（理论物理专业论文）一维类梳状光子晶体的带结构及缺陷模研究.pdf

摘要 y4 44 9 8 5 挑子晶体是近一、二十年出现的一种人造晶体，由于它存在光子频率带隙， 近年来引起了人们广泛的注意。一般而言，光子晶体都是由两种或两种以上具 有不同介电常数的电介质周期性排列而成。因此介电常数的对比度、结构的周 ，1 期、不同介质的填充比等参数对带结构有决定性的影响，；本文介绍了光子晶体 的光学特性。在此基础上从界面响应理论出发，主要研究了一种由三种不同介 质组成的一维类梳状光子晶体的带结构、局域态及缺陷态对带隙的影响，发现 在这种结构中也存在较大光予频率带隙，从而验证了上述结论。但同时我们发 现，即使是用同种材料来构成此光子晶体结构时也有很大的光子频率带隙存 在。这是不同于其它普通意义上光子晶体的特性，说明在此类光子晶体中光子 频率带隙的出现主要是由其几何结构的变化引起的。这开辟了一条制备新型光 子晶体的新途径。通过对其色散关系及透射系数的计算，本文详细研究了此结 构的带隙随主链的周期及所接分支长度、分支的数目及节点的数目等的变化关 ， 系。通过对在此光子晶体结构中引入缺陷分支的分析，发现由于缺陷态而形成 的局域态以尖峰的形式出现在透射谱中，且局域态的出现及位置与缺陷分支的 长度、数目、介电常数的对比度及所接缺陷分支在主链上的位置等有关。这种 、 结构对我们制造光学滤波器等光学器件非常有用。， o 关键词：光子晶体界面响应理论光子频率带隙缺陷局域态 a b s t r a c t f o rt h el a s tt w e n t yy e a r s ，n u m e r o u st h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a li n v e s t i g a t i o n s h a v ef o c u s e do np h o t o n i cc r y s t a l s d u et o e x i s t i n gp h o t o n i cb a n dg a p s i nt h e e l e c t r o m a g n e t i cb a n ds t r u c t u r eo f t h e s ea r t i f i c i a ls t r u c t u r e s i ng e n e r a l l y , p h o t o n i c c r y s t a l sa r er e g u l a ra r r a y so f s e v e r a lm a t e r i a l sw i t hd i f f e r e n tr e f r a c t i v ei n d i c e si na l l t h e s ec o m p o s i t es y s t e m st h ec o n t r a s to fd i e l e c t r i cp r o p e r t i e sa m o n gt h ec o n s t i t u e n t m a t e r i a l sa n dt h ec o m p o s i t i o no f t h ei n h o m o g e n e o u sm a t e r i a la n dt h ef i l l i n gr a t i oa s w e l la st h e p e r i o d i c i t y a r e e m e r g i n g a sc r i t i c a l p a r a m e t e r s i n d e t e r m i n i n g t h e e x i s t e n c eo f g a p s b a s e do nt h ei n t r o d u c t i o no ft h eo p t i c a lp r o p e r t i e so fp h o t o n i c c r y s t a l s ，b yu s i n gi n t e r f a c er e s p o n s et h e o r y , t h ep h o t o n i cb a n ds t r u c t u r e sa n dt h e d e f e c tm o d e si no n e d i m e n s i o n a lc o m b l i k ew a v e g u i d ew h i c hm a d eo f d a n g l i n gt w o d i f f e r e n ts i d eb r a n c h e sg r a f t e dp e r i o d i c a l l ya l o n gai n f i n i t em o n o m o d ew a v e g u i d e w e r ei n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e r t h ed i s p e r s i o nr e l a t i o no fi m r