（基础数学专业论文）rn上一类重调和方程非平凡解的存在性.pdf

硕士学住论文 m a s t e r + s t h e s l s 摘要 i = 7 ( z ，u ) l 牟“( 。) 。o ( 0 1 ) l “日2 ( r ) ，。r 由于条件7 ( 。，n ) ，( u ) = 。j i m 了( q u ) 不一定成立，即方程在基本状态下的能量函数 不一定小于方程在无穷状态下的能量函数( 注；方程在基本状态下的能量函数为t( o 1 ) 所对应的泛函，( 砷= 厶一1 “1 2 如一厶”_ ( “) 出方程在无穷状态下的能量函数为； j 。( ) = ；厶w l u 1 2 缸一j 矗f ( u ) 如其中取而u ) = 厝7 ( 为t 皿；f ( u ) = 君，( ) d t ) 因此，我们无法运用通常的集中紧致的方法，对此问题进行研究为此，我们将方程 转化为兄”( 4 ) 上一类带有扰动项的重调和方程 l 酽“= ，( “) + 9 ( 2 ，u ) ，￥m “( z ) = o( o 2 ) l 日2 ( r ) ，茁矗 并运用扰动方法对此进行了研究( 其中，e g ( 扎“) = _ ( z ，“) 一，( u ) ，e 为任意小常数) ，( “) = o ( “9 ) ，1 p o ，使得当s ( 一o ，o ) 时，方程( o 2 ) 所对应 的泛函以( u ) = 厶。1 u 1 2 如一厶w ( f ( “) + s g ( z ，”) ) 如约束在z 上的极值为整体极值，即 当z 且v 五i i ( u ) = o 时，有v 以( u ) = o ，( 其中f ( u ) = 片，( t ) 矾：g ( z ，“) = 片g ( 。，t ) 出) 进一步，定义一个函数r ：( 一e o ，5 0 ) 舻+ 兄，r ( e ，日) = ，k 。e g ( $ ，却) 如，证明以( u ) 约 束在z 上的临界点，对应于r ( 5 ，o ) 在( 一e o ，e o ) 舻上的临界点 硕士举住论文 m a s t e r st h e s l s 最后，证明，( u ) = 。p ) ，1 ，( “) = 扯m 了( 墨，乜) ，w h i c hi st h ee n e 哪 f l l n c t i o n0 ft h ee q u a t i o ( 0 1 ) i nt h eb a 8 i cs t a t u 8m a yn o tl e 黯t h mt h ee n e r 鲥f u n c t i o no ft h e e q u a t i o n ( o 1 ) i nt h ei n 五王l i t es t a t u 8 ( t h ee n e r 科f l l n c t i o no ft h ee q u a t i o n 1 ) i nt h eb 舳i cs t a t u s i st ，( 钍) = ，r i | 2 如一厶f ( z ，u ) 如t h ee n e r 科f 1 1 n c t i o o f t h ee q u a t i o n ( o 1 ) i nt h ei 曲m t e s t 8 t u s i 8 ，”( “) 2 厶w i u | 2 出一j 矗f ( “) 如w h 口e _ ( z ，u ) = 口7 ( z ，) 出；f ( u ) = 嚣，( ) 出) s o ，w ec 衄tu s et h em e t h o do fc o m p a c t n e s st os t u d yt h ep r o b l o m ( 0 1 ) 0 nt h ec o n t r a r y ，w e c h a n g e t h ee q u a t 王o n t oaac l 孵so f b i h a r m o n i ce q u a t i 叽s 耐t ha p e r t l l r b a t i o n i n 兄( 4 ) 踮 a n ds t u d yi tb yt h em e t h o do fp e r t u r b a t i o n ( w h 髓e 印扣，“) = 7 ( z ，“) 一，( u ) ，ei sas m a uc o n s t a n t ) w h e n ，( 仙) = o ( 矿) ，l oa n de ( 一 o ，f o ) j ft h es u p p o s e dc o n d o n s “ l i i 船 等一 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 而( “) ”掣瑚e d t ( ”“8 ”f ( ) 2 臂，( t ) 出； g ( z ，u ) 2j ；：口( 。