（岩土工程专业论文）高层建筑片筏及桩筏基础与层状地基相互作用分析.pdf

摘要 y3 9 8 5 g 本文首先总结了国内外壹星蕉篓上部结构一基础一地基相互作用的研 究成果，分析了片筏和壁笙基碴的般受力特点和计算方法；同时，讨论了 考蠢王葡塑塑! 兰堂! 塑董塑戛3 拥的意义、分析方法和子结构法。芦前人 工作的基础上本文进一步作了以下工作：( 1 ) 把多层弹性半空间理论应用于 片筏和桩筏基础的共同作用分析中，使得层状地基上片筏和桩筏基础的计算 更为合理。( 2 ) 为更好的反映地基土的实际变形扩散特性，本文引用了修正 系数b 的概念，从而把多层弹性半空间地基模型和文克尔地基模型统一起 来，并提出了一种可供工程实用的p 的确定方法。( 3 ) 根据高层建筑片筏和桩 筏基础的筏板厚度通常较大的实际情况，本文在筏板的有限元分析中采用了 中厚板理论和与之相适应的八节点等参单元，并可用来分析不等厚的筏板和 异形筏板。( 4 ) 在桩土共同作用分析中，本文发展了计算单桩沉降的剪切位 移法，在得到单桩位移柔度系数的基础上，进一步得到了桩一桩相互作用位 移柔度系数和桩土相互作用位移柔度系数，从而得到了桩一土体系的刚度 矩阵，使之可用于进行层状地基中群桩与土的共同作用分析。( 5 ) 本文采用 了f o r t r a np o w e r s t a t i o n 开发工具编制了套用于片筏和桩筏基础共同作用 分析的计算程序，经过与其他计算方法和实际观测资料的比较，证明本文分 、 析方法和编制程序是可靠的。广一矿一 关键词：共同作用分析多层弹性半无限体剪切位移法 良帚 a b s t r a c t f i r s to fa l l ，d o m e s t i c a n da b r o a dr e s e a r c ha b o u t s u p e r s t r u c t f o u n d a t i o n s o i li n t e r a c t i o ni si n t r o d u c e di nt h i sp a p e r t h eg e n e r a l b e a r i n gc h a r a c t e r sa n dc a l c u l a t i n gm e t h o d so fm a to rp i l e m a tf o u n d a t i o n a r e t h e n e x p l a i n e d m o r e o v e r ，t h e i n t e r a c t i o n s e n s e ，a n a l y s i sp a t t e r n a n d s u b - s t r u c t u r em e t h o da r ed i s c u s s e d b a s e do nt h ec u r r e n tr e s e a r c h ，f u r t h e r d e v e l o p m e n th a sw o r k e da sf o l l o w s ( 1 ) t h et h e o r yb fm u t i l a y e r e de l a s t i ch a l f s p a c ei sa p p l i e dt ot h ei n t e r a c t i o na n a l y s i so fm a ta n dp i l e m a tf o u n d a t i o no t t a l l b u i l d i n gf i r s t l y i nt h i s p a p e r ，w h i c hp r o v i d e ar e a s o n a b l em e t h o df o r i n t e r a c t i o na n a l y s i so ff o u n d a t i o no nl a y e rs o i l ( 2 ) i no r d e rt or e f l e c tt h e c h a r a c t e ro fd e f o r m a t i o no fs o i l p r e c i s e l y ，t h e m o d u l a t i n gc o e f f i c i e n t b i s i n t r o d u c e di nt h i s p a p e r ，s ot h em u t i l a y e r e de l a s t i c h a l fs p a c em o d e la n d w i n k l e rm o d e la r eu n i t e d ，t h e nam e t h o dt og a i n b w h i c hc a nh ea p p l i e di n p r a c t i c a ls i t u a t i o ni si l l u m i n a t e d ( 3 ) a c c o r d i n gt ot h ep r a c t i c a