m i t ec o m b l i k ew a v e g u i d ew a so b t a i n e d t h r o u g hc a l c u l a t i n gt h et r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n tto f t h ew a v e g u i d ew h e nt h e s i d eb r a n c h e sa r eg r a f t e da taf m i t en u m b e ro fns i t e s i tw a s d i s c o v e r e dt h a tt h ep h o t o n i cf o r b i d d e nb a n d sn o to n l yr e l a t et ot h ec o n t r a s ti n d i e l e c t r i cc o n s t a n t so fs i d eb r a n c hm a t e r i a l sa n dt h eb a c k b o n e , b u ta l s or e l a t et ot 1 1 e l e n g t ha n dt h en u m b e ro f t h es i d eb r a n c h e s ，a n dt ot h ep e r i o d i c i t yr e l a t i v e l yw i d e g a p ss t i l lr e m a i nw h e n t h ec o n s t i t u e n tm a t e r i a l sa r ei d e n t i c a l i nt h i sc a s e ，t h eb a n d g a p so r i g i n a t eb o t h f r o mt h e p e r i o d i c i t yo f t h es y s t e m a n dt h er e s o n a n c es t a t e so f t h e g r a f t e db r a n c h e s ，w h i c hp l a y i n g t h er o l eo fr e s o n a t o r s , a n dt h eg a pw i d t hi s c o n t r o l l e d b yg e o m e t r i c a lp a r a m e t e r s o ft h es t r u c t u r e b a s e do nt h e s en o v e l p r o p e r t i e sw h i c hb e i n gd i f f e r e n tf r o m t h eu s u a lp h o t o n i cc r y s t a l s ，i tp r o v i d e san e w w a y t of a b r i c a t en e w t y p ep h o t o n i cc r y s t a l s n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ew i d t h o ft h eg a p si sr e l a t e dt ot h el e n g t ha n dt h en u m b e ro ft h es i d eb r a n c h e s ，t ot h e p e r i o d i c i t y , a sw e l la st ot h en u m b e r so f t h es i t e s t h ep r o p e r t i e so f d e f e c tm o d e sb y r e m o v i n go ri n s e r t i n gs o m ed e f e c tb r a n c h e si nt h ec o m b l i k ew a v e g u i d eo ff i n i t en s i t e sg r a f t e db r a n c h e sw e r ea l s oi n v e s t i g a t e d i tw a sf o u n dt h a tt h el o c a l i z e ds t a t e s a p p e a r i nt h et r a n s m i s s i o ns p e c t r u ma sv e r yn a l r o w p e a k s t h eb e h a v i o ro ft h e l o c a l i z e ds t a t e sw a sa n a l y z e da st h ef u n c t i o no ft h e l e n g t h , t h ep o s i t i o na n dt h e n u m b e ro ft h ed e f e c t i v eb