（基础数学专业论文）小区间上的三次华林哥德巴赫问题.pdf

原创性声明 删f f f f f i i f f 洲删删 y 17 9 4 3 6 2 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 雄 日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：盘睦 导师签名：论文作者签名：跫蝰导师签名： 目录 中文摘要i 英文摘要v 符号说明i x 第一章小区间上四个素数的立方和结果1 1 1 简介1 1 2 方法概要2 1 3 圆法的应用3 1 - 4 余区间7 1 5 主区间，奇异级数，奇异积分1 3 1 6 奇异级数的算术性质1 7 1 7 上界筛法的应用2 0 第二章几乎相等的素数的立方和2 3 2 1 简介2 2 2 2 方法概要2 4 2 3 预备知识2 9 2 4 命题2 5 的证明3 1 2 5k ( d ) 的估计3 3 参考文献3 7 致谢4 0 读博期间完成的论文4 l 山东大学博士学位论文 小区间上的三次华林哥德巴赫问题 赵峰 ( 山东大学数学学院，山东。济南2 5 0 1 0 ( ) ) 中文摘要 哥德巴赫猜想是1 7 4 2 年哥德巴赫在与欧拉的通信中提出来的，可以表述为； ( a ) 每个29 的奇数都是三个奇素数之和 ( b ) 每个26 的偶数都是两个奇素数之和 其中奇数的哥德巴赫猜想( a ) 又称为三素数定理，这一问题已于1 9 3 7 年被 v i n o 删o vf 3 0 】基本解决，他证明了每一个充分大的奇数均可以写成三个素数的 和偶数的哥德巴赫猜想( b ) 至今仍未解决 非线性的哥德巴赫问题又称为华林一哥德巴赫问题，旨在研究正整数礼表为歹 个素数k 次幂之和的可能性，即 n = p ：+ + 砖， ( 1 ) 这里k 是某个给定的正数，而歹= 歹( 七) 依赖于k 对于固定的k ：我们希望j 尽可能 小在本文中，我们考虑k = 3 的情形 对于三次的华林一哥德巴赫问题，与偶数的哥德巴赫猜想相对应的一个猜想是 说一个充分大的正数佗如果满足一些必要的同余条件，那么可以表为四个素数的 立方和，即 扎= 衍+ 递+ 定+ 嗣( 2 ) 这是一个比偶数的哥德巴赫猜想还难的猜想，现在还不能被证明关于这个猜想一 直没有实质性的进展，甚至没有办法证明例外集的结果但是有一些对这个猜想的 逼近，椤! | 如d a v e n p o r t 的结果d a v e n p o r t 在1 3 】3 中的定理断言几乎所有的正整数 可以表示成四个正数的立方和，这里”几乎”的意思是说在不超过2 的满足必要条 件的正整数中不能写成四个正整数的立方之和的整数集合e ( z ) 满足e ( z ) = o ( z ) 关于这个猜想的直接刻画，r o t h 2 6 】证明了下面的结果 l 击 i 山东大学博士学位论文 其中c 为可写成( 2 ) 的整数n 的集合这个结果可以看作是对上述猜想的另外一种 逼近在【2 3 】中，r e n 证明了 l z n ， ( 4 ) z 一 、7 n 0 是一个绝对常数由此我们可以得出这个猜想对有正密度的正整数是成 立的此外，计算出p 的一个可以接受的数值也是非常有趣的在r e n 的另外一篇 文章1 2 4 】中，= 1 3 2 0 可以通过计算给出 在第一章，我们考虑了( 4 ) 的小区间问题，得到如下结果： 定理1 1 令为一个大的正数，c 如上定义则存在一个绝对常数1 0 使 得 f1 1 y ： n n - y n(c 对n 5 1 7 3 5 1 8 4 扣y n 成立 这个结论表明，对于给定的充分大的以及定理中给定的y ，在区间【mn + y l 上满足必要条件的正整数中，使得猜想成立的整数的集合具有正密度我们将用圆 法和上界筛法证明定理1 1 关于前面所述猜想的另一种研究途径是考虑当j 5 时，在不超过的满足必 要条件的正整数中不能表为j 个素数立方和的正整数的集合i 易( z ) i 有多大h u a 5 】证明了当j = 9 时，南( 2 ) 是个有限集因此有意义的问题是当j = 5 ，6 ，7 ，8 时， l 弓( z ) l 有多大记岛( z ) 为这样的整数集合扎 f l 【z 2 ，z 】，但是n 不能被写成( 1 ) 的形式，这里 为一些同余条件，如( 2 2 ) 中定义h u a 【5 】- 【6 中的定理证明几乎 每一个充分大的满足必要条件的整数均可以写成五个素数的立方和具体说，h u a 证明了磊( z ) 0 是一个常数我们当然希望岛尽可能大在第二章中我们将用圆法证 明如下定理 定理2 1 令j = 5 ，6 ，7 ，8 ， 如似剀中所定义对于任意的 0 ，当如分别 等于1 4 5 ，1 3 0 ，1 2 5 ，2 4 5 时，方程( 5 ) 对所有的n 4 jn 【z 2 ，z l 有解，但除去至 