（计算机软件与理论专业论文）混沌系统的控制与同步中若干问题的研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文利用理论推导和数值模拟相结合的方法研究了混沌控制及混沌同步中的相关 问题，取得了如下成果： 首先，利用经典反馈法实现了l i u 系统的混沌控制，并基于r o u t h - h u r w i t z 判据讨 论了受控l i u 系统的混沌轨道达到渐进稳定时的条件，并给出了理论上的证明。数值模 拟进一步验证了这种反馈控制方法可成功将l i u 系统混沌运动轨道镇定到不稳定平衡点 或不稳定周期轨道，即极限环上。 其次，以r 6 s s l e r 系统为研究对象，分别研究了主、从系统参数全不确定以及主系 统参数确定、从系统参数不确定这两种情况下的混沌同步问题。针对每种情况，根据 l y a p u n o v 稳定性定理设计出了基于参数自适应辨识的自适应控制器，理论证明了这两 种控制器可使两个相同的r 6 s s l c x 系统渐进地达到同步。数值仿真进一步证明了这两种 控制器的有效性。 再次，研究了四维超混沌r 6 s s l c r 系统的投影同步问题，基于状态观测器方法和极 点配置技术，设计了一种控制器，理论证明了该控制器可使误差信号收敛到零点。该控 制器有两个优点：能使耦合系统的全部状态变量达到投影同步；投影比例因子与同步误 差系统的可控性无关，故可任意调整。最后，数值仿真证明了该控制器的有效性。 最后，基于状态观测器方法和极点配置技术，设计了一类混沌系统投影同步方案， 使得一类混沌系统达到了投影同步。与w o n 和x u 提出的方法相比，本方法在驱动系统 的输出中去掉了系统的非线性项，简化了驱动系统的输出。最后，用统一混沌系统进行 了数值仿真，仿真结果进一步证明了该方法的有效性。 关键词：混沌控制；经典反馈法；参数不确定；观测器；投影同步 大连理工大学硕士学位论文 r e s e a r c ho fs o m ep r o b l e m si nc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o no fc h a o t i c s y s t e m s a b s t r a c t t h er e l a l i v ep r o b l e m so fc h a o sc o n t r o la n dc h a o ss y n c h r o n i z a t i o na t es t u d i e di nt h i s t h e s i s u s i n gt h em e t h o d so ft h e o r e t i c a l d e r i v a t i o na n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n 1 1 l em a i n a c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h er e s e a r l d ha r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , c l a s s i e a lf e e d b a c km e t h o di su s e dt oc o n t r o lc h a o si n “ud y n a m i c a ls y s t e m b a s e d0 1 1t h er o u t h h u r w i t zc r i t e r i a t h ec o n d i t i o r so ft h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h es t e a d y s t a t e so ft h ec o n t r o l l o dl i us y s t e ma r ed i s e u s s e d ，a n dt h e ya l ea l s op r o v e dt h e o r e t i c a l l y n u m e r i c a ls i m u l a t i 0 1 1 8s h o wt h a tt h em e t h o dc a nb o t hs u p p r e s sc h a o st ou n s t a b l ee q u i l i b r i u m p o i n t sa n du n s t a b l ep e r i o d i co r b i t so i m i tc y c l e s ) s u c c e s s f u l l y s e c o n d l y , a s s u m i n gt h er 5 s s l e rs y s t e m 髂ar e f e r e n c e t h i sp a p e rs t