（电力系统及其自动化专业论文）小波分析在输电线行波故障测距中的应用研究.pdf

a b s t r a c t i nt h i st h e s i ss o m ee x i s t i n gm e t h o d so ft r a n s m i s s i o nl i n ef a u l tl o c a t i o n a r e s u m m a r i z e da tf i r s ta n dt h o s em e t h o d s p r i m a r ym e r i t sa n dd i s a d v a n t a g e sa r e a n a l y z e da sw e l l i na d d i t i o n ，t h ea c t u a l i t ya n dp r o g r e s so ft r a v e l i n gw a v ef a u l t 1 0 c a t i o na r ep r e s e n t e d t h e nt h ef o u rp a i t so ft h i st h e s i sa r ef o l l o w e d i np a r to n e ， t h e t h e o r y o fs i n g u l a r i t y s i g n a l e x a m i n a t i o nb a s e do nw a v e l e tt r a n s f 0 i t ni s d i s c u s s e da n dt h et h e o r yc o m m o n l yh a sb e e nc o n s i d e r e dt h ee l e m e n t so ft r a v e l i n g w a v ef a u l tl o c a t i o n i nt h i sp a r tt h eb a s i cc o n c e p to fw a v e l e tt r a n s f o r n - ia n dt h e d y a d i cw a v e l e tu s e d i 1 1 s i n g u l a r i t ys i g n a l e x a m i n a t i o na r ei n t r o d u c e dt o o a n d b e s i d e s t h ei d e ao fw a v e l e tm u l t i s c a l es i n g u l a r i t ye x a m i n a t i o nw h i c hb eu s e di n w a v e l e td e c o m p o s i t i o nw a si l l u m i n a t e d i n p a r t t w ot h ew a v e l e ta n a l y s i so f t r a n s i e n tt r a v e l i n gw a v ew a sd i s c u s s e da tf i r s t ，t h e np r e s e n t e dam e t h o dw h i c hc a n b eu s e dt o p i c k u d t h ef a u l t s i g n a l o ft r a v e l i n gw a v ea n di d e n t i f yt h et i m eo f t r a v e l i n gw a v eh e a da r r i v i n ga n d t h er e l e v a n tv e l o c i t yo ft h ec h a r a c t e r i s t i ct r a v e l i n g w a v e i nt h i s p a r tt h et r a n s i e n tt r a v e l i n gw a v eo ft r a n s m i s s i o nl i n e i s p r e s e n t e d f i r s t l y , i n c l u d i n gt h es o u r c eo f t r a v e l i n gw a v e t h em o l do f t r a n s m i s s i o nl i n ea n d t h e c h a r a c t e r i s t i co ft h r e e p h a s et r a n s m i s s i o ni i n e t h e nt om a k et h ec h a r a c t e r i s t i c b e t w e e nv e l o c