（基础数学专业论文）几类微分方程多点边值问题的可解性.pdf

摘要 本硕士论文由四章组成，主要讨论几类非线性微分方程奇异两点或多 点边值问题的可解性 、第一章是绪论部分，主要讲述了本课题的研究背景与现状以及本论 文的主要工作 第二章讨论了两类奇异非线性二阶微分方程多点边值问题 iu ( ) + a h ( t ) f ( u ) = 0 ，0 t 1 ， l a ( o ) 一触( o ) = 0 ，7 u ( 1 ) + 5 u 7 ( 1 ) = 6 u ( ，7 ) 和 f “( t ) + o ( ) u ( ) + b ( t ) u ( t ) + a k ( t ) q ( t ，t | ( ) ) = 0 ，t l 2 ， 1 ( 1 ) = o ，让( 2 ) 一邮( 6 ) = d l b 0 ，0 o 是常数，c ( ( o ，+ o 。) ，兄) ，q c ( 2 】f o ，+ 。o ) ，r ) ，啦l ( 鼢 i = 1 0 ，0 t 1 ， lr l x ( 0 ) 一r 2 x ( 0 ) = 0 ，r 3 x ( 1 ) + r j ( 1 ) = 0 ，( o ) = 0 解的存在性与唯一性问题，利用混合单调迭代算子和不动点定理，对以上 问题解的存在唯一性进行了讨论和证明 1 第四章讨论了非线性三阶微分方程三点边值问题 j 缸肼( t ) + f ( t ，u ( ) ，t i ”( ) ) = 0 ，0 t 1 ， it ( o ) 一b u ( o ) = 锃( 1 ) 一a u ( , 7 ) = 0 ，t l ( o ) = 0 ，0 刁 l 的可解性，其中，g ( 【o ，1 】xr 2 ，r ) ，0 a 1 ，b 0 是常数利用上下解方 法与s c h a u d e r 不动点定理，在非线性项满足某些局部性条件时得到了一些 存在性结论，并给出了上下解的表示形式，改进并推广了相关文献的结果 关键词：奇异性，正解，s c h a u d e r 不动点定理，k r a s n o s e l s k i 不动点定理，上 下解方法，混合单调迭代算子 a b s t r a c t t h i st h e s i so fm a s t e ri sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s ，w h i c hm a l i n j ys t u d yt h e s o l u t i o n sf o rs e v e r a lk i n d so fm u l t i - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s c h a p t e ro n ei sa ni n t r o d u c t i o no ft h eb a c k g r o u n da n da c t u a l i t yo ft h er e s e a r c h a b o u tt h i so b j e c t i nc h a p t e rt w o ，b ym e a n so ft h ek r a s n o s e l s k i if i x e d - p o i n tt h e o r e m ，w es t u d y t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt w ok i n d so fn o n l i n e a rs i n g l u a rs e c o n d - o r d e r m u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a n d i ( t ) + x h ( t ) f ( u ) = 0 ，0 t 1 ， la u ( o ) 一t 7 ( o ) = 0 ，y u ( 1 ) + 6 0 ( 1 ) = 6 t ( 叩) fu ) + a ( t ) u 7 ( t ) - i - b ( t ) u ( t ) + a k ( t ) q ( t ，让( ) ) = 0 ，t l t t 2 ， j m - 2 1u 他1 ) = o ，缸( 2 ) 一喇( 钠= ( i ， t l 6 0 ，0 t 1 r l x ( o ) 一r 2 x ( o ) = 0r 3 x ( 1 ) + r 4 x ( 1 ) = 0 ( o ) = 0 b yi i