（电力系统及其自动化专业论文）电力系统连续体机电波模型与机电扰动传播研究.pdf

第1 i 页西南交通大学博士研究生学位论文 和空间坐标的缓变函数时，机电波传播所遵循的基本规律： ( 5 ) 基于理论推导，通过l a p l a c e 和z 变换，用b e s s e l 函数表达出机 电扰动在均匀离散电力系统中传播时的解析解、以及幅度增长或衰减的内在 规律，分析了离散和连续体模型中机电波的传播速度、传播时间的等价性； ( 6 ) 通过用连续体模型和传统模型( 机电动态p s s e 仿真) 对改进的 n e we n g 【a n d1 0 机3 9 节点标准测试系统的仿真实验，研究了机电扰动在电 力系统中的传播，两种方法在扰动传播速度和传播时间上获得了基本一致的 结果，表明连续体模型可以用来描述电力系统中机电扰动的传播。 关键词：电力系统：连续体模型：机电波；机电动态；扰动传播：链式离 散系统；l a p l a c e 和z 联合变换 西南交通大学博士研究生学位论文第1 ii 页 a b s t r a c t u n d e rn o r m a lo p e r a t i n gc o n d i t i o n s ，a l le l e c t r i c a lp o w e rs y s t e mi ss u b j e c t e d t on u m e r o u sr a n d o mp o w e ri m p a c t sf r o ms u d d e na p p l i c a t i o no rr e m o v a lo f1 0 a d s c o n t i n u o u s l y , a s t a k e so ne l e c t r o m e c h a n i c a l d y n a m i cp r o c e s s e s s i n c e e l e c t r o m e c h a n i c a ld y n a m i c si n v o l v et h em o t i o no fa c t i v ep o w e ri nt h es y s t e m i t sp r o p a g a t i o nc h a r a c t e r i s t i c sa r e c l o s e l yr e l a t e d t ot h es a f ea n d s t e a d y o p e r a t i o n so ft h eo v e r a l ls y s t e m h e n c e s t u d yo ne l e c t r o m e c h a n i c a ld y n a m i c p r o p a g a t i o ni so fe s p e c i a li m p o r t a n c ei nu n d e r s t a n d i n gt h ed y n a m i cm e c h a n i s m s o fp o w e rs y s t e m si n t e n s i v e l y , p e r f o r m i n gd y n a m i cs t a b i l i t ya n a l y s i s ，a n d c o n s t r u c t i n gam u c hs a f e ra n ds t e a d i e rc o n t r 0 1s y s t e m t h ec o n t i n u u me l e c t r o m e c h a n i c a lw a v em o d e lf o rp o w e rs y s t e mi sa c o m p l e t e l yi n n o v a t i v ea p p r o a c ho fe x p l o r i n gt h ee l e c t r o m e c h a n i c a ld y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c so fl a r g e - s c a l e p o w e rs y s t e m s i n t h ec o n t i n u u mm o d e l i n g t e c h n i q u e ，t h eg e n e r a t o ri sr e p r e s e n t e db yt h es e c o n do r d e rc l a s s i c a lm o d e la n d t h e p o w e rn e t w o r kb yt h eq u a s i s t e a d y s t a t em o d e l ，t h ep o w e rs y s t e mi s c o n s i d e r e dt ob eac o n t i n u u md i s t r i b u t e dt r a n s m i s