i t ya n d f r e q u e n c y a d e e ps t u d y w h e nt h e t r a v e l i n g w a v ei s t r a n s m i t t i n g ，g e tac h a r a c t e r i s t i cb e t w e e nm o l dp h a s e v e l o c i t ya n df r e q u e n c yb y u s i n ge m t ps i m u l a t i o n ，w h i c hc a nc o n f i r mt h ev e l o c i t yo ft r a v e l i n gw a v e l a s tt h e m o l dc h a r a c t e r i s t i ct r a v e l i n gw a v ei sc o n s t r u c t e db yt h a tr e s u l to fs i m u l a t i o n s o w ec a nm e a s u r et h ef a u i ti o c a t i o nc o m b i n i n gw i t ht h em a x i m a iv a l u eo fw a v e l e t t r a n s f o l t a i np a r tt h r e e ih a v eaf u r t h e rs t u d ya b o u tt h ea p p l i c a t i o no fw a v e l e t t h e o r yc o n s i d e r i n gt h ei m p o r t a n to ft 1 1 ew a v e l e tt h a tw ee l e c ti nt r a v e l i n gw a v e f a u l tl o c a t i o n s ot h em e t h o do fh o wt oc o n s t r u c ta c o m p a c t l ys u p p o r t e d b i o r t h o g o n a l i t yw a v e l e tw i t hg e n e r a l i z i n gl i n e rp h a s ei sp r e s e n t e db a s e do nt h e d e e pa n a l y s i so f t h et w o s c a l es y m b o la n dac o n s t r u c t i o ne x a m p l ei sg i v e n i np a r t f o u rt h ec o n s t r u c t e dw a v e l e ti sa p p l i e dt ot h et r a n s m i s s i o nl i n et r a v e l i n gw a v ef a u l t i o c a t i o n t h e nt h e p r a c t i c a b i l i t y a n ds u p e r i o r i t yo ft l l i sk i n do fw a v e l e tw a s v a l i d a t e db ye m t ps i m u l a t i o n k e yw o r d ：w a v e l e ta n a l y s i s ，t r a v e l i n gw a v e ，f a u l tl o c a t i o n ，e m t ps i m u l a t i o n b i - o r t h o g o n a l i 妙w a v e l e t 武汉大学电气工程学院 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的申请硕士学位的论文是本人在导 师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加 以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经 发表或撰写的成果作品。对本文的研究作出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：丐c 4 1 备扩 日期：1 年，月b 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用论文的规 定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件 和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权武汉大学可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密囱，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于不保密口。 