i e a n so ft i l em i x e dm o n o t o n ei t e r a t i v eo p e r a t o ra n dt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m o ft h em i x e dm o n o t o n ei t e r a t i v eo p e r a t o r ，w es t u d ya n dp r o v et h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h es o l u t i o no ft h i r d o r d e rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m i nt h el a s tc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t eak i n do ft h i r d - o r d e rt h r e ep o i n t sn o n l i n e a r i i i d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ju m ( t ) + f c t ，u ( ) ，( ) ) = 0 ，0 t 1 ， lu ( o ) 一b u ，( 0 ) = u ( 1 ) 一a u ( r ) ) = 0 ， u ，( o ) = 0 ，0 ，7 1 w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o rt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t ht h eu s eo f l o w e ra n du p p e rs o l u t i o nm e t h o da n ds c h a u d e r 丘x e dp o i n tt h e o r e m t h ec o n s t r u c t i o n o fl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n sa l ea l s op r e s e n t e d k e y w o r d s ：s i n g u l a r ，p o s i t i v es o l u t i o n ，s c h a u d e rf i x e d p o i n tt h e o r e m ，k r a s n o s e l - s k i if i x e d - p o i n tt h e o r e m ，l o w e ra n du p p e rs o l u t i o nm e t h o d ，t h em i x e dm o n o t o n e i t e r a t i v eo p e r a t o r i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识 到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名：雠刀年1 月占e l 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权属湖南师范大学，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编 人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在：年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打、 ”) 日期：7 年舌月r 日 嗍下月8 日 ( ：n 栌r 名 名 签 签 者 师 作 导 几类微分方程多点边值问题的可解性 绪论 1 1 本课题的研究背景与现状 微分方程是现代数学的一个重要分支，在众多科学技术领域如生态 学、光学控制等方面有着非常广泛的应用它在几何学、力学、天文学、 核物理、电子技术、空间技术和星际航空等许多尖端科技领域内已成为 强有力的助推器，促进了这些学科的快速发展常微分方程边值问题是微 分方程理论研究中的一个基本问题它在经典力学和电学中有着极为丰 富的源泉，并且在现代控制理论等学科中有重要应用常微分方程的两点 