ls i t u a t i o n h a t t h e p l a t e s o fm a to r p i l e m a t f o u n d a t i o na r et h i c k e ra n dt h i c k e r ，t h e t h i c k p l a t et h e o r ya n df i t f u le i g h tj o i n te l e m e n ta r eu s e di nt h i sp a p e r b yt h e s e m e a n s ，t h eu n r e g u l a rp l a t e sa n dp l a t e so fw h i c ht h i d k n e s si sn o ts a m ec a nb e c a l c u l a t e d ( 4 ) i n t h ei n t e r a c t i o n a n a l y s i s o f p i l e - m a tf o u n d a t i o n ，t h e s h e a r d e f o r m a t i o n e dm e t h o dw h i c ho n l yd e a lw i t ha s i n g l ep i l ei nh o m o g e n e o u s b o d yp r e v i o u s l yh a sb e e nd e v e l o p e ds ot h a tt h ei n t e r a c t i o na n a l y s i so fp i l e s w i t h l a y e r s o i lh a sb e e n c o m p l e t e ds u c c e s s f u l l y b a s e d o n t h ef l e x i b l e c o e f f i c i e n to ft h es i n g l ep i l e ，t h a tc o e f f i c i e n to fp i l e p i l e ，p i l e s o i lo rs o i l - p i l e h a sb e e nd e d u c e d ，t h e nr i g i dm a t r i xo fs y s t e mo fp i l e s a n dl a y e rs o i lc a nb e g a i n e d ( 5 ) o nt h eb a s i so f t h e o r e t i c a la n a l y s i s ，t h ep r o g r a m f o rt h ei n t e r a c t i o “ a n a l y s i so fm a ta n dp i l e - m a tf o u n d a t i o no nl a y e rs o i l h a sb e e nd e v e l o p e d n o t o n l yc o m p a r e dw i t h o t h e rm e t h o d s ，b u ta l s o w i t hs e t t l e m e n t d a t ag o tf o r m p r a c t i c e ，t h e m e t h o do ft h i sp a p e ra n dt h ep r o g r a md e v e l o p e di n t h i sp a p e ra r e p r o v e dr e l i a b l e q _ k e y w o r d s ：i n t e r a c t i 。n a n a l y s i s ， m u t i l a y e r d e e l a s t i ch a l fs p a c e ， s h e a r - d e f o r m a t i o nm e t h o d 第l 章绪论 1 1高层建筑基础工程概述 我国的高层建筑从十九世纪末开始兴建，其数量不多，层数也只有二十几层，例 如上海的国际饭店、锦江饭店和和平饭店等。它们大都采用桩一筏基础。从五十年代 起，我国开始自行设计和建造高层建筑，例如北京的民族饭店和民航大楼等。六十年 代已有较多的高层建筑建成，其中最高的是广卅f 宾馆，它们大都采用箱形基础。 七十年代后期，随着我国转向以经济建设为中心，城市建设迅猛发展，高层建筑 大量兴建。由于我国地域辽阔，各地的地质条件差别较大，因而各地高层建筑的基础 形式多种多样。建造在较好地基上采用箱形基础的高层建筑已达6 2 层，总高度为1 9 7 米( 广东国际大厦) ，建造在软土地基上的箱形基础高层建筑也己达1 4 层，总高度4 2 米( 上海陆家嘴高层住宅) 。随着桩基工程技术的发展，采用桩筏和桩箱基础的高层建 筑数量日益增多，桩的形式多种多样，例如适合于基岩浅埋地区高层建筑的大直径嵌 岩桩；在深厚软土地区，采用超长桩将荷载传到深埋沙层等。