（概率论与数理统计专业论文）具有常数红利界限的带干扰erlang（2）风险模型.pdf

中文摘要 摘要 分红最优化问题最初是由d ef i n e t t i 在1 9 5 7 年发表的一篇文章中提出的， 他发现最优的分红策略一定是一个界限策略j e a n b l a n cp i c q u 6 、s h i r y a e v 和 a s m u s s e n 、t a k s a r 对这一问题进行了修正，他们假定了一个有界的红利率，证 明了最优分红策略应当是一个门限策略：当盈余超出某一门限时，公司需以一 常数率支付红利，否则就不支付红利近年来，已经有不少的文章就门限策略 进行了研究，这些文章多数考虑的都是带有常数红利界限的经典风险模型 本文考虑一类具有常数红利界限的带干扰e r l a n g ( 2 ) 风险模型，对这一模型 的折扣罚金函数、红利现值矩和矩母函数进行了相关讨论并得到了若干结论 第一部分，介绍了风险模型的发展历史和国内外专家学者在该领域已经取 得的成果，并对本文将要研究的内容进行了简单的概括 第二部分，利用t a l o r 展式导出了g e r b e r - s h i u 折扣罚金函数( 由扰动或是 由理赔引起的) 满足的积分一微分方程和其边界条件 第三部分，我们推导出m ( z ，y ；b ) 满足的积分一微分方程及其边界条件，和 m ( x ，y ；b ) 的积分方程，并通过该方程得到了m ( z ，y ；b ) 连续可微的条件 第四部分，讨论了d 6 的矩k ( z ；b ) 的相关问题，包括k ( z ；b ) 的积分一微 分方程及其边界条件、( z ；b ) 满足的积分方程和其连续可微条件，最后在理赔 量服从指数分布的情况下，对m ( z ；6 ) 的解进行了讨论 关键词：e r l a n g ( 2 ) 风险模型；干扰；红利界限；门限策略；红利现值；折扣罚 金函数( g e r b e r s h i u 函数) ；积分一微分方程：破产时刻 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t n e o p t i m a ld i v i d e n dp r o b l e mw a si n i t i a l l yp r o p o s e db yd ef i n e t t i ( 19 5 7 ) ，a n dh e f o u n dt h a tt h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g ym u s tb cab a r r i e rs t r a t e g y j e a n b l a n c - p i c q u d ， s h i r y a e v ( 19 9 5 ) a n da s m u s s e n ，t a k s a r ( 19 9 7 ) m o d i f i e dt h ep r o b l e mi nw h i c ht h e yp o s - t u l a t e dab o u n d e dd i v i d e n dr a t e t i l e ys h o wt h a tt h eo p t i m a ld i v i d e n ds 仃a t e g yi sn o w at h r e s h o l ds t r a t e g y a c c o r d i n gt os u c has t r a t e g y , d i v i d e n d sa r ep a i da tac o n s t a n tr a t e w h e n e v e rt h es u r p l u se x c e e d sac e r t a i nt h r e s h o l d ，a n dn od i v i d e n d sa l ep a i dw h e n e v e r t h es u r p l u si sb e l o wt h et h r e s h o l d r e c e n t l y , t h r e s h o l ds t r a t e g yh a v eb e e ns t u d i e di n an u m b e ro fp a p e r sa n db o o k ，m o s to fw h i c hc o n s i d e rt h ec l a s s i cr i s km o d e lw i t ha c o n s t a n td i v i d e n db a r r i e r i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rad i f f u s i o np e r t u r b e de r l a n g ( 2 ) r i s km o d e lw i t hac o n - s t a n td i v i d e n db a r r i e r w ed i s c u s st h ed i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n s ，t h em o m e n t g e n e r - a t i n gf u n c t i o na n dt h em o m e n tf u n c t i o no fd i v i d e n dp r e s e n tv a l u e ，a n df i n a l l yw eo b t a i n s o m ec o n c l u s i o n s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p i n gh