s i o nl i n e s ，g e n e r a t o r s ，a n d l o a d s c o n t i n u o u s l y t h ec o n t i n u u mm o d e lt h i n k s t h a te l e c t r o m e c h a n i c a l d i s t u r b a n c e sp r o p a g a t ei nt h ep o w e rs y s t e mi nt h ef o r m o ft r a v e l i n gw a v e ， t h e r e f o r e , s t u d i e se l e c t r o m e c h a n i c a ld i s t u r b a n c ep r o p a g a t i o nu s i n gw a v em o t i o n t h e o r y t h i sd i s s e r t a t i o na t t e m p t st os t u d yt h ec o n t i n u u mm o d e l i n gt h e o r ya n d s o m ef u n d a m e n t a lp h y s i c a lc h a r a c t e r i s t i c sa b o u te l e c t r o m e c h a n i c a ld i s t u r b a n c e p r o p a g a t i o ni nap o w e rs y s t e mu s i n gt h ec o n t i n u u m m o d e l ： ( 1 ) a c c o r d i n gt ot h ei d e ao ft r a n s v e r s ev i b r a t i o n so fc o u p l e dp a r t i c l e st o w a v ei nt h ec l a s s i c a lm e c h a n i c s i ti se s t a b l i s h e dt h a tt h ec o n t i n u u mm o d e lo ft h e t o r s i o n a lv i b r a t i o n so fm u l t i m a s sd a m p e dd i s k s ，a si sr e g a r d e da st h em e c h a n i c s b a s i so f t h ec o n t i n u u me l e c t r o m e c h a n i c a lw a v em o d e l ( 2 ) b a s e do nt h es e c o n do r d e rc l a s s i c a lg e n e r a t o rm o d e l ，t h en o n l i n e a r e l e c t r o m e c h a n i c a lw a v ee q u a t i o nf o rt h ec o n t i n u u mm o d e li nac h a i np o w e r n e t w o r ki sd e r i v e d ；w h o s es i m i l a r i t yw i t ht h et o r s i o n a lw a v ee q u a t i o no f m e c h a n i c a ls h a f ti sc o m p a r e d i ns u c c e s s i o n t h ev a r y i n gr u l e so ft h ea m p l i t u d e o fe l e c t r o m e c h a n i c a lw a v ep r o p a g a t i o na r ea l l a l y z e d f i n a l l y , t h ei n t r i n s i c a l m e c h a n i s m so fa t t e n u a t i o no rg r o w t ho fe l e c t r o m e c h a n i c a lw a v ea m p l i t u d ei s 第f y 页西南交通大学博士研究生学位论文 r e v e a l e db yac r i t i c a ls p e e da si tp r o p a g a t e si nau n i f o r mc o n t i n u u mp o w e r s y s t e m ( 3 ) b a s e do nt h e l i n e a r i z e de l e c t r o m e c h a n i c a lw a v e e q u a t i o n ，t h e c h a r a c t e r