桩基础对于高层建筑的 各种结构形式以及各种地质条件的广泛适用性，使其成为高层建筑的主要基础形式。 高层建筑的大量兴建也向岩土工程界提出了不少新的研究课题。为解决这些问题， 在建研院的参与和领导下，在北京、上海和西安等地，先后对高层建筑箱形基础的地 基反力、沉降和钢筋应力进行了工程实测和研究，取得了重大进展。同济大学与有关 单位完成的“上海高层建筑厚筏与桩筏基础设计理论”的课题，提出了有关桩筏和桩 箱基础设计的重要建议。在高层建筑学术会议和土力学与基础工程的学术会议上，有 关高层建筑基础工程的设计与施工问题的理论、试验研究、现场实测及新技术的报告 层出不穷。这些研究成果以陆续反映到建筑地基基础设计规范( g b j 7 8 9 ) 和各 地区的地基基础设计规程当中。 我国在高层建筑设计与臆工方面已初步形成一整套的理论和经验，解决了在各种 地质条件下高层建筑工程的设计与施工问题。同时由于问题本身的复杂性，高层建筑 地基和基础在勘察、设计与施工等许多方面还存在不少上未解决的问题，有待于进一 步研究。 1 2 高层建筑基础分析与设计方法的发展 高层建筑基础的分析和设计方法大致经历了三个发展阶段：不考虑共同作用的阶 段；仅考虑地基与基础共同作用的阶段；全面考虑上部结构、基础和地基共同作用的 阶段。 第一阶段主要是采用结构力学的方法，将整个静力平衡体系分割成三部分，各自 独立求解。以图l l 所示的高层框架结构为例，首先沿框架柱角切断，将上部结构视 为柱底固定的独立结构，用结构力学的方法求出外荷载作用下的柱底反力和结构反力， 如图l l ( b ) 所示，然后将求出的桩底固端力反向作用于基础梁，并假定梁底的地 基反力为直线分布，仍按结构力学的方法求出基础梁的内力，如图1 1 ( c ) 所示。 最后按总荷载求出基底平均反力p ，按柔性荷载计算地基的变形，见图l l ( d ) 。显 然，这样计算的结果与实际工作状况在许多情况下是不相符的，它只满足了总荷载与 总反力的静力平衡条件，却完全未能考虑上部结构与基础之间的连接点以及基础与土 介质之间的接触点上位移连续条件，因而各支座反力的分布与实际情况不符，从而导 致结构的内力与变形和基础的内力与变形与实际情况有一定的偏离。 j ( q ) ( c i ) i ( b ) ( d ) 图1 一l 高层结构系统不考虑共同作用分析方法的示意图 ( a ) 高层框架结构系统简图( b ) 上部结构 ( c ) 基础结构( d ) 地基计算 上述完全不考虑共同作用的分析方法弊端是显然的，但在计算手段不先进的时期 内要完全克服这些弊端是不可能的。于是先不考虑上部结构，按上述方法( 图l l ( b ) ) 求出的柱底固端力作为作用于基础上的外荷载，在基础底面与地基土之间位移连续与 协调的原则下，进行两者的共同作用分析。由此发展起来的是弹性或塑性地基上粱和 板的理论，其工程对象如图1 2 ( a ) ，( b ) 所示，后来进。步发展为筏基和箱基的分析和 计算理论如图l 一2 ( c ) 、( d ) 。随着高层建筑的发展，基础也变得更加复杂多样，出现 了桩一筏和桩一箱等复杂基础形式。因此，即使没有考虑上部结构参与工作，分析工 作也已相当冗繁，手算只能作简化计算。 2 d目f db ll j = 丁= = 一 h = ：r l 斗_ r 1 ：= h - t 二兰兰二t 二! 三一 图i - - 2弹性地基上的梁、板及其对应的工程对象 ( a ) 条形基础( b ) 独立基础( c ) 筏基( d ) 箱基 第三阶段的分析方法是从八十年代开始，伴随着有限元方法的进展和计算手段的 极大改善而逐步发展起来的。其主要特点是统一考虑上部结构、基础和地基三者之间 的共同作用，以离散形式的特征函数一地基刚度矩阵表征地基土支撑体系的刚度贡献； 运用空间子结构法j ，将上部结构的刚度矩阵与荷载逐层向下凝聚到基础子结构的上 部边界，形成全部上部结构的等效边界刚度矩阵和等效边界荷载向量，再将它们叠加 到基础子结构上去。并根据基础与地基接触点的静力平衡和位移协调条件得到三者共 同作用的基本方程”】。 冀尊竞鼹 薹篆三点t ：n 美 ( n ) 计算摘图 ( b ) 基础集弯矩 图l 一3三种方法计算结果的比较 为说明上述三种方法的区莉，考察一简单例子f 6 】，如图i - - 3 ( a ) 所示，采用一单 3 蓁 层框架，用常规法、倒梁法和共同作用方法分别计算，鲔果见图l 一3 ( b ) ( c ) 。可以 看到采用不同的计算方法得到的结果差别很大。 1 3 高层建筑片筏基础和桩筏基础问题简述 1 3 1 高层建筑片筏基础问题简述 片筏基础通常就是一块支撑许多柱子或整个结构的大的钢筋混凝土板。 在大多数情况下，片筏基础是 在地基承载力较低时采用。因为把 所有的单独基础连成一块整体板， 不仅能使地基土的单位面积压力减 小，而且能使地基土的承载力增大。 这样，采用片筏基础就具有双重优 点：地基的承载力随着基础的埋深 和宽度的增加而增大：基础的沉降 则随着基础埋深的增加而减小。 当沉积土含有软或硬的包裹体 及透镜体时，当岩层具有坚硬的石 芽或软层时，或者当石灰岩中有不 规则的溶洞及溶槽时，要摸清每个 包裹体或溶洞的范围，常常是不可 能的。