r a n c h e s s u c hk i n do f w a v e g u i d e sc o u l db ev e r yu s e f u li n m a k i n g ，f o ri n s t a n t s ，f i l t e r i n g ，o rm u l t i p l e x i n gd e v i c e s k e y w o r d sp h o t o n i cc r y s t a l s i n t e r f a c er e s p o n s e t h e o r y p h o t o n i cb a n d g a p s d e f e c tl o c a l i z e ds t a t e s 湖南大学硕士学位论文 绪论 2 0 世纪半导体材料的出现，把我们带入了以电子为信息载体的电子信息 时代，从真空管到超大规模集成电路，引起了人类史上前所未有的变革。电子 器件的迅速发展，广泛应用于各个领域，特别促进了信息( i t ) 产业的发展。 然而，电子器件是基于电子在物质中的运动，在纳米区域内，量子效应及热波 动极大地影响了电子的效应。人们转而把目光投向光子，提出用光子作为信息 载体代替电子的设想。光子是以光速运动的粒子，光路可以交叉。电子是费米 子、光子是玻色子，因而光子载体有更多可利用的资源如振幅、相位、频率、 偏振等，有较电子载体更为明显的优势，表现在【1 l ： 1 高速和多通道特性。光子器件响应的时间极限为飞秒级( 1 0 。4 - 1 0 。s s ) ， 且可以多通道并行处理。这一特性对于未来信息时代的光计算机极为重要。1 9 9 0 年美国贝尔电话实验室报道世界第一台数字光处理器，开关速度已达1 0 ，次秒， 开关能量为1 0 1 2 焦耳，展现了诱人的应用前景。而电子器件响应的极限受电磁 惯性的影响只能达到1 0 一1 0 ”s ，且只能单通道运行。 2 光子载体的频率高( 约1 0 1 4 h z ) 、频带宽，信息传输量较电磁波( 1 0 ”h z ) 要大得多。同时通信模式除强度调n 直接析测之外，且还易于实现相干光通 信、复用光通信及光量子通信。理论证明一个光子在室温下可携载3 0 b t 的信 息量，而且这个数值随温度的降低呈指数形式增加。 3 光子贮存能力极高。这主要是由于光子作为载体可利用的资源远较电 磁贮存为多。目前全光光盘己达存储密度1 0 8 b t c m 2 ，这还未达到光子存储的极 限。在l i n b o ，晶体中，利用光折变全息的角度编码、空间编码的写入方法已 可存入一万页的图文。 4 光子集成途径多。光子集成度高于电子集成度，单量子阱激光器或量 子点处理元件的尺寸均可在0 1 岫以下。 湖南大学硕士学位论文 光子与电子比较这些众多的优势，把现代科学技术推上了一个新的发展阶 段。光子学的发展经常受到电子学的影响和启发，但由于光子自身的复杂性和 难以操作性，光子学与光子技术的发展总比电子学及电子技术的发展晚一步， 然而它对不断促进科技进步有更大的推动力。自1 9 7 0 年提出光子学概念以来， 光子学、光子技术在各方面都取得了突破性进展。9 0 年代掀起的光子学已进 入发展的黄金时期。科学家预言1 2 】，2 1 世纪将是光子时代。认为“光子学已成 为一根改变世界技术的杠杆，它将转动世界力量的均衡，在世界各国经济实力 和国防实力的较量中占据极其重要的位置。”而作为光子学与光子技术物质基 础的光子材料的发展将极大加快人类迈入光子时代的步伐。光子材料将是最有 前途的信息材料。美国就把光予材料列为国家关键技术。类似于i t 产业中的 半导体材料，在由全光通讯及光子计算机等构成的光子产业中也存在一种基础 的光子材料光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l s ) 。 光予晶体是指具有光予能带和带隙的一种新型光子材料，它具有奇特的调 节光的传播状态的特性。类似于半导体材料中由于周期性势场的作用，电子会 形成能带结构，带与带之间有能隙存在的情况，将具有不同介电常数的介质材 料在空间按一定的周期排列，由于存在周期性，在其中传播的光波的色散曲线 将成带状结构，带与带之间有可能会出现类似于半导体禁带的“光子频率带隙” ( p h o t o n i ob a n dg a p s ) 。当光的频率位于光子频率禁带范围内时，它将被严格 禁止传播。简单地说，我们将这种具有光子频率带隙的周期性介质结构材料叫 光子晶体，其光子禁带( 带隙) 越宽，晶体性能越好。关于光子晶体与半导体 的特性比较见表一。由于光子频率带隙的存在，产生了许多崭新的物理性质， 它广阔的应用前景使光子晶体成为当今世界范围内的一个研究热点，得到迅速 发展。1 9 9 9 年1 2 月1 7 的美国科学杂志把光子晶体列为1 9 9 9 年的十大科 学进展之- - i ”。 根据光子晶体禁带的空间取向不同，可分为一维、二维、三维光予晶体。 目前，世界范围内对光予晶体的研究主要在以下四个方面： 湖南大学硕士学位论文 理论上设计具有宽带隙的、技术上易于制造的光子晶体结构。 实验上实现可见光及近红外波段光子晶体的制备。 