 p o i s s o n 括号含有场变量) 。对于有不闭合规范代数系统的量子化方法，其中之 一理论是引入辅助场，使规范变换群为闭合的【9 】。但是，没有一个系统的方法找 到辅助场，甚至辅助场是否存在也不清楚【l 叭。 1 9 7 7 年，b a t a j i n 、f r a d k i n 和v i l k o v s k y 在b r s 对称变换基础上，建立了一 种解决规范理论中非闭合规范代数的量子化方法，既b f v 量子化方案。b f v 方 法是利用约束哈密顿系统的经典结构，既存在结构函数，建立的规范理论的协 变量子化理论1 1 1 2 】。文献【7 ，1 3 】中研究了约束哈密顿系统的结构，定义了结构函 北京工业大学理学硕士学位论文 数，说明了结构函数的不确定性。结构函数遵从的等式暗示不管规范代数是闭 合的还是不闭合的，b r s 变换生成元都存在。文献【1 7 。1 8 】中证明了对任意经 臾可观测量存在合适的包含鬼场的b r s 变换展，j ：函数，这就保证了b r s 变换小 变吩密顿量的存在。而此等价的哈密顿函数就是原来哈密顿量在扩展相空阃中 按鬼展开，结构函数为其展开系数。 4 b v 路径积分量子化 规范理论的量子化一般都包含有鬼场，鬼场用来补偿纯规规范自由度的效 应，以保证么正性。f p 量子化方法解释鬼场为量子泛函积分测度效应，利用舰 范变换不变性去掉无穷大积分因子。b r s t 对称和鬼场在规范理论的协变量子化 中有重要意义。因此，需要一个理论在开始就自动包含鬼场和b r s t 对称性。 把b r s t 对称性作为基本原理的反括号反常方法具有上述性质。它包含以前和 后来的规范理论量子化的发展，并把这些理论推广到复杂系统( 开代数和约束 理论) 。这种量子化方法称为b v 量子化方法。 b v 量子化方法和b f v 量子化方法是等价的。b f v 量子化中的b r s t 荷和 b v 量子化规范固定b r s t 荷是相同的。b v 量子化方法解主方程相当麻烦，得 到的解也很复杂，没有一个简单的方法来解复杂系统的主方程；反括号使计算 变得不必要复杂；不能自动给出泛函积分测度；这些困难联系着幺正性，重整 化，量子规范不变性和反常。文献【1 4 】中克服了上述困难，给出了系统的主方程 的一般解。 一8 第2 章约束系统的h 椭i l 咖理论 第2 章约束系统的h a m i l t o n 理论 2 】约束系统的计算方法 用奇异l a g m g e 量描述的系统，在相空间中描述时必存在固有约束，则这 系统为约束h a l t l j l t o n 系统。这里综述约束h a m i l t o n 系统中的第一类约束、第二 类约束以及第一类约束与规范变换生成元的关系。 1 奇异l a g m n g e 量系统 设系统的动力学由l a g r a n g c 函数l = l ( “) 来描述，其中g ( f = 1 ，2 ，3 ) 为 广义坐标，毒7 = d g 。：华为广义速度，这里假设l 不显含时间。 d f 利用广义坐标一，可定义正则共轭动量 只= 等 ( 2 - 1 - 1 )只2 i 了【2 。卜l j 叼 和l i 锄i 】o n 量 以= a 口i 一三( 2 1 _ 2 ) 在方程( 2 1 2 ) 中以及后面所有重复指标都表示求和，如不求和则特别说明。 定义h e s s 矩阵的矩阵元 耻翥 ( 2 1 - 3 ) 根据h c s s 矩阵可将拉氏量描述的系统分为两类：当h e s s 矩阵的行列式 岫产呶蚓譬。 州， 这时的h e s s 矩阵为非退化的，其对应的i 矗g 阳n g e 量称为正规l a g r a i l g e 量，其 一9 北京工业人学理学颁- j 学位论文 小退化h e s s 矩阵所描述的系统为正规系统。当h e s s 矩阵的行列式 撕附融黔l = 。 p ， 则称h e s s 矩阵为退化的，系统存在固有约束，其l a g r a l l g e 量称为奇异的l a g r a n g e 量，山奇异拉矢量描述的系统为奇异系统。 下面来分析奇异系统存在的约束对体系的影响。设h e s s 矩阵的秩为r ， 我们得到坐标和动量之间的m = 一一r 个约束关系 群( 9 ，= n 一吼( 玑儿) = o 扣= l ，2 ，3 ，m = 月一月) ( 2 - l 一6 ) ( 2 一l - 6 ) 式给出了正则变量的一一只个约束关系，它们来源于正则变量的定义式， 称勾初级约束。 