（基础数学专业论文）整函数公共值的若干结果.pdf

摘要 本文共分四章，主要研究了关于整函数涉及导数，微分多项式的唯一性 问题这些问题主要是针对整函数和其导数，微分多项式的公共值来讨论的， 得到的定理改进和推广了以前的该方向的成果其中两个引理( 引理3 6 ，引 理3 7 ) 刻画了零点和极点都比较少的亚纯函数的有理式的值分布特征，因 而也具有独立的意义 第一章，概述了本文研究的成果和意义 第二章，介绍值分布理论的一些基本概念和预备知识 第三章，第四章证明引理和定理 关键词：亚纯函数，整函数，公共值，唯一性 中图分类号：0 1 7 4 5 2 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，s o m ep r o b l e m so nu n i c i t yo fm e r o m o r p h i co re n t l r e i u n c t i o n sa r es t u d i e d w eg e ts e v e r a lr e s u l t so nt h ev a l u es h a r i n gp r o b l e m s o n e n t i r ef u n c t i o i l sa n dt h e i rl i n e a rd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l s ，w h i c h1 m p r o v e a n d g e i l e r a l i z e8 0 m ep r e v i o u sr e s u l t so b t a i n e db yc c y a n g a n ds o r e eo t h e ra u - t h o r s w ea l s op r o v et w ou s e f u ll e m m a s w h i c hc o n c e r nt h ev a l u ed i s t r i b u t l o n o ft h em e r o m o r p h i cf u n c t i o nw i t ht h ef o r m 器，w h e r ep ( 九) a n dq ( 九) a r e p o l y n o m i a l si nam e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，w i t hf e w z e r o sa n dp o l e s k e y w 0 r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i 。n ，e n t i r ef u n c t i 。n s ，v a l u es h a r i n g ，u i l i q u e _ n e s s m r ( 2 0 0 0 ) m a t h e m a t i c ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：3 0 d 3 5 致谢 首先向我敬爱的导师李平教授致以真诚的感谢，感谢这三年多来对我学 业的辛勤培养，对我人生的不断勉励，以及对生活的亲切关怀。李老师严谨 踏实的治学态度，孜孜不倦的敬业精神，诚挚宽厚的人格魅力是我终生学习 的楷模! 感谢科大数学系所有的老师和工作人员，为我们创造了良好的学习和生 活环境，使我在这里度过了愉快而且充实的七年时光 感谢辛勤抚育我成长的父母亲，感谢父母多年来一直默默地奉献全力支 持我的学业 第1 章引言 亚纯函数的唯一性理论研究的是在何种条件下能唯一地确定亚纯函数 两个函数的公共值是指当其中一个函数取这个值时另一函数也取此值，反之 亦然亚纯函数的唯一性问题与公共值问题有着紧密的联系用值分布的方 法来研究亚纯函数唯一性问题是近年来值分布理论中一个比较活跃的分支 早在上世纪二十年代芬兰数学家r n e v a n l i n n a 在这一领域就已取得了一 系列结果，可以说为这方面的研究开了先河，他所建立的5 i m 公共值定理和 4 c m 公共值定理等都是这一领域中的经典结果通过对亚纯函数唯一性理 论及公共值问题的研究可以进一步弄清亚纯函数的取值状态及函数间的相 互关系，进一步了解某些特殊微分方程和代数方程的亚纯解的存在性和唯一 性对值分布理论、微分方程理论和代数方程理论等不同数学分支的相互渗 透和发展有积极的促进作用第一章将正式介绍本文的主要研究成果，其预 备知识则在第二章介绍 设f ( z ) 是复平面c 上的非常数的亚纯函数，t ( r ，) ，n ( r ，) ，m ( r ，) 为 n e v a n l i n n a 