（应用数学专业论文）一类线性常微分方程的有界变差解.pdf

摘要 本文将有界变差函数理论与线性常微分方程结合起来，讨论了线性常微 分方程的有界变差解，进而讨论了齐次线性常微分方程的变差稳定性本文 共分四部分，第一部分介绍了本文所用到的基本概念和引理；第二部分建 立了线性常微分方程有界变差解的整体存在及唯一性定理；第三部分讨论了 齐次线性常微分方程的基解矩阵；第四部分讨论了齐次线性常微分方程平凡 解的变差稳定性以及线性非齐次与齐次常微分方程变差稳定性的关系 关键词：k l l r z w e i l - h e n s t o c k 积分；线性常微分方程；齐次线性常微分方程；有 界变差解；基解矩阵；变差稳定；变差吸引；变差渐近稳定 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h eb o u n d e dv a r i a t i o ns o l u t i o n so ft h el i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sa r ed i s c u s s e db yc o m b i n i n gt h et h e o r yo ff u n c t i o no fb o u n d e dv a r i a t i o nw i t hl i n e a r o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u & t i o n s f a r t h e r ，t h ev a r i a t i o n a ls t a b i l i t yf o rh o m o g e n e o u sl i n e a ro r - d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sd i s c u s s e d w ed o f o l l o w s ：f i r s t l 弘s o m ec o n c e p t i o n sa n d l e m m a st ob ea p p l i e da r el i s t e di nt h i sl m p e r s e c o n d l y , t h eg l o b a le x i s t e n c ea n du n i q u e - n e s st h e o r e mo fb o u n d e dv a r i a t i o ns o l u t i o n sf o rl i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si s e s t a b l i s h e d t h i r d l y , t h ef u n d a m e n t a lm a t r i xo fh o m o g e n e o u sl i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si sd i s c u s s e d f i n a l l y t h ev a r i a t i o n a ls t a b i l i t yo ft r i v i a ls o l u t i o no fh o m o g e n e o u s l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h em l a t i o no fv a r i a t i o n a ls t a b i l i t yb e t w e e nn o n h o m o g e n e o u sa n dh o m o g e n e o u sl i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ed i s c u s s e d k e y w o r d ：k u r z w e i l h e n s t o c ki n t e g r a l ；l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；h o m o - g e n e o u sl i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；b o u n d e dv a r i a t i o ns o l u