考虑其h a m j l t o n 系统有 吲一吼嘶，+ 等删- o ( 2 1 - 7 ) 对于奇异l a g 咖1 9 量系统，正则变量矿和只之间存在约束关系( 2 - 1 - 6 ) 式，因而 硝= 等孙筹觏= 。 ( 2 - l - 8 ) 引入l a g 瑚g 乘予刀( ，) 乘负的( 2 1 - 8 ) 式并与( 2 1 - 7 ) 式相加可得约束h a l l l j l t o n 系统 的萨则方程，即 ：粤+ 牙掣 一等一矿等 ( 2 _ l - 9 ) 贮( p ，口) = o 利用p o s s i o n 括号得 尊= 白，日，p 。= 扫，) ( 2 - 1 - l o ) 式中h ，= 也+ 刀钟称为总h 锄i l t o n 量。 第2 章约束系统的h 觚m t o n 理论 2 第一类约束与第二类约束 对含有初级约束的系统，系统运动应该始终保持在山约束( 2 1 6 ) 式决定的相 互! 问的超曲面r ，上，约束随时问的演化应是稳定的，沿约束系统运动的轨线， 初级约束群的时间微商应为0 ，初级约束钟应满足如下自洽性条件 幻= 移：，h ，) ；铆，。) + 甜留：，甜) = o( 2 一1 1 1 ) ( ：一1 一1 1 ) 式可能会出现以下几种情况： 第一、得到平凡的等式； 第二、得到两端不相等的不自洽的结果，这种情况的出现，表明原有的 l a 掣a n g e 量会使得e u l e r - l a g r a n g e 方程不自洽； 第三、可以解出某些l a g r a n g e 乘予甜； 第四、给出一些新的独立于( 2 - 1 1 1 ) 式的q 、p 间的约束关系。 下面分析后两种情况。 沿初级约束的p o s s i o n 括号组成的矩阵其行列式不为零，即 t l c f i 铆，刃) l 。o ，也就是第二类约束。此时，所有的拉氏乘子可由( 2 1 1 1 ) 式解出，于是总h 锄i l 泐1 量中不含任意函数，已被完全确定。 如果d c t 防，群】。= o ，则矩阵陋，群目是奇异的，设 删【；c ，群) l 。= 女( 七( 脚= 疗一后) ( 2 1 - 1 2 ) 山于( 2 1 6 ) 式有m 一1 个乘子钟未确定所以此时会产生新的约束，事实上，在 这种情况下方程“厶幻，秽l 。= o 有m 一 个非平庸的独立解， 厶( ，= l ，2 ，3 ，所一七) ， ( 2 1 1 3 ) j j 吒，去乘( 2 - l 6 ) 式可得 北京工业大学理学硕士学位论文 “：，纠，h 。j = o ，( 2 一l - 1 4 ) 如果这些关系是不恒等于o ，就表明q ，p 的某些函数为o ，极可能出现新的约 束，将这些独立于初级约束的新约束称为次级约束，次级约束是出初级约束的 牛| j 容性条件导出的，得到次级约束是，利用了系统的运动方程，由次级约束随 时问的稳定性，又可导出新的次级约束，对有限自由度系统，这种次级约束相 容性条件经过有限次步骤后，就不再产生新的次级约束了，这时将逐次求得的 次级约束函数记为 彤= 砖一， ( 2 1 1 5 ) 直至? “= ，h ，) = c ：钟( 七s m ) 为止，这就是d i r a c - b e r g m a l l i l 求奇异l a g r a l l g e 量系统约束的算法( 注意： “并不是约束) ，这里，我们阐述一下在何种情况 一卜系统不再产生其它约束，分三种情况： ( a ) 敬，) 强等于o ，为一恒等式时，不再导出其他约束； ( b ) 讧，h ，) = o 的方程中有l a g r a n g e 乘子出现，即产生了确定i a g r a n g e 乘予的方 程，这时不再导出其他约束； ( c ) 当疗“可用彤线性表出时，不再产生其他约束。 针对每一种情况，我们具体举一例子加以说明 ( 1 ) 设 砸m 枷) = “妙+ ( 一y ) 2 ( 2 - 1 - 1 6 ) 牛应于x ，y 得正则动量分别为 p ，= 主+ yp ，= 0 ( 2 1 一1 7 ) 初级约束为 妒o = p 。= 0( 2 一l - 1 8 ) 1 2 第2 章约束系统的h a m i l t o n 理论 i f ：则i i 锄i i t o n 量为 也= 如，+ 疏一l = ；他y 一 ，! + 砂 ( 2 - 1 1 9 ) 总l l a m i l t o n 量为 ，= h 。+ 埘( 2 1 2 0 ) 其中 为l a g r a n g e 乘子，初级约束。的自洽性条件给出次级约束 声。