（课程与教学论专业论文）我国高中数学培养学生归纳思维的课堂教学典型案例研究.pdf

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得基础知识、基本技能的教学过程中，让学生多次经历归纳、猜想的思维过程， 获得“个案l 、个案2 、个案r l 一归纳出一个共性规律，发现猜想一 验证自己的猜想一得出一般的结论一的直接经验和体验，让学生经历一次“数 学家式 的思考过程，感受智慧产生的过程，体验创新的快乐。 2 当前高中数学归纳思维培养的课堂教学，效果不够理想，亟待改进。其 中的原因是多方面的。 究其原因，既有高中数学课程标准的原因，更有教科书编写的原因，还 有教师自身的归纳素养和对于课常教学环节的把握、教育观念等等多方面原因， 直接制约着当前高中数学归纳思维培养的实际效果。 为了更好地改善我国高中数学归纳思维培养的课堂教学现状，我们给出了以 下三条建议： 第一，高中数学课程标准需要修改，将归纳推理不仅仅作为获知的手段， 更要要的是要将其作为具体的目标来出现，渗透到各章节的具体内容中。 第二，我们必须重视归纳思维的培养，着重让学生在课堂上获得归纳活动的 直接经验和亲身体验，这种经验和知识同等重要，应该上升到和“双基 同样的 地位。 第三，提高高中教师归纳推理的素养，以及数学学科专业素质。 本研究对高中数学课程标准的修改以及一线教师从事归纳推理的教学工 作，有一定借鉴参考价值。 一 关键字：高中数学；归纳推理；课堂教学；案例分析 u a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h ec u r r i c u l u mr e f o r m ，t h ei n d u c t i v et h i n k i n ga b i l i t y t r a i n i n gi sb e c o m i n go n eo ft h ef o c u s e dp r o b l e m si nh i g hs c h 0 0 1 h o w e v e r , t h e r ea r e f e wd o m e s t i cr e s e a r c h sa b o u th o wt o d e v e l o pt h eh i g hs c h o o ls t u d e n t s i n d u c t i v e t h i n k i n ga b i l i t i e st r o u g hc l a s s r o o mt e a c h i n g t h ep a p e rt a k e st h es t u d e n t sa n dt h em a t h e m a t i ct e a c h e r so ft h ea t t a c h e dm i d d l e s c h o o lo ft h ed bn o r m a lu n i v e r s i t ya st h er e s e a r c hs u b j e c t sa n dm a k e sar e s e a r c ho n t h ep r e s e n t a t i o no fi n d u c t i o na n dr e a s o n i n gi nt h ew h o l es c h 0 0 1 b yu s i n gt h em e t h o d s o ft e x t u a la n a l y s i s ，q u e s t i o n n a i r ea n dc l a s s r o o mo b s e r v a t i o n 弱t h em a j o rm e t h o d s ，t h e r e s e a r c hi n t e n d st om a k eac a s es t u d yo nt h ec l a s s r o o mt e a c h i n go ft h et e a c h e r sa n d s u m m a r i z et h ec u r r e n ts i t u a t i o na n dl i m i t a t i o no ft h ec l a s s r o o mt e a c h i n go fi n d u c t i o n a n dr e a s o n i n g ，a n dg i v es o m es u g g e s t i o n so nt h eb a s i so ft h er e s e a r c h 1 1 地r e s e a r c hs h o w st h a t ： f i r s t , w i t hi n d u c t i v ew a yt h eh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c