l l d i e st w oc a s e so f c h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o no fap a i ro f ( m a s t 盯a n ds l a v e ) s y s t e m s ：o n ew i t hf u l l yu n c e r t a i n p a r a m e t e r sf o rb o t h , t h eo t h e r 吐i e r et h em a s t e rs y s t e mh a sf i x e dg i v e np a r a m e t e r sw h i l et h e s l a v es y s t e mi se n d o w e dw i t hu n c e r t a i np a r a m e t e r s 1 r i 坞r e s p e c t i v ea d a p t i v ec o n t r o l l e rb a s e d o np a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o ni st h e nd e s i g n e d ，a c c o r d i n gt ol y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r e m t h e ni t i sp m v e dt h a tt h et w oc o n t r o l l e r sa 他c a p a b l eo fm a k i n gt h et w o ( i d e n t i c a l ) r o s s l e rs y s t e m s a s y m p t o t i c a l l ys y n c h r o n i z e d n u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t sf u r t h e rt e s t i f yt h ee f f i c i e n c yo f c o n t r o l l e r s 删y t h i sp a p e rs t u d i e sp r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o no ft h er o s s l e r sh y p e r c h a o t i e s y s t e ma n dd e s i g n sac o n t r o l l e rb a s e do l lt e c h n i q u e sf r o mt h es t a t eo b s e r v e rd e s i g na n dt h e p o l ep l a c e m e n tt e c h n i q u e i ti sa l s op r o v e dt h a tt h es t r a t e g yc a l lm a k et h eo i t o rs y s t e ms t a b l e 碱sc o n t r o l l e rh a st w oa d v a n t a g e s ：f i r s t ，i ti sc a p a b l et oa c h i e v eaf i l l l - s t a t es y r 岫i r o i l i z a t i o l l ； s e c o n d l y t h es e a l a rf a c t o r 啪b ea d j u s t e da r b i t r a r i l yi nd u ec o u r s eo fc o n t r o lw i t h o u t d e g r a d i n gt h ec o n t r o l l a b i l i t y a tl a s t ，f e a s i b i l i t yo f t h et e c h n i q u ei si l l u s t r a t e d f i n a l l y ，b a s e do nt e c h n i q u e sf r o mt h es t a t eo b s e r v e rd e s i 弘a n dt h ep o l ep l a c e m e n t t e c h n i q u e ，w ep r e s e n tas y s t e m a t i cd e s i g np r o c e d u r e t os y n c h r o n i z eac l a s so f c h a o t i es y s t e m s b yas c a l i n gf a c t o r ( p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n ) c o m p a r e dw i t ht h em e t h o dp r o p o s e db yw e n a n dx u , t h i sm e t h o de l i m i n a t e st h en o n l i n e a ri t e mf r o mt h eo u t p u to f 也ed r i v es y s t e m f i n a l l y f e a s i b i l i t yo f t h et e c h n i q u ei si l l u s t r a t e df o rt h eu n i f i e dc h a o t i cs y s t e m k e yw o r d s ：c h a o sc o n t r o l ；c l a s s i c a lf e e d b a c km e t h o d ；u n c e r t a j np a r a m e t e r s ； o b s e r v e r ；p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：纨i e i 势i ：竺卑l 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：盔錾塾 导师签名 ：茎毛、 业a _ 年_ l 月立日 大连理工大学硕士学位论文 引言 混沌理论被认为是2 0 世纪人类认识世界和改造世界的“第三次革命”。它的创立， 在确定论和概率论这两大科学体系之间架起了桥梁。今天，混沌理论与计算机科学理论 相结合，使人们对一些久悬未解的基本难题的研究取得了突破性进展，在研究客观世界 的复杂性方面发挥了巨大作用，成为世人瞩目的学术研究热点【。 控制和利用混沌是当前自然科学基础研究的热点问题之一。1 9 8 9 年h u b l e r 发表了控 制混沌的第一篇文章【5 】，之后，o f t 等人提出了控制混沌的o g y 方法 6 1 ，c a r r o l l 等提出了 混沌自同步方案【7 1 。近十年来，随着混沌控制与混沌同步的研究蓬勃发展，这一方向迅 速成了混沌研究领域的重要热点【8 1 。 为此，本文首先利用经典反馈法实现了l i u 系统的混沌控制，并基于r o u t h - h u r w i t z 判据讨论了受控l ，i u 系统的混沌轨道达到渐进稳定时的条件，并给出了理论上的证明。 数值模拟进一步验证了这种反馈控制方法可成功将l i u 系统混沌运动轨道镇定到不稳定 平衡点或不稳定周期轨道，即极限环上。其次，以r j s s l e r 系统为研究对象，分别研究了 主、从系统参数全不确定以及主系统参数确定、从系统参数不确定这两种情况下的混沌 同步问题。然后，针对超混沌系统现象，研究了四维超混沌r j s s l e r 系统的投影同步问题， 基于状态观测器方法和极点配置技术，设计了一种控制器，理论证明了该控制器可使误 差信号收敛到零点。最后，又基于状态观测器方法和极点配置技术，设计了一类混沌系 统投影同步方案，使得一类混沌系统达到了投影同步。用统一混沌系统进行了数值仿真， 仿真结果进一步证明了该方法的有效性。 本文的组织如下：第一章简要介绍了混沌理论、混沌控制和混沌同步的基础知识。 第二章介绍了本文所用到的一些基础理论。第三章介绍了利用反馈控制实现将“u 系统 控制到不稳定周期点或不稳定周期轨道。第四章介绍了主、从系统参数全不确定以及主 系统参数确定、从系统参数不确定这两种情况下的r j s s l e r 系统混沌同步问题。第五章 基于状态观测器方法和极点配置技术，研究了超混沌系统和混沌系统的投影同步问题。 最后给出了全文的结论。 混沌系统的控制与同步中若干问题的研究 1 混沌理论概述 1 1 混沌的产生与发展 混沌，通常理解为混乱、无序、未分化，如所谓“混沌者，言万物相混成而未相离” ( 易经) 。混沌最初进入科学与天文学中宇宙的起源有关，它来源于神话传说与哲学 思辨。在现代，混沌是指在确定性系统中出现的类似随机的过程，其来自非线性。混沌 理论的发展壮大是在2 0 世纪7 0 年代t 3 4 ，1 2 4 1 ，现在方兴未艾。 给出混沌解第一个例子的是1 9 6 3 年美国数学家l o r e n z 在美国大气科学杂志上 发表的文章“确定性的非周期流”【1 2 1 。他从对流问题中提炼出一组三维常微分方程组用 来描述天气的演变情况，发现了天气演变对初值的敏感依赖性。为此l o r e n z 提出了一 个形象的比喻：“巴西的一只蝴蝶煽动几下翅膀，可能会改变3 个月后美国得克萨斯州 的气候”。这就是著名的“蝴蝶效应”。 1 9 6 4 年，h 6 n o n 等人发现了h 6 n o n 吸引子。r u e l l e 和t a k e n s 提出“奇怪吸引子” ( s t r a n g ea t r a c t o r ) 的名词，同时将奇怪吸引子概念引入耗散系统，并于1 9 7 1 年提出了一 种新的湍流发生机制。