课标版数学中考第二轮专题复习-开放型试题含答案.doc

开放型试题开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用。例1（2005年梅州）如图，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点。（1）如果 ，则DECBFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论。分析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件。解：（1）AE=CF（OE=OF；DEAC；BFAC；DEBF等等） （2）四边形ABCD是矩形，AB=CD，ABCD，DCE=BAF 又AE=CF，ACAE=ACCF，AF=CE，DECBAF说明:考查了矩形的性质及三角形全等的判定。练习一1. (2005年黑龙江课改）如图, E、F是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件: _ ，使四边形AECF是平行四边形. 2、（2005年金华）如图，在ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BDBE.（1）请你再添加一个条件，使得BEABDC，并给出证明.你添加的条件是： .证明：（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： . （只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）3、（2005年玉溪）如图，在梯形ABCD中，ADBC，BDCD，ABCD且ABC为锐角，若AD4，BC12，E为BC上一点。问：当CE分别为何值时，四边形ABED是等腰梯形？直角梯形？请分别说明理由。图1HGABCEFBGCHAFE图2图3BCGHEFAPAGCBHFE例2、（2005年长沙）己知点E、F在的边 AB 所在的直线上，且，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G如图l，如果点E、F在边AB上，那么；如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_ ；如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_ ；对三种情况的结论，请任选一个给予证明分析：这是一道探索、确定结论的开放型试题，解决这类问题的方法是根据条件，结合已学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解。解：(2)线段EG、FH、AC的长度的关系为：EGFH=AC(3)线段 EG、FH、AC的长度的关系为：EGFH=AC证明(2)：如图2，过点E作EP/BC交AC于PEG/AC，四边形EPCG为平行四边形EG=PCHF/EG/AC，又AE=BF AC=PC+AP=EG+FH即EG+FH=AC.说明：考查了全等三角形、平行四边形的判定及性质以及平行线，分线段成比例或相似三角形的性质练习二1、（2005年武汉）如图1，AB是O的直径，AC是弦，直线EF和O相切于点C，ADEF，垂足为D。(1)求证：DAC=BAC；(2)若把直线EF向上平行移动，如图2，EF交O于G、C两点，若题中的其他条件不变，这时与DAC相等的角是哪一个?为什么?2 （2005年包头） 如图1，O1与O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D。经过点B的直线EF与O1交于点E，与O2交于点F。 (1)求证：CEDF；(2)在图1中，若CD和EF可以分别绕点A和点B转动，当点C与点E重合时(如图2)，过点E作直线MNDF，试判断直线MN与O1的位置关系，并证明你的结论。3、（2005年四川）己知：如图，E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF。 (1)求证：ABECDF； (2)若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论。4、（2005年黄冈）如图，已知O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA = EC。 求证：AC2= AEAB； 延长EC到点P，连结PB，若PB = PE，试判断PB与O的位置关系，并说明理由。OPFEDCBA5、（2005年枣庄）如图，O1和O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，A,B为切点，试判断以线段AB为直径的圆与直线O1O2的位置关系，并说明理由例3、（2005年陕西课改）如图，直线CF垂直且平分AD于点E，四边形ADCB是菱形，BA的延长线交CF于点F，连接AC。（1） 图中有几对全等三角形，请把它们都写出来；（2）证明：ABC是正三角形。A E DB CF分析：本题需学生根据给定的条件，通过观察，分析，探索多个不明确的结论。求解此类问题时，切勿凭空乱想，应仔细对照条件，观察图形特征，联想已学知识，方法或已解决过的问题，全方位的、多角度地作全面分析。 解：（1）图中有四对全等三角形，分别为ABCCDA，AEFDEC，DECAEC，AEFAEC。（2）证明：CF垂直平分AD，ACCD 又四边形ABCD是菱形，ABBCCDDAABBCACABC为正三角形。说明：1.考查三角形全等的判定、垂直平分线的性质及菱形的性质及等边三角形的判定等知识点。2.这类试题因为对学生的观察能力、分析问题和解决问题的能力有一定的要求，所以最近几年中考试题的命题热点。练习三1.（2005年武汉）已知：如图，在ABC中，点D、E分贝在边AB、AC上，连结DE并延长交BC的延长线于点F，连结DC、BE。若BDEBCE180.（1）写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；（2）请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由。2、（2005年宁德）如图，已知E、F是ABCD的边BA、DC延长线上的点，且AECF，线段EF分别交AD、BC于点M、N。请你在图中找出一对全等三角形并加以证明。