（课程与教学论专业论文）初中生数学解题心理研究.pdf

， 摘要 在数学教学活动中，解题是最基本的活动形式，数学解题学习对 学生巩固知识、培养素质、发展能力和促进个性心理发展都具有极其 重要的作用和意义。但解题本身不是目的，只是一种训练手段。数学 解题活动是一种高级的活动形式，是一个包含多个环节的复杂过程。 本文从数学解题过程的心理分析出发，以认知心理学和信息加工心理 学为基础，站在数学心理学的角度对数学解题过程的四阶段，及其所 表现出的心理特征做了比较细致地分析：即问题表征的心理分析、设 计解题计划的心理分析、执行解题计划的心理分析和解题回顾的心理 分析。 通过个案访谈的形式，选取具有不同数学解题能力水平的三位初 中生，对其在数学解题中的心理表现作了比较研究，发现了他们在数 学情感、态度，数学知识以及数学能力三方面存在明显差异，主要体 现为以下1 0 个小方面：( 1 ) 在对数学学习，数学解题的情感方面；( 2 ) 在对数学学习，数学解题的态度方面；( 3 ) 在数学学习观，数学解题 观方面；( 4 ) 在问题表征能力方面；( 5 ) 在设计解题计划的能力方面； ( 6 ) 在执行解题计划的能力方面；( 7 ) 在解题回顾方面：( 8 ) 在数学思 维能力方面；( 9 ) 在数学学习能力方面；( 1 0 ) 在理解基础知识以及对 知识的综合运用方面。并在此基础上提出了影响初中生数学解题的心 理因素：数学元认知体验与元认知监控水平数学知识的理解程度 数学思维能力水平情绪和信念。 最后，结合调查分析的结果与理论研究，提出了初中生数学解题 教学的基本策略：教给学生基本的数学思想方法；启发引导，让学生 学会解题：正确对待学生的解题错误。 关键词：数学解题，解题心理研究， 解题教学，教学策略 a b s t r a c t i nm em a t h e m a t i c st e a c h i n ga c t i v i t 弘i ti sm em o s tb a s i ca c t i v i t y f o mt os o l v eap r o b l e m m a t h e m a t i c ss o l v eap r o b l e m ，s t u d y i n g ， c o n s o l i d a t i n gk n o w l e d g e ，t m i n i n gq u a l i t y ，d e v e l o p m e n tc a p a c i t ya n d b r i n ga b o u ta na d v a n c ei np s y c h o l o g yo fi n d i v i d i l a lc h a r a c t e r ，h a v i n g i m p o n a n t 向n c t i o na i l dm e a i l i n ge ) m m e l yt o s t u d e n t b u ts o l v ea p r o b l e mi t s e l fi sn o tap u r p o s e ，j u s ta k i n do f t r a i n i n gm e a n s t h ea c t i v i t y o fs 0 1 v i n gap r o b l e mo fm a t h e m a t i c si sah n do fa d v a n c e da c t i 、，i t yf o 吼， a i l dac o m p l i c a t e dc o l l r s e 、h i c hi n c l u d e sal o to fl i i l l ( s t h i st e x ts o l v e sa p r o b l e m 疗o mm a t h c m a t i c st h ep s y c h o a n a l y s i so fm ec o u r s es e t so u t ， b a s e do nc o g i l i t i v ep s y c h o l o g ya n di n f o m a t i o np r o c e s s i n gp s y c h o l o g y s t a n dt of o l l rs t a g e sc o u r s eo fs o l v i n gap m b l e mo fm a t l l e m a t i c so nt h e a i l d e w i t h p s y c h 0 1 0 9 i c a lm a m e m a t i c s ，a n d t l l e p s y c h o l o g i c a l c h a r a c t e r i s t i c sd e m o n s t r a t e dh a sb e e nm a d ea i l da n a l y z e dm o r ec a r e f i l l l y p s y c h o a n a l y s i st h a tq u e s t i o ns i g l l i f y ，d e