（应用数学专业论文）半直线上脉冲奇异微分方程两点边值问题.pdf

独创声明 y 1 0 1 2 4 8 2 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作：知参涡 导师签字：l 乏j 学位论文版权使用授权书 吻7 | 红 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权差 盘可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或摇描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：氨、参 签字日期：z o o 车易月矽日 导师签 签字日期： ，磊 么尹 翻够 字 2 坐壅堡堑盔堂塑主堂垡堡塞 半直线上脉冲奇异微分方程两点边值问题 孙玉海 f 山东师范大学数学科学学院。济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文主要讨论半直线上的脉冲微分方程两点边值问题 这里刮f = t l = u ( t 1 + ) 一u ( t 1 一) ，“讯：，= u ( 0 1 + ) 一“懈l ) ，“( ”在t l 左连续在 文中，( f l 蕺d c ( ( o ，+ o 。) 3 ，( 0 ，+ ) ) 可以在t = 0 ，z = 0 ，= 0 奇异，托1 扣，) ， i i 1 牡，p ) a ( ( o + o o ) ，( 0 ，+ 。) ) 可以在z = 0 ，y = 0 奇异 该文得出了边值问题( 1 ) 正解的存在性及至少两个正解的存在性全文分两章 在第章中，我们首先给出了边值问题( 1 ) 的正解的存在性该方程实际上是 【l l i 中问题n = 2 ，k = 1 的情况条件与【l l 】不同的是i ( t ，z ，) 在t = 0 ，z = 0 ， y = 0 可以是奇异的，且i o ，1 ( z ，y ) 和i t ，l ( z ，y ) 在z = 0 ，y = 0 也可以是奇异的另 步卜i 若没有踩冲本文的结果改进了汹 ，p 6 的结论本章研究的主要方法是首先萃! l 用 i $ , e r a y - s c h a u d e r 不动点定理得到方程( 1 ) 的近似解的存在性，然后利用a r z e l a - a s c o l i 定理得到了所研究方程的一个近似解或多个得到近似解集的收敛子列其极限就是 方程f 1 ) 的解 在第二章中，我们首先建立了特殊的b a n a c h 空间和该空间中特殊的锥，得出 了( 1 ) 至少两个正解的存在性结论与【2 7 i ， 3 2 3 4 j 不同的是本文中的f ( t ，z ，y ) 依赖 于导数与f l l j 不同的是即使f ( t ，z ，y ) 关于z 可以是超线性的另外也得出了由于 脉冲的影响。徽分方程( 1 ) 多解的结果。本章研究的主要方法是首先建立了一个特 殊的b a n a 一：h 空阔，并在该b a n a e h 空闻上建立了一个特殊的锥然后对方程( 1 ) 的 解进行转化我们在所建立的锥中利用不动点指数理论得到了( 1 ) 的等价方程至少 两个正解的存在性从而知道了方程( 1 ) 至少两个正解的存在性 脉冲微分方程理论是微分方程理论中一个新的重要分支，它在生物学、医学、 经济学和航天技术等领域都有广泛的应用关于脉冲微分方程的研究已经取得了相 m 一 佃砒卜n m m 涨卜 d o涎n 邶 ，m 缸 “ 一 郴吐i m ： r 吣 = 爿 括 1 彤蛳撕州 当丰富的成果，见6 - 2 4 1 ，其中专著“t h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le c l u a t i o 儿s ” 2 4 1 和”脉冲微分系统引论”【1 q 详细总结了近二十年来的成果另一方面。一是脉 冲函数具有奇异性和，( t ，扎y ) 在z = 0 和= 0 奇异同时存在的研究成果尚未见到 ；二是在非线性项f ( t ，z ，y ) 依赖于导数且对z 在无穷远处具有超线性的情况下，即 使再f ( t ，z ，”) 在连续的情况下尚未见到多解的结论本文的定理1 3 1 和定理1 3 2 解决了脉冲函数具有奇异性和f ( g ，z ，f ) 在。= 0 和y = 0 奇异同时存在的情况下方 程( 1 ) 正解的存在性问题，而定理2 3 1 和定理2 3 2 解决了非线性项f ( t ，y ) 依赖 于导数且对。在无夯运处具有超线性的情况下，方程( 1 ) 多解的存在性因此本文 的研究是对脉冲微分方程理论的发展，具有重要的理论意义和应用价值 关键词：脉冲微分方程，脉冲，不动点定理，正解。