解：我选择证明_.3、（2005年内江市课改）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线上，且过A、B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D、E，请你仔细观察后，在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。CABDO4、（2005年陕西）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O。（1） 图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；（2） 任选（1）中的一对全等三角形加以证明。ADHFEGBC5、（2005年宁波）如图,ABC中,AB=AC,过点A作GEBC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的延长线分别交GE于点E、G.试在图中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明。能力训练1、（2005年北京海淀区）已知ABC，分别以AB、BC、 CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF.(1)如图1，当ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；(2)如图2，当ABC中只有ACB=60时，请你证明SABC与SABD的和等于SBCE与SACF的和.图22（2005年河南）如图，给出五个等量关系：AD=BC、AC=BD、CE=DE、D=C、DAB=CBA。请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确命题(只需写出一种情况)，并加以证明。3（2005年武汉）将两块含30角且大小相同的直角三角板如图1摆放。（1）将图1中绕点C顺时针旋转45得图2，点与AB的交点，求证：；（2）将图2中绕点C顺时针旋转30到（如图3），点与AB的交点。线段之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图3中线段绕点C顺时针旋转60到（如图4），连结，求证：AB. 4、（2005年河南华师实验区）如图，梯形ABCD中，ADBC，ABDC，P为梯形ABCD外一点，PA、PD分别交线段BC于点E、F，且PAPD。（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明。5、（2005年佛山）已知任意四边形ABCD，且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q（1）若四边形ABCD如图，判断下列结论是否正确（正确的在括号里填“”，错误的在括号里填“”）甲：顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形；（ ）乙：顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形（ ）（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断（3）若四边形ABCD如图，请你判断（1）中的两个结论是否成立？ 6、（2005年河南课改）如图，在ABCD中，点E、F在BD上，且BFDE。写出图中所有你认为全等的三角形；延长AE交BC的延长线于G，延长CF交DA的延长线于H(请补全图形)，证明四边形AGCH是平行四边形。7（2005年湖南湘潭）如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，D为垂足。由以上两个条件可得_。(写出一个结论)8（2005年徐州）如图11，AC是平行四边形ABCD的对角线。(1)用直尺和圆规作AC的垂直平分线和边AD、BC分别相交于点E、F，垂足为O。连结AF、CE(保留作图痕迹，不写作法)BACD(2)判断四边形AFCE是否为菱形，并说明理由。9（2005年武汉）在某数学小组的活动中，组长为大家出了一道函数题：这是一个反比例函数，并且y随x的增大而减小.请你写山一个符合条件的函数表达式_. 10、（2005年青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。 （1）求证：； （2）四边形MENF是什么图形？请证明你的结论； （3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明理由。11（2005年南京）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角。例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90。(1)判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）。等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180。（ ） 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180（ ） （2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120的是 （写出所有正确结论的序号）：正三角形；正方形；正六边形；正八边形 。 （3）写出两个多边形，它们都是旋转对图形，都有一个旋转角为72，并且分别满足下列条件:是轴对称图形，但不是中心对称图形： ; 既是轴对称图形，又是中心对称图形： . 12（2005年太原）如图，在锐角ABC中，BA=BC，点O是边AB上的一个动点(不与点A、B重合)，以O为圆心，OA为半径的圆交边AC于点M，过点M作O的切线MN交BC于点N。 (1)当OA=OB时，求证：MNBC； (2)分别判断OAOB、OAOB时，上述结论是否成立。请选择一种情况，说明理由。13、（2005年茂名）三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q， （1） 若AB=6，求线段BP的长；（6分）（2） 观察图形，是否有三角形与ACQ全等？