的值分布理论【1 0 1 的标准符号我们将在下一章对n e v a n l i n n a 的值分布理论一些基本定理和记号做简要的介绍先在这里介绍小函数和公 共值的概念设e 表示区间( 0 ，) 中一个具有有限的线性测度的子集，但 在每次出现时不一定相同对于复平面上的亚纯函数，( z ) ，用s ( r ，) 表示 满足下列条件的量：当f ( z ) 为有穷级函数时，s ( r ，) = o ( t ( r ，) ) ( r _ ) ， 当f ( z ) 为无穷级函数时，s ( r ，) = o ( t ( r ，厂) ) ( 7 _ ，rge ) 今后若无 特别说明，则s ( r ，厂) 的意义当如此解释设f ( z ) 和a ( z ) 都是复平面上亚 纯函数若t ( r ，a ) = s ( r ，) ，则称a ( z ) 是f ( z ) 的小函数设f ( z ) 和g ( z ) 是两个非常数的亚纯函数，c 为一有穷复数，如果f ( z ) 一c 和g ( z ) 一c 的零 点集相同，就称c 是f ( z ) 和g ( z ) 的i m 公共值，如果不仅零点集相同，而且 相同零点的重数也一样，就称为c m 公共值如果0 是1 f ( z ) 和1 g ( z ) 的 i m ( c m ) 公共值，则称是f ( z ) 和g ( z ) 的i m ( c m ) 公共值显然，i m 公 共值必是c m 公共值，反之则不然。 1 9 8 6 年，j a n k ，m u s e 和v o l k m a n n 考虑了非常数整函数，和它的导数 的唯一性问题，证明了这样的结果【1 2 】，如果非零复数a 是厂和它的导数 ，7 ( z ) 的c m 公共值，并且当f ( z ) = a 时，有，z ) = a ，那么，= 厂7 这个 命题中的二阶导数厂，( z ) 不能换为更高阶的厂( “) ( z ) ，礼3 这可以从下面例 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 第1 章引言 子看出，设f ( z ) = e 一2 ，a = 一1 是f ( z ) 和，( 3 ) ( z ) 的c m 公共值，但是 t 厂f 7 c c y a n g 和p l i 得到了如下更加广泛的结果： 定理a ( 【2 7 】) 设，为非常数整函数，l = a l f 7 + a 2 f + + o n 厂( 川， ( a n 0 ) 是，的常系数线性微分多项式，如果有穷非零值a 是，和l 7 的 c m 公共值，并且当f ( z ) = a 时，有，7z ) = l ( z ) = a ，那么l = l 7 ，f = f 7 或者f = a + l ( l a ) a 定理b ( 1 7 】)设- 厂为整函数，n 为正整数，有穷非零值a 是，厂( n ) 和，( 1 ) 的c m 公共值，则有f = f 7 定理c ( 【1 7 】)设，为整函数，n 2 为正整数，有穷非零值a 是，7 和，( 他) 的c m 公共值，那么f ( z ) = b e 一a ( 1 一c ) c ，其中b ，c 是非零常数 乱一1 ：1 一般来说，将条件c m 减弱为i m ，问题会变得更困难，而且原来的结果 可能不再成立比如将定理a 中的条件改为i m 时，我们可举这样的反例： 设f ( z ) = 1 + 6 e 3 。+ 2 e 3 。2 ，l ( z ) = 一3 e 钯一4 e 3 2 2 容易验证1 是，和三 的i m 公共值，并且当f ( z ) = 1 时，有，7 ( z ) = l ( z ) = 1 ，但是定理a 中的 结果不再成立 在本文中，我们解决了把定理a 中的条件改为i m 时的唯一性问题，得 到的结果如下： 定理1 1 设厂为非常数整函数， l = a l f 7 + a 2 f + + o 几，( 川， ( 1 1 ) ( a n 0 ) 是厂的常系数线性微分多项式，且l 不恒等于零如果有穷非零 值a 是，和l 7 的肼公共值，并且当f ( z ) = a 时，有，7 ( z ) = l ( z ) = a ， 那么共有三种可能的情形如下， ( i ) f = ，7 = l ， ( i i ) l = l 7 ，f = a + ( 1 a ) l ( l n ) ， ( i i i ) f ( z ) = a + c l e 3 。+ c 2 c 3 。2 ，l ( z ) = 一( c l 2 ) e 钯一2 c 2 e 3 。2 ，c 1 ，c 2 是非零常 数满足关系3 砖= 2 a c l 对于定理b 和定理c ，我们得到如下的推广定理 定理1 2设f 为非常数整函数，l = a l f 7 + 0 2 ，+ + o n ，( 川，( a 。