（凝聚态物理专业论文）两个二能级原子纠缠的产生和调控.pdf

复旦大学硕士毕业论文 摘要 本论文主要研究了热场和光子晶体中两个原子纠缠的产生及相干调控。热 场以前一直都被认为是破坏量子纠缠的，但是2 0 0 2 年k i m 等人研究结果表明热 场可以使初始处于分离态的两个原子纠缠，纠缠度的大小与场的温度和两原子的 初始态有关。本文在k i m 研究的基础上，研究了当两原子初始态为相干态的情况 下，两原子系统的纠缠在热场中随时间的演化，结果表明与两个开始为分离态的 两个原子在热场中的纠缠相比，热场中的动态纠缠度变大并且可以通过改变相干 态的振幅和相位来调控原子的纠缠态。光子晶体是不同介电常数的材料周期排列 而成的，两个开始完全不相关的二能级原子同时注入到光子晶体里，通过与光子 晶体中的缺陷模相互作用，两个原子变得纠缠。文献 5 1 和 5 2 研究结果表明， 通过改变两原予在光子晶体的运动速度及两个原予的位置和缺陷模的位置、相位 及大小等参数来调控两原子的纠缠度。纠缠态的产生和调控可以用来实现量子 门，从而使量子通信成为可能，在文献 5 2 中光子晶体中两原子纠缠的产生和调 控可以实现d u a l - r a i lh a d a m a r d 门、d u a l - r a i l 非门、s w a p 门和d u a l r a i lz 门。但是不足的是光子晶体中原子的纠缠没有考虑温度，为了避免热光子的影响， 光子晶体必须冷却到了很低的温度。若是在考虑温度的情况下实现光予晶体中两 原子的纠缠，在量子信息处理中会有更实际的应用，这是我们接下来要做的研究 工作。 关键词：量子纠缠，原子纠缠，热场，光子晶体，相干调控 复旦大学硕士毕业论文 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , w em a i n l yi n v e s t i g a t eh o wt oc r e a t ee n t a n g l e m e n ta n dm a n i p u l a t et h e e n t a n g l e m e n ti nt h e r m a lf i e l da n dd e f e c tf i e l do fp h o t o nc r y s t a l s i nt h ep a s t ，t h e r m a lf i e l d a l w a y sw a sc o n s i d e r e da sc o u r s ew h i c hc a nd a m a g et h ee n t a n g l e m e n to fs y s t e m h o w e v e r , k i l ne ta 1 f o u n dt h a tt h et h e r m a l 啪u l l a g et h es e p a r a t et w oa t o m se n t a n g l ei n2 0 0 2a n dt h e a m o t m to fe n t a n g l e m e n tw a sd e p e n d e n to nt h ei n i t i a ls t a t ea n dt h et e m p e r a t u r eo ft h e r m a l f i e l d c o m p a r e dw i t ht h ea b o v ec o n d i t i o n , w h e nt h ei n i t i a ls t a t e so ft w oa t o m sw e r ec o h e r e n t w ef i n dt h a tt h ed y n a m i ce n t a n g l e m e n to ft w oa t o m sw a se n h a n c e da n dw ea l s oc a n m a n i p u l a t et h ee n t a n g l e m e n tb yc h a n g i n gt h ea m p l i t u d ea n dp h a s eo fi n i t i a ls t a t e s p h o t o n c r y s t a l sa r ea r t i f i c i a l l yc r e a t e dt h r e e - d i m e n s i o n a lp e r i o d i cd i e l e c t r i cm a t e r i a l s w h e nt w o a t o m si n t e r a c tw i t ht h ed e f e c tm o d eo fp h o t o nc r y s t a l s ，t h e yb e c o m ee n t a n g l e dw h e nt h e ye x i t t h ep h o t o nc r y s t a l s t h ea m o u