在这种情况下，采用片筏基 础可以调整不均匀沉降或者跨过溶 洞。 即使地基土比较均匀，片筏基 础也经常用来支撑对于不均匀沉降 ( )( f ) 图1 - - 4 片筏基础的一般形式 ( a ) 平板，( b ) 柱下加厚的平板，( c ) 双向粱板结构，( d ) 带有 墩基的平板，( e ) 格型结构，( f ) 地下室墙作为刚架 敏感的结构和设备。位于地下水位以下的地下室或基坑也应采甩片筏基础作为底板， 以满足防水构造要求。真正的片筏基础是一块等厚度的钢筋混凝土平板( 图1 4 a ) ， 这种形式在小的或中等的荷载下及柱的间距较小且为等距的情况下最为适宜。在较大 的柱荷载作用下，可以加大柱下的板厚，使其能承受较大的剪力和负弯矩( 图l 一4 b ) ： 也可利用墩基( 图l 一4 d ) 。如果由于柱距太大及柱荷载不同将产生较大的弯曲应力， 则可沿柱轴线采用增厚的肋带( 图1 4 c ) 。如图1 4 e ，f 所示的由格型结构所组成的 箱式结构，或者由板与地下室培所组成的刚架，能承受更大的弯曲应力。 片筏基础必须具有足够的刚度，一般通过抗剪条件确定筏板的厚度。片筏内配有 底部和顶部两个方向的连续钢筋，在本身及地基强度得以保证的前提下，它的承载力 d 墨蔷昌罱毒星 还决定于整个片筏的沉降是否能满足允许值的要求。 片筏基础的沉降可分为：1 固结沉降( 包括次固结沉降) ；2 瞬时或者是弹性沉降 实际产生的沉降均是由两者联合作用产生为提高片筏的承载力、减少沉降，通常可 以通过以下途径来控制：1 降低土的接触压力：2 替换土体( 补偿作用) ，从理论上讲， 如果排土的重量等于结构物和片筏的总重量，则整个系统将浮在土体上而没有沉降； 3 增加片筏基础的刚度以及考虑上部结构对片筏的刚度贡献，将产生一种跨越效应， 能够提高抵抗不均匀沉降的能力。 片筏的沉降超过一定范围，如果是均匀的，则不一定很严重，它仅仅是沉降较大： 但如果沉降不均匀，那就要慎重对待，要防止深层土的剪切破坏，避免出现加拿大 t r a n s c o n l t 谷仓那样的事故发生。 片筏基础的内力分析和计算是一个复杂的问题。一方面由于片筏本身的多次超静 定以及边界条件的复杂多样，另一方面由于与之相作用的地基情况的变化，相应的计 算模型也就不同，总之，应综合考虑上部结构的刚度、荷载的大小和位置、基础本身 的刚度和地基土层的计算参数等因素的影响，这都将使问题的分析趋于精确和复杂。 现在在工程设计中对于片筏基础沉降和内力的计算大多数情况下并没有考虑上部 结构、基础和地基三者之间的共同作用，因此得到的基础沉降和内力与实际情况有较 大出入，要进一步提高基础设计的水平就必须考虑三者之间的共同作用。 1 3 2高层建筑桩筏基础问题简述 高层建筑片筏也可以支撑在基桩上，由桩和片筏共同承受上部结构传来的荷载， 这样就形成了桩筏基础。桩因其自身的特点，有承载潜力大和抵御复杂荷载的特性， 从古至今，它的运用就十分广泛。近几年来，随着我国高层建筑广泛兴建，桩筏基础 更因其适应性强、承载力高而倍受欢迎。 桩筏的联合作用首先应该保证它们两者之间连接的可靠性，除了桩头的嵌固及桩 身钢筋锚固到片筏内足够长度外，片筏的厚度还应该以桩的冲切力来确定。 桩筏的承载能力实质是桩、筏和土体共同作用的问题，涉及到各种介质及其界面 变形( 包括弹塑性、固结、蠕变和摩擦滑动变形) 间反复协调过程。在荷载作用的初 期，可能主要由片筏来承担荷载，随着荷载的增加，荷载较多地传给具有较大刚度的 桩，而桩间土和片筏的作用减少。如果桩端土很硬，而桩问土较软，则桩间土在片筏 底面压力和群桩叠加应力作用下产生的固结压缩量很可能超过桩端的刺入量，这时筏 底面将脱空，荷载全部卸给桩。对于端承桩，由于桩端不可能发生刺入变形，这种荷 载转移很可能在主体结构封顶之前就已经完成。者桩端土不是很硬，或桩的荷载较大， 桩端产生较大的变形，这势必又会使土对片筏的压力增大，同时迫使土体的进一步压 缩，伴随着变形协调，片筏的荷载传给桩，桩的荷载又传给片筏，经历着这样一个反 复循环、协调的过程，同时也就是土体压密和强度增长的过程。总之，桩、片筏与土 体之间的变形协调，使桩端和片筏底产生了不同的应力这就组成了桩筏基础的承载力。 而现在桩基础常用的设计方法是，建筑物荷载全部由桩支撑，在规范提供的经验 公式或桩的静载试验的基础上定出单桩承载力，算出桩数。桩位布置时兼顾建筑物荷 载分布的不均匀性，作适当调整，以便使每根桩的承载力得到充分的发挥。桩基础的 沉降量按“等代基础法”计算，即把桩与桩问土看成是一个整体基础。对于受荷的长 桩基础，由于大部分荷载由桩侧摩阻力承受，而在桩尖处，实际发挥压力不大，这就 与“等代基础法”认为全部荷载传到桩尖处的观点不尽相同，以至于实测沉降量小于 计算值。此外，在传统桩基础的计算中不考虑桩和筏板的荷载分担作用，但国内外大 量实测结果表明，筏基与桩基共同分担建筑物总荷载是一个客观事实，文献【2 0 】列举 了国内外几幢高层建筑桩筏分担比例的实测结果，见表l l ；湖南省土木建筑学会结 构专业学术委员会推荐的比例9 ”，见表1 2 。 