0 ) 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文第3 页 第1 章引言 是，的常系数线性微分多项式，且l 不恒等于零如果有穷非零值a 是l 和l 7 的c m 公共值，并且当f ( z ) = a 时，有l ( z ) = a ，f ( z ) 一a 的零点是 单重的，那么有l = l 7 推论1 1 如果定理j 2 中的l 只有一个单项厂( 川，其它条件不变，则 存在非零常数c 使得f ( z ) = c e 。或者f ( z ) = c e 。+ a 定理1 3设，为非常数整函数，l = a l f 7 + a 2 f + + o 。，( ，n 2 ， ( a 。0 ) 是，的常系数线性微分多项式，如果有穷非零值a 是，和，7 的 c m 公共值，并且当f ( z ) = a 时，有l ( z ) = a ，那么f ( z ) = b e 一口( 1 一c ) c ， 其中b ，c 是非零常数满足关系匙l a k c k - 1 = 1 相对于定理1 3 ，我们如果把常数a 换为小函数，把l ( z ) 换成，的n 阶 导数，得到下面的结果： 定理1 4 设，是非常数的整函数，a 是有穷级整函数，且t ( r ，a ) = s ( r ，) ，如果a 是，和，7 的c m 公共值，并且当f ( z ) = a 时，有，( n ) = a ， 那么有以下三种可能： ( i ) a = p ( z ) ，f = 入e 2 ，p ( z ) 是非常数的多项式，入是非零常数 ( i i ) a = a 7 ，f a = c e 鬈e p 如，p 是整函数，此时f 不取a 值 ( i i i ) o 为非零常数，f ( z ) = h e “+ n 一! ，h ，c 是非零常数，c n 。= 1 第2 章n e v a n l i n n a 基本定理 值分布的研究可以追述到十九世纪七十年代，1 8 7 9 年p i c a r d 给出了他 的“小定理”和“大定理”，奠定了古典值分布理论的基础在值分布的发 展中，r n e v a n l i n n a 有着巨大贡献1 9 2 5 年他引进了亚纯函数的特征函 数，并建立了关于亚纯函数的两个基本定理，开始了亚纯函数值分布理论的 现代研究以往p i c a r d ，b o r e l 的定理都成为它的简单推论这一章主要介绍 n e v a n l i n n a 的两个基本定理以及相关的一些基本概念 2 1 p o i s s o n j e n s e n 公式 2 1 1 p o i s s o n - j e n s e n 公式 在n e v a n l i n n a 理论中，下述p o i s s o n - j e n s e n 公式起着十分重要的作用 定理2 1设，( ) 是r ( 0 r ) 上的亚纯函数，吩( j = 1 ，2 ，p ) 和b k ( 尼= 1 ，2 ，q ) 分别是，( e ) 在d = 【( ： r ) 内的 零点和极点催里零点和极点都按其重数重复计算j 如果z = r e 徊d 不 是，( ( ) 的零点和极点，那么有 l o g i ，( z ) l =去z 打k g l 邶砂) i f 熹蒜却 曹。刮涮懂k = l 崦l 矧1 ( 2 1 ) 2 1 2 p o i s s o n - j e n s e n 公式的推论 根据p o i s s o n - j e n s e n 公式，可以得到下面的推论 推论2 1如果，( e ) 是r ( 0 r 0 0 ) 上的亚纯函数，并且在 d = e ： r ) 内无零点和极点，那么对任意z = 7 e 谛d ，有 1 0 9 i f ( z ) l = j 1f 0 2 丌l o g l 萨葛；杀衄 ( 2 2 ) ( 2 2 ) 称为p o i s s o n 公式 4 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文第5 页 第2 章n e v a n l i n n a 基本定理2 1p o i s s o n - j e n s e n 公式 推论2 2设，( e ) 是r ( 0 r ) 上的亚纯函数，a j ( j = 1 ，2 ，p ) 和b a ( 尼= 1 ，2 ，q ) 分别是，( e ) 在d = e ： r ，内的 零点和极点如果e = 0 不是，( e ) 的零点和极点，那么有下面的j e n s e n 公 式 o g i 邶) i = 去z 撕l 吲，( 彤吲如一p1 。g 而r + 苫ql 。g 南( 2 3 ) 在定理2 1 的条件下，当e = o 是，( e ) 的零点时，我们用n ( o ，f = 0 ) 来表示在这个零点的重数，当( = 0 是，( e ) 的极点时，则用n ( o ，f = o 。) 