sc l a s s r o o mt e a c h i n g ， t e a c h i n ga n df o r m u l a sn e e dt oc o n s i d e rt h ec o n c e p to f l a wt e a c h i n g , p r o b l e ms o l v i n g s p e c i f i cp r a c t i c a l ，b u th a ss o m ec o m m o nr u l e s u s ei n d u c t i v em e t h o do fc l a s st e a c h i n g , g e n e r a lc o n c e p ti so nt h ea n a l y s i so f s e v e r a ls p e c i a lc 绷，w h i c hb a s e do nt h ea t t r i b u t e so f , g e n e r a l i z e st h ed e f i n i t i o no f t h ec o n c e p t u s ei n d u c t i v em e t h o df o rf o r m u l a , l a wc l a s st e a c h i n g ，i sg e n e r a l l yw i l la b s t r a c t f o r m u l as p e c i a l i z a t i o n , c o n c l u d e st h eg e n e r a lf o r mo ff o r m u l a , l a w , a n dp r o m o t i o n u s ei n d u c t i v em e t h o df o rp r o b l e ms o l v i n gc l a s st e a c h i n g ，g e n e r a li sg i v e nt os o l v e p r o b l e m si nt h ea c t u a lb a c k g r o u n d ，b a s e do nt h ea n a l y s i so fc o n c r e t ed a t a , t r yt ou s e p r o p e rm a t h e m a t i c a lm o d e l t os o l v et h ep r o b l e m i nc o n c l u s i o n , w eb e l i e v e ，i nt h eh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c sc l a s s r o o mt r a i n i n gt h e s t u d e n t st h ei d e a ls t a t eo fi n d u c t i v et h o u g h ti s ：g e tb a s i ck n o w l e d g e ，b a s i cs k i l l t e a c h i n gp r o c e s s ，l e t st h es t u d e n te x p e r i e n c ei n d u c t i o n , s u p p o s em a n yt i m e st h o u g h t p r o c e s s ，g e t c a l ，c a s e2 ，c a s en c o n c l u d e sac o m m o nl a w s ，f i n d g u e s s - v e r i f yh i sg u e s s t oo b t a i ng e n e r a lc o n c l u s i o n d i r e c te x p e r i e n c ea n de x p e r i e n c e ，l e t s t h es t u d e n te x p e r i e n c ea ”m a t h e m a t i c i a nt y p e t h i n k i n gp r o c e s s ，a n dt h ep r o c e s so f f e e l i n gw i s d o m ，e x p e r i e n c et h ei n n o v a t i o np r o d u c e dt h eh a p p i n e s s s e c o n d ，t h ec u r r e n th i g hs c h o o lm a t hi n d u c t i v et h o u g h tt r a i n i n go fc l a s s r