多o ( z l - 5 ) 个例外 这个结果表明不但一些满足必要同余条件的几乎所有的整数是jo = 5 ，6 ，7 ，8 ) 个素数的立方之和，而且还证明了这些素数可以在很小的区问上取值 前面我们指出，当j = 9 时，h u a1 5 】证明每一个充分大的奇整数均可以写成 九个素数的立方和l 证和x u 【1 3 】证明了当南= 1 1 9 8 时，每个充分大的奇整数 都可以写成( 5 ) 的形式这跟在黎曼猜想下得到的结果是一样强的在定理2 1 的 证明中，我们将利用【1 3 】中的方法 关键词：圆法，筛法，素变量指数和，小区间 山东大学博士学位论文 t h ec u b i c 7 = a ，r i n g g o l d b a c hp r o b l e m i ns h o r ti n t e r v a l s f e n gz h a o ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y ) a b s t r a c t i n1 7 4 2 ，g o l d b a c hw r o t ee u l e rr a i s i n gt h eg o l d b a c hc o n g e c t u r ew h i c hc a l lb e s t a t e da sf o l o w s ： ( a ) e v e r ) o d dn u m b e rw h i c h i se q u a lt oo rg r e a t e rt h a n9i st h es u mo ft h r e eo d d p r i m e s ( b ) e v e r ye v e nn u m b e rw h i c hi se q u a lt oo rg r e a t e rt h a n6 i st h es u mo ft w oo d d p r i m e s t h eo d dg o l d b a c hc o n g e c t u r e ( a ) i sa l s ok n o w na st h r e ep r i m et h e o r e mw h i c h i sa h n o s ts o l v e db yv i n o g r a d o vi n1 9 3 7 h ep r o v e dt h a te v e r ys u f f i c i e n t l yl a r g eo d d i n t e g e ri st h es u i no ft h r e ep r i m e s t h ee v e ng o l d b a c hc o n g c c t u r ei ss t i l lo p c n n o v , t t l en o n - l i n c a rw a r i n gp r o b l e mi sa l s ok n o w na sw a r i n g - g o l d b a c hp r o b l e mw h i c h c o n c e r n st h er e p r e s e n t a t i o no fp o s i t i v ei n t e g e r snb yp o w e r so fjp r i m e s ，i e n = 计+ + 砖， ( 1 ) w h e r eki ss o m eg i v e np o s i t i v ei n t e g e r ，m i dj = 歹( 七) d e p e n d so nk f o rs o n i cf i x e dk ，j i sh o p e dt ob ea ss m a l la sp o s s i b l e i ti sc o n j e c t u r e dt h a tf o rk 之la n dj i | = + l ，t h e a b o v ee q ! l a | i o ni ss o l v a b l e o fc o u r s et , h l si sav e r yd i f f i c l f l ! p r o b l e mt h a tc a nn o th e r e a c ha tp r e s e n t b u ti ti sp o s s i b l et oa p p r o x i m a t et h i sp r o b l e mi ns o m ew 鲻i nt h i s p a p e r ，w ea r ei n t e r e s t e di nt h ec a s eo fk = 3 f o rt h ec u b i cw a r i n g - g o l d b a c hp r o b l e