（概率论与数理统计专业论文）一类非参数arma模型.pdf

中文摘要 摘要 用任意的一元函数代替常数作为缵陛a r m a 模型中自回归项的系数，我们 提出并研究一类新的非参数a r m a 模型。首先研究该模型的概率性质，获得了该 模型平稳性的一个充分条件；其次，分别用局域线 生和多项式样条两种方法估计 模型中的函数系数，用全局的最小二乘方法估计模型中的参数。在局域线性估计 中，利用g c v 准则选择最优的窗宽；而在多项式样条法估计中，用a i c 准则来 选取节点个数，相应的节点位置，用等分位点法来选取。为了检验特殊的参数化 模型是否已经足够描述实际数据的动态结构，提出了个b o o t s t r a p 检验方法。 随机仿真的例子表明本文的估计和检验方法是正确的和可陛的进一步，用该模 型成功地分析了一个实际数据集 关键词：局域线性估计；多项式样条逼近；g c v ；b o o t s t r a p ； 英文摘要 a b s t r a c t an e wc l a s so fn o n p a r a m e t r i ca u t o r e g r e s s i v em o v i n ga v e r a g em o d e l s ，i n w h i c ha r b i t r a r yu n i v a r i a t ef u n c t i o n sa c ta st h ec o e f f i c i e n t so fa u t o r e g r e s s i v e c e r l n si n s t e a do fc o n s t a n t s ，i sp r o p o s e da n dd i s c u s s e d t h ep r o b a b i l i s t i cp r o p e r t i e so ft h em o d e l sa r ei n v e s t i g a t e da n das u f f i c i e n tc o n d i t i o no fs t a t i o n a r i t yi sd e r i v e df i r s t l y t h el o c a ll i n e a ra n dp o l y n o m i a ls p l i n ea p p r o a c h e sa r e r e s p e c t i v e l yu s e dt oe s t i m a t et h et h ef u n c t i o n a lc o e f f i c i e n t s i nl o c a ll i n e a r e s t i m a t i o n ，t h eo p t i m a lb a n d w i t hi ss e l e c t e dv i aam o d i f i e dg e n e r a l i z e dc r o s s v a l i d a t i o nc r i t e r i o n c o r r e s p o n d i n g l y , t h en u m b e ro fk n o t sa r ed e t e r m i n e db y v i r t u eo fa i cc r i t e r i o ni ns p l i n em e t h o d ，t h el o c a t i o n so fk n o t sa r ec h o s e db y e q u a l l yq u a n t i l e w ea p p l yab o o t s t r a pm e t h o dt ot e s tw h e t h e rt h ef u n c t i o n a l c o e f f i c i e n t sa r es o m es p e c i f i e dp a r a m e t r i cf o r m s t h ef e a s i b i l i t 3 a n dv a l i d i t y o fp r o p o s e dm e t h o