（系统工程专业论文）时变耦合延迟复杂网络的自适应同步和脉冲控制.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 现实生活中，许多系统可以用复杂网络来描述，例如，因特网， 万维网，细胞网络，新陈代谢网络等等。复杂网络中有趣的现象之一 是所有动力节点的同步。大规模节点突然地一起运动或行动就会导致 同步现象的出现。复杂网络同步已经成为许多研究和应用领域中的焦 点之一。 由于传播的有限速度或交通堵塞，在信息传输过程中有一些时间 延迟。在生物和物理网络中，时间延迟是非常常见的。在复杂网络模 型中，考虑时间延迟更符合实际。 本文主要研究时变延迟复杂网络的同步问题。首先，介绍了复杂 网络研究背景、现状和意义。其次介绍了复杂网络和同步的基本概念。 然后，介绍了本文的研究工作，可以概括为以下五个方面： 1 研究两个时变耦合延迟复杂网络间的广义投影同步 基于l y a p u n o v ( 李雅普洛夫) 稳定性理论，运用自适应方法，设计 非线性控制器和自适应律，实现两个时变耦合延迟复杂网络间的广义 投影同步。并将理论结果运用到两个时变耦合延迟能源复杂网络中， 实现能源复杂网络间的广义投影同步。本研究可以拓宽广义投影同步 方法的应用范围并对中国一些地区的能源供需具有指导意义。 2 研究时变耦合延迟部分线性系统的驱动响应网络的投影同 步 提出时变耦合延迟部分线性系统的驱动响应网络模型。基于 l y a p u n o v 稳定性理论，运用自适应方法，设计线性控制器和自适应 律，实现模型的投影同步，获得该网络的投影同步准则。此外，运用 m a t l a b 进行数值模拟，证实方法的有效性和可行性。 江 苏大学硕 士 学位论文 3 研究有时间延迟和无时间延迟连续系统的驱动。响应网络的 自适应脉冲同步 提出有时间延迟和无时问延迟连续系统的驱动响应网络模型。基 于脉冲控制系统稳定性的比较定理，运用白适应方法和脉冲控制方 法，设计连续控制输入，简单的自适应律和线性脉冲控制器，实现该 网络模型的自适应一脉冲同步。另外，给出两个数值例子证实定理的 有效性和正确性。 4 利用临近顶点信息研究时间延迟线性耦合网络的自适应同步 把复杂网络看作为一个图。在这些图中，每个顶点代表网络中的 一个节点。边代表节点之间的关系。图的同步可以用相应的拉普拉斯 矩阵的特征值信息来刻画。运用自适应方法，设计一种自适应律，该 自适应律仅依赖于顶点本身及临近顶点的状态信息。利用临近顶点信 息实现时间延迟线性耦合网络的同步。 5 基于自适应脉冲控制方法实现时变耦合驱动响应复杂网络 的投影同步 将脉冲控制和自适应控制方法相结合，设计简单的连续输入和线 性脉冲控制器，实现时变延迟耦合部分线性系统驱动响应网络的投 影同步，获得时变耦合网络的自适应脉冲投影同步准则。并且不需 要耦合构造矩阵是不可约的条件。另外，运用数值模拟证实方案的有 效性和可行性。 关键词：复杂网络，同步，时变耦合延迟，自适应控制，脉冲控制， 部分线性系统，临近节点，连续系统 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nr e a ll i f e ，m a n ys y s t e m sc a nb em o d e l e d 硒c o m p l e xn e t w o r k s f o re x a m p l e ， t h ei n t e r n e t ，t h ew o r l dw i d ew e b ，c e l l u l a rn e t w o r k s ，m e t a b o l i cn e t w o r k s ，a n ds oo n o n eo ft h ei n t e r e s t i n gp h e n o m e n ai nt h ec o m p l e xn e t w o r k si st h es y n c h r o n i z a t i o no f a l ld y n a m i c a ln o d e si nt h en e t w o r k i tc a i ll e a dt os y n c h r o n i z a t i o np h e n o m e n o nt h a ta l a r g es c a l eo fn o d e sm o v eo ra c ts u d d e n l yt o g e t h e r s y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e x n e t w o r k sh a sb e e no n eo ft h ef o c a lp o i n t si nm a n yr e s e a r c ha n da p p l i c a t i o nf i e l d s t h e r ea r es o m et i m ed e l a y si ns p r e a d i n go fi n f o r m a