作者签名：咕西 刷磁轹r 恐尹 日期：协；年r 月日 日期：乙叫年r 月b 日 武汉大学电气工程学院硕士学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 本章首先对已有故障测距方法进行了概述，总结了现有的一些测距方法 的主要优缺点；接着介绍了行波故障测距研究的现状和进展情况；最后介绍了 本论文所做的主要研究工作。 1 1 故障测距的意义和主要方法概述 随着电力系统的发展，输电线路电压等级和输电容量逐步提高，输电线 路故障对社会经济生活造成的影响越来越大，造成的损失也越来越大。从现有 的恢复运行的经验来看，设备维护的多数时间是用在找出故障位置上。特别 是当故障发生在特殊的时间和地点，寻找故障点是比较困难的。通过准确的故 障定位既能减轻寻线负担、节省大量的人力物力，又能加快线路的恢复供电， 减少因停电造成的综合经济损失。因此输电线故障测距工作是非常有意义的。 故障测距所要作的工作是当输电线的某一点发生接地或相间短路时，设 法通过线路两端测量得到的电流、电压及线路阻抗等参数来计算出故障距离。 通常输电线故障测距研究方法大致有两类：一类是直接计算出故障阻抗占全线 路的百分比来判断故障距离的方法，它又可分为反映工频基波量的算法和解微 分方程的算法：另一类是利用高频故障暂态电流、电压的行波或故障后向故障 点发送脉冲的方法来间接判定故障点的距离。当然，近些年也出现了使用在 线识别技术的智能化测距方法，但目前成本较高，在将来会有所发展。下面仅 对这两类方法进行简单的综述。 武汉大学电气工程学院硕士学位论文第1 章绪论 1 1 1 阻抗法 阻抗法故障测距在计算故障阻抗时，可利用线路两端的测量信息或仅利 用单端测量信息。利用单端测量信息法最初是建立在电抗法或阻抗法的原理上 的，有牛顿一拉夫逊法，傅里叶级数法，最小二乘估计法等可用来计算故障阻 抗，从而求得故障距离，计算方法比较复杂。单端测量信息法采用的线路模型 多为集中参数模型，具体算法可简单归结为迭代法和解二次方程法。因为迭代 法的使用范围和迭代初值都是有比较严格限定的，所以该法有时可能出现不收 敛甚至收敛到伪根的情况：解二次方程法则存在区内伪根的问题，其实解方程 算法有其固有的缺点：就是测距结果受故障电阻及系统运行方式的影响：对长 线路该算法得到阻抗离散性大；对高阻接地故障，其测距精度不能保证。这些 算法定位精度不高主要是由于不能消除故障点过渡电阻、对侧系统运行阻抗、 负荷电流等因素的影响。为了考虑故障点过渡电阻的影响，曾经提出过当已知 系统时，可通过有限次迭代计算修正故障电流相位进行测距的方法。而此方法 在系统运行方式变化较大时将带来误差。一般情况可以不超过线路全长的2 ，但在迭代过程中可能出现负距或收敛至正方向的伪根：为了考虑系统运行 方式变化的影响，提出了远端馈入补偿算法，需要用到故障前负荷电流值用以 补偿对精度的影响，同时用电源阻抗典型值来补偿阻抗角的变化；为了消除负 荷电流影响，提出了利用高阻接地短路时的对称分量算法，此法采用故障分量， 完全消除了负荷电流影响。但它与两侧系统参数有关，为了准确计算需采用查 询方式【1 i ：上面提及的方法几乎都是建立在已知系统参数的条件下。于是后来 就提出了利用线路阻抗测量端电压和电流，建立网孔方程在时域中求解的算 法。这种算法具有唯一解且不需要事先存储网络参数进行查询的特点“，仿 真结果表明测距误差不超过l ：为了可以排除故障电阻及电弧等效电抗、 线路参数不对称、发展性故障等的影响，提出了利用电弧电压过零时变化率最 武汉大学电气工程学院硕士学位论文第l 章绪论 大的特点来进行故障定位”i ：模式理论也被应用于故障定位算法，它受过渡阻 抗和线路分布电容等因素的影响较小，但精度有时受对端运行阻抗变化的影 响。 利用双端信息的故障测距算法般可分为两类，一是基于两端同步采样 数据的算法，算法简单，但同步采样不易实现。二是基于两端非同步采样数据 的算法，算法复杂，计算量大。双端法一般要结合线路两端的信息，所以必须 使用通道来传递线路两端的信息。对通道的实时性要求不高，只须实现数据的 传递即可。所需传递的数据主要有两类：一类是两侧电压电流数值，另一类是 两侧系统阻抗及两端视在测量阻抗| 7 8 1 9 】。文献f l o 提出使用两端电流，一端电 压的测距算法，能克服系统助增电流和过渡电阻对测距的影响，并对高压长线 的电容充电电流进行了迭代补偿，但该法仅适用于双回线路。文献【l i 】提出的 利用对称分量的算法，能消除负荷电流、故障点过渡电阻及系统运行方式对测 距结果的影响，但需判断故障类型。