全连续算子，锥 分类号：0 1 7 5 2 l 2 些壅盟蔓拦塑主堂垡堡塞 s i n g u l a ri m p u l s i v et w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s f o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nah a l fl i n e s u n y i h a i s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ts h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a u ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，pr c h i n a a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s s e st h et w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n - t i a le q u a t i o n so nah a l fl i n e i 一= ，( t ，u ，u ，) t ( 0 ，+ o o ) 一0 1 ) ， 训k n 2 如，l ( “0 1 ) ，0 1 一) ) ， ( 1 ) la u h ：。= 一丘，l ( u 0 1 ) ，u 0 l 一) ) ， fu ( o ) = 0 ，i i m - + o 。( t ) = 0 ， w h e r e u l t 4 l = u ( t l + ) 一u ( t 1 一) ，l b t l = n t ( t 1 + ) 一u j ( $ l 一) ，“( t ) i s l e f tc o n t i n u o u sa t n i nt h i s p a p e r ，f ( t ，z ，可) c ( ( 0 ，+ o 。) 3 ，( 0 ，+ o 。) ) m a yb es i n g u l a r t = 0 ，2 = 0 ，y = 0 ， a n d o 1 ( 茁，可) ，五，l ( x ，可) c ( ( o ，+ 。) ，( 0 ，+ o 。) ) m a y b es i n g u l a r z = 0 ，掣= 0 t h i s p a p e r p r e n t at h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n so f ( 1 ) t h e r ea r et w oc h a p t e r si nt h i sp a p e r i nc h a p t e r1 ，w ep r e s e n tt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so f ( 1 ) ( 1 ) i st h ee a s ei n i i lw h e nn = 2 ，k = 1 t h ed i f f e r e n c ef r o mt h ec o n d i t i o n si n 【1 1 】i st h a tf ( t ，z ，) m a y b es m m 血ra tt = 0 ，z = 0 ，；0 ，a n di o ，1 0 ，们，i i 1 如，y ) m a yb es i n g u l a ra tz = 0 ， g20 m o r e o v e r ，e v e ni ft h e r ei sn oi m p 曲e ，o t t rw o r k si m p r o v et h er e s u l t si n 3 5 - 3 6 a l s o t h em e t h o dw h a tw eu s e di sl e r a y - s c h a u d e rt h e o r e mb yw h i c hw ef i r s to b t a i nt h e a p p r o x i m a t es o l u t i o n s t h e n ，u s i n ga r z e l a - a s c o l it h e o r e m ，w ec o n s i d e rt h es e to ft h e a p p r o x i m a t es o l u t i o n