2016年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)(解析版).doc

2016年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M=x|1x1，N=x|x22，xZ，则（）AMNBNMCMN=0DMN=N2已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）AB1CD23已知cos（）=，则sin（）的值是（）ABCD4已知随机变量x服从正态分布N（3，2），且P（x4）=0.84，则P（2x4）=（）A0.84B0.68C0.32D0.165不等式组的解集记为D，若（a，b）D，则z=2a3b的最小值是（）A4B1C1D46使（x2+）n（nN）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A3B4C5D67已知函数f（x）=sin（2x+）0）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A2k，2k+（kZ）B2k+，2k+（kZ）Ck，k+（kZ）Dk+，k+（kZ）8已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为RAB=AC=2，BAC=120，则球O的表面积为（）ABCD9已知命题p：xN*，（）x（）x，命题q：xN*，2x+21x=2，则下列命题中为真命题的是（）ApqB（p）qCp（q）D（p）（q）10如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A4+6B8+6C4+12D8+1211已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2y2=（为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|MN|的值为（）ABCD无法确定12设函数f（x）的定义域为R，f（x）=f（x），f（x）=f（2x），当x0，1时，f（x）=x3则函数g（x）=|cos（x）|f（x）在区间，上的所有零点的和为（）A7B6C3D2二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13曲线f（x）=+3x在点（1，f（1）处的切线方程为_14已知平面向量与的夹角为， =（1，），|2|=2则|=_15已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为_16在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2cosA）tan=sinA，则ABC的面积的最大值为_三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17设Sn是数列an的前n项和，已知a1=3，an+1=2Sn+3（nN）（I）求数列an的通项公式；（）令bn=（2n1）an，求数列bn的前n项和Tn18班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：学生序号i 1 2 3 4 5 6 7 数学成绩xi 60 6570 7585 8790 物理成绩yi 7077 8085 9086 93（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a= 7683 81252619如图，在多面体ABCDM中，BCD是等边三角形，CMD是等腰直角三角形，CMD=90，平面CMD平面BCD，AB平面BCD（）求证：CDAM；（）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值20已知点F（1，0），点A是直线l1：x=1上的动点，过A作直线l2，l1l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P（）求点P的轨迹C的方程；（）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围21已知函数f（x）=exax（xR）（） 当a=1时，求函数f（x）的最小值；（） 若x0时，f（x）+ln（x+1）1，求实数a的取值范围；（）求证：四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CFAE，垂足为点F（）证明：CF是圆O的切线；（）若BC=4，AE=9，求CF的长选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin（+=（）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x2|a）（）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（）若关于x的不等式f（x）3的解集是R，求实数a的最大值2016年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M=x|1x1，N=x|x22，xZ，则（）AMNBNMCMN=0DMN=N【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】N=x|x22，xZ=1，0，1，从而解得【解答】解：N=x|x22，xZ=1，0，1，故MN=0，故选：C2已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）AB1CD2【考点】复数求模【分析】先根据复数的运算法则化简，再根据计算复数的模即可【解答】解：z=，|z|=1，故选：B3已知cos（）=，则sin（）的值是（）ABCD【考点】三角函数的化简求值【分析】由已知及诱导公式即可计算求值【解答】解：cos（）=sin（）=sin（）=，故选：A4已知随机变量x服从正态分布N（3，2），且P（x4）=0.84，则P（2x4）=（）A0.84B0.68C0.32D0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据对称性，由P（x4）=0.84的概率可求出P（x2）=P（x4）=0.16，即可求出P（2x4）【解答】解：P（x4）=0.84，P（x4）=10.84=0.16P（x2）=P（x4）=0.16，P（2x4）=P（x4）P（x2）=0.840.16=0.68故选B5不等式组的解集记为D，若（a，b）D，则z=2a3b的最小值是（）A4B1C1D4【考点】简单线性规划【分析】由题意作平面区域，从而可得当a=2，b=0时有最小值，从而求得【解答】解：由题意作平面区域如下，结合图象可知，当a=2，b=0，即过点A时，z=2a3b有最小值为4，故选：A6使（x2+）n（nN）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A3B4C5D6【考点】二项式定理的应用【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出n与r的关系值，即可求得n的最小值【解答】解：（x2+）n（nN）展开式的通项公式为Tr+1=x2n5r，令2n5r=0，求得2n=5r，可得含有常数项的n的最小值是5，故选：C7已知函数f（x）=sin（2x+）0）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A2k，2k+（kZ）B2k+，2k+（kZ）Ck，k+（kZ）Dk+，k+（kZ）【考点】正弦函数的图象【分析】由题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式，可得单调递减区间【解答】解：由题意可得sin（2+）=0，故2+=k，解得=k，kZ，由0可得=，f（x）=sin（2x+），由2