文献【1 2 】提出的基于与故障类型无关并且 对系统阻抗变化或过渡电阻不敏感的仅利用两端三相电流及电压工频相量的 数字计算算法，该算法所用相量分量有共同参考点，不需考虑在不同线端采样 电流和电压波形所产生的同步误差，仿真结果表明误差在多数情况下小于1 。文献 1 3 1 提出了与故障类型、故障阻抗、线路两侧安装的记录器同步条件 及系统故障前条件都无关的仅利用两端故障电压及单端故障前电压的工频分 量算法，它可由故障模拟软件对误差进行估计。文献 1 4 贝j j 提出与故障类型、 过渡电阻、负荷电流和系统阻抗基本无关的可离线分析的双端非同步信号的算 法。双端法也有利用模式理论1 1 5 1 1 “，可解决输电线参数不平衡等因素对精度的 影响，但它们没有考虑线模与地模受线路结构参数的影响有很大差别，实际应 用起来，精度可能会受到影响。利用双端信息的阻抗法原理上可以消除过渡电 阻等的影响，做到精确测距，虽然在实际应用时还存在一些问题，但相对而言， 武汉大学电气| t 程学院硕士学位论文第1 章绪论 它比单端阻抗法测距精度要高些。 目前电力系统各电厂或变电站都装有微机保护或微机记录装置，阻抗法 所需的分析数据可通过系统现有设备得到，费用低，易于实现。但无论那种阻 抗算法都是建立在一种或几种假设的基础上，这些假设都会与系统实际情况有 所差别，必然会带来一些误差：通过误差补偿或者采用多端线路数据，可以在 一定程度上提高算法的精度，但对高阻接地、多电源线路、断线故障、分支线 路等许多情况定位效果较差，即使在阻抗算法可以使用的场合，它的测距精度 也无法保证误差在l k m 以内。 1 1 2 行波法 行波故障测距采用的是输电线的分布参数模型，直接利用故障产生的暂 态行波信号，并对其进行分析和计算。早在1 9 3 1 年就已提出了架空线路的行 波测距法”7 ，其后经过几十年的发展，有了较大的进展。各种行波测距方法 主要分为下述a 、b 、c 、d 四种类型：a 型是根据故障点产生的行波到达母 线后反射到故障点，再由故障点反射后到达母线的时间差来测距；b 型和c 型包括脉冲或信号发生器，是故障后人为旋加高频或直流信号，根据雷达原理 制成，其中b 型是双端法，c 型是单端法：d 型是根据故障点产生的向两侧 母线运动的行波到达两侧母线的时间差来判断故障位置。近年来主要是针对a 型和d 型的研究”i ，由于仅利用故障产生的行波来定位，不用附加脉冲或 信号发生器等设备，a 型和d 型测距显示出一定的优越性。 单端行波测距的关键是准确求出行波第一次到达测量端和此行波第一次 从故障点反射回测量端的时间差，并且包括故障行波分量的提取。常用的行波 单端故障测距算法有求导数法，相关法，匹配滤波器法和主频率法。求导数法 是根据在检测点测到的行波的一阶或二阶导数是否超过设定的阈值来判断行 4 武汉大学电气工程学院硕士学位论文 第1 章绪论 波是否到达母线的一种时域方法，当行波中含有高频分量时( 在近距离发生故 障) 用它的效果好些，但该法对噪声比较敏感，测距精度不高唧】。相关法是 利用相关函数求出到达母线行波及其从故障点反射回母线的时间差，进而求出 故障位置的方法，由于受到多种因素影响，实际应用起来有一定困难i 。葛 州坝一上海南桥直流输电线所用的故障测距仪也是通过计算相关函数的最大 值来判断两次行波的到达时间差。其测距死区达3 0 k m ，且运行中误动频繁 1 2 2 , 2 3 ) 。匹配滤波器法是建立在相关法基础之上的的方法，它可通过使用高通 滤波器来反应行波波头分量以提高测距可靠性，并己在实际中应用，但其测距 结果受母线端所连输电线数目等因素的影响m2 “。主频率法的核心是由行波 中频谱最强分量决定故障距离( 即f = 2 v l ，f 一主频率，一故障距离，v 一 行波波速) ，其思路主要是从较长时间段来考察行波频率范围m ! ”，使所求行 波主频较低而且定位精度也受到影响。因此以上几种算法使用时都受到一定条 件的限制。由于行波在特征阻抗变化时的折反射情况比较复杂，( 例如行波到 达故障点后会发生反射也会通过故障点折射到对侧母线去) ，非故障线路不是 无限长，由测量点折射过去的行波分量经一定时间后，又会从测量点折射回故 障线路等众多因素使得行波分析和利用单端行波精确故障测距有较大困难。 双端行波测距依据的公式主要为： 卜上学 ( 1 1 ) ，：生鱼= 生生( 1 2 ) 。 2 式中，为线路长度，0 ，：分别为故障点到两端的距离，t ，：分别为行波到达线 路两端的时间，v 为行波传播速度。 5 武汉大学电气t 程学院硕士学位论文第l 章绪论 双端行波法的关键是准确c 己录下电流或电压行波到达线路两端的时间， 误差应在数个微秒以内，以保证故障测距误差在数百米以内( 行波在线路上传 播速度近似为3 0 0 m ，1 , u s 时间误差对应约1 5 0 m 的测距误差) 。它需要专 用的同步时间单元。