探讨光子晶体频率带隙所产生的物理机制及光与物质的相互作用。 开发光子晶体的实际应用。 表一光子晶体与半导体的比较 光子晶体半导体 结构不同介电常数介质的周期性分布周期性的势场 对象光在晶体中的传播电子的输运 玻色子，满足玻色分布：费米子，满足费米分布： 量子行为 仁1 e p b - lf - = 1 e 9 e + l m a x w e u 方程： 薛定谔方程： 理论基础 v 击v ) h ( r ，= 詈肿， i- h ：2 l 州卜+ p 本征矢e ，h 矢量1 l r ，标量 尺寸电磁波波长原子尺度 粒子数粒子数不守恒粒子数守恒 光子能带，禁带电子能带，禁带 特征 局域态，表面态局域态，表面态 光子间无相互作用电子闻有相互作用 相互作用 光子一声子作用可忽略电子一声子作用 光子一电子作用不能忽略电子一光子作用 光子晶体的发展才刚起步，理论研究尤为重要，近年来光子晶体的理论研 究取得了令人瞩目的进展。人们对光子能带的理论计算最初是搬照电子能带的 计算方法。如将光子当作标量波，利用薜定谔方程求解“】。计算结果表示， 包括面心立方( f c c ) 在内的许多结构的光予晶体都将出现光子带隙。然而， 随后的研究表明，这种标量波近似不仅在定量上，而且在定性上都与实验结果 不符。由于电子是有质量的且自旋为1 2 的费米子，为标量波，而光子是无质 塑塑盔兰堡主兰垡丝苎 一 量的且自旋为1 的玻色子，具有矢量波的性质。因此，计算光子晶体的能带结 构必须在矢量波理论的框架下，从m a x w e l l 方程出发。由于光子相互间没有 复杂的相互作用，理论计算可以非常精确的预言光子晶体的性质，对实验起重 要的指导作用。关于光子与电子能带结构性质的比较见表二。电子是有质量的， 其色散关系为抛物线。而光子没有质量，其色散关系为线性的，但由于其周期 性存在及在光子的能带结构中引入了有效质量，其色散关系也有一些变化。电 子的自旋为1 2 ，但这个自旋经常被忽略，从而在计算中将薛定谔方程看成标 量波近似。在电子能带论中自旋并不是十分重要的。但在光子能带论中，若忽 略光子为1 的自旋，其结果将得不到很好的近似处理。通常我们认为电子能带 论在电子能带结构中能得到较好的近似，但事实上并非如此。如在高温超导下， 电子间有很强的相干作用，此时能带论甚至没有很好的零次近似。而光子间的 相互作用几乎没有，从某种程度上讲，光子能带论比电子能带论要精确得多。 虽然光子晶体的理论研究取得了一定的进展，但某些关键性问题如“到底是什 么物理机制在光子禁带的形成中起决定作用? ”等尚需人们尽快解决【7 】。 衰二光子与电子的能带结构性质的比较【8 】 性质电子带结构光子带结构 色散关系抛物线线性 角动量自旋1 2 ，标量波近似自旋为1 ，矢量波 能带理论的精确性电子与电子间有相互作用；近似性光子与光子间无相互作用；精确性 目前，理论和实验研究大多集中在二、三维的光子晶体，而对一维光子晶 体则研究较少。本文则主要研究了一种一维类梳状的光子晶体结构，根据界面 响应理论( t h ei n t e r f a c er e s p o n s et h e o r y ) 计算出此结构的色散关系及电磁 波在其中传播时的透射系数等。发现这种结构也具有较宽的带隙，其带隙宽度 与结构的参数有关，如所接分支的数目、长度、结构的周期及介电常数的对比 4 湖南大学硕士学位论文 度等。并且，即使是采用同种材料构成此结构时，也有较宽的带隙存在，正是 这种不同于一般意义上的光子晶体的带隙是由介电常数的对e e 度决定的性质为 我们设计新型光子晶体提供了新的思路。通过对此种结构缺陷态的研究，发现 通过移去或插入一定数目的缺陷分支，在带隙中将形成局域态，以窄的尖峰的 形式出现在透射谱中，且局域态的出现与所接分支的数目、缺陷分支的长度及 缺陷分支所接的位置等有关。 湖南大学硕士学位论文 第一章光子晶体概述 1 光子晶体的研究进展 自从1 9 8 7 年y a b l o n o v i t c h 和j o h n 分别在讨论周期性电介质结构对材料中 光传播行为的影响时，指出介电函数的周期性变化能调制材料中光子的状态模 式，各自独立地提出“光子晶体”概念以来f 1 1 1 ，光子晶体的研究有了突破性 进展。目前微波区域的光子晶体已被实验所证实，而可见光频波段的光子晶体 正在研究之中。由于光子晶体存在“光予频率带隙”，落在此频率范围内的电磁 波被严格禁止传播，原子的自发辐射、零点振荡等性质均不存在，并且这些性 质随带隙的增大而变得更明显【8 ，1 2 】。因而在光予学领域有着广阔的应用前景。 寻找技术上易于构造，具有宽带隙的光子晶体引起了理论和实验的极大关注。 各种一维、二维、三维光子晶体被广泛研究”叫5 1 。 1 1 各种常见的光子晶体结构示意图 图1 列出了几种常见的一维、二维、三维光子晶体的结构示意图。 i i i i i i i 图( 1 ) 圜凿 图( 4 )图( 5 )图( 6 ) 图( 3 ) b图( 3 ) c 图( 7 ) 图1各种常见的光子晶体结构 f i g 1 s c h e m a t i c i l l u s t r a t i o no f l - d ，2 - d ，3 - d p h o t o n i cc r y s t a l s ： 湖南大学硕士学位论文 图( 1 ) 为一种简单的一维光子晶体结构，由两种介质交替叠层而形成， 其中黑色部分为一种介质，黑色与黑色之间的空间则为另一种介质所填充。