m ，c o r r e s p o n d i n gt ot h ee v e ng o l d b a c h c o n g c c t u r e t h ec o n j e c t u r ei st h a ta l ls u f f i c i e n t l yl a r g ei n t e g e r sn s a t m f y i n gs o m en e c - e s s a r yc o n g r u e n c ec o n d i t i o n s ，a r et h es a u lo ff o u rc u b e so fp r i m e s ，i e ，l = 衍+ 定+ 砖+ 砖 v ( 2 ) 山东大学博士学位论文 t h i sc o n j e c t u r ei sm o r ed i f f i c u l tt h a nt h ee v e ng o l d b a c hc o n g e c t u r e ，w h i c hi so u t o fr e a c ha tp r e s e n t t h e r ea r en o tm a n ye s s e n t i a la d v a n c e sa b o u tt h i sc o n j e c t u r e ，b u t t h e r ea r ei n d e e da p p r o x i m a t i o n st os u p p o r tt h i sc o n j e c t u r e ，s u c ha sd a v e n p o r t sr e s u l t t h et h e o r e mo fd a v e n p o r ti n 【3 】a s s e r t e dt h a ta l m o s ta l lp o s i t i v ei n t e g e r sa r et h es u m o ff o u rp o s i t i v ec u b e s ，w h e r e ”a l m o s ta l l ”m e a n st h a tt h es e to fi n t e g e r sc ( z ) s a t i s f y i n g s o m en e c e s s a r yc o n d i t i o n sa n dl e s st h a nzw h i c hc a nn o tb ew r i t t e na st h es l i mo ff o u r c u b e so fp o s i t i v ei n t e g e r ss a t i s f i e se ( z ) = d ( z ) l e tcb et h es e to fi n t e g e r snw h i c hc a nb ew r i t t e na 8 ( 2 ) i n1 9 4 9 ，r o t h 2 6 】 s h o w e dt h a t f1 j ：j n 0s u c ht h a t h o l d si o rn 5 1 7 3 5 1 8 4 十5 y n 1 7 y n ( n 卞y n e c t h ea b o v er e s u l ts t a t e st h a tf o ra n yg i v e ns u f f i c i e n t l yl a r g ena n dg i v e nyi nt h e t h e o r e m ，t h ec o n j e c t u r ei sa l s ot r u ef o rap o s i t i v ep r o p o r t i o no fp o s i t i v ei n t e g e r si n s h o r ti n t e r v a l 眦n + 酮w ew i l lc o m b i n et h ec i r c l em e t h o da n dt h eu p p e rb o u n d s i e v e st op r o v et h e o r e m1 1 v i 山东大学博士学位论文 i f j = 5 ，6 ，7 ，8a n dk = 3 ，d e n o t eb y 岛( z ) t h es e to fi n t e g e r sn n z 2 ，2 1s u c h t h a tnc a nn o tb ew r i t t e n 嬲( 1 ) ，w h e r e i ss o m ec o n g r u e n c ec o n d i t i o n sd e f i n e di n ( 2 2 ) h u a st h e o r e mi n 【5 卜 6 p