（应用数学专业论文）二维奇异系统扩展roesser模型的h∞控制和滤波.pdf

硕士论文二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型的鼠。控制和滤波 摘要 本文主要研究了二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型的玩控制、玩滤波以及正实控 制和最小能量控制。这里提到的二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型是二维奇异系统一般 模型的特例，它包含二维奇异系统r o e s s e r 模型通过线性变换得到的所有系统乒 首先，本文研究了二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型的矾控制问题，给出了存在 动态输出反馈控制器的充分条件。其次，本文研究了该系统的风滤波问题，设计滤 波器能够保证指定的鼠噪声衰减性能指标，分别研究了基于观测器结构的二维滤波 器和一般形式的二维滤波器，给出了基于l m i 的充分条件。再次，本文研究了二维奇 异系统扩展r o e s s e r 模型的正实控制，设计了一个动态控制器使得闭环系统渐近稳定 且延展严格正实，给出了存在正实控制器的充分条件。接下来，本文研究了二维奇异 系统扩展r o e s s e r 模型的最小能量控制，找到一控制序列，该控制序列将初始状态转 移到期待的最终状态，且使得给定的性能指标最小，从而满足最小能量控制定义。另 外，本文还研究了二维系统r o e s s e r 模型的鲁棒保代价控制。设计了一个静态状态反 馈控制器使得闭环系统是渐近稳定的且闭环代价函数小于指定的上界，给出了存在控 制器的充分条件。所有的这些结论都是基于l m i s 的，因此非常方便计算机仿真。并 且我们在每一部分都给出了相应的数值算例。 关键词：2 d 扩展r o e s s e r 模型；r o e s s e r 模型；风控制；以滤波；正实控制；最 小能量控制；鲁棒保代价控制 a b s l r a c t硕士论文 a bs t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e dh 。c o n t r o lp r o b l e m s ，h 。f i l t e r i n gp r o b l e m sa sw e l la sp o s i t i v e r e a lc o n t r o l ，t h em i n i m u me n e r g yc o n t r o lo ft h e2 - de x t e n d e ds i n g u l a rr o e s s e r m o d e l 2 d e x t e n d e ds i n g u l a rr o e s s e rm o d e lm e n t i o n e da b o v ei sap a r t i c u l a rc a s eo ft h eg e n e r a l s i n g u l a rm o d e lo f2 一ds y s t e m s t h i sc l a s so fs y s t e m si n c l u d e sa l lt h es y s t e m sr e s u l t e df r o m t h el i n e a rs t a t et r a n s f o m a a t i o n so f2 一ds i n g u l a rr o e s s e rm o d e l s f i r s to fa l l ，w es t u d i e d 风c o n t r o lp r o b l e m so ft h e2 - de x t e n d e ds i n g u l a rr o e s s e r m o d e la n dg a v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o no fe x i s t e n c ef o rd y n a m i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e r s e c o n d l y ，w es t u d i e d 也f i l t e r i n gp r o b l e m so ft h e2 一de x t e n d e ds i n g u l a rr o e s s e rm o d e l ， d e s i g n e dad y n a m i c a lo u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e rt oa c h i e v ea s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n dh 。 