d sa r ei l l u s t r a t e db 、s i m u l a t e da n dr e a ld a t ee x e m p l e s k e y w o r d s ：l o c a ll i n e a re s t i m a t e ；p 0 1 3 n o m i a ls p l i n e ；g e n e r a l i z e dc r o s s - v a l i d a t i o n b o o t s t r a p ； 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的 研究成果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研 究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担 由此论文而产生的责任。 声明人( 签名) ：兰少瘴 2 册6 年箩月四日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门 大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和 电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行 检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 本学位论文属于 l 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密。 ( 请在以上相应括号内打” ”) 作者签名删 导师签名： 础莎印日 年月 日 一类非参数a r m a 模型 第一章绪论 1 1 背景知识 时间序列分析是数理统计中的个重要分支，其综合利用随机过程理论和数 理统计方法研究随机序列的规律性时间序列分析在经济领域中的研究和应用一 直很活跃，并扩展到社会、气象、水利、交通、信息、农业和工业等领域g e o r g e e p b o x 和g w i l y mm j e n k i n s ( 1 9 7 9 ) 提出的线性自回归滑动平均( a r m a ) 模 型 1 已经形成了相当完善的理论然而，实际中出现的一些非线性现象却不能由 该模型得到合理解释为了得到更完美的结果，一些参数化的非线性模型相继被 提出，比较典型的有门限自回归( t a r ) 模型【2 、指数自回归( e x p a r ) 模型 4 和双线性( b l ) 模型 5 】三种问题在于，与线f 生函数想对应的非线性函数有 无穷多种形式，要全部研究是不可能的，事实上也是不必要的随着计算能力的 提高，人们更多地采用非参数模型，即并不假定函数的具体形式，而由数据自动 去寻找最近这方面的工作主要有，函数系数自回归( f a r ) 模型。、自适应 函数系数自回归( a a r ) 模型 8 】等当然，上述模型，无论是参数的，还是非参 数的，均是在最经典的a r m a 模型特别是自回归模型的基础上推广得到的 非参数模型的估计通常有局域多项式法、样条法、f o u r i e r 估计等假定函数 足够光滑，要估计在给定点的函数值，可以在该点邻域内进行t a i l o r 展开，进而利 用多项式加权回归方法来得到这就是局域多项式法f a n 和g i j b e l s ( 1 9 9 6 ) 最先 把局域多项式方法应用于非参数模型对函数系数自回归模型，c h e n 和t s a y ( 1 9 9 3 ) 建议用局域常数方法来拟合系数函数，并导出了迭代算法c a i ( 2 0 0 0 ) 和c h e n 、 l i u ( 2 0 0 1 ) 使用局域线性的方法来估计系数函数 样条法般有三种，即多项式样条、非二次惩罚样条和平滑样条样条方法 在非参数模型是非常有用的它们是多项式技术的有效延伸多项式方法的最大 一类非参数a r m a 模型 2 缺陷是：个在各区间有各阶导数的多项式函数在逼近一个在不同区间里平滑 次数不一样的函数时灵涪陛不够提高灵活性的一种方法就是允许逼近函数的导 数在不同区间可以不连续这样的分段函数法就是样条法逼近函数导数不连续 的点就叫节点w a h h a ( 1 9 9 0 ) 、g r e e n 和s i l v e r m a n ( 1 9 9 4 ) 和e u b a n k ( 1 9 9 9 ) 都在这方面有专门的著作 1 2 研究内容 本文建议一类新的非参数时间序列模型 pq x t = 厶( 五一d ) 五一。