sa n dw eo b t a i nac o n v e r g e n ts u b s e q u e n c e t h el i m i ti sap o s i t i v e s o l u t i o nf o re q u a t i o n ( 1 ) i nc h a p t e r2 ，w ee s t a b l i s has p e c i a lc o n ei nas p e c i a lb a n a c hs p a c ea n dp r e s e n t t h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o r ( 1 ) t h ed i f f e r e n c ef r o mt h ec o n d i t i o n si n 【l l j ，f 2 7 l ， 3 2 - 3 4 1i st h a ti ( t ，$ ，弘) d e p e n d so n 掣a n dm a yb es u p l i n e a ri n 嚣a tz = + o o ， m o r e o v e r ，u n d e rt h ei n f l u e n c eo ft h ei m p u l s e ，( 1 ) m a yh a v em u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n s a l s oe v e ni ff ( t ，z ，9 ) m a yb es u b l i n e a ra tz = + o 。w ef i r s tt r a n s f e rt h ee q u a t i o n ( 1 ) i n t o a ne q u i v a l e n te q u a t i o n b yt h et h e o r yo ff i x e dp o i n ti nac o n e ，w eg e tt h ee x i s t e n c eo fa t 3 l e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h ee q u i v a l e n te q u a t i o n t h e nt h es o l u t i o n so fe q u a t i o n ( 1 ) a r eo b t a i n e d i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e de x t e n s i v e l yb e c a u s et h e yh a v e al o to fb a c k g r o u n d si nb i o l o g y , m e d i c i n e ，e c o n o m i c sa n ds p a c et e c h n i q u e ，s e e 【昏2 4 1 i nt h e s er e s u h s t h eb o o k s 。t h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ”l 矧a n d ”i n t r o d u c t i o nt ot h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s ”s u ma l lt h er e s u l t so nt h i sa x e d i n r e c e n t2 0y e a r s o nt h eo t h e rh a n d ，t h e r ei sn or e s u l to nt h i sa r e aw h e nt h ei m p u l s i v e f u n c t i o n sa r es i n g u l a ra n df ( t ，茁，y ) i ss i n g u l a ra t 茁= 0a n dy = 0a tt h es a l n et i m e a n dt h e r ei sn or e s u l to nt h i sa r e aw h e nf ( t ，$ ，可) d e p e n d so nd e r i v a t i v ea n di ss u p l i n e a r a t $ = + 。