这一工作由g o l l u b 等人的实验结果所支持，并对后来关于s m a l e 马蹄吸引子的研究起到一定的推动作用。s m a l e 马蹄吸引子是指在l o r e n z 以后，美国数 学家s m a l e 发明了被称做“马蹄”的一种结构，以后的岁月里成为混沌经久不衰的形象。 接着s m a l e 又提出的马蹄变换，为2 0 世纪7 0 年代混沌理论的研究做好了重要的数学理 论准备。 1 9 7 5 年，李天岩和y o r k 提出“周期3 蕴含混沌”的思想，被认为是混沌的第一次 正式表述，。c h a o s ”一词也自此正式使用【1 3 1 。在这个基础上，f e i g e n b a u m 于1 9 7 8 年 发现了倍周期分叉通向混沌的两个普适常数，并引入了重整化群思想，这是一个重大的 发现，具有里程碑的意义。在混沌理论的发展中，各种混沌现象不断被发现，各种分析 方法和判据也相继被提出。混沌理论在许多领域获得了广泛的应用【1 一 当代科学对混沌理论的研究才刚刚开始，目前仍处于具体分析阶段，尚未奠定统一 的理论基础，因而对它们的深入研究还有待于科学的进一步发展。对混沌、分形进行广 泛、深入和细致的研究，无论在理论上还是在造福人类的应用上都具有重大而深远的意 义，它们代表了时代发展的方向，可以预言，二十一世纪将是非线性科学迅猛发展的时 代。 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 1 2 混沌的定义 混沌现象虽己引起学术界的极大兴趣，然而迄今为止，混沌一词还没有一个公认的 普遍适用的数学定义2 1 。有人认为，在不严格的意义上，如果一个系统同时具有对初值 的敏感性以及出现非周期运动，则可认为系统是混沌。但更多的学者认为，给出混沌的 精确定义是相当困难的事情。 混沌一词最先由李天岩和y o r k e 提出。1 9 7 5 年他们在美国数学月刊上发表了题 为。周期3 蕴含混沌”的文章，并给出了混沌的一种数学定义，现称为l i y o r k e 定义或 l i - y o r k e 定理【1 3 】。 考虑一个把n f 司 a ，6 】映为自身的、连续的、单参数映射 f ：【口，b x r 【口，6 1 ，( 毛五) i - - - f ( 毛五) ， x r 。 亦可写成点映射形式： + l = f ( ，a ) ，【口，明。 定义1 1 连续映射或点映射f ： 口，b x r 专 4 ，b 】，“a ) i - - ) f 瓴a ) 称为是混沌的， 如果： ( 1 ) 存在一切周期的周期点； ( 2 ) 存在不可数子集s c 口，6 】，s 不含周期点，使得 舰i n 叫f 。( x ，a ) 一f 4 ( y ，a ) 1 2 0 ，x , y s ，x ；e y ， 舰s u p i f ”( 毛彩一f “o ，五) j o ，x , y a s ，x y ， 舰s u p i f 4 ( 工，a ) 一f ”( p ，a ) | o ，x e s ，p 为周期点。 此定义中前两个极限说明子集的点x s 相当集中而又相当分散；第三个极限说明 子集不会趋近于任意点。与此同时，l i - y o r k e 给出了l o g i s t i c 映射 。= 钝o 一) ，毛【0 , 1 】，a e 0 ，4 】， 在五= 3 5 7 时出现混沌的例子。 根据l i - y o r k e 定义，一个混沌系统应具有三种性质：存在所有阶的周期轨道； 存在一个不可数集合，此集只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接 近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐近 周期轨道；混沌轨道具有高度的不稳定性。 混沌系统的控制与同步中若干问题的研究 混沌现象的发现以及基于上述定义，使人们认识到客观事物的运动不仅是定常、周 期或准周期的运动，而且还存在着一种具有更为普遍意义的形式，即无序的混沌。正是 有了混沌现象，人们发现，在确定论和概率论这两套体系的描述之间存在由此及彼的桥 梁。混沌的发现还使人们认识到，像大气、海洋这样的耗散系统是一个对初始条件极为 敏感的系统，即使初始条件差别微小的两种状态，那么最终也会导致结果的很大差异， 甚至两种结果变得毫无关系，这就是所谓的非线性确定性系统的长期不可预测性。混沌 概念的提出，还使得人们能够将许多复杂现象看作是有目的、有结构的行为，而不再是 某种外来的偶然性行为。 1 3 混沌的特征 混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动形态，出现在某些耗散系统、不可 积h a m i t o n 保守系统和非线性离散映射系统中。如前所述至今科学上仍没有给混沌下一 个完全统一的定义。混沌的定常状态不是通常概念下确定性运动的三者状态：静止( 平 衡) 、周期运动和准周期运动，而是局限于有限区域且轨道永不重复、性态复杂的运动。 