s i g i lp s y c h o a n a l y s i sp l a 皿e dt o s o l v eap r o b l e m ，c a r qo u tp s y c h o a n a l y s i sp l 咖e dt os o l v eap r o b l e m a n ds o l v eap r o b l e mp s y c h o a n a l y s i sm a tr e 、，i e w t l l l o u g ht h ef o r mo fi n t e r “e wo fc a s e s ，c h o o s ea n dh a v et h r e ej u n i o r s c h o o ls t u d e n t sw h os o l v eap r o b l e m a b i l i t y l e v e lo fd i 廊r e n t m a t h e m a t i c s ，p s y c h o l o g y s o l v e a p r o b l e m ， b e h a v ea i l dm a k e c o m p a r a t i v er e s e a r c hi nm a t h e m a t i c st o i t h a v ef o u n dt h e ya r ei n m a t h e m a t i c se m o t i o n ，a n i t u d e ，t l l r e er e s p e c t ，k n o w l e d g eo fm a t h e m a t i c s a i l d a b i l “y o fm a t h e m a t i c sh a v eo b v i o u sd i 圩e r e n c e ， r e n e c t i n g a s f o l l o w i n g1 0l i t t i em a i n l y ：( 1 ) s t u d ya b o u tm a t h e m a t i c s ，t l l ee m o t i o no f s o l v i n g ap r o b l e mi nm a t h e m a t i c s ；( 2 ) s t u d ya b o u tm a t h e m a t i c s ，t l l e a t t i t u d eo f s o l v i n g a p r o b l e m i nm a t h e m a t i c s ； ( 3 ) s t u d y v i e wi n m a t h e m a t i c s ，m a t h e m a t i c ss o l v eap r o b l e mv i e w ；( 4 ) i ns i 卿母i n ga b i l i t ) ， i nq u e s t i o n ；( 5 ) i nd e s i g n i n gt h ea b i l i 够t os 0 1 v eap r o b l e ma n dp l a n ；( 6 ) i n c a “y i n go u tt h ea b i l i t ) rt os o l v eap r o b l e ma n dp l a i l ；( 7 ) i ns 0 1 、，i n g a p m b l e ma n dr e v i e w i n g ；( 8 ) i nt h i n k i n ga b i l i t y o fm a t h e m a t i c s ；( 9 ) i n l e 锄i n ga b i l i t yo fm a t l l e m a t i c s ；( 10 ) i nu n d e r s t a n d i n gt h em d i m e n t a r y k 1 1 0 w l e d g ea n dc o m p r e h e n s i v ea p p l i c a t i o n o fk n o w l e d g e a n dt h e p s y c h 0 1 0 9 i c a lf a c t o r o fp r o p o s i n gi n n u e n c i n gj u i l i o rs c h o o ls t u d e n t s m a t h e m a t i c st os 0 1 v eap r o b l e mo nt h i sb a s i s ：m a t h e m a t i c sy u a n so f c o g l l i t i o ne x p e r i e n c e 埘t hy 1 1 a n s o fc o g l l i t i o nc o n t r o l l i n gc o m p e t c n c e u n d e r s t a l l d i n gi n t e n s i t yo fm a t h e m t i c s 妯o w l e d g e t h