随着全球定位系统( g l o b a lp o s i t i o n i n gs y s t e m ，g p s ) 的 广泛应用，利用接受g p s 的卫星信号可以获取精度在1 筇以内的时间脉冲 m 二，因此g p s 可作为双端法的同步时间单元。虽然相对而言双端法成本较 高，但由于母线两端都只检测第一个到达的行波，线路的过渡电阻的电弧特性、 系统运行方式的变化( 是否多分支线路) 、线路的分布电容以及负荷电流等对 测距复杂性不会造成大的影响，因此双端行波法比单端行波法测距结果更准确 和可靠。 1 2 行波故障测距的研究进展和现状 行波法故障测距的逐步发展成熟一直是伴随着如何提高测距精度而逐步 发展的。随着现代科学技术的发展，特别是微电子技术和计算机技术的发展， 输电线路故障测距有了较大进展。原先制约行波测距法应用的主要原因有以下 几个方面： 1 、行波信号的捕捉比较困难。现在研究表明用电流互感器1 2 5 , 3 0 i 或电容式 电压互感器的高压耦合电容器”l 获取电流或电压行波信号是可行的，这样就 不需要附加昂贵的专门设备获取行波信号，并能有效降低相应测距装置的成 本，拓宽其应用范围。 2 、行波信号的记录与处理较难。行波信号包含丰富的高频分量，因此需 要高速采集二次行波信号，然后进行数字信号处理。由于一段时间内，高速数 据采集系统成本过高，有采用对行波中高频分量等不敏感的行波法1 3 3 1 ，它的 r 武汉大学电气工程学院硕士学位论文 第l 章绪论 定位精度显然不会很高。现在科技的发展不仅使高速采集行波信号变得简单， 而且成本有大幅降低，为行波测距法的发展创造了条件。 3 、故障发生时刻的不确定性，母线接线方式不确定性造成反射波的不确 定性，以及故障距离的变化导致行波主频的不确定等因素造成的故障分量的提 取和计算算法上存在的问题。关于故障分量的提取目前主要有稳态分量抑制法 和周期比较法。周期比较法数据量大，受频率变化影响，一些新的学科也开始 应用于行波故障测距。例如利用神经网络测距【| ”，它需要对故障点及故障类 型等因素对行波信号特征的影响有较多的先验知识，同时对神经网络有大量的 训练，因此方法较复杂。也有使用模糊专家系统故障定位m 】，其基本思路是 利用所测行波数据或处理结果的模糊算法进行故障分析，确定故障类型，判断 是线内还是现外故障：若是线内故障，由初步判断的故障间隔选择相应的算法 来定位。由于初始行波到达母线后，行波电压和电流都将呈现尖锐变化，即线 路故障产生的暂态行波是一个突变的，具有奇异性的信号，因此无论是单纯的 频域分析法( 例如匹配滤波器法和主频率法) ，还是单纯的时域分析法( 例如 求导法和相关法) 都不能精确描述暂态行波这类非平稳变化的信号。而一种先 进的数学工具一小波变换具有在时域、频域表征信号局部特性的性质13 4 - 3 6 1 ， 而且对高频成分采用逐渐精细的时域或空域取样步长，从而可以聚焦到对象的 任意细节。它还具有可以从不同尺度下信号小波变换的结果分析信号的特点， 因此也有把小波变换作为行波分析和故障分量提取的手段，文献 2 4 ，3 8 使用 分析尺度成倍变化的二进小波分析故障电流行波，取得了一定的效果。 4 、如何精确确定故障行波的到达时间和行波传播速度，是当前输电线路 行波故障定位还未很好解决的问题。故障行波在输电线路上以不同的模式传 播，每种模式中各频率分量的传播速度和衰减也不尽相同，使行波在输电线上 传播时产生色散，造成行波到达时间难以准确判断。同时，行波传播距离近时， 7 武汉太学电气工程学院硕士学位论文 第1 章绪论 行波中高频分量丰富，这部分高频分量以接近光速传播；而行波传播距离较远 时，行波中高频分量减少，波头中相应高频分量会以相对较低速度传播，使行 波传播速度难以准确选取。已有行波测距法基本上都没有把由该方法所确定的 行渡到达时间与故障定位用行波传播速度很好地结合起来。无论使单端行波法 还是双端行波法，故障距离都主要由两个参数决定，一个是时间参数( 故障行 波达到时间差) ，另一个是速度参数( 故障行波传播速度) 。如果用时间参数和 速度参数定位时，没有考虑两者之间的联系，例如用相关法等确定行波到达时 间时，把行波在输电线上的传播速度取为光速和某一速度，而这个速度的选取 并没有考虑该方法所分析的行波特征或行波中相应频率分量，因此该方法的定 位精度可能较低，而且可能受故障点位置、故障电阻大小、故障类型等的影响。 也有考虑利用地模和线模的不同速度来故障测距，但由于速度值取得不合适， 同时方法存在不足，导致测距误差较大i ”j 。文献 3 2 】根据线路参数( 导线平均 高度，导线空间布置等) 把雷电产生行波波速确定为2 9 5 2 9 6 删脚，由于雷 电产生行波频率分量较高用所选速度进行定位精度会有所提高，但它没有考 虑行波中各模各频率分量的传播速度及衰减情况时不同的。小波变换具有按频 带分析信号的能力，同时还具有其他许多优点，因此利用小波变换有可能较好 地解决如何确定故障行波的到达时间及其传播速度的问题。 