它有时被描述为具有无穷大周期的周期运动或貌似随机的运动等。与其他复杂现象相 比，混沌运动有着自己独有的特征，主要有以下几点： ( 1 ) 有界性：混沌是有界的，它的运动轨迹始终局限于一个确定的区域，这个区域 称为混沌吸引域。无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨迹都不会走出混沌吸引域。所 以从整体上说混沌系统是稳定的。 ( 2 ) 遍历性：混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限时间内混沌轨道 经过混沌区内每一个状态点。 ( 3 ) 内随机性：在一定条件下，如果系统的某个状态可能出现，也可能不出现，该 系统被认为具有随机性。一般来说，当系统受到外界干扰时才产生这种随机性，一个完 全确定的系统( 能用确定的微分方程表示) ，在不受外界干扰的情况下，其运动状态也应 当是确定的，既是可以预测的。混沌的内随机性实际就是它的不可预测性，对初值的敏 感性造就了它的这一性质，同时也说明混沌是局部不稳定的。 ( 4 ) 分维性：分维性是指混沌的运动轨线在相空间中的行为特征。混沌系统在相空 间的运动轨线，在某个有限区域内经过无限次折叠，不同于一般的确定性运动，不能用 一般的几何术语来表示，而分数维正好可以表示这种无限次的折叠。分维性表现为混沌 运动无限层次的自相似结构。 ( 5 ) 标度性：标度性是指混沌运动是无序中的有序态。其有序可以理解为：只要数 值或实验设备精度足够高，总可以在小尺度的混沌区内看到其中有序的运动图样。 大连理工大学硕士学位论文 ( 6 ) 酱适性：所谓普适性是指不同系统在趋向混沌态时所表现出来的某些共同特征， 它不依具体的系统方程或参数而变。具体体现为几个混沌普适常数，如著名的 f e i g e n b a u m 常数等普适性是混沌内在规律性的一种体现。 ( 7 ) 统计特征：正的l y a p u n o v 指数以及连续功率谱等。l y a p u n o v 指数是对非线性 映射产生的运动轨道相互间趋近或分离的整体效果进行的定量刻画。对于非线性映射而 言，l y a p u n o v 指数表示以维相空间中运动轨道沿各基向量的平均指数发散率，当 l y a p u n o v 指数小于零时，轨道间的距离按指数缩小，系统运动状态对应于周期运动或 不动点；当l y a p u n o v 指数大于零时，则在初始状态相邻的轨道将按指数分离，系统运 动对应于混沌状态；当l y a p u n o v 指数等于零时，各轨道间距离不变，迭代产生的点对 应分岔点( 即周期加倍的位置) 。对混沌系统而言，正的l y a p u n o v 指数表明轨线在每个局 部都是不稳定的，相邻轨道按指数分离。但是由于吸引子的有界性，混沌轨道只能在一 个局限区域内反复折叠，但又永远互不相交，从而形成了混沌吸引子的特殊结构。 1 4 混沌控制和混沌同步概述 控制和利用混沌是当前自然科学基础研究的热点问题之一，对这一问题的研究具有 重要的理论和实际的意义。其原因是：一方面，在过去的许多年中，人们一般相信混沌 运动既是不可预报的，又是不可控制的。因此，对某些实际系统出现分岔和混沌往往是 不希望的，甚至是有害的。人们希望能够找到一些方法来控制系统中的分岔和混沌行为。 另一方面，混沌在某些环境下是有用的，当系统处在混沌状态时，它包含有各种各样的 失稳的周期、准周期运动。如果能够找到一些方法把系统从混沌运动状态变到所希望的 周期、准周期运动状态，那就为混沌的利用提供了一些方法。因此，控制混沌的主要目 的是消除已有的混沌运动，或降低混沌运动程度。从原则上讲，通过对实际系统进行修 改或施加控制总会影响混沌运动的生存条件，从而可设法消除或抑制混沌运动【8 。9 】。但 这些控制方法尚未利用混沌的内在动力学特性，实现中往往要对原系统作较大的修改或 输入较大的控制能量。因此，由于混沌系统有其特殊性，使得系统的预测估计和控制都 比较困难。 1 9 9 0 年，p e c o r a 和c a r r o l l 首次提出了“混沌同步”的概念，并在电路实验中实现 了耦合混沌系统的自同步。由于混沌同步在保密通信、信号处理和生命科学等方面有着 十分广泛的应用前景和巨大的市场潜在价值，引起了人们极大的关注，并对此进行了广 泛而深入地研究暇6 】。现在的研究方向包括混沌系统的自同步，以及非恒同混沌系统的 同步等。最近，一些学者拓广了同步的概念，提出并实现了不同类型的混沌同步，如： 完全同步，广义同步，相同步，延迟同步等。 混沌系统的控制与同步中若干问题的研究 近十年来，人们尝试各种方法对混沌系统进行控制，并提出了基于不同角度的各种 控制混沌的方法，如o g y 法、偶然正比反馈技术( o c c a s i o n a lp r o p o r t i o n a lf e e d b a c k ) 、自 适应控制、滑模变结构控制、线性反馈控制、自控制反馈控制等方法。