边值问题( 如d i r i c h l e t 边值问题、r o b i n 边值问题、n e u m a n n 边值问题等) 已被广泛而深入的研究，并取得了系统而深刻的结果1 9 9 2 年，g u p t a 开始 研究二阶非线性常微分方程三点边值问题此后微分方程多点边值问题 的研究引起了人们广泛的兴趣，并取得了丰富的研究成果在泛函分析理 论以及实际问题的推动下，人们开始研究高阶微分方程的边值问题，并在 研究过程中形成了许多新的研究方向：奇异边值问题，无穷区间上的边值 问题，带算子的微分方程边值问题，常微分方程脉冲边值问题等 下面就本文研究问题的研究现状作一简要概述 1 9 9 2 年，g u p t a 1 】运用l e r a y - s c h a u d e r 延拓定理在至多线性增长的条件 下研究了二阶非线性常微分方程三点边值问题 i ( ) = f ( t ，z ( ) ，( ) ) + e ( z ) ，0 t 1 ， iz ( o ) = 0 ，z ( 1 ) = z ( ? 7 ) ，0 ? 7 1 解的存在性此后对于非线性二阶常微分方程多点边值问题解的存在性 研究出现了许多重要结果 硕士学位论文 b a i 2 】运用s c h a u d e r 不动点定理与上下解方法研究了三阶非线性微分 方程两点边值问题 j ( t ) + f ( t ，, 4 0 ，t | ( t ) ) = 0 ，0 ； 1 ， 【r l u ( 0 ) 一f 2 u ( o ) = r 3 u ( 1 ) + r 4 u 7 ( 1 ) = 0 ，u ( o ) = 0 解的存在性，其中，c ( 【o ，1 】xr 2 ，r ) ，r 1 ，r 2 ，r 3 ，r 4 0 是常数 姚庆六【3 1 采用l e r a y s c h a u l e r 非线性抉择研究了奇异非线性三阶两点 边值问题 ju 胛( ) + i ( t ，u ( t ) ，t 懈) ，( t ) ) = 0 ，0 t 1 ， 【让( o ) = t i ，( 0 ) = ( 1 ) = 0 的解的存在性，其中i ( t ，u ，u ，w ) ：( 0 ，1 ) r 3 一兄是连续的，且允许它在 t = 0 ，t = 1 处奇异 王宏洲【4 】运用锥上的不动点理论和渐近逼近方法，讨论了一类与一 阶导函数有关的奇异非线性二阶泛函边值问题 j ( t ) + f ( t ，z ( t ) ，( ) ) = 0 ，0 t 1 ， iz ( o ) = ( 1 ) = 0 正解的存在性，其中，c ( ( o ，1 ) 【0 ，+ o o ) x ( 0 ，+ o 。) ，【0 ，+ o o ) ) 1 2 本文的主要工作 本硕士论文第二章运用不动点定理和锥理论讨论了二阶非线性奇异 微分方程多点边值问题 j 乱( 。) + a ( 。) m ) = o ，o 。 l ，( 1 ) la u ( o ) 一f l u ( o ) = 0 ，7 u ( 1 ) + 5 u ，( 1 ) = 阮( 7 7 ) 一 和 fu ( ) + n ( t ) “7 ( t ) + b ( ) t 上( ) + a 南( ) q ( ，u ( ) ) = 0 ，t l t t 2 ， h 扎乱( c 2 ) 一妻掣( 汴d ， 水6 t 。 ( 2 ) 卜1 ) = o ， 乱( 2 ) 一掣( 国= d ， t 1 b 0 ，0 o 是常数，c ( ( o ，+ o o ) ，r ) ，q d ( t 2 】 0 ，+ o 。) ，r ) ，啦l 豫) 4 = 1 0 ，0 0 是常数，且等 r 4 r 3 应用混合单调迭代法得到了解存在 且唯一的充分条件我们的结果允许，在t = 0 ，t = 1 处有奇性 第四章利用上下解方法与s c h a u d e r 不动点定理讨论了三阶非线性微 分方程三点边值问题 ju 删( ) + ，( t ，牡( t ) ，t l ( ) ) = 0 ，0 t 1 ， 【u ( o ) 一b u ，( 0 ) = u ( 1 ) 一a u ( u ) = 0 ，u ( o ) = 0 ，0 叩 1 的可解性，其中，c ( 【o ，1 】xr 2 ，r ) 0 a 1 ，b 0 是常数在非线性项满足 某些局部性条件时得到了一些存在性结论，并给出了上下解的表示形式 3 几类微分方程多点边值问题的可解性 2 奇异非线性二阶微分方程多点边值问题正解的存在性 2 1引言 1 9 9 2 年，g u p t a 