r o v e dt h a ta l m o s ta l lp o s i t i v ei n t e g e r sns a t i s f y i n gs o m e n e c e s s a r yc o n d i t i o n sa r et h e8 1 1 1 1 1o ff i v ec u b e so fp r i m e s h u ap r o v e dt h a t 磊z ) 0 i sac o n s t a n t ，w h i c hi sh o p e dt ob ea sl a r g ea sp o s s i b l e i nc h a p t e r2 ，o u r r e s u l tg i v o sd e e pi n s i g h t si n t ok u m c h e v sr e s u l t s ：w h i c hi ss t a t e da sf o l l o w s t h e o r e m1 2 l e tj = 5 1 6 ，7 ，8 ，a ji sd e f i n e d 拥( 2 n ) f o ra n y 缸e de 0 ， t h ee q u a t i o n ( 5 ) w t h 岛= 1 4 5 ，1 3 0 ：1 2 5 ，2 4 5i ss o h , a b l e 扣ra l li n t 留e r sn n 【z 2 ，z 】，r e s p e c t i v e l y ，b u t 加ra tm o s to ( z 卜5 ) e z c e p t i o n s t h i sr c s u l ti n d i c a t e st h a tn o to n l y - a l m o s ta l li n t e g e r ss a t i s f y i n gs o m en e c e s s a r y c o n g r u e n c ec o n d i t i o n sa r et h es u i no fjo = 5 ，6 ，7 ：8 ) c u b e so fp r i m e s ，b u ta l s ot h e p r i m e sc a l lt a k ev a l u e si ns h o r ti n t e r v a l s i nt h ec a s eo fj = 9 ，h u af 5 】5s t a t c x lt h a te a c hs u f f i c i e n t l yl a r g eo d di n t e g e rc a l lb e w r i t t e n 蠲t h es u mo fn i n ec u b e so fp r i m e s l f ia n dx u 【1 3 】p r o v e dt h a ta l li n t e g e r s c a nb cw r i t t e na si n ( 5 ) w i t h 南= 1 1 9 8 ，w h i c hi s 黜s t r o n ga st h er e s u l tu n d e rt h e g e n e r a l i z e dr i e m a n nh y p o t h e s i s i nt h ep r o o fo ft h e o r e m1 2 ，w eu s et h em e t h o di n 【1 3 】 v i i 山东大学博士学位论文 k e yw o r d s ：c i r c l em e t h o d ，s i e v em e t h o d s ，e x p o n e n t i a ls t l i i i s o v e rp r i m e s ，s h o r t i n t e r v a l s 山东大学博士学位论文 p l ，纯，- 符号说明 素数 t n l ，r n a ：n 整数 ( a ，b ) 【a ，b 】 a 和b 的最大公约数 a ，b 的最小公倍数 a 三b ( m o dq ) g 0 ，q l a b e x p ( 2 r i z ) l o gn w o nm a n g o l d t 函数 e u l e r 函数 d i r i c h l e t 除数函数 模q 的d i r i c h l e t 特征 模q 的主特征 r r 2 r 可以任意小的正常数 绝对常数 f ( x ) = 0 ( 9 ( z ) )i ，( 刮c g ( z ) ，对于一个绝对正常数c f ( x ) 夕( z )f ( x ) = o ( 夕( z ) ) i x 嘲 l 川 荆 州 洲 阳 一 e c 第一章小区间上四个素数的立方和结果 1 1简介 在这一章，我们主要研究小区间上的三次华林- 