i n k i n ga b i l i 妙 l e v e lo fm a l e m a t i c s ( d m o o da n df a i m f i n a l l y ，c o m b i n er e s u l ta n dt h e o r e t i c a lr e s e a r c ht h a ti i l v e s t i g a t ea i l d a i l a l y s e ，p r o p o s ej u n i o rs c h o o ls t u d e n tm a t h e m a t i c s b a s i ct a c t i c st os 0 1 v e ap r o b l e mt e a c h i n g ：1 b a c hs t u d e n t sm eb a s i cw a yo fm i n k i n go f m a t h e m a t i c s ；i n s p i r a t i o ni sg u i d e d ，l e ts t u d e n t sl e a mt os o l v eap r o b l e m ； a d o d tac o r r e c ta t t i t i l d et o w a r d ss t u d e n t s m i s ta ：k eo fs o l v i n gap m b l e m k e y w o r d ： s o l v ea p r o b l e m i n m a t h e m a t i c s ， s o l v eap r o b l e m p s y c h o l o g i c a l r e s e a r c h ，s 0 1 v eap r o b l e ma n dt e a c h ，t e a c h i n g t a c t i c s 1 初中生数学解题心理研究 第一章关于数学解题心理的研究概述 引言 波利亚( p l o ya ) 的怎样解题的问世，引起了人们对“解题” 的关注。波利亚写道：“解题是人类的本性。我们可以把人类定义为 解题的动物。”的确，在数学学习教育活动中，“解题”是最基本 的活动形式，它对于学生数学概念的形成，数学命题的掌握，数学方 法和技能的获得都起到了很大的作用。学数学，就要解数学题，数学 解题学习对学生巩固知识、培养素质、发展能力和促进个性心理发展 都具有极其重要的作用和意义。数学学习离不开解题学习，这必然导 致数学教学离不开数学解题的教学。波利亚曾指出：“中学数学教育 的首要任务是加强解题训练。”然而，这句话被很多人理解为数学就 是要多做题，而忘记了“解题本身不是目的，而是一种训练手段。” 数学解题教学的核心并非是各种特殊的解题方法或技巧，而是一些基 本的思想方法和思维模式，应当让学生学会“数学地思维”。那么如 何让学生学会“数学的思维”? 在此之前，就有必要先搞清楚学生在 数学解题时的思维是怎样的，心理是怎样的，它离我们所希望的“数 学地思维”还有多远。 1 1 国外的相关研究 1 1 1 波利亚( p o i ya ) 的研究 波利亚的数学解题思想，主要体现在他的三部著作中：怎样解 1 硕士学位论文 题( 1 9 4 4 ) 、数学与猜想( 1 9 5 3 ) 、数学的发现( 1 9 6 2 、1 9 6 5 ) 、 概括起来，波利亚的工作主要是如下几个方面。 1 1 1 1 提出了系统的解题观 问题解决作为一个大系统，由提出问题和解决问题这两个小系统 组成。在“提出问题”这个系统中，波利亚详尽地对归纳、类比、一 般化、特殊化等发现问题的方法作了分析，得出了一系列合情推理模 式，在“解决问题”系统中，波利亚给出了一个四步骤的解题程序： 弄清问题一拟定计划一实现计划一回顾，根据每一步的特征，拟定更 细的策略，得出一张“怎样解题”表，这张表集解题思想、解题过程、 解题思路、解题方法于一身，融理论与实践于一体，组成一个相对完 善的解题系统。 1 1 1 2 数学解题的启发法思想 “怎样解题”表中的解题策略和建议是数学启发法的核心。这些 策略和建议能够给解题者以一定的启示，从而有效帮助他们去发现好 多或正确的解题方法。另一方面，解题者通过对解题过程的深入研究， 特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，这些方法和模 式在以后的解题活动中起到启发和指导的作用。波利亚具体的给出了 一些解题模式及策略，如：分解与组合、笛卡尔模式、递归模式、叠 加模式、双轨迹模式、合情推理模式等。 1 1 1 3 对解题思维作了深层的描述 其一，波利亚将人的解题思维分为4 个水平：图像的水平表 示所研究的问题在解题者头脑中的画面演化过程。表示关系的水平一 初中生数学解题心理研究 一用点表示对象，用线段表示关系，那些点用线段连接了，就表示这 些对象问的关系被解题者认识到了。数学的水平由数学公式组 成，与表示关系的水平恰好形成对照。启发的水平适应于每一个 阶段，提出自然恰当的问句提示，以促使解题者进入那个阶段。其二， 汲利皿片j1 一张正万彤图表采尚反概括人的数字思维活动。 