o o m t e a c h i n g ，n e e dt ob ei m p r o v e du r g e n t l ye f f e c t s ，i n s u f f i c i e n t o n eo ft h el e a s o n si s m u l t i f a c e t e d 1 1 坨r e a s o n sf i lev a r i o u s 1 r i 坨c u r r i c u l u ms t a n d a r d s ，t h ew r i t i n go ft h ec o u r s e b o o k s ，t h et e a c h e r s i n d u c i n gq u a l i t ya n dt h e i ra b i l i t i e so fm a n a g i n gt h ec l a s sa n dt h e i r t e a c h i n gb e l i e f s ，a l lt h e s ef a c t o r sr e s t r i c tt h ee f f e c to nt h et r a i n i n go ft h eh i g hs c h o o l s t u d e n t s i n d u c i n gi d e a si nm a t h e m a t i cc o u r s e s i no r d e rt op r o m o t et h ec u r r e n ts i t u a t i o no nt h et r a i n i n go fs t u d e n t s i n d u c i n g a b i l i t i e si nm a t h e m a t i cc l a s s ，w ec a ng i v et h ef o l l o w i n gt h r e es u g g e s t i o n s ： f i r s t , t h ec u r r i c u l u ms t a n d a r d sn e e d st ob em o d i f i e d r e a s o n i n ga n di n d u c i n g s h o u l dn o to n l yb et h em e a n st og e tk n o w l e d g e ，b u ts h o u l db ea l s ob es h o w na st h e c o n c r e t eo b j e c t i v e sa n dp e r m e a t et ot h ek n o w l e d g ep o i n t so fe a c hc h a p t e r s e c o n d , w es h o u l dv a l u et h et r a i n i n go fl e a r n e r s i n d u c i n gi d e a sa n dh e l pt h e m g e tt h ei n d u c i n ge x p e r i e n c ei nt h ec l a s s r o o ma c t i v i t i e s 1 1 圮e x p e r i e n c ei sa si m p o r t a n t 嬲t h ek n o w l e d g e ，w h i c hs h o u l do b t a i nt h es a m es t a t u sa st h e “d o u b l eb a s e ” 删r d ，t e a c h e r s i n d u c i n ga n dr e a s o n i n ga b i l i t i e ss h o u l db ei m p r o v e d , a n dt h e i r p r o f e s s i o n a lq u a l i t i e ss h o u l da l s ob ea d v a n c e d 1 1 圮p a p e rc a ng i v es o m es u g g e s t i o nt ot h em o d i f i c a t i o no ft h ec u r r i c u l u m s t a n d a r d sa n dt h et e a c h e r s t e a c h i n go nr e a s o n i n ga n di n d u c t i o n k 呵w o r d s ：h i g hs c h o o lm a t h ；p l a u s i b l er e a s o n i n g ；c l a s s r o o mt e a c h i n g ；s t u d y i