n to fe n t a n g l e m e n ti sd e p e n d e n to nt h ev e l o c i t yo fa t o m , t h e p o s i t i o n 、p h a s ea n ds i z eo f m o d e w e c a nm a n i p u l a t et h ee n t a n g l e m e n tb yc h a n g i n gt h e s e p a r a m e t e r s 5 1 , 5 2 】c r e a t i n ga n dm a n i p u l a t i n ge n t a n g l e m e n tc a nm a k et h eq u a n t u mg a t e b e 虻o m et r u ea n dm a k et h eq u a n t u mc o m m u n i c a t i o np o s s i b l e i nr e f e r e n c e 【5 2 】，a u t h o r s s h o w e dt h ed u a l - r a i lh a d a m a r dg a t e 、d u a l - r a i ln o tg a t e 、s w a p g a t ea n dd u a l - r a i lzg a t eb y c r e a t i n ga n dm a n i p u l a t i n gt h ee n t a n g l e m e n to ft w oa t o m si np h o t o nc r y s t a l s b u ta u t h o r sd i d n o tc o n s i d e rt h et e m p e r a t u r eo ff i e l dm o d e i nf a c lt h et e m p e r a t u r ea l w a y se x i s t s d u r i n g e x p e r i m e n t i f w ec o n s i d e rt h et e m p e r a t u r ew h e nt h ea t o m si n t e r a c tw i t ht h ed e f e c tf i e l dm o d e ， i ti sm o r em e a n i n g f u la n dp r a c t i c a li nq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s t h i si s0 1 1 1 f o l l o w i n g w o r k i 【七y w o n k ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，a t o m i ce n t a n g l e m e n t ，t h e r m a lf i e l d , p h o t o nc r y s t a l ， c o h e r e n tm a n i p u l a t i o n 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名： 土蘸囊日期：垫妇至臼! ! 旦 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名：量盘囊导师签名：盔兰翌之同期：塑乙! 丝 复旦大学硕士毕业论文 第一章绪论 当今社会正在步入高度信息化的时代，更高速的信息传输，更快速的信息处 理与更大容量的信息存储是人类永远追求的目标。2 0 世纪微电子技术的迅速发 展，大大提高了电子计算机集成电路的集成度，为现代信息社会打下了物质基础。 按照著名的“摩尔定律”，随着集成电路集成度的日益提高，电路板刻蚀精度也 越来越高，中央处理器芯片上集成的晶体管器件就会越来越密，这将迫使电路线 宽不断狭窄，直至狭窄到不得不考虑运动在电路中电子的波动性将在电路中产生 新的物理现象即量子效应( 当电路线管小于0 1 微米) 时，现有的芯片制造 理念及技术将达到极限。随着社会的进步和科技的发展，进入2 1 世纪，面对信 息科学、面对计算机科学、面对社会高度信息化，我们将直面科学发展、社会 需求所带来的值得关注的、需要研究、有待解决的若干重要课题：电子计算机是 否存在极限运算速度? 进而能否实现不可破译、不可窃听的保密通信? 信息科学 的进一步发展必须借助于新的原理和新的方法。 量子力学作为研究微观粒子的科学是2 0 世纪物理学的两个最重要的发现之 一，它构成了整个微观物理学的基础。它不仅是微观世界的行为准则，而且在 2 0 世纪中叶人们也发现了许多宏观的量子现象，而量子力学最直接的应用就是 兴起于2 0 世纪8 0 年代由量子力学、信息学和计算机科学结合的产物一量子信息 学。 量子信息学包括量子密码术、量子通信、量子计算等几个方面，这些方面的 实现对整个社会的发展有很重要的意义。