开始研究二阶非线性常微分方程三点边值问题，在此之 后，对微分方程多点边值问题的研究引起了人们广泛的兴趣，并取得了丰 富的成果，参见 1 ，5 - 9 ，l o 但这些结果大多是建立在非线性项非负的基础 上，对于变号非线性项的边值问题的正解的存在性的研究尚不多见王宏 洲 4 】和沈文国【1 1 ，1 2 】运用锥上的不动点定理分别研究了非线性奇异微分 方程边值问题 i ( t ) + f ( t ，茁( t ) ，( t ) ) = 0 ，0 t 1 ， 【z ( o ) = ( 1 ) = 0 和 i ( t ) + 凸( t ) ，( z ( ) ) = 0 ，0 t 1 ， ix ( o ) = 0 ，x ( 1 ) = 妇( ? 7 ) ，0 印 1 存在正解的条件，其中七为给定的常数，j f ( z ) c ( 【0 ，o o ) ，【0 ，。) ) ，f ( t ，z ，) c ( ( o ，1 ) x 【0 ，。o ) ( 0 ，) ， 0 ，o 。) ) ，a ( t ) g ( ( o ，1 ) ， 0 ，。) ) 本章考虑以下边值问题 u ( ) + a ( 。) ，( u ) = o ， o 。 1 ， ( 2 1 ) ia u ( o ) 一卢t l ，( o ) = 0 ，7 u ( 1 ) + 5 u ，( 1 ) = 乩( 7 7 ) 、 和 ft l ( ) + o ( ) “( ) + b ( t ) u ( t ) + a 忌( ) g ( ，札( ) ) = 0 ，t l t t 2 ， u 。) _ 0 喇一塞州钓叫 冰已 2 ( 2 - 2 ) 1u ) = o ，“( 2 ) 一州钓一d ， 1 b o ，0 o ( i = 1 ，2 ，m 一2 ) 均为给定的常数并且允许，( u ) ，q ( t ，u c t ) ) 变号，突破了以往 对非线性项符号的限制此外，允许 ( ) 在t = 0 ，1 处有奇异性这里的奇 异性是指 躲 ( t ) = 弧。蟀危( ) = 0 0 本章我们假设，( ) ， ( ) ，n ( ) ，6 ( ) ，惫( ) ，q ( t ，u ) 满足以下条件： ( 日1 ) si 0 ，o o ) _ r 连续，且存在m 0 ，使得，( “) 一m ， 【0 ，o o ) ； ( h 2 ) h ：( 0 ，1 ) 一【o ，o o ) 连续， ( ) 在( o ，1 ) 的任何子区间上不恒为0 ，且 (1-s)(s)凼。o，(s)ds 0 允许七在t = t 1 或t = t 2 处有一定的奇性，即l i mk ( t ) = o o ； ( 日7 ) 它p ( s ) 七( s ) g ( ，s ) d s 。，它p ( s ) 忌( s ) 虿( s ，x ) d s 0 ，对y c ( o ，1 ) 有( 1 一s ) 剪( 8 ) d s 0 0 ，启y ( s ) d s o 。，则边值问题 a u ( o 篇，恭0 等7 u ( 1 于 + 5 u 印m ”3 ， i ) 一t 正7 ( o ) = ，) +( 1 ) = 6 u ( ，7 ) 、。 有唯一解 证明通过直接计算可知边值问题( 2 - 3 ) 的解可以表示为 t l ( t ) = lg ( 亡，s ) 可( s ) d s 其中 f ( q s + p ) ( 7 + 6 一切一7 t + b t ) ，0 s m i n ( ? 7 ，t ) 6 可( t ) c ( o ，1 ) 且启( 1 一s ) 可( s ) d s ，y ( s ) d s 0 0 ，v ( t ) 0 ，则边值问题( 2 - 3 ) 的唯一解满足，u ( ) 0 ，t ( 0 ，1 ) 证明由上引理2 2 知边值问题( 2 3 ) 的解为u ( ；) = 詹a ( t ，8 ) y ( s ) d s ，其 中的g ( 以s ) 对于v t ( 0 ，1 ) ，v s ( 0 ，1 ) ，都能验证0 c ( t ，s ) g ( s ，s ) ，故 u ( t ) 20 引理证毕 取e = c ( o ，1 ) ，i i , , l l = o t m a x 。i 仳( ) i 为e 中的范数令k = “iu e ，u ( 约o ，t ( o ，1 ) ，。r a 。