1 3 研究的目标和本论文的主要内容 本论文研究的目标是在现有行波测距法的基础上，通过理论和仿真研究， 解决利用小波变换提取行波故障分量及精确确定行波到达时间和行波传播速 度的问题；对小波理论做进一步分析研究，针对电力系统的特性，找到一种能 构造具有紧支集的对称的双正交小波的方法，并将构造出的双正交小波运用到 行波故障测距中，满足输电线路精确故障定位的要求。 武汉大学窀气工程学院硕士学位论文第t 章绪论 本论文的主要内容可分为四个部分，第一部分为论文的第二章，主要讨 论了小波变换的信号奇异性检测理论，作为暂态行波故障测距的理论基础。在 这一部分里，还介绍了小波变换的些基本概念和运用于小波奇异性检测的二 进小波变换，以及应用小波分解的多尺度小波奇异性检测思想；第二部分为论 文的第三章，主要讨论了暂态行波的小波分析，提出一种在模量特征行波基础 上，提取行波故障分量判断行波到达时间和相应波速的方法。在这一部分里首 先对输电线暂态行波进行了分析，介绍了产生故障行波的行波源、本文在行波 研究时所采用的线路模型以及三相线路上的行波。随后对行波传播时波速与频 率关系特性作了进一步研究，用e m t p 仿真得出模相速一频率特性，为确定 行波波速提供依据。最后依据仿真结果构造基于模量行波的特征行波，结合小 波变换的模极大值进行故障测距；第三部分为论文的第四章，主要是基于对应 用小波变换进行行波故障测距时，选取合适小波的重要性的考虑，对小波理论 应用作了进一步的研究。在对两尺度符号深入分析的基础上，得出种具有紧 支集和广义线性相位的双正交小波构造的方法，并给出构造实例；第四部分为 论文的第五章，主要是将实例构造出的小波应用于输电线故障行波测距中，最 后进行了应用仿真并得出结论。 本文的基本工作主要包括以下几个方面： 1 、熟悉并掌握小波变换奇异性检测理论，建立起利用小波变换分析电力 系统故障信号和检测暂态行波故障信息的理论基础和方法。 2 、利用小波变换奇异性检测理论分析暂态行波的故障特征，在此基础上 构造了一种比较精确的基于模量行波的故障特征行波，作为精确故障行波定位 的依据。 3 、对小波理论进步分析研究，从小波两尺度符号入手，得出一种具有 紧支撑的双正交小波的构造方法。通过仿真实验验证该小波的实用性和优越 性。 武汉大学电气工程学院硕士学位论文 第2 章小波变换的奇异性检测理论 第2 章小波变换的奇异性检测理论 2 1 小波分析方法的简介 本文在上一章对行波法故障测距的现状和进展的分析中谈到：将小波变 换应用于暂态行波故障测距中，可以比较好地提取故障时的暂态分量以便用于 计算；同时由于小波变换的变焦能力，对行波信号进行小波分析有望比较精确 的得到行波到达观测点的时间进而解决行波到达时间和相应波速相结合的问 题。本节就来简单的介绍一下小波变换及其小波变换的性质。 2 1 1 小波变换的思想和小波变换 一小波分析的基本思想 故障行波信号是一个非平稳变化的信号，然而无论是纯粹的频域分析法， 还是纯粹的时域分析法，都不足以精确地描述它。因此，出现了时频局部化分 析的思想。所谓时频局部化，就是寻找一种信号的表示方式，它能够在整体上 提供信号的主要特征而又能提供在任一局部时间内信号变化剧烈程度的信息。 简言之，可以同时提供时域和频域局部化信息。窗口f o u r i e r 变换是一种基本 的时频分析法，它对信号开窗，在时间有限的窗口上对信号进行f o u r i e r 变换， 得出其局部频率信息。但是，窗口f o u r i e r 变换是一次性的，窗的大小和形状 是固定不变的，不能敏感反映信号的突变。而突变正是分析对象的特点所在。 因此，有必要继续寻找其它的函数来表示突变信号。 在f o u r i e r 分析中，每个2 石周期的函数f ( x ) 2 ( o , 2 z r ) 是基函数c o ( x ) = e “整数膨胀的一种线性组合。对于具有大的月，波由。( 工) = e ”“有高的频率； 0 武议大学电气工程学院硕士学位论文第2 章小波变换的奇异性检测理论 对于小的竹，波c o 。( x ) 有低的频率，因此空间l 2 ( o ，2 万) 中的每个函数是具有各 种频率成分的波的合成。对于实直线上的可测函数f ( x ) 空间l - ( 尺) ，函数，( x ) 满足： f ，( x ) j2 出 2 去( 夕，多。 ，它把对信 号分析开时窗和频窗的两种分析方法统一起来了。所以在一个时间一频率平面 上，将获得一个矩形的时间频率窗如图2 1 所示： 图2 一l 时间一频率窗口i 吼 ， 其中时间窗的宽度为2 口p ，频率窗的宽度为2 缈屈，整个时频窗的面 积为a = 4 a ，y ，它不随伸缩系数a 和平移系数b 的变化而变换。只是当伸缩 系数d 变大是，矩形窗变宽( 时宽增大) ，高度变窄( 频宽变小) ，适于检测比 较大范围的低频信号变化：当伸缩系数d 变小时，矩形窗变窄( 时宽变小) ， 高度变长( 频宽增大) ，适于检测小范围内的高频信号变化，另外密的中心向国 增大的方向移动。 