而量子纠缠不仅是量子力学中特有的性 质，而且也是现阶段量子信息相关的科学和技术中最有用的资源。量子纠缠在量 子密钥 1 、量子远程传态 2 、量子通信 3 和量子计算 4 等方面有着非常重要 的应用。在量子非局域性和量子信息研究领域，大多数研究都是基于量子纠缠的。 粒子间纠缠的产生和调控是量子理论研究领域里最本质的理论 5 ，6 ，一系 列可控的相干作用应用到粒子系统( 光子或原子) ，可以使这些粒子之间产生纠 缠并且可以通过改变相干条件来调控纠缠度。由于相干调控纠缠在量子信息处理 中潜在的应用，越来越多的科学家开始研究这个问题 7 实验上实现的纠缠大多 数是由光子对产生的纠缠，例如可由参数下转换产生纠缠的光子对。尽管光子纠 缠态很容易制备，并且这种相干态在光纤中能传播数千米，但是光子不能长时间 稳定的储存，从而光子的纠缠态也很难操控即使这些纠缠的光子被限制在同一个 腔中。相反，两原子间的纠缠可以长时间储存，从而提供了可靠的量予信息。所 以，很多人研究两个原子的纠缠态。最近，利用两原子之间的纠缠态实现量子传 输在实验上已经取得成功 8 ，9 。在量子传输过程中，粒子被看作量子信息载体 即量子比特，并且工程量子纠缠的实现是实现量子门的关键 1 0 。 复旦大学硕士毕业论文 量子纠缠态的制备有多种方法，可以通过制备粒子间的纠缠、粒子与模之间 的纠缠或模与模之间的纠缠来得到纠缠态。在原予与场相互作用产生的纠缠中， 最基本的模型是j a n y n e s - c u m m i n g s 模型 1 1 ，它描述了一个两能级原子与一个 单模量子化光场的相互作用，它是在电偶极及旋转波近似下精确可解的全量子化 模型。为了近一步完善光场与原子相互作用的量子理论，人们对 j a y n e s - c u m i n g s 模型做了各种各样的推广，例如考虑原子间偶极相互作用的 j a y n e s - c u m m i n g s 模型和含k e r r 介质的j a y n e s - c u m m i n g s 模型等。而原子与场 的相互作用，包括单原子与单模场共振相互作用 1 2 ，单原子与多模场共振相互 作用 1 3 和多原子与单场相互作用 1 4 等，我们所研究的模型都是推广了的 j a y n e s - c u m m i n g s 模型，即两个原子与单模场相互作用。不同的腔场( 热场或光 子晶体的缺陷模场) 可以使两个原子发生纠缠，并且可以通过改变某些环境条件 或是初始条件来调控原子间的纠缠态，从而可以得到不同的纠缠态。调控纠缠态 的实现在量子通信和量子网络领域有很重要的意义。 2 复旦大学硕士毕业论文 第二章量子纠缠简介 2 1 纠缠态的提出 “纠缠”这一名词的出现可以追溯到量子力学诞生之初，当时人们对量子力 学基本原理的诠释和对其他基本概念的理解一直存在着激烈的争论。其主要表现 是以爱因斯坦为代表的经典物理学家和以波尔为代表的哥本哈根学派之间的争 辩。1 9 3 5 年e i n s t e i n 、p o d o l s k y 和r o s e n 提出的著名的e p r 佯谬 5 和薛定谔 猫佯谬 1 5 ，预示了量子力学基本问题的发展方向，量子纠缠态的概念就是在这 一方向上产生的。 1 9 3 5 年薛定谔 1 5 3 提出了s c h r b d i n g e r 猫佯谬，企图对波函数的统计诠释 提出责难。他作了这样一个假想实验，一只猫被关在笼子里，笼子里放了一个毒 药瓶，瓶的开关由一个放射性装置控制。设想放射源在每一秒内有： 弓的几率 放出一个粒子，这个粒子又通过一些转动装置将毒药瓶打开，毒药一被释放，猫 就立刻被毒死；而如果没有放出粒子，猫就一直活着。薛定谔用下列波函数来描 述猫和原子这个复合系统： i f ，) 一口l 活狲i t ) + 纠死猫协 盯+ 一1 。 ( 2 1 1 ) 根据哥本哈根解释，k 1 2 表示原子处于激发态而猫是活着的概率，吲2 表示原子 处于基态而猫是死的概率，也就是说猫是处于半死不活得状态。在这个假想实验 中，关上笼子后，在没有打开笼子前猫处于以几率活着，必几率死了的状态。 一旦打开笼子后，我们只可能会看到一种状态，猫要么活着要么死了，这样猫的 生死不是依赖于打开笼予前的“客观存在”而是依赖于我们的“观察”，因此量 子力学的统计诠释是有悖目常生活经验，难以接受的。 而同年e i n s t e i n 、p o d o l s k y 和r o s e n 发表了e p r 佯谬，e p r 认为，作为一个 完备的理论，每一个实在的成分都必须能够从中找出它的对应成分，判定一个物 理量的实在的充要条件是，在不扰动的情况下能对其做出确定性的预言。爱因斯 坦等人在e p r 文章中提出如下一个量予态： _ k ，x 2 ) =e x 出t 如一恐+ 场k ， 其中而和x ：分别代表两个粒子的坐标，这样的一个量子态不能写成两个系统态 的直积形式： 翠g ，石：) 妒g 。g ：) ( 2 卜3 ) 后来薛定谔在他的著名文章d 5 中将这样的量子态称为纠缠态。