i s t o r yo fr i s km o d e la n dm a k ea s u m m a r yf o rp r o b l e m sid i s c u s si nt h i sp a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r , i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hc e r t a i nb o u n d a r yc o n d i - t i o n sf o rt h ce x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t y ( g e r b e r - s h i u ) f u n c t i o n s ( c a u s e db yo s c f l l a t i o n so rb yac l a i m ) a r ed e r i v e d i nt h et h i r dc h a p t e r , w ed e r i v et h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hc e r t a i nb o u n d a r yc o n d i t i o n sf o rm ( x ，! ，；6 ) ，t h ei n t e g r a le q u a t i o nf o rm ( z ，y ；6 ) ，a n dt h r o u g ht h ei n - t c g r a le q u a t i o nw ed i s c u s st h ec o n d i t i o n su n d e rw h i c hm ( x ，! ，；b ) i st w i c ec o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e i nt h el a s tc h a p t e r , w es t u d yt h em o m e n t so f d ，b ，i n c l u d i n gt h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t hc e r t a i nb o u n d a r yc o n d i t i o n sf o rk ( z ；6 ) ，t h ei n t e g r a le q u a t i o nf o r k ( z ；6 ) ，a n dt h ec o n d i t i o n su n d e rw h i c hk ( z ；b ) i st w i c ec o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l e f i n a l l y , w ed i s c u s st h es o l u t i o n o ft h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o r ( z ；b ) w h e nt h e c l a i ms i z e sa r ee x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t e d k e yw o r d s ：e r l a n g ( 2 ) r i s km o d e l ；d i f f u s i o n ；d i v i d e n db a r r i e r ；t h r e s h o l ds t r a t - e g y ；p r e s e n tv a l u eo fd i v i d e n d s ；d i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n ( g e r b e r - s h i uf u n c t i o n ) ； i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；t i m eo fr u i n 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 - 论文作者签名：为绎 签名日期：0 呕年4 月汨 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 导师签名；吻a 噍 签名日期：刈暑年i f 月z 日 第一章序言 第一章序言 1 1 风险模型中破产理论的研究背景 随着金融业的蓬勃发展，保险业也得到了迅猛的发展，由此吸引大量的专 家、学者在这一领域进行探讨和研究破产理论是风险理论的核心内容，是一 个重要的研究方向早在五、六十年代，就出现了一些专家、学者，如g e r b c r h u 、d ef i n c t t i 等，开始从简单的模型来研究破产理论现在，更多的研究集 中在经典风险模型的破产理论上，其中以经典风险模型下折扣罚金函数的研究 最为普遍 1 1 1 经典风险模型中破产理论的发展及现状 假设x 0 是初始盈余，c 0 为单位时间收取的保费，s ( t ) 是在时刻0 到 t 之间的聚合理赔量，则x ( t ) = z + c t s ( t ) 代表了保险公司在时刻t ( 0 ) 的 盈余，假设 s ( t ) ；t o ) 是一个复合泊松过程( 强度为a ) ，则这就是经典的风 险模型 我们定义破产时刻为t = i n f t x ( t ) o ，( 约定i i l fd = o o ) 对x ( t ) = z 0 ，定义圣( z ) = p ( t 0 ，y 0 ) 是一个非负有界函数通 