表l l国内外几幢高层建筑桩筏和桩箱基础实测结果 桩长实渊沉降 上部结构基础形式基础尺寸( m )桩数荷筑分担比( ) 序( m )( c m ) 号总压力基础埋深桩径 桩距 计算沉降 层数筏、辅 桩 ( k p a )( m )( c m )( m )( c m ) 框剪桩箱1 27 2 47 2 803 4 42 5 12 08 0 2 23 1 05 0 中5 5 0 1 7 2 0 i ) 的 平衡方程表示为： 矧腻h p 。i i ) 。+ 忒s b o - m u ( 2 - - 1 1 ) 一1 4 - k m r 式中：k b ( i f l ) 为在i 1 个子结构底部边界节点上的凝聚等效边界刚度矩阵； s - 0 - d 为 相应的等效边界荷载列向量： r 。) 为在i 个子结构时边界节点的反力列向量，当i 2 n 时的r 。“即为基底的反力列向量。整个m 个子结构的平衡方程为 【k 。】扣。” ；。“ 一长。1 ( 2 1 2 ) 上式可简写为 【k 。聃。 = s 。) 一 r ( 2 一1 3 式中 k 。 、岱。卜一整个结构( 包括基础) 对基底接触面边界节点的等效刚度矩阵和 等效荷载列向量； 仙。卜一相应的边界节点位移列向量； r 卜基底反力列向量。 ( 2 1 3 ) 式中，边界节点位移列向量t u 。 和基底反力列向量恤 均是未知数， 因此此时( 2 1 3 ) 式仍没办法求解。但我们从图2 7 可以看到：基础的边界位移列 向量 u 。 应该和地基的变形 相等。对于确定的地基模型，地基的变形零 和地基反 力 r 可以建立确定的关系。利用接触面的变形协调条件一 u = 岱 ，这样( 2 - - 1 3 ) 式就只有一个未知数了，可以求解。 ( r k 。( 5 。) 川l i l l i 场彩彩纺彩物彩彩溯 彬划 ( u 。) 勉锄，。一。，彩豹 u a ) = f s 变形协调条件 图2 7地基与基础变形协调条件示意图 ( r ) 按上述理论，文献【2 0 】给出了一个多功能的高斯消元法程序，利用此程序可方便 的实现刚度和荷载的凝聚。 芏 第3 章多层弹性半空间模型及其参数确定 3 1地基模型概述 地基模型表示了土体在受力状态下土体内的应力一应变关系。广义地说，它反映 了应力、应变、应变率、应力水平、应力历史、应力路径、加载率、时间及温度等等 之间的函数关系。 与其他材料不同，土介质的实际应力一应变关系性状十分复杂，并且随着加载条 件的不同其性状有很大变化。为实际应用目的而建立起来的各种土的本构模型都作了 许多简化和假设。在实际工程应用中并不存在一种能描述实际土介质在所有条件下复 杂性状的本构关系模型。每种土的本构模型都只反映了土的某一类现象，描述在某种 条件下士介质的基本特性并忽略了在此种条件下其他不太重要的特性。所以，每类土 的本构模型都有它的应用范围和局限性。一旦超出了这个范围，原先可以忽略的那些 效应就会变得十分重要，如在土坡的极限平衡分析中可以把土体假设成理想的弹塑性 体，但如果在共同作用分析中把土体假设成理想的弹塑性体就会带来不能忽略的误差 甚至是错误的结果。 合理选择地基模型是共同作用分析中非常重要的岩土工程问题，它不仅直接影响 地基反力的分布和基础的沉降，而且影响基础和上部结构的内力和变形分布。在共同 作用的研究中，对工程分析而言荷载作用下土介质表面所产生的位移比土介质内部的 应力状况更为重要。因此，文克尔地基模型和双参数地基模型等一类简化模型被引入 了共同作用的分析中口”，但这两种模型所要确定的参数并不能直接通过土工试验得 到，而要经过一定的经验换算，并且这种过于简单的模型不能准确反映土的受力特性。 许多学者在b o u s s i n e q 解的基础上，采用弹性半空间模型进行共同作用分析，曾取得 了很多成果。 目前在土的本构关系方面的研究进展十分迅速，出现了一系列新的土的本构关系 模型口”，但能被工程技术人员所接受并在实际工程中运用的模型并不多见。其重要的 原因是模型参数的确定过于复杂或通常的试验室条件下不可能得到所需的参数，以邓 肯一张模型为例，其所需确定的参数多达8 个。所以在共同作用分析和研究中现在常 用的模型仍是w i n k l e r 地基模型、弹性半空间模型和有限压缩层模型。下面将对这几 种模型进行简单的阐述。 3 1 1w i n k l e r 地基模型 w i n k l e r 地基模型是一种简单的线弹性地基模型，它假定地基士界面上任意一点处 1 6 的沉降w ( x ，y ) 与该点所承受的压力强度p ( x ，y ) 成正比 特征函数为最简单的线性显式： p ( x ，y ) = k w ( x ，y ) 而与其它点上的压力无关，其 ( 3 1 ) 式中k 一基床系数( k n m 或n c m ) a w i n k l e r 地基模型的特征是把土体视为一系列侧面无摩擦的土柱或彼此独立的竖 向弹簧，在荷载作用区域下立刻产生与压力成正比的沉降，而在此区域以外沉降为零， 见图3 一l 。基底反力分布图形与位移分布图形相似，相似系数就是基床系数k 。对于 力学性质与液体相近的地基，如抗剪强度极低的半流态淤泥土或地基塑性区开展较大 时，就比较符合w i n k l e r 假定。