所谓纠缠态 就是指多自由度( 或多粒子) 体系的一种特殊形式，但又极广泛存在的一种量子 3 复且大学硕士毕业论文 态，即在任何表象中都无法写成各自由度( 或单粒子) 量子态的直积形式的量子 态。 简单来说量子纠缠就是对一个多体量子系统，如果其予系统之间在某个时问 间隔内有过相互作用，那么，即使在这以后他们彼此相距甚远且没有任何联系， 也不能想当然地孤立地研究这些子系统的性质，并希望从中得出有关整个系统的 正确描述 1 6 。这些子系统之间表现出来的关联无法用经典的定域实在论( 1 0 c a l r e a l i s m ) 来解释，就是说，无法赋予这些子系统确定的量子态及确定的实在性， 否则得到的结果将与量子力学的理论预言和实验结果相悖 1 7 1 9 。我们把这种 不符合直觉的奇特的关联现象称为量子纠缠或量子关联。 具有纠缠现象的量子系统的量子态称为纠缠态，它可以是纯态，也可以是混 合态。在物理上，纠缠态意味着非定域性，即不能由各个子系统的定域操作来实 现；在数学上，纠缠态意味着其密度矩阵无法分解为各子系统的态构成的直积态 的求和形式，是为不可分离性( i n s e p a r a b i l i t y ) 2 0 3 那么，什么样的量子态 可以称为纠缠态呢? 以由两粒子a 和b 所构成的复合系统为例，若其量子态不能 表示成子系统直积形式则称为纠缠态，即l 纠仰芦i 纠。o i 妒) 。纠缠态i 妒) 仙具 有非局域的关联性：无论粒子a 和b 在空间上分开多远，彼此都存在量子纠缠。 对粒子a 进行测量会导致粒子b 的量子态的相应塌缩。 2 2e p r 佯谬与b e l l 不等式 e p r 佯谬是e i n s t e i n 就量子力学的基本概念与b o h r 多年争论之后，于1 9 3 5 年和p o d o l s k y 及r o s e n 共同发表的一篇重要文章 5 。文章认为，利用理想试验 的逻辑证明方法，可以表明量子力学不能给出对于微观系统完备的描述，通常称 他们的描述为e p r 佯谬 一 e p r 的论证建立在两个主张的基础上： a )定域因果性观点。即，如果两次测量( 或一般地说，两个事件) 之间 四维时空间隔是类空的，两次测量( 两个事件) 之间就相互无关，彼此不存在 因果关系。 b )物理实在要素的观点。即，作为一个物理实在的要素，任一个可观测 的物理量，必定在客观上以确定的方式存在着。就是说，如果不去扰动一个系统， 这个系统的任何可以观测的物理量在客观上应当具有确定的数值。 由这两个主张，可立即得出，以类空间隔分开的两个系统只有彼此相互独立 的物理实在性。这便是e p r 思想的核心：定域实在论。 爱因斯坦等人提m t q 缠态的目的是企图说明在承认局域性和实在性的前提 下，量子力学的描述是不完备的。 遵循e p r 佯谬的思想，1 9 5 1 年，n b o h m 将这一思想具体化 2 1 ：存在自旋 4 复旦大学硕七毕业论文 为三的两粒子组成的一个系统，它们的总自旋为0 ，当两个粒子无限分离时，若 测得粒子“l ”沿x 轴方向自旋为，则对粒子“2 ”不经测量就可以准确预言 其沿x 轴方向的自旋为一，保持系统的总自旋为0 。根据同样的操作，观测者 k ) 一击t ) 1 j 1 ) ：一t ) ：) ， 这里的f t ) 和l i ) 分别代表自旋为= 1 和一妄，下标1 ，2 代表粒子l 和粒子2 。所 以对粒子1 的测量可以完全确定粒子2 的自旋，而由局域实在性，如果粒子i 和粒子2 距离足够远，对粒子1 的测量将不会对粒子2 产生任何影响，再由完备 性要求在一个完备的物理理论中，客观存在的每一个元素都存在一个相应的描 述，因此e p r 认为量子力学的描述是不完备的。 企图给量子纠缠现象以理论解释的是b o h m ，他首先提出隐变量理论。在隐 变量理论中，测量实际上是经典决定论。引进这些隐变量的目的就是希望将量子 力学中不能对某些观测量做出精确预言的事实归结为还不能精确知道的隐变量。 而一旦这些隐变量决定后，就可以精确的给出任何可观测量。 早期对纠缠态的研究许多是停留在哲学层次上，直至1 9 6 4 年b e l l 根据 e i n s t e i n 的定域实在论和有隐变量存在这两点，推导出一个不等式 2 2 b e l l 指出，基于隐变量和定域实在论的任何理论都必定遵守这个不等式，而量子力学 却预言这个不等式可以被破坏。人们把这一论述称为不等式形式的b e l l 定理。 b e l l 的想法关键是考虑i 和2 两处测量之间的关联。假设有某个隐变量理 论，这个理论中，测量事实上是决定论，只是出于某些自由度不知道，表现出随 机性。比如，对于量子力学中一个自旋朝向z 轴的纯态l t ：) ，一个“更深层次 的隐变数理论”认为它应当为l t ，。 ) 。这里， 是个隐变数，它的值按照人们 目前还不知道的某种规律变化，取值也不能为现时实验技术所控制。不失普遍性， 假设a 的变化区间为a l 叮l ，于是可以认为，它以一个未知的几率分布p n ) 在 l o 1 l 区间取值。 现在对( 2 2 - i ) 式表示的这个由1 ，2 两个粒子组成的自旋纠缠态进行分析。 