，e v e ni f ，( t ，z ，y ) i sc o n t i n u o u s i nt h i sp a p e r ，t h e o r e m1 3 1a n dt h e o r e m 1 3 2o b t a i nt h er e s u l t so nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o re q u a t i o n ( 1 ) w h e nt h e i m p u l s i v ef u n c t i o n sa r es i n g u l a ra n df ( t ，z ，y ) i ss i n g u l a ra tz = 0a n dg = 0a tt h es a n l e t i m ea n dt h e o r e m2 3 1a n dt h e o r e m2 3 2c o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v e s o l u t i o n sf o re q u a t i o n ( 1 ) ，0 ，z ，掣) d e p e n d so nd e r i v a t i v ea n di ss u p l i n e a ra t 嚣= + t h e r e f o r e ，t h er e s e a r c ho ft h ep a p e ri m p r o v et h ed e v e l o p m e n to ft h et h e o r yo fi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dp a p e r sh a sag r e a tr o l ei nt h e o r ya n dp r a c t i c e k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i m p u l s e ，f i x e dp o i n t t h e r o e m ，p o s i t i v es o l u t i o n s ，c o m p l e t e l yc o n t i n u o u so p e r a t o r ，c o n e c l a s s i f i c a t i o n ： 0 1 7 5 2 1 4 山东师范大学硕士学位论文 第一章半直线上脉冲奇异微分方程两点边值问题正解的存 在性 1 1引言 自从v l a k s h m i k a n t h a m ，d d b a i n o v ，p s s i m e o n o v 的著作“t h e o r yo f i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ” 2 4 1 出版以来，有众多的学者从事对脉冲微分方程理论的研 究，见 1 - 2 ，【6 1 6 ，【1 9 _ 2 3 】， 2 7 - 2 9 ，【3 2 - 3 4 另一方面，也有众多的学者从事奇异微分 方程的研究，见 3 4 】， 2 3 】，f 2 5 - 2 6 】， 3 0 - 3 1 】，1 3 5 _ 3 6 】本章主要研究了半直线上脉冲奇异 微分方程两点边值问题的正解的存在性方程如下： ， i t ，= f ( t ，“，d ) ，t ( 0 ，+ o 。) 一( t 1 ) ， “2 i o a ( “m ) ) ， ( 1 1 1 ) l i k t 。= 一 ，1 0 ( t 1 ) ，( “) ) ， lu ( o ) = 0 ，h m 。+ u 7 ( t ) = o 这里i t d l = u ( t l q - ) 一( t 1 ) ，1 。= t 【 ( t l - - ) 一u ，( t 1 一) ，u ( t ) 在t l 左连续在文 中，i ( t ，而计e ( ( o ，+ 。) 3 ，( 0 ，+ ) 可以看到( 1 1 ) 是f 1 1 】中方程在= 2 ，k = 1 的 形式与以往的结果【1 1 】，【2 7 】， 3 3 3 4 】不同的是，不但f ( t ，y ) 在t = 0 ，$ = 0 ，y = 0 具有奇异性，而且而，1 ( 。，们，五，1 扛，y ) 在。= 0 ，= 0 也具有奇异性而且方程的解 可能是无解的 本文的部分思想方法来源于f n ，f 3 5 3 6 】 1 2预备知识 记j o = 【0 ，t 1 ) ，以= ( 亡1 ，+ 。) ，j = o ，+ o o ) 一 t 1 ) p c i j , r 】= u ：j ，兄i u ( t ) 在，上是连续的，且u ( t l - ) 和“( t l + ) 都是存在的，且l i m 一十。