t i o n ；f u n d a m e n t a l m a t r i x ；v a r i a t i o n a l l ys t a b l e ；v a r i a t i o n a l l ya t t r a c t i n g ；v a r i a t i o n a l l y a s y m p t o t i c a l l ys t a b l e 独创性声明 奉人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对奉研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意。 签名： 逖垃 日期： 垫蕴：2 关于论文使用授权的说明 奉人完全了解西北师范大学有关保留，使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采 用影印，缩印或其他复制手段保存论文。 f 保密的论文在解密后应遵守此规 签名： 逑边 导师签名： 对于动态系统 月i j 舌 一= f ( t ，嚣) ， 其中z = ( x l ，z 2 ，靠) t 一。害，：g 一舻，g 是俨+ 1 中的开域如果( ) 式右端函 数，在g 上具有某种不连续性，则称系统( ”为不连续系统文献【l 】【2 】( 3 】【4 已经讨论了 不连续s j c a r a t h e o d o r y 系统和f i l i p p o v 系统解的存在性，唯一性及稳定性，其所用的 积分理论为l e b 稿g u e 积分但也存在一些微分方程，仅有n e w t o n 积分，r i e m a n n 积分 及l e b e s g t ”积分是不够的在2 0 世纪5 0 年代后期( 1 9 5 7 - 1 9 5 8 ) ，捷克数学家j k u r z w e i l 和 英国数学家r ，h e n s t o e k 分别独立地用r i e m a n n 和的形式定义了非绝对型积分，虽然他们 的出发点不同，引入的定义形式也有差异，但思想灾质却是相同的，后来人们称他们的 积分为k u r z w e i l h e n s t o c k 6 1 、分，本文简称这一积分为k ，h 积分，n e w t o n 积分，r i e m a n n 积 分和l e b e f ；g l l e 积分( 见文【5 ，6 ，7 ，8 】) 都可视为其特殊情形1 9 5 7 年，j k 1 1 r z w e i l 在文【9 】中提 出k u r z w e i l 方程，他建立这种方程的背景和动机来源于解决微分方程问题k u r z w e i l ) 程 包含- j c a r a t h e o d o r y 微分方程，测度微分方程及辣冲微分方程1 1 0 , 1 1 , 1 目经过几十年的发 展，k u r z w e i l 方程理论在处理常微分方程解对参数连续依赖性1 9 ，圳，测度微分方程及脉 冲微分方程【1 4 j ，v o l t e r r a 积分方程【1 5 i ，拓扑动力系统【2 ，1 6 , i , 1 8 , 1 9 刎中的一些问题有很好的应 用许多学者已有深入的研究 本文在文献【2 1 】的基础上，f 替t t ) j k h 积分讨论线性常微分方程 面d x = 4 ( ) z + b ( ” 前言 的有界变差解 奉文主要包括四部分内容：第一部分介绍了奉文所用到的基奉概念和引理；第二部分 建立了线性常微分方程有界变差解的整体存在及唯一性定理；第三部分讨论了齐次线性 常微分方程的基解矩阵：第四部分讨论了齐次线性常微分方程平凡解的变差稳定性及线 性非齐次与齐次常微分方程变差稳定性的关系 2 1 预备知识 设【，纠为实有限区问，r n 为文竹维欧氏空佃j 盘：陋，6 j r n 为【口，6 1 上的向量值函 数对z ，1 1 z - i i 为r n 上的欧氏范数关于h s t o d c 积分及其性质见文献【7 ，1 4 】，在此不再 引述h e n s t o c k j 积分同样有s t i o l t j 删式： 定义1 1 f 2 1 l 函数z ( t ) ：【n ，6 】一舻称为在陋，6 】上相对于函数9 ( t ) ：融，6 1 一舻 是h e n s t o c k - s t i e t j 羽积的，如果存在a 俨，使得对任意的f o ，存在正值函数6 ： 【口，6 】一( o ，+ o 。) ，使得对陋，6 】的任何j 一精细分划d ： 口= t o l 缸= 6 ， 及( l ，f k 满足6 一j ( 矗) i l 6s 屯 o ) ( 3 ) 对每个定义在陋，用c ，上的阶梯函数雪( t ) ，f ( t ，皿( t ) ) 在陋，明上h 衄怕c l 【可积 定理1 5 2 ”f v ( g ， ，“，) ，且，z o ) g ，则存在a 一，a + o ，使得方程( ) 在区 问一a - , t o + a + l 上存在满足初始条件z ) = 跏的连续有界变差解茹( t ) 定理1 6 f 2 1 l 设，v ( g ，h ，u ) ，且对每个“ o ，有 删l i m + j f 。