a l i c e 对1 粒子沿给定的五方向测其自旋，而在类空间隔内b o b 对2 粒子沿给 定的b 测其自旋。于是各自测量结果分别为彳 ，a ) ( 一1 ) 和口够，a x 一千1 ) ，将它 们对应相乘。因为j 妒，：) 中1 ，2 粒子自旋反向关联的特性，当面一6 时，应该 有 4 仁，a 1 8 仁，a ) = 一1 5 复旦大学硕士毕业论文 一般情况下若云一i ，此结果不成立。假如对多个样品进行多次测量，对应 相乘平均结果应当是对随机变化的隐变数a 的积分平均结果。仁，占) 两个方向测 量结果的关联函数为： p 仁，后) = j 伽n n 仁，a 净够，a ) 同样地，如果进行沿i ，于方向的另一组的实验和沿石 将会分别得到p 仁，于) 和p 每，于) 于是可以得到： 6 ) 一p 仁，列 = 小蹦a 0 伍a 归信，a ) 一么仁，a 归仁，a ) 】 硼p 似牡仁，a 归6 ，a ) 一廓，a 归仁，a 1 ，芒的另一组实验， 由爿# ，a 始a ) 1 和雒，九) 2 1 ，得b 万，d 。爿每，a ) ，一并代入上式右边，得： ( 2 2 - 4 ，式一删帖挑水t 壤槭叫 ；肭a 陋a 】1 1 + 以a 比叫 注意到怍柚啦划s 1 ，阻面砷如司= 1 ，到最后得到b 。1 1 不等式： 陋西一如纠墨1 + 如习 对于任何定域实在论的隐变量理论，在三组( 仁，i ) ，仁，享) 和信，己) ) 实验 的统计平均数据( p 仁，占) ，p 仁，手) 和p 悟，于) ) 之间应该满足上面的不等式。 但是，按照量子力学，1 、2 两个粒子组成一个统一的纠缠态，对1 粒子沿万 方向和2 粒子沿5 方向的测量所得的平均值为： 施两。缈l ( 呸厅k 6 】妒) ；一c o 妇，司， 于是b e l l 不等式成为： i c 。靠，占) 一c o 瓴刊t c o 妨石) 此式当然并不能总是成立，比如厅，占，手共面，取夹角： 圳一一詈，( 嘶) t 芋， 代入( 2 2 - 8 ) 式，得：( 三+ 三) ( ，一三) 。i 1 ，显然错误。这说明瞻1 1 不等式 复旦大学硕士毕业论文 被违背，定域实在论与量子力学是不相容的。 b e l l 定理的提出，才使得量子理论与局域性隐变量理论的预言的差别能通 过实验来验证。这样b e l l 的理论将e p r 同b o h r 的争论从哲学范畴提升到可以为 物理实验所验证的范畴。 以后的时间内，很多人利用b e l l 不等式来判断系统是否纠缠，若一个多体 系统违背了b e l l 不等式，那我们可以说这个系统是纠缠的。所以，b e l l 不等式 对量子纠缠的发展有重要的意义。 2 3 量子纠缠的度量 人们注意到违背b e l l 不等式虽然是量子纠缠的一个显著特征，但并非所有 的纠缠态都违背b e l l 不等式 2 3 ，因此就需要对一个纠缠态在多大程度上违背 b e l l 不等式以定量描述，这就引出了纠缠度这个概念。最近几年在纠缠态度量 方面已经取得了一些进展，但是多体系统的纠缠态度量仍然需要更多的努力。 我们令e i 芦) 记为卢描述态的纠缠度量，当e 协) 一0 时，它描述的态是非纠 缠的，当e 卢) 一1 时，它描述的态称作最大纠缠态。而当0 t e ( 芦) t 1 时，它所 描述的态则为非最大纠缠态，也可以称为部分纠缠，这也是我们在实验中经常用 到的量子纠缠态。 在实际纠缠态的产生、传送等过程中我们无法完全避免纠缠态与外界环境、 各种噪声和耗散因素发生相互作用，而作用结果会使其从一个纯纠缠态变为混合 纠缠态。对于混合态纠缠的度量则存在很大困难，b e n n e t 等人提出生成纠缠和 蒸馏纠缠的概念 2 4 。生成纠缠的定义式为： e ，。) i l i m 争 生成纠缠的定义为：通过局域操作和经典通信过程，可以从p 。：提取出 的b e l l 态的最小数日，即有n 份p 1 2 拷贝可以从中提取k 个b e l l 态 而蒸馏纠缠e 。( 岛：) 定义为：通过局域操作和经典通信过程，可以从n ：提 取出的b e l l 态的最大数目，即有n 份岛：拷贝可以从中提取k 个b e l l 态， 则蒸馏纠缠表达式为： e o ( p l ：) - l i m 等 生成纠缠和蒸馏纠缠的关系是砟( p ，：) e o ( p ，：) 。 多子系系统的纠缠态具有两予系系统纠缠态所不具备的性质，定量化非常困 难，目前对其研究尚处于起步阶段。b e n n e t 等人研究了多子系系统纯纠缠态的 定量化问题，定义了一组态g 一帆，a ，、巩 为最小可逆的纠缠生成集，任何一 7 复旦大学硕上毕业论文 个多子系系统纯纠缠态可以由这组生成集以渐进可逆的方式实现，每个生成元都 联系着一个纠缠度，但是目前对这个生成集的构成尚不清楚。 从给出的纠缠态的定义来看，通常情况下，对一个具体的密度矩阵，人们并 不知道它是否具有子系密度矩阵的直积形式的分解，也就是说，不知道它是纠缠 的还是非纠缠的。最先研究这个问题的是p e r e s ，他给出了判别两个系统的量子 态为可分的必要条件 2 5 ：两子系统的量子态岛：的部分转置矩阵码：为半正定。 