这表明，小波变换所提供的局部化格式是变化着的，表现在高频处时间 分辨率高，低频处的时间分辨率低，这一特性决定了它在突变信号处理上的特 殊地位及功能。所以在检测故障行波这个突变的信号时就顺理成章的需要用到 小波变换了。 2 2 信号奇异性检测的概述 为了便于表达，首先给出信号奇异性的数学描述：若函数( - r ) 1 3 竺q 生q 武汉大学电气工程学院硕士学位论文 第2 章小渡变换的奇异性检测理论 ( ，( x ) er ) 在菜处间断或某阶导数不连续，则称该函数在此处有奇异性： 若函数f ( x ) 在其定义域有无限次导数，则称f ( x ) 是光滑的或没有奇异性。 信号中的奇异性往往携带着最为重要的信息，在电力系统发生故障后的 暂态信号( 如故障电流和电压等) 中，代表奇异性的突变点一般标志着故障发 生，故障切除以及自动装置动作等重要时间信息。在故障发生后瞬时出现的暂 态行波随着入射波、折射波、反射波陆续到达检测点，再加上线路参数所固有 的原因，使行波信号出现了比较明显的奇异性。为了判定故障是否发生、继电 保护装置是否动作以及故障发生在什么位置等，对于信号的奇异性检测就显得 尤为重要。 大家知道，f o u r i e r 变换直以来都是分析信号奇异性的主要工具。在数 学上，一个函数的奇异性使用l i p s c h i t z 指数来描述的。也就是，若函数厂( x ) ( f ( x ) r ) 在r 上满足： 埋 i 厂洄) j ( 1 + f0 3 。) d o ) 4 - 0 0( 2 - 6 ) 一 则厂( x ) 在月上一致l i p s c h i t z a 。换句话说，函数的奇异性可以由它的f o u r i e r 变换的渐进衰减性态来描述。但是这个描述信号奇异性的方法并不实用，因为 它只给出( z ) 在实数轴只上的整体奇异性描述，而不能具体地检测某一特定 点的奇异性。这是因为f o u r i e r 变换使沿着空间变量x 而变化的信号非局部化 了。所以f o u r i e r 变换不适于检测一个函数的局部奇异性。由小波变换的性质 知道小波变换具有“变焦”的性质，因此它对信号的奇异性分析以及奇异点位 置的确定更加有效。 在应用科学领域研究比较多的是图象信号的奇异性检测，即边缘检测。 常用的边缘检测方法是以原始信号为基础，考查图象信号中某点邻域中的变 武汉大学电气工程学院硕士学位论文 第2 章小波变换的奇异性检测理论 化，利用一阶或二阶导数来检测奇异点。在求一阶或二阶导的时候，直接对信 号函数求导数对于提取图象的边缘奇异点效果并不理想，因为微分运算固有的 特性，它对噪声干扰十分敏感，在信号中混杂有噪声的情况下，不能有效地区 别信号和噪声，造成错误检测。因此在具体应用求导的方法之前，常常要对信 号进行平滑和消噪。围绕选择合适的平滑函数以抑制噪声这个问题，人们相继 提出了l o p 算子、l o g 算子和l o s 算子。其中l o g 算子是首先用一个高斯 形低通滤波器对图象进行平滑，然后求二阶导数过零点以检测边缘，它的优点 是过滤了噪声，但有可能也平滑了边缘。l o p 算子是以正交多项式最佳拟合 原函数，然后再使用二阶导数过零点检测边缘。l o s 算子则是以高阶b 样条 函数的导数逼近信号，再对其求导。 这些方法的共同点就是通过平滑函数在不同程度上消除了噪声，有效地 检测出了信号的奇异点。但是在平滑的过程中都有可能也平滑了边缘。所以在 计算机视觉的研究中，提出了多尺度边缘检测的概念，它就正是小波变换的一 个侧面。它的思想是在不同尺度下进行分解，然后再分析信号和噪声在不同尺 度下的表现，从而有效地去除噪声而保留信号，包括保留信号中的各个细节分 量。下面着重讨论小波变换的模极大值检测理论，首先介绍二进小波变换。 2 3 二进小波变换 在信号的奇异性检测中，最合适的小波变换是二进小波变换。3 礅 3 9 1 还谈到了恢复信号时运用二进小波的必要性。为了说n - 进小波变换，重述有 关小波变换的概念如下： 一个函数( 工) l - ( 月) 被称为小波，当且仅当它的f o u r i e r 变换缈( ) 满 足： 掣国：憋当 栅 ( 2 - ) 0 。 1 9 ) 三 武汉大学电气= l _ = 程学院硕士学位论文 第2 章小波变换的奇异性检测理论 这个条件也就是小波的允许性条件。同时它还隐含有下式： d o ) d r = 0 ( 2 - 8 ) 以( x ) 表示用尺度因子s 对小波函数y ( x ) 的伸缩，则 y 。( 工) = ! p ( 兰) ( 2 - 9 ) 函数f ( x ) 在尺度s 和位置x 的小波变换由下式定义 ，( x ) = 厂( x ) y ，( x )( 2 - 1 0 ) 上式的f o u r i e r 域形式可表达为 z e , 厂洄) = f ( t o ) y ( s o )( 2 - 11 ) 其中尺度因子s 刻划了小波变换提取的函数的尺度大小和正则性。