ou ( t ) 存在) 对于 u p c i j , r 】，定义i = s u p t e jl u ( t ) l ， 弓i 理1 2 1 在范数 l 下，p c ( j , r ) 是b a n a c h 空间 证明首先， 1 1 是空间p c ( j , r ) 的一个范数 ( 1 ) i p 兰0 ，f 净i | = 0 。( o ) ；0 ，t ， 5 显然对于任意的。p c j , 捌，恻f 0 若z ( ) ；0 ，t j ，一定有l = s u p t j i z ( t ) j = 0 另一方面，若恻j = s u p t j i x ( t ) | - 0 ，则一定有x ( t ) i0 ，t ， ( 2 ) 对所有z p c ( j , 咒) ， r ，l | a z l | = i a t l x l l 事实上，对所有。p c ( j , r ) ，a r ， | i z f | = s u p 列i 如( f ) i = s u p t e j f z ( t ) f = s u p t j z ( ) f = 牡m ( 3 ) 对所有z ，y p c ( j , r ) ，一定有忙+ 洲s f + 川f 对。，f p c ( j , r ) ，我”】有 f k + 引l = s u p t e jj 。0 ) + 掣( ) i ss u p t ，i l k ( t ) j + i y ( t ) l 】 s $ u p t e 3j z ( ) j 十8 u a jj 9 ( t ) j = j i = 1 i + j l u l 以上( 1 ) ，( 2 ) 及( 3 ) 表明在范数”j i 下，p c ( j , r ) 是赋范线性空间 设 ) p c ( j , r ) 是基本列，即对任意5 0 ，存在n 0 ，使得l l z 。- x m l l ，l 1 9 定义鲰( t ) ： 。n ( ) ，。 0 , t 1 ) n 1 ，2 ，) 易知( t ) 在 0 , t l 】上是连续 i 0 1 一) ，t = t 1 1 的，n 1 ，2 ，) 且满足即对任意g 0 ，存在n 0 ，使得m a x t 0 ，t 。】( ) 一( ) fs ，m n n 从而存在f o ，t 1 】上的连续函数驹( t ) 使得m & f o ，t 。】帆( t ) 一蜘( t ) i 一0 ， 另外，定义( t ) ： ( 。1 + ) 。2 。“，n l ，2 ， 可见即对任意5 o ， i z n ( t ) ，t ( t l ，+ 。) 存在n 0 ，使得s u p t i t l , + o 。) l ( t ) 一( t ) l 曼e ，m n n ，从而存在z ( t ) ，使得 l j m 。+ 。( t ) = z ( t ) ，t i t l ，+ o 。) 由于对于任意k 0 ， 卸( t ) ) 一致收敛于z ( ) ，知z c ( i t t ，+ o o ) ，固且由对任 意e 0 ，存在n 0 ，使得s u p t e + o o i ( t ) 一锄( t ) js ，m n n 令m 一+ o o ， 得s u p 拒p 。，+ 。) k ( t ) z ( t ) j 兰e ，n n 对于固定的n o n ，由l i m t 一+ * o ( t ) = l i m t + o o z f i 口( t ) 存在存在t 0 使得t 7 t ，r t 时， i 岛l o ) 一z n 。( ) i t ， t 时， k ( ) 一z ( ) i = i z ( ) 一z 。( t 7 ) + 4 。( ) 一钸。0 ”) + z n 。( t ”) 一z ( ) l j z ( t ) 一z n 。( 引+ j z 。( ，) 一局m ( ) + 1 ( ”) 一；( ) l 曼e + + e ， 从而g 。砒准则保证l i m t 。+ 。z ( t ) 存在令。( t ) ： ”( ) ，6 0 , t i ) ， 可见 i4 t ) ，t ( l ，+ o 。) z o p c ( j , r ) ，且h m 一+ o 。0 $ 。一。o i i = 0 从而p c ( j , r ) 是b a n a c h 空间口 引理1 2 2 ( s e e 5 1 ) 设m q ( r + ，r ) 则m 是相对紧的若下列条件成立： m 在q 中有界； 属于m 的函数在r + 上是局部等度连续的； 属于m 的函数在+ o o 处具有等度的连续性，也就是，对于给定的 0 ，存 在t 瞳) 0 使得对所有m ，当t t ( e ) 时有i z ( t ) 一z ( + ) i o ，存 在t ( e ) 0 使得对所有x m ，当t 2 t ( e ) 时有i z ( ) 一z ( + o o ) l s 证明对于”尸q ，定义( t ) ： y ( t ) 5 【0 “) 显然t 训 。