n ，和吼，矩阵元的关系为： c ；( 砚纯1 0 啊i ) = 似i ( 渊堆) i 肫) = f ；，站掣， ( 2 3 3 ) h o r o d e c k i 证明了此条件可以作为判别纠缠态的充分条件 2 6 。即如果我们发现 一个密度矩阵的部分转置矩阵带有负的本征值，我们就可以判定这个量子态为纠 缠；鑫。 8 复且大学硕十毕业论文 第三章热场中两个二能级原子的纠缠 3 1 量子相干与量子退相干 量子信息的所有基本理论和潜在应用中，核心问题是量子测量( 宏观仪器或 环境) 相关的量子相干性和量子退相干的矛盾统一。笼统地讲，量子世界的根本 特征是它的量子相干性。然而，一旦要观察量子世界是怎样运动的，就必须有宏 观或经典物体与之相互作用，形成关联和纠缠，从而就不可避免地引起了量子退 相干的发生，使得量子世界的客体丧失其量子特征。从这个意义上讲，量子相干 性是人们可资利用的新技术的源泉，但其本身是很脆弱的。这使得我们既看到了 曙光，又丽临新的挑战。 量子相干性是微观物质世界运动的普遍属性。量子态的干涉性和纠缠性一样 给量子信息和量子计算带来了光明灿烂的前景。然而，干涉的脆弱性也给量子信 息和量子计算的实现带来了障碍。有这样几句话描述量子信息和量子计算的过 程：量子信息就是量子位所处的量子态，量子信息的演化遵循薛定谔方程，量子 信息的传输就是量子态在量子通道中的传送，信息处理就是量子态的幺正变换， 信息的提取则是对量子系统实行量子测量。在这一系列的过程中，由于量子位和 环境相互作用或者其他原因，使得量子位能量耗散或者相对位相改变，从而导致 量子干涉性消失，量子信息散失在无法控制的环境中，这种现象就称为量子退相 干。 量子退相干的物理起源主要有三种：1 ) 量子测量造成的退相干，包括被 测量物体和测量仪器相互作用( 量子纠缠模型) 和对仪器或环境有关态等权平均； 2 ) 与环境耦合造成的退相干。个宏观仪器的作用与包围着系统的环境的作用 有很多相似之处：一个宏观的环境会引起其中量子系统的退相干，但环境没有真 正“读出”系统实际处在哪个状态。因此，宏观极限下量子测量的动力学模型可 以直接推广，用来描述一个随机环境怎样引起其中量子系统产生退相干效应。但 是，环境诱导退相干与量子测量导致波包塌缩是有一定差别的，因为环境除了引 起量子退相干效应以外，还会引起系统能量的损耗，即量子耗散；3 ) 量子信息 的衰减。 综上所述，量子相干和量子退相干是同时存在的，我们不能够彻底避免退相 干，但我们可以通过选择合适的环境，从而减小量子退相干效应，以期得到持续 的和较强的量子纠缠态。 3 2 热场中两原子系统的纠缠 如前面所述量子纠缠在量子信息处理中处于举足轻重的地位，它对量子信息 的实际应用有决定性的作用。近来，人们提出了很多方法产生纠缠，包括捕获粒 9 复旦大学硕士毕业论文 子，冷粒子和中性原子之间纠缠的制备 2 7 - 3 0 。其中，最有意义的是两个原子 系统产生的纠缠态，因为在这样的系统中两个原子代表两个量子比特，而两个量 子比特纠缠的实现是量子门实现的最主要的障碍，量子门的实现对量子信息处理 中的量子协议的实现又非常关键。研究表明，通过外加连续驱动的自发辐射场、 相干场或无序的热场可以产生两个原子的纠缠态 3 1 ，3 2 。 热场是由温度为t 的热平衡源产生的一种场，目前我们对它的了解很少，只 知道熟场能量的平均光子数。由3 1 我们知道，环境是造成退相干的一种原因， 当两个原子处于热场中时，热场就相当于环境，热场一般情况下被认为是破坏系 统纠缠的场，即引起纠缠系统的退相干效应。 近几年来，许多科学家研究了双向或多向系统的纠缠问题 3 3 3 4 ，这些系 统中至少一个子系统处于热平衡。2 0 0 1 年，b o s e 等人 3 5 发现当一个处于纯态 的量子比特和一个处于任意维度的混合态系统相互作用时，这样的系统在任何时 刻都是纠缠的，b o s e 用一个二能级原子与热场相互作用模型证实了这种情况。 这个研究结果非常重要，因为以前人们一直认为由于环境和所研究的系统相 互作用从而产生退相干，系统的纠缠会变小甚至消失。但是，在 3 5 中却得到任 意一个纯态系统放在热场中并和热场相互作用时，纯态与热场之间产生纠缠并且 纠缠态在任何时刻和任何温度下都存在。说明人们一般认为热场破坏相干性的想 法有时候是不对的，这对量予信息领域是个非常大的发现。因为温度在实际应用 中是真实存在的，若是在一定高的温度下，仍然可以得到比较强的纠缠，这对量 子计算、量子传输及量子密钥的实现都有很重要的意义。 2 0 0 2 年，k i m 等人 3 6 在纯态系统和热场纠缠的基础上研究了热场中两个 二能级原子的纠缠，发现初始念为完全分离态的两个原子，通过热场后由分离态 变成了纠缠态。并且，纠缠度的大小和两个原子的初态和场的温度有关。当两个 原子都处于基态| g g ) 时，一定的温度下部分时间内系统有纠缠且纠缠比较小，而 当两个原子系统初态为两个原子都处于激发态l e e ) 时，无论任何温度和任何时间 内系统都没有纠缠，最后当两个原予系统处于一个原子为基态，另外一个处于激 发态时初态为l e g ) 或 萨) ，系统的纠缠随时间周期性变化，相比初态为l g g ) 纠缠 度要大很多。