+ c t + b r a c t 一。， ( 1 - 1 ) m = 1m = 1 其中f 旬 是均值为0 、方差有限的独立同分布序列，正整数d 称为延迟参数， ( ) 厶( ) 是任意的一元函数模型( 1 ) 称为函数系数自回归滑动平均( f a r m a ) 模型，记为f a r m a ( p q d ) 模型事实上，若 ( ) 厶( ) 均为常数，则就是 a r m a 模型，因此，f a r m a 模型是a r m a 模型的直接推广 f a r m a ( p ，q ，d ) 模型包含了许多已经被研究过的非线性和非参数模型若g = 0 则就是函数系数自回归模型，进一步取特殊的函数形式，分段常数或指数函数， 则分别对应于门限自回归模型和指数自回归模型 本文对f a r l _ i a 模型进行详细的分析和讨论第二章首先调查该模型的概率 性质，得到了该模型的平稳性条件；第三章讨论该模型的估计问题对其中的函 数系数分别用两种方法来估计一种是经典的局域线性法 1 1 】，用广义g c v 准则 ” 来选择非参数问题中至关重要的平滑参数窗宽；另一种是多项式样条 逼近法，用等距法或等分位点法来确定节点的位置，用a i c 准则来选取节点的个 数模型中的参数则采用全局估计并分别用随机模拟来验证所建议的方法的有 效f 生和可行性非参数模型的另个重要作用是作为一个交互的模型，可以用来 检验特定的参数模型对一个实际数据是否建模的已经足够好因此，在第四章， 提供个b o o t s t r a p 方法以检验被拟合的f a r m a 模型的系数函数是否具有特 一类非参数a r m a 模型 3 定的形式，与此同时，延迟参数的选择方法也被相应的讨论在第五章，我们给 出个真实数据例子，分别用所建议的方法进行分析第六章是结论部分，对本 文的研究内容进行总结，并做些补苑 一类非参数a r m a 模型 第二章概率性质 4 首先讨论模型的概率性质这里给出两个基本引理，它们分别是t w e e d i e ( 1 9 7 5 ) t j c s t e i m ( 1 9 9 0 ) 给出的 引理2 1 x 。) 在范数拓扑空问上是一曲一不可约马尔可夫链，若转移概率 v ( x ，- ) 是强连续，即从x 到任何测度集a 的转移概率p ( x ，a ) 都是连续的则 x 。 几何遍历的一个充分条件是存在一紧集k 和一正常数p 1 使得 e ( f m 五刊2 m 篡 ( 2 2 ) 引理2 2 x t ) 是一非周期马尔可夫链，n l 为一正整数则 x 矗与它的 子列 x 。，的几何遍历性条件一样 下面讨论f a r m a 模型的概率隆质对于模型的平稳性条件，有； 定理2 1 对于f a r m a 模型( 1 1 ) 假定 办( ) j 勺j = 1 j p ，c t 绝对 连续且其密度函数在实轴上处处为正如果特征函数舻c 1 ”一。- 一c p = 0 所有的根都在单位圆内，则f a r m a 模型( 1 1 ) 是平稳的 证明：令x f = ( - 一x - p + 1 ) 7 g t = ( = 一= t - - q ) r a ( x ) = k ( x ) 厶一l ( x ) 昂( x ) 1 00 0 10 b = 则模型( 1 1 ) 可以表示为 x t = a ( x t a ) x t l + b 磊 ( 2 3 ) 下面只需证明模型( 1 1 ) 的序列 咒) 是几何遍历首先，由于乱绝对连续 且其密度函数在实轴上处处为正，矗( - ) i 勺，j = 1 ，p ，所以 墨) 是非周 一类非参数a r m a 模型 期、一不可约的设矩阵 c c 1 c 2 一c p lc p 10 oo oo - 1o 5 先给定c “一个上界，设i p 为p 阶单位阵，考虑a i c 的行列式注意到 l a i c i = a 9 一c l a 9 1 t 一一c p ， 因此，特征函数的根即矩阵c 的特征根设a 为c 的最大特征根由l i c “旷“叶 i a 。