t i o nd u et ot h ef i n i t es p e e d s o ft r a n s m i s s i o no rt r a f f i cc o n g e s t i o n s t i m ed e l a y sa r ev e r yc o m m o ni nb i o l o g i c a la n d p h y s i c a ln e t w o r k s i ti sm o r e r e a l i s t i ct oc o n s i d e rt i m ed e l a y si nt h ec o m p l e xn e t w o r k s m o d e l s t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h es t u d yo fs y n c h r o n i z a t i o nf o rc o m p l e xn e t w o r k s 丽t l l t i m e v a r y i n gc o u p l i n g f i m t l y ，t h er e s e a r c hb a c k g r o u n d ，r e s e a r c hp r o g r e s sa n d m e a n i n gf o rc o m p l e xn e t w o r ka r eg i v e n s e c o n d l y , b a s i cc o n c e p t sf o rc o m p l e x n e t w o r ka n ds y n c h r o n i z a t i o na r ei n t r o d u c e d f i n a l l y , t h er e s e a r c hw o r ko ft h i sp a p e r i sp r e s e n t e d t h er e s e a r c hf o c u s e sm a i n l yo nf i v ep a r t s ： 1 g e n e r a l i z e dp r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nt w oc o m p l e xn e t w o r k sw i t h t i m e v a r y i n gc o u p l i n gd e l a yi si n v e s t i g a t e d b a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , a n o n l i n e a rc o n t r o l l e ra n da d a p t i v eu p d a t e dl a w sa r ed e s i g n e d u s i n ga na d a p t i v e m e t h o d ，g e n e r a l i z e dp r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nt w oc o m p l e xn e t w o r k sw i t h t i m e v a r y i n gc o u p l i n gd e l a yi sa c h i e v e d t h et h e o r yi sa p p l i e dt ot w oe n e r g yr e s o u r c e c o m p l e x n e t w o r k s 、航m t i m e v a r y i n gc o u p l i n gd e l a y g e n e r a l i z e dp r o j e c t i v e s y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nt w oe n e r g yr e s o u r c ec o m p l e xn e t w o r k si s a c h i e v e d t h i s s t u d yc a nw i d e nt h ea p p l i c a t i o nr a n g eo ft h eg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o nm e t h o d sa n d w i l lb ei n s t r u c t i v ef o rt h ed e m a n d - s u p p l yo fe n e r g yr e s o u r c ei ns o m er e g i o n so f c h i n a 2 p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o ni