吩k 辨认重新分配 彳预见 回吣蛆合夕耍 “动员”与“组织”在正方形水平对角线的两端，使两个相辅相成的 活动。“动员”指解颖者从记 乙中提取与解颢有关的信息。“编织”则 是把这些信息有目的地联系起来。波利亚进一步做出这样的比喻：解 一道题就像建造一所房子，我们必须选择合适的材料。但光是收集材 料还不够，一堆砖头毕竟还不是房子，要构筑房子或构造解，我们还 必须把收集到的各个部分组织在一起使它们成为一个有意义的整体。 “辨认”与“回忆”是与“动员”有关的两个因素。一般说来， “辨认”能引导解题者“回忆”起某些有用的东西，并把有关知识“动 员”起来。 “充实”与“重新配置”。“充实”指添加一些新的细节和填补空 白，使组织起来的信息更加丰满。“重新配置”指在必要时对信息进 行重新组织。 “分离”与“组合”。“分离”是从整体中把特殊的细节挑出来， “组合”则是把零散的细节重新集合成一个有意义的整体。这两种因 硕士学位论文 素相辅相成地推动着解题的进程。 “预见”是解题活动的中心。在解题活动中，动员和组织各种因 素，分离和重新组合它们，辨认和回忆它们，重新配置和充实对问题 的构思等，都为了预测到解或预测解的某些特征。因而，“预见”贯 穿于整个解题活动之中。 l _ 1 1 4 阐释了问题解决与数学教育的关系 提出了3 条教学原则和l o 条给教师的建议。 1 1 2 舍费尔德( s c h o e nf e l d ) 的研究 美国数学教育家舍费尔德发展了波利亚的数学启发法思想，他在 数学解题( m a t h e m a t i c a lp r o b l e ms o l v i n g ，1 9 8 5 ) 中指出，数学 解题的智力活动含有4 个方面：认知的资源。指解题者所具有的与 问题有关的数学知识。启发法则。即克服困难的思维策略。调控。 指对资源和策略的选择和执行做出相关的决策，对解题过程进行调 控。信念系统。指解题者对自我、数学、问题以及环境的看法和认 识。显然，舍费尔德将元认知和情意因素引入解题系统，并且作了一 些实证性的研究，因而就使波利亚的启发法思想有了一个新的发展。 1 1 3 皮亚杰( p i a g e t ) 的图式说 皮亚杰认为认知结构就是图式( s c h e m e ) 。它有两种具体的组成 成分，一是知识块，二是知识的组成形式。这里知识块主要可以分为 三种类型。一是命题( 即概念的组合) ，二是意象( i m a g e ) ，是对刺 激物的表象或想象。其意象有两种：一种是记忆意象，指对客体的一 种主观体验，这个客体对于经受这种经验的人来说，曾经作为一种刺 初中生数学解题心理研究 激存在过，但现在并不存在于其知觉领域中；一种是创见意象，是指 客体的主观经验，而这个客体对于经受这种经验的人来说从没有作为 一个刺激物而浮现过，它是一种想象出来的客体：三是一种算法，即 一种操作控制的知识。同时，这些知识块必然是以一定的形式组织起 来以期在信息的接收和加工过程中发挥认识的功能。皮亚杰认为，认 知就是图式的不断建构的过程。分析皮亚杰的图式，包含以下特征： 图式作为认知结构是一种知识的组织体，它能控制思维和行动的 各个方面，且经常处于发展变化之中。 图式是人们形成的心理结构，也是知识发展过程中新知识形成的 机制，没有图式的不断建构就不会有知识的发展，也就不会有任何智 能行为。 图式来源于主客体的相互作用，是在主体能动调节下，不断同化 和顺应而双重构建的结果。同化是认知主体将客体纳入主体的图式之 中：顺应则是认知主体调整原有认知图式创立新图式以适应客体，调 节则是认知主体如何控制同化和顺应的双重建构达到平衡的问题。 1 1 4 其他一些研究 1 1 _ 4 1 对数学问题解决本质的探讨 斯塔尼克( s t a n n i c ) 和基尔帕特里克( k i l p a t r i c k ) 对数学问题 解决的本质作了历史回顾。认为问题解决主要有三个主题，第一个主 题是将问题解决当作一种背景，把问题作为实现其他课程目标的工 具，也就是说，问题解决本身并不被看作是一种目的，而是作为实现 其他目的的一个手段。第二个主题是把问题解决当作一种技能。第三 硕士学位论文 个主题是把问题解决看作一种技艺，主要是指解决实际问题，进而把 数学视为一门解决问题的学科。 1 1 4 2 影响问题解决的因素分析 里斯特( l e s t e r 1 9 8 0 ) 认为影响数学问题解决有多重因素，其 中有4 种主要因素：问题自身任务变量，即问题本身的结构、难 度以及多涉及的数学知识直接影响着问题的解决。解题者的特征 主体变量，即解题者的知识结构，能力以及认知风格对解题的影响。 解题行为过程变量，解题者在解题过程中的外显及内隐行为对解 题的影响。环境特征指示变量，外部环境对解题的影响。于是， 里斯特认为对问题解决的研究应在这4 个方面中展开。 1 1 4 3 专家与新手的解题比较研究 赫勒( h e l l e r ) 与亨盖特( h u ng a t e ) 研究了专家与新手的解题差 异，找出善于解题的教师所表现出的创造性行为，并把这些行为作为 新手教师的教学指导。迈耶在研究专家与新手范例时，还探讨了对图 式理论的应用情况。舍费尔德将解题过程分为阅读、分析、考察、计 划、实施、证实等6 个阶段。结果发现在“分析”和“计划”阶段。 