m ) 【y ( t l 一) 1 t 2 t i e 1 0 ，由a r z e l a - a s c o l i 定理( 【3 7 】) 知， i 时) 在c 0 ，t l l 中是相对紧的 对于p g ，定义勺( t ) ； ” 。1 + ) ，。2 。“ 显然 勺1 m ) a 【亡1 ，+ o 。) l ”( t ) ，t ( t i ，+ o o ) 由引理1 2 ，2 知，协i v m ) 在q 忙1 ，+ o 。) 中是相对紧的 从而m p g 是相对紧的口 我们说，( t ，z ，一) 在z = 0 具有奇异性是指 舞，( t ，”) = + o 。 f 1 2 i ) 对于任意的t d ，叫( 0 ，+ o 。) 和( 0 ，+ o 。) 致地成立同样我们说，( t ，甄z ) 在 7 y = 0 具有奇异性是指 盘仲，+ ，) = 佃 ( 1 2 2 ) 对于任意的t 陋，6 ( 0 ，+ o 。) 和z ( 0 ，+ 。o ) 一致地成立 设，o ( ( o ，+ o 。) 3 ，( 0 ，+ o 。) ) ，南，h 五1 e ( ( o ，+ 。) ，( 0 ，+ o 。) ) ，足， g 1 c ( ( o ，十。) ，( 0 ，+ 。) ) ，f ，g g ( ( o ，+ ) ，( 0 ，+ o 。) ) ，( t ，z ，可) 七( t ) f ( z ) g ( 掣) ， ，l ( z ，”) s7 l ，1 日( z ) g 1 ( v ) ，7 l ，1 0 ，且下边的条件成立， ( 凰) f ( z ) 是单减函数，也就是，若z 1 $ 2 ，则一定有f ( z 1 ) f ( $ 2 ) ； ( 日2 ) h m 掣_ + c ( y ) + o 。 ( 阮) 吉罾三【1 ，+ o 。) ； ( 凰) f 1 ( z ) 是单减函数，也就是，若z 1 z t 则定有毋0 1 ) 2f l ( z z ) ； ( 日j ) 1 i b 一十。g 1 0 ) 1 满足i 1o 告f 如) = f ( 击) + 。，s u p t e o + ) g ( t ) + 元1 ) ss u p 。鲁g ( 正) + o 。，s u p t i o ，+ 。) f 1 ( ( n 1 ) ( ) + 元1 ) s u p 。砉f 1 ( 茁) = f 、石1 ) + o o ， s u p 坨t o ，+ ) g l ( u ( t ) + 去) s u p 。鲁g 1 ( z ) + o 。从而， ( 如t ) ( t ) 茎 1 + 厍( s ) d s f ( i ) 8 u p 。! g ( 。) + f l ( ；) 8 u p 。= g l 如) + ，t 【；，+ ) l + j ! 堇。( 8 ) 幽f ( ：) s u p 。= g ( z ) + f i ( ；) “! e l ( x ) + 0 0 ，t 【0 ；) 进一步，一方面，( a 。u ) ( ) 在t t 1 连续，且( a 。u ) 慨一) 和( a 。u ) ( t 汁) 存在， r t - o ，n o + 1 ，h 另一方面，( 血) ( t ) 的单调性意味着h + 。( a u ) ( t ) 存在 所以，厶：p p 是合理的，ne 伽，n o + 1 ，) 下面我们证明a i ：p p 是全连续算子 ( 1 ) 设 1 0 罡1 p ，u o p 且l i m j + 。嘶= 咖显然，( 日1 ) ，( 玩) ，( 日4 ) 及( 风) 保 证8 u p 炬呻，+ o o ) f ( ( t ) ( t ) + 昙) s u p z 磅f 0 ) = f ( 去) + o o ，s u n l o ，+ 。o ) g ( ( t ) + 去) s s 1 1 圭g 0 ) xf 1 ( z ) = 最( 击) g 1 ( z ) + o o ，彳 1 ，2 ，) 从而 ( 弛) ( ) + i ，嘶( ) + i ) l 。( 扪f ( n 三) “s u p g ( 。) t 另一方面，u q + 。u j = u o 意味着 ( 巩m ) + 磊1 = o 啪) d s + ：一r 似s ) d 卧：= ( m ) + 元1 ，v t 阶l 】 9 o ，l ( x ，”) 和五，1 ( 。，口) 的连续性保证 而，- ( ( t 吩) o ，) + ；，( t ，一) + 五1 ，i 。