p e r f o r m a n c e t h e2 一d 也f i l t e r i n gp r o b l e mi si n v e s t i g a t e df o rb o t ht h e2 - df i l t e r so fa n o b s e r v e r - b a s e ds t r u c t u r ea n dag e n e r a lf o r m w eg a v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nb a s e do nt h e l m i t h i r d ，w es t u d i e dp o s i t i v er e a lc o n t r o lp r o b l e m so ft h e2 一de x t e n d e ds i n g u l a r r o e s s e rm o d e l t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st od e s i g nad y n a m i co u t p u tf e e d b a c k c o n t r o l l e r s u c h t h a tt h e 。r e s u l t i n gc l o s e d l o o ps y s t e mi sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n dt h e c l o s e d - l o o ps y s t e mt r a n s f e rf u n c t i o nf r o mt h ed i s t u r b a n c et o t h ec o n t r o l l e do u t p u ti s e x t e n d e ds t r i c t l yp o s i t i v er e a l w eo b t a i n e das u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo ft h e d e s i r e do u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e r si nt e r m so fl m i f o u r t h ，w es t u d i e dm i n i m u me n e r g y c o n t r o lo ft h e2 - de x t e n d e d s i n g u l a rr o e s s e rm o d e l ，f o u n das e q u e n c eo fi n p u t u ( i ，j ) w h i c ht r a n s f e r se x t e n d e ds i n g u l a rr o e s s e rm o d e lf r o mt h ei n i t i a ll o c a ls t a t et ot h e d e s i r e df i n a ll o c a ls t a t e i na d d i t i o n ，w ec o n s i d e r e dt h ep r o b l e mo ft h eg u a r a n t e e dc o s t c o n t r o lf o rac l a s so ft w o - d i m e n s i o n a ld i s c r e t es y s t e m sd e s c r i b e db yt h er o e s s e rm o d e l a l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) 一b a s e dc r i t e r i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fr o b u s tg u a r a n t e e dc o s t c o n t r o l l e ri se s t a b l i s h e d s u c hc o n t r o l l e rr e n d e r st h ec l o s e d l o o ps y s t e ma s y m p t o t i c a l l y s t a b l ef o ra l la d m i s s i b l eu n c e r t a i n t i e