来 表示在这个极点的重数若( = 0 不是，( ) 的零点，则令n ( o ，i = 0 ) = 0 类似地，若( = 0 不是，( ( ) 的极点，则令礼( o ，= ) = 0 记7 - = 扎( o ，f = 0 ) 一n ( 0 ，f = ) 则在原点附近可以将厂( ( ) 展开为如下形式的l a u r e n t 级 数 ，( e ) = g e 7 + g + l ( 7 + 1 + ， 其中g 0 是级数的首项系数定义函数 玳) ：心( 譬) r 刚。， lg r r ， e = 0 显然这个函数在r 上是亚纯的，且g ( 0 ) 0 ，c o 由j e n s e n 公式( 2 3 ) 并注意到l g ( r e 如) l = l f ( r e 妇) l ，可得 o s | g i + 丁o sr = 去z 打t 。酣c 彬吲如一喜，。g 丽r + q - 。g 晶 于是 l o g i c l i + 佗( 。，= 。) l o g r = 主z 2 丌l o g l f ( r e 妒) i d 妒 “ ，n 一喜。g 丽r + 喜。g 南+ 邮，= o o g r c 2 4 ， ( 2 4 ) 是j e n s e n 公式的一般形式 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文第6 页 第2 章n e v a n l i n n a 基本定理 2 2 第一基本定理 2 2 第一基本定理 2 2 1 特征函数 定义2 2设z 0 定义z 的正对数函数为 l o g + x = m a x ( 1 。g z ，o ) ： 1 。g z ，若z 1 ， l0 ， 若0 z 1 显然对任意正数z 有 l o g x = l o g + z l o g + 二 设y ( z ) 是i z l r 上的亚纯函数则对于0 r r ，有 ( 2 5 ) j j o 1 。gl ，( r e 妒) id 妒 = 去z 斯1 0 9 + i 竹e 一一i lf 0 2 ”l 。g + 而研1 衄 定义n ( r ，) 为s ( z ) 在闭圆l z i r 上的极点的个数，多重极点按其重数累计 定义礼( o ，) 为，( z ) 在原点的极点的重数( 若原点不是极点，则n ( o ，) = 0 ) 设y ( z ) 在i z l r 上的所有极点是b ，6 2 ，b 。，每个极点按其重数重复排 列易知 善q 崦丽r = r l g 孙，) _ 州) ) 此处的积分是l e b e s g u e s t i e l t j e s 积分由分部积分公式得 驴q 南= o ”掣如 类似地，定义n ( r ，7 1 ) 为，( z ) 在闭圆i z l r 上的零点的个数，多重零 点按其重数累计定义n ( o ， ) 为厂( z ) 在原点的零点的重数( 若原点不是零 点，则佗( o ，手) = 0 ) 设，( z ) 在l z l r 上的所有零点是o - ，o z ，0 p ，每个 零点按其重数重复排列于是有 喜k g 南= o 掣出 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文第7 页 第2 章n e v a n l i n n a 基本定理 2 2 第一基本定理 此时，j e n s e n 公式( 2 4 ) 可以写成 l o g 俐+ 去o o g + 高计0 7 型字业班州咿1 咿 = 主z 2 丌l o g + i ，( r e i 妒) id 妒+ z 7 竺i 塾j 半d t + n ( 。，) l 。g r 定义2 3 设f ( z ) 是一个亚纯函数定义 m ( r ，) = 主z 2 ”l 。g + i 厂( r e l 妒) l d 妒， m ( r ，击) = 去序o s + 而南蛾 其中a c ( 2 6 ) ( 2 7 ) 从几何意义上看l - 厂p e 印) l 是函数f ( z ) 在圆周h = 7 上的值与坐标原点 的距离，也可以看成是在圆周= r 上的值接近无穷远点的程度。i f ( r e 印) i 的值越大就越接近无穷远点因此，我们称m ( r ，f ) 是f ( z ) 关于o o 的接 近函数( p r o x i m i t yf u n c t i o n ) ，而称m ( r ，击) 是厂( z ) 关于点。的接近函数 m ( r ，f ) 有时也写成m ( r ，f = ) 或者m ( n o o ) ，而m ( r ，击) 也可以写成 m ( r ，f = a ) 或者m ( t ，o ) 定义2 4设f ( z ) 是一个亚纯函数定义 ( r ，) ：f ”兰垦生掣出+ 仡( o ，f ) l o g r ， t ，0 “ ( r ，击) = o 亟掣叭n ( 。