i s t i c so fe l e c t r o m e c h a n i c a lw a v ep r o p a g a t i o na r es t u d i e d a c c o r d i n gt o 也ep c t c r s o n s 1 a w , t h ee f f e c t s o fr e f l e c t i o na n dt r a n s m i s s i o no ft h o s e l u m p e d - p a r a m e t e re l e m e n t s - g e n e r a t o r st oe l e c t r o m e c h a n i c a lw a v ep r o p a g a t i o n a r ea l s oa n a l y z e di nt h ec o n t i n u u mp o w e rs y s t e m i nt h ee n d , i tv a l i d a t e st h a tt h e e l e c t r o m e c h a n i c a ld y n a m i c so fac o n t i n u u mp o w e rs y s t e mc o u l db ee x p r e s s e da s t h es u p e r p o s i t i o no fr e f l e c t i o na n dt r a n s m i s s i o np r o c e s s e so fe l e c t r o m e c h a n i c a l w a v ea tt h el o c a t i o nw i t hn o n - u n i f 0 1 1 1 1p a r a m e t e r s ( 4 ) t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss e to fd e s c r i b i n ge l e c t r o m e c h a n i c a lw a v e p r o p a g a t i o ni n ag e n e r a ll o s s l e s sn o n u n i f o r mc o n t i n u u mp o w e rs y s t e mi s e s t a b l i s h e d n ef u n d a m e n t a lr u l e sf o l l o w e db yt h ee l e c t r o m e c h a n i c a lw a v e p r o p a g a t i o na r es t u d i e dw h i l et h ep e r - u n i tl e n g t hs u s c e p t a n c ea n dt h er o t o r i n e r t i ao ft h en o n - u n i f o r mc o n t i n u u ma r ep o w e rf u n c t i o n sa n ds l o w - v a r i a t i o n f u n c t i o n so fs p a t i a lc o o r d i n a t e ( 5 ) b a s e do nt h et h e o r e t i c a ld e r i v a t i o n s ，u t i l i z i n gt h ec o m b i n e dl a p l a c e - a n dz t r a n s f o r m a t i o n s ，t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n s ，a n dt h ei n t e r n a lr u l e so ft h e a m p l i t u d e sg r o w t ho ra t t e n u a t i o na r ep r e s e n t e du s i n gb e s s e lf u n c t i o n sa st h e e l e c t r o m e c h a n i c a ld i s t u r b a n c ep r o p a g a t e si nau n i f o r mc h a i nd i s c r e t ep o w e r n e t w o r k f u r t h e r m o r e ，t h ee q u i v a l e n c eo ft h ep r o p a g a t i o nv e l o c i t ya n dt h e p r o p a g a t i o nt i m eb e t w e e nt h ed i s c r e t e - a n dc o n t i n u u m m o d e l