“丽1 d r = + o o ， 则方程( + ) 的每个满足z ( t o ) = 如，其中( t o ，t o ) g 的有界变差解茹= 茹( ) 是局部右行唯一 的 推论1 1 【2 1 j 在定理1 6 中，取u ( r ) = l r ，r 0 ，l o 为常数，定理1 6 的结论仍成立 考虑第二类积分方程 z ( s ) 一p 6 k ( s ，) z o ) d t = 雪( s ) 设和= ，且争( 8 ) = 一掣，其中a o ，得 其中t 定义为 t z 一妇= 可，似0 ) 螂) = j ( 酬m 出 5 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 定理1 7 f 2 2 1 ( 积分方程的择一律) 若( 1 1 ) 中的k 使得( 1 2 ) 与( 1 3 ) q 啪t ：x 一x 为 赋范空间x 上的一个紧线性算子，则( 1 1 ) 或者对所有的口x 均有唯一解；或者对 应( 1 1 ) 的齐次方程具有有限多个非平凡的( 即解茹0 ) 线性无关解 引理1 1 ( 1 4 | 设妒：【o 6 】一( o ，+ ) ，h ：k ，6 】一【o ，+ o o ) ，并且妒是有界的，_ i l 为( 口，6 】上 的不减且左连续函数， o 为常数如果对陋，叫，不等式 妒幢) s 七十l f 妒( r ) d ( r ) ， f k ，6 】 成立，l o 则对每个k6 4 不等式 妒( ) s 南e “j l ( 0 一 ( 曲) 成立 引理1 2 1 1 4 j 假设一o o 口 b o ，使得对任意的叩( o ，5 ( 口) ) ，有不等式 ，( 口+ q ) 一f ( o ) 9 ( 盯+ ”) 一9 ( 盯) 成立，则对所有的8 【n ，6 4 有 ，( 8 ) 一，( n ) 9 0 ) 一夕( 口) 6 2 线性常微分方程的有界变差解 设，cr 是给定的一个区删，记l ( r n ) 为所有n 几阶具有灾分量的矩阵所组成 的集合设a ：，一l ( r n ) 为定义在j 的nx n 阶矩阵值函数，b 为定义在j 上的n 维 列向量函数。并且a 与b 在j 上是局部有界变差的，即对于每个闭区f a j a ；b cj ， 有y 础a + o o ，v a r b b + o o 如果i g a ( t ) = ( ( ) ) i ，歹= 1 ，1 u ( t ) = ( 6 1 ( t ) ，b 2 c t ) ，k ( t ) ) t ，则：j r ，玩：j r ，i ，= 1 ，n 也是局部有界变 差的这里的交差山矩阵的范数所定义，即l l a l l = 。n 。：1l a i ，( t ) l ，0 8 8 = 墨li b _ i ( t ) 1 考虑线性常微分方程 鲁= ) 蚪即) ( 2 1 ) 和齐次线性常微分方程 警；a “i t ) 、z ， ( 2 2 ) 面。“z l 其中霉= ( z 1 ，托，z 。) t ，a ( t ) ，b ( ) 具有上面的性质 髯如鼢，t j ，定义 f ( t ，茹) = 月( ) z ， 如果( 曩t o ) f p ，给定，对成( 蠡) = 扛r n ；盼一刮sd ，其中c 1 ，及k ，6 lcj , t o 【n ，6 】，对任意的陋1 ，t 2 】c 【。