教师( 专家) 所用时间远远多于学生( 新手) 所用时间，这就揭示了 在解题自我监控方面，专家与新手存在明显的差异。同时也说明了元 认知对解题的影响作用。 1 1 4 4 解题策略研究 2 0 世纪7 0 年代后，很多学者发现波利亚的启发法尽管表面上具 有通用性，但并不适合用于各种新领域，因而人们展开了对解题策略 初中生数学解题心理研究 的进一步研究。如赫勒与亨盖特( 1 9 8 5 ) 研究认为，在进行解题策略 教学时，应将默示在的过程明确化，让学生就这些过程进行讨论，教 师提供有指导的教学活动，确保学生学会每个步骤，既要注重定性理 解，也要注重具体步骤。 1 1 4 5 做数学的信念 对学生做数学的信念，兰帕特及舍费尔德作了调查研究。结果表 明：学生很大程度上是在课堂学习经历中形成自己对形式数学的信 念和对这一学科的感觉。学会具有的信念会非常强烈、通常是消极 地影响着自己的行为。关于教师做数学的信念，库尼( c o o n e y ) 、汤 姆森( t h o m p s o n ) 等人的研究表明，教师对数学学科的意识决定他所创 设的课堂环境的性质。这一环境又反过来影响学生对数学性质的信 念。 1 2 国内的研究综述 1 2 1 习题理论 戴再平( 1 9 9 1 ) 首先开展了对数学习题的系统研究，包括数学习 题的分类、功能、科学性及编制等方面。 1 2 2 解题系统 罗增儒( 1 9 9 7 ) 采用系统科学的观点来描述数学问题系统和数学 方法系统，并应用反馈原理、有序原理及整体原理对解题过程进行分 析。朱德全( 1 9 9 9 ) 建构了数学问题系统与解决程式，他将数学问题 系统分为横向的认知操作系统与纵向的知识内化系统，然后得出了数 硕士学位论文 学问题解决的“四步再反馈”程式。 1 2 3 数学方法论层面的解题研究 徐利治( 1 9 8 3 ) 提出了r m i 原则，用映射沟通两个或多个不同数 学结构中的问题系统，从而揭示出问题化归的本质。在高层次解题策 略方面作了开拓性工作。张奠宙、过伯祥( 1 9 9 6 ) 对数学方法进行分 类，然后从哲学层面对重大数学方法作了分析，并给出解题的几条原 则。 1 2 4 解题思维 郭思乐( 1 9 9 1 ) 用思维图去描述解题的思维过程。任樟辉( 1 9 9 1 ) 给出了8 种数学思维模式及l o 种数学解题思维策略。 1 2 5 解题能力结构 孙宏安( 1 9 9 6 ) 认为数学问题解决能力因素主要包括：对问题情 景进行分析和综合，进而提出问题的能力、把数学问题化的能力、对 数学问题进行变换，化归的能力、灵活运用各种数学思想方法的能力， 进行数学计算和数学证明的能力、对数学结果进行检验和评价的能 力。 1 2 6 影响数学解题的因素 郑君文( 1 9 9 2 ) 认为影响数学解题的因素有：问题情境因素、解 题者个人的特征、问题解决中的认知策略等3 方面。罗增儒( 1 9 9 7 ) 认为解题的成功与否取决于多种因素，其中最基本的有：解题的知识 因素、解题的能力因素、解题经验的因素和解题的非智力因素。 初中生数学解题心理研究 在查阅了大量文献资料，总结出国内外对数学解题进行的研究之 后，笔者发现，专门从心理的角度对数学解题过程进行研究的较少， 大多都是对数学解题过程进行分析，研究影响数学解题的因素，笔者 站在数学教育心理学的角度，从数学解题过程的心理分析出发，通过 个案调查，着重研究影响数学解题的个体心理因素，并以此为根据提 出数学解题教学的几条基本策略。 初中生数学解题心理研究 第二章数学解题过程的心理分析 几乎每个人都有解数学题的经历，当一道数学题摆在我们面前时， 我们通常做的第一步就是“读题”，更专业的说法就是“审题”。“审 题”的关键不是看懂题目中的文字表述，而在于将文字语言转化为数 学语言，将题目中的已知条件和求解与头脑中的与之相关的数学知 识、概念等联系起来，初步确定下一步从何着手。第二步很多人会说 就是动手解题了，其实，与其说是动手解题，还不如说是“试探解题”， 因为真正称得上“问题”的数学题，并不是一眼就能看出解题方法的， 需要解题者去尝试、去试探，而这一过程是一个复杂的心理过程，需 要解题者充分调动自己的数学头脑，寻找解题策略，这也是决定解题 是否成功的关键一步。最后这一步是经常被很多人遗忘的，就是“解 题回顾”，这一步对整个数学解题活动起到趁热打铁或查漏补缺的作 用。是数学解题活动的真正意义之所在，是提高解题能力最有意义的 阶段。通过回顾，不但可以检验解答，还可以讨论解法、推广结果、 总结经验、反思错误，从而帮助解题者认识解题过程的不足之处，寻 求好的解法，获得有益的经验，逐渐地，就可以从中获得解答数学问 题的能力，最终学会“数学地思维”。 认知心理学家提出，就内在的思维活动而言，数学解题的过程可 以被看成在任务范围内，现有状态与目标状态的差别的缩减或目标状 态的不断转换。按照著名数学家波利亚的分析，数学解题思维活动主 _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ i _ _ _ _ _ _ _ 。- 。- o o o o o o - i 婴主兰垡堡苎 要是一个“动员与组织”、“辨认与回忆”、“充实与重组”、“分离与组 合”的过程。