并证明你的结论，14、（2005年太原丽水）如图，AB是O的直径，CB、CE分别切O于点B、D， CE与BA的延长线交于点E，连结OC、OD（1）求证：OBCODC；（2）已知DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，选用以上适当的数，设计出计算O半径r的一种方案：你选用的已知数是 ； 写出求解过程（结果用字母表示）15、（2005年恩施）如图,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,AD和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC平分DAB,延长AB交DC于点E。（1）判定直线DE与圆O的位置关系，并说明你的理由；（2）求证：AC2=ADAB；（3）以下两个问题任选一题做答 若CFAB于点F,试讨论线段CF、CE和DE三者的数量关系;若EC=5,EB=5,求图中阴影部分的面积.16、（2005年江苏）如图1：O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CEAB，在上取一点D，分别作直线CD、ED交直线AB于点F、M。（1）求COA和FDM的度数；（2）求证：FDMCOM；（3）如图2：若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M，试判断：此时是否仍有FDMCOM？证明你的结论。 17、（2005年武汉）已知：如图，直线交轴于，交轴于，与轴相切于O点，交直线于P点，以为圆心P为半径的圆交轴于A、B两点，PB交于点F，的弦BEBO，EF的延长线交AB于D，连结PA、PO。（1）求证：；（2）求证：EF是的切线；（3）的延长线交于C点，若G为BC上一动点，以为直径作交于点M，交于N。下列结论为定值；线段MN的长度不变。只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值。答案：练习一1、略2、添加条件例举：BABC；AEBCDB；BACBCA；AEBC，CDAB等. 证明例举（以添加条件AEBCDB为例）： AEBCDB，BEBD，BB， BEABDC. 另一对全等三角形是：ADFCEF或AECCDA. 3、（1）当CE4时，四边形ABED是等腰梯形。 理由如下： 在BC上截取CEAD，连结DE、AE， ADBC，四边形AECD是平行四边形。AECDBD。 BE12484，即BEAD，AB不平行于DE， 四边形ABED是梯形。 AECD，CDBD， AEBCDBC。 在ABE和DEB中， ABEDEB （SAS）。ABDE， 四边形ABED是等腰梯形。 （也可不作辅助线，通过证明ABDEDC而得ABDE） （2）当C6时，四边形ABD是直角梯形。 理由如下： 在BC上取一点，使CB6，连结D， BDCD DBC 又BAD，ADB，AB不平行于D 四边形ABD是直角梯形。练习二1、2、34、连结BC提示：可证AECACB所以得，即AC2ABAEPB与O相切连结OB，PBPEPBEPEB123，PEB1321而PBE2PBC，OBCOCB而RtBCF中，OCB902901OBC901OBPOBCPBC1（901）90PBOB，即PB为O的切线。5、解：直线O1O2与以线段AB为直径的圆相切 理由如下： 过P作01，02的公切线PM交AB于点M，则 AM=MB=MP，O1O2MP. M点为以线段AB为直径的圆的圆心，且点P在M上 01和O2外切于点P，直线O102过点P. 直线01O2与以线段AB为直径的圆相切练习三1、解：（1）ADEACB，ECFBDF，FDCFBE. （2）略。2、解法一：我选择证明EBNFDM证明：ABCD中，ABCD，BD，ABCDEF又AECFBEDFEBNFDM解法二：我选择证明EAMFCN证明：ABCD中，ABCD，DABBCDEF ，EAMFCN又AECFBEDFEBNFDM3、ACDCBE 证：由题意知CAD+ACD=90，ACD+BCE=90 CAD=BCE又ADC=CEB=90，AC=CBACDCBE4、解：（1）图中有三对全等三角形：AOBAOD， COBCOD，ABCADC。（2） 证明ABCADC。5、解：BCFCBD. BHFCHD. BDACFA. (注意答案不唯一) 证明BCFCBD.AB=AC.ABC=ACB. -BD、CF是角平分线.BCF=ACB，CBD=ABC.BCF=CBD. 又BC=CB.BCFCBD. 提高训练1、1解：（1）略.（2）解法一：过A作AMFC交BC于M，连结DM、EM. 因为ACB=60，CAF=60，所以ACB=CAF. 所以AFMC，所以四边形AMCF是平行四边形. 又因为FA=FC，所以AMCF是菱形. 所以AC=CM=AM，且MAC=60.在BAC与EMC中， CA=CM，ACB=MCE，CB=CE, 所以BACEMC. 所以DM=BC. 则DM=EB，DB=EM. 所以四边形DBEM是平行四边形. 所以SBDM+ SDAM+ SMAC= SBEM+ SEMC+ SACF. 即SABC+SABD=SBCE+SACF. 2、AD=BC、AC=BD；3（1）证明：过点作CA的垂线，垂足为DD易知：CD为等腰直角三角形 DA是直角三角形，且A30， 所以 故 . （2）解： 过点作C的垂线，垂足为E，易知：E为等腰直角三角形（其中2ACA45） CE是直角三角形，且130，所以 故 （3）证明：将图3中线段绕点C顺时针旋转60到，易证： ，于是45， 故AB.4、ABPDCP；ABEDCF；BEPCFP；BFPCEP；（2）以ABPDCP全等为例：证明：ADBC，ABDC，梯形ABCD为等腰梯形，BADCDA，又PAPD，PADPDA，BAPCDP，在ABP和DCP中，ABPDCP。5、（1）甲 乙 （2）证明（1）中对甲的判断：连接EF、FG、GH、HE， E、F分别是AB、BC的中点，EF是ABC的中位线。 EFAC ，EF=AC， 同理，HGAC ，HG=AC， EFHG，EF=HG四边形EFGH是平行四边形6、ABECDF，AEDCFB，ABDCDB；BFDE，BFFEDEFE，即BEDE。四边形ABCD是平行四边形，ABCD。ABDCDB。在ABE和CDF中：ABECDF，AEBCFD，HCCG，四边形AGCH为平行四边形。7、8、9答案不惟一，例如，写出的关系式只要满足xy值为正数即可.10（1）证明：ABCD为等腰梯形， （2）四边形MENF是菱形 （3）梯形的高等于底边BC的一半，连结MN 11（1）假真；（2）、；（3）如正五边形，正十五边形；如正十边形，正二十边形12、13.（1） ADE （2）图中的EGP与ACQ全等 证明：ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形 既AC=EG AD/HE EGPACQ14（1）证明：CD、CB是O的切线，ODC=OBC=90， OD=