研究还表明当初态一定的情况下，平均光子数越大即温度越高纠缠 度就越小。这篇文章在偶极子和旋转波近似的条件下，精确求解了原子系统密度 矩阵的部分转置矩阵的负本征值，并用负本征值的和来度量原子系统的纠缠度。 当然，在这篇文章中没有考虑两个原子之间的相互作用和场的耗散，也没有考虑 两个原子之间的不同，这是这类问题中最简单和理想的模型。这样做是为了研究 起来容易求解，且能得到主要的信息，即热场能够使两个完全分离的原子变得纠 缠。 复旦大学硕士毕业论文 随后也有许多人在这个简单的模型的基础上展开研究，在文献 3 6 中两个原 子与场耦合常数相同，即两个原子是完全相同的两个原子，事实上，原子与场的 耦合常数g 和原子的位置r 有关，由于原子的位置具有任意性，很难控制两个原 子使其与场的耦合常数始终相等。所以在 3 7 3 中，作者研究了两个不同的原子与 热场相互作用即两个原子与场的耦合系数不同。研究表明在这种情况下当两原子 初始处于i ) 态时，原子之间也存在纠缠，而当两个原予与场的耦合系数相等时， 初始处于i ) 态的纠缠度始终为零，即不存在纠缠。而初始态为l e g ) 和l g g ) 时， 与 3 6 相比纠缠度被提高了。通过分析还容易得出，还可以通过调节两个原子的 耦合常数的差值来调控两个原子系统纠缠度的大小。在 3 7 中还研究了当场初态 为真空态且有一定的耗散时，耗散场有益于原子纠缠的产生。 在 3 6 中没有考虑两个原子之间的耦合作用，是因为若两个原子之间的距离 足够大时，可以忽略两个原子之间的耦合作用。但是，实际上两个原子之间的距 离是很难控制的，偶极子作用是不可避免的，只不过在有些时候偶极予作用比较 小可以忽略。 3 8 研究了有偶极相互作用的两原子与热场相互作用，研究得出与 3 6 中两个没有偶极相互作用的两原子纠缠相比，两个原子之间的偶极相互作用 可以提高两个原子之间的纠缠度，并且当热场的温度很高的情况下，两个原子之 间的纠缠仍然存在。 在 3 6 中两个原子与单模热场相互作用是单光子过程，而在 3 9 中作者研究 了两个完全相同无相互作用的原子与热场相互作用的双光子过程。研究发现与单 光子过程 3 6 相比，双光子过程使相同条件下的两原子间纠缠度增加，并且在温 度相当高的情况下纠缠仍然存在。 我们可以看到，通过考虑两个不同原子与热场相互作用、两个原子之间的耦 合作用和场的耗散，这些条件都可以影响两个原子之间的纠缠，并在一定条件下 可以提高纠缠度和使纠缠在高温下存在。同样重要的一方面是可以通过改变一定 的条件对系统的纠缠度进行调控，从而可以较容易得到不同大小的纠缠。因为这 些条件是实际应用中存在的，所以这些研究结果对量子纠缠在量子信息中的应用 都有重要的意义。 3 3 原子相干可以提高并调控热场中两个原子的纠缠度 从上一节我们知道， 3 6 给出了两个完全相同的初始处于分离态的原予在热 场中的纠缠随时间的演化。在接下来的时间里，很多科学家通过改变各种条件 3 7 3 9 来研究热场中两原子的纠缠，通过研究这些情况下系统的纠缠不仅增加 了，并且可以调控纠缠的大小。这节我们主要研究若是改变初始态，热场中的纠 缠会怎么变化，即当两个原子初始为相干态时，两个原子为两个全同原子并且不 考虑两原子之间的耦合作用和场的耗散问题，与 3 6 相比两原子之间的纠缠随时 复旦大学硕上毕业论文 间的演化是怎样变化的呢? 原子系统的相干振幅和位相对原子之间的纠缠有什 么的影响呢? 这样的初始态能不能提高原子之间的纠缠度呢? 原子相干态就是两个原子各个态的叠加态，它在量子热力学方面有关键性的 作用。例如，s c u l l 等人表明可以通过消去原予相干来得到机械操作 4 0 。在 4 1 中，作者研究了原子相干对两个模式纠缠的影响，在两个模式纠缠中原子相干起 到了很大的作用。当一个三能级的原子处于相干态时，不管场温度有多高、原子 及腔场是否处于热平衡状态，两个模式的纠缠始终存在，而当原子处在非相干态 的时候纠缠并不是一直存在的。这表明了原子相干和量子纠缠，这两个在量子信 息中很重要的两个概念之间有一定的关系。 3 3 1 研究模型 我们研究的模型是两个完全相同的二能级原子和理想的单模热场之间相互 作用。假设腔模和原子跃迁共振。在旋转波近似的情况下，在相互作用绘景里， 系统的哈密顿量可以写成如下形式： 打，4 加；善：( 珉+ + d + d l - ) 在方程( 3 3 1 - 1 ) 中，下标i ( = l 和2 ) 代表第i 原子，而4 + 和彦l 一分别是原子 的上升和下降算符，它们的定义为喀+ = l e ) ，侮f 和谚一= l g ) 。l ，i g ) ，和l g ) ，代表 第i 个原子的基态和激发态，常数g 是原子和场的耦合常数，西和西+ 是场的湮灭 和产生算符。 两原子系统进入单模热场前，系统的密度算符可以写成 p ( 0 ) 一a ( o ) o p ，( o ) ，庐，( o ) 和声，( o ) 分别代表原子和场的初态密度算符。