sa r ea n a l y z e da n d p r o v e d ( 6 ) t h r o u g ht h es i m u l a t i o ne x p e r i m e n t so fas t a n d a r dt e s ts y s t e m t h e m o d i f i e dn e we n g l a n d1 0 - g e n e r a t o r 3 9 一b u s ，u s i n gt h ec o n t i n u u mm o d e l i n g a p p r o a c ha n dt h ec o n v e n t i o n a lm o d e l i n gt e c h n i q u e ( p s s es o f t w a r ep a c k a g e ) ，i t i ss t u d i e dt h a tt h ep r o p a g a t i o no fe l e c t r o m e c h a n i c a ld i s t u r b a n c ei nt h et e s tp o w e r s y s t e m ，a n db o t ha p p r o a c h e sc o u l do b t a i na l m o s tt h es a m er e s u l t sf o rt h e p r o p a g a t i o nv e l o c i t ya n dt h ep r o p a g a t i o nt i m e i ts h o w st h a tt h ec o n t i n u u m m o d e lc o u l db eu t i l i z e dt od e s c r i b et h ee l e c t r o m e c h a n i c a ld i s t u r b a n t e p r o p a g a t i o ni nt h ep o w e rs y s t e m k e yw o r d s ：e l e c t r i cp o w e rs y s t e m ；c o n t i n u u mm o d e l ；e l e c t r o m e c h a n i c a lw a v e ； e l e c t r o m e c h a n i c a ld y n a m i c ；d i s t u r b a n c ep r o p a g a t i o n ；d i s c r e t ec h a i nn e t w o r k ； c o m b i n e dl a p l a c e - a n dz t r a n s f o r m a t i o n s 西南交通大学曲南父遍大字 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书； 2 、不保密囹，适用本授权书。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：互彳拂于匕导教师签名：伽啄 日期：r 阴罗t 日日期： 口7 年，月驴日 西南交通大学曲南父逋大罕 学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本 人承担。 本学位论文的主要创新点如下： l 、本论文提出了链式电力系统机电动态与力学中多质量圆盘扭转振动 的相似性，得出描述链式电力系统机电动态的双曲型非线性偏微分方 程；根据平衡点附近的解析解，用临界速度揭示了机电波传播时幅度 增加或衰减的内在机理，详细内容见第3 章； 2 、基于线性化的机电波方程，根据p e t e r s o n 法则，研究了连续体电力系 统中的集中参数元件发电机对机电波传播的影响，说明了连续体 电力系统的机电动态可以表述为机电波在连续体参数不均匀处反射 和透射过程的叠加，详细内容见第4 章； 3 、研究了一般无损不均匀连续体电力系统中机电波的传播，给出连续体 的单位长度电纳和转子惯性分别按照幂函数变化时机电波传播的解 析解，同时给出了连续体参数为空间坐标的缓变函数时机电波传播的 w k b j 近似解，详细内容见第5 章； 4 、研究了机电扰动在均匀的链式离散电力系统中的传播规律，借助于 b e s s e l 函数族，用解析法给出机电扰动在链式离散电力系统中传播的 表达式、以及幅度增长或衰减的内在规律，分析了离散和连续体模型 中机电扰动的传援速度、传播时间的等价性，详细内容见第6 章。 学位论文作者签名：互 耋i 粑 日期：矽7 年t 月；。日 西南交通大学博士研究生学位论文第1 页 1 1 课题的研究意义 第1 章绪论 我国电力工业实施“西电东送”、“南北互供”、“全国联网”的发展战略。 电网互联使网络结构更复杂、分布地域更广、元件更多，动态行为也更复杂。 我国电网东西、南北地域跨距大。电网结构复杂又存在不少薄弱环节。增加 了发生系统性事故和导致大面积停电的概率，因而对电力系统的安全稳定运 行提出了更大的挑战。 