sa n dg u a r a n t e e sa l la d e q u a t el e v e lo fp e r f o r m a n c e w e g a v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo ft h ed e s i r e do u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e r s t h e s ec o n c l u s i o n sa r eb a s e do nt h el m i ，t h e r e f o r ei tv e r yc o n v e n i e n tf o r c o m p u t e r d e m o n s t r a t i o n f i n a l l y ，w ep r o v i d ean u m e r i c a le x a m p l et od e m o n s t r a t et h ea p p l i c a b i l i t yo f t h ep r o p o s e da p p r o a c hi ne a c hs e c t i o n ， k e y w o r d s ：2 - de x t e n d e ds i n g u l a rr o e s s e rm o d e l ；r o e s s e rm o d e l ；h 。c o n t r o l ；h 。 f i l t e r i n g ；p o s i t i v er e a lc o n t r o l ；m i n i m u me n e r g yc o n t r o l ；g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l n ， 声明尸明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：越兰连 弘。子年7 月j日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：越丝趋矽拶年7 月1 日 硕士论文二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型的 乙控制和滤波 1 绪论 1 1 二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型的研究背景 过去几十年，大量的兴趣专注于多个变量的信号和系统。和许多现代工程领域相 关的2 d 信号和系统已经被研究了，例如过程控制，多维滤波，图象增强，信号处理 等。2 d 图象和信号处理在实际应用中有着巨大的潜力。我目前处理2 d 控制主要是 从系统理论的观点出发。有两个分支，分别是输入输出传递函数的方法和状态空间的 方法。由于在处理2 d 信号和系统方面提供了一个简单和直观的研究方法，2 d 状态 空间模型吸引了大量的注意。尽管它看起来有点像1 d 状态空间模型，但它们之间 有一些本质的不同。因此，2 d 状态空间方法在理论和实际中得到广泛的研究。 2 d 状态空间理论源于r o e s s e r 在二十世纪7 0 年代在研究多维线性滤波网路时提 出的著名的r o e s s e r 模型。从那以后，一些学者如a t t a s i ，f o m a s i n i 和m a r c h e s i n i 和 k u r e k 从各自研究的领域分别提出了a t t a s i 模型，f ml s s ( f o m a s i n i m a r c h e s i n il o c a l s t a t e s p a c e ) 模型和一般模型，这些模型及其相应的状态响应公式和2 d c a y l e y h a m i l t o n 原理的建立，为深入展开2 d 状态空间理论的研究奠定了坚实的基 础。基于这些状态空间描述，2 d 系统的一些性质如能控性，能观性，可稳性，实现 问题等得到研究。而且，2 d 反馈设计技术像特征值配置，稳定性和观测器等引起了 大量的关注。 接下来，我们回顾一下2 d 奇异系统扩展r o e s s e r 模型的研究背景。 在过去几十年，奇异系统理论在许多方面得到广泛的研究 5 8 6 0 】。在1 d 奇异系 统，存在一个所谓的k r o n e c k e r 标准形式。y a n g 等在文献 5 1 d p 指出任何一个1 d 线 性时不变系统通过合适的可逆线性变换可以等价的转变为它的k r o n e c k e r 形式。实际 上，k r o n e c k e r 形式对于全面研究1 d 奇异系统是一个强大的工具，因此，对于1 d 奇异系统理论，它是一个重要的基础。然而，在2 d 情况下，并不存在这样的标准形 式。