，t ) 出) w ec a a l s 。d e s c r i b et h a t w h e n t 上za n d v 以i 季“) = o ，v 五0 ) = oc a b ep r o 、埘 n l r t h e r m o r e ，w ed e 丘n eaf u n c t i o nr ：( 一e o ，印) r 工兄，r ( ，口) = j 矗e g 0 ，却) d t o p r 州et h a tt h ec r i t i c a lp o i n t 8o fj ( 让) c o 工l s t r a i n e do n 童c o r r 鼯p o n dt ot h e 茁i t i c 8 lp o m t s f ( ，8 ) o n ( 一e o ，知) r 工 a t l 8 s t t w e p r a v e 粕陋r ( e ，p ) = o r e b o t hs a t i s 丘e d u d e r t h e 栅oc i r c 哪8 t a c e s0 f ，( “) = d ( t 俨) ，1 p o ，z r ( 3 ) 在r “上正整解的存在性 文【9 】和文【1 0 】都要求其对应的泛函满足条件，( t t ) j 。( “) 其中l ，( u ) 为方程在基本 状态下所对应的泛函，j 一( “) 为方程在无穷状态下所对应的泛函 近年来，有人运用扰动方法对只”上小于临界指标的和具有临界指标的多种椭圆方程 问题在无需满足条件l ，( “) ，。( u ) 下进行了研究，并得出问题非平凡解的存在性 侧如，文【1 1 讨论了问题 j 一乜+ 札= b ( z ) i 珏p 一1 灶，1 p 等鬟 lu h 1 ( r ) 在满足一定条件下解的存在性 旷细 = ( m b 扛降 札舰 哦k，if1l 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 文【2 】则详细讨论了问题 其中 嘲( 酽8 v u ) 一南吲- 似( 圳筹，。e r 一。 。 学；一。 ( 半) 2一 口 下； 一o 。 ( 百一) p = ，( 。，6 ) = 矿磊而；。列 o ，d 1 ，2 ( r ) 的讨论( 其中p = 等篙，3 ) 文【3 】和文【4 】是对小于临界指标的和具有临界指标的一般性椭圆方程问题的证明，并 给出在一些特殊情况下问题得以解决的方法 扰动方法的基本思想是在条件j ( “) j ”( u ) 不成立的情况下，要想求得问题在五“上 的解，可以将方程转化为带有扰动项的方程，利用局部极小或极大即为整体极小或极大使 问题得以解决 2 顾士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 例如：文献【1 】将 f 一“+ u = 6 ( 。) l u l 9 1 ，1 p 等鼍 iu h 1 ( r ) 的非平凡解的存在性问题转化为 j 一t 工+ = b i u p 一1 u + ( 6 ( 茹) 一6 ) i 1 9 1 ，l 4 ) 上带有扰动项的一类重调和方程问题 i 2 u = ，( u ) + 印( z ，u ) i 尊凳“( 。) 2 o ( 1 2 ) iu 俨( r ”) ，$ r 进行研究 ( 其中，( “) = p m7 ( 置u ) ，印( 也u ) = 7 ( z ，“) 一，( u ) ，e 为任意小常数) l o l 一 由于条件了( z ，n ) ，( “) 不再成立，无法运用通常的集中紧致的方法进行研究，因此 在这篇文章中我们运用了扰动的方法 本文主要讨论了，( “) = o ) ，l o 和光滑函数u = u ( 口，e ) ：r ( 一e o ，o ) + 日2 ( 置) ，使 得对w 舻，垤( 一o ，e o ) 有 ( i ) u ( 口，e ) 上足z ( 1 1 ) 以湎+ u ( 日，e ) ) 正z ( i i i ) | | ( 口，e ) ，a ( 日，e ) ) 0 + o ( 当e + o 时) ( 2 ) 由定理2 1 的结论，我们可证明方程( 1 2 ) 所对应的菠函五( ) = 厶”i u 1 2 出一 ，r 。