另外，厚度不超过基底短边之半的薄压缩层地基，因 压力面积较大，剪应力较小，也与w i n k l e r 模型接近。 田矽励 ( b ) 图3 一lw i n k l e r 地基模型示意图 ( a ) w i m k l e r 地基上的梁；( b ) 柔性基础：( c ) 1 日r j 性基础 3 1 2 弹性半空间模型 b o u s s i n e s q 于1 8 8 5 年首先给出了在均匀各向同性弹性半空间表面上作用一竖向集 中力时，半空间内任意一点处的应力和位移的弹性力学解答。例如集中力p 作用于坐 标原点，则表面任意点处的竖向位移可以表示为： w ( x ，y ) - 等南 ( 3 _ 2 ) 式中v 一弹性体的泊松比； e 一弹性体的弹性模量。 当竖向分布荷载p ( x ，y ) 作用于表面某区域s 时，如图3 2 ，任意一点处的表面沉 降可表示为 w 加罾巧意器( 3 - - 3 ) 】7 其他学者如c e r r u t i 曾得到水平作用力 作用于弹性半空间表面时，表面任意一点处 水平与竖向位移的解答；m i n d l i n 曾给出竖向 集中力和水平集中力作用于半空间内，任意 点处的位移和应力解答；对于不均匀各向同 性弹性半空间g i b s o n 提出了一种有代表性 的非均质弹性半平面和半空间模型。 3 1 一有喜翟黧善裂羹燃嚣分层总和法为 3 - - 2 局部荷载作用下的表面位移有限压缩层地基模型是以分层总和法为 基础进行沉降计算的一种模型。该模型能较好的反映地基土的应力和应变扩散能力， 较易考虑土层沿深度和平面上的变化以及非均质性，其参数的计算可由常规压缩试验 直接获得，其计算结果较符合实际，应用广泛。 y p = 1 f j 图3 3有限压缩层模型 有限压缩层地基模型( 见图3 3 ) 得到地基柔度矩阵可表示为： 气= 砉芒曲n c ，刊 式中i i - - 基底压缩层内土层的分层数： h 。- - i 网格中点下第t 层土的厚度； e 。一i 网格中点下第t 层土的压缩模量： o 。- - j 网格中点处的单位集中附加压力t l j 用下对i 网格中点下第t 土层所产生 的平均附加应力。 z r， 近年来随着力学的飞速发展，多层弹性半空间理论进一步完善，本文将在此理论的 基础上，利用多层弹性半空间来模拟层状地基进行片筏基础和桩筏基础的共同作用研 究。下面几节将阐述多层弹性半空间模型，引入修正系数b 的概念，并提供一种确定 该系数的工程实用计算方法。 3 2地基的柔度矩阵和刚度矩阵 在介绍多层弹性半空间模型前，为了叙 述方便首先介绍用于土与结构物麸同作用分 析的地基柔度矩阵和刚度矩阵的概念。今把 整个地基上荷载面积划分为1 1 1 个矩形网格 ( 图3 4 ) ，任意网格j 的面积为r ，分割 时注意不要使各网格的面积f 相差太大。在 任意网格j 的中点作用着集中荷载r j ，整个荷 载面积反力向量记作 r ) ： ( r ) n r i ，r2 ，r i f ，r 。) 1 各网格中点的竖向位移s i 记作位移向量 s ： s ) 一 s i ，s 2 ，s i ，一，s 。) 1 反力向量 r ) 和位移向量 s ) 的关系如下： s ) t f 】 r ) 或写成 【k 。】( s ) i 一 r ) 上两式中 田一地基柔度矩阵； 【k i 】= 【f r l 一地基刚度矩阵。 ( 3 5 ) 式和( 3 6 ) 式可详细写成： s l s 2 j s j ： s 。 f l tf i ： f l ， 毛如气 f j if j ：毛 ，f m ： f l 。 。 ； o j f m m 1 9 r l r 2 ： r j ： r m 戮 l n b ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 5 ) k l lk 1 2 k 2 l k 2 2 k j l k j 2 k 。lk 。2 k l j k i m k 2 j k 2 。 k m k 皿 s i s 2 ： s j ： r l r 2 ： t r j k 。k mi 【s 。l 【r 。 式中，柔度矩阵的柔度系数毛是指在网格j 处作用单位集中力而在网格i 的中点引起 的变形；当i - j 时，为矩形网格的均布荷载在本身网格中点产生的变形。 如采用上节所述的不同地基模型或地基节点分布位置的不同，则柔度系数如的计 算方法和结果也不同，因此地基的柔度矩阵田和剐度矩阵【蚓反映了不同地基模型在外 力作用下界面的位移特征。 得到地基刚度矩阵即得到地基反力列向量 r ) 与地基表面位移列向量 s 之问的关 系。根据基础与地基接触面的变形协调条件，把( 3 6 ) 式代入( 2 一1 3 ) 式就可以得到地 基基础共同作用分析的基本方程。按常规相互作用分析方法即可进行共同作用分析。 3 3考虑地基实际扩散能力的多层弹性半空间模型 3 3 1多层弹性体理论 多层弹性体的求解由于其理论上的困难性及工程中的实用性，历来是力学界和土 木工程界关心的问题。美国的b u r m i s t e r 最早用积分变换求解双层弹性体。后来许多 学者对此课题进行了研究，先后得到了双层和三层半无限体的解答。