，击) _ 其中a c ( 2 8 ) ( 2 9 ) 显然，n ( r ，f ) 是随r 增加的连续函数，f ( z ) 的极点越密，n ( r ，) 的增长 越快，所以我们称( r ，f ) 是f ( z ) 的极点的计数函数( c o u n t i n gf u n c t i o n ) ，或 极点的密指量类似地，称n ( r ，i 南) 为，( z ) 的n 一值点的密指量n ( r ，f ) 有 时也可以写成n ( r ，f = ) 或者n ( r ，) ，而n ( r ，击) 有时也写成n ( r ，f = a ) 或者n ( r ，o ) 定义2 5设f ( z ) 是一个亚纯函数定义 t ( r ，f ) = m ( r ，f ) - + - n ( r ，) ( 2 1 0 ) 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文 第8 页 第2 章n e v a n l i n n a 基本定理 2 2 第一基本定理 称为f ( z ) 的特征函数( c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n ) 显然当r 1 时它是一个 非负的函数 此时，j e n s e n 公式可以写成 l o g l g i + t ( n 手) = 这就是著名的j e n s e n n e v a n l i n n a 公式 t ( 7 ，j r ) ( 2 1 1 ) 根据j e n s e n - n e v a n l i n n a 公式，可以证明如下的有关计数函数的定理 定理2 6 设 ( z ) 和如( z ) 是两个i z l r ( r o 。) 上的亚纯函数 我们有 ( r ， ，2 ) 一( r ，丽1 ) = n ( r , f 1 ) + ( r ，如) 一( r ，去) 其中0 r r 2 2 2 函数的乘积及和的特征函数 一( r ，五1 ) 为了估计函数的乘积及和的特征函数，我们先注意关于正对数的下述性 质：设a l ，6 2 ，是任意p 个复数我们有 及 l o g + q g + ，f i ：。m a x ( 1 , l a ，1 ) ) = 。g ( 垂m a x e l ，l 吩j ，) ：p 。g ( m a x ( 1 ，= l o g ( ， j = l p = l o g + j = l 鲰+ ( 酗) 纵+ 0 ( 燧 l o g + l a j l + l o g p j = l 蚓) ) 根据这两个性质，对于p 个在h r 上亚纯的函数 ( 名) ，如( 名) ，厶( 名) ， p 触 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文 第9 页 第2 章n e v a n h m a 基本定理2 2 第一基本定理 不难验证 m ( r ，j 血= t 乃) 善p m c n 办， l m 卜 p j = l 其中7 ( 0 ，r ) 另一方面，显 j = a ) ) p m ( r ，乃) + l o g p ， j = t p 几( r ，乃) ， j = l 于是，我们得到关于函数乘积及和的特征函数的估计： 2 2 3 第一基本定理 p j = l p 办) s t ( r ，办) ， j = t 办、) p t ( 啪) + l 唧 j = l ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 有了以上的准备之后，我们现在可以叙述n e v a n l i n n a 的第一基本定理 定理2 7( 第一基本定理) 设，( z ) 是i z l r ( 0 r ) 上的亚 纯函数则对于任意复数a c 及正数r ( 0 ，r ) ，有 t ( r ，万1 ) = t ，) + l o g l g l 州叩) ，( 2 1 6 ) 其中g 是函数而1 在原点的死可f d r 展开式的第一个非零系数，而( o ，7 ) 是一个与a 和r 有关的量且满足 g ( o ，r ) l l o g + l a i + l 0 9 2 ( 2 1 7 ) 办p n p 弹 v 1 岛 疗 )有，l d r ，八辩pn芦p n 硝p ，、 t t 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文第1 0 页 第2 章n e v a n l i n n a 基本定理2 2 第一基本定理 2 2 4 亚纯函数的级和微分多项式的定义 定义2 8设r o 0 ，s ( r ) 是一个定义在区间( r 0 ，) 上的实非负递增 函数称下面两个极限 a ：l i m s u p _ l o g + s ( r ) ，p = l i m i n f 螋 i - - - 0 0 l o g r r o o l o g 7 分别为s ( r ) 的级加耐e 砂和下级l o w e ro r d e r ) 显然下级不超过级 由于f ( z ) 的特征函数t ( r ，f ) 是定义在区间( 0 ，) 上的实非负递增函 数，因此可以定义它的级和下级 定义2 9 设，( z ) 为复平面c 上的亚纯函数称下面两个极限 入( ，) - - - - l i m ，。