a x l 1 ，知存在一正常数d 1 和一整数m ，使得l i c “| i d 对于序列 x d 的子序列 五m ，z = 1 ，2 ，利用递推公式( 2 3 ) ，有 m 一1ml m ii x m ( f “，2 娶- 州蚪u 一曲x + 蚤【罂j ( x r n t + j + l - d jb emt+iili = i ( 2 。4 ) t = 0=l i 注意到，对任意向量k = ( k l i 一，k p ) 丁，( d d p ) 丁= a ( x ) k ，均有 i d l l = l l ( x ) k l + - t - + ，p ( x ) b lsc l l “l + 一+ 勺i b l ， 且i d i i = 一1 1 i = 2 ，p 因此， i i a ( x ) k 悟| | c l k 其中l k = ( j 女- f ，i b l ) 7 重复对( 2 4 ) 式应用上述方法，可以得到 i i x m ( t + 1 ) c ”f x m 川f + m = lc m - i b 刊 由于 l | c “ix 。t 怪6 | | x 。tl i ， 因此 e 删x 州t + - 州ix m t = x ) s 刚x i l + e 0 蓥c “一bl 岛蚪。1 1 1 二差韭垒塾生墨! 丝蕉型 6 注意到第2 项是有界，并且不依赖于x ，设其界为d 则 e i i x 。“+ 1 ) l lx 。t = x ) 兰d 1 | x | | + d 令p ( d ，1 ) 且设m = d o 一6 ) 则对于所有的i i x l i m ， e i i x 。) | | ix 。t = x ) p l l x l l 因此，根据t w e e d i e 准则，对于k = x ：l i x l l m ) ，序列 x 。t ) 是几何 遍历的，进而由t j o s t h e i m 准则，模型( 2 3 ) 的序列 x t ) 是几何遍历的从而 f a r m a 模型( 2 3 ) 是平稳的证毕 容易看出，f a r m a 模型的可逆性条件与m a 模型的可逆性条件是一样的， 即”+ b l a q - 1 + 4 - b 。= 0 的根都在单位圆内 。 一类非参数a r m a 模型 第三章估计 7 对于f a r m a 模型( 1 1 ) ，需要估计的不仅有参数日= ( b l ，) 7 和口2 ， 还有系数函数 ，m ( ) ) ：。估计通常通过最小化残差平方和来获得设 1 ts 为模型( 1 ) 的一列观察值，则残差平方和为 n r pg 2 ；i x t 一，m ( 轨一一) z n 一b m c t m l ， ( 3 5 ) t = p + 1t = p + 1l m = l m = l j 式中= m a x ( p ，口，d ) 等号右边的 & ) 由 ( 3 6 ) ：互n ，一塾1 缸。 2 ， 垆一l ， z = d + ll m =j 这里f o ) ：孔一圭，m ( z 削) 轧一。由最小二乘原理，0 = ( 6 一，b q ) t 的估计 其中，殇= ( 救一，纠， 。= ( ? 。j ! i 。p rj+i-l 4)。一一，。 n一 m 6 。一 一 一 z d z ，脚 一类非参数a r m a 模型 二，固定目= ( b ，一，) t ，估计 ，m ( ) ) 囊：1 3 1 1 非参数估计 8 i y c 一( c 。+ d ，。( z cd 一劲) ) 乩一。i 凰( z t d z o ) ， 击( 。) = x r ( 2 。) 叫( 2 。) y ( 知) 1 1x 丁( z o ) 叫( 名。) k ( 3 8 ) ，r c。，2(。i。：!：!：9：12二二二：il!；!zp。+。l一-。d一-；。z。0，)。x。f+一，i一)。一一，。卸 一类非参数a r m a 模型 一设定0 和 ，m ( ) ：。的初值自( 叭， 鹤( ) ) 品：。 