解题者通过阅读问题，理解并建构起最初的“问题空间” ( 这里我们把学生对解题的现有条件、所要达到的解题目标、可以采 用的方法策略以及有关实施方法策略后可能达到的种种解题结果的 整体性认识称作问题空问) ，根据本身以有的认知结构与现有问题的 不断接触与筛选，最终获得问题的成功解决。从这样的角度分析，解 题成功的关键就在于解题者所建构的“问题空间”的质量。若一个解 题者所建构的问题空间是不精确或不充分的，就会使得解题活动变得 较为困难、甚至不可能获得成功。 信息加工心理学家一般把解决问题过程分解为问题表征，设计解 题计划，执行解题计划和监控，解题回顾四个步骤。问题表征是指形 成问题空间，包括明确问题的给定条件，目标和允许的操作。用我国 教育界流行的术语来说，问题表征就是审题，即了解题意的过程。设 计解题计划是指确定解题的一般步骤，如重新描述问题，使之转化为 更类似于熟悉的问题，建立问题的子目标的层次关系。执行解题计划 是利用数学计算规则进行一系列的数学运算，最后求得正确的答案。 解题回顾是指问题解决者分析问题解决的过程，回顾所完成的解答， 对解答进行检查和探讨，确定自己采取的行动是否适合解题计划。 2 1 问题表征的心理分析 问题表征是指解题者通过审题，认识和了解问题的结构，通过联 想，激活头脑中与之相关的知识经验，从而形成对所要解决的问题的 一种完整的印象。一般而言，要保证问题得以解决，必须建构具有一 初中生数学解题心理研究 定抽象性和概括性的问题表征，因为只有在这种表征状态下，问题的 内在结构才能突出显示出来，才能达到较高水平的问题表征。数学问 题的有效解决常常依赖于对问题的适宜表征，不同的表征产生不同的 解题方法。适宜的表征可以减小运算量、缩短思维过程。因此准确、 适宜的问题表征成为数学解题成败的首要条件。一道数学问题的给出 是通过“数学语言”达到的。数学语言是进行数学思维和数学交流的 工具，按其外形特征，数学语言可分为文字语言、符号语言和图形语 言。符号语言简洁抽象，图形语言直观形象，而文字语言通俗易懂， 便于理解和思维操作。一个数学问题往往包括了这三种语言形式，因 此，如何在这三种语言形式之间进行结合和转化，如何利用自己容易 理解的语言加以表征，往往是理解题意，获得解题突破的关键。 除此之外，问题表征还受多方面因素的交互影响，而这些交互作 用的因素既包括问题的初始条件、问题呈现的背景信息，也包括问题 解决者的知识图式；既包括认知因素，也包括情绪的、动机的、人格 的和社会的因素。 2 1 1 正确的语言表征是理解“问题”的第一步 很多有经验的中学数学老师都会在课堂上强调语文学习的重要 性，因为大部分的数学题，特别是中学数学中的应用题，都是用文字 语言表述出来的；它是数学语言的一部分。对于文字功底好的学生， 他们能逐字逐句读懂描述问题的每一个句子，能用自己的话重复问题 的条件：同时，还能用自己的话陈述问题的目标。现代信息加工心理 学把这种问题的理解看成是将问题转化为解题者内部的心理表征，而 硕士学位论文 它正是对问题的表层理解。问题表层理解需要两种知识：一是词语知 识，二是事实知识，按现代认知心理学的知识分类，上述两种知识都 属于陈述性知识。 例如：解决如下数学问题： 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装( 5 0 0 9 ) 和小瓶装( 2 5 0 9 ) 两种产品的销售数量比( 按瓶计算) 为2 ：5 。某厂每天生产这种消 毒液2 2 5 吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶? 如该问题的条件可以陈述如下：大瓶装消毒液的重量为5 0 0 克， 小瓶装消毒液的重量为2 5 0 克：大瓶装的消毒液的销售数量与小瓶 装的消毒液的销售数量之比为2 ：5 ；某厂每天生产这种消毒液的 总量为2 2 5 吨。问题目标是：每天生产的这些消毒液可分装成大、 小瓶装两种产品各多少瓶。这样就可以说，把题目意思基本上弄清楚 了。 2 1 2 准确的符号、图式表征是“数学解题”的信息储存和加工过程 这一过程即将问题综合，进行深层理解的过程，指在问题表层理 解的基础上，进一步把问题的每一陈述综合成条件和目标统一的心理 表征。问题深层理解需要问题图式的知识。图式是现代认知心理学的 一个重要概念。现代认知心理学认为，人之所以能识别某种事物或事 件，是因为人对环境中各种特征之间的相关有一种基本的敏感性，能 够注意并记住在这一范畴中哪些特征组合往往会连同出现，并根据这 些相关的特征建立起有关该范畴的图式。图式是人脑对事物或事件一 般特征的概括，贮存于人脑的长时记忆中。在解数学题时，学生头脑 初中生数学解题心理研究 中必须贮存有关题型的图式，才能迅速识别题型。然后将组成该图式 的数字、符号、算式等写出来，则可以减轻记忆负担，再利用已有信 息做层次关系分析，逐步进行数式表征，问题就会变得清晰明了。在 解决数学问题时，注意运用体现数学学科特点的数学术语，如字母、 代数式、方程、集合、函数等表征问题，将有助于发现解决问题的途 径。 例如，某厂能够生产甲、乙两种产品，已知生产这两种产品每吨 所用的煤、电以及每吨产品的产值是： 用煤( 吨)用电( 千瓦)产值( 千元) 甲种产品 728 乙种产品 35 1 1 由于当地每天分配给该厂的煤和电力有限制：每天供煤至多5 6 吨，供电至多4 5 千瓦，该厂应如何安排生产才能使日产值最大? 