s u p l o g + i 毫t 了( r , f 一) ，p ( ，) = l i ，m 。i n f l o g + i 毫t 了( r _ , 一f ) 分别为，( z ) 的级和下级又若，的级为入 ，则称 盯( ，) ：l i m s u p 掣 为，的型( t y p e ) 根据级的定义可知有理函数的级和下级都等于零，指数函数e 。的级和 下级都等于1 由第一基本定理可知一个亚纯函数的分式线性变换的级与 下级分别等于这个函数的级与下级，也就是当9 = ：端( o ，b ，c ，d 是常数且 a d b c ) 时，有a ( g ) = 入( ，) ，p ( 9 ) = p ( ，) 亚纯函数的级和下级还有如下一 些基本性质 定理2 1 0 若f ( z ) 和g ( z ) 是复平面c 上的两个非常数亚纯函数，它 们的级分别为入( 厂) 和a ( g ) ，则有 m a x a ( f - 夕) ，入( ，+ 9 ) ) m a x 入( ，) ，入( 夕) ) ， 即两个亚纯函数的积与和的级都不超过这两个亚纯函数的级中较大者 定义2 1 1 设，是非常数亚纯函数，n o ，n l ，礼七是非负整数，口( 0 ) 是，的小函数称形如 m ( f ) = a f n o ( ，甲1 ( ，( 七) ) 辄 的函数为，的微分单项式，a 称为m ( f ) 的系数，似= n o + n l + + 礼七 称为m ( f ) 的次数，f m = n o + 2 n 1 + + ( k + 1 ) n k 称为m ( f ) 的权数 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文 第n 页 第2 章n e v a n l i n n a 基本定理2 3 第二基本定理 定义2 1 2 设，是非常数亚纯函数，( j = 0 ，1 ，2 ，n ) 是，的小函 数且都不恒为零，坞o = 0 ，1 ，2 ，n ) 皆为f 的系数为1 的微分单项式， 称 p ( f ) = a o m o ( f ) + a l m ( f ) + + o 。螈( ，) 为f 的微分多项式，其系数是a o ，a l ，a n ，整数仰= m a x o j n 讹) 称 为p ( f ) 的次数，r p = m a x o j n r 坞) 称为p ( f ) 的权数 有时在探讨问题时会遭遇到一些形式上是，的微分多项式，但其系数并 非l 厂的小函数，不过其接近函数的增长比t ( r ，f ) 的增长慢，这种多项式我 们称之为，的拟微分多项式具体叙述如下： 定义2 1 3 设，是非常数亚纯函数，b o ，b 1 ，k 为满足m ( r ，) = s ( r ，) ，j = 0 ，1 ，n 的亚纯函数m j ( j = 0 ，1 ，2 ，礼) 皆为f 的系数为 1 的微分单项式，称 q ( i ) = b o m o ( f ) + b l m ( f ) + + k ( ，) 为f 的拟微分多项式，b o ，6 n ，是其系数，同样整数7 0 = m a x o j n 讹) 称为o ( f ) 的次数，r q = m a x o j 称为q ( y ) 的权数 显然，若q ( y ) 是，的拟微分多项式，次数为，权数为r q ，则其导函 数( q ( ，) ) 7 也是f 的拟微分多项式，次数仍为，权数为r q + 1 2 3 第二基本定理 2 3 1 第二基本定理的一般形式 现在我们叙述第二基本定理 定理2 1 4( 第二基本定理) 设，( z ) 是l z l r 内的非常数亚纯函 数贝, r t 5 - q 个互不相同的有穷复数a 1 ，a 2 ，当0 7 r 时有 m ( r ，) + 妾m ( n 鬲1 ) 翊，) _ 眦m ，) i ( 2 1 8 ) 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文第1 2 页 第2 章n e v a n l i n n a 基本定理2 3 第二基本定理 其中 n i ( r ) = ( 2 ( r ，) 一( r ，) ) + ( r ，专) ， 跗= m ( r ，芋) + m 瞧南) 州 2 3 2 三个小函数的情况 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 定理2 1 5 设f ( z ) 是复平面上亚纯函数a l ( z ) ，a 2 ( z ) ，a 3 ( z ) 是f ( z ) 的三个互不相同的小函数则有 t 胚3 ( n 击、) 删m j = l j1 其中s ( r ，) 是余项，具有定理2 1 8 所述之性质 2 3 3 对数导数引理 为了便于应用我们需要对第二基本定理中出现的s ( r ，) 的增长进行 估计我们希望当r _ 。