v 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 第一章引言l 一、研究背景及研究问题1 二、研究过程2 三、研究方法2 第二章文献综述3 一、我国关于归纳推理的研究现状3 二、我国高中关于归纳推理的研究现状5 三、归纳推理的模式5 第三章我国高中生归纳思维学习状况的调查研究1 0 一、调查的设计与实施过程1 0 二、调查结果的统计与分析1 0 三、调查结论1 1 第四章高中数学归纳推理课堂教学典型案例分析1 3 一、 高中数学课程标准中的归纳推理1 3 二、有关归纳推理的典型案例筛选1 5 三i 有关归纳推理的典型案例分析1 8 ( 一) 概念课的典型案例分析1 8 ( 二) 公式、法则课的典型案例分析2 7 ( 三) 问题解决课的典型案例分析3 8 第五章结论与讨论4 7 一、研究的结论4 7 二、建议4 8 三、有待进一步解决的问题4 9 参考文献5 0 附录5 2 致谢6 5 v 东北9 币范大学硕士学位论文 第一章引言 一、研究背景及研究问题 教育的目的是提高人的素质，素质是一个人的核心发展力。 传统数学教育为我国培养了一大批优秀人才，功不可没，但我们的教育观念、教育 体制、教育结构、人才培养的模式、教育内容和教学方式的相对滞后，影响了青少年的 全面发展，也是不可否认的事实。在谈到中国教育现状时，诺贝尔奖获得者杨振宁和朱 棣文都认为中国的教育现状一直是是注重基础知识的学习和训练，而轻视了创造思维和 能力的培养和训练。衡量一个人才的重要标准之一是这个人是否具有创新性，而创新性 也是素质教育对培养创新性人才的一个基本要求，而创造能力培养的关键则应该依赖于 在教学中运用演绎推理和归纳推理并举的方法的训练和学习。 我国正在大力实施素质教育和致力于新课程的改革，二者的共同出发点都是以培养 学生的创新精神和实践能力为基本价值取向的，变“双基 为“四基一， 变“双能 为“四能 ，特别是由原来的以演绎思维训练为主的教育体制转变为演绎思维和归纳思 维并举的教学方式方法，这对当前正在实施的新课程具有非常重要的指导意义和实践价 值。数学的学习是以思维活动为中心的，创新思维能力的培养既是中学数学教育的核心 目标之一，又是培养创新型人才的必要手段。合情推理作为培养创新型人才的工具，是 进行创造性工作必须具备的基本能力，是2 l 世纪人才必须具备的基本素质。目前，数 学教育界已经越来越多的把关注的焦点落在合情推理的教学上。在第八届国际数学教育 大会上，教育家们对于2 0 世纪杰出的数学家、数学教育家g p o l y a 建立的合情推理模 式，以及通过观察、猜想、实验、类比、归纳、化归等合情推理的具体方法来进行数学 发现和数学创新的探索的过程给予极高的评价。并且上海教科院所推出的“研究性学 习 中给合情推理教学以应有的地位。合情推理教学从理论上讲符合我国素质教育的要 求。但合情推理如何在高中数学教育中具体实践推广开来，怎样才能最大限度的提高学 生的素质，还需要实践上和方法上的探索。 东北师范大学校长史宁中教授和副校长柳海民教授在文章素质教育的根本目的与 实施路径1 中指出：目前我国的基础教育方式存在偏差，偏差之一是在信息传递方式 的时代转换上，尚停留在知识教育，而未进入到知识与智慧教育并重的时代；偏差之二 是在学生思维能力的培养上，偏重演绎思维及其能力的训练，缺乏归纳思维及其能力的 培养。因此，如何培养学生的归纳思维及其能力问题亟待解决。 我们对归纳推理的涵义，采用史宁中教授的观点：“归纳推理是一种“从特殊到一 般 的推理，即从个别现象出发，抽象其共性，总结出一般的结论的推理。 并且，“归 i 氆，史宁中。史亮孔凡哲中小学数学中的归纳推理t 教育价值、教材设计1 4 教学实施【j 】2 0 11 ( 3 1 ) ：5 8 6 3 1 东北师范大学硕士学位论文 纳推理得到的结论是或然的，但它能够发现新的知识。得到这种具有或然性的结论是数 学创新的根本。一这里的归纳推理，即广义上的合情推理。 g 波利亚在数学与猜想n 1 一书中讨论了归纳推理的特征、指出了归纳推理的作 用、给出了归纳推理的范例、总结出了归纳推理的模式、理论上给出了归纳推理的教学 意义、指出了归纳推理的教学方法。他开辟了一条与传统思维方法截然不同的新思路， 通过对数学创造和数学学习等思维过程的再现和分析，提出了“归纳推理 的思维模 式；他首先肯定了演绎推理在数学命题和科学体系建构中的作用，但却着重强调数学与 其他学科一样，数学知识是从猜想开始，通过归纳等非演绎的思维方式而发生发展，而 这种非演绎的思维方式就是归纳推理。g 波利亚的主要成就在于有效地拓宽了数学推理 的范围，不足之处是对归纳推理的界定比较模糊。 但合情推理对于发展学生的创新能力，还是十分重要的。数学知识的创造和发展需 要猜想，在教学中，通过合情推理，可以培养学生的创新思维能力、想象能力、创新实 践能力，从而达到培养学生的创造能力和创新精神的目的，最终将学生培养成具有创新 精神和能力的高素质人才。 