nd r i v e - r e s p o n s ed y n a m i c a ln e t w o r k so fp a r t i a l l y l i n e a r s y s t e m sw i t ht i m e v a r y i n gc o u p l i n gd e l a yi s d i s c u s s e d t h em o d e lo f d r i v e - r e s p o n s ed y n a m i c a ln e t w o r k so fp a r t i a l l y l i n e a rs y s t e m sw i t ht i m e v a r y i n g c o u p l i n gd e l a yi sp r o p o s e d b a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , u s i n gt h e a d a p t i v em e t h o d ，al i n e a rc o n t r o l l e ra n da l lu p d a t e dl a wa r ed e s i g n e dt or e a l i z et h e 江苏大学硕士学位论文 p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o no ft h em o d e l t h ec r i t e r i o n so fp r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n f o rt h en e t w o r ka r eo b t a i n e d m o r e o v e r , u s i n gm a t l a b ，s o m en u m e r i c a ls i m u l a t i o n s a r ec o n d u c t e dt ov e r i f yt h ec o r r e c t n e s sa n de f f e c t i v e n e s so ft h es c h e m e 3 a d a p t i v e - - i m p u l s i v es y n c h r o n i z a t i o n i n d r i v e - r e s p o n s e n e t w o r k s o f c o n t i n u o u ss y s t e m sw i t ht i m e - d e l a ya n dn o n - - t i m e - d e l a ya n di t sa p p l i c a t i o na r e i n v e s t i g a t e d t h em o d e l so fd r i v e - r e s p o n s en e t w o r k so fc o n t i n u o u ss y s t e m sw i t h t i m e - d e l a ya n dn o n t i m e d e l a ya r ep u tf o r w a r d b a s e do nt h ec o m p a r i s o nt h e o r e mf o r t h es t a b i l i t yo fi m p u l s i v ec o n t r o ls y s t e m ，u s i n gt h ea d a p t i v em e t h o da n di m p u l s i v e c o n t r o lm e t h o d ，a d a p t i v e - i m p u l s i v es y n c h r o n i z a t i o nf o rt h em o d e li sa c h i e v e d t h e c o n t i n u o u sc o n t r o li n p u t ，t h es i m p l eu p d a t e dl a w sa n dal i n e a ri m p u l s i v ec o n t r o l l e ra r e p r o p o s e d m o r e o v e r , t w on u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt ov e r i f yt h ee f f e c t i v e n e s s a n dc o r r e c t n e s so ft h e 也e o r e m 4 a d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o no fl i n e a r l yc o u p l e