这给研究2 d 奇异系统带来了不便。例如，在设计2 d 奇异系统状态空间模型的 状态观测器时，就不可能用类似的方法将1 d 奇异系统的结果推广到2 d 情形。事实 上，用在这里的一套方法就与1 - d 情形很不相同，而且相对较难。 文献 1 】表明，一般情况下，一个2 d 奇异系统r o e s s e r 模型经过一般的线性状态 变换后可能不能保持它的形式。为了保持r o e s s e r 模型形式，状态变换必须选择块对 角并且很难检验一个给定的2 d 奇异系统一般模型通过可逆线性状态变换是否等价 于一个r o e s s e r 模型。在一些条件下，k a c z o r e c k 介绍了2 d 正奇异系统r o e s s e r 模 型的一个标准形式【2 】。他还介绍了这个标准形式的2 d 传递函数矩阵的一个正实现 方法。2 - d 线性奇异系统的实现问题已经在文献 3 - 5 】中被考虑了。这激发人们尝试找 1 l 绪论硕士论文 到更一般2 d 奇异系统状态空间模型的一类简单形式( 通过可逆线性状态变换) ，并 且希望这类新的简单形式与2 d 正常系统紧密相关并且因此更加方便应用于2 d 奇异 系统的迸一步研究中。 在稳定性定理中，文献 6 7 】研究系统跳跃行为并且介绍了2 d 奇异系统的一个基 本的稳定性定理。基于跳跃模重构和跳跃模能达，文献【8 】介绍了2 d 奇异系统r o e s s e r 模型的降阶正常观测器和补偿器的存在条件和设计算法。由于缺乏合适的2 d 简单形 式，许多结果还很难得到延伸。文献 9 表明在2 d 奇异系统，跳跃模的存在暗示系 统是非因果的和系统的结构稳定性将被破坏。因此，在许多综合问题中，像鲁棒控制， 闭环系统必须设计成无跳跃模。 正是基于以上三个方面的考虑，邹云等在文献 5 0 1d 0 ，讨论一大类2 d 容许奇异 系统的简单形式。这类系统包含二维奇异系统r o e s s e r 模型通过线性变换得到的所有 系统，因此，文献 5 0 称之为二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型。文献 5 0 中提出一个化 简的准则，这个准则就是通过一些合适的可逆线性变换，将给定的2 - d 奇异系统扩展 r o e s s e r 模型等价的转换为等价的经典r o e s s e r 模型。本论文我们基于此简单形式考 虑了玩控制和滤波，以及正实控制、最小能量控制。 1 - 1 1 月二控制和风滤波的研究现状 我们知道近几十年来，1 d 系统玩控制已经成为控制系统研究领域最活跃的研 究之一。矾控制一个最主要的优点是根据系统的能量增益，它的性能指标考虑到系 统最坏的情形。这对于模型不确定和受扰动时系统的鲁棒分析和鲁棒控制非常有用， 相比其它性能指标，如l q 最优控制指标。因此巩控制理论的发展极大的推动了1 d 鲁棒控制系统的设计和分析。 二维系统也控制问题早期的研究见文献【1 1 】之后的一段时间，这个方面的研究 很少，这并不奇怪，事实上1 d 系统里许多已知的结果对2 d 系统来说并不可以直接推 广，主要是由于2 d 系统的结构和分析的复杂性直到2 0 0 0 年后，文献 1 2 】介绍了2 d 系 统r o e s s e r 模型的也控制的线性矩阵不等式方法进一步，文献 1 3 】介绍了由2 d r i e e a t i 微分方程表示的2 d 系统f ml s s 模型( 局部状态空间f o m a s i n i m a r c h e s i n i 第二模型) 的界实引理，并且解决了相应的2 - 1 ) 玑滤波问题，这里的f ml s s 模型是 相对于r o e s s e r 模型更一般的系统描述。之后，谢立华等人又在文献 1 5 】中考虑了二维 系统f ml s s 模型的风输出反馈控制。近几年矾控制得到广泛的重视，文献 1 6 1 7 】 分别考虑了鲁棒也控制和时滞系统鼠控制。 下面谈谈也滤波的研究现状，利用可用的噪声测量来估计2 d 动态系统的状态 变量在信号处理，图象处理和控制中是一个基本的问题。过去几十年大量的兴趣专注 于状态估计方法( 该方法基于估计误差的方差最小) ，最具有代表性的是k a l m a n 滤 2 硕士论文二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型的风控制和滤波 波方法。注意到k a l m a n 滤波在系统的动态模型是已知的，且精确的假设前提下，并 且要求白噪声具有已知的谱密度。已经知道在信号模型不确定时k a l m a n 滤波器可能 不是鲁棒的。在滤波问题中，为了处理不确定性，这就激发我们去定义一个新的性能 指标滤波误差和噪声输入之间最大能量增益的上确界。这种滤波方法称为巩滤 波，并且与实际应用很符合。1 d 系统的也滤波在过去几十年已经得到广泛的研究。 