二假设得到了0 和 ，m ( ) ) ：l 的第i 步迭代值6 ( “， 嬲( ) ) 磊：。 1 递推计算 p目 矗= 轧一鹧( 孔一d ) 址。一嘲囟一。，t = 1 ， 9 初值取z = 囟= 0 ，t 1 ，由( 3 7 ) 式计算自( 什1 ) ； 2 重新计算 p口 = 观一帮( z 川) 轧。一甜1 i t 一。，t = 1 ， r r t = lm = l 由( 3 8 ) 式得到 ，m ( ) ) 戋：。的第i + l 步估计值 舞+ 1 ( ) ) ：。 三重复第二步直到收敛 最后，用 子2 = i ；( 一p ) t = p 7 + l 作为o r 2 的估计 3 1 2 窗宽的选择 在估计系数函数 ( ) ，厶( ) 时，选择一个合适的窗宽h 是至关重要的，因 为小的窗宽虽然能够使被估的函数值有较小的偏差，但相应的方差通常比较大； 反之，大的窗宽虽然有效地减少了被估的函数值的方差，却造成大的偏差用g c v 准则选择最优的窗宽h 具体地，在由( 3 8 ) 式得到f l ( x t d ) ，厶( 觑一d ) 后， 用 p 仇= ，mx hx 。一。= ( 址一m ，0 ，o ) 击( 。川) l = 1 来预测y t ，t = p 7 + 1 ，写成矩阵形式，即( 翰，+ l ，如) t = h ( h ) y ，这里 h ( h ) 为个( 一) ( n 一) 矩阵选择使 g c v ( h ) = 5 2 1 一( n p ，) 。t r a c e ( h ( h ) ) 2 一类非参数a r m a 模型 1 0 达到最小值的h 作为最优的窗宽 3 1 3 延迟参数选择 在实际问题中，延迟参数d 通常也是未知的当然可以通过给定数据的实际 物理背景来选择但是，如果没有任何信息可以利用，最直接的方法就是利用数 据本身获得在局域缵陛法里可以通过比较不同的d 相对应的最小g c v 值，再 从中选择最小者所对应的d 作为延迟参数 3 1 4 仿真 这里，用两个仿真的例子来验证其有效性和可行陛用平方误差的平方根( r a s e ) 蹦骑 耋 舳刊砌 2 ，扎) 1 2 ，r h s e = 圭膦e 荛) 1 2 来衡量 ，m ( ) ) 的效果，这里 k = 1 ，n ) 为所有离均值的长度小于1 5 个样本标准差的观察值 图3 1 ：局域线性法下例1 的模拟结果 ( a ) 参数o - 2 的估计和最小g c v 的箱形图( b ) 参 数b l 估计的箱形图 ( c ) r a s e 的箱形图( d ) 所选窗宽h 的箱形图 一类非参数a r m a 模型 例1 考虑f a r m a ( 2 ，1 ，1 ) 模型 x t = f l ( x t 一1 ) x 一l + f 2 ( x t 1 ) x t 一2 + e 一0 5 s t 一1 其中忙t ) 独立同服从n ( 0 ，o 1 5 2 ) ，两个系数函数分别为f d u ) = o 1 3 8 + ( o 3 1 6 + 0 9 8 2 u ) e 一38 9 u 2 和，2 ( ) = 一0 4 3 7 一( 0 6 5 9 + 1 2 6 0 u ) e 一”9 ” 每次随机产生4 0 0 个观察值，利用不同的随机种子，重复2 0 0 次试验图 3 1 概括了模拟结果从图3 1 中可以发现，模型的两个参数b x 和o - 2 的估计值 与真实值非常接近，建议的窗宽选取方法运行的也相当稳定 图32 ：例1 中估计的函数( 点线) 与实际函数( 实线) ( a ) ： ( u ) = o 1 3 8 + ( o 3 1 6 + 0 9 8 2 u ) e “8 9 u 2 ：( b ) ：，2 ( “) = 一o 4 3 7 一( o 6 5 9 + 1 2 6 0 u ) e _ 3 8 9 “ 为进一步说明系数函数的估计效果，图3 2 刻画了真实的曲线和利用个典 型样本得到的估计曲线 ( “) ，2 ( 札) 该样本取自2 0 0 次模拟中估计的r a s e 在 最中间的个，相应的窗宽为h o p t = o 3 2 3 从图3 2 中可以看出，估计的曲线完 全描述了真实曲线的非线陛特性总的来说，建议的估计方法性能优良 例2 对于模型 x t = ( x t 一2 ) x t l + 