dn e t w o r k sw i t ht i m ed e l a yi s i n v e s t i g a t e dv i an e i g h b o r h o o di n f o r m a t i o n c o m p l e xn e t w o r k sc a nb ec o n s i d e r e da s g r a p h s i ns u c hg r a p h s ，e a c hv e r t e xs t a n d sf o ran o d ei n t h en e t w o r k t h ee d g e s r e p r e s e n tt h e r e l a t i o n sb e t w e e nn o d e s s y n c h r o n i z a t i o no fs u c hg r a p h sc a l lb e c h a r a c t e r i z e db yt h ee i g e n v a l u ei n f o r m a t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gl a p l a c i a nm a t r i x u s i n gt h ea d a p t i v em e t h o d ，t h eu p d a t e dl a w sf o re a c hv e r t e xa r ep r o p o s e dd e p e n d i n g o nt h es t a t ei n f o r m a t i o no fi t sn e i g h b o r h o o do n l y , i n c l u d i n gi t s e l f b a s e do nt h e l y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ，s y n c h r o n i z a t i o no fl i n e a r l yc o u p l e dn e t w o r k sw i t ht i m e d e l a y i sa c h i e v e dv i an e i g h b o r h o o di n f o r m a t i o n 5 p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o ni n t h e d r i v e - r e s p o n s ec o m p l e xn e t w o r kw i t h t i m e v a r y i n gc o u p l i n g i s i n v e s t i g a t e db ya d a p t i v e i m p u l s i v ec o n t r 0 1 i m p l l l s w e c o n t r o la n da d a p t i v ec o n t r o lm e t h o d sa r ei n t e g r a t e d a r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o ni nt h e d r i v e - r e s p o n s ec o m p l e xn e t w o r kw i t ht i m e v a r y i n gc o u p l i n gi sa c h i e v e d s i m p l e c o n t i n u o u s i n p u t s a n dal i n e a r i m p u l s i v e c o n t r o l l e ra r e d e s i g n e d s o m e a d a p t i v e - - i m p u l s i v e p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n c r i t e r i o n so fn e t w o r kw i t h t i m e - v a r y i n gc o u p l i n ga r ee s t a b l i s h e d a n dt h ec o u p l i n gc o n f i g u r a t i o nm a t r i xi s n o t r e q u i r e d i r r e d u c i b l e m o r e o v e r , n u m e r i c a l s i m u l a t i o ni su s e dt o v e r i f y t h e e f f e c t i v e n e s so ft h es c h e m e k e yw