最近二十年，2 d 系统的以滤波也得到了广泛的研究，文献 1 4 】介绍了2 d 系统 r o e s s e r 模型的也滤波的线性矩阵不等式方法。近几年2 d 系统也滤波也得到了进 一步的研究，文献【1 8 2 1 分别考虑了鲁棒巩滤波和时滞系统玩滤波。 1 1 2 正实控制的研究现状 在系统、滤波网路和控制理论中，正实系统是最早提出的一个概念。自从正实性 概念被介绍以后，它在控制和系统理论中就起着重要的作用。p o p o v ，n a r e n d r a & t a y l o r 和a n d e r s o n & v o n g p a n i t l e r d 分别在文献 3 1 3 3 中提出了正实系统在控制和系统理论 一个较好的视角。 从综合控制器的观点看，一个自然的问题就是针对系统构造一个内稳的控制器使 得给定的闭环传递函数是正实的。我们把这个问题称为正实控制问题。研究这个问题 主要动机是源于鲁棒和非线性控制。如果非线性或不确定能用来刻画正实系统并且假 设闭环系统是严格正实的，那么在稳定性理论中的经典结果可以用来保证鲁棒稳定 性。而且，我们可以利用经典设计里的乘数来解决相对不保守的正实控制设计问题。 s a f o n o v & c h i a n g 在文献【3 4 中指出了综合问题正实描述的一些优点。 m o l a n d e r & w i l l e m s 在文献中给出正实综合问题中的状态反馈情形可解的充分条 件。s a f o n o v 等人在文献 3 6 】利用c a y l e y 变换把正实控制问题转化为鼠控制器综合问 题，并把频域理论方法应用到以综合问题中。之后，h a d d a d & b e m s t e i n 在文献 3 7 】 中给出状态反馈和静态反馈控制情形控制器综合问题的一些充分条件。a r a k i ，j i ae t a l ，和n o l d u s 分别在文献 3 8 4 0 】中探究了鲁棒和非线性控制中的正实控制。文献【2 2 2 4 】 报告了正实性在线性系统的稳定性分析和鲁棒稳定性中的应用。a g a t h o k l i s 等将1 - d 系统的正实性成功的应用到2 一d 系统的稳定性分析。 过去几年，正实性控制又受到大量的关注 2 5 2 6 。上面已经说明这个问题主要 是受到了鲁棒和非线性控制推动而得到广泛研究，在那里如果不确定性和非线性是由 正实系统刻画的，我们知道一个确定的闭环传递函数的正实性将会保证反馈系统的总 稳 2 7 。而且，已经证明如果系统的不确定性能被投射成一个正实传递函数且系统是 严格正实的，那么正定理暗示系统是鲁棒稳定性 2 9 。正实控制的目标就是设计一个 控制器使得所得的闭环系统是稳定的且闭环传递函数是正实的。文献 2 5 表明求解线 性连续系统的正实控制问题包含求解一对黎卡提不等式。当参数不确定时，这个问题 1 绪论 硕士论文 可以通过动态输出反馈控制器求解。离散系统的相应的结果参见文献 2 4 2 8 3 。最近， 正实控制问题已经被推广n i - d 离散奇异系统。文献e 3 0 5 7 报告了二维系统的正实 控制。 1 1 3 最小能量控制研究现状 最小能量控制问题是现代控制理论中最重要的问题之一。最小能量控制问题与能 控性有着紧密的联系。对一个能控系统，最小能量控制可表述为：对给定的初始状态 和终端状态，寻找一个控制，它能在有限步内将系统的初始状态转移到终端状态并且 使得二次性能指标( 控制能量) 最小。连续系统和离散系统最小能量控制的最优开环 解已经获得。但由于开环控制对干扰敏感，故人们期望得到的是闭环控制。文献 6 1 】 采用两种不同的方法推到出单输入线性定常离散系统最小能量控制的闭环解。其一是 通过使用可达性g r a m i n 由开环表达式推导出，其二是通过使用满足零终端条件的输 入的一般形式得到。 自从k l a m k a 介绍并解决了2 一d 系统经典r o e s s e r 模型的最小能量控制问题 2 。之 后，2 - d 系统的最小能量控制问题得到广泛的注意 6 3 卜 7 0 。k a c z o r e k 和k l a m k a 在 文献【5 】解决了2 d 线性时变系统最小能量控制。尽管给出的结果是充分且必要的，但 是他们的结果并不能被用来解决更一般的最优控制问题。在文献【1 2 】中，l e e f f l l y o u 解决了二次最优控制问题。尽管他们的结果很有用，然而作者并没有论证怎么样将其 应用到固定边界条件问题中去( 如最小能量控制问题) 。文献 7 2 】将1 d 最优控制理 论自然的推广到2 d 情形，介绍了一个广义的性能指标( 6 5 7 1 可作为其特例) 。利 用该性能指标和非线性2 d 系统模型阐述了一般的2 d 最优控制问题，给出了2 d 最优 控制问题的三个特例。其一是2 d 线性二次型调节器( l q r ) 问题； 其二是固定终 端状态的2 - d 最小能量问题。