图 ( 2 ) 为一种典型的二维光子晶体结构，由许多介质杆平行而均匀地排列而成。 图( 3 ) 所示为由介质杆阵列构成的二维光子晶体横截面的几种结构，其中图( 3 ) a 是矩形排列；图( 3 ) b 为三角形结构；图( 3 ) c 为石墨结构等。有时还采用同种材 料但直径大小不同的两种介质圆柱杆构成二维光子晶体，如图( 4 ) 来获得较 大的光子频率带隙【1 ”。图( 5 ) 为最初的三维光子晶体结构，主要由两种介质 的方块所构成的空间周期性结构，这种结构主要缺点是制造不易，尤其是在短 波长量级以下( 如n m 量级下) 难以实现，图( 6 ) 为ey a b l o n o v i t c h 制造出 的具有完全光子频率带隙的三维光予晶体结构示意图。图( 7 ) 为种具有 个点缺陷的光子晶体的横截面示意图。图( 8 ) 为一个典型的逐层叠加结构的 三维光子晶体的一部分，多个这样的部分平行叠加起来就构成一个完整的三维 光子晶体。 1 2 一维光子晶体 通常将只在一个方向上具有p b g 的材料称之为一维光子晶体。这种光子 晶体在结构上最为简单，易于制备。如布拉格光纤及半导体激光器中的分布反 馈式谐振腔实际上就是一维光子晶体。最初，j dj o a n n u p o u l o s 研究小组曾指 出一维结构不可能存在三维的能隙结构【1 2 1 ，但最近还是j o a n n u p o u l o s 小组指出 一维光子晶体结构系统也具有全方位的三维能隙结构。因而在某些领域，可 用一维光子晶体代替二、三维光子晶体来制造光学器件，为光子晶体的制备及 应用开创了新的途径。目前，研究较多的一维光子晶体有传统的一维光子晶体 1 1 2 ，由主链及分支构成的梳状、类梳状的一维、准一维光子晶体结构等【1 3 ，”】。 1 3 二维光子晶体 二维光子晶体是指在二维空间两个方向上都具有p b g 的材料，由于二维 光子晶体相对来说易于构造，并且也具有三维光子能带带隙，因而二维光子晶 7 湖南大学硕士学位论文 体成为当前研究最多的一种结构。典型的二维光子晶体是由许多介质杆平行而 均匀排列而成的( 见图1 ) 。这种结构在垂直于介质杆的方向介电常数为空间 位置的周期性函数。长波长的二维光子晶体通过上下两个带孔的薄片将细小的 介质杆或金属杆固定住，薄孔的排列决定该光子晶体的结构。而短波长的二维 光子晶体多采用在半导体基片上打孔的方法制造，此时，圆柱介质变成空气柱 或真空圆柱。 最开始，j d j o a n n u p o u l o s 等研究了被空气包围的介质柱构成的方格子结 构【l ”，发现在第一与第二个带间的t m 模( 磁场垂直于电磁波传播方向的偏振 态) 存在明显的带隙而t e 模( 电场垂直于电磁波传播方向的偏振态) 却没有 对应的带隙( 见图2 ( a ) ) 。考虑组成基态的t m 带的平移场的形式发现，在基 态，场的能量大部分聚集在介质区域，而组成第二个t m 带的场的能量却大部 分聚集在空气区域，从而形成了强烈的对比。对在介质区域电场能及填充比的 计算证实了以上的观点。如在x 点，对于第一、二个带来说，其t m 模的填 充比f 分别为f = 0 8 及f = - 0 3 。第一个带的大部分能量都聚集在介质区域且频率 较低，而第二个带的能量大部分聚集在空气区域且有较高的频率。对t e 模来说， 在x 点，其f 分别为f - - - o 2 及f = 0 1 。这种情况下所有的模在空气区域均有较 大的振幅，增加其频率，由于场线必须连续，故场的分布穿透空气区域，从而 在第一、二个带间没有强烈的对比，因而对t e 模不存在带隙。类似于半导体 电子能带论中的导带、价带的概念，在光子能带结构中，将这种位于能带带隙 下方的高介电常数区域称为“介电带”( d i e l e c t r i cb a n d ) ，将位于能带带隙上方的 空气区域称为空气带( a i rb a n d ) 。基于光子场为矢量场的性质，j d j o a r m o p o u l o s 等根据这种从电磁场的观点的解释提出了所谓的“大拇指定则” 2 0 1 ：t m 模的 带隙易产生在晶格的离散的高介电常数区域，而t e 模的带隙易出现在被连接 的晶格中。根据大拇指定则可采取兼顾的办法来设计对t e 、t m 模均存在带隙 的结构。即用窄的纹理来连接离散的高介电常数区域形成晶格结构。典型的结 构为三角晶格，这种在介质中由空气柱组成的三角晶格对t e 、t m 模均存在带 隙口o “，见图2 ( b ) ，且这些带隙在沿着r k 及r m 方向上在近红外区域已被 湖南大学硕士学位论文 实验所证实 2 3 , 2 4 j 。通常，我们将t e 、t m 模所产生带隙重合的区域称为“绝对 带隙”或“完全带隙”。对于这种“完全带隙”的研究，最初发现由介电材料中 的空气柱组成的三角晶格及方格子结构存在完全带隙。后来，各种具有完全带 隙的结构也被发现 1 4 , 2 5 , 2 6 】。当然，人们要求这种“完全带隙”愈宽愈好。 