o 时这个量要比t ( 7 ，) 增长地慢，即希望它是 d ( t ( r ，厂) ) 因为s ( r ，) 中除了有界量之外主要包含形如m ( r ，孚) 的量因 此有必要对mf n 每1 的增长进行研究 事实上，对于一些特殊的函数来说，m ( 7 ，孚) 的确是增长较慢的量比 如当p 是k 次多项式时，t ( r ，p ) = k l o g r + d ( 1 ) ，而m ( r ，等) = o ( 1 ) 再 比如当( z ) = e 2 时，t ( r ，) = 暑，而m ( 7 ，孚) = 0 n e v a n l i n n a 基本引理说 m ( r ，孚) 比t ( t ，f ) 增长地慢这个现象对一切亚纯函数，( 名) 都是对的这 是一个非常深刻的结果n e v a n l i n n a 基本引理也被称为对数导数引理下面 我们来叙述由v n g o a n 和i o s t r o v s k i i 【2 4 】得到的关于对数导数引理的改 进形式 定理2 1 6( 对数导数引理) 设，( z ) 是i z i 上的非常数亚纯函 数如果f ( 0 ) = 1 ，那么对于0 r r 和0 o l 1 有 m ( r ，等) 蚓1 + 兰- ( 击) 1 + q 掣 偿2 1 ， 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文第1 3 页 第2 章n e v a n l i n n a 基本定理 2 3 第二基本定理 推论2 3设厂( z ) 是h 上的非常数亚纯函数如果f ( 0 ) 0 ， 那么对于0 7 r 有 m ( n 手) _ 2 l o g + t ( 列m b g 再r + 1 0 9 _ _ r 1 - 4 - 2 l o g + l o g + 丽1 + 1 。 ( 2 2 2 ) 2 3 4 第二基本定理的余项 引理2 1 7设f ( z ) 为复平面c 上的非常数亚纯函数，则当( z ) 为有 穷级时 m ( r ，手) = 。( 1 0 9 r ) 巾- 一o o ) ， 当( z ) 为无穷级时 m ( r ，芋) = 。( 1 0 9 ( r t ( r ，) ) ) ，( r _ o 。，rg e ) ， 其中e 是一个具有有限线性测度的集 由引理2 1 7 立刻得到 定理2 1 8设f ( z ) 为复平面c 上的非常数亚纯函数，s ( r ，) 是定理 2 彳中由( 2 2 0 ) 确定的余项则 - 3 ( z ) 为有穷级时 s ( r ，) = o ( 1 0 9 r ) ，( r _ ) ， - 3 厂( z ) 为无穷级时 s ( r ，) = o ( 1 0 9 ( r t ( r ，) ) ) ，( r _ ，rge ) ， 其中e 是一个具有有限线性测度的集 注意到当f ( z ) 为非常数有理函数时，等仍为非常数有理函数，且分母的 次数比分子的次数高1 ，因此 仇( n 等) 刊州r _ o o 当厂( z ) 为超越亚纯函数时，有 l o g r = o ( t ( r ，) ) ( r 一) 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文第1 4 页 第2 章n e v a n l i n n a 基本定理2 3 第二基本定理 又显然有 l o g + t ( r ，) = o ( t ( r ，) ) ( r _ ) 于是有下面的定理 定理2 1 9 设f ( z ) 为复平面c 上的非常数亚纯函数，s ( r ，f ) 是定理 2 1 4 中由( 2 2 0 ) 确定的余项则当f ( z ) 为有穷级时 s ( r ，f ) = o ( t ( r ，) ) ，( r _ ) ， 当y ( z ) 为无穷级时 s ( r ，f ) = o ( t ( r ，) ) ，( r _ ，rge ) ， 其中e 是一个具有有限线性测度的集 3 1 引理 第3 章一些引理 在证明主要定理时，要用到如下一些引理，其中引理3 6 和引理3 7 刻 