二、研究过程 根据本论文的研究思路，结合自己的想法，设计研究过程如下： ( 一) 前期准备阶段 通过阅读文献资料，分析高中数学课程标准以及教材中对归纳推理的具体要求，试 图找到课程标准和教材中有关合情推理的契合点，为本论文的研究问题找到立足点。 ( 二) 实际研究阶段 通过对所选择的学校的学生的问卷调查，了解学生对归纳推理的掌握和运用情况， 并在此基础上对调查的结果进行归因分析。 通过对一线教师的课堂教学进行实际观察，并挑选典型案例进行分析，归纳出我国 高中数学教学中培养学生归纳推理能力的基本规律。 ( 三) 资料整理、分析阶段 通过对文献的文本分析、学生问卷分析以及一线教师课堂教学的典型案例分析，探 求我国高中数学教学中培养学生归纳推理能力的基本规律。 三、研究方法 本研究主要采用文本分析法、问卷调查法和课堂观察法。其中，文本分析法主要是 总结前人的研究成果，并从中寻求本研究的一个立足点。问卷调查法主要是了解学生对 归纳推理的理解和掌握情况，课堂观察法是本研究的核心方法，主要是为了寻找有关归 纳推理的典型案例，然后对案例进行分析，总结归纳出我国高中数学教学中培养学生归 纳推理能力的基本规律。 2 东北师范大学硕士学位论文 第二章文献综述 一、我国关于归纳推理的研究现状 1 9 8 8 年，我国著名数学家徐利治指出：“。要用波利亚的思想改革数学教材和教学 方法，要培养波利亚的数学工作者”，从而在我国把数学方法论和g 波利亚的数学教 育思想应用于课堂教学，在课堂中进行创新教育实践的序幕正式拉开。自此，人们逐渐 开始探索将演绎推理和归纳推理并举的教学方法，以培养未来祖国发展所必须的创新性 人才，更好的去履行社会赋予教师的职责。 在张同君主编的中学数学解题研究口1 一书中提到数学猜想是作为一种解题的思 想存在的，并着重讲解了数学猜想与具体的猜想方法以及该思想应用于解题过程的具体 策略，这对于教师在教学过程中应用归纳推理的方法来进行教学提供了较为实用的参考 和借鉴。 在过伯祥的猜想与合情推理h 3 一书中，以数学学习中的猜测和数学史上的著名 猜想为素材，探讨总结了数学猜想的萌芽、形成和解决的过程，常用的猜测方法，归纳 推理的模式等。 现在，人们把探索的焦点也一方面放在了培养学生归纳推理能力的方面，并且取得 了相当的成果。 杨世明的数学发现的艺术堙1 ，是用g 波利亚风格写出的数学方法论专著。他收 集了丰富的素材，这些素材包括数学史、数学课本、大量数学家的著作和手稿，归纳、 研究了归纳推理方法，对观察、实验、归纳、类比、联想、猜测、检验、推广、限定以 及抽象、概括等思维方法在数学学习、解题、教学和研究中的广泛应用进行了探讨。 韩富万、李善明在论合情推理在中学数学教学中的地位与功能嘲一书中，阐述 了归纳推理的教育功能，进而给出在中学数学教学中如何培养学生具有归纳推理能力的 教学途径。 在任樟辉编著的数学思维理论砸3 一书中指出数学归纳推理是一种数学猜想，他 主要研究了数学猜想的思维方法和具体的培养方式。 华中师范大学的蒋永红在其硕士论文合情推理与数学学习h 1 中详细的研究了归 纳推理在数学学习中的作用以及数学中常见的归纳推理模式。 李红、陈安涛踊1 等人从心理学角度就归纳论断力度的判断、个体归纳推理能力的 发展、归纳推理能力的神经基础等方面，进行了深入研究，并多以儿童为研究对象。 比如对儿奄归纳推理的基础进行了理论探索，提出概念发展对归纳推理研究有决定性 的影响：并对3 5 5 5 岁儿童进行实验，得出3 5 岁儿章已经能够排除无关刺激， 徐利治数学方法论选讲【m 】武汉t 华中t 学院i l 版杜1 9 8 3 3 东北师范大学硕士学位论文 要么基于知觉相似，要么基于概念进行归纳推理等相关结论。彭华茂、申继亮旧。等人 从工作记忆容量和加工速度的角度研究了它们在归纳推理能力老化中的作用。 武锡环、李祥兆n 在文中初步地确定信息表征、归纳识别、形成猜想和假设检验 四个因素为影响因子，在此基础上建构了“数学归纳推理的认知模型”，李祥兆主要研 究了以下问题：探讨学生数学归纳推理的信息加工过程，不同成绩学生的加工差异的分 析，元认知对不同加工水平的影响，不同成绩学生思维策略的选择与归纳n t 的关系。 史宁中教授n 妇在文中提出我国的教育现状是缺少对归纳能力的培养，从创新能力 的基础提出归纳能力的重要性，并对如何培养归纳能力进行了相关介绍。 李朋、陈艳妮n 2 1 则谈到数学归纳类比在解题方面的作用：归纳类比开启了人们对数 学发现及研究的一种新途径，使人们看到了数学内部结构及其某种规律性和数学美， 在人们认识数学和学习数学方面起到积极作用： 陈辉、叶立军n 则强调归纳和类比在数学解题方面的发现作用，认为归纳类比开 启了人们对数学发现及研究的一种新途径，使人们看到了数学内部结构及某种规律性 和数学美，在人们数学和学习数学方面起到积极作用： 沈燕n 钔在文中提到归纳在学习效率方面的作用等。 张洪n 日认为归纳法和类比法是数学学习和数学发现的重要方法，能启迪学生解题 思路，是解决问题的途径和方法，能激发学生的学习兴趣，是培养学生创新精神和实 践能力的有效方法。 