厶( k 一2 ) x 一2 + e t o 2 e t 一1 = 扭i d 一( o ，0 3 2 ) 这是一个f a r m a ( 2 ，1 ，2 ) ，相应的 舯) = 掣，腓) = - e x p ( 一百u 2 ) 一类非参数a r m a 模型 1 2 与例1 一样，模拟2 0 0 次，每次取4 0 0 个样本模拟的结果如图3 3 图 图33 ：例2 的模拟结果( a ) 参数口2 的估计和2 0 0 次模拟中相应的最小g c 7 的箱形图 ( b ) 参数b 1 估计的箱形图( c ) r a s e 的箱形图( d ) 所选窗宽h 的箱形图 图3 4 ：例2 中估计的曲线( 点线) 与实际曲线( 实线) ( a ) ： ( “) = 掣, c o s1 5 u ( b ) ：，2 ( “) = 一e x p ( 一；u 2 ) 3 4 同样刻画了一个由典型样本得到的，1 ( u ) ，a ( u ) 的估计曲线，相应的r a s e 在2 0 0 个值中处于最中间，最优窗宽h o p t = o 7 0 5 一类非参数a r m a 模型 3 2 多项式样条逼近法 1 3 3 2 1 非参数估计 多项式样条是个分段的多项式其在个有界点集上，相邻两段多项式的 连接是光滑的具体的说，在个有界集u 上，其节点序列5 0 d 1 d m + 1 ( d o ，d m + 为u 的两边界点) 次数f 0 的多项式样条是指在每个区间 d 。，5 m + 1 ) ，0 m m 和，十1 都是次数为z 的多项式函数且对f 1 都有f 一1 次连续 可导1 = 0 、1 、2 、3 分别对应于分段常函数、线性样条、二次样条、三次样 条所有固定次数和节点序列的样条函数组成了一个线性函数空间容易导出它 的一组基如次数1 = 3 ，节点序列为如，d m + l 的样条函数组成了一个m + 4 维的线性空间它的基为1 ，x ，x 2 ，z 3 ，扛一5 1 ) 辜，扛一6 m ) 辜本文的例1 ，例2 均采用二次样条，在实际数据的例子里采用三次样条 假设在( 1 1 ) 中系数函数厶( ) ，m = 1 ，p 是光滑的，则它可以通过一样条 函数扁( ) 来很好的近似当其节点个数趋于无穷时，则s u pl 岛( u ) 一厶( “) l 0 这时，存在一函数基b 。( ) 和常数院。，n = 1 ，k 。，使得 m 厶( “) 层( 札) = 雕。b ( 钍) n = 1 这样为了估计 厶( ) 毛：- ，我们可以极小化 pk m l ( 9 ) = ( y t 一( e 风。b m 。( 耻a ) ) 耻。) 2 ， t = p 7 + 1m = ln = l 式中y t = z t 一立6 。t 一。，设卢= ( 卢1 1 ，p 1 岫岛l ，一，岛锄一，岛1 i 一，岛b ) 丁 则由最小二乘理论，得到 廖= ( x t x ) 。x t ( 3 9 ) 一类非参数a r m a 模型 1 4 式中y = ( y p ，+ 1 ， b l l ( z 一+ 1d ) b ：i ： i b l l ( x _ 一d ) y n ) t ，x = b x l ， b t k l ( x p ，+ 1 一d )岛1 ( 印+ 1 一d ) b 。( 。一+ 卜d ) b p l ( 吼d ) 屏“( 吼d ) ( 一p ，) 。壹k 。 m = 1 x 1 = ：( x p , ，t t ，z p ，十1d ，- ，z + 1 一d ) 1 对于，n = 1 ，一，p ，工。( “) = 董反。b 。( “) 3 2 2 节点的位置和个数 对已给定的点集，为了简单，我们只考虑两种方法来选取节点的位置一、 等距法，即选取任意相邻两点的距离相等的点作为节点二、等分位点法，即选 取给定点集的等分位点，这样相邻两节点之间包含有相同的点数本文中的例子 均采取等分位点法 节点的个数是作为平滑参数，相当于局域线性法里窗宽的作用，一般通过适 当的准则来选取使得该准则最小的节点个数为最优的这里我们采用a i c 准 则设n 为观察值个数，p = 。k 。