，6 】，z 或( 孟) ，t t l ，t 2 ，有 i i f ( t ，z ) ( t 2 一t 1 ) l isl i a ( t ) z u ( t 2 一t 1 ) 冬i i a ( t ) l l ( c + i l 孟1 1 ) ( 2 一1 ) ( i i a ( 吐) i i + y 砣a ) ( c 十l i 圣1 1 ) ( t 2 一1 ) 0 ，使得方 程( 2 1 ) 在【口，用c t o 一一，t o + a + 】上存在满足) = 孟的有界变差解茹( ) ，所以由定 理1 1 知积分鬈( t 扣+ 8 ( ) 1 d 存在那么如果函数z ：f a ，用一r n 是线性常微分方程( 2 1 ) r 在b ，纠c ，上的解，则对于任意的8 l ，8 2 【a ，用，有 霉池) 叫8 1 ) = f 茁+ 即) 冲 ( 2 3 ) 这里的积分是h e n s t o c k 积分 记b y ( k ，6 】) 为h6 】上所有有界变差函数z ：陋，6 】一舻所组成的集合，令 l i z l l b v = 忙( 口) 0 + v a r ：z ， ( 2 4 ) 记l i b v ) b b v ( a ，6 ) 上的范数，r jb v ( a ，6 1 ) 按范数0 矗y 构成一个b a n a c h 空间 假设如【，b l 给定，设岳，a b 矿( f n ，h i ) ，定义 t 邓) = r ) 坤) 电 t 【口6 1 ，( 2 5 ) 由于，( 8 ) = a ( s ) $ ( s ) 为k6 】上的有界变差函数，则( 2 5 ) 式右端积分是存在的 定理2 1 若。b v ( a ，6 1 ) ，则m ( 2 5 ) 给出的死：k6 】一r n 是陋，6 】上的一 个有界交差函数，即：7 k b y ( 陋，6 】) 并且山( 2 5 ) 给出的映射丁：b y ( 【口，6 】) 一 b y ( 【口，6 】) 是b y ( 【 6 j ) 上的一个有界线性紧算子 证明假设8 i ，8 2 【口，6 】，且s l o ，使i i a c s ) l l m ，1 5 ll l z c s ) l ls 舾( s ) 一霉( 口) * + ( d ) 8si i z l l v ，则对陋，6 4 上的任意一个分划= 8 0 8 1 8 k = 6 ，可得到 月k ， i i t z ( s t ) 一t z ( s t 一1 ) 1 1 i i = ( s ) l l i i a ( s ) l l d ssi i 茹l l b v m ( 6 一n ) ， i = 1仁1o j 一1 所以对k6 j 上的所有分划a = 8 0 8 l 8 k = 6 取上确界，就有 v a r b t x m c b 一口) 8 茹f 日矿， ( 2 6 ) 因此7 、：【n ，b 】一r n 在缸，6 】上有界变差 9 ：! ! 丝竺堂丝坌查堡堕查墨壅垄壁= 很明显，映射t ：b v ( a ，b 1 ) 一b v ( a ，6 】) 是线性的，下面证明r 是有界的 ，4，0 i i t x ( a ) lj = a ( s ) x ( s ) d d ls i l a ( s ) x ( s ) l l 如 j “ ，o s i i 茹8 口y ( t o 一m 冬m ( b o ) 8 2 8 日矿， 再结合( 2 6 ) 有 l t t i i b y = j l t x ( a ) l i + v a 畦t xs2 m ( b a ) l l j ：l l , , v ， 所以t ：b v ( a ，6 】) 一b v ( b ，6 1 ) 是有界的 最后来证明t ：b v ( b ，6 】) 一b v ( a ，6 】) 是紧算子 设茹i b y ( 陋，6 1 ) ，忌= l ，2 ，是8 y ( 【a 嘲) 中的有界序列，即存在常数g o ，使 得0 z k 0 c ，k = l ，2 ，由h e l l y 选择定理，序列 钒) 包含一个子序列 嚣七1 ) ，它点点收敛 于雪b v ( a ，b 1 ) ，即 墨器h2 童( s ) ，8 【d ，6 】 ( 2 7 ) 定义 如) = r ) ) 氓 l n ，6 】 由类似于前面的证明可得y b v ( i a ，6 ) 令 ， 魂( s ) = z h 一孟( 8 ) ， 显然魂b v ( a ，6 】) ，山( 2 7 ) 知 j i m 魂( s ) = o ，8 a ，6 】 ( 2 8 ) l + 并且对每个3 陋，b 】，有 ( 8 ) 0 ij z d a ) j i + 0 甸( 8 ) 一盈( 。) 8 兰i i 魂8 口y ( 2 9 ) = 0 j 碗一蠹 i b vs0 z 向i i b v + i | 叠8 口y c + 0 孟j 1 日y 1 0 2 线性常微分方程的有界交差解 此外， ，口，4 i i r z 向( 8 ) 一u ( a ) l i = i i a ( s ) z h ( d 8 一a ( s ) 童c s ) d s l l j t n，t 0 刮r 批( s ) d s i i 小孙) 1 1 删i is ) l l d 。m 小删i d 8 ， 由( 2 8 ) ，( 2 9 ) 及定理1 4 ，我们得到 1 1 i r a 。