当原 子进入场后，系统的密度算符西随时间演化由以下方程决定： p ( f ) 一疗( f ) ，多( o ) 疗+ ( f ) ， 其中的时间演化算符扩t ) 的表达式为疗( f ) te x p ( 一嘏，t l h ) 利用哈密顿方程( 3 3 卜1 ) ，s i n e 和c o s i n e 的泰勒展开形式可得在原子基 p p ) ，j 馏) ，i ) ，j 船) 里，系统的时间演化算符扩( f ) 精确表达式为： 移( t ) ； u 1 1 u 2 1 u 3 1 【，4 1 u 1 2 【厂2 2 【厂3 2 u 4 2 u 1 3 ( ，2 3 【，3 3 u 4 3 【厂1 4 【，2 4 u 3 4 u 4 4 复旦大学硕士毕业论文 冥中矩阵兀索表达式为： 舀。；2 92 五忙一6 + + 1 玩：一谢j吮。玩- 2 92 五p 一6 鼻 驴：。一辔窖d + d 。；丢( c 。s q t + 1 )d 。丢( c 。s q 一1 ) 口。一瞎雪d d ，。一增鼢+d 。：1 ( c o s q f 一1 ) d 。- ；( z o s a t + 1 ) d 。一培鼢 玩。= 钍忙一跳+ 瓯：埘+ 雪瓯；谢+ 雪轧；2 9 2 五+ p 一曲+ 1 在上边的这些式子里，2 = 6 一一2 9 2 + 五+ 1 ) ，与时间有关的算符e 和j 定 义为： e ；6 c o s q ta n dj ；凸一1s i n 氏f 我们只对原子系统感兴趣，为了得到原子系统的密度算符p ，( f ) ， 我们对原子和场组成的系统密度算符中的场变量求迹。原予系统密度算符a ( f ) 决定了两原子系统随时间的演化，其表达式为： p ，( t ) = t r ，声( f ) 在k r a u s 表象里，算符a ( f ) 可以写成： 声，o ) = ，p ，( 0 弦+ 这里的f ，是k r a u s 算符，且满足性质f ，+ ，一， 口 平均光子数为元的热辐射场是一个由f o c k 态权重叠加形成的，场的密度算 符为房2 ；见k ) o l ，其中p 。2 南是一个权重函数，平均光子 数万：g 6 m ，舻一i ) - 1 ，k n 是波尔兹曼常数。明显可以看出，平均光子数元随 着温度的升高而变大。 把场的密度算符房带入方程( 3 3 i - 2 ) 和( 3 。3 卜5 ) ，我们可以得到下面 的表达式： 复旦大学硕士毕业论文 a ( f ) = 珥p ( r ) p ( o ) d + ( f ) 1 = 珥p ( f ) 辟( 0 ) o 愈( 州( 3 3 1 们 = 芝以彻i d ( f ) h ) a ( o ) 0 l d ( f ) + i m ) 我们把矩阵的箩i j 个元素m m ，1 ) 表示为u ，利用f o c k 态的正交性，在k r a u s 表象里 4 2 p a t ) 可以写成如下形式： 竹) 。薹荟见t 愈( o ) o 其中算符。“0 1 , 2 ，3 ，4 ，5 ) 的表达式为： 智= d i a g ( u 嚣，曜，。n n ，嘴) + 嘴0 西( g e l + h c ) ， 留t t t n 4 l e e ( s i + 4 - - 2 u 嚣, 4 i s ( e e l + , - 2 u 荔“l 昭) ( s l ， 幻一u 1 7 l e e ) g gi ， 霹= 曙2 i 鳓( e e | ， 其中，h c 代表厄米共轭，i 专= 0 因+ - | g q n ) 。v 亡2 。 其中，代表厄米共轭，l 砷= 智 。 我们用方程( 3 3 卜8 ) 的部分转置的负本征值来度量原子系统纠缠度的大 小r 4 3 ： 5 2 a i 式子中的a ；表示原子系统密度矩阵的部分转置矩阵的第i 个负本征值，当 f ；0 时，两个量子比特完全分离 4 4 ，而当f = 1 时，两个量子比特处于最 大纠缠，当0 e e i + 叫i 嘲妇j + 4 l 嘲恒卜4 i 嘲汹| + ：撼渊妇i+刈鬻mk戮搿矧j(332-2)ge)(gei+a,ge)(ggi+a1i g g ) ( e e1 w w ) ( e g+ 4 l 鲥括i + 氏i。i ：l + 4 ， j + - 4 1 。i g g ) ( g e i + 4 i 昭) ( 昭l 其中， 4 。p 。m 2 以2 ( u 1 ”1f + 4 2 b ：2 i 【厂嚣。1 1 2 + 4 4 ：目见e 。魏呻2 ) | 【厂嚣4 1 2 + 4 4 曰。易p h 嘞i 【，：4 1 2 + 4 2 b 。2 i u 嚣。1 1 2 + b 1 2 口：2 l u 富。2 1 2 】 4 = 以h 4 吼p - i 4 , z 。，n ，i l 。t a 。+ 4 4 2 墨e - t n u ，n 。n v2 3 n n + 4 马霹p 。“【，嚣_ 1 u 筹4 7 + 4 砰易e 咖u 嚣4 u 掣。】 4 = 见【4 他助嘞v l t t ：；+ 4 鬈置e 嘲昭【嚣+ 4 b 霹p 嘲咿【，穿1 7 + a b ? b z e 嘞q 阿1 a ，= 芝p ，b 。a ：b ，即一慨m ) l r t n n 。7 私n