其三是固定终端垂直状态的2 d 最小能量问题。另外，文 献 6 3 6 4 6 8 考虑了奇异系统的最小能量控制。 1 2 保代价控制研究现状 近年来，许多学者已经考虑了带有参数不确定的连续系统的鲁棒动态输出反馈控 制器的设计问题。注意到许多成果就是找一个控制器保证鲁棒稳定性。然而，我们期 待设计一个控制器，它不仅是稳定的，而且能够保证合适的性能指标。解决这个问题 的一个方法就是所谓的保代价控制方法( 由c h a n g 和p e n g 于1 9 7 2 年首次引进 4 1 】) 。 这种方法便于提供性能指标的上界，因此当系统的性能指标因不确定发生而退化时， 也能保证指标小于这个上界。基于这个想法，许多重要的结果已经被报告了 4 2 4 4 。 特别的，p e t e r s e n 和m c f a r l a n e ( 1 9 9 4 ) 介绍了二次保代价控制概念( 为了满足二次 性能指标，这个概念延伸了二次稳定性概念) ，并且介绍了设计二次保代价控制器的 4 硕士论文二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型的鼠。控制和滤波 一个黎卡提方程方法。 尽管黎卡提方程方法是一个非常强大的工具，但b o y d 等人在文献【4 5 】中强调， 许多出现在系统理论中的问题可以被转化成线性矩阵不等式组( l m i s ) 的形式( 属 于凸问题集) ，因此对这些l m i s ，我们通过内点法不仅可以方便的找到可行的全局解， 而且很容易处理各种额外增加的线性约束条件。保代价控制的主要目标是设计一个控 制器使得闭环系统是二次稳定的且闭环代价函数值对所有容许的不确定性不超过一 个指定的上界。 保代价控制一直受到广泛的关注，文献【4 6 】 4 7 】分别利用1 d 连续和离散系统的 黎卡提方程方法构造了一个最优二次保代价控制器。文献 4 8 】考虑了不确定2 d 离散 系统f m l s s 模型的保代价控制问题，设计了一个鲁棒控制器使得闭环系统渐近稳定 同时保证足够的性能指标。文献【4 9 考虑了2 d 离散系统f m l s s 模型的鲁棒保代价 控制问题。最近，保代价控制又被延伸到不确定时滞系统。本论文我们考虑了2 d 离 散系统r o e s s e r 的鲁棒保代价控制。 1 3 论文的主要工作 正如上面研究现状中所叙述的那样，在1 d 系统和2 d 系统中f m l s s 模型和 r o e s s e r 模型的玩控制和滤波以及正实控制都得到了广泛的关注。因此相关的理论基 础都已具备。本文主要考虑的是2 d 奇异系统扩展r o e s s e r 模型的玑控制和滤波以 及正实控制，本文的主要研究工作包括如下几个方面： 一、二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型的成控制。在无跳跃模的且容许的前提下， 将 上述2 d 奇异系统扩展r o e s s e r 模型化为等价的2 d 系统经典r o e s s e r 模型。再根 据经典r o e s s e r 模型里的已有研究结果，得到我们的2 d 奇异系统扩展r o e s s e r 模 型的以控制。 二、二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型的玩滤波。与一类似，将2 d 奇异系统扩展r o e s s e r 模型化为等价的2 d 系统经典r o e s s e r 模型。然后分别研究基于观测器结构的二 维滤波器和一般形式的二维滤波器入手来研究二维也滤波问题。 三、二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型的正实控制。先将2 d 奇异系统扩展r o e s s e r 模 型化为等价的2 d 系统经典r o e s s e r 模型。基于转化后的模型设计一个动态输出 反馈控制器使得闭环系统是渐近稳定的，且由扰动到控制输出的闭环传递函数矩 阵满足延展严格正实性( e s p r ) 。在无跳跃模的且容许的情况下，该控制器可实现 2 d 奇异系统扩展r o e s s e r 模型的正实控制。 四、二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型的最小能量控制。先将2 d 奇异系统扩展r o e s s e r 模型化为等价的2 d 系统经典r o e s s e r 模型。基于k l a m k a 的最小能量控制结果， 考虑了2 d 奇异系统扩展r o e s s e r 模型的最小能量控制。 1 绪论 硕士论文 五、二维系统r o e s s e r 模型的鲁棒保代价控制。这里我们探讨二维系统r o e s s e r 模型 的鲁棒保代价控制。我们给出了基于l m i 标准的鲁棒保代价控制器存在的条件， 设计出的控制器能够使得闭环系统对所有容许的不确定性渐近稳定且保证给定的 性能指标。 