过对g c r b c r - s h i u 折扣罚金函数的研究，人们可以得到所关心的一些描述破 产的特征，例如：若取w ( x ，y ) = 1 ，则( 1 1 1 ) 式就是破产时刻丁的l a p l a c e 变换；若取6 = 0 和伽( z ，y ) = 1 ，则( 1 1 1 ) 式就是破产概率；若取6 = 0 和 加( z l ，y 1 ) = ，( z 1 z ) ，( y 1 ) ，则( 1 1 1 ) 式就是破产前盈余和破产时赤字的联 合密度；更进一步，若我们取6 = 0 和叫( z ，y ) = 扩或t i ，( z ，y ) = 旷，则( 1 1 1 ) 式分别为破产前盈余和破产时赤字的r l , 阶矩类似的分析可参看文【1 0 ，1 4 目 前，g c r b c r - s h i u 折扣罚金函数已经成为破产理论中一个主要的研究问题 湖北大学硕士学位论文 在实际情况中，由于一些不确定因素的干扰，我们所考虑的盈余过程往往 会发生一些变化g e r b e rh u 注意到了这个问题，他在文【3 】中对不确定因素 进行了研究，并用b r o w n 运动来描述这样的干扰，d ed u f r e s n e 和g e r b e rh u 在文【6 】6 第一次研究了带干扰的经典风险模型的生存概率，在假定了破产概率 二次可微分的基础上给出了破产概率的级数表示，得到了与不带干扰的经典风 险模型完全不同的结果由于在风险模型中加了一个干扰项，故破产的发生可 能是由随机干扰引起，也可以是由某一次的理赔引起g e r b e rh u 和l a n d r yb 在文【1 3 】中针对带干扰的经典风险模型修改了折扣罚金函数的定义： ( z ，w ) = w o e e x p - 6 t i ( t o o ，x ( t ) = o ) l x ( o ) = z 】 + e e x p - 6 t w ( x ( t ) ) i ( t o o ，x ( t ) o ) l x ( o ) = z 】， 并得到了( z ) 的更新方程此时，由随机干扰或是由某次理赔引起的破产罚金 分别为w o 和加( x ( t ) ) 方便起见，我们常用以下的记号： c a ( z ) = e e x p - 6 t i ( t ，x ( t ) = 0 ) i x ( 0 ) = z 】， 砂，( z ) = e e x p - 6 t w ( x ( t ) ) i ( t 0 ；独立同分布的非负随机变量五( i = 1 ，) 表示第i 次理赔量，有共同分布 f ( z ) = p ( z z ) 和共同的密度函数p ( z ) ； ( t ) ；t t ) 是标准维纳过程，表示 4 一 第一章序言 保险公司保费收入中未确定的部分，这里d = a r 2 2 ( 口 o ) 在上面的模型中 z = x ( o ) 0 表示公司的初始准备金，c 0 表示单位时间公司收取的保费在 模型( 1 2 1 ) 中通常假设 ( t ) ) 、 五) 和 ( ) ) 是相互独立的此外，本文通 篇假设此模型有正的安全系数口，即 p = 警 。 ( 1 2 1 ) 是一个时齐的强马氏过程 现假设该保险公司是_ 家股份公司，按照这样的分红策略给股东分红：设 b z ，当盈余超出b 时公司将支付红利给股东；当盈余低于b 公司不支付任何 红利 设d c t ) 是到时刻t 为止公司支付的红利总和，( t ) 是公司到时刻t 为止的 净盈余，则 x b ( t ) = x ( t ) 一d ( ) ，t 0 是一个新的余额过程 定义死= i n f t ：x b ( t ) o ) 为新余额过程( t ) 的破产时刻，相应的破产 概率为 圣6 ( z ) = p ( 死 o 。i x b ( o ) = 。) ， z 0 此外，定义 西b ，d ( z ) = p ( 死 0 ( 3 ，( t b ) = 0 1 ( o ) = z ) ， z 0 为由维纳过程扰动引起的破产概率， 圣6 j ( 。) = p ( 死 o o ，虬( t b ) 0 ，定义盈余过程( t ) 的g e r b e r - s h i u 折扣罚金函数如下： 九( z ) = w o c b ，d ( z ) + c b 。( z ) ， 在下文中我们取 t 0 0 = 1 ，且 妒6 d ( x ) = e e 一6 丁；，( 死 0 0 ，x b ( r b ) = o ) l x b ( o ) = z 】，z 芝0 是破产时刻t b 的拉普拉斯变换( 破产由扰动引起) ，c b d ( o ) = 1 ；对z ，y20 ， 九，。( z ) = e 【e 一6 死t i j ( ( 耳) ，i x b ( t b ) 1 ) i ( t b 0 0 ，x b ( t b ) o ) l x b ( o ) = z 】 为破产由理赔引起g e r b e r - s h i u 折扣罚金函数，其中叫( z ，y ) 为有界非负函 数，九，。( o ) = 0 用d 舶表示直到破产时刻t b 为止的所有红利现值 定义优6 的矩母函数为 其n 阶矩为 且有( z ，b ) = 1 1 2 2 本文结构 。