闫梅梅n 6 1 提出强化知识类比有助于培养学生归纳能力的提高，逆向应用公式( 性 质) 、强化推理培养学生的归纳能力等。 王四清n 刀则通过两个具体的数学问题( 求抛物线及双曲线的焦点坐标、准线方程) 来说明在课堂教学中如何培养学生观察、归纳能力。 刘耀武n 町提倡。归纳与演绎并用 的教学原则来培养学生的归纳能力。 ： 李兆祥n 鲫在文中概括出归纳推理的思维策略有4 种：整体性策略、特殊化与一般 化策略、模式识别策略、元认知策略； 吴佩芳啪3 在其文章中通过2 个题目对学生进行测试，并分析了测试结果不满意的 原因有两方面：一是在平时的教学中，对数学方法的关注不够，尤其是正面阐述很少； 二是在数学教材中很少提及数学方法，考试题目也不正面考察数学方法的掌握： 通过以上的分析，我们可以看到，目前我国对归纳推理的研究，主要集中在以下 几个方面： 一是从心理学方面； 二是从数学解题方面： 三是从培养措旌方面。 心理学研究表明，人们发现新知主要通过归纳的途径，而验证真理主要通过演绎 的途径；数学解题方面的研究表明，人们发现解题思路主要是归纳的途径，而表述解 题主要是演绎的途径：培养措施方面的研究表明，近几年人们普遍关注创新人才的培 养，创新源于质疑，而归纳是能够猜测出结论的，因此，人们普遍重视了对于归纳思 4 东北师范大学硕士学位论文 维的培养，但对于在教学中如何培养学生的归纳思维并没有相关的研究。 基于以上分析，本文试图通过分析课堂教学的典型案例，寻找我国高中数学培养 学生归纳思维课堂教学的基本规律，旨在对一线教师从事教学工作有一定的借鉴作用。 二、我国高中关于归纳推理研究现状 于明华对我国高中数学合情推理的课程内容呈现进行了研究，他的研究表明新课 程中首次加入合情推理的内容是符合时代的要求的，但只有宏观的要求，对具体行动缺 乏必要、有效的指导。 吴雯雯圆针对不同版本的教科书中合情推理的课程内容的呈现做了比较研究，她的 研究表明教科书中对合情推理内容( 主要是显性知识中以隐性目标出现的合情推理) 的 呈现是不利的，并从课程标准层面、教科书层面以及教师层面分析了具体的原因。 综上所述，我国高中关于归纳推理的研究，既有课程内容呈现的研究，也有教科书 呈现的研究，但是在课堂教学中教师应该如何运用归纳思维进行教学，却没有相关的 研究。因此，我试图通过对一线教师的实际课堂教学的案例分析，总结出培养高中归纳 思维的基本规律，希望能够为培养学生的归纳思维能力和一线教师从事课堂教学活动提 供借鉴，这也是本篇论文研究的核心问题所在，也是本文的一大突破。 三、归纳推理的模式 张同君在中学数学解题研究瞄妇一书中将的归纳推理一般模式进行了概括。 过伯祥在猜想与合情推理恤1 一书中，给出了更适合一线教师指导初中学生进行 归纳推理能力的培养的归纳推理的表现形式。 华东师范大学徐成华在他的硕士论文初中数学教育中的合情推理能才培养初探 呦1 中，把归纳推理的基本模式分为归纳模式、类比模式、统计模式。 湖南师范大学陈莉辉在她的硕士论文合情推理、非逻辑思维与中学生创新思维的 培养乜们中指出，中学数学中的归纳推理包括不完全归纳推理、类比推理、猜想、联想。 华中师范大学蒋永红在她的硕士论文合情推理与数学学习汹1 中，总结了几种在 数学中常用的归纳推理模式，有：归纳推理模式、类比推理模式、统计推理模式、溯因 推理模式、确证推论、可能根据、不相容命题、渐弱推理、逐次确证等归纳推理模式等 等。 综上所述，在归纳推理中，最重要的模式是归纳推理模式和类比推理模式。 1 归纳推理模式 归纳推理( 以下简称归纳) 是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式。归纳 推理包括不完全归纳法和完全归纳法。 于i 】华高中数学合情推理课程内容的研究【d 】：【硕- i 于i _ v , 位论文】长春t 东北师范人学，2 0 0 7 。吴燮燮合情并f ；理谍程内容的教科书呈现的比较研究【d 】：【硕i ：学位论文】长备；东北师范人学t2 0 0 9 严i ：健等数学课程标准( 实验) 解读。1 6 2 - 1 6 4 1 m 南京i 江苏教育版社，2 0 0 6 5 东北师范大学硕士学位论文 例如， 6 = 3 + 3 ， 8 = 3 + 5 ， l0 = 3 + 7 = 5 + 5 ， 1 2 = 5 + 7 ， 1 4 = 3 + 11 = 7 + 7 ， 1 6 = 3 + 1 3 ， 从这些个别情况，我们可以猜想：任何一个大于4 的偶数都可以表示成两个奇素数 之和。这就是著名的哥德巴赫猜想。这个猜想至今没有人能回答它的正确性。又如，法 国数学家费马认为：不可能将一个立方数写成两个立方数的和，或者将一个4 次幂写成 两个4 次幂之和；或者，一般地说，不可能将一个高于2 次的幂写成两个同次幂的和。 这个结论费马认为可以证明，但并没有给出证明过程。这个困惑了世间智者3 5 8 年的猜 想，终于在1 9 9 4 年获证。