哥德巴赫问题关于三次华林 一哥德巴赫问题，一个最乐观的猜想是所有充分大的整数n 如果再满足一些必要的 同余条件，可以写成四个素数的立方和，即 佗= p 3 + 旌+ 定+ 旌( 1 1 ) 关于这个猜想一直没有实质性的进展，我们甚至没有办法得到例外集的结果但是 可以考虑一些对这个猜想的逼近，如h u a 和d a v e n p o r t 的结果h u a 5 】- 【6 】中的定 理证明几乎所有满足一些必要同余条件的正整数n 可表为五个素数的立方和，而 d a v e n p o r t 在【3 】中的结果断言几乎所有正整数是四个正数的立方和 记c 为可以写成( 1 1 ) 的整数n 的集合1 9 4 9 年，r o t h 【2 6 】证明了下面的结 果 萎捞击 ( 1 - 2 ) 上面的结果可以看做是对上述猜想的另外一种逼近在【2 3 】中，r e n 证明了 下面的结论 l j n ( 1 3 ) n 0 是一个绝对常数由此我们可以得出这个猜想对有正密度的正整数是成 立的在r e n 的另外一篇文章【2 4 】中，一个可以接受的常数口= 1 3 2 0 可以计算出 来 在这一章中，我们通过证明下面的结果，建立了( 1 3 ) 在小区间上的结果； 定理1 1 令为一个大的正数，c 如上定义则存在一个绝对常数，y 0 使 得 f1 ，y f z 一。 ， 一l n c 1 山东大学博士学位论文 对5 1 7 3 5 1 8 4 + y n 成立 这个定理表明，对于给定的充分大的n 以及定理中给定的y ，在区间 n + y 1 上满足必要条件的正整数中，使得猜想成立的整数的集合具有正密度定理证明过 程用到圆法和上界筛法 令为一个大的整数，且 1 2方法概要 z = ( ， y2 x s 6 当n n n + y 时，记r ( n ) 为可写为( 1 1 ) 的礼的表法个数，其中 这里 ( 1 4 ) z p l ，p 2 z + 仉y p s ，p 4 暑+ v( 1 5 ) z2u = w z 2 x 1 7 1 7 1 7 2 8 托， y 之v = y z 1 3 6 y 1 4 2 9 1 4 4 0 托( 1 6 ) 定理1 1 证明的要点是得到下面7 ( 孔) 均方估计的结果 引理2 1 若r ( n ) 如上述定义，则我们有 r 2 ( n ) u s y 4 _ 2 3 l ， j ! v n s + y + ，r c n ，) 2 e 焉舅，i ) 暑+ y r 2 c n ，) c 7 ， 2 山东大学博士学位论文 r ( 扎) 2 1 1 1 n s + yx p l 善+ ，z p 2 x + uj ， p 3 掣+ y l t p 4 s 可+ 矿 l 俨v 2 l 添加上式到( 1 7 ) 并用引理2 1 ，我们有 l u n 2 3 v o 这里蕴含在中的常数是绝对的这样就完成了定理的证明 我们继续证明引理2 1 ，它是下面结果更加一般的情形 命题2 2 令n n + y ，p ( 凡) 表示下面方程的解的个数 其中的素变量受限于 则对所有满足 的n 一致有 n = p i + + 旌一砖一一建 ( 1 8 ) z p t ，耽，船，p 6 z + 矾秒 p 3 ，肌，册，船y + v ( 1 9 ) n i t i n + k n 三0 ( m o d1 8 ) 另一方面，显然有 p ( n ) u 3 v 4 n 一2 3 l 一 ( 1 1 0 ) 7 2 ( 扎) p ( o ) ( 1 1 1 ) n s + y 那么，引理2 1 可由( 1 1 1 ) 和当n = 0 时的( 1 1 0 ) 推出 在1 7 ，我们将通过上界筛法来证明命题2 2 为了处理筛法中的余项，我们需 要一个等分布的结果，这将在1 3 1 5 中通过圆法给出 1 3圆法的应用 3 山东大学博士学位论文 其中 令n n + lv ( n ) 为下面方程解的个数 n = m 3 + + p 3 一建一一p 3( 1 1 2 ) z m ，p 2 ，p s ，船z + 阢 y p s ，1 0 4 ，p 7 ，p s y + 犷 ( 1 1 3 ) 对于给定的d ，我们定义v d ( n ) 为限制在条件( 1 1 3 ) 下方程( 1 1 2 ) 的解数，其中d i m 在命题2 2 中，v ( n ) 和p ( n ) 的关系是可以显然得到的，我们将通过对方程( 1 1 2 ) 中的变量m 用上界筛法来得到命题2 2 令z ，y 如( 1 4 ) 中所定义，且 丘( “) = e m 3 ) ， 。