k+2x+2k+可得k+xk+，函数f（x）的单凋递减区间为k+，k+，kZ故选：D8已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为RAB=AC=2，BAC=120，则球O的表面积为（）ABCD【考点】球的体积和表面积【分析】利用余弦定理求出BC的长，进而由正弦定理求出平面ABC截球所得圆的半径，结合球心距，求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案【解答】解：在ABC中，AB=AC=2，BAC=120，BC=2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即ABC的外接圆半径），r=2，又球心到平面ABC的距离d=R，球O的半径R=，R2=故球O的表面积S=4R2=，故选：D9已知命题p：xN*，（）x（）x，命题q：xN*，2x+21x=2，则下列命题中为真命题的是（）ApqB（p）qCp（q）D（p）（q）【考点】复合命题的真假【分析】命题p：利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21x=2，化为：（2x）222x+2=0，解得2x=，x=，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出【解答】解：命题p：xN*，（）x（）x，利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21x=2，化为：（2x）222x+2=0，解得2x=，x=，因此q是假命题则下列命题中为真命题的是P（q），故选：C10如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A4+6B8+6C4+12D8+12【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图知几何体是组合体：下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，并求出圆柱的底面半径、母线，四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求值即可【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，该几何体的体积V=6+8，故选：B11已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2y2=（为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|MN|的值为（）ABCD无法确定【考点】双曲线的简单性质【分析】设M（m，n），即有m2n2=，求出双曲线的渐近线为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得|ON|，化简整理计算即可得到所求值【解答】解：设M（m，n），即有m2n2=，双曲线的渐近线为y=x，可得|MN|=，由勾股定理可得|ON|=，可得|ON|MN|=故选：B12设函数f（x）的定义域为R，f（x）=f（x），f（x）=f（2x），当x0，1时，f（x）=x3则函数g（x）=|cos（x）|f（x）在区间，上的所有零点的和为（）A7B6C3D2【考点】函数零点的判定定理【分析】根据f（x）的对称性和奇偶性可知f（x）在，上共有3条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知y=|cos（x）|也关于x=0，x=1，x=2对称，故而g（x）在，上3条对称轴，根据f（x）和y=|cos（x）|在0，1上的函数图象，判断g（x）在，上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和【解答】解：f（x）=f（2x），f（x）关于x=1对称，f（x）=f（x），f（x）根与x=0对称，f（x）=f（2x）=f（x2），f（x）=f（x+2），f（x）是以2为周期的函数，f（x）在，上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，又y=|cos（x）关于x=0，x=1，x=2对称，x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴作出y=|cos（x）|和y=x3在0，1上的函数图象如图所示：由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点g（x）在，上共有6个零点，设这6个零点从小到大依次为x1，x2，x3，x6，则x1，x2关于x=0对称，x3，x4关于x=1对称，x5，x6关于x=2对称x1+x2=0，x+x4=2，x5+x6=4，x1+x2+x+x4+x5+x6=6故选：B二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13曲线f（x）=+3x在点（1，f（1）处的切线方程为y=x+4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）=+3，则f（1）=2+3=1，即切线斜率k=1，f（1）=2+3=5，切点坐标为（1，5），则切线方程为y5=x1，即y=x+4，故答案为：y=x+414已知平面向量与的夹角为， =（1，），|2|=2则|=2【考点】平面向量数量积的运算【分析】对|2|=2两边平方得出关于|的方程，即可解出【解答】解：|=2， =|cos=|，|2|=2，（）2=，即4|24|+4=12，解得|=2故答案为：215已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为+=1【考点】椭圆的简单性质【分析】设椭圆的方程为+=1（ab0），由题意可得c=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为1，以及中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程【解答】解：设椭圆的方程为+=1（ab0），由题意可得c=1，即a2b2=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），可得=2，且n=，解得m=，n=，即对称点为（，）代入椭圆方程可得+=1，解得a2=，b2=，可得椭圆的方程为+=1故答案为： +=116在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2cosA）tan=sinA，则ABC的面积的最大值为【考点】余弦定理；正弦定理【分析】使用半角公式化简条件式，利用正弦定理得出a，b，c的关系，使用海伦公式和基本不等式得出面积的最大值【解答】解：在ABC中，（2cosA）tan=sinA，（2cosA）=sinA，即2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sinC，2b=a+c=4，b=2a+c=4，a=4cS=（3c）（c1）=1，S故答案为：三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17设Sn是数列an的前n项和，已知a1=3，an+1=2Sn+3（nN）（I）求数列an的通项公式；（）令bn=（2n1）an，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出【解答】解：（I）an+1=2Sn+3，当n2时，an=2Sn1+3，an+1an=2（SnSn1）=2an，化为an+1=3an数列an是等比数列，首项为3，公比为3an=3n（II）bn=（2n1）an=（2n1）3n，数列bn的前n项和Tn=3+332+533+（2n1）3n，3Tn=32+333+（2n3）3n+（2n1）3n+1，2Tn=3+2（32+33+3n）（2n1）3n+1=3（2n1）3n+1=（22n）3n+16，Tn=（n1）3n+1+318班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：学生序号i 