图2( a ) 被空气包围的介质柱组成的方格子结构的光子带结构图。 实线为t m 模，虚线为t e 模，对应的f 8 9 巾) 由空气柱组成的三角晶格结构的 光子带结构图，实线为t m 模，虚线为t e 模，对应的o = 1 3 ，r = 0 4 8 a f i g 2 ( a ) p h o t o r d cb a n ds t r u c t u r ef o ras q u a r el a t t i c eo fd i e l e c t r i c ( = 8 9 ) r o d si n a i r 耐t hr a d i u sr - = o 2 a w h e r eai st h el a t t i c ec o n s t a n t t mm o d e sa r es h o w ni ns o l i d c u r v e sw i t hf i e l d sa l o n g 幔，h x ，鳓a n dd a s h e dc u r v e sr e p r e s e n tt em o d e sw i t h f i e l d sa l o n g ( n 2 ，e x ，点d ( b ) p h o t o n i cb a n ds t r u c t u r ef o rat r i a n g u l a rl a t t i c eo fa i r c y t i n d e r s ( 厂= 0 4 8 a ) i nd i e l e c t r i c ( 萨1 3 ) t h ep r e s e n c eo f a c o m p l e t ep h o t o n i cb a n d g a 口f o rb o t ht e a n dt m p o l a r i z a t i o ni nt h i sc a s e 对于这些给定的对称晶格类型，其带隙依赖于基底的结构及两种介电常数 的对比度。通常要消除因对称性带来的能级简并，且两种介电常数对比度较大时 才会有带隙出现。人们为寻求更易于制造的、具有宽带隙的二维光子晶体，还用 了许多办法来构造，如w c t a n 提出用多层光栅制造二维光子晶体，发现当相邻 两层光栅的包络位相相反时，这种结构的p b g 也有较大的宽度 2 ”。y s c h a n 等 提出的二维准光子晶体 2 8 , 2 9 】、李志远等提出了利用各向异性材料制作二维光子 晶体的方法 3o 】等，研究表明它们都具有较大的光子频率带隙。目前除用与频率 有关的介电物质或金属构造外，已发展到使用可调的磁性材料如铁磁体、铁电体 湖南大学硕士学位论文 等来构造二维光子晶体，通过外加磁场的变化来调节带隙的宽度 3 1 - 3 3 l 。 1 4 三维光子晶体 三维光子晶体是指在空间全方位都具有光子频率带隙的材料。落在带隙中 的光在任何方向上都被禁止传播。三维光子晶体，特别是红外与可见光波段的 三维光予晶体具有巨大的应用潜力，因而成为当今光子晶体的研究热点。根据 理论计算，由球形颗粒构成的f c c 结构具有很高的对称性，对称性引起的能 级简并使它只存在不完全能隙，为得到具有完全能隙的光子晶体结构，需要从 两方面考虑：一是提高周期性介电函数的变化幅度，即要有高的折射率反差。 二是从结构上消除对称性引起的能级简并。为此在f c c 结构的晶胞中引入两 个球形粒子构成金刚石结构，能产生很宽的完全带隙 3 4 1 。通过引入非球形的晶 胞颗粒也能消除能级简并从而产生完全的光子带隙 1 5 , 3 3 7 。最初，1 9 9 0 年，k m h o ，ys c h a r t ，c m s o u k o u l i s 小组第一个成功地从理论上预言这种金刚石结构 的三维光子晶体中存在完整的光子频率带隙，且带隙出现在第二条与第三条能 带之间。世界上第一个具有p b g 的三维光子晶体是由美国贝尔通讯研究所的 y a b l o n o v i t c h1 9 9 1 年制造出来的。它是在一块高介质材料的底板平面上分布着 呈三角点阵的空气洞，以偏离中心轴( 与底板垂直) 3 5 2 6 。的方向对每个洞钻 眼三次，这三次钻入方向彼此夹角1 2 0 。而形成的金刚石结构。这种“金刚石” 结构存在较大的p b g ，其宽度约为中心工作频率的2 0 t ”l 。早期这种结构的光 子晶体的工作频率多落在微波波段，近来已将其工作波长推广到红外波段f 3 8 】。 由于其波长和晶格常数相当，故工作波长越短，其制造也变得愈困难。hs a n l i s 6 z f i e r 等还研究了由简立方晶格组成的三维光子晶体，发现在由方形介质及圆 柱形介质组成的简立方晶格中均有带隙存在吣l 。其带结构如图3 。在研究二维 光子晶体的基础上，人们也提出了许多方法来构造三维光子晶体。如在介电材 料中引入彼此分离的金属颗粒构成复合光子晶体，将具有较宽的带隙，但由于 1 0 湖南大学硕士学位论文 在可见光及红外波段金属材料存在强烈的耗散，这种光子晶体的效率较低口”。 e 6 z b a y 等提出了“逐层叠加法”( 1 a y e r b y - l a y e r ) m 】用许多片二维周期性结构 叠加在一起而构成三维光子晶体。