该题是一个由文字和图表来给出信息的数学问题，把提供的信息 抽象、概括，并进行字母表征，设每天生产甲种产品x 吨，乙种产品 y 吨，日产值为s 千元，则此数学模型用数式语言表征为s = 8x + 1 1 y ，故所求问题归结为求目标函数s = 8x + 1 1y 的最大值。再把普通 语言“至多”表征为符号语言“”，限制条件表征为数式语言是 f 7 z + 3 y 5 6 2 x + 5 j ，4 5 【x o ，y o 可见这是数学中的线性规划问题，下面的解法不言而喻。本题审题过 张传伟数学的“问题表征”在“问题解决”中的意义【j 】数学通报，2 0 0 3 ，1 2 ：3 。 硕士学位论文 程中，是把有关量的信息用字母符号表征，把限制条件用不等式表征，所 求问题表征为求目标函数s = 8 x + l ly 在线性约束条件下的最大值问题。 2 1 3 合理的模式表征有助于简约“问题解决”的思维长度 心理学的研究表明，人对数学模式的表征是有组织的，其组成 的核心是一些语义相联的组块。一些孤立的信息输入人的大脑后经过 筛选，进入短时记忆，再经过深加工，抽象出反映问题本质的有关信 息的组合进入长时记忆，就形成模式表征，解决数学问题时，首先要 辨别问题的类型，认清题目的结构特征，分析出题目中的某些部分与 已知模式的结构特征是否具有相似性，以便与已有的经验知识发生联 系。若能够正确识别模式，就可很快地缩小收缩的范围，向问题解决 迈出了决定性的一步。上两步的问题表征只是借助通俗易懂的文字语 言、准确的数式语言完成了对数学问题的初步理解和呈现。这有助于 解题者辨别问题类型，认清题目的结构特征。这一步解题者要做的是 在问题表述的基础上形成关于问题情境的内部表征，包括对问题空问 的选择，在已储存的数学模式中，寻找解决该问题的合理模式，为下 一步设计解题计划明确方向。因此，这一步对解题者的要求比较高， 要求解题者不但具有丰富的数学知识，还要有丰富的数学模式知识， 能剖析数学模式的结构特征、适用条件、模式的本质和功能。 例如：求函数厂( 目) = 兰坚尘；之的最大值和最小值有不少学生不能识 c o s 日一z 别该问题的本质特征，看到是有关三角问题，就想到用三角法解决， 但这种方法较繁。仔细观察可发现：s i n 曰，c o s 扫可看作变量，若设x 张全信决定数学解题成败的四个因素 j 】滨州师专学报，2 0 0 3 ，2 ：3 6 。 初中生数学解题心理研究 = c o s 臼，y = s i n 曰，则原式变为，徊) = 掣，容易联想到经过两点的直 线斜率公式这一数学模式。 又如，已知x + y + 1 = o ，求z f = ( x 1 ) 2 + o 1 ) 2 的最小值。该题在 约束条件下求最小值，常规思路是消去一个变量，使之变成一元二次 多项式，再运用配方法，其中式子的整理变形比较烦琐、运算量较大。 但是，如果将”= 一1 ) 2 + o 一1 ) 2 利用两点之间的距离公式进行模式表 征，看成两点a ( x ，y ) 与b ( 1 ，1 ) 间的距离，那么，我们头脑中立即构造 出一个几何模型：由于点a ( x ，y ) 的坐标满足x + y + 1 _ o ，所以u 的 最小值就是点b ( 1 ，1 ) 到直线x + y + l = 。的距离，即= 世岩型= 竽 可见，适当的模式表征简约了思维过程，使学生容易找到解题的方案。 2 1 4 多种问题表征方式相结合有助于解决文字叙述的数学问题 问题表征有各种各样的方式，布鲁纳的表征理论中提出了动作表 征、图像表征和符号表征三种基本的表征模式。在实际的数学解题 过程中，常常需要对问题进行多种表征才能真正弄懂问题，对于文字 叙述的数学题，教师常常画一个图，结合图像表征，学生能较好地理 解文字叙述的数学题。下面看一个这样的问题。 例如：由相距1 0 5 千米的两地a 和b 同时相向地驶出两个骑自行 车的人，经过1 小时4 5 分钟后相遇，相遇后各人继续沿着自己原来 的方向不停地前进。他们相遇后3 分钟，以4 0 千米时的速度行驶的 第一个骑自行车的人遇到了和他沿同一条路迎面驶来的第三个人。第 三个骑自行车的人和第一个骑自行车的人相遇以后不停地继续沿着 王子兴宋秉信昌国良中学数学教育心理研究长沙：湖南师范大学出版社，1 9 9 92 3 7 硕士学位论文 原来的方向行驶，并且在c 点赶上第二个骑自行车的人。如果第一个 骑自行车的人的速度减少2 0 千米时，而第二个人的速度增加2 千米 时，那么他们就在这c 点相遇。问第三个骑自行车的人以什么速度行驶? 显然，这道题所涉及的数学知识和策略并不复杂，就是一道行程 问题。但信息关系不明显，单靠非形式语言表征，会对解题者带来很 大的记忆负担，容易出错。如果借助图像表征和代数符号表征，把题 中的信息标在图上，就能帮助解题者清楚地看出条件与所求之问的联 系，从而顺利解答。 图像表征 代数符号表征 脚一4 0 ( 1 + 篙) ；7 0 b b m 一1 0 5 7 0 = 3 5 3 5 ( 1 + 筹) = 2 0 ( 掣j ) a c 一( 4 0 一2 0 ) 1 0 5 孺可= 菊下f 而雨 丑 = s o c 降掣爿。