笺了丢麓u 幽 这里( ) 是一个复数序列此外，令 f ( “) = 7 d 厶( “) ， ( 1 1 4 ) d s d 夕( 口) = e ( a p 3 ) ， ( n ) = e ( q 矿) ( 1 1 5 ) z p x + uy p y t i 那么v d ( n ) 能写成如下形式 抛( 孔) ：厂1 d ( 口) 丽i 夕( q ) m ( q ) | 4 e ( 一托。) ( f q ( 1 1 6 ) j o 为了分析( 1 1 6 ) ，我们记 西( a ) = e ( m 3 a ) ， x m z + u 并且定义 j ( 礼) = 圣( a ) 丽l g ( 卅1 日( 入) m n a ) d a ( 1 1 7 ) 为了用圆法处理主区间，我们记 蜘，= 塞e ( 孚) ，晰，= 室e ( 孚) ， - 然后定义 4 ( 1 1 9 ) 等 矿 岫 v = ” 日 等 圹 +峰 = 入g 曲 n 死 科 i | n “ 6 山东大学博士学位论文 其中 咖)=妻s3(q,a等d3)c3(严q,a)lca(q,a)16e(一警) ( 1 2 。) 稍后我们将证明级数( 1 1 9 ) 的绝对收敛性 在1 乒1 5 中，我们主要是通过圆法来建立下面的等分布结果 命题3 1 定义心( 扎) 为 嘶) = 掣跏) + 晰) ， 这里s d ( n ) 和j ( n ) 分别如门1 9 ) 和f ，j j 砂所定义令 d = z e ，e 0 是任意的常数 我们对命题3 1 用筛法时需要6 d ( n ) 和j ( n ) 的一些重要性质，叙述如下 引理3 2 令 则对d 一致地，有 6 d ( n ，p ) = 乃( 孔，口) q s p 6 d ( 扎，p ) = 6 d ( n ) + o ( p 1 ) ， ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) 这里6 d ( n ) 如n j 圳所定义并且奇异级数6 d m ) 是绝对收敛的，对d 和佗一致 地，有 此外， 门1 7 ) 所定义的积分满足 ( s d ( n ) 1 ，( n ) u 3 $ 4 一2 3 l 一7 5 ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) 山东大学博士学位论文 证明由v i n o g r a d o v 的估计【2 9 】 c 3 ( q ，n ) 9 1 2 户( q ) 和平凡上界i 鼠( g ：n ) l5q ，我们得到 q ) i 耋盟甓掣s 删- 二q g 2 t 1 4 矿( q ) 1 这就证明了( 1 2 5 ) 和6 d ( t t ) 的绝对收敛性同时也给出了( 1 3 6 ) 的证明 用l i i 和x u 【1 3 中的方法，我们可得 ，( n ) 一7 ( m l m 2 m 8 ) 一2 7 3x 扩y 4 一2 ，3 为了用圆法证明命题3 1 ，我们需要定义主区间瓤和余区问m 由d i r i c h l e t 引 理( 【2 7 】，引理2 1 ) ，每一个o z 【1 q ，1 - i - 1 q 】可以写成这种形式 c l = a q - i - a 1 ( q q )( 1 2 8 ) 囊 其中整数n ，q 满足1 q p 和( a ，q ) = 1 记觋( n ，q ) 为满足( 1 2 8 ) 的q 的集 合。然后定义主区间妍如下： 吼：= uu 觋( n ，q ) ， ( 1 2 9 ) 1 口 0 为一常数，可由( 1 2 3 ) 中的a 决定对任意可测集合孵，定义 v d ( n ；毋) = ，d ( n ) 夕互- 1 9 ( q ) 1 2 i h ( o o l 4 e ( 一n a ) d a ( 1 3 3 ) ，孵 那么我们有v d ( n ) = 抛( 礼，【0 ，1 】) 和 乏倒n ) | d d 忡耻掣跏) | + | d d 训刊d d ii 我们将在1 4 和1 5 中分别处理( 1 3 4 ) 右端的两项 1 4余区间 在这一节，我们将建立( 1 3 4 ) 右端第二项所需要的余区间上的估计 命题4 1 令d 和( 7 d ) 如命题舅j 中所定义则 抛( 扎；m ) u 3 y 4 - 2 3 l 一 t f 冬上) 为了证明命题4 1 ，我们需要如下引理 引理4 2 定义w e y l 和 ( 1 3 4 ) 9 0 ( q ) = e ( n 仇3 ) ，( 口) = e ( q 仇3 ) ， ( 1 3 5 ) 霉 m ：c + ， y m y + v 这里配v 如r j 矽中定义那么我们有 z 1 l 跏( 。) 