自上世纪2 0 年代以来，稳定性就一直是电力系统安全运行的一个重要 课题【1 捌。国内外曾发生过多次电力系统稳定破坏，引起大面积停电的重大 事故，例如，2 0 0 3 年8 月1 4 日下午，美国东北部和加拿大联合电网大面积 停电事故，波及到了美国的纽约、底特律和克利夫兰以及加拿大的多伦多、 涅太华等城市，是美国也是世界上最严重的停电事故p j 。大停电事故使大约 5 0 0 0 万居民生活受到影响，给美国国内生产总值带来的损失估计在每天2 5 0 亿到3 0 0 亿美元之间，停电事故持续7 天，有的地区长达1 4 天。我国也曾 发生过局部停电事故，如1 9 9 7 年的北京西部停电，2 0 0 0 年湖北、湖南局部 停电，2 0 0 1 年河南南部停电等【”】。 这些停电事故表明：防止大面积停电事故发生、保证系统安全稳定运行 是跨国( 或跨区域) 联合电网所面临的重大课题和艰巨的任务。同时，与机 电扰动传播相关的低频振荡也影响到大规模电两运行的安全稳定性【6 l 。因此 发展电力系统机电动态分析理论，揭示电力系统的机电动态机理，提出更为 有效的安全稳定控制方法，就成为一项重要的科学研究课题。该课题研究对 我国大机组、特高压和全国互联电网的安全运行、以及世界电力工业发展具 有理论和实际的应用价值 j 。 分析机电扰动对电力系统稳定性影响的传统方法是建立整个系统详细 的数学模型，包括描述发电机组、负荷和其它动态元件的微分方程组以及描 述系统网架结构拓扑关系的代数方程组，然后以稳态工况或基本潮流解为初 值，选择相应的数值方法以获得物理量的解，如时域仿真法、能量函数法、 特征值法等0 1 。通过给定的稳定性指标，或相关状态参数随时间的变化曲 线判断系统的稳定状态【l l 】。微分方程组的求解方法主要有隐式梯形积分法， 第2 页西南交通大学博士研究生学位论文 改进e u l a r 法、r u n g e k u t t a 法等，其中隐式梯形积分法由于数值稳定性好 而得到广泛应用；代数方程组的求解方法主要采用适于求解非线性代数方程 组的n e t w o n 法或g a u s s s e i d a l 迭代法。按照微分方程和代数方程的求解顺 序可分为交替解法和联立解法【1 2 】。 互联后的现代电力系统是一个空间尺度浩大、结构繁杂、成百上千台发 电机通过电网相互耦合的复杂动力系统，其动态行为相当复杂。用数值方法 求解如此大规模的微分代数方程组较为困难，而且根据这些极为细致的微观 模型的个体表象很难在整体上掌握电力系统运行的全局状态，因此也难以用 来研究机电扰动在大规模电力系统中的传播【i3 ，4 1 。与数值解相比，解析解更 能洞悉物理现象的本质，然而获得一般多机系统方程的解析解是相当困难甚 至是不可能的。传统的研究方法经常将大规模电力系统中发电机动态变化的 曲线分簇，从而简化为单机无穷大或双机等值系统。虽然勰合紧密的发电机 群的动态行为可以认为是同调的。从而简化为一个等值机，但是这种简化方 法应用于大规模电力系统的机电动态研究时尚缺乏精确和致的结果，而且 唯一的校核方法仍需通过稳定计算，因而存在很大的局限性 1 1 , 1 5 。 1 2 连续体模型及其相关概念 正常运行的电力系统时刻都在遭受各种各样的随机扰动( 故障、切机、 切负荷等) ，扰动发生的时间、地点、类型、严重性均是不可预测的，由此 造成发电机的机械功率和电功率失去平衡，从而使发电机进入一个动态过 程。尽管不一定造成系统失稳，但发电机的功角变化将会在电力系统中传播。 由于系统中的有功功率受功角变化的影响，而机电动态涉及到系统中有功功 率的运动，因而，机电扰动在电力系统中的传播特性涉及到系统的运行极限， 有可能会影响到整个电力系统的安全稳定运行，而且一旦扰动在某种条件下 激起系统的本征模态振荡，系统就有可能失去稳定。因此，研究机电扰动的 传播对于深刻认识电力系统的动态机理、进行动态稳定性分析、以及建立安 全稳定的控制系统有着重要意义。 电力系统的许多重要问题都与能量在系统中的运动有关，例如，扰动传 播与动态稳定问题。人们通常认为“电能以光速在电网中传播”，然而安装 在实际电鄹中的同步相量测量装置( p m u ) 观测到频率和功角是以比光速 慢得多的速度在机网耦合的电力系统中“传播” 1 6 , 1 7 。近年来，机电扰动对 电力系统稳定性的影响越来越受到重视，人们对机电扰动传播与电力系统稳 定性相关问题的研究，取得了不少成果d s - 2 s 。 西南交通大学博士研究生学位论文第3 页 连续体建模( c o n t i n u u mm o d e l i n g ) 是一种研究大规模电力系统机电动 态的新方法 1 6 , 1 7 , 2 6 - 2 9 。在该方法中，地理上广域分布的电力系统被视为空间 上连续分布的发电、线路和负荷的连续体，发电机转子的转动惯量和阻尼、 线路阻抗用空间上连续分布的密度函数描述，从而可建立起连续体电力系统 中描述机电扰动传播的机电波方程。当电力系统规模很大、具有成千上万台 发电机或动态负荷，空间上为跨国、跨区域的互联电网时，电力系统的连续 体建模是一种合理的近似，它提供了用可选的解析或数值方法来研究电力系 统，如机电动态和稳定性等的全局变化特，征【四川。 