1 2 3 4 5 6 7 数学成绩xi 60 6570 7585 8790 物理成绩yi 7077 8085 9086 93（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a= 7683 812526【考点】离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程；离散型随机变量及其分布列【分析】（）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论（）（i）的取值为0，1，2，3，计算出相应的概率，即可得的分布列和数学期望（ii）根据条件求出线性回归方程，进行求解即可【解答】（）解：依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，18名男同学中应抽取的人数为18=3名，故不同的样本的个数为（） （）解：7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，的取值为0，1，2，3P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，的分布列为0123PE=0+1+2+3=（）解：b=0.65，a=830.6575=33.60线性回归方程为=0.65x+33.60当x=96时， =0.6596+33.60=96可预测该同学的物理成绩为96分19如图，在多面体ABCDM中，BCD是等边三角形，CMD是等腰直角三角形，CMD=90，平面CMD平面BCD，AB平面BCD（）求证：CDAM；（）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（I）取CD的中点O，连接OB，OM，则可证OMAB，由CDOM，CDOB得出CD平面ABOM，于是CDAM；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BDM的法向量，则直线AM与平面BDM所成角的正弦值为|cos|【解答】（）证明：取CD的中点O，连接OB，OMBCD是等边三角形，OBCDCMD是等腰直角三角形，CMD=90，OMCD平面CMD平面BCD，平面CMD平面BCD=CD，OM平面CMD，OM平面BCD又AB平面BCD，OMABO，M，A，B四点共面OBOM=O，OB平面OMAB，OM平面OMAB，CD平面OMABAM平面OMAB，CDAM（）作MNAB，垂足为N，则MN=OBBCD是等边三角形，BC=2，CD=2在RtANM中，CMD是等腰直角三角形，CMD=90，AB=AN+NB=AN+OM=2以点O为坐标原点，以OC，BO，OM为坐标轴轴建立空间直角坐标系Oxyz，则M（0，0，1），D（1，0，0），设平面BDM的法向量为=（x，y，z），由n，n，令y=1，得=设直线AM与平面BDM所成角为，则=直线AM与平面BDM所成角的正弦值为20已知点F（1，0），点A是直线l1：x=1上的动点，过A作直线l2，l1l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P（）求点P的轨迹C的方程；（）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，从而点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程（）设P（x0，y0），点M（1，m），点N（1，n），直线PM的方程为（y0m）x（x0+1）y+（y0m）+m（x0+1）=0，PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，圆心（0，0）到直线PM的距离为1，由x01，得（x01）m2+2y0m（x0+1）=0，同理，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出的取值范围【解答】解：（）点F（1，0），点A是直线l1：x=1上的动点，过A作直线l2，l1l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P，点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=1为准线的抛物线，曲线C的方程为y2=4x（）设P（x0，y0），点M（1，m），点N（1，n），直线PM的方程为：ym=（x+1），化简，得（y0m）x（x0+1）y+（y0m）+m（x0+1）=0，PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即=1，=，由题意得x01，上式化简，得（x01）m2+2y0m（x0+1）=0，同理，有，m，n是关于t的方程（x01）t2+2yt（x0+1）=0的两根，m+n=，mn=，|MN|=|mn|=，|y0|=2，|MN|=2，直线PF的斜率，则k=|=，=，函数y=x在（1，+）上单调递增，0的取值范围是（0，）21已知函数f（x）=exax（xR）（） 当a=1时，求函数f（x）的最小值；（） 若x0时，f（x）+ln（x+1）1，求实数a的取值范围；（）求证：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（）得到ex+ax+ln（x+1）10（*）令g（x）=ex+ax+ln（x+1）1，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；（）令a=2，得到，从而证出结论【解答】解：（）当a=1时，f（x）=ex+x，则1分令f（x）=0，得x=0当x0时，f（x）0； 当x0时，f（x）02分函数f（x）在区间（，0）上单调递减，在区间（0，+）上单调递增当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）=13分（）若x0时，f（x）+ln（x+1）1，即ex+ax+ln（x+1）10（*）令g（x）=ex+ax+ln（x+1）1，则若a2，由（）知ex+x1，即ex1x，故ex1+x4分函数g（x）在区间0，+）上单调递增g（x）g（0）=0（*）式成立5分若a2，令，则函数（x）在区间0，+）上单调递增由于（0）=2+a0，6分故x0（0，a），使得（x0）=07分则当0xx0时，（x）（x0）=0，即g（x）0函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减g（x0）g（0）=0，即（*）式不恒成立8分综上所述，实数a的取值范围是2，+）9分（）证明：由（）知，当a=2时，g（x）=ex2x+ln（x+1）1在0，+）上单调递增则，即10分11分，即12分四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CFAE，垂足为点F（）证明：CF是圆O的切线；（）若BC=4，AE=9，求CF的长【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明【分析】（）连接OC，AC，证明：AEOC，利用CFAE，可得CFOC，即可证明CF是圆O的切线；（）由割线定理：ECEB=EDEA，且AE=9，得，利用勾股定理求CF的长【解答】（）证明：连接OC，AC，BC=CD，CAB=CAD1分AB是圆O的直径，OC=OACAB=ACO2分CAD=ACOAEOC3分CFAE，CFOC4分CF是圆O的切线5分（）解：AB是圆O的直径，ACB=90，即ACBECAB=CAD，点C为BE的中点BC=CE=CD=46分由割线定理：ECEB=EDEA，且AE=97分得8分在CDE中，CD=CE，CFDE，则F为DE的中点9分在RtCFD中，10分