目前已被广泛应用。原则上说，这种方法为 短波长的三维光子晶体的制造提供了一个可行的途径。近来，由于三维的胶体 在光学波长尺度有较好的长程周期序，人们开始通过胶体溶体自组装化学 方法来制造光子晶体，如已成功制造了在t i 0 2 中由空气球组成的光子晶体。 叠 芑 星 。 暑 r m 喜 “- 6 善鲁 = j 厂m r 图3 ( a ) 方形介质杆组成的简立方晶格的光子带结构图。6 b = 1 3 ，岛= l ，口= o 8 2 ，杆的半 径为r c = l 。( b ) 圆形介质杆组成的简立方晶格的光子带结构图。b = 1 3 ，岛= 1 ， 脚1 9 ，杆的半径为r c = l 。 f i g 3 ( a ) p h o t o n i cb a n d sf o rt h es q u a r e r o ds t r u c t u r ei nt h es i m p l e - c u b i cl a t t i c e ， s b = 1 3 ，铲1 ，卢i o 8 2 ，t h ed i e l e c t r i ct o d sr a d i u si sr c = l 。c o ) p h o t o n i cb a n d s t r u c t u r ef o rt h ec i r c u l a r d i e l e c t r i c r o ds t r u c t u r ei nt h es i m p l el a t t i c e 6 b = 1 3 ， 晶= 1 ，口= o 1 9 ，t h ed i e l e c t r i cr o d sr a d i u si sr c = 1 1 5 光子晶体中的缺陷态 半导体材料的广泛应用与其掺杂特性密切相关。向高纯度半导体晶体中掺 杂，禁带中会产生相应的杂质能级，从而显著改变半导体材料的电学、光学特 性。类似地，向光子晶体中引入杂质或缺陷，在光子频率带隙中也将产生相应 的缺陷态能级。当光子晶体中存在点缺陷时，其作用相当于一个微腔。并且这 种在光予晶体中因引入缺陷而形成的微腔对于缺陷态的频率、对称性等提供了 湖南大学硕士学位论文 完全可调谐性，微腔的品质因数可达到很高，在光学领域有着广阔的应用前 ：翟慰餮雾阉胁。船。 。、f d 熏0 0 0 ； ：i i i l l l i i l l 圈。3 二；j u u 二 - ：u j 04 n n wr 口d l r n 图4 光子晶体中的缺陷能级图口o 】 f i g 4 d e f e c tm o d ei nt h eg a po f p h o t o n i cc r y s t a l t h ed e f e c ti sb y v a r y i n gt h er a d i u so f a s i n g l ed i e l e c t r i cr o di nt h es q u a r el a t t i c eo fat w o - d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l t h el a t t i c e c o n s t a n ti sa ；r = 0 2 ac o r r e s p o n d st ot h en o n - d e f e c ts t a t e ，w h i l ef o c o r r e s p o n d s t oa v a c a n c y , 景。当缺陷是由引入额外的高介电材料所致( 图4 右) ，其特性类似于半导体掺 杂中的施主原子，相应的缺陷能级起始于空气带底，并随缺陷尺寸的变化而移 向介电带。当缺陷是由移去部分高介电材料所致( 图4 左) ，其特性类似于半导 体掺杂中的受主原子，相应的缺陷能级起始于介电带顶，并随缺陷尺寸的变化 而移向空气带。 、coll一一一n 口0 0 ，) 0：i 器嚣：；器饕 湖南大学硕士学位论文 2 光子晶体的理论研究方法 光子晶体在自然界极少存在。一般而言，它是一种人造结构，满足介质中 的m a x w e l l 方程组。近年来，研究光子晶体的理论方法取得了令人瞩目的进 展，其理论研究主要集中在计算其光子带结构，常用的方法有：平面波展开法、 转移矩阵法、差分或有限差分法、n 阶法、界面响应理论等。 2 1 平面波展开法 平面波展开法主要是将电磁场以平面波的形式展开，从而求其本征函数及 本征矢来确定光子的带结构。这是在光子晶体能带研究中用得较早与较多的一 种方法。k mh o 等人在预言光子带隙存在的文章中就用的这种方法。 电介质满足的m a x w e l l 方程为： v x v 堋叫) + 击豢砸) l j ( r , t ) _ o ( 1 1 ) v r ( r ) n c ( r , t ) 告景狮，f ) = o ( 1 2 ) 其中r ( r ) ；去，且( r ) 为周期性介电常数，满足： 芒l rj ( r ) = ( r + r ) ( 1 3 ) r 为晶格格矢。c 为真空中的光速。将方程( 11 ) 、( 1 2 ) 的本征函数展开为 如下形式的b l o c l a 函数有： e 。