i i t z k , ( a ) 一掣( o ) 0 = 0 对于s l ，s 2 【a ，6 l ，s 1 8 2 ，有 i i t x k , ( s 2 ) 一y ( s 2 ) 一( 丁k h ( s 1 ) 一s ，( 8 1 ) ) 0 = i i t z l ( s 2 ) 一t z l c s l ) l i = i i a c s ) z j c s ) d s l l 曼m i l z d s ) l l d s r s 2 ， ，d 2 ，l，j 1 则对【口，6 】上的一个任意分划8 ；8 0 8 1 乳= 6 ，得到 e i i t z 崎c s t ) 一y ( s 。) 一( t x h ( s i 一1 ) 一y ( s i 一- ) ) 8 壹膨o酬m一肛s，i= 1 ，粕1 j 4 即 y 之( 丁k 栅一) m i i z l c s ) l l d s ， ( 2 1 0 ) 再利用( 2 8 ) ，( 2 9 ) 及定理1 4 所蕴涵的 巾 。喙上i l z d s ) | i d s - o 得到 i l i m 。v a r ：( t x k , 一”) = 0 t 结合( 2 1 0 ) 即可得到 j l i m 。i i t z k , 一v l l 口v2 o 即序列 了o k ) 包含一个子序列 t x k 。) 收敛于b v c a ，6 】) 中的元素g ，则算子t ：b v ( a ，6 ) 一 b v ，h i ) 是紧算子 s2 线性常微分方程的有界变差解 定理2 2 若k ，6 】c ，是一个闭区间，t o k ，6 】，则只有两种可能的情形： ( i ) 或者方程 ) = a ( 8 ) 小) 凼+ ) ，f 咄嘲 ( 2 1 1 ) 对于任何的，b v ( a ，6 】) 在b y ( 陋，6 】) 中有唯一解； ( i i ) 或者齐次方程 ) = ) ) 眠t 【n 6 1 ( 2 1 2 ) 召e b v ( a ，6 】) 中至少有一个非平凡解 证明方程( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 可分别写成下面的形式： 霉一t x = f ，霉一 i x = 0 ， 这里的t ：b y ，6 】) 一b v ( a ，b j ) 是m ( 2 5 ) 所定义的箅子由定理2 1 知丁是有界线性紧算 子，因此由f h d h o l m 关于积分方程择一律( 即定理1 7 ) 可知结论成立 定理2 3 若【n 酬ct ，是一个闭区f h j ，o 陋，6 】，则方程( 2 1 2 ) 在b v ( a ，纠) 中仅有一个 平凡解z = 0 证明：【n ，纠一r n ，口y ( 【0 6 】) 是( 2 1 2 ) 的解显然? ( t o ) = 0 , - i 盈a t o ，令 r ( t ) = z 以( r ) d l t 陋，6 】， 由于a 为陋，6 】上的有界变差函数，则上述所定义的积分存在，并且由定 理1 3 知r ( ) 在【n ，6 】上连续，所以存在c k ，o ) ，e r i i r ( t o ) 一兄( c ) 0 对于任意的s 1 ，s 2 【c 如】，8 1 8 2 ，有 ，2， 懈8 2 ) 一( 8 ) = u z ( s ) d ( a ( r ) d v ) l i ，j 1 j a i 2u 如) 1 1 d ( f a a = r 2 i i ) l l d r ( s ) ， 所以 i ，砖z z 幻i i 小) l l d n ( 8 ) 特别地 因此就有 i i x ( c ) 一善( t o ) l l = i i $ c c ) l lso ) l l d r 忙i i 州蛐】) - i i 筇( c ) l l + 矿哕。2 j ( 如i i 菩c s 川d r ( s ) = 2 忙( t o ) l l ( r ( 如) 一兄( c o 一) ) + 2 妞z iixc8)lldnc缸-6 8 ) s 2 0 0 口k 圳) 6 虫a ( r ( 如一6 ) 一只( c ) ) = 2 0 叫1 8 y ( 陋t 0 i ) ( 兄( 2 0 一) 一r ( c ) ) ， e h 于n ( t ) 在t o 点连续，由上式可得 因此m c 的选择，得到 i i z l l s v c l o 。