1 2 l h o ( n ) | 4 如z l 2 托u 1 2 y 2 引理4 2 的证明依赖于下面的引理 引理4 3 若q 可写为f ，j 别的形式令 及 g _ f l ( n ) = e ( h ( 3 m 2 + 3 m + 铲) c 1 ) ， z m s z + u g ( q ) = g ( q ) 6 五 7 山东大学博士学位论文 则我们有 g ( n ) 矿( x 1 1 2 u 1 1 2 + 可x i 2 u “4 q 们) 证明由c a u c h y 不等式， 此外，我们有 g ( q ) 1 2 z 1 肛i g ( q ) 1 2 h 6 i g ，( q ) 1 2 = e ( a a h ( m 叫) ( m + n + 危) ) x m z + ux a s x + u 记m = 佗+ h l ，则上面的表达式变为 因此， i g ( n ) 1 2 = e ( 3 a h h l ( 2 卅 + 危1 ) ) i h ii c ，m a ) 【扛，z 一 1 ) n m i n ( + 玑x + u - h t ) u+聂。，rain(以耐晶ho) h 工一ii lh ，kj ， l u 、”。1 ”， g ( 酬2 x u + x l e 帆z 唧m t n 丽1 )0 u 6 撕u 、 ”7 由v a u g h a n 【2 7 1 中的引理2 2 ，上式变为 z u “2 ( ，掣+ l 、) ( u + q l o g q ) g 少e u + 辈“胁龟 q 这就完成了引理的证明利用引理4 3 ，我们将给出引理4 2 如下的证明 引理4 2 的证明引理4 2 中的积分不会超过下面方程的解数 其中 m ：+ 咒i - 4 - 扎；= m ；+ 壤+ 碹， z z 2 ，我们有h 6 z m 由上面g ( q ) 和( q ) 的定义 可得， s l v ( - ) l h o ( n ) 1 4 如 ( 1 3 7 ) 为了分析( 1 3 7 ) 的右端，我们令甄和丽分别为( 1 2 9 ) 和( 1 3 0 ) 所定义的主区 间和余区间，其中p jq 被 p = 一p = 配q = 虿= x l 2 u( 1 3 8 ) 所取代因为我们假设z 4 ，主区间是两两不相交的那么( 1 3 7 ) 变为 s i fg ( 酬( q ) 1 4 d a + c ( a ) l h o ( q ) 1 4 d a ( 1 3 9 ) ，魄，而 我们首先考虑在余区问丽上的积分由d i r i c h l e t 引理，对任意的o t 丽：存在整数 a 和q ，使得 n 2 i a + a 一p qs 虿，丽1 ， 由此，引理4 3 给出 g ( n ) x z 2 + 5 u m 由l i 和w uf 1 2 】中引理4 1 ， 上g ( 酬( 。) 1 4 如2 托u l 2z 1 i h o ( 酬4 如z l 2 托u l 2 y 2 9 山东大学博士学位论文 接下来考虑在主区间丽上的积分对任意的_ 我们有1 n 口s = u ， 由引理4 3 可以得 g ( 冰挈 为了得到余区间丽上所需要的结果，我们用v a u g h a n 【2 7 】中的定理4 1 ， o ( 口) l ( n ，q ，n ) i + q 1 2 + 5 ( 1 + y 3 1 2 l 仃一a q 1 1 2 ) ， 这里 i j 矿( “，( f ，u ) = q - 1 s j ( q ，o ) 叫( “一a q ) 其中鼠( 口，a ) 如( 1 1 8 ) 定义，且 t t ，( 入) = 那么由v a u g h a n 【2 7 】中的定理4 2 7 因此， y e ( a z 3 ) d z ( q ) y q 一1 3 ( 1 + y s i n a q 1 ) 一1 + u 1 2 + f ，。，g(n)l，沁(n)14，znxw口2。+：5uy口4。+。ej预l(q j 厂o 。 ，口) q q d au 2 + ! 、 f 丽+ 而) x t q l 2 + ：e u y t + 3 5 + 百u 而2 + s ) 所以， 厶g ( 洲酬4 胁驯 x l l 2 + 5 u a 1 1 2 矛y + 可u 2 + e ) u t 6 2 1 2 托耖+ u 5 2 x v 2 托u 1 2 v 2 由于u ，y 在( 1 6 ) 中的取法，引理4 2 得证 引理4 4 令d 和( ，d ) 如命题只f 所定义则我们有 i f ( a ) 1 2 i 卯( o ) 1 2 l ( a ) 1 4 d r i u 3 v 4 n - 2 1 3 l 。2 a ，m 1 0 山东大学博士学位论文 证明当0 口 1 4 时，对1 8 】中的引理3 2 稍作修改可以得到 其中 f ( a ) = 丘( q ) = 舰e ( ( 机) 3 a ) d s 上) d 上) z d m 1 6 且口 1 3 9 2 5 6 时，上式泸y 4 n 一2 3 l 一2 a 这里对护的要 求由( 1 3 2 ) 来保证，考虑到( 1 4 1 ) ，必要条件p 1 6 意味着d 必须满足( 1 2 2 ) 引 理得证 引理4 5 若m 如以3 0 ) 所定义，则我们有 i g ( - ) l4 i ( n ) 1 4 d o t u 3 v 4 n - 。2 3 - ，n i 证明引理中的积分小于下面