混沌控制目标也 由最初的不动点、低周期轨道镇定发展到高周期轨道、准周期轨道的镇定：被控对象由 最初的低维系统发展到高维系统乃至于无限维系统( 时空混沌的控制) ，混沌控制正在日 渐形成系统化的理论体系。同时，混沌控制在光学、等离子体、化学反应、流体、电子 回路、人工神经网络、生物系统等大量实验和应用中得到验证。目前，人们对混沌控制 的广义认识是：人为并有效地影响混沌系统，使之发展到实践需要的状态。这包括： 混沌运动有害时，成功地抑制混沌；在混沌有用时，产生所需要的具有某些特点性质 的混沌运动，甚至产生出特定的混沌轨道；在系统处于混沌状态时，通过控制，产生 出人们需要的各种输出。总之，尽可能地利用混沌运动自身的各种特性来达到控制目的， 是所有混沌控制的共同特点。 一6 大连理工大学硕士学位论文 2 相关理论 因为本文研究的是混沌控制领域内的一些问题，用到了一些相关的控制理论，故在 此做一个简单论述。首先，给出白适应控制基本原理；其次，给出判定系统稳定性的相 关理论。 2 1 自适应控制的基本原理 2 1 1 自适应控制的任务 在实际的许多工程中，被控对象或过程的数学模型事先是难以确定的，即使在某一 条件下被确定了的数学模型，在工况和条件改变后，其动态参数乃至于模型的结构仍经 常发生变化。在发生变化时，常规调节器不可能得到好的控制品质。为此，需要设计一 种特殊的控制系统，它能够自动的补偿在模型阶次、参数和输入信号方面非预知的变化。 这就是自适应控制的任纠”】。 自适应控制系统需要不断地测量系统的状态、性能或参数，从而“认识”或“掌握” 系统当前的运行指标并与期望的指标相比较，进而做出决策以改变控制器的结构、参数 或根据自适应律来改变控制作用，以保证系统运行在某种意义下的最优或次最优状态。 当然，按照这些要求设计的自适应控制系统比常规的调节器要复杂的多。但是，随着现 代控制理论蓬勃发展所取得的一些成果，诸如状态空间分析法，系统辨识与参数估计、 最优控制、随机控制和稳定性理论等等，为自适应控制的形成和发展提供了理论基础。 另一方面，微处理机的发展和它的价格性能比不断降低，为采用较为复杂的自适应控制 创造了物质条件，使得自适应控制成功地应用于许多实际工程问题中。 2 1 2 自适应控制的功能 自适应控制有许多不同的定义，到目前为止尚未统一，争论也比较多，许多学者提 出的定义都是同具体的自适应控制系统类型相联系的。综合众多的定义得知，自适应控 制系统应该有如下功能： ( 1 ) 在线进行系统结构和参数的辨识或系统性能指标的度量，以便得到系统当前状 态的改变情况； ( 2 ) 按一定的规律确定当前的控制策略； ( 3 ) 在线修改控制器的参数或可调系统的输入信号。 由这些功能组成的理论性自适应控制系统如图2 1 所示，它由性能指标6 p ) 的测量、 性能指标的比较与决策、自适应机构，以及可调系统组成，它的功能完全符合自适应控 一7 一 混沌系统的控制与同步中若干问题的研究 制定义所要求的目标。 、 图2 1 自适应控制系统的原理 f i g 2 1t h et h e o r yo f a d a p t i v ec o n h o l 2 2 系统的稳定性判据 控制系统的稳定性是系统能否正常工作的最基本条件，因此研究系统的稳定性、稳 定条件、稳定措旎，是控制系统的重要内容。控制混沌的进展是人们把控制线性系统的 思想引向非线性系统的结果。因此控制线性系统的基本理论是必须了解的。首先，本文 给出了线性系统的稳定性判据1 1 6 】；其次，本文给出了l y a p u n o v 稳定性分析1 1 6 1 。 2 2 1 线性系统稳定性判据 稳定性概念是由俄国学者l y a p u n o v 于1 8 9 2 年首先提出，并沿用至今。根据该稳定 性理论，线性控制系统的稳定性定义为： 线性控制系统在初始扰动影响下，其动态过程随时间推移衰减并趋于零( 或原平衡 点) ，则称系统渐进稳定；若在初始扰动影响下，其动态过程随时间推移而发散，则称 系统不稳定；若在初始扰动影响下，其动态过程随时间的推移虽不能回到原平衡点，但 可以保持在原工作点附件的某一有限区域内运动，则称系统临界稳定。 根据理论推导可得出线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统的特征方程的所有 根均具有负实部。或者说，闭环传递函数的极点均严格位于左半s 平面。 根据系统稳定的充分必要条件判断线性系统的稳定性，必须求出系统的全部特征 根。由于求高阶系统根的工作量很大，所以我们总希望有一种不用求解特征方程的根， 就可以判断出系统是否稳定的方法。而r o u t h 判据、h u r w i t z 判据就是根据闭环特征方 程各项的系数，判断分析系统稳定性的代数判据。由于r o u t h 判据与h u r w i t z 判据原理 相同，所以在此我们仅介绍r o u t h 稳定判据。 大连理工大学硕士学位论文 设系统的闭环特性方程为 d ( s ) = a o s “+ q s l 一+ + 一，+ = 0 。 ( 2 1 ) 将式( 2 1 ) 的各项系数构造r o u t h 表2 1 ，从表的结构知，r o u t h 表有( n + 2 ) 行，第二、三行 各元素是特征方程各项的系数，以后各元素按表2 1 所列的规律逐行进行，运算中空位 置为零。 r o u t h 稳定判据为：特征方程( 2 1 ) 所表征的线性系统稳定的充分必要条件是：r o u t h 表中第一列各元素严格为正；如果r o u t h 表的一列中出现小于零的数值，系统不稳定； 且第二行各元素符号改变的次数，代表特征方程式( 2 1 ) 正实根的数目。 表2 1r o u t h 表 t a b 2 1r o u t ht a b l e 应用r o u t h 判据建立的r o u t h 表，有时会遇到两种情况，使计算无法进行，因此需 要进行相应的数学处理，而处理的原则是不影响r o u t h 稳定判据的判断结果。 ( 1 ) r o u t h 表中某一行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零处理办 法，用因子0 + 口) 乘以原特征方程其中a 为任意正数再对新的特征方程应用r o u t h 判据。 ( 2 ) r o u t h 表中某一行元素全为零。处理办法；用全零行上面一行的系数构造一个辅 一9 一 混沌系统的控制与同步中若干问题的研究 助函数，( s ) = 0 ，并将扶助方程对复变量s 求导，用所得的方程的系数取代权零行再按 r o u t h 稳定判据的要求继续求下去，直到得出完整的r o u t h 计算表。 虽然上述给出的是线性系统的稳定性判据，但在一些特定场合下可用于非线性系统 的稳定性判定。 r 2 2 2l y a p u n o v 稳定性分析 l y a p u n o v 在1 8 9 2 年发表了“运动稳定性一般问题”论文，建立了运动稳定性的一 般理论和方法。他把判定系统稳定性归纳为两种方法：第一种方法是通过求解微分方程 的解，分析系统的稳定性，这是一种间接方法，它的基本思路和分析方法与经典理论是 一致的；第二种方法不需要求解微分方程，而是通过一个叫做l y a p u n o v 函数的标量函 数来直接判定系统稳定性。因此它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。 l y a p u n o v 第二种方法也有不足的地方，那就是没有一种统一的方法来寻找l y a p u n o v 函 数。过去，寻找l y a p u n o v 函数主要是靠试探，几乎完全凭借设计者的技巧。这曾经严 重的阻碍着l y a p u n o v 第二种方法的推广应用。现在，随着计算机技术的发展，借助于 数字计算机不仅可以找到所需的l y a p u n o v 函数，而且还能确定系统的稳定区域。 l y a p u n o v 给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。 ( 1 ) l y a p u n o v 稳定性：如果对于任意小的占 0 ，均存在一个万 b ) 0 ，当初始状 态满足i k 。一t 峰万时，系统运动轨迹满足l 。一i m i k o ，x 0 y ( 功= 0 ，苫= 0 ( 2 ) 矿( 功 o x 0 矿( x ) = o x = 0 ( 2 ) 联曲0 时，毒0 矿( 曲= 0 时，x = 0 ( 3 ) 除x = t = o 的平衡状态外，还有矿( x ) = 0 的点，但不会在整条状态轨线上恒有 y ( 却= o ，则系统是原点一致渐进稳定的。 如果l 寸m ，有矿( 功寸m ，则称系统为原点一致大范围且渐进稳定。 定理2 3 若： ( 1 ) 矿( 曲 o ) x 0 矿( 功= o ) x = 0 ( 2 ) 矿( 曲s o 时，工o 矿( 曲= 0 时，x = 0 ( 3 ) 矿( 功- = 0 时，x 0 则原点是l y a p u n o v 意义下稳定的。 定理的第三说的是，在z o 时，有矿( 曲；o 的轨迹，系统的状态轨线不能运行到坐 标原点，可能沿着一个环运动。 定理2 4 若： ( 1 ) y ( 功 o ) x 0 矿( 曲= 0 ，x = 0 ( 2 ) “功 0 时，x 0 y ( 工) = o 时。x = 0 则系统原点是不稳定的。 大连理工大学硕士学位论文 应注意到，l y a p u n o v 函数的选取是不唯一的，但只要找到一个v ( x , o 满足定理所 述条件，便可对原点的稳定性做出判断，并不因选取的矿( 毛d 不同而有所影响。不过至 今尚无构造l y a p u n o v 函数的通用方法，这是应用l y a p u n o v 稳定性理论的主要障碍。如 果矿( 与f ) 选取不当，会导致f q x , o 不定的结果，这时便作不出确定的判断，需要重新选 取v ( x ，f ) 。 以上定理按照矿( 毛f ) 连续单调衰减的要求来确定系统稳定性，并未考虑实际稳定系 统可能存在衰减振荡的情况，因此其条件是偏于保守的，故借稳定性定理判稳定者必稳 定，l y a p u n o v 第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件。 