从这两个例子可以看出，用不完全归纳法得到的结论未必是 可靠的，但应用方便并具有发现的功能。 再如，同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，是考察了圆心在圆周角内、在圆周角外、 在圆周角边上三种情况之后得到的：余弦定理是在考虑了锐角三角形、钝角三角形、直 角三角形之后得到的。这两个定理的证明都是用完全归纳法。由于穷尽了被考察对象的 一切特例以后才作出结论，因而结论是确凿可靠的。完全归纳法是一种必然性的推理， 但是，因为要无一遗漏地考察所有特例，完全归纳法的发现功能是不强大的。 归纳推理有以下几个特点： 归纳推理是一种特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提 所包容的范围；： 归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有 猜测的性质； 归纳的前提是特殊情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的。 由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认 识功能，对于科学的发现却是十分有用的。观察、实验，对有限的资料做归纳整理，提 出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一。 运用归纳推理时，其一般步骤为：首先，通过观察特例发现某些相似性( 特例的共 性或一般规律) ：然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题( 猜想) ；最后， 对所得出的一般性命题进行检验。在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明。 2 嵝比推理模式 类比推理( 以下简称类比) 是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相 似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种推理模式。 4 ) 严= f ：健等数学课程标准( 实验) 解读：1 6 4 一1 6 7 【m l ，南京：江苏教育出版社，2 0 0 6 6 东北师范大学硕士学位论文 例1 平面三角形与空间四面体的类比。 平面三角形与空间四面体的相似性可表述如下： 三角形是平面上数目最少的简单分界元素( 直线) 围成的图形，四面体是空间中数 目最少的简单元素( 平面) 围成的图形。 三角形是平面上最简单的( 直边) 封闭图形，四面体是空间中最简单的( 直面) 封 闭图形。 三角形与四面体从生成上看具有相似性( 三角形可看做平面上一条线段外一点与这 条线段个点的连线构成的图形，四面体可以看做空间中一个三角形外一点与这个三角形 上个点的连线构成的图形) 。 根据平面三角形的性质推测空间四面体的性质如下： 三角形四面体 三角形的三角内角平分线交于一四面体的六个二面角的平分面交于一 点，且该点是三角形内切圆的圆心。点，且该点是四面体内切球的球心。 三角形的三条中线交于一点，且该四面体的四条中线( 四面体每一个顶点 点分每条中线成2 ：1 。与对面重心的连线) 交于一点，且该点分四 面体的四条中线成3 ：1 对直角三角形有a 2 + 6 2 = c 2 ( 勾股 对直角顶点的四面体有 定理) 。 彳2 + 曰2 + c 2 = d 2 ( 商高定理) 。 对于三角形有余弦定理： 对于四面体，有余弦定理：& 2 = 瓯2 + s 2 c 2 ：口2 + 6 2 2 a b c o s c 。 q 2 一碱s 嘲缸，p ) 一勰s 瞄缸，丫) - 2 s p s , c o s ( p ，丫) 例2 椭圆与双曲线的类比。 椭圆事+ 矿7 2 = l 的基本元素有：对称轴、顶点一心、焦点、焦距( 2 c 小仃了) 、 离心率( e ：三 1 ) 、焦点参 口 对于椭圆，我们可以讨论这些基本元素之间有关的关系。例如，椭圆上一点m ( x o ，y o ) 7 东北师范大学硕士学位论文 阴剀线7 y 程是 等+ 等旬， 椭圆的极坐标方程是 p 。f 赢p 面， 长轴2 口= 苦， 一 短轴2 6 = 而2 p ， 焦距2 仁筹。 同样，我们对于双曲线讨论与椭圆相对应的问题，并猜想他们具有相似的形式。事 实上，对于双曲线有： 双曲线上一点m ( ，y o ) 的切线方程为 等一等卅， p2 丙p ， 实轴2 口= 是，p 一l ： 虚轴2 6 = 丙2 p ，p 2 1 焦距2 c = 笔e1 。一 例3 著名的欧姆定律就是德国物理学家欧姆在1 8 2 6 年把电传导系统与热传导系统 作类比而导出的。电流i 与热量q 相当，电压v 同温差t 相当，电阻r 同比 孰c 的倒麴相当。 