- ( ( t u j ) ( t 1 ) + ；， ，一) + ；) + 而，l ( ( t u 。) ( t 1 ) + ：，u 。- 一) + ；) + ，t ( ( t k 。) 。，) + 石1 ，u o ( t i - ) + 元1 ) ，j - - * + o o 相似地，我们有 ( t u i ) ( t ) + ；1 = j ：1 0 ( s ) d 5 + 再1 + 而，1 ( ( t u j ) ( t o + 石1 ，嘶( t 1 ) + 吉) + 1 1 ，l ( ( t u j ) ( t 1 ) + 元1 ，1 与0 1 ) + 击) _ 启t 1 0 ( 8 ) d s + 击+ i o 1 ( ( t u o ) ( t 1 ) + i 1 ，“o ( 亡1 ) + 丢) + 五，l ( ( t u o ) ( t 1 ) + 磊1 ，t 0 ( t 1 ) + 丢) = ( t u o ) ( t ) 十，v t ( t l ，+ 。) ，j 一十。 所以， j 姆o j ( t u j ) ( t ) + 音】= ( t 咖) o ) + i ，t 【0 ，+ o 。) ，的连续性意味着 f i t , ( t 嘶) 。) 十；，u j ( t ) + ；) 一，( ，( t u 。) ( ) + 五1 ，u 。( t ) + 磊1 ) ，v te j l e b e s g u e 控制收敛定理可以保证 s u p t , e ( t l ，+ 。) i ( a q ) ( t ) 一( a u o ) ( t ) i = s u p 蛭( t ，+ ) i j f ，( s ，( t 1 螂) ( 8 ) + 磊1 ，哟( t ) + 击) 幽一j 产，( s ，( t 咖) ( s ) + 苟1 ，u o ( t ) + 击) 幽 曼s u p t o i + o o ) j f i f ( 8 ，( t u j ) ( s ) + i 1 ，嘶( ) + ) 一f ( s ，( t u o ) ( s ) + 育1 ，t o ( t ) + ；) l 如 _ 饥i _ + o o ， s i l p 蜒隐。1 ) i t a u l ) ( t ) 一( a u o ) ( t ) j = s u p t e t x , t 。) ij 尹，( 邑( t 1 0 ) ( 5 ) + ，嘶( t ) + ；) d s + 1 1 ，1 ( ( t q ) ( t 1 ) + 石1 ，u j ( t l 一) + i ) 一j 产1 ( 8 ，( n 幻) ( s ) + 元1 ，乱0 0 ) + i ) d s 一1 1 1 ( ( t u o ) ( t o + 元1 ，u o ( t l 一) + 昙) i s s u p t 暗，t 。) j p i l ( s ，( t u l ) ( s ) + 若1 ，呦0 ) + 元1 ) 一y ( s ，( t u o ) ( s ) + 磊1 ，珈( t ) + 击) l d s + i 五。l ( ( t 锄) ( 亡1 ) + 百1 ，u o ( t l 一) + 石1 ) 一 ，l ( ( t u o ) ( t 1 ) + 元1 ，让o o l 一) + 击) j _ + 0 ，j _ + o 。， 及 s u p * 吣) i ( a u l ) ( t ) 一( 舢o ) ( t ) = ( 以q ) ( ：) 一( a “o ) ( ：) i _ 0 ，j _ + 。 1 0 所以 j t i m + 。i i a 嘶一a n t 0 = o 从而a 。：p p 是连续的 ( 2 ) 设d p 是有界的对于“d ，由于( t ) ( ) + ；1 兰；1 及“( t ) + i 1 五1 ，条件 ( h 0 ，c h 2 ) ，( 上h ) 和( 丑j ) 意味着s u p t e o ，+ ) f ( ( t 钍) ( t ) + 击) s u p 。去f ( z ) = f ( i ) ig 缸) + o 。，s u p , 【0 ，+ ) f 1 ( ( t u ) ( t ) + 击) s u 如砉f 1 ( = f 1 ( i ) + o o ，s u p t e o , + o 。) g 1 ( u ( t ) + i ) ss u p 。三鲁g l ( 。) + 0 0 所以， il 十j 了南( s ) d s f ( 击) s u p 。吉g ( 茁) + f 1 ( 矗) 8 u p 。