在科学研究中，有用离散模型研究连续体系统，例如用离散模型研究汽 轮发电机组连续轴系的扭转振动 2 3 , 3 1 ；也有用连续体模型研究离散系统，例 如在交通领域用连续的波动模型高速公路交通事故和干涉车流波理论 研究离散大规模行驶车流的变化规律，它根据流体力学的基本原理，建立了 车流的连续性方程，把车流密度的疏密变化类比成水波的起伏而抽象为车流 波p ”j 。m h l i g h t h i l l 和gb w h i t h a m 首次采用连续体模型论证了交通激 波的存在、特性及其在交通分析中的应用，被称为i w 理论 3 5 1 。力学领 域，探索不同界面模型下的弹性波传播特性，不但可以研究材料和结构的力 学性能，也是材料无损检测、地球物理勘探、地震工程、海洋工程等应用技 术的理论基础【3 6 , 3 8 j 。 电力系统的连续体机电波模型( 简称连续体模型) 描述含有发电机、负 荷和输电线路的电力系统整体，是研究大规模电力系统中机电动态特性的一 个新思路。目前提出的连续体模型通常不考虑系统中电压的变化和无功功率 的传输，忽略了发电机定子和转子的电磁暂态，把电力系统看作空间上按密 度形式连续分布发电机、负荷和输电线路的连续体，机电扰动在电力系统中 以波的形式传播，提出机电波的概念，用波动理论从宏观上研究电力系统中 机电扰动的传播【2 9 ，”圳。连续体模型不同于传统的机电动态分析方法，它从 更大的空间尺度研究机电扰动传播的动态机理。 连续体模型不能完全代替为每个元件都建立详细数学描述的传统建模 方法在电力系统中的重要作用，但它为研究大规模电力系统的机电扰动传播 和机电动态提供了一个新的视角。由于信息比机电波传播更快，因而应用连 续体模型的相关理论对电力系统的有功功率传播进行控制具有现实意义。随 着广域量测等现代技术和手段在电力系统中的迅速发展【舳也】，基于连续体模 型发展的安全稳定控制算法将会有广阔的应用前景。 第4 页西南交通大学博士研究生学位论文 1 ，3 连续体模型发展和研究现状 人们很早就注意到了机电扰动以行波的形式用远低于光速的速度在电 力系统中传播防2 8 1 。只是到最近，借助于全球定位系统( g p s ) ，通过对实 蕲电力系统中不同地区的发电机转子角的同步相量测量( p m u ) ，根据这些 发电机之间的空间距离和机电扰动的延迟时问，计算出扰动在电力系统中的 传播速度远低于光速【1 7 ，2 9 1 ，例如文献【1 6 】观察到1 9 9 3 年7 月美国西部电网 内t e x a s 地区切除负荷后，位于m a l i n 、g r a n dc o u l e e 和v i n c e n t 的变电站母 线电压的褶角昶频率出现晌应鲍延迟对阐。涯实了机电拢动传播速度远低于 光速。 电力系统机电动态的连续体建模最初由a s e m l y e n 2 6 l y - 1 9 7 4 年建立， 他把连续体的概念应用到了参数均匀的、各向同性的电力系统，研究了电力 系统中的机电动态现象。在假定输电线路为无损的、发电机可表示为恒定电 抗后的理想电压源等条件下，得出了描述机电扰动传播的常系数线性波动方 程，给出了机电扰动的传播速度，阐述了反射、驻波等物理现象。 1 9 8 1 年，r l c r e s a p 【2 力等建立了美国西部电网简化的环形均匀连续体 波动模型，从理论上解释了在太平洋联络线重载时出现的0 2 h z 左右的低频 振荡现象。该模型虽然简单，但对于涉及大量发电机的弱互联电力系统中出 现的低频振荡现象却给出了令人满意豹解释。 1 9 8 5 年，pd e r s i n t 2 s 基于连续体的观点把系统看作是二维的，并划分成 细胞单元，在每一细胞单元内系统变量取相同的数值，同时建立了一个在数 值卜是细胞单元函数的可行聚合簇从而进一步考虑了电力系统的非均匀性 和各向异性，得出了变系数的线性波动方程。 1 9 9 8 年，j a m e ss t h o r p 2 9 1 借助于全球定位系统( g p s ) ，研究了同步相 量测量( p m u ) 装置观察到的功角响应，应用连续体的概念，较为系统地 建立了电力系统的连续体机电波模型。他把发电机的馔性参数进行连续化处 理，表达为空间坐标的密度函数，引入通用增量元件模型，得到了机械和电 磁耦合的双曲型非线性偏微分方程，给出了机电波的速度公式，分析了机电 波传播过程中幅度的增衰特性：周时还建立了一个由6 4 台发电机组成约、 环形均匀的仿真系统。仿真结果表明：应用连续体模型计算出机电扰动的传 播速度与美国电网用同步相量测量装置观察到的发电机功角的传播速度基 本吻合。如图1 1 所示。 西南交通大学博士研究生学位论文第5 页 图1 1 美国东部电网中机电波( 电压相角) 传播示意图 m p a r a s h a j l ”1 把电力网络( 包括发电机、线路和负荷等) 作为二维空间 的连续函数，得到了描述非均匀电力系统的平面矢量场，借助于二阶张量， 把传统模型所缺少的空间信息也包括在连续体模型中元件的张量参数中，给 出了二维的双曲型非线性偏微分方程，详细研究了机电波在非均匀电力系统 中的色散和反射特性，并对n e we n g l a n d3 9 节点测试系统进行了连续体建 模分析。 