例4 电传导系统热传导系统 i ( 电流)q ( 热量) v ( 电压)t ( 温差) r ( 电阻) 一1 ( 比热的倒数) c 在热传导系统中有关系式 8 东北师范大学硕士学位论文 q = m c a t ( m 是质量) 。 于是，就可猜想在电传导系统中有关系式 ，：土y ， r 这就是欧姆定律。 例4医药试验不宜直接在人体上进行。老鼠、猴子与人在身体结构上有类似之处 于是，有理由相信，在这些动物身上的试验结果类似于在人体上试验的结果。 类比推理的特点有以下几个特点： 类比是从人们已经掌握的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧 有认识作基础，类比出新的结果； 类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； 类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能。 在运用类比推理时，其一般步骤为：首先，找出两类对象之间可以确切表述的相似 性( 或一致性) ；然后，用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出这个猜 想；最后，检验这个猜想。 注意，两个系统可以作类比的前提是，它们各自的部分之间在其可以清楚定义的一 些关系上一致。因此，类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性( 相似性) 确切地 表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚，这不同于比喻。 我们可以看到，“归纳、类比都是具有创造性的或然推理。不论是由大量的特例， 经过分析、概括，发现规律的归纳，还是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现 未知属性的类比，它们的共同特点是，结论往往超出前提控制的范围。所以它们是“开 拓型纾或“发散型一的思维方法。也正因为结论超出了前提的管辖范围，前提就无力保 证结论必真，所以归纳、类比只能是或然性的推理 。回 严1 ：健等数学谍程标准( 实验) 解读l1 6 8 - - 1 6 9 m 南京l 江苏教育版礼，2 0 0 6 9 东北师范大学硕士学位论文 第三章我国高中生归纳思维学习状况的调查研究 一、调查的设计与实施过程 ( 一) 问卷的内容与编制 该问卷的直接设计目的是为了了解在标准中增加归纳推理的要求之后学生的归 纳思维的学习状况，学生问卷主要是运用归纳推理来解决问题的客观题。 学生问卷由7 道题组成( 参见附录1 ) ，均是关于归纳推理的应用题，其中第l 、2 、 3 题是归纳类的题目，第4 、5 、6 题是类比类的题目，第7 题是考察学生归纳推理能力 的综合类的题目，该问卷要求学生在解答这些题目的时候，把自己的想法和思考过程同 时写出来，借此来考察学生的归纳推理能力。考虑到高一、高二的学生没有学过归纳推 理的内容，但在小学和初中的课程中，都相应的渗透过归纳推理的思维方法，因此在问 卷的前面给出了运用归纳推理解决问题的例题，借此来引导学生在答卷过程中运用归纳 推理的思维方法来解决问题。 ( 二) 问卷的试测与修改 2 0 1 0 年9 月中旬，先进行了小范围的试测，被测人包括我认识的高中生，人数1 5 人，涵盖了高一、高二、高三所有年级，并根据他们的测试结果对问卷设计做了相应的 调整和修改。 ( 三) 问卷的发放与回收 2 0 1 0 年1 0 月初，于听课学校的高一、高二、高三年级发放学生问卷，并对结果进 行统计分析。 ( 四) 调查的对象 本研究调查的对象是d b 师范大学附属中学的2 4 0 名学生，其中包括高一年级的8 0 名实验班学生，高二年级的8 0 名实验班学生，高三年级的8 0 名实验班学生。 本次调查共发放学生问卷2 4 0 份，收回有效问卷1 8 9 份，回收率为7 8 7 5 。 二、调查结果的统计与分析 本次共发放学生问卷2 4 0 分，高一、高二、高三年级各8 0 份，实收问卷1 8 9 份， 有效问卷1 8 9 份，回收率7 8 7 5 。 问卷共由7 道大题组成，其中1 、2 、3 题属于归纳范畴，比较简单；4 、5 、6 题属 于类比范畴，难度略有增加。7 题属于综合应用归纳推理的题目，属于难题。这样设计 问卷可以比较清晰的了解学生归纳思维的学习情况。 计分每道题1 分，由于第6 道题有3 小问，因此按3 分计。该问卷总共得分为9 分， 由于学生的答案五花k f l ，因此在给分时只要学生有归纳推理的意思就给分。 1 0 东北师范大学硕士学位论文 问卷调查结果的统计 归纳类类比类 平均分 平均分( 3 分)正确率平均分( 5 分) 正确率 高一 5 0 3 分 2 7 4 分 8 9 9 5 2 3 2 分 4 6 3 5 高二5 9 4 分2 6 7 分 8 8 8 9 3 2 4 分 6 4 7 6 高三6 0 0 分2