为待估计参数个数r s s = z ( z ) 为极小化 得到的残差平方和那么a i c 准则定义为 心= t o g ( 雩) + 万2 p 具体算法与3 1 1 中类似 3 2 3 延迟参数选择 这里延迟参数d 也是未知的当然可以通过给定数据的实际物理背景来选择 我们也可以直接利用数据本身获得在在多项式样条逼近法里可以通过比较不同 的d 相对应的最小a i c 值，再从中选择最小者所对应的d 作为延迟参数 一类非参数a r m a 模型 f “b 1 皇 1 5 图3 5 ：多项式样条逼近法下例1 的模拟结果 ( a ) 参数b 1 估计的箱形图( b ) 2 0 0 次模拟 中相应的最小a i c 的箱形图 ( c ) r a s e 的箱形图( d ) 参数一估计的箱形图 3 2 4 仿真 我们同样用5 3 1 4 的两例子来做仿真r a s e 。，m = 1 ，p 和r a s e 如 3 1 4 中所定义 例1 ( 续) 结果如图3 5 所示，从图3 5 中可以发现，模型的两个参数b 。和盯2 的估计 值也与真实值非常接近我们同样给出2 0 0 次模拟中估计的r a s e 在最中间 的个典型样本估计的 ( u ) ，2 ( ) 与真实曲线的图形如图3 6 ，可以看出估计 曲线也完全刻画出了f l ( u ) ，2 ( “) 的特点 例2 ( 续) 模拟的结果如图3 7 ，参数估计也与真实值十分接近图3 8 给出2 0 0 次模 拟中r a s e 处于中间位置的典型样本拟合的曲线与真实曲线 一类非参数a r m a 模型 1 6 图36 ：例1 中估计的函数( 点线) 与实际函数( 实线) ( a ) ： 0 9 8 2 u ) e 一38 9 “2 ；( b ) ：，2 ( “) = 一0 4 3 7 一( o 6 5 9 + 1 2 6 0 u ) e 一3 8 9 u 2 忸) b l _ i 图3 7 ：多项式样条逼近法下例1 的模拟结果( a ) 参数b 估计的箱形图( b ) 2 0 0 次模拟 中相应的最小a i c 的箱形图( c ) r a s e 的箱形图( d ) 参数a 2 估计的箱形图 一类非参数a r m a 模型 1 7 图3 8 ：例2 中估计的曲线( 点线) 与实际曲线( 实线) ( a ) ： ( “) = 号坚笋；( b ) ：丘( “) 一e x p ( 一1 u g ) 二耋! ! 查塾生型坐焦型 第四章检验 1 8 非参数模型的重要作用之是用来检验一个参数模型是否已经足够描述给定 数据的结构相对应地，当拟合好一个f a r m a 模型后，自然会问同线陛a r m a 模型或其它特殊的参数非线性模型是否已经足够了呢? 这导致下面的假设检验 h o ：厶( g ) = 肪z ，) ， m = 1 ，p ， 这里卢。( z ，) 为给定的特殊形式的函数，为其中的参数向量 检验统计量取广义似然比 野：_ n - 广p l1 。g ( a 3 子；) ， ( 4 1 0 ) ( 41 1 ) 其中，磅和钾分别为零假设和f a r m a 模型下a 2 的估计，即 n r p ql a ：= k 一风( 雄a ，x 一5 。；i ( n p ，) t = 一+ 1l m = l m = l o n rp口 2 子；= k 一厶( 址a ) m 。一骗一m i 一以 t = p + 1l m = l m = 1o 这里为的估计若珏值比较大时，则拒绝零假设 下面用非参数b o o t s t r a p 方法来获得检验的p 值： 1 从f a r m a 模型( 1 1 ) 得到的残差0 m n ：l 中抽取b o o t s t r a p 残差 ；) 各1 ， 由初值z ；= ；= 0 ，t r s f u n c t i o n a l - c o e f f i c i e n ta u t o r e g r e s s i x em o d e l s j 1 j o u r n a lo ft h ea m e r i e a ns t a t i s t i c a la s s o c i a t i o n 1 9 9 3 8 8 ：2 9 8 3 0 8 7 c a i ，z ，f a nj a n dy a o q f u n c t i o n a l c o e f f i c i e n tr