如】) s2 0 刮i 口h k 勘) ) h r ( 如) 一r c c ) l l ， 训州1 ) 口，用上面相同的方法，存在陋，6 】上的c 扩，使得在k t o 上z c t ) = 0 但是这与扩是【c ，纠上f 陡z c t ) = o 的所有c 扛，幻) 的下确界相矛盾，则必有r = d ， 所以在【n ，t o l z c t ) = o 完全按这种分析的方法，可得在 t o ，6 】上$ ( ) = o ，因此方 程( 2 1 2 ) 在【口，h i 上仅有平凡解x c t ) = 0 2 线性常微分方程的有界变差解 定理2 3 保证了方程( 2 1 1 ) 对于，b v ( o ，6 】) 的任何选择在陋，h i 上存在唯一的有界变 差解 定理2 4 若jcr 是一个( 有限或无限) 区日j ，a ：j 一三( r n ) ，b 为j 上l m 维列向量 函数，a s 翱b 在，上的都是局部有界变差函数，则对每个( 叠，t o ) r n ，存在方程( 2 1 ) 满 足初始条件z ( 幻) = 孟的唯一解$ ( t ) ，这个解存在于整个区闻i ，上，并且在，上是连续有界变 差的 证明由说明2 1 得 础问+ ( m ”b ( t ) 】d f 孟十z t o 邱脚+ z t o b ( t ) d t ( 2 1 3 ) j 如 j， 是方程( 2 1 ) 的的解 令 ，( t 印+ r 酬t 对于s 1 ，8 2 【n ，6 j ，且s 1 0 , 使l l b ( t ) l l k ，则对b ，h i 上的任意一个分 划a = s o s l 巩= 6 ，可得到 圭 圳妻仁 k - i i f ( a j - f ( 8 1 ) 1 1 i i b ( t ) l l d t k(b-=11 口) ， ，一s 口) ， t = 。4 l l 所以对【o ，6 】上的所有分划口= 8 0 8 1 o ，使得0 a ( r ) s 2 ，r ( t 1 ，t 2 ) ，则可得到不等式 f t 2 i l u c t 2 ，8 ) 一u 0 1 ，s ) l i = i i a ( r ) u ( r ，s ) l l d r j h ，如 s i i a c r ) l i i i u ( r 8 ) l l d rs r 2 毛( 幻一t 1 ) ， 因此，对于8 【8 ，6 】，就有 y 甜哩c ，( ，8 ) r 2 m ( 6 n ) = m 2 t 固定，对于任意的8 l ，3 2 ，ss 1 8 2 6 ，就有 ，t，l u ( t ，8 2 ) 一u ( ，8 1 ) = fa ( r ) u ( r ，s 2 ) d r 一a ( r ) 【r ( r ，s 1 ) d r j 以j l = ( a ( r 趴r 如) d r 一( f 2 a ( r ) u ( r 刚d r 十f u ( r ，8 ，) d r ) = 一a ( r ) u c r , s 1 ) d r + a ( r ) i u ( r 8 2 ) 一c ，( 以趣) 】d r ， 这说明x ( t ) = u ( t ，8 2 ) 一u c t ，j 1 ) ，t 陋，6 j 为矩阵方程( 3 2 ) 满足初始条件 x ( s 2 卜f 删( r 8 1 ) d r 在【a ，b 】上的解由定理3 4 ，对于【口 6 】有 x ( t ) = u ( t ，8 2 ) 一u ( t ，8 1 ) = - u ( t ，, 9 2 ) a ( r ) u ( r ，8 1 ) dr ， ，却 ，l 所以存在常数3 0 , f 吏得l l a ( r ) l lsn 3 ，r ( s 1 ，8 2 ) ，则有 ，以 i i u ( t , s 2 ) 一( ，s 1 ) | | l i u ( t ，s 2 ) l i f i a ( r ) l f i | ( r ，s , ) f l d r 以2 n 3 ( s 2 一s 1 ) ， ，1 因此，对于t 1 0 i6 】可得到 矿以u ( t ，) m 1 2 n 3 c b a ) = 脶 取m = m a x m i ， 如， 如，即可得到( b ) 引理3 1 若 ：j l ( 舻) 在，上局部有界变差，x ：，一l ( r n ) 是( 2 2 ) 的任意一个 基解矩阵则 u ( t ，s ) = x ( t ) x 一1 ( s ) 对任意的，s t ，这里的c ，：j j l ( r n ) 由定理3 3 州j ( 3 3 ) 式给定 ( 3 5 ) 证明由定理3 2 知矩阵x ( s ) 对任意的s ，是非奇异的，因此对f t ，8 zx ( t ) x 一1 ( s ) 被合理定义，并且也是非奇异的由于x 是矩阵方程( 3 2 ) 的解，则有 z a ( r ) x ( r ) x - 1 扣) d r = x ( ) x - 1 ( 8 ) 一x ( 8 ) x _ 1 ( s ) = x ( t ) x - 1 ( a ) 一， b l i 比x ( t ) x 一1 ( 8 ) 满足( 3 3 ) ，由定理3 3 中u 的唯一性可得所证结论 事实上，我们可用齐次线性常微分方程( 2 2 ) 的基解矩阵来描述非齐次线性常微分方 程( 2 1 ) 的解 设z ( t ) = u ( t ，8 ) c ( ) 为方程( 2 1 ) 的解，代入方程( 2 1 ) 有 u ( t ，s ) c ( t ) - i - u ( t ，s ) c ，( ) = a ( t ) u ( t ，s ) c ( ) + b ( t ) 又因为c ，( ，8 ) 是方程( 2 2 ) 的基解矩阵，则有u 他，s ) = a ( t ) u ( t ，s ) ，代入上式可得 u ( t ，8 ) c ，( t ) = b ( ) 两边积分可得： 所以 衅) = c + 石旷( r 附) 以 呻，6 】 础) = ，咖( f ) = c + 渤( 一( ”) 即) 打 若求方程( 2 1 ) 满足初始条件z ( t o ) = 跏的解，则有 。( o ) = u ( t o ，s ) c ( t o ) = ( 如，s ) c = 知， 3 齐次线性常微分方程的基解矩阵 所以 c = u 一1 ( t o ，s ) x o u ( 8 ，幻) 。o ， 那么方程( 2 1 ) 满足初始条件z ( 如) = 跏的解可以表示为 ，t z ( t ) = u c t ，s ) c ，( 8 ，t o ) z o + u ( t ，8 ) u 。1 ( r , s ) b ( r ) d r j d ( 3 6 ) = u c t ，t o ) x o + fu ( 厶r ) b ( r ) d r 我们把( 3 6 ) 式称为线性常微分方程( 2 1 ) 的常数交易公式 4 齐次线性常微分方程的变差稳定性 设，= 【0 ，+ o o ) ，( 孟，t o ) r n ，给定，设b c ( 童) = 茁鼢；i i x 一纠i o ，存在j = 6 ( ) o ，使得若y ：，t l 】_ b c ( 圣) ，0 t o t a + o o 是，t l 】上的有界变差函数，且在，l 】上左连续，当 i l u ( t o ) l i d 及 ， y 盯乐( 轳( 8 ) 一a ( t ) y ( t ) d t ) o ，有t = t ( e ) 2o ，1 = 1 ( ) 0 ，使得 若暑f ： t o ，t 1 1 一b o c a ) ，0st o t 1 + o o 是，t l j 上的有界变差函数，r 在c t o ，t 1 - h g e 连 续，当 i l y ( t o ) l i 南 及 ，吒t l 、8 ) 一a ( t ) y ( t ) d t ) o ，有 l i v ( t ，z ) 一v ( t ，) | | sg l l z 一玑 ( 4 1 ) 进一步假设存在一个实函数垂：r n r ，使得对齐次线性常微分方程( 2 2 ) 在( d ，p ) c 【0 ，+ o o ) 上的每个解。：( n ，) 一r n ，对t ( 卢) ，有 1 m 叫p 堡塑丛生止i 塑型! 西( 茁( 观 ( 4 2 ) t r 卅。刀 若：【t o ，t l 】一r n ，0 t o 0 ，7 ( 0 ，啦( 盯) ) ，) 2 ( 力m p ) ，m ( a ) o 足 够小就有 y ( 仃+ t ，( 盯+ 卵) ) 一y ( 以童( 盯) ) = 矿p + r t ，v ( a + 叩) ) 一矿p + r , 第p + 叩) ) + y p + r l ，茹p + ，7 ) ) 一y ( 盯，z p ) ) r o 十q k i i v ( 口+ 叩) 一! ，( 盯) 一 a ( t ) x ( t ) d t l i + r m + 孵 ，口 记 p ( s ) = 如) 一( 掷) 鲋) s l 】 则函数p ：i t o ，t l 】一r n 是，t l 】上的有界变差函数，且在，t l 】上左连续则上面的不等式 可继续化为 y ( 矿+ 卵，可( 盯+ 卵) ) 一y ( 西z ( 盯) ) g o + s sk i i v ( a + 印) 一”( 口) 一f a ( t ) y ( t ) d t l ，口 + o ，叶 a ( 似t ) 一( t ) l d t l l + m z ( t ) l d t l r m + r e ( 4 