当尺度因子 s 减小时，帆( x ) 的支撑集随之变小，因此小尺度下的小波变换对信号的细节 更为敏感：当尺度因子s 增大时，帆( z ) 的支撑集随之增大，小波变换提取了 函数f ( x ) 的主要特征及大致轮廓。 由( 2 一l o ) 可知，小波变换取决于在实数集上连续变化的两个参数s 和x ， 在实际应用中必须对这些参数进行离散化。作为一类特殊的小波，则是对尺度 参数沿二进序列 2 像，：) 采样，采样后结果应不破坏小波变换的性质。这样 的小波变换称为二进小波变换。 定义：一个函数y ( x ) l 2 ( r ) 称为是二进小波，如果存在两个常数a 与b ， 而有0 a b a o ，使 爿s 卦降 圆 几乎处处成立。此式也称为加在( x ) 上的稳定性条件。则二进小波变换为： 武汉大学电气工程学院硕士学位论文 第2 章小波变换的奇异性检测理论 w v f ( 垆l m ) 矿丽瓦j 琳( 2 - 1 3 ) 这个在尺度2 ，下的二迸小波变换也可用卷积的形式来表示 暇，f ( x ) = f ( x ) ，( x )( 2 - 1 4 ) 它的f o u r i e r 变换可以写成 暇，f ( o j ) = 厂( ) g ( 2 ( - o )( 2 - 1 5 ) 对于尺度参数集合 2 ， ( ，。) ，正半频率轴将由其全部覆盖。根据小波函数的 双窗性质，整个频率轴( 。，+ o 。) 都将被毒2 像z ) 所覆盖。故采用二进频率划 分后，( 的所有信息不会丢失。 二进小波变换由于只是对尺度参数进行了离散，而变量r 仍然保持连续 变化，因此二进小波变换不破坏信号在x 域的平移不变性。 记f r ，厂( r ) 的平移记为：f a x ) = f ( x - r ) 贝0 ：( 卯，：) ( x ) = 蹄：，( ，：( x ) ) 上式表明，厂的平移的二进小波变换等于它的二进小波变换的平移，厂( x ) 具有某种性质时，则对应的以，( x ) 也具有这种性质。并且小波变换是完备的、 稳定的，因此二迸小波变换经常用于模式识别和奇异性检测中。 2 4 信号奇异性检测的小波变换模极大值理论 在检测一个信号的奇异性时，为了减小噪声影响，常常要先对混杂有噪 声的信号进行平滑去噪，然后对平滑了的信号计算其一阶或二阶导数，进而根 据一阶导数的极大值或二阶导数的零交叉检测其奇异点。多尺度边缘检测则是 采用平滑函数对信号在不同尺度下进行平滑，然后从一阶导数或二阶导数检测 i7 武汉大学电气工程学院硕士学位论文第2 章小波变换的奇异性检测理论 其奇异点。多尺度边缘检测和小波变换检测从思想方法上是一致的，以下直接 从小波变换出发讨论信号 先来定义平滑函数，若实函数o ( x ) 满足以下条件： ( 1 ) p ( z ) 出= 1 ( 2 - 1 6 ) ( 2 ) l i m o ( x ) = 0( 2 1 7 ) 则称该函数o ( x ) 为平滑函数( s m o o t h i n gf u n c t i o n ) 。 平滑函数可看成低通滤波器的脉冲响应，经常使用的平滑函数是高斯函 数。 假定平滑函数拶( z ) 两次可微，并定义其一阶导数和二阶导数分别为“( x ) 、 妒6 ( x ) ，即 “( x ) ：d o _ ( x ) ( 2 - 1 8 ) d x 妒) = 等( 2 - - 1 9 ) 由前面分析可知，“( 工) 、缈6 ( x ) 可被看作为小波，因为它们的积分为零。 即 j “( x ) d x = o ( 2 2 0 ) p 6 ( x ) d x = o ( 2 - - 2 1 ) 函数，( x ) 在尺度s 、变量x 处关于小波妒“( x ) 、6 ( x ) 的小波变换为 蹄? 厂( x ) = f ( x ) 町( 工) = 厂+ ( x ) 其中妒：。( x ) 、? ( x ) 分别为缈“( x ) 、6 ( z ) 对于尺度s 的伸缩。 ( 2 - - 2 2 ) ( 2 2 3 ) 武汉大学电气工程学院硕士学位论文 第2 章小波变换的奇异性检测理论 据此司以导出： 町( x ) ：f + ( s 孕) ( x ) ：j 要( 厂+ 只) ( x ) ( 2 - 2 4 ) w f f ( 加川j 2 警) 万d 2 ( ，0 x ) ( 2 - 2 5 ) c 扛一傲。 因此，小波变换町f ( x ) 和町厂( x ) 可分别理解为函数f ( x ) 在尺度s 上经 平滑后的一阶导函数和二阶导函数。既然町，( x ) 是f ( x ) 经平滑后的一阶导 数，因此暇f ( x ) 取得极值时，则信号在该处必然取得极值，表示信号在该点 变化最强烈：孵厂( 工) 是f ( x ) 经平滑后的二阶导数，因此孵f ( x ) 出现零值时， 表明一阶导数取得极值，它代表函数