k ( r ，r ) = e x p i ( k r c o f ) 】e 。k ( g ) e x p i ( g r ) 】 ( 14 ) h n ( r ，t ) = e x p i ( k r 一。k f ) 】h ( g ) e x p i ( g r ) ( 1 ，5 ) 其中g 为倒义格矢，r 为第一布里渊区晶格波矢，疗为不同的带数。 将( r ) 展开为： 湖南大学硕士学位论文 5 ( 。) 2 荨ge x p - i ( g 。) 】 ( 16 ) ( g ) = 产l 卉( r ) e x p - i ( g r ) 】 ( 1 7 ) 7 埘 同理，对r ( r ) 也有类似表达式。 对于方程( 1 4 ) ，( 15 ) 而言，e 。( g ) 与h ，k ( g ) 满足无限维的矩阵方程组： ( k + g ) 【( k + g ) e 盹( g ) + 善善( g - g ) ( g 扣o ( 1 8 ) ( k “) “l 榔一g 佩+ g f g ) h w ( d ) 卜筹u h g ) = o ( 1 9 ) l g 1 o 。 定义 e gm e ( g ) ， h g 暑h 吨( g ) ， e g g , e ( g g 。) 则方程( 1 8 ) ，( 1 9 ) 变为： ( 1 【+ g ) 【( 1 【+ g ) x e o 】+ 万o ) 2 蚕c g e c - = o ( 11 0 ) ( “g ) 陪( k + g i ) k + 等h c = 。 ( 1 1 1 ) lg jl - b l o c h 函数满足以下的正交关系： l * d r e x p 一f ( k k ) r e ( r ) e 。v + ( r ) e k ( r ) = c 。k 艿。8 ( k k ) ( 11 2 ) j 0 a r e x v 一i ( k k ) r h 。k ( r ) h ( r ) = c 。k j 。j ( k k t ) ( 1 1 3 ) 其中c 0 、g 。为实的正的归一化常数。 通常称( 1 1 0 ) 为e - m e t h o d ，( 1 1 1 ) 为h m e t h o d 。为便于计算，利用 vx v x e 2 0 及v 彤= o 将3 n x 3 n 维的矩阵方程组化为2 n x 2 n 的一般的哈 密顿形式可知，e - m e t h o d 与最初h o e ta 1 提出的方法是一致的，而h - m c t h o d 与z h a n g a n ds a p a t h y l 4 2 等提出的方法一致。利用矩阵对角化或超原胞近似方法 1 4 湖南大学硕士学位论文 求解本征方程( 1 1 0 ) ，( 11 1 ) ，便可得到其本征值( 频率) 及本征矢( 平面波 的波矢) 的值，从而确定光子晶体的带结构。但这种方法有明显缺点：计算量 与平面波的波数有较大关系，当平面波的波数为无限多时，由e m e t h o d 及h _ m e t h o d 计算所得到的光谱都相同，但即使是使用几千个平面波来计算时，这 两种方式将得到的光谱差异很大，因此平面波展开法受到较严格的约束，对某 些情况显得无能为力。 2 2 转移矩阵法 电磁场在实空间用格点位置来表示。将麦克斯韦方程组化为矩阵形式，这 样可利用麦氏方程组以矩阵的形式将场从一个位置外推到整个晶体空间。这种 方法对介电常数随频率变化的金属系统特别有效，且计算量小，精确度高，并 且还可计算光的透射系数及反射系数等。 2 3 差分或有限差分法 这种方法是将一个单位原胞划分成许多网状小格，列出网格上每个节点的 有限差分方程，再利用布里渊区边界条件将m a x w e l l 方程组转化为矩阵形式， 此矩阵为准对角化的，其中只有不多的非零矩阵元，因此计算量大大减少。但 对特殊形状格点的光子晶体，精确解难以求得。 2 4n 阶法 是由y e e 在1 9 6 6 年提出的时域有限差分法( f d t d ) 发展而来的。它是 通过傅里叶变换先将m a x w e l l 方程组变换到倒易空间，用差分形式约简方程 组，然后再作傅里叶变换，又将其回到实空间，得到一组被简化的时间域的有 限差分方程，从而大大减少计算量。但这种方法不适应处理a d e r s o n 局域和光 子带隙中缺陷态问题。 湖南大学硕士学位论文 2 5 求解析解及界面响应理论 求解析解方法主要是对一维光子晶体，根据其波动方程，利用边界条件来 求解。而界面响应理论( t h ei n t e r f a c er e s p o n s et h e o r y ) 则是主要考虑复合系 统结构界面处的格林函数的形式，从而求解电磁波在其中传播的色散关系及透 射系数等。后面再详细介绍。 此外，对于光子晶体存在缺陷或结构处于无序状态的情况，通常采用超原 胞近似及平面波展开和格林函数法讨论。这些方法需进行大量的计算且对缺陷 态及结构的无序状态缺乏物理上清晰的认识。近来，从电磁场微扰理论出发来 研究缺陷态及无序状态的影响也有报道【4 3 】。 3 光子晶体的制备方法 光子晶体的晶格尺寸与光波波长相当，是普通意义上晶体晶格尺寸的1 0 0 0 倍。目前制备光子晶体的主要方法有机械精密加工、胶体溶体法等。 3