i n u ( t ) i i ul i ) 式中= m a x ( 南，写两5 - b ，耘) 易 验证n c ( s ，8 ) c ( t ，s ) ，k 是e 中一正锥 硕士学位论文 足义算于2 ： ，l ( t u ) ( t ) = 入g ( ，s ) h ( s ) g ( u ( s ) ) d s ，0 = 半【z 1 ( “- 7 s + 6 s ) 9 s ) ) d s ，- 叼，t b ( 叩一s ) ( s ) g ( u ( s ) ) d s 】一a ( t s ) ( s ) 9 ( 仳( s ) ) 如 j qj n 引理2 4 算子t ：k _ k 是全连续的 证明先证t ：k k 对v u k ，由引理2 2 有( t u ) ( t ) 0 ，t ( 0 ，1 ) ，且 ，1 m i n ( t u ) ( t ) = m i n 入g ( 屯s ) h ( s ) g ( u ( s ) ) d s ，0 ，1 入g ( s ，s ) ( s ) 夕( u ( 5 ) ) d s j o ，1 a m a xjg ( ，s ) h ( s ) g ( u ( s ) ) d s o t lj o 、 =n i it u1 1 因此，t ：k _ k 再证丁是紧的对k 中任意一有界集d ，存在l 0 ，使得对帆d ， 有i iu 恪l 则对v t ( 0 ，1 ) ，0 入 o ，讹l ，v 2 0 ，当 i 口1 一吨i l 时，有iu n ( 5 ) 一乱( s ) i 1 时有i9 ( 位竹) 一9 ( ) i 0 ，j l 0 ，当n n 1 时，有 i ：( s ) 一oi = ( 1 - s ) ( s ) ig ( t l 竹) 一9 ( u ) i ( 1 一s ) ( s ) 尚29 1 即碟( s ) _ o ( n _ ) ，s ( 0 ，1 ) 同样可以证明镌( s ) _ o ( 钆一o 。) ，s ( 0 ，1 ) 由勒贝格控制收敛定理知i ( t u n ) ( ) 一( t u ) ( t ) l o ( n _ ) ，t ( 0 ，1 ) 故t 在k 上连续综上所述知t 为全连续算子 由引理2 ：2 知边值问题 馏湍(0)-0：,au(0 f l u0 ) “3 u ( 1 k ( 1 ) 叫机 ( 2 _ 4 ) i) 一，( 0 ) = ，) + 6 u ”) = 阮( 7 7 ) 、7 的解 留( ) = a t p 。+ f l j 0 1 ( ，y 一，y s + 6 ) ( s ) d 8 6 o 刀( 叩一s ) ，i ( s ) d s 】一0 2 ( t s ) ( 8 ) d s 一a t + f i f 0 1 ( 7 7 s + 6 ) ，l ( s ) d s 警小邓删吣) d s 记p l = 警詹h 一，y s + 5 ) h ( s ) d s ，g = s u p g ( u ( z ) ) lul_ 0 1 0 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 几类微分方程多点边值问题的可解性 ( 2 ) ：为【t l ，t 2 】上的严格减函数 引理2 6 假设( 日4 ) 成立，则边值问题( 2 - 5 ) 和( 参6 ) 均有唯一解 r n - 2 引理2 7 假设( 日4 ) 成立，且啦，( 已) l ，耖t i t l ，t 2 】，则问题 i = 1 f 牡( t ) + 0 0 ) t 7 ( ) + b ( t ) u ( t ) - i - y ( t ) = 0 ，t lst t 2 ， u ，( t 1 ) - 0 一m-2u(t2) 酬泸州， 矗 t 2 ( 2 。) 卜7 ) = o ， 一啦札( 国= d 矗 t 2 p 叫7 、 i = 1 等价于积分方程 酢) = r 2 g s ) p ( s ) 小) d s 十( a 十 r n - 2 l 一口和t ( 已) t = 1 ) l ( t ) a：一m-2 f 1 2 川归酬一，a = = i 万一，p ( ) = e 印( ! ”口( s ) d s ) ， 1 一z ( 6 ) 川1 g s ，= 凇 燃：声州删 m - 2 引理2 8 假设( 日4 ) 成立，且啦矽1 ( 釉 1 ，y c t 2 ，耖0 ，则对 i = 1 任意满足t l 0 ，y b 0 ，0 ? 7 0 ，边值问题( 2 - 1 ) 至少存在一个正解 证明令u = a m w ，则u 是边值问题 a u ( o 篇嚣0 f 吣u ( 1 潞( 1 ) 叫叩) ( 2 - 8 ) 1) 一p t 正( o ) = ，) + 6 札( 1 ) = 6 u ( 叩) 、 。 