具体分析时，先构造一个l y a p u n o v 函数v ( x ，f ) ，通常选二次型函数，求其导数 f q x ，t ) ，再将状态方程代入，最后根据矿( x ，f ) 的定号性判别稳定性。 至于如何判断在非零状态下v ( x ( t ；x o ，t o ) ，t ) 是否有恒为零的情况，可按如下方法进 行；令矿( x ) s 0 ，将状态方程代入，若能导出非零解，表示对善0 ，矿( 曲= 0 的条件是 成立的；若导出的是全零解，表示只有原点满足矿( x ) ；0 的条件。 本章主要介绍了论文所用到的控制理论基础概念。首先介绍了自适应控制的基本原 理，简单阐述了白适应控制的任务和功能。本章随后介绍了本文中用到的系统稳定性判 据，其中包括线性系统的r o u t h 判据和h u r w i t z 判据( 并重点阐述了r o u t h 判据) ，还包 括l y a p u n o v 稳定性判据。在本文中主要用l y a p u n o v 第二法( 直接法) 进行系统的稳定性 判断。 混沌系统的控制与同步中若干问题的研究 3 利用反馈方法实现l i u 系统的混沌控制 3 1 混沌控制的经典反馈法描述 设一维非线性系统 童= 厂( 葺f ) ，( 3 1 ) 若其目标轨道为i = ( 夏，夏，焉) ，采用如下反馈可使系统达到目标轨道。 圣= 厂( x ，f ) 一【( x 一习，( 3 2 ) 其中，置= 【五j 是反馈增益矩阵。 令g = o f 一置，其中，= 要l 一。参考状态的局部稳定条件是g 的特征值均小 于0 。 在式( 3 2 ) 中，五j 有开2 个可调参数，事实上只需调整胛个反馈强度 ，五，乃，就 可以达到控制目的： 鲁= ，：一丑“一焉) 五 o i - l ，2 ，2 ，一 ( 3 3 ) 这样通过足够大的4 ，就可容易地使目标状态写达到稳定。 由上可知：用经典反馈控制方法控制混沌时，小参数变化对系统无影响，原系统的 动力学行为可得到保持；对足够大的五，目标轨道稳定性是全局的；该方法不仅能稳定 镶嵌在原系统中的不稳定周期轨道，而且能建立新的周期轨道。 3 2 混沌l i u 系统的平衡点分析 l i u 系统是由刘崇新等提出的一种新的混沌系统【m ，它由如下的三维自治方程组 i 主= a ( y 一曲 夕= b x k x z ，( 3 4 ) i j = 咆+ h 2 来描述。式中x 、y 和z 为系统的状态变量，a 、b 、c 、h 和k 为系统的控制参数。当 参数a = 1 0 、6 = 4 0 、c = 2 5 、h = 4 和k = 1 时，系统( 3 4 ) 进入混沌状态【1 7 1 ，图3 1 为相 应的l i u 吸引子。 大连理工大学硕士学位论文 ；l 舅 令 l 口o 一力= 0 b x - k x z = 0 ，( 3 5 ) i 咆+ 舻；= 0 求解方程( 3 5 ) ，可得系统( 3 4 ) 的三个平衡点：s o ( o , o 0 ) 、s l ( 、 豆；7 丽，、i 五7 丽，t k ) $ 1s 2 ( 一肛厩，一厨磊，t k ) 。 命题3 1 当参数a = 1 0 、b = 4 0 、c = 2 5 、h = 4 和k = 1 时，系统( 3 4 ) 的平衡点s o 是 鞍点，并且是不稳定的。 证明；在平衡点s 。处，系统( 3 4 ) 线性化的j a c o b i 矩阵为 ( - a a 0 、 j ( s o ) ：i 6oo i 。 【00 呷j 当a = 1 0 、b = 4 0 、c - - - - 2 5 、h = 4 和k = l 时，j ( s o ) 的特征值为： “，如，五) = ( 一2 5 6 1 5 5 ，1 5 6 1 5 5 ，一2 5 ) 。可见 0 和如 0 、岛 o 、岛 o 和q 岛 岛。根据r o u t h - h u r w i t z 判据1 q 可知，d ：聍t j ( s o ) 和岛= 0 时，受控l i u 系统( 3 8 ) 渐进稳定并趋于平衡点s 。 证明；将平衡点s 。( 、 砑磊，、j 霹磊，6 后) 的坐标代入式( 3 8 ) ，可得 j = 口( _ ) ，一曲一南。一厕 夕= k 一施一如( y 一厮) 。 ( 3 1 1 ) 三= 一口+ j j l 矿一k 3 ( z - b k 1 混沌系统的控制与同步中若干问题的研究 f - 4 一向 n 0 1 j ( s 。) = i o 吱撕丽l ， 1 2b c , 厮 7 - k 0 叩一岛j 名3 + ( 毛+ 屯+ 岛+ 4 + 0 2 2 + ( a k z + 口c + 口毛+ 与屯+ 七l c + 南与十岛c + 屯毛) 旯+ 3 3 3 镇定到平衡点s 2 命题3 6 当参数口= 1 0 、b f f i 4 0 、c = 2 5 、是= 4 和是= 1 时，并且= o 、毛 6 。9 4 3 3 夕= b x 一南眩一k z ( y 一力。( 3 1 3 ) k