= p ，= 轨，h ， = 扫，h ， = p ，一x = o( 2 1 2 1 ) 次级约束。的自洽性条件为一恒等于o 的式予，所以不给出新的次级约束。 ( 2 ) 考虑有质量杨一m i l l s 场的l a g r a n g e 量密度为 = 丢彤”一三聊2 鬈彤 ( 2 _ 1 2 2 ) 其l l ，：= a ，彳：一a 爿：一g c ；一：爿：( 口= 1 ，2 3 y ) ( 2 1 2 3 ) 场4 ：的正则动量为 硝= 一c ( 2 一l 一2 4 ) 其中= ( 一o ) ，其初级约束为 = 口；“0( 2 1 2 5 ) 正则h 锄i i t o n 量为 耻p 啦咖加巾g c 纠咖m 1 铂+ 巧+ ；m 1 删? 】 ( 2 - l 一2 6 ) 总h a m i l t o n 量 ，= 皿+ p 3 x 刀( x ) 万： ( 2 一卜2 7 ) 初级约束的自洽性条件给出次级约束 北京t 业人学理学颂1 ：学位论文 x 。= 溉，h ，) = a 月? 一g c 0 _ 。口j + 1 ：z o( 2 1 - 2 8 ) 次级约束膏。的白洽性条件协。， z o x 。，) = 妇，万? 一g c 爿。丌j + m2 一：，。+ d x 。( x ) 丌：j = p 口? 一g c 二a 。”j ，。 + m l r + 轴2 a ：，h 。 + ，z ? 一g c 品，z _ p x 舻( x ) ”： 一l p ? z ：g c 0 a 。5 ：h 。+ r m | 方程p ，群一g c 品衫，也) + 刀2 * o 确定了刀，不再有新的约束出现。 ( 3 ) 考虑杨m i l l s 场与其他物质场没有耦合的情况 杨m i i i s 场的作用量为 其中 i = p 碰= px 【- 毛f ( 2 一l 一2 9 ) ( 2 1 - 3 0 ) = a ，月，一a ，爿，+ f g k ，月j z = - 三巧吖。 ( 2 1 3 1 ) 棚应于杨一m i l l s 势彤的正则动量为 。! ：坚：一p “ 棚： 。 凼为c 关于指标“v 是对成的，所以初级约束为 j 17 则h a n l i l t o n 量为 皿= p 绣= p 3 和彳一丢群群+ 去巧巧) 将? = r + a 掰+ 簖群月j 带入上式，分部积分后略去表面相后，得 以= p 3 x p ( 瑶+ 色霹+ g c 备鬈彤) 一圭矸万? + 丢弼 ( 2 一卜3 2 ) ( 2 1 - 3 3 ) ( 2 - 1 - 3 4 ) 第2 章约束系统的h 枷蛆c o n 理论 = p 3 群群+ 包( 群名) 一群e 砰+ g 略鬈4 ，砰一圭群矸+ 去巧巧) ( 2 1 3 5 ) = l d x 逄s ：z ：一式8 + 嘛越斛z ? + 告吒k ) 总i a m i l t o n 量为 坼= 也+ p 3 x 刀( x ) 程( x ) ( 2 1 3 6 ) 移j 级约束群的自洽性条件给出次级约束 爿。= k ? ， = k ：，。+ p z 2 。( 咖：( 砷 = a 。z ：一g r ；一? ：* o ( 2 1 3 7 ) 次级约束x 。的自洽性条件& 。， * o 给出 仉，h ， = i ，”? g c 品z j + m2 搿，h 。+ p 硝( x ) z ： = 碴t 帮：一g c a ? 虿f ，h + 甜鬈+ 沁箴j = a f 石? 一g c 知万j 吾厅? 丌? 一鬈a ，石? + 萨嚣鬈彤石? ( 2 - 1 3 8 ) = 即群( a f ；一g c ；f ：) 2 g c 麓斌xr 此方程可用z ，线性表出，所以在没有其他约束了。 2 2b r s t 量子化的内禀性 在协变规范理论中引入鬼场的必要性最先由f e y i l m 柚在y 弧g m i l l s 理论中 认泌到f 旧，其法则最后由d e w 时确定下来f l q 。后来，f a d d e e v 和p o p o v 给出了 u 路径积分方法为基础酌引入鬼场的法则的简明推导。这使得我们能清楚地 彳出鬼场的起源。从此以后，他们的方法成为规范理论中固定规范的标准程序。 在发展规范理论时，b e c c h i ，r d u e t 和s t r o r a 迈出了重要一步1 1 8 1 。他们给出了 北京工业人学理学硕上学位论文 称咋b r s 不变的拉氏量，后来又被推广为包括规范固定项和f a d d e e v p o p o v 鬼 项的拉氏量，在今天他们被称之为b r s t 变换作用下不变，这b r s t 不变性在 h i ! i ! | 】舰范理论的呵重整化的幺亚性时非常有刚。