三鲁g 1 ( 神 ( 缸m ) 曼 再1 o ，击) i 岳，( 岛( 乳) ( s ) + i 1 ，u ( s ) 十：) 如 g k ( 8 ) d s f ( 1 ) s u p z g ( z ) ，t 【：，t 1 ) 所以t ( a ) ( t ) f u d 在f 0 ，t 1 ) 上是普使迸续的 对于 ( t l ，+ o o ) ，我们有 i ( a 口) ( r ) 一( a “) ( ) i = i 彭，( s ，( n t ) ( s ) + 磊1 ，“( s ) + 砉) d 奢 k ( s ) d s f ( 1 ) s u p 。 ig ( $ ) ， 所以 ( a u ) ( o l u d ) 在( 如，+ o o ) 上是局部等度连续的 另外， l i m t 一+ 。s u p e di ( a ) ( t ) 一；1l s l i n a _ + s u p 。d i j 产，如，( t u j ) ( s ) + 元1 ，1 0 ( s ) + ：) d s l i m t _ + s u p z dij p 七( 5 ) d s l f ( ；) s u p x 上g ( 茁) _ 0 ， 所以 ( a d ) ( t ) ) 在+ 。具有等度的收敛性 所以，由引理1 2 ，3 可以推出( ( a d ) ) 是相对紧集 证完口 引理1 , 2 5 若t k ( t ) l 0 ，+ 。o ) ，存在y n p 使得 l 石1 + 伊，( 8 ，( t 掣h ) ( 3 ) + 元1 ，聃- o ) + j ) d s ，t ( l ，+ o 。) 蝴，= 怯麟裂擞1y n ( t l 揣，扣t 鼍t l ， n 2 固 i + n ，1 ( ( t 拆。) ( 亡1 ) + 元， 一) + 去) ，【击，) l ( ：) ，t 【o ，i ) 证明令= ，产( s ) d s ，a n s ，p 量k ( s ) d s n n 。 0 使得1 十f ( ：) s u p g 曝+ o o ) + ，1 a ( ；) s u p g l 瞄+ o o ) 曼凰， 令g = y p 晤( t ) 5 巩，g ( t ) 单调递减) 对于y g ，易见 i 1s ( a l ! ，) ( t ) i1 + j p ，0 ，( t 可) 0 ) + ；，( s ) + ；) d s ，t 0 l ，+ o o ) s 1 + f f f ( 3 ，( 勋) ( 3 ) + 符1 ，掣( s ) + ；) 幽+ 丑，1 ( ( ? 可。) ( t 1 ) + 五1 ，鲰( t 1 一) + 鲁) ，t 路，i ) l1 + 厚 】f o ，( 丁( s ) + 再1 ，掣( s ) + ：) d s + 丑，l ( ( t 骱) ( t 1 ) + 五1 ，钋；( t 1 一) + ：) ，t 1 0 ，：) 曼1 十j r 七0 ) f ( ( t 掣) ( s ) + 丢) g ( ( s ) + ；) d s + m ，1 f i ( t y ) ( h ) 十去) g l ( 可( t 1 ) + 击) ) s 1 + e 。克( 5 ) 如f ( 击) s u p g ( 睦，+ 。o ) ) + 7 l ，1 f l ( i 1 ，。u p u u 【磊1 ，十o 。) ) 马。 所以厶g g 又因为：g 一是全连续算子，所以如在矗中至少有一 个不动点 1 3主要结果 定理1 3 1 设( 凰) ，( 凰) ，( 风) ，( 凰) ，( 日5 ) 成立，且t k ( t ) l 0 ，+ o o ) 则方程 ( 1 1 1 ) 至少有个正解 证明由引理1 25 知道对于每一个存在y n g 满足 = 舞辫 ) + p ， h 0 和 如出 i 1 一n l n 山东师范大学硕士学位论文 下面我们考虑集合 ) ( 1 ) 我们证明对于任意的【a ，6 ( 0 ，+ 。o ) ， 鲰( t ) 在陋，b n o ，t 1 ) 和 d ，b n ( t l ，+ o 。) 上是等度连续的 令( t ) = i n f , 电l 蜘( t ) ，w ( t ) = s u ! l ( t ) 则一定有 0 o 使得m ( 亡0 ) = 0 ，则存在 。 满足e m + 。( t o ) 一0 弘的单 调递减性保证 ( t ) ) 在( 亡0 ，+ 一) 上一致收敛于0 取【a ，纠( m a x t l ，t o ) ，+ o 。) 条 件( 1 2 2 ) 保证，存在6 0 使得只要0 0 使得0 r 击d s = 1 矛盾所以，( t ) 0 ，te ( 0 ，十o 。) 令q ( t ) = i n f n _ l 詹( s ) d s 易见，”( t ) 0 ，t (