的解，那么t 是边值问题( 2 1 ) 的解当且仅当西( ) = 扎( t ) + ( ) 是边值问题 乱( 。) + 入九( 。! ( u ( 。) 一u ( 。) ) = o ，o t u ( ) ，其中 “u ，= 絮2 选取入满足0 入 m i n ni i u i i a 坳。= ( 1 一半) o 于是0 u ( s ) 一u ( s ) st t ( s ) 1 由函数g 。的构造知矿( “( s ) 一u ( s ) ) = 9 ( u ( s ) 一u ( s ) ) 因此 i i t u i i = 蹁 半【小邓删m 小h ( s ) 胁 ，叩f t 一6 ( ? 7 一s ) h ( s ) g ( u ( s ) 一w ( s ) ) d s 】一入( 一s ) h ( s ) g ( u ( s ) 一u ( s ) ) 如) j 0，0 【半z 1 ( 7 - ，y s + 5 i s ) d 引l u - s u 啪p 。咖( s ) 州) a q p l 1 = i lui | 所以，当u ( kn 挑2 ，) 时，有l it ul l 0 ，当t 2n 2 时，( t ) 一m u ， 似_ o 。t 其中丽满足学詹c ( 8 ，8 ) ( s ) d s 1 取q z = “k ，i iul i 2 ， 由函数g 。的构造知： 9 t ( 牡( s ) 一u ( s ) ) ：9 ( u ( s ) 一u ( s ) ) 丽( t ( s ) 一u ( s ) ) m n _ r 一 讲一考右： ( t u ) ( t ) = 入g ( t ，s ) ( s ) 9 ( u ( s ) 一w ( s ) ) d s ，1 a g ( s ，s ) ( s ) 9 ( 札( s ) 一u ( s ) ) 出 ：入0 1 0 ( 8 s ) 吣) 半d 8 ：下a - 丽n 2 r 厂1b 一 ( s , s ) h ( s 一) d s 2 t 五 r = 0 u 1 1 所以，当“( kn 秽q z ) 时，有l l 讹l l 0 i t | 1 根据引理2 1 可知t 在k n ( 两q - ) 上有不动点u ( ) ，即面( ) 是边值 问题( 2 - 9 ) 的解：且1 瓦( f ) r 从而瓦( t ) ni l 瓦( ) l l n 却l m a m w ( t ) = u ( ) 所以得到u ( ) = 西( t ) 一u ( z ) 为边值问题( 2 - 1 ) 的正解 1 3 硕士学位论文 定理2 2 假设( 日4 ) 一( h 7 ) 成立，且l i m ! n f 型巫煎坐粤坚坐垡世：+ 。o ， u + 十u a t 像) 1 也成立则a 充分小时，对满足t l l t 2 的常数l ，二阶多 点边值问题( 2 - 2 ) 至少有一个解u ( ) ，且当t 【f ，t 2 】时有t ( ) 0 证明根据引理2 6 与引理2 7 ，多点边值问题 j ft ) + o ( t ) u 7 ( ) + b ( t ) u ( t ) + h l ( t ) = 0 ，t l t t 2 ， 1u 心1 ) = o ，u ( t 2 ) 一邮( 锄= d ，t l 6 t 2 i = 1 有唯一解 令 钌( ) = f t 。t 2g ( t ，s ) p ( s ) - ( s ) d s + ( a + c = r 2 g ( s ，咖( s ) s ) d s + a + m - 2 1 一q t 庐( 锄 i = 1 ) l ( ) 1 一啦妒1 ( 已) i = 1 由g 的定义，显然有a ( t ，8 ) a ( 8 ，s ) ，9 ，t 【t 1 ，t 2 】从而留( ) c 令 g ( t ，8 ) = q ( t ，z ) + q ，0 ，( t ，z ) 【t l ，t 2 】( 0 ，o o ) ： 虿c t ，z ，= 兰鬈：富：三三毒 u = a q 留c t ， 则易证u ( ) 是多点边值问题 f u l ( t ) + a ( ) 也7 ( ) + 6 ( z ) u ( t ) + a q h l ( t ) = 0 ，t l t t 2 ， 1 u 他1 ) = o ，u ( 2 ) 一刚( 鳓= d a q & z 2 的唯一解同时，u ( t ) 是边值问题( 2 - 2 ) 的解当且仅当n ( t ) = u ( t ) + u ( ) 是边 值问题 fu ( ) + a ( t ) u 7 ( t ) + b ( t ) u ( t ) + 入九1 ( ) 虿( t ：u ( ) 一u ( ) ) = 0 ，t l ts t 2 ， b m ) _ 0 似一董州鳓：d ( 1 + a q l 已 t 2 ( 2 - l o )卜( t 1 ) = o 川( t 2 ) 一州鳓= d ) 已 u ( ) 设常数f 满足t l 0 ，蝉n ，u ( ) ，yi iu | i ，及算子方程 u i l t 2 l ( 正u ) ( ) ：州厂幻g ( ，s ) p ( s ) 1 ( s ) 虿( s ，牡( t ) 一u ( ) ) d s + ( a + ，t l 则易证t 是一个全连续算子且t kck 1 一啦西t ( i = 1 ) 1 ( 0 1 现取入满足o 入 觚n 击，高) 其中b = m a x ( t ，霉脚s 小u p ：】【o l l 夕( ，z ) ，1 ) 令f t ，= u ki | | ui l 1 在k 中选取u 满足l | ui i = 1 由于 0 u ( s ) 一u ( s ) u ( 8 ) - i it l i = 1 ，s t l ，t 2 从而有 ，功 i l ( 乃“) ( ) 0 = s u p a 【g ( ，s ) p ( s ) 危- ( s ) 烈s ，u ( s ) 一w ( s ) ) d s t e t 1 ，t 2 lj r l + ( a + 咖 m - 2 ) t ( ) 】) 1 一怨) = s u p ， a 【g ( ，8 ) p ( s ) 危l ( s ) 虿( s ，u ( s ) 一u ( s ) ) d m + g ( t ，s ) p ( s ) t e t l ，t 2 lj e i- ，玩 h l ( s ) y ( s ，“( s ) 一w ( s ) ) d m + ( a + 1 一q t ( 锄 i = 1 ，i s s u p 州g ( ，s ) p ( s ) 1 ( s ) 9 ( s ，o ) d m t e l t l ，t 2 lj 目 ， + g ( f ，s ) p ( s ) h l ( s ) g ( s ，u ( s ) 一w ( s ) ) d m 十a + 入b c 0 乱| f 1 5 ) t ( ) 】) 1 一毗- ( i = 1 硕士学位论文 即i ia t li i 冬0t 0 ，t l a q lnk 其中e 1 = s 【t l ，t 2 】i 心( s ) 一u ( s ) r = 01 1 , i i 即i it l u | f 叭“a q 2n k 结合引理2 1 可知，噩在k n ( - q - ) 上有一个不动点西( ) 同时1 a 田u ( ) ，t 2 】从而u ( t ) = 西( ) 一u ( ) 为边值问题 ( 2 - 2 ) 的一个解，且牡( ) o ，t 【z ，t 2 注文献【l3 】是定理2 2 在d = o ，m = 3 ，七( t ) 在艮1 ，t 2 】上无奇点时的一 种特殊情形，定理2 2 是文献【1 3 】的一种推广 2 4应用 例2 1 考虑以下边值问题 f ( t ) + 入【t ( 一 + ( 1 一) ( 一 ) 】( u 2 ( ) 一3 t l ( t ) 一2 ) = 0 ，0 t 1 ， 【a u ( o ) 一p u 7 ( o ) = 0 ，7 u ( 1 ) + 5 u ( 1 ) = b t ( 叩) 经直接计算 ( ) 全t ( 一专+ ( 1 一t ) 一0 ，v t ( o ，1 ) ， ，( t ) 全u 2 ( t ) 一3 u ( t ) 一2 一百1 7 ，u ( o ，o o ) 且 ，；m掣一小训s，ds-2it*00 o o ， u ，“ 由定理2 1 可知上述问题至少存在一个正解 办帕= 4 o 。 例2 2 考虑以下边值问题 f 似( t ) + a ( t ) u 7 ( ) + b ( t ) u ( t ) + a k ( t ) q ( t ，u ( ) ) = 0 ，t l t t 2 ， j m - 2 1 似唯1 ) = o ，u ( ? ) 一吣( 鼢= d l 6 2 、 i - - 1 其中o ( ) = ，6 ( ) = 一壶，七( ) = ( 一1 ) 一，q ( t ，u ) = u 2 ( t 一1 ) ，( l ，2 ) = ( 1 ，2 ) 线性问题 j 乱( ) + i l u ( ) 一壶u ( ) = 0 ，1 ts2 ， 【4 ( 1 ) = 0 ，u ( 2 ) = 1 1 7 硕士学位论文 和 j o ) + t i 0 ) 一b u ( t ) = 0 ，1s s2 ， lt ( 1 ) = 1 ，t ( 2 ) = 0 的解分别为咖( ) = 百2 - 一r i l ) ，也( t ) = 一百1 竹面4 经过计算可以验证n ( t ) ，6 ( t ) ，七( t ) ， g ( ，仳) 满足条件( 日4 ) 一( 日7 ) 而且l i m 暌型巫煎坐毕生坐迦：l i m 磷u ： 一t w u 一t w m - 2 + o 。