但对于层数大于 3 的多层弹性体的计算直未能解决。这是由于层数增多时，由定解条件得到的线性 方程组的方程个数也将增多，所以运用代数运算的方法求解这些方程组得到各层弹性 体积分常数的文字表达式将十分困难。直到1 9 8 2 年，文献 2 3 1 提出递推一回代法，得 到了任意1 层连续弹性体的解答，并首次在我国编制了相应的程序。1 9 9 2 年钟阳等人 应用矩阵传递法也得到了多层弹性半空间问题的解答口“。至此，多层弹性体系的计算 已具一定的水平，尚嫌不足的是无论在文献【2 3 】还是在文献 2 4 仲都没有涉及荷载作用 于多层体系内部的情况。本文将在钟阳等人矩阵传递法的基础上进一步完善，阐述当 荷载作用于多层弹性体系内部时的解答。 当不计体力时，如图3 5 所示的空间轴对称问题的平衡方程为 翌+ 堕+ ! l 二亟。0 ( 3 - - 7 ) d rd zr 孕+ 睾+ 鱼。0 ( 3 - - 8 ) 2 0 应力与位移之间的关系为 a ，艰+ 2 g ) 等+ 睾u + 九警( 3 9 ) 咿x 署m + 2 g ) 詈+ 九等( 3 一l o ) y 咿九鲁+ 九旦rm + 2 g ) 警( 3 刈) k i g ( 罢+ 等) ( 3 - - 1 2 ) 式中九t 志： ，、e u 2 丽。 海三 唾 图3 5 空间轴对称问题的单元体 上式中四个压力分量是两个位移分量的函数，设法消去两个位移分量 见消去a ，和q ，将( 3 - - 9 ) 式和( 3 - - 1 0 ) 式代入( 3 - - 7 ) 式得 鲁+ 扒+ 2 回矿02 u + 睾等一u + 九丽0 2 w + 堑rf 塑o r 一一。 再把( 3 - - 1 1 ) 式对r 求偏导得 鲁一九字+ 争等一u m + 2 g ) 丽0 2 w 联立( 3 1 3 ) 式和( 3 - - 1 4 ) 式消去差署，可得 鲁- 一占c 等+ 鲁一u 一尚鲁i 一二了矿+ i 面一7 胂一而百 将( 3 - - 8 ) 式、( 3 一1 1 ) 式、( 3 一】2 ) 式和( 3 1 3 ) 式写成镇阵的形式 。 面1 a ；f 。 h a o r 0 0 0 o 掣 ! ! ! 螋! ! 二型0 e ( 1 一“) o 一( 芸+ ；) 二生立0 1 一l lo r 为求解( 3 1 6 ) 式对坐标r 进行汉克尔变换，令 2 1 为方便起 ( 3 一1 3 ) ( 3 一1 4 ) 。，叫， l引oz l刁， 十 。皤 上卜 一 量r a 一打 0 + 矿专 u ( l z ) 。f u ( r ，z ) r j ( 昏) d r 。工 ，- ( 事) d r 0 ( 已z ) t j ? w ( r ，z ) r j 。( 事) d r 占z ( ，z ) = f 呸( r ，z ) r j 。( 勘出 ( 已z ) ：f k ( r ，z ) r j ( 事) d r t 。( 已z ) 2 t a ( r ，z ) r j ( 事) d r 它们的反演公式为 u ( r ，z ) 一f ：( 毫z ) v ( 争) 悲 w ( r ，z ) 。f 品( 岛z ) p 。( 争) d l a ：( r ，z ) - f 童( 已z ) p 。( 争) 畴 k ( r ，z ) 一f ( 已z ) p ( 锄d g 对( 3 1 6 ) 式进行汉克尔变换可得 。毫。 掣 而- v t g 0 紫。 00 0 一e 导。击鼍 。 令状态向量i ( 已z ) 。卜；点 掣：a 【勘主( 已z ) n z 式中a ( 勘一 o 则( 3 一1 9 ) 式可写成 g o 掣 。帮。 00 一鼍 。 击毫 。 文献1 2 4 1 给出了( 3 2 0 ) 式的解答为 2 2 ( 3 一1 7 ) ( 3 一1 8 ) ( 3 1 9 ) 卫。堕叫 矗( 已z ) 1 品( 萼，z ) l 。 遗( 薯z ) f e ( 驯j g l ig j 2g 1 3g g 2 l g 2 2 g 2 3g ：4 g 3 lg ，2g ”g 劓 g 4 l g j 2g 3g “ ( 3 2 1 ) 式中传递矩阵各元素的表达式可见附录。 对于图3 6 所示的多层弹性体系，其边界条件为：表面处( 即z = 0 ) o z 和t 。是 以知的：在底面处( 即：一0 0 处或者当z 为定值h ) u = w = o ：而层间完全接触条件为 u ( r ，h i ) 一u ( r ，h ) w ( r ，h i ) 1 w ( r ，h j ) ( 3 2 2 ) d ：( r ，h i ) 一o ：( r ，h ? ) t 。( r ，h i - ) = t 。( r , h i * ) 式中，u ( r ，h i + ) 表示在h i 处第i 层的水平位移，u ( r , h l 一) 表示在第h 。处第i l 层的水平位 移，其余变量的意义依次类推。 状态相量间的传递关系对于任意层都是成立的。对于图3 6 所示的多层体系，接 触条件逐层传递就可得到整个多层体系的传递关系为 x ( 毫z ) = 兀g ( e i ，“h ，d x ( 薯o ) ( 3 - - 2 3 ) 式中g 。