4 ) + 0 a ( ) b ( t ) 一 + 睁4 j ，仃 k i i p ( o + ，7 ) 一p c a ) i l + 7 朋+ r e + k i a ( t ) 协( ) 一x c t ) d t l i ，口十叶 ，口 sj r ( y n r 才1 p v a r 乏p ) + r i m + t i e + k i i a ( o y ( t ) 一z c t ) d t l l ， ，口十叩 ，o - 现考察( 4 4 ) 式的最后一项由于a 是h 盯4 - 瑚上的有界变差函数，则存在常数b l 0 ， 使得i i ( t ) i lsb - ，则有 ，口+ 叶 i l a ( t ) t t ( t ) 一x c t ) l d t l i ，口 m i i 厂相i v ( t ) 一z ( t ) d t l i ( 4 5 ) mf i 【4 5 ) ，d ，口+ 叶 sm s u p i l y c p ) 一x ( p ) l l d t j o雁 + 啦( 硼 对于p h 矿- t - 7 2 ( 仃) 】，有 咖) 叫p ) = y c p ) 叫盯) 一z 9 郇) 础) 龇 则 尘器( ( p ，一茹( p ) ) 5 ( 盯+ ) 一g ( 口) - p l i r a 卅如 z ( 。) d 扣p ( 卅) 一p ( 盯) ，pq十pojo l i r ai l y ( p ) 一( p ) = 0 p ( 口+ ) 一p ( a ) 1 1 ( 4 6 ) 口o 令 n = 志 0 ， ( 4 7 ) n 2 丽面 ， j 设r a ，选择，y ( o ，；) ，m ( 4 6 ) 式，存在) 3 ( 盯) ( o ，啦( 口) ) ，使得对pe ( 以口+ 哟( d ) ) ，有 0 ”( p ) 一茹( p ) s0 p ( 盯+ ) 一p ( a ) l i + ，r ( 4 8 ) 记 j r ( 口) = 盯，l j ；o p ( 盯+ ) 一p ( 盯) 1 12 ；) ， 由于p 是，t 1 】上的有界变差函数，所以集合( o ) 是有限的，用f ( n ) 记( 口) 中元素的个数 若口【t o ，t 1 】( a ) ，p ( 口，盯4 - 仍( 口) ) ，由( 4 8 ) 式就有 l 譬( p ) 一( p ) o s ；+ ，y r 仉 则函数k ：【坛，t l 】一r 是 t o m t 】上的不减函数，且在( 1 】上左连续，并结合( 4 7 ) 式得 惭乐k = 以f 1 ) 一础。) = m 卵看毛嘎8 ) 0 通过6 ( 口) 0 ，盯，t 1 】的选择，1 ：1 ：1 ( 4 9 ) ，( 4 m ) 2 乏h 。的定义，对叩【0 ，6 ( 口) 】，就有 ，+ | ， 0 a ( t ) 协( ) 一x c t ) d t l is ，b ( 盯+ ，7 ) 一7 h p ) ， ，j 因此，由( 4 4 ) 式对于盯【t o ，1 】，卵【0 ，6 p ) 】，有 y p + ，7 ，p + ，7 ) ) 一y ( 口，$ ( 盯) ) k ( v a r t 。+ 1 p v 醒o p ) + r i m + t i e + k ( h 。( 盯+ 叩) 一 。( 口) ) ( 4 1 2 ) = 9 ( 仃+ ，7 ) 一9 ( 仃) ， 其中9 ( ) = k v a r 毛p + m t + e t + k k ( ) ，函数口是| f o 1 】上的有界变差函数且在( o ，1 】上 左连续 由引理1 2 及( 4 1 1 ) ，( 4 1 2 ) ，可得到不等式 y 0 1 ，y ( t o ) 一v ( t o ，y ( t o ) ) g ( h ) 一g ( t o ) = k y 口r p + f o l t o ) + e ( t , 1 一t o ) + k ( h 。( t 1 ) 一i l a ( t o ) ) o 任意小及p 的定义，就有 y ( t l ，y ( 1 ) ) v ( t o ，y ( t o ) ) + k v a r 乐( y ( s ) 一a ( t ) y ( t ) d t ) + m ( t l t o ) ， ， j t o 即( 4 3 ) 式成立 定理4 1 设函数y ：【o ，+ o 。) s a ( 叠) 一r ，0 o ，若”： t o ，t 1 】一r n ，0 t o 0 ，使2 k j 忙) a ( e ) 若在这种情况下，函数y 使得i i v c t o ) 0 6 ( e ) ，且 v a r ( y ( s