，使得啦。( 6 ) 1 成立的啦也是可以找到的因此由定理2 2 知上 i = l 述问题至少有一个正解 1 8 几类微分方程多点边值问题的可解性 3 非线性三阶微分方程两点边值问题解的存在性 3 1 引言 常微分方程边值问题已得到了广泛的研究大多数研究都是利用锥上 的不动点理论和l e r a y - s c h a u d e r 型非线性抉择证明了方程一个或多个正解 的存在性，利用比较定理证明解的唯一性 王宏洲( 4 】运用锥上的不动点理论和渐近逼近方法，讨论了一类与一 阶导函数有关的奇异非线性二阶泛函边值问题 iz ( ) - 4 - ( t ，z ( ) ，z 讹) ) = 0 ，0 t 1 ， lx ( o ) = 一( 1 ) = 0 正解的存在性，其中f c ( ( o ，1 ) 【0 ，+ c x 3 ) ( 0 ，+ o 。) ，【o ，+ o 。) ) 姚庆六【3 】采用l e r a y - s c h a u l e r 非线性抉择研究了奇异非线性三阶两点 边值问题 j u 肌( t ) + f ( t ，u ( ) ，u 讹) ，让( ) ) = 0 ，0 t 1 ， lu ( o ) = u ，( 0 ) = u ”) = 0 的解的存在性，其中( t ，u ， ，w ) ：( 0 ，1 ) r 3 _ r 是连续的 本章应用混合单调迭代算子和不动点定理，对三阶两点边值问题 j 俅) - 4 - a f ( t , x ( ) , x u ( 。) ) = o ，o 。 0 ，常数亿r 2 ir 3 ，r 4 都 大于0 ，且等 1 4 r 3 我们假定f ( t ，z ( t ) ，( t ) ) = 9 ( t ) 加( z ( t ) ，( t ) ) - 4 - q ( z ( ) ，( ) ) 】，t ( 0 ，1 ) ，其中，9 ( t ) e ( ( o ，1 ) ，( 0 ，+ o o ) ) ，p ：( 0 ，+ o o ) ( 0 ，+ 。) 一 1 9 硕士学位论文 ( 0 ，+ o 。) ，口：( 0 ，+ o o ) ( 0 ，+ o o ) 一( 0 ，+ o o ) ，p ( z ( ) ，( z ) ) 是连续的且关于z ( ) 递增的函数q ( x c t ) ，( t ) ) 是连续的且关于z ( t ) 递减的函数 3 2 预备知识 定义3 1 假定a ：g g 叶g ，g 是b a n a c h 空间中一个内部非空的锥 称a 是混合单调算子，如果a ( x ，y ) 对z 是递增的，而对y 是递减的，即对 任何y g ，如果z 1 z 2 ，( z 。，z 2 g ) 有a ( x l ，y ) a ( x 2 ，可) ；对任何z g ，如 果y l y 2 ，( y l ，y 2 g ) 有a ( x ，y 1 ) a ( z ，y 2 ) 称矿是a 的一个不动点，如果 a ( x ，矿) = 矿 引理3 1 1 1 4 】( 混合单调算子不动点定理)假定a ：g x g g 是一个混 合单调算子，且存在一个常数o l ，0 q l ，使得a ( t x ，i 13 ，) v a ( x ，y ) ，比，y g ，t ( 0 ，1 ) ，则a 有唯一的不动点矿g 引理3 2 1 1 4 】假定a ：g g _ g 是混合单调算子，且存在一个常数 q ，0 a 0 ) 在g 中 的唯一解，那么0z i z k0 _ o ( a _ 知) 如果q ( 0 ， ) ，那么0 入， 入2 ，则 z j 。( t ) z i ：( t ) ，z ；。( t ) z 支。( ) ，且 ( 圳l = 0 ，瑚l i r a + 懒( t ) i l = + 。o + + o oa 十u 1 _ 令c ( t ，s ) 是三阶常微分方程两点边值问题 l 一( t ) = 0 ，0 t 丝! ! ! 您+ r l 因此有a ( t ，s ) 南a ( t ，) ， a ( t ，s ) 耥g ( s ，s ) 引理3 31 段足z ( t ) 满足 i , t ( ) + f ( )