o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k s ，s y n c h r o n i z a t i o n ，t i m e - v a r y i n gc o u p l i n gd e l a y , a d a p t i v ec o n t r o l ，i m p u l s i v ec o n t r o l ，p a r t i a l l y l i n e a r s y s t e m s ， n e i g h b o r h o o di n f o r m a t i o n ，c o n t i n u o u ss y s t e m i v 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密 口。 学位论文作者签名：嗜长杰、指导教师签名：加，确 叩年厶月驯j 刁铂堋枷 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：、曾饫苁、 日期：砷年，月矽日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景、现状和意义 自然界和人类社会中存在的大量复杂系统可以通过形形色色的复杂网络加 以描述，各种生物网络( 食物链网络、蛋白质作用网络、新陈代谢网络、神经网 络) 、信息网络( 英特网、万维网) 和涉及社会各方面的各种网络( 包括高速公 路网、航空线路网、科研合作网络、社会关系网络) 等都是复杂网络。近年来， 复杂网络研究已经渗透到数理学科、生命学科和社会学科等众多不同领域，已成 为一个极其重要的挑战性课题。 传统上对网络的研究一般采用数学上的图论的方法。但经典图论所考虑的 一般是规则图。在上个世纪5 0 年代末6 0 年代初，两位匈牙利数学家在图论领域 做出了一个重要突破，即提出了随机图理论。他们用随机图来描述网络的拓扑结 构，这为复杂网络的研究奠定了一个数学理论基础。1 9 9 8 年，w a t t s 和s t r o g a t z 在规则网络中引入随机性，建立了著名的小世界网络模型【1 1 。1 9 9 9 年，b a r a b a s i 和a l b e r t 发现在很多大规模的复杂网络中节点的度分布服从幂律分布f 度分布的 函数曲线在双对数坐标系下是一条下降的直线) ，即无标度网络1 2 1 。随后b a r a b a s i ， m n e w m a n n ，d j w a t t s 共同编辑了“网络的结构与动力学”专著【3 】，该专著在 国际上产生了广泛的影响，引起了全世界的高度重视。标志着复杂网络研究进入 了网络科学的新时代，由此诞生了一门崭新的科学：复杂网络科学。 复杂网络研究具有很强的跨学科特色，它与数学、物理科学、复杂性科学、 非线性科学、计算机与信息科学、生物科学、系统科学、社会科学等众多学科广 泛交叉。并且新的问题和研究成果不断涌现。目前，它已成为一门国内外最热门 科学之一。 同步是复杂网络的重要现象之一，已得到了许多领域的关注【o l 。对网络同 步的研究在理论和实际应用中都具有重要价值。在理论上，对同步的研究可以使 我们更好地了解自然界当中的无处不在的同步现象；在实际应用中，同步在激光 系统、超导材料和通信系统等领域起着重要的作用。一些同步现象对我们是非常 江 苏大学硕士学位论文 有用的，如通信系统中信号的同步传递等等。最近，关于同步的文章大量涌现 1 1 1 剀。各种不同的同步方法已被研究，如完全同步f 矧，相同步【2 6 1 ，滞后同步【硐， 广义同步【2 8 1 ，不完伞同步【2 9 】等等。一个网络中动力节点的同步被认为是内同步 i 删；而两个复杂网络自j 节点的同步被称为是外同步【= 1 1 】。 广义同步作为一种同步方法被广泛研究。在1 9 9 6 年，g o n z a l e zm i r a n d a 首 次报道并讨论了广义同步【3 2 1 。从此，广义同步被大量研究，例如稳定性准则，它 的应用等等。而由比例因子刻画的投影同步是广义同步的一种。大部分现有的关 于投影同步的研究主要集中在两个耦合混沌系统上【3 3 。9 1 。 大多数现有的关于复杂网络同步的研究对一些结构和耦合函数完全已知的 网络是很有效的。然而，实际中，我们很难得到耦合强度的精确估计值并且对网 络结构的信息掌握很少。但采用自适应方法可以克服这些缺陷。自适应同步法是 采用自适应控制技术来自动调整系统的某些参数以达到同步的方法。在许多实际 应用中，系统的参数部分甚至全部是未知的，系统的参数也可能随时间的演化发 生变化。这种参数的不确定性会对系统的动力学行为产生很大的影响。自适应性 同步法对于实现参数不确定的系统的同步及参数识别有重要的意义和不可替代 的作用。最近，已出现大量利用自适应方法研究复杂网络同步的文章1 4 0 - 4 7 1 。 脉冲式同步一般统称为脉冲控制同步法，是通过系统问同步信号间歇性的 作用( 同步脉冲) 来实现系统的同步。脉冲控制同步法的数学基础足脉冲微分方 程。