画了零点和极点都比较少的亚纯函数的有理式的值分布特征，因而也具有独 立的意义 引理3 1 ( 【1 0 】)设，是亚纯函数，礼为正整数，f = f n + q 【，】，此处 q f 】是，的微分多项式且次数7 q n 一1 如果n ( r ，力+ n ( r ，1 f ) = s ( r ，) ，那么f 能够表示为， f = ( ，+ 驴 其中夕是亚纯函数且t ( r ，夕) = s ( 7 ，厂) 引理3 2 ( 【2 8 】) 设厂是有穷级的非常数整函数如果厂和f 7 以有穷 值a 为c m 公共值，那么( ，7 一o ) ( ，一a ) 为非零常数 引理3 3 ( 【1 6 】)设整函数妒( o ) 如果p 【纠是妒的常系数的微分多 项式且次数不超过佗一l ，满足等式矿+ p 【纠三0 ，那么妒为常数 引理3 4 ( 【1 6 】)设，是非常数的整函数，l ( 0 ) 是形如定理j 中定义 的，的线性微分多项式，a 是有穷非零复数如果m ( r ，1 ( f n ) ) = s ( r ，f ) 以及当f ( z ) = a 时，有，( z ) = l ( z ) = l ( z ) = a ，那么f 三f 7 三l 引理3 5设，是非常数的整函数，l ( 0 ) 是形如定理f 中定义的 ，的线性微分多项式，a 是有穷非零复数如果a 是厂和l 7 的肼公共值， 且当f ( z ) = a 时，7 ( z ) = l ( z ) = a ，那么n ( r ，1 ( f o ) ) s ( r ，) 证明此引理的证明和【1 5 】中的引理4 是一样的 引理3 6设h 是非常数的亚纯函数，满足n ( r ，h ) + n ( r ，1 h ) = s ( r ， ) ，设，= a o h p + a l h p 一1 + + 0 p ，夕= b o h 口+ b l h 口一1 + + 6 口， 其中a o ，a 1 ，a p ；b o ，b l ，b q 是亚纯函数且t ( r ，a j ) = s ( r ， ) ，t ( r ，6 1 ) = s ( 7 ， ) ，0s 歹sp ，0 l q ，咖b 0 0 p 0 ，如果q p ，则m ( 7 ，g y ) = s ( r ，h ) 证明不妨设u p = 1 首先看情形l ：g = 1 1 5 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文 第3 章一些引理 第1 6 页 3 1 引理 因为f = a o h p + a l h p 一1 + + o 曰，故 l ，l ，k ， f 7 = ( o ：+ p a o 鲁) 胪+ a i + o 一1 ) 0 1 鲁) 胪_ 1 + + ( 一1 + a p 一1 鲁) 九 那么( o o i 十p “o 万h ) ，一o o 厂7 是h 的次数小于p 的多项式，其零次项为o o t 十f u o 百h 若o j + p o o i h i 三0 ，则a o h p 是常数，矛盾于是o ：+ p 0 0 等0 ，利用条件 n ( t ，h ) + n ( r ，1 h ) = s ( 7 ， ) ，知o ：+ p o o 等是危的小函数于是存在h 的 小函数b l ，c 。使1 1 = b l f 7 一e l f ，f l 为h 的次数小于p 的多项式，其零次项 为1 若，1 的次数大于等于1 ，则用同样的方法可以找到h 的小函数b 2 ，c 2 使f 2 = 6 2 爿一c 2 1 1 ，止的次数小于 的次数，其零次项为1 继续这种 过程，可知存在次数严格递减的零次项为1 的h 的多项式 ，厶，五+ 1 使力+ l = 幻一c j 乃，j = 1 ，s ，五+ = 1 由此便知常数1 可以表示 为厂的线性微分多项式，其系数为h 的小函数，根据对数导数引理，便有 m ( r ，1 i f ) = s ( r ， ) 一般的情形，令g l = ( 孚一篓) o o f 若q = p ，则g l 是次数小于p 的h 的 多项式，且2 f = 嚣+ a 的o 所以m ( 7 ，g f ) = m ( r ，g l f ) + s ( r ，) 因此只需对 q p 的情形来证明下面对p 用归纳法 当p = 1 时，前面已经证明了假设对p 礼，结论成立那么当 p = n 时，由于m ( r ，g f ) = m ( r ，( g + 1 ) i f ) + s ( r ，) ，故不妨设夕的零 次项不为零利用带余除法，存在h 的多项式p ( h ) 及q ( h ) 使得f = p ( h ) g + q ( ) ，d e g q ( h ) e t ( r ，) 对r f 成立， 其中f 是一个无穷测度的点集，这时a 和妒限制在f 上是e a 的小函数 把( 4 4 0 ) 看成是e n 的有理式，并将(