( f ( u ) + g ( 。，u ) ) 出约束在岔上的极值为整体极值( 其中f ( u ) = 片，( t ) 出； g ( 文“) = j ：9 ( z ，t ) 出) ，即 定理2 2 季且v 五i i ( “) = 0 时，有v 以( u ) = o ( 3 ) 定义一个函数r ：( 一e o ，o ) 舻+ r ，r ( 5 ，p ) = 厶一e g ( 墨却) 如，并进一步证明下面 的结论 引理3 1 泛函以( u ) 约束在喜上的临界点，对应于r ( s ，日) 在( 一o ，o ) 舻上的临界点 ( 4 ) 讨论，m ) = d ) ，1 o ，使得当川 r 时，对w r ”，有咖，忙g 扣一日，加) l 出 o ，j r o ，使得当 r 时，对堆 o ，k r ”右j i 。l ，i g ( 徊计 f ，劲) l 如 4 ) 上 带有扰动项的重调和方程 i 2 “= ，( u ) + e 口( 丑，“) i 器b “( 。) 2 o ( 2 2 ) iu 日2 ( r ) ，z 冗 再进行研究( 其中，( n ) = u m7 ( z ，“) ，s 9 ( z ，u ) = 只z ，“) 一，( u ) ，e 为任意小常数) l o 。 当e = o 时，方程( 2 2 ) 化为 l 2 u = 弛i ) i 鼻“( 。) 2 o ( 23 ) iu h 2 ( r ) ，咒。v ( 注： ，( u ) 满足一定条件时。方程( 2 3 ) 有唯一非平凡解如( 参看文献【5 】 6 】( 8 】) ，这是前人已 证结果，第三部分将给予说明) ( 2 2 ) ，( 23 ) 所对应的泛函分别为 五( “) = ；上。l 砰如一上。( f ( “) + e g ( z ) 如 矗( u ) = ；上。l 砰a z 一上。f ( “) 如 这里f ( “) = f ，( t ) 出，g ( 。，) = 譬9 ( 。，t ) d 亡 我们将，( u ) = o ( u p ) ，1 p o ，g ( z ，“) d 2 ( r ，【一m ，m 】) ( 卯) i 黑帮鲺其中 ( 9 3 ) 器帮虬其中 1 g o 为一常数 1 o ，b o 为常数 类似文献我们有，如果而( u ) 满足下列条件 ( j 1 ) 对比日互算子d 2 如( 印) 是紧的( 2 5 ) 协) 对v 印z ，非退化条件瓦z = k e r d 2 而( z p ) 成立 型我们可找到舻( r “) 上的一个光滑函数u2 u ( 8 ，) ：r r 一h 2 ( 冠) ，并构造流形 z = 伽+ u ( 目，e ) ：却五p 舻) 使得方程( 2 2 ) 所对应的泛函以( u ) 约束在牙上的极值为 整体极值，即当u 雪且v 五i j ( “) = o 时，有v 五( u ) = o i 2 妒= ，似日) 妒 i 妒( 。) 。0 i 妒h 2 ( 咒) ，z 冗 6 e r d 2 而) ) 对应于方程( 23 ) 的线 ( 26 ) 的解空间( 参看文献f 7 】) 对此的解决我们将在下面的定理2 1 和定理2 2 中给出 我们首先用三个引理引出定理2 1 设 q i ，1sisl ) 代表b z 的一组标准正交基，类似文献斟，我们定义了下面的函数 上 日( 口 。) = ( 怖+ u ) 一a 吼，( ( q 1 ) ，乳) ) ) f = l 善f 中u 日2 ( r ) ，o r 五 显然日( 口，o ，o ，0 ) = ( 0 ，0 ) 在下面的引理2 1 中，我们将讨论关于函数日( 口，u ，a ) 的一些重要的性质 引理2 1 a ( p ，o ，o ，o ) 是可逆的，且( 5 9 ( 口，o ，o ，o ) ) _ 1 有界 证明： 对v ( ，卢) ，i5l ，ls1 ，由日( 口，e ，u ，a ) 的定义得 c 赢瓢o t o ，o ”舻c 