囊二 z z 器= 等 2 2 设计解题计划的心理分析 在我们大体上知道一道数学问题要求什么，以及为了求解未知量 我们必须要做哪些计算或作哪些图时，我们就要设想一套解题方案。 1 8 初中生数学解题心理研究 设计解题计划的过程也就是探索和发现解题方法的过程，即对问题进 行正确模式识别的过程。有效的解题计划的形成是解题者受问题终点 目标指引，把终点目标分解成一系列子目标，同时考虑已知条件，选 择合理的运算步骤的过程。它需要解题者具有解题策略的知识，以及 对问题模式进行正确迁移、选择正确解题策略的能力。认知策略是由 人们掌握的关于如何学习、记忆、思维和解决问题的方式方法的知识 构成的。根据信息加工心理学的观点，人类的信息加工系统有特别的 局限，表现在：一段时间内，在工作记忆中保持加工的信息数量有 限。信息编码的能力我们可能意识不到一项任务的某些方面是 相关的，我们可能也没有能力对同时由功能观所获得的所有信息进行 编码。贮存信息的能力某一时刻的记忆可能会受到后来记忆的 干扰，或者受先前期望的破坏。提取信息的能力人类记忆是经 常犯错误的。保持积极的动机和唤醒水平的能力我们会变得烦 躁、厌烦。由于我们在解决一道问题时常常会表现出上面的这些心理 局限，因此，在执行解题计划之前，我们需要设计一个周全的解题计 划。当然，对于比较简单的数学问题，解题计划不需要写下来，但实 际上它还是会在我们头脑中产生，用以指导我们下一步的解题。然而， 一个好的解题计划的产生，离不开解题者的数学认知因素。波利亚曾 说过：“如果我们对该问题知识贫乏，是不容易产生好念头的。如果 我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头。一个好念头的基础是 过去的经验和已有的知识。”解题者数学认知结构的基本要素有：( 1 ) 数学理论性知识；( 2 ) 数学前提性知识；( 3 ) 数学经验性知识。这些 硕士学位论文 知识够成了解题者在数学解题过程中设计解题计划的前提条件。 例如：a 为什么数时，方程壶+ 孚十云兰云= 。只有一个实数 根? 并求出这时方程的根。 显然，回忆所学的知识，对于方程的根的讨论，我们一般都是针 对整式方程进行的，但题目中给出的是一个分式方程的形式，因此， 我们所采取的第一步就应该是将其转化成整式方程，将方程通分，并 去分母得：2 x ：一2 x + 4 一d ：o ，然后再根据一元二次方程的根的判别式 可以将问题解决，但需要注意根据题中的条件，只考虑方程只有一个 实数根的情况，且此时a 取整数。由此，我们可以看出，在设计解题 计划时，要具备与该问题相应的数学理论性知识以及将问题进行有效 转化的解题策略。 2 3 执行解题计划的心理分析 执行解题计划是利用数学计算规则进行一系列的数学运算，最后 求得正确的答案的过程。根据现代认知心理学按知识的表征类型进行 分类，将知识分为陈述性知识( d e c l a r a t i v ek n o w l e d g e ) 与程序性 知识( p r o c e d u r a lk n o w l e d g e ) 。所谓陈述性知识，正如它的修饰词所 表明，能被人陈述和描述。简言之，陈述性知识是有关人所知道的事 物状况的知识。与陈述性知识相对的程序性知识，则并不停留在人们 仅能说说而已的状态。它是关于人怎样做事的知识，既涉及运动技能 ( m o t o rs k i l l ) ，也涉及在什么样的条件下使用某一数学原理的认知 技能( c o g n i t i v es k i l l ) ，还涉及怎样使用自己的认知资源之类的认 知策略( c o g n i t i v es t r a t e g y ) 。根据这一分类，这种数学计算能力 初中生数学解题心理研究 是由个人的程序性知识支配的。人脑要能正确进行数学运算，必须遵 循适当的运算法则。解题计划的执行需要第二类知识即程序性知识。 解题方案已经给出了一个总体的框架，然后要做的就是将每一个 步骤落到实处。在解题者执行解题计划的过程中，元认知体验起到了 激发解题者探求新思路、运用新策略，产生新的解题方法的作用。同 时，元认知监控和调节起到监控解题的过程、维持和修正解题的方向 的作用。也就是说，执行解题计划并不是将问题的答案写出来这么简 单，它要求解题者具有较强的自我监控能力，丰富的解题策略，清晰 的解题思路，以及灵活多变的数学头脑。这样才能确保解题计划中的 每一步都能顺利实旖。 例如：同样考虑上题：a 为什么数时，方程击+ 专子+ 云三缶= 。 只有一个实数根? 并求出这时方程的根。 在设计完解题计划后，我们需要分步骤执行解题计划：第一步： 将原方程通分，并去分母得2 x ：一2 r + 4 一日= o 。第二步：只要方程 的实根不为0 或2 ，就是方程的根。但由于方程只有一个实根， 所以需要分下面两种情况进行讨论：第一种情况是：方程有两个相 等的实数根，且均不为0 或2 。这时，由方程的判别式 = ( 一2 ) 2 4 2 ( 4 一) = o 可得a = 妥，不为整数，因而舍去。第二种情 况是：方程有一个根为0 ，或者有一个根为2 。当方程有一个根 为。时，将其代入方程可得a = 4 ，这样，原方程变成 击+ 专孑+ 砉兰去= 。解此方