6 硕士论文二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型的玩控制和滤波 2 预备知识 2 1 论文中用到的符号和缩写 1 d 2 d l m i 尺” r “掰 d i a g a 1 ，4 ，4 ) i n g r g 0 g 0 d e t ( g ) k ( g ) k e r ( g ) 或( g ) 7 z ( g ) g 上 一维系统 二维系统 线性矩阵不等式 ，z 维欧氏空间 刀m 阶矩阵集 块对角矩阵，对角线上为4 矩阵( 不一定是方阵) 拧刀阶单位矩阵 矩阵g 的转置 g 为半正定对称矩阵 g 为正定对称矩阵 矩阵g 的行列式 矩阵g 的最大特征值 线性算予g 的零空间 线性算子g 的值域空间 满足a r ( 6 上) = 7 z ( g ) 的矩阵 2 2 二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型 考虑如下二维奇异系统一般模型： e x ( i + l ，_ + 1 ) = a , x ( i + 1 ，歹) + a 2 x ( i ，j + 1 ) + 以x ( f ，歹) + b 1 u ( i + l ，) + 垦材( f ，+ 1 ) + b 0 u ( i ，) ( 2 1 ) 这里x ( f ，j ) r ”，u ( i ，) r ”分别是局部状态向量和输入向量，4 r “”，最r ， k = 0 ，1 ，2 和e r “”是系数矩阵。状态向量的系数矩阵满足二维正则束条件，即对有 限的复数z ，w 有 d ( z ，川；d e t ( z w e 一4 一鸭一4 ) ：羔z k 0 ( 2 2 ) k = 01 = 0 ( 0 瓦以，o s 瓦玎) 定义2 1 如果口- 焉o ，系统( 2 1 ) 称为容许的。一个容许的系统有唯一的解。 引理2 1 系统( 2 1 ) 是容许的，当且仅当d e g d ( z ，w ) l = d e g ：d ( z ，w ) + d e g wd ( z ，w ) 定义2 2 嘞3 如果矩阵【删压一础一咀一a o l lz l o 项) ，我们称系统( 2 1 ) 有跳跃模。否则， 7 2 预备知识硕士论文 我1 t g , 系统无跳跃模。不存在跳跃模等价于系统是因果系统。 二维系统奇异r o e s s e r 模型( 2 - ds r m ) 为： e ；9 0 ： ； = 彳l f - x x ：苫：j 歹) ) j + 召“c t ， c 2 3 ， f ( f ，歹+ 1 ) j ”( f ， “ 。 这里x h ( f ，j ) r 吨，x v ( f ，j ) r 也，u ( i ，j ) r ”分别是水平状态向量，垂直状态向量以 及输入向量。彳和b 是维数合适的实矩阵，e 可能是奇异矩阵。 二维奇异系统r o e s s e r 模型的正则束条件是：对有限的复数z ，w 有 d e t e i ( z ，w ) - a = z 。0 ( 2 4 ) 这里j ( z ，w ) = d i a g z i , ，w 4 ：) ，与一般模型类似，如果吒恳0 ，我们称系统( 2 3 ) 是容许的。当e = 0 时，系统( 2 1 ) 可改写成如下简单的形式 4 x ( i + l ，_ ，) + 4 x ( i ，+ 1 ) + 4 x ( i ，j ) = b v ( i ，力 ( 2 5 ) 这里 ( f ，歹) b = 鼠蜀垦1 ，v ( i ，j ) = lu ( i + l ，圳。 iz ，( f ，j + 1 ) l 注意到系统( 2 3 ) 是二维奇异系统一般模型( 2 - ds g m ) 的特例，可写成二维奇异系 统一般模型，即 a l x ( i + l ，) + 4 x ( i ，+ 1 ) + , 4 0 x ( i ，力= b u ( i ，j ) ( 2 6 ) 这里 x ( f ，) = 二：髫：； ，五= 一么，丑= 【巨。 ，互= 。马】，e = 巨易 ，疋r “仇，七= ，2 这表明二维奇异系统r o e s s e r 模型确实是二维奇异系统一般模型的一个特例。另一方 面，我f 眦意到在可逆状态变双“) = 卿( q = 圈，g 醐 - 1 ，2 ) 下， 系统( 2 3 ) 被转化成( 2 5 ) 的形式： 4 i ( f + l ，) + 4 i ( f ，+ 1 ) + 4 i ( ，力= b u ( i ，j ) ( 2 7 ) 显然，如果q d i a g q l 。，0 2 2 ) ，瓯r “，k = 1 ，2 。那么即使e = ，一般模型( 2 7 ) 也不可能写成r o e s s e r 模型，因此，为方便起见，我们称系统( 2 5 ) 为二维奇异系 统扩展r o e s s e r 模型。文献 1 0 里已证明所有容许的二维奇异系统都可实现为系统 ( 2 5 ) 。