犯卜砉删州a 似， 皿， ( i ) 类似文献1 3 】中的证明，我们有 假设( 石( 却) u 一岛( ( u 9 1 ) ，( ”，钆) ) ) = ( o ，o ) ，则 对v 反由协) 有 l 屈= 屈l i 哦1 1 2 = ( 屈吼) = ( 石( 句) 址吼) = ( 省( 却) 吼，”) = o ( 2 8 ) l = 1 所以口= 0 对有 一方面，由( 2 8 ) 可知石( 却弘= o ，进而由( j 2 ) ，”e z 另一方面，由( ( u ，9 1 ) ，( ”，札) ) = ( o ，o ) 可知u 上l z 所以= 0 由( 27 ) 可知百若( 口，o ，o ，o ) 是可逆的 7 射 ( i i ) 由( 2 5 ) 的u 1 ) 知i i 豸) i i g ，所以 工l | | j 6 ，( 却) ”一觑仇o 硝( 知) ”| i + o 屈承| | l - = 1 = 1 工 e + 俐蚓 = 1 g + 工 l 嗽州1 ) ，( 虹) ) i | o ，e o o 使得当h o ，s o o 使得当h 5 0 时 岛。( q ) ：丑m ( o ) + b m ( o ) 是压缩映射 口 由岛，。( 口) ：b p o ( o ) ，b 。( o ) 是压缩映射，我们就可以得到下列结论t 引理2 3 存在唯一光滑函数u = u ( d ，e ) ：形( 一e o ，e o ) + 铲( r ”) ，使得u ( p ，e ) 上l z 并且j ：( 却+ u ( 8 ，) ) l z 证明： 由引理2 2 ，岛，e ( 。) ：( o ) 一( o ) 是压缩映射 再由压缩映射不动点定理，在( o ) 内存在唯一的扣( 8 ，e ) ，o ( 口，e ) ) ，使得 岛，e 扣( 日，e ) ，o ( 口，e ) ) = ( 日，) ，a ( 口，e ) ) 由功，。( 日，) ，n ( 日，e ) ) 的定义知日( 口，s ，u ( 日，) ，n ( 日，e ) ) = ( o ，o ) 一方面，由h ( p ，u ( p ，e ) ，n ( 口，e ) ) 的定义知 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s u ( 口，e ) 上疋互( 却+ u ( 伊，e ) ) e z 另一方面，由引理2 1 和隐函数存在定理知，u ( 口，) 是连续可微的 从而引理2 3 的结论得证 口 进一步，我们可得出引理2 3 中得到的函数u ( 日，s ) 的另一个性质： 引理2 4 忪( 口，e ) l f + o ( 当e 充分小时) 证明； 记磁。是岛，。的k 次迭代，且卫缸( o ，o ) = ( o ，o ) 由引理2 2 ，存在o o 和光滑函数u = u ( 日，) ：r 。( 一e o ，e o ) + 日2 ( r ”) ，使 得对v 口舻，垤( 一e o ，s o ) 有 ( 1 ) u ( 口，e ) 上正z ( 1 1 ) ( 知+ u p ，e ) ) e z ( i i i ) 忪( 日，e ) 0 ，o ( 当e - o 时) 1 0 由定理2 1 的结论，我们可以构造流形牙；协+ u ( 口，e ) ：翔z ，日讲) ，使得方程 ( 2 2 ) 所对应的泛函五( u ) 约束在量上的极值为整体极值 定理2 2 如果札三且v 以i 女( u ) = o ，那么v 以( u ) = o 证明t 类似于文献【2 】的证明思路，我们有 由于h z 且v 以i i ( u ) = o ，则 对抛= 劲+ u ( 口，e ) 乏有v 五( 句+ 。 ) ) 上l 三，即 ( j ：( 瑚+ u ( p ，e ) ) ，西+ o ( 一，e ) ) = o ( 其中葫表示对= d 关于口求导，其余解释裙同且以后不再说明) 当e o 且( 一印，e o ) 时，由定理2 1 的( i ) ，对v 相五有( 钿，u ( 日，) ) = 0 两边关于8 求导，有 ( 妇，u 徊，s ) ) + ( 知，o 徊，e ) ) = 0 再由定理2 1 的( i i ) 可知，存在常数c 和某个却互使得( 却+ u ( 口，e ) ) = c 钿 所以有 o = ( ( 却+ u 徊，) ) ，如+ o p ，e ) ) = ( c 三日，西+ o ( 臼) ) = c ( i l 西| | 2 + ( j 日，o ( 疗，e ) ) ) = c d ( | | z o 驴( j o ，u ( 口，) ) )( 其中d o ) 由于愉1 1 2 o ，并且当e 充分小时，由定理2 1 的( i i i ) ，u ( 口，) ) 充分小 所以1 1 2 一怖，u ( 口，f ) ) o ，从而，c = o 故，只扣u = 却+ “j ( 日，e ) 喜，有以( 印+ u 徊，e ) ) = o 口 由以上结论可知，我们只需证明方程( 2 2 ) 所对应的泛函五( “) 约束在三上的临界点存在 就可解决我们要研究的问题( 22 ) 3 存在性结果 下面的部分我们来证明以( ”) 约束在三上的临界点的存在性 首先定义一个函数r ：( 一印，e o ) 舻+ 兄，r ( ，口) = 厶。g ( z ，如) 出 引理3 1 泛函以( ) 约束在量上的临界点对应于r ( ，口) 在( 一印，岛) 舭上的临界点 证明t 舭= 印+ u 三，有 五渤+ u ) = ；厶( i 印+ u 1 2 出 ，( f ( 却+ u ) + g ( 。，如+ u ) ) d 。 j = ；上。i 却1 2 a z 一上。f ( 却) a 。 + 厶却幽出+ 扎m 如 一五。( f 渤+ u ) 一f ( 引) 如一上。s g ( 墨却+ u ) 出 = 山) + ，却u 出一 ，( 句如出 j r “ j r “ + ；上。i 卯出一上。s g ( 。，训如 上。吲叩加如+ 。( u ) 如( 如) = g 而( 铀) = 岛 由即是方程( 2 3 ) 的解，知 上。幻u 出一上，( 训u 出= 。 1 2 当s 适当小时，由定理2 1 的( i i i ) 和( 2 4 ) ：上。阻1 2 d z 刮) = 出) 上，b ( z 内) w 陋s ( 厶蛔( z ，引i 学如) 南怕i i 再由( 2 4 ) ，有 ( 厶咐懈卯删删字如) 煮 蚓州( 厶俨1 如) 最+ ( 厶蚓掣斋州圳 = g 吲( 0 却旷+ i l 却扩) h 叫i = 0 0 ) 阮驯上。吲( 击什1 + 南坩“) 出 g h ( 1 i 幻j r + 1 + i i 却| | ”1 ) 从而当e 适当小时 = d ( ) 五( 幻+ 口) = c b r 扛，e ) + 0 扛) 故泛函以( “) 约束在z 上的临界点对应于r ( ，口) 在( 一e o ，印) 舻上的临界点 口 由引理3 1 ，对以( u ) 约束在z 上的临界点存在性证明，就可转化为对更加简单的函数 1 1 ( 邑日) 在( 一印，o ) r l 上的临界点存在性的证明，首先我们将对，( ”) = d ( 扩) ，1 p 簧箬 和，( “) = 伊，p = 等笺两种情况下，分别证明1 1 ：( 一印，印) 舻+ r 在例+ o o 时，均 有r ( ，o ) 一o 因为，只要证明f e ，d ) 在日的无穷远处为o ，那么在日有限处它必定存在极 值从而r ( ，d ) 在( 一s o ，印) 舻上的临界点存在性得证在证明之前，我们先检验第二部 分中，j 0 ( “) 的假设条件( 25 ) 成立，那么引理2 1 到引理2 4 自然成立从而定理2 1 和定 理2 2 均成立 下面对f ( u ) 的不同情况进行讨论 1 3 硕士学住论文 m a s t e r st h e s l s 当f ( u ) = o ( u p ) ，1 o ，使得当 r 时，对r ”，有正咖，i e g 0 一口，钿) l 如 o ，孙 o 使得当蚓 r 时，对r “，有 t 脚以酬如 o ，j r r 使得当h r 时，有 i g ( 蚴) 2 r 时，若吲 兄，从而 g ( 一即o ) 2 耐，有五l 。