脉冲微分方程描述了某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃， 它是对自然界及人类社会中一种普遍存在现象的真实反映。科学和技术的许多领 域如理论物理、工业控制、生物技术、临床医学、经济、种群动力学等许多方面 的变化规律都可以用脉冲微分方程来刻画。脉冲控制允许仅使用少量的控制脉 冲，就能使系统达到稳定和同步。仅在离散脉冲瞬间，驱动系统就会发送同步脉 冲到响应系统。这就可以减少在传输信号中的信息冗余，并且增加了抗干扰的鲁 棒性。由于具有能源降耗、安全保密、较强的抗噪声能力和鲁棒性等特点，近年 来，脉冲控制同步法得到了很多领域科学家们的广泛关注。关于脉冲控制同步问 题的研究大量涌现【协5 6 1 。 在工程中，许多动力系统可由状态变量随时间演化的微分方程来描述。其中， 相当一部分动力系统的状态变量之间存在时间延迟现象，即系统的演化趋势不仅依 赖于系统当前的状态，也依赖于系统过去某时刻的状态。时间延迟在自然界中是 2 江苏大学硕士学位论文 一个普遍现象。近年来，在电路、光学、神经网络、生物环境与医学、物理学、机 械等领域，时滞动力系统己成为重要的研究对象。开展对节点带有时滞的复杂动力 网络的同步研究是很有意义。时变延迟网络的同步问题已被大量研究 5 7 - 6 4 1 。 对复杂网络的深入研究可以使我们更好地了解和解释现实世界的复杂网络： 另一方面可以把理论研究成果应用到具体问题当中，使得网络理论可以为我们所 用。 1 2 本文的研究内容和创新点 本文研究内容如下： 第一章介绍了复杂网络的研究背景、研究现状和研究意义。 第二章给出复杂网路的相关概念及广义同步、自适应控制和脉冲控制概念。 第三章研究了两个时变耦合延迟复杂网络问的广义投影同步。基于l y a p u n o v 稳定性理论，运用自适应方法，设计了非线性控制器和自适应律，实现了两个时 变耦合延迟复杂网络间的广义投影同步。并将理论结果运用到两个时变耦合延迟 能源复杂网络中，使实践和理论结果达到一致。其中能源系统复杂网络是指以中 国东部各省的能源系统作为网络节点，并按各省所处地理位置设计耦合矩阵。对 能源系统复杂网络的研究对中国一些地区的能源供需具有指导意义。 第四章研究了时变耦合延迟部分线性系统的驱动响应网络的投影同步。基 于l y a p u n o v 稳定性理论，运用自适应方法，设计了线性控制器和自适应律，实 现了模型的投影同步，获得了该网络的投影同步准则。最后，通过数值模拟证实 方法的有效性和可行性。 第五章研究了有时问延迟和无时问延迟连续系统的驱动响应网络的自适应 脉冲同步。基于脉冲控制系统稳定性的比较定理，运用自适应方法和脉冲控制 方法，设计了连续控制输入，简单的自适应律和线性脉冲控制器，实现了该网络 模型的自适应脉冲同步。此外，利用四个例子进行数值模拟证实定理的有效性 和正确性。 第六章利用临近顶点信息研究了时间延迟线性耦合网络的自适应同步。基于 l y a p u n o v 稳定性理论，运用自适应方法，设计了一种自适应律，该自适应律仅 依赖于顶点本身及临近顶点的状态信息。仅仅利用临近顶点信息实现了时间延迟 线性耦合网络的同步。进而，利用神经网络模型进行数值模拟证实方法的可行性 3 江苏大学硕士学位论文 和有效性。 第七章基于自适应脉冲控制研究了时变耦合驱动响应复杂网络的投影同 步。本章中将脉冲控制和自适应控制方法相结合，基于脉冲微分方程稳定性理论， 设计了简单的连续输入和线性脉冲控制器，实现了时变延迟耦合部分线性系统驱 动- 响应网络的投影同步，获得了时变耦合网络的自适应脉冲投影同步准则。并 且不需要耦合构造矩阵是不可约的条件。另外，运用数值模拟证实了方案的有效 性和可行性。 。 第八章对本文进行总结并对以后工作做一些设想。 本文的创新点如下： ( 1 ) 首次提出时变耦合延迟部分线性系统的驱动响应网络模型。运用自适应 方法，通过设计线性控制器和自适应律，实现了该网络的投影同步，获得该网络 的投影同步准则。 ( 2 ) 首次提出有时问延迟和无时间延迟连续系统的驱动响应网络模型。运用 自适应方法和脉冲控制方法，首次将连续混沌系统的同步研究推广到连续系统复 杂网络的同步研究。 ( 3 ) 将通过临近顶点信息的自适应网络的研究推广到通过临近顶点信息的 时间延迟的线性耦合网络的研究。运用自适应方法，提出一种自适应律，该自适 应律仅依赖于顶点本身及临近顶点的状态信息。通过l 临近顶点信息实现时间延迟 的线性耦合网络的同步。 ( 4 ) 将自适应方法和脉冲控制方法相结合，研究时变耦合部分线性系统驱动 - 响应复杂网络的投影同步，获得更加简捷、更加实用的网络同步准则。 4 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念 2 1 复杂网络有关概念 网络可以看作是具有一定特征和功能的个体通过个体之间的相互作用所组 成的集合，通常把个体视为网络的节点( n o d e ) ，把个体间的相互作用视为网络节 点与节点之间的连接或边( 1 i i l l 【或e d g e ) 。从数学的观点看，网络是通过边连接的 众多节点构成的具有一定状态和功能的图。