因此，在一定意义上，2 - d 奇异系统扩展r o e s s e r 模型是较为一般的模型。 下面我们介绍两个引理和一个重要的定理。 引理2 2 二维容许的奇异系统( 2 1 ) 无跳跃模的充分必要条件是 8 硕士论文二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型的玩控制和滤波 r a n k ( w e - 4 ) = d e g ：d e t a ( z ，叻 r a n k ( z e - 鸣) = d e g ，d e t a ( z ，计 ( 2 8 ) 这里a ( z ，w ) = 删e 一珥一咀一4 引理2 3 对于二维奇异系统( 2 1 ) ，非奇异线性变换并不改变它的容许性和跳跃模 的存在性。 定义2 3 ：二维奇异系统 e x ( i + 1 ，j + 1 ) = a l x ( i + 1 ，_ ，) + 4 x ( i ，+ 1 ) + 鸽x ( i ，_ ，) + b l u ( i + l ，) + 岛u ( i ，j f + 1 ) + 鼠u ( i ，j ) 和 威( f + 1 ，+ 1 ) = 4 舅( f + 1 ，j ) + a 2 戈( f ，j + 1 ) + 鸽舅( f ，j ) + 骂“( f + l ，j ) + 岛u ( i ，j + 1 ) + 鼠u ( i ，- ) 如果存在非奇异矩阵尸和q ，使得x ( f ，_ ) = 劣( f ，) 和= p e q ，盈= p a k q ，覆= p b k ， k = o ，1 ，2 。则称上述两个系统受限等价。 定理2 1 咖1 二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型( 2 5 ) 是容许的且无跳跃模，当且仅 当它受限等价于： 萋 ；，十：2 = 彳群y q ( ( f i , j ) ) j y q ( i + 且v c d c 2 9 ， 【胃( f ，+ 1 ) j 一“7 。夏( f ，) = 岛v ( i ，j ) 这里露( f ，歹) 灭1 ，群( f ，歹) r 如，夏( f ，_ ) r 吩，i = r a n k 4 ，r 2 = r a n k 呜，r 3 = n - r 1 - r 2 。 考虑二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型( 2 5 ) ，注葸到彳( z ，w ) = 一珥一吐一心。 假设( 2 5 ) 是容许的，那么由引理1 可知( 2 5 ) 是无跳跃模的，当且仅当 d e g ：d e t a ( z ，忉= r a n t 媳= ，i d e g 。d e t a ( z ，w ) = r a n k a 2 = 眨 ( 2 1 0 ) 下面给出二维奇异系统扩展r o e s s e r 模型( 2 5 ) 受限等价于( 2 9 ) 的具体算法。 算法1 第一步：判断系统( 2 5 ) 是否是无跳跃模的且容许的。是，则进入下一步。 第二步：选取非奇异矩阵暑，q l r 删，使得z 4q l = 幽昭 厶，o ) ，令 丑4 9 2 乏：乏： ，七= 。，2 则亿蚪c 珥+ 鹏圳g = 0 。蚴w a 2 2 + 如a 0 2 第三步：记上述矩阵为 芝j j 星豸 ，选取= 三等 ，q = 二o ，使得矩阵里 块( 1 ，2 ) 和块( 2 ，1 ) 不含w ，即 9 2 预备知识 第四步 砸m 卅亿叫雩10 如 其中互。= 4 。一弛，一4 ：+ 尼4 0 4 ，互：= 4 ：一尼4 0 4 ，互，= 如一4 。l 。 州五 却倒旭 第五步：选取 只= 叫厶 0 i ，q 4 = 1 0 jh ： 则贡( 乙叻= 只五( z ，q 4 = 4 + 厶 0 ( 1 + 吃) 4 2 l 哆手名 0 硕士论文 第六步：令p = 只只最互，q = q l q 2 q q 4 ，则 么= - 互1 + 2 0 2 囊3 2 封阱船睥” l 群( f ，圳 则在可逆变换o x ( i ，) = i ( j ，) = i 群( f ，) i ，系统( 2 5 ) 受限等价于( 2 9 ) 。 l 夏( f ，) l 例1 给定如下系统： d a x ( i + l ，歹) + 4 x ( i ，+ 1 ) + a o x ( i ，歹) = b v ( i ，j ) 其中系数矩阵为： 4 ：_ 0 牝 小【；：妒2 则有 l o 0 5 - 1 1 0 l ，4 0 5j 0 - 0 5 - 0 5 b = 2 如o = 么 蚴+ o铲警如”o ， m 1ij o 1一厶 。 ： 懈一 喇小如如 删时。卵叶 脚叶删嗍 骱 妙毗 砒 非 一m 幽 = 取 么 = 、w， 选 n b 幺 一一 m 令 似 f_j 0 o 厂、 1，j驼 o o厶4恐o o 0 o l j 0