r 忙g 扛一口，柚1 如 o ，| 月 o ，当 2 瑚寸 1 4 阮8 ) h 厶5 g ( 蚴) 如l 兰i g ( z 一日，2 b ) i d z j = fl g 扛一p ，印) f 出+ i s g p 一日渤) j 出 j i 净rj l 圳 o ，f r ”) 构成而( ) 的+ l 维流形 第二部分对 ( u ) 的假设条件( 2 5 ) 中的u 1 ) 显然成立，下证0 2 ) ( 其中l = + 1 ，p = ( p ，) ，且卢 o ，r ) 引理3 2 证明耳，f z = k e r d 2 j 0 ( 知，f ) ) cd 纰( j ) ( 注s 此引理证明参考了文献1 4 】，但在对k 分类讨论的过程中，由于无法直接得出解， 本文在此运用常微分方程比较定理使问题得以解决) 证明； 显然 ，f z x t d 2 j o ( z p ，0 我们现在正需证 k e r d 2 j 0 ( 知f ) ) 耳，f z ，即 如果“d 2 2 ( r ) 是方程2 = p ；1 的一个解，则“，f z 我们可寻找方程2 u = p i l u 的形为u = 慨( r ) k ( p ) 的锯( 参看文献【1 5 1 ) 妒m ( r ) = 。一，“( r 口) ，z ( 口) d 8 ， p y i = 一! ! ：! ! ：! ；! 二二二堕k 1 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 所以p 嚯一l 讯k = 2 ( 吼圪) = ( ( 饿+ 尘 戗一丛! ! ；j 型m ) k ) 吼= 鲣等型k 一塑警 那么方程2 u = p j 1 式可化为下面的式子 _ p ，+ 三! ；旦妒箸+ 【! ! l 二掣一! 兰掣】妒： + 一! ! l 掣一! ! ! _ = l 生；掣+ ! 翌竺掣】妒：( 3 1 ) l r 3r 3r 3 j r k ， + 【嫂掣一业警型m = p 。：“机 ( i ) 当k = o 时，( 3 1 ) 式变为 妒+ 兰掣簖+ 坠掣菇妒o + 二+ 二毫j f i = p 一1 【p 。 坠掣矗* j u 易证巩和( r ) 是( 3 2 ) 的解 若h ( r ) 是( 3 2 ) 的另一非平凡解，且与d 。知( r ) 线性无关，则必有 “( r ) = c ( r ) d ，知( r ) ，其中c ( r ) 常数，从而有 c ( r ) 巩知( r ) + ( 4 啡( r ) + 兰兰掣巩知( r ) ) 以r ) + ( 6 巩翻+ 堕掣巩+ 掣笋 + ( 4 巩枷) + 堕竿旦巩翻+ 型二挚型巩撕 1 6 ( 32 ) 一坠生! 笋l 尘巩和( r ) ) 阳 = 0 我们记上式为工o c ( r ) = o 可计算出 当r 充分大时岛r 一4 o ，且当r + o 。时工o r ”一4 o 由常微分方程比较定理( 参看文献f 16 】) 当r 充分大时c ( r ) r ” 而当r o 。时，r 4 巩和( r ) m 石兰 毛口“( 且”) 故当r + o 。时，“( r ) 善p + 1 ( 冗”) 从而u ( r ) 毛d 2 t 2 ( r ”) 所以= o 时，( 3 2 ) 只有解巩缸( r ) ( i i ) 当= 1 时，( 3 1 ) 变为 并7 + 兰掣妒? + ( 坠掣型一墨掣) 妒： + ( 一! 二掣一掣+ 兰塑；旦) 妒： ( 3 3 ) 一r 3r 3 ，甲l巾， + ( 掣一壁掣) 妒。 = 蛾“妒1 易证艺( r ) 是( 3 3 ) 的一个解 同k = o 时的证明一样，假设( 3 3 ) 有另一个非平凡解u ( r ) ，且与z ：( r ) 线性无关 则当r + o 。时， “( r ) r ”一3 ( r ) 2 赤”一3 毛工升1 ( r ) 从而p ) id 2 ，2 ( r ”) 所以( 3 ，3 ) 只有解= ：( r ) 1 7 ( i i i ) 当三2 时，记( 3 1 ) 为 女妒 = o 对北2 当r 充分大时，对任意常数c o ，a t c o ，且r + o o 时m c + o 由常微分方程比较定理( 叁看文献( 1 6 1 ) 当r 充分大时，v 嘟有c 而c 毛三卅1 ( j ) t 从而毛d 2 2 ( j c ) 所以2 时( 3 1 ) 式无解 由以上可知方程( 2 7 ) 的解是n + 1 维的则耳 2 j o ( 2 ，) 耳，f z 从而引理得证 口 类似于定理3 2 的证明，下面我们来证明此种情况下 知r ( 岛“f ) = o ( 在此情况 k l 下，记俐i = + 川) 定理3 2 假设对叻 o ，孙 o ，使得当 r 时，对札 o ，k r ”有办，e g ( 西计 6 如) 陋 o ，卦 o 使得当 r 时，对 o ，k 冗”有 i g ( 而z + ，翮) f 如 o ，j 月 r 使得当例 础时，有 g ( 为瑚i 2 r 时，若 r ，从而 ，“ 。 