而复杂网络是具有复杂的网络结构和 复杂的动力学行为的大规模网络，一般包含巨大数量的节点和丰富多样的拓扑连 接结构，呈现极其丰富的统计特性和动力学演化行为。 一个具体网络g 是由两个集合组成，它们分别称为网络的节点集合y ( g ) 和 节点间的连线集合曰( g ) ，其中y ( g ) = ，。，y 2 ，v ，这里屹( f = l z , ，n ) 是网 络的节点，n = i 表示网络中的节点数代表网络大小，边数记为m = 陋f 。如果 佃，l ，) e ( g ) gy ( g ) x v ( g ) ，则表示节点即和节点 ，之间存在一条连线( 通常约 定“不存在节点连结自己的连线 和“两个节点之间不存在有两条或两条以上连 线”。) 。按照连线不同性质，可以进一步把网络分成不同类型的网络。如果任意 点对( 口， ，) 和( 1 ，即) 对应同一条边，这称此网络为无向网络( u n d i 】r e c t e d n e t w o r k ) ， 否则称为有向网络( d i r e c t e dn e t w o r k ) 。如果连线是有权重的，则称为加权网络 ( w e i g h t e dn e t w o r k ) ，否则称为无权网络( u n w e i g h t e dn e t w o r k ) 。 在无向网络中，节点屹的度( d e g r e e ) t 定义为与该节点直接连接的其他节 点的数目( 实际上也是此节点与其他节点连接的边数) 。而在有向网络中，一个 节点的度分为出度( o u t d e g r e e ) 和入度( i n - d e g r e e ) 。出度是指从该节点指向其 他节点的边数，入度是指从其他节点指向此节点的边数。直观上来说，一个节点 的度表明此节点在网络中的重要性，度越大说明此节点在某种意义上就越重要。 2 2 同步有关概念 英语“同步 ( s ) ，i l c h r o n 娩a t i o n ) 一词源于希腊语词根z 0 6 v 0 5 ( c h r o n o s ，意为时间) 和0 6 v ( s y n ，意为相同) 组成，意为“共享相同的时间 。现在，同步多指在自然科 学和工程技术中广泛存在的一大类现象：表现为不同进程对于时间的一致性。生 5 江苏大学硕士学位论文 活中常见的如共振、蟋蟀的齐奏、剧院里观众响起的掌声等，都是广为熟知的同 步现象。尽管这些网络中的节点构成迥异，数目众多，且节点间的祸合强度和耦合 关系复杂，但大规模节点突然地一起运动或行动就会导致同步现象的出现。 在数学上，同步的定义多种多样，有完全同步( c o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n ) 、 相位同步( p h a s es y n c h r o n i z a t i o n ) 、时滞同步( l a gs y n c h r o n i z a t i o n ) 和广义同步 ( g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ) 等等 在本文中，主要研究复杂网络的广义同步和脉冲同步。 2 2 1 广义同步 考虑驱动网络 毫o ) = 五( 薯9 ) ) + e c , , a x j o ) ，i = l 2 , ，n ，( 2 1 ) 其中x i ( t ) = ( 玉。( f ) ，毛：o ) ，( f 矿e r “是第f 个节点的状态向量，五：r “一r “是 一个光滑的非线性的向量值函数。a r 是决定变量相互关系的内耦合矩阵， c = ( 勺) x e r x 是耦合构造矩阵，代表网络的耦合强度和拓扑结构。如果节 点f 和节点( j f ) 之间有连接，那么勺0 ；否则= 0 ，且矩阵c 的对角元素 定义如下： 气= 一勺，i = 1 , 2 ， j = l ，j 划 考虑响应网络为 y i ( t ) = g ( 咒o ) ) + 略q y j ( f ) ， i = 1 , 2 ”， ( 2 2 ) - 1 其中y i ( t ) = ( y n o ) ，y i ：( f ) ，( f 矿r “是第f 个节点的状态向量，g ；：r “_ r “ 是一个光滑的非线性的向量值函数。qer “是内耦合矩阵，d = ( 略) x r x 是耦合构造矩阵，和矩阵c 有相同的意思。 定义1 - 如果存在映射仍：r ”专r mo = 1 , 2 ，n ) 是连续可导向量映射。网络( 2 1 ) 和网络( 2 2 ) 实现广义同步，如果 ! 鳃善。弘o ) 一鲛 o ) ) l i _ o ( 2 3 ) 特别地，当满足m = 玎和识为恒同映射时，系统( 2 1 ) 和( 2 2 ) 实现完全同步。 6 江苏大学硕士学位论文 当满足m = ，z 和织( 毛( t ) ) = 2 x , ( 五0 ) 时，系统( 2 1 ) 和( 2 2 ) 实现投影同步。 2 2 2 自适应控制和脉冲控制 自适应控制的主要思想是利用自适应性控制项来弥补参数不确定造成的影 响。