不仪如此，它有时还可以作为 寻找正确规范固定项的指导性原理1 1 9 j ，不利用b r s t 不变性，很难设想越弦理 论会如何发展。 从历史上看，没有f a d d e e v 和p o p o v 的杰出工作，就不可能发现b r s t 对称 性。但不管怎样，现在我们知道了b r s t 不变性，就可能将它作为第一原理来 引进，而可不用f p 路径积分方法。 b r s t 量子化可以看作对一类约束系统的量子化【2 0 1 。在这类约束系统中，只 存在笫一类约束( 按_ | ! c id i r a c 的分类) 。这种理论称为广义的规范理论。而约束 可以作为广泛规范理论的局域规范变换的生成元。在选择固定的规范之前，我 f l 、j 先确定场的b r s 变换。设z 憎) 是局域规范不变的l a g r a n g e ，( x ) 表示体系 的规范场和物质场的一般记号。取f o ) 为参数的局域规范变换的无穷小形式可 以一般地写为【2 1 】 d ( x ) = f 孝4 ( x ) 睁】( 2 2 1 ) 当a 对应费米生成元的指标时，f ( 砷为g m s s m 姗数。其变换群的对易关系为 l 巴一( 一1 ) h 掣一，= 以贮， _ ，s 盖子f 舾】 ( 2 - 2 2 ) j i 中以为群g 的结构常数。当a 对应于玻色或费米生成元的指标时，l 口j 取。或l 。 现在对规范场与物质场中。，定义b r s t 变换为 锄。( x ) = f 叩c 。( x ) 刀眵】= 叩劂( x ) ( 2 2 3 ) j 中c i ( x ) 为引进的f p - 鬼场，口是不依赖于x 的g r 船s m 觚n 算符，任何费米场与 ，反对易。 第2 章壹 i 束系绕的h 岫i l t 理论 同时定义f p 、反鬼t ( x ) 和场b ( x ) 的b r s t 变换定义为 贬o ) = ( f ) 州耐只( x )占风( 曲= o( 2 2 ，4 ) 其中因子( f ) “h 使b r s t 变换与其它变换在符号上自洽。 利用b r s t 变换和( 2 ，2 3 ) 式，可得 j ( 彩。) = ，( & ) r + ( 一旷纠缸田： = f ( 面。) z + ( 一1 ) 川c ，吖t ，( 2 2 - 5 ) = 0 利用群性质( 2 - 2 - 3 ) 得 。( x ) = 妻( 一1 ) i + 1 ”足c ( x ) c ( x ) ( 2 2 6 ) 这样，幂零性同样被c - ( z ) 满足，即5 ( ) = o 。这一点可以利用( 推广的) j i c a b i 恒等式很容易地验证。这里需要指出，由式( 2 - 2 - 3 ) 和( 2 - 2 4 ，6 ) 定义的 b r s t 变换不依赖于任何规范固定条件的特殊选择。 因此这b r s t 变换满足幂零性j2 = o 。对b r s t 荷q 。有关系式 协，q 0 = 2 q 1 一= o ( 2 - 2 - 7 ) m 见可生成b r s t 变换 巧p ) = ，娩，l ( 2 2 8 ) 物理态定义为b r 汀变换下不变性，即 见i p 枷) = o ( 2 2 9 ) 同样，任何j ( ) 形式的算符在物理子空问= l 肚声) 上都是零模算符- 故 j m 我们可以在2 ( ) 中加上任意一个零模算符而不改变物理内容。我们将加上的 这个零模算符称为“规范固定和f p - 鬼”的拉氏量厶一，进而我们可作相应的 北京工业大学理学碗士学位论文 b r s t 变换并可对他们作系统的研究。 2 3 相空间变换的正则w a r d 恒等式 路径积分量子化在现代量子场论( 特别是非a b e l 规范场论) 中占重要地位。 场论中传统的路径积分形式是在位形空间中给出的。在一定条件下，可将相空 n u 路径积分中对正则动量的积分转化为位形空间中的路径积分，将相空间中 g r c c n 函数的生成泛函转化为位形空间中g r e e n 函数的生成函数，进而导出系统 的l ? e y l 吼a n 规则、w a r d - 1 酞a l l a s h i 恒等式，给出理论可重整化的证明等。相空 埘路径积分比位形空间路径积分更基本【2 2 】，也可以说，后者是前者的特殊情况 ( 动量可积情形) 。因此，分析研究系统在相空间路径积分的正则对称性就具有 更普遍的意义。 在量子场论中w 。衄恒等式不仅是证明理论可重整化的重要工具，而且还在 一些具体计算中( 如q c d 中) 也起重