b c l e s i e u t r e ”】和e s c h o l t z 4 3 j 根据行波传播的阻抗匹配原理，设计出 了能消除机电波反射的分散控制器，并用i e e e11 8 节点测试系统验证了机 电波能够被控制器限制在一定的区域内，并最终被完全吸收。 a a g r o b o v y 4 4 , 4 s 利用波动理论分析了机电扰动在俄罗斯远东电力系 统的传播，针对跨区域的弱互联电力系统设计出一种新的能够用来进行暂态 稳定评估的机电振荡波结构分析方法，已经成为俄罗斯远东电力系统安全稳 定分析和控制工具的组成部分。 h u a n g l i l i n g 4 6 基于m a t l a b 仿真，考虑了开路( 末端悬空) 和短路( 末 第8 页西南交通大学博士研究生学位论文 端接无穷大母线) 两种情况所对应的边界条件，研究了机电波在一维和二维、 均匀和不均匀的电力系统中的传播特性。结果表明：无论电力系统的规模有 多大，机电波的传播特性仅与其周围有限数量的发电机相关，而且机电波可 能会影响系统中过流保护继电器、距离保护继电器、失步继电器和低频减载 继电器的动作，因而迫切需要能防止这些继电器误动的措施。很自然地，提 出了借助于预警系统，及时发送机电波的到达时间和幅值大小、并迅速做出 决策，从而达到防止这些继电器误动的目的。 1 4电力系统机电波方程推导过程回顾 描述机电扰动在电力系统中以波动形式传播的双曲型非线性偏微分方 程既可以从经典场论的角度导出 2 9 , 3 0 , 4 7 , 4 8 ，也可以基于传输线的微分元模型 推导得出j ”4 3 ，4 引。运用差分原理，将描述电力系统机电动态的基本方程应用 于一个空间上趋于无限小的增量元件，通过不同的方法得出机电扰动在连续 体电力系统中传播的控制方程。本节对上述两种方法中推导过程的简单回顾 有助于深刻认识电力系统连续体机电波模型的本质。 1 4 ，l基于经典场论的二维机电波方程 在二维空间的任何一点i ( x ，y 1 ，建立一个二维微分元模型，它由增量形 式的发电机、负荷、输电线路以及无源的并联元件等组成的通用模型，如图 1 2 所示，其中两条线路微分段以相同的方位角交汇于空间点尹，纵横坐标 x 和y 分别表示连续体模型在二维空间的延伸。微分元模型中相应参数取不 同的值就可以表示出电力系统中所有元件的数学模型。若微分元模型的参数 与空间坐标无关，将构造出一个均匀的、各向同性的连续体电力系统模型； 若随着空间坐标的不同，微分元模型的参数也不完全一样。则将构造出一个 不均匀的、各向异性的连续体电力系统模型。 电力系统处于稳态时，忽略系统中可能存在的非线性因素和电压、电流 的高次谐波，就可以用正弦相量表示连续体模型中的电压和电流，用复数表 示阻抗和功率，同时相应的导出量也将都是复数形式。图1 2 中，输电线路 等网络元件采用准稳态模型，发电机采用二阶经典模型。支路i 在空间点尹 处与x 轴的夹角为谚，沿x 轴正、负方向的单位长度阻抗分别为方= ，：+ + 群 和虿= 一+ 版，弘为母线节点处的并联导纳，矿( 尹) 为空间点尹处的电压相 量，s ，为发电机注入空间点尹的复功率，f ，哥分别为空间点尹处沿x 轴的 正、负方向注入网络的复功率，为增量元件的长度，矿= f c o s es i n e r 西南交通大学博士研究生学位论文第7 页 为单位向量。 o 图1 2 连续体模型的二维微分元模型 联导纳，即弘= 0 。根据功率守恒定律，空间点芦处的复功率置满足 曩= 嚣+ 嚣= 矿( 尹) ! 掣+ 三掣 c - ， 当斗。时，把矿( f 亏。) 展开成t a y l o r 级数并忽略高次项，代入式( 1 一1 ) 得 爰“( 尹) 华陋v ) 矿( 尹) + + 半陋v ) 2 矿( 州+ 。( 2 ) ( 1 2 ) 式中 ： 和玎：占分别为沿x 轴正、负方向的单位长度导纳；v 表示 第8 页西南交通大学博士研究生学位论文 定义咒= 簋 筮为输电线路在空间点尹处单位长度导纳的代数平均 值，( 妒v ) y = 区云豆为线路单位长度导纳y 沿着甲的方向导数a 应用恒等 式v 一( v b ) = v 4 v 口+ a v 2 b ，由式( 1 2 ) 可得 j 。= 一矿( 尹) ( 露。v ) 】：( 霉。v ) 矿( 尹) ) + d ( 2 ) ( 1 - 3 ) 若空间点尹是条支路的交汇点，则式( 1 3 ) 的向量形式为 式中 = - v v y ( v 、：，) + d ( 2 ) ( 1 4 ) y = e 薹一0 - - 0 = 善 翥箍腊 m s ， 为一个二阶张量，郎并矢。 如果空间点尹处的注入功率在空间上也是连续的，可定义j = 丛( 声) 。 当_ o 时，忽略高次项，由式( 1 4 ) 可得功率密度j ( 尹) 为 j ( 芦) = o v y ( 呐) ( 1 6 ) 定义导纳张量y ( i ) ：! 