一第i 层的传递矩阵。 h y e u n 1 e 。u 。h 2 r r n面1 b u n 。 o h e u n 1 e u “1 1 。 r 图3 6 表面受荷载作用的多层弹性体图3 7 内部受荷载作用的多层弹性体 在以上推导的基础上进一步推导出在内部荷载作用下多层弹性半空间的解答。如 图3 7 所示的多层弹性体系，在第m 层交界面处受荷载q 作用。其边界条件为：表 面处( 即z _ o ) o z = k = o ；在底面处( 即z _ 处或者当z 为定值h ) u = w = 0 ：第m 层间完全接触条件为 2 3 u ( r ，h ；) = u ( r ，h ：) w ( r ，h ：) 一w ( r ，h ：) o ：( r ，h t ) 一o ：( r h ：) + q t 。( r ，h 二) = t 。( r ，h 二) 其他各层的接触条件见( 3 2 2 ) 式。 按照接触条件逐层传递的关系，对于图3 7 所示的问题在第m 层交界面前，其 传递关系为 一g；g“gtgt懂 在第1 1 1 层交界面上有 式中q 一荷载q 的汉克尔变换表达式。 对于第m 层以后各层交界面其传递关系为 x g k lx g m + l 将( 3 2 4 ) 式和( 3 2 5 ) 式代入( 3 2 6 ) 式得 一g kx g k 1x - x gg k g k jx x g m “ 令m g * g kx g x gj ：k a g k g g ，+ l 则上式可变为 2 4 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 叱wb一t k。k + + + k g 、。j 一吣呱一、 一一k 虬吼一k _ u k w k v o k t k = m g u o w 0 一 o 0 t o k g 将边界条件i ：0 、亡：0 、t o 和w 。；o 代入( 3 - - 2 7 ) 式，解得 u 0 ； w o 暑 m g l l k g 2 3 一k g l 3 m g 2 l 二 瓯j 孺习i 面9 ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) 把( 3 2 8 ) 式中的u 。和w 。代入( 3 2 4 ) 式、( 3 2 7 ) 式即可得任意位置处位移和 应力的汉克尔变换表达式，进行汉克尔反变换即可求得任意位置处的应力与位移值。 按上述多层弹性半空间理论编制程序q w y ，通过输入多层弹性半空间各层的弹 性模量、泊松比和厚度以及外荷载作用的位置和形式( 集中荷载与均布荷载) ，可求出 多层弹性体系表面或内部任意一点的位移值。程序框图如图3 9 。 为校核本文方法和程序的正确性，下面计算了三个算例并其他方法的计算结果进 行了进行了比较。 算例l ： 在弹性半空间表面作用一集中荷载和均布荷载由b o u s s i n e q 解和本文方法求出的 解答见表3 一l 和表3 - - 2 。 表3 1在单位集中荷载作用下弹性半空间表面竖向位移( 泊松比为o 1 5 ) 无围攻距离 l23 4 无因次模量布氏解本文解布氏解本文解布氏解本文解 布氏解本文解 400 7 7 8 3o0 7 7 8 2o 0 3 8 9 l0 0 3 8 8 000 2 5 9 40 0 2 5 9 l0 0 1 9 4 60 0 1 9 4 6 80 0 3 1 1 300 3 1 1 300 1 5 5 70 0 1 5 5 60 0 1 0 3 80 0 1 0 3 60 0 0 7 7 800 0 7 7 8 表3 2 在半径为2 的圆形均布荷载作用下弹性半空间表面竖向位移( 泊松比为015 ) 无园次模量 l234 无固歇距离布氏解本文解右氏解本文解布氏本文解布氏解本文解 025 0 2 4 2 5 0 2 3 12 5 1 2】2 4 8 008 3 4 l08 3 3 9o6 2 5 600 1 5 6 23 9 1 0 03 9 1 0 0i 9 5 5 0 l9 5 4 91 3 0 3 31 3 0 3 3o 9 7 7 509 7 7 5 2 5 鳖 一 坠 一一一 塑锄 些州 算例2 ： 如图3 8 所示在弹性半空间内部有一集中力作用，计算弹性半空间表面的位移。 图3 8 内部受单位荷载作用的弹性半空间( r ，h 为无因次量) 表3 3 内部受单位荷载作用的半空间表面位移( 弹性模量为2 ，泊松比为o 15 ) l2 3 hm i n d l i n 解 本文解 m i n d l i n 解本文解m i n d l i n 解本文解 20 0 9 3 700 9 3 400 7 1 20 0 7 l l00 5 0 90 0 5 0 9 300 8 0 300 8 0 10 0 6 4 l0 0 6 4 l0 0 4 9 50 0 4 9 5 从以上两个例子可以看出利用本文的方法和编制的程序求出的解答与经典力学的 解答基本一致。 算例3 ： 为了校核本文方法应用在多层体系中的正确性，本文对文献【2 3 】中受半径为6 的圆 形均布荷载作用的十层弹性体系进行了计算，本文的计算结果与文献【