陋临蜓砌” o ，当p + 2 r 时 球舶钏= l 厶叫即时) 如 = 五l ，等旧( 历托酬如 彬五i 。等( 伽托圳出 叼 所以 知r ( e ，p ，) = o p 十l i ， 口 由以上对，( “) = o ( u ，) ，1 p 等等和，( “) = u ，p = 等等两种情况的讨论，我们最后 得出本文结论： 定理3 3 问题( 2 1 ) 至少存在一个非平凡解 证明如果我们有7 ( m ，“) ，使得，( u ) = j i m 了( z ，“) 满足文献刚6 l 中给出的条件，并 i # l _ 。 且对任意小常数e ，g ( z ，u ) = 地粤= 丝满足本文中给出的条件( 9 1 ) 恤) ) ，则本文以上证 明的结论均成立由定理和3 1 和定理3 2 可知，( u ) 在两种情况下均有。j i mr ( f ，目) = o ， l o 即r ( 5 ，日) 在日的无穷远处为o ，必在目的有限处存在极值，从而r ( ，日) 在( e o ，e o ) 舻上 的临界点存在由引理3 ，1 。以( u ) 约束在z 上的临界点存在，即五( “) 约束在z 上有极 值再由定理2 2 ，五( n ) 在整体上的极值存在，即问题( 2 2 ) 非平凡解的存在性得证从而 问题( 2 1 ) 至少存在一个非平凡解 口 到此，我们得出本文结论：7 ( z ，u ) 满足一定的条件，问题( 2 1 ) 至少存在一个非平凡 解 1 9 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】m a r i n ob a 出猷e f ，i n 丘n i t e l ym a n y8 0 l u t i o l l 8f o ra8 e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o ni n r 、，i aap e r t l l r b a t i o nm e 七h o d ，2 0 0 0 2 】v e r o n i c af e l l i ，m a t t h i 船s c h e i d e r ，p e r t b a t i o nr e 8 u l t 8o fc r i t i c a le m p t i c e q u a t i 0 s0 fc 赶打e u i - k o h n - n i r e n b e r gt y p e ，m s c ，1 9 9 1 1 3 i a n t o i oa m b r o s e t t ia n dm a r i n ob a d i a l e ，h o m o c l i n i c 8 ：p o i n c a f 昏 m e l n i k o vt y p er 鹤l l ：l t sv i aav a d a t i o n a l 印p m a c h ，a n n ，i n s t h e r ip o i c a r 6 ， 1 9 9 8 1 5 ：2 3 3 - 2 5 2 【4 】a a m b r o s e t t tj g a r d a a z o r e r 0 ，a n di p e r a l t ，p e r t l l r b a t i o n o f + t 上等驾= o ， t h es c d a rc l l r v a t l l r ep r o b l 锄i nr a n dr e l a t e dt o p i c s 【5 】w a l t b rw ，g 皿z e1 0 8 u n g 眦d e rd 硪r e n t i 缸g l e i d n l i l g p u = ，( ) 川， m a t h z ，1 9 5 7 ，6 7 ：3 2 3 7 6 】k l l 8 a n ot ，s w a s o nca ，p 0 8 i t i v ee n t i r es o l u t i o 璐o fs 咖i l i n e 甜b i h 盯m o n i c e q u a t i o n