脉冲控制的主要思想是只要满足某些条件，就会改变系统的状态。运用脉冲 控制实现复杂网络同步的数学基础是脉冲微分方程。 一类典型的脉冲微分方程可以表示为 严) = 心，”，喇一”，扎( 2 4 ) 【a x = 色q - , x ( t 一) ) t = 气( 砸一) ) ，k = 1 , 2 ，一 、 其中a x = x ( t + ) 一x o 一) ，b ：尺q 专尺“，q r ”，缸：q r 满t k - 1 0 ) 气( 功， l i m 。气= 0 0 。这里第一个式子描述了方程的连续渐变过程，称为连续部分； 第二个式子刻画了方程的脉冲效应，称为脉冲部分；气决定了脉冲发生的时间， 称作脉冲时刻；最描述了脉冲跳跃的强度，称脉冲函数。当每个气都是常量函 数时，它是固定脉冲时刻的脉冲方程；否则，是变时刻的脉冲方程，不同初始位 置的解可能有不同的脉冲时刻。在本文中，将此脉冲微分方程推广到复杂网络。 在自适应脉冲控制下，复杂网络的微分方程可以表示为： 毫= z o ”+ 否l v c ：砂，+ 心f t k ( 2 5 ) 、f - 1i 么) i 【鼍= 毛( t ) 一再瓴) = 玩o ，玉) t = t k ，k = 1 , 2 ， 其中f = 1 ，2 ，n ，玉 ) 是玉( 气) 在t = 气处的右连续，毛( 巧) 是左连续，以) 满足 0 乞 ，代表脉冲跳跃发生的时间。u i 是连续控制输入，即自适应控制器。 玩是脉冲控制输入。本文中，我们选取的脉冲控制输入是常矩阵的线性脉冲控 匍i 器。 7 江 苏大学硕 士学位论文 第三章两个时变耦合延迟复杂网络间的广义投影同步 3 1 引言 最近，两个网络| 、| j j 广义同步的研究吸引了很多人的兴趣。在参考文献 6 5 1 q 口， 作者研究了驱动响应动力网络的广义投影同步并采用了牵制控制技术来操纵动 力网络的比例因子。在参考文献6 6 1 中，作者研究了复杂动力网络问的广义外同 步。但都未考虑时间延迟。事实上，时问延迟耦合特征普遍存在于生物和物理系 统中，例如生物神经网络，传染模型，通信网络，电力网格，能源模型等等。在 参考文献6 7 1 中，作者提出了带有不同耦合延迟的一种耦合方法以实现神经网络 的广义同步。在参考文献f 6 8 1 中，作者研究了一般复杂延迟动力网络模型的同步 动力学并讨论了时间延迟的影响。在参考文献1 6 9 1 q ，利用非线性反馈控制方法， 作者研究了一类延迟的神经网络的广义投影同步。然而对于实际的驱动网络和响 应网络，一般来说耦合构造矩阵是未知的。 本章中，我们采用自适应方法实现两个时变耦合延迟复杂网络间的广义投影 同步。基于l y a p u n o v 稳定性理论，设计非线性控制器和自适应律。进而，利用 能源系统和l u 系统作为网络节点，给出两个例子进行数值模拟，证实定理中提 出的方法的可行性。其中能源系统复杂网络是以中国东部各省的能源系统【7 0 】作为 节点，并按每个省所处地理位置设计耦合矩阵。得出的结果对中国一些地区的能 源供需有指导意义。 3 2 理论结果 我们考虑带有时变耦合延迟的一股复杂动力网络。这类网络是由带有线性祸 合的n 个相同节点组成，可以用以下方程来刻画： 毫( f ) = f ( t ，薯o ) ) + c , a x ，( t - 7 - ( t ) ) ，i = 1 ，2 ，n ， ( 3 1 ) j _ 1 其中毛o ) = ( 毛。( f ) ，毛2 ( f ) ，( f ) ) rc r “是第f 个节点的状态向量，厂：r x r “_ r ” 是一个光滑的非线性的向量值函数，7 ( f ) 是时变耦合延迟。a r 是内耦合矩 阵，c = ，) x er x 是耦合构造矩阵。如果节点f 和节点( j f ) 之间有连接， 8 江苏大学硕士学位论文 那么勺= 1 ；否则c ：= o ( j d ，且矩阵c 的对角元素定义如下： 气= 一白，i = 1 , 2 ， i = 1 ，剃 非线性函数f ( t ，毛o ”可以分解为b x i ( t ) + g ( t ，玉( f ) ) ，其中be r 一是一个常矩阵， g ：r x r 4 _ 尺“是一个光滑的非线性函数，因此网络( 3 1 ) 可以描述为： 毫( f ) = b x z ( t ) + g ( t ，五( 呦+ 勺a 巧p 一丁o ”，z = 1 2 ，0 2 ) i = 1 假设3 1 ( a 1 ) 丁( f ) 是一个可导函数，r o 亍( f ) 0 ，对任意x , ye r ” 使得 0g 一g ( y ) l l 0o ，_ = 1 , 2 ，) 是任意常数，那么响应网络( 3 3 ) 和驱动网络( 3 2 ) 实现同步，即l ，i m 。e , ( t ) = o ，i = 1 , 2 ，n 证明我们选择如下l y a p u n o v 函数： y = 三喜q r o k + 互1 各h 各n 铲1 _ 2 + 五1 各n - 芝, i 1 ( 4 一们2 + 南f 唧，喜q r ( ( p ) d p ( 3 8 ) 其中d + 是一个待定的正常