5 例谈用验证法解题——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解(4页).doc

例谈用验证法解题2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解题1 解方程：(1)；(2)；(3).解 (1)容易观察出均是该方程的解.按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解，所以这两个解就是原方程的所有解.(2)同理，可得原方程的所有解是.(3)容易观察出均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解(因为对于任意的非零实数，和都是原方程的解，所以应当把和理解成原方程的两个解)，所以这两个解就是原方程的所有解.题2 解方程.解 设函数，易知它是增函数，所以方程至多有一个根(当2在函数的值域中时有一个根，否则没有根)，所以原方程的根是.题3 已知，求.解 由及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解： 或 该方程组即因为关于的一元二次方程最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解，.题4(2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列的前项和为，且N*)，其中，求数列的通项公式.解由题设得，所以当确定时，也唯一确定.所以由知，数列是唯一确定的.可以观察出满足题设的所有条件，所以数列是满足题设的唯一数列，得.另解因为由题设得，再由知是唯一确定的数列.再同上得.题5 (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列的前项和为，已知，且N*)，其中为常数.(1)求与的值；(2)证明数列为等差数列；解(1).(2) N*)，所以是唯一确定的数列，也是唯一确定的数列.又由知，若为等差数列，则，于是.容易验证满足，所以题中的，为等差数.题6已知数列满足，求；解 首先，由首项及递推关系知，满足题意的数列是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.易得，即（k是常数）满足递推关系，再由，得满足题目的所有条件，所以本题的答案就是.题7已知数列满足，求.解易知本题的答案是是唯一确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得是非零常数），即满足递推关系，再由，得满足题目的所有条件，所以本题的答案就是.注 因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案.对于要求解的问题，若能证明它最多有是确定的正整数)个解，又找出了它的个解，则这个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题：题8 (2010安徽理20)设数列中的每一项都不为0.证明为等差数列的充分必要条件是：对任何N*，都有.证明 先证必要性.若数列是公差为的等差数列：当时，易得欲证成立.当时，有再证充分性.只需对用数学归纳法证明加强的结论：若恒成立，则成等差数列，且.当时成立：当时，得，所以成等差数列，还可证(因为由可得，而由时成立立知.假设时成立：即成等差数列，且.由时均成立及知，当确定时，数列也是确定的，而由必要性的证明知，由确定的等差数列满足题设，所以由题设及确定的数列就是这个等差数列，即成等差数列，同上还可证，即时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.参考文献1 甘志国.例谈用验证法求数列通