丝g ( 尹) 一j b ( 尹) ，由式( 1 6 ) 得有功功率密度只( 尹) 为 见( 尹) = r e ) ) = - r e 9 v ( g j b ) ( v v ) 1 ( 1 - 7 ) 假定所有线路的电压均接近额定值，可设其标幺值均为1 0 ，相角为空 间的连续函数占( 尹) ，即矿( 尹) = 矿7 = 1 o ”，这样就忽略了电压梯度引 起系统中无功功率的流动，所以v 矿= v ( 1 o e j a ( i ) 1 = j ( v s ) p f 一，代入式 ( i 一7 ) 得 只( 尹) = 书 b ( v j ) + v 万g v 6 0 - 8 ) 对于均匀和各向同性的二维连续体模型，导纳张量y 将蜕化为对角阵，式 西南交通大学博士研究生学位论文第9 页 ( 1 - 8 ) 简化为 以咖等鸠：钧+ g 1 l ( 芸) 2 + g 2 2 ( 劫2 m 9 ， 式中 丑，b ：2 ，g g 2 2 为二阶导纳张量y 中的元素，且均为常数a 式( 1 9 ) 就是连续体电力系统模型中有功功率密度的表达式。设空间点尹处发电机转 子的运动方程为 膨( 尹、，可d 2 d ( f ) + 。( 尹) 掣= 已( i ) 一只( 尹) ( 1 1 0 ) 式中m 和d 为发电机的转子角动量和阻尼系数，己为注入发电机的机械 功率，为发电机的电磁功率。将式( 1 1 0 ) 中的系数化为密度形式，即令 m = m a ，d = d a ，己= p 。a ，只= p 。a( 1 - 1 1 ) 则 粤+箜：一以(1-12)m a + 一2 p 。一p d t 2d t 1 电力系统用一维连续体模型表示时，将式( 1 - 9 ) 代入式( 1 一1 2 ) 得 朋雾+ d 豢= 靠邶雾一g 2 ( 1 - 1 3 )朋万歹+ d 瓦5 靠+ 占石一6 i 瓦j 这就是基于经典场论中梯度和张量等概念推导出的描述连续体电力系统中 机电扰动传播的、以电压相角j 表示的双曲型非线性偏微分方程。这是一个 有衰减特性的波动方程，简称为机电波方程。 文献 4 8 】将电力系统的网架结构简化为一个二维平面图，通过一个空间 滤波过程，根据输电线路的走向用g a u s s 函数将一维的线路光滑化为二维平 面的连续函数( 距离输电线路的垂直距离越远，函数的绝对值越小) ，二阶 导纳张量y ( 尹) 一g ( f ) - j b ( 尹) 反映了空间点尹处网络导通电流( 或功率) 的 能力，其元素值的大小反映网络的连接关系，从而尽可能地保留了网络的拓 扑结构；同时利用g a u s s 函数将空间上离散分布的发电机惯性、阻尼和机械 第1 0 页西南交通大学博士研究生学位论文 功率等也连续化为二维平面的连续函数m ( 产) 、d ( 尹) 和靠( i ) 。这样，将连 续化函数代入式( 1 1 0 ) ，就得到电力系统的二维连续体模型。 1 4 2 基于微分元模型的一维机电波方程 文献【3 9 】采用了与均匀传输线相似的一维发电机链的微分元模型，如图 1 3 所示，也推导出了机电波方程。图中，x 表示空间坐标，为微分元模 型沿x 方向的长度，z 为单位长度输电线路的阻抗，那么微分段的阻抗为z 。 同样，若h 、d 、p m 和p ，分别表示单位长度的发电机惯性常数、阻尼、机械 功率和负荷功率，则微分段中的发电机参数可表示为h a 、d a 、p 。和p ， 于是可求得微分元模型中注入网络的功率为成a = p 。a p ，。一般情况下 h 、d 、p 。和p f 均为空间坐标x 的函数，不过文献 3 9 】的推导过程中假定它们 均为常数，而且忽略了发电机的内阻抗，同时认为发电机的机端母线电压不 随时间和空间变化，其标幺值设为1 0 。 噶蒂 i i 厂 0 i l x - a x x + a 图1 3 连续体模型的一维微分元模型 根据图1 - 3 ，可得空间坐标x 处的发电机摇摆方程为 等等哪砒掣 一譬 s i n 陬工) 一艿( 工一) + s i n 6 ( x ) 一万( h ) ) 一譬 2 - c o s e 艿( 工) 一万( 工一) s 6 ( x ) 一艿( x + ) ) ( 1 - 1 4 ) 西南交通大学博士研究生学位论文第”页 尸二二茎：紧：篡匕掣 m 哟 * 一譬一艿( 州) 川2 6 掣 卜“ 若增量角速度为c o ，则脚= d a d t ，式( 1 - 1 5 ) 两边求导数，得 竽：一e 2 b a 国( 1 - 1 6 ) a ta x 石2 h 百t g c o = 以一等 ( 1 1 7 ) 一p 一一 i l l ，l d f 。 d x 一2 h 百：8 ( x ) = 。+ e 2 b 掣( 1 0 1 8 ) i 可r ；蒂 式( 1 1 8 ) 就是基于一维发电机链的微分元模型推导出的连续体机电波方程， 其波速可写为 v = 痧 ( 1 一1 9 ) 式( 1 1 8 ) 的通解可写为d a l e m b e r t 形式的行波解，设其正向行波分量分别为 代入式( 1 1 6 ) 得 + = 国( r 一考 ，p + = p ( z 一考 c 2 。， 第1 2 页西南交通大学博士研究生学位论文 ，：兰堡缈+ ( 1 - 2 1 ) v 既然相同方