z j = f o t be - 6 t d d ( t ) m ( x ，可；b ) = e e 掣玩j 】，z 0 ， k ( z ，b ) = e d ： , b l x ( o ) = z 】，z 0 ，n n ， ( 1 2 2 ) 本文的第二章着重讨论的是盈余过程墨( ) 的g e r b e r s h i u 折扣罚金函数， 通过构造一个延迟更新过程，得到折扣罚金函数满足的积分一微分方程，并给 出了边界条件 在第三章里，我们首先假定了分红策略是以有界常数q 来连续支付红利 的，用和第二章类似的方法推导出m ( x ，! ，；b ) 满足的积分一微分方程及其边界 条件，和m ( z ，可；b ) 的积分方程，并通过该方程得到了m ( x ，可；b ) 连续可微的条 件 6 第一章序言 第四章中，讨论了d 霉6 的矩k ( z ；6 ) 的相关问题，包括v n ( x ；b ) 的积分一微 分方程及其边界条件、( z ；b ) 满足的积分方程和其连续可微条件，最后在理赔 量服从指数分布的情况下，对( z ；b ) 的解进行了讨论 7 湖北大学硕士学位论文 第二章g e r b e r s h i u 折扣罚金函数 在这一章里我们将讨论盈余过程x b ( t ) 的g e r b e r - s h i u 折扣罚金函数，通过 构造一个延迟更新过程，得到折扣罚金函数满足的积分微分方程，并给出了其 边界条件 2 1 定义及引理 设厶服从参数为入的e r l a n g ( 2 ) 分布，故厶可表示为如下的形式 l 1 = l n + l 1 2 ，l 2 = 如1 + l 2 2 ，l 3 = l 3 1 + l 3 2 ， 这里l 1 1 ，l 1 2 ，l 2 l ，l 2 2 ，都服从参数为a 的指数分布 我们考虑构造一个延迟更新过程( t ) 在此过程中l 1 = l l l ( 即第一次理 赔发生时间服从参数为a 的指数分布) ，l ( i 2 ) 仍服从参数为a 的e r l a n g ( 2 ) 分布用n ( t ) 取代( 1 2 1 ) 式中的( t ) ，则记x ( t ) 为相应的盈余过程，与该延 迟更新过程相关的其它记号与之类似，这里不再累述 下面我们将证明c b ，d ( z ) 和c b ，d ( z ) 在一定的边界条件下是满足一个积分微分 方程的首先来证明6 ，d ( 6 ) 和九。d ( 6 ) 是分别满足两个积分微分方程的，这需要 用到下面的引理 引理2 1 w ( t ) 是标准的维纳过程，设l = 詈，对0 0 ：v s - i - w ( s ) = 一e ) ，则有 p ( t d t ) p ( t o o ) e ( e x p - a t ) e ( te x p - e t ) 焘唧 一掣) 出；而芬唧t 一彳歹优； e x p - 2 u e ； e x p 一e e 以：可瓦) ； 万e 印m e 伊瓦) ； ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 证明( 2 1 1 ) - ( 2 1 3 ) 式由文【3 9 】可知，这里只需证明( 2 1 4 ) 式事实上， 由( 2 1 3 ) 式可知 e ( e x p 一q t ) ) = e x p 一l ，一e 、石f 干忑五) = z e 讣计南唧 一掣卜 8 第二章g e r b e r - s h i u 折扣罚金函数 同理可得 又因为 = 去唧mz 去唧 一妄一( u 2 + 2 2 a ) t ) 出 5 去唧一e 伊而 z 嘉唧 壁掣) d t 亿， e ( te x p - a t ) 2 去唧一一e 伊面) z 去e 印 - 壁掣卜 亿固 f 伪l e x p 一 j o l f i 一e x p ，一l ) d ( 去一伊丽叼 ：一行嘉唧 - 壁掣卜 一v - + 2 a 2f o 去唧 - 壁型2 且由( 2 1 5 ) 式知 批 z 嘉唧 - 壁掣卜孚， 将上式带入( 2 1 7 ) 式可得 z 去e 冲 - 竖掣卜厩 再将上式带入( 2 1 6 ) 式，即得到( 2 1 4 ) 式，引理2 1 得证 2 2 关于6 ，d ( x ) 和矽b ，占( z ) 的积分一微分方程 利用引理2 1 我们可以证明也，d ( 6 ) 满足下面的积分- 微分方程 9 ( 2 i 7 ) 湖北大学硕士学位论文 定理2 1 设初始准备金为b ，则九，d ( 6 ) 满足如下方程： “6 ) + ( 熹一留) 螂) = 尚 喾一叫厶鼬嘞妃仁2 m 这里 留：昙+ 丽 证明设7 = tal 1 ，这里l 1 为第一次理赔发生时间，且服从参数为a 的 e r l a n g ( 2 ) 分布，故 p ( l 1 0 由x b ( t ) 的强马氏性，我们有 九，d ( b ) = e e x p - - 6 r ) b ，d ( 托( 丁) ) 】 = e e x p - 6 t b ，d ( x b ( t ) ) i ( t l 1 ) 】 + e e x p 一b l l c b ，d ( x b ( l 1 ) ) i ( t n 1 ) 】 = j r l + 2 而由引理2 1 知 = e e x p - b t c b d ( x b ( t ) ) ，( 丁 l 1 ) 】 = e x p 一如) c b ，d ( b a e ) e i ( s l 1 ) p ( t d s ) ， = c b ，d ( b 一盯e ) 唧 一( a + 6 ) 5 ) + a s e 印 一( 入+ 5 ) s p ( t a s ) = c b ，d ( b a e ) e ( e x p 一( 入+ 6 ) 丁) ) + a e ( t e x p - ( a + 6 ) 丁) ) 】 = c b ，d ( b a 6 ) e x p 一e e 2 + 2 ( a + 6 ) ) + 万蔷丽( b - a e ) e x p 叫c 一伊面丽) 2 = b i e r 一f s l l b ，d ( 托( l 1 ) ) ，( t 芝l 1 ) 】 = e x p - 6 s ) a 2 se x p - a s p ( t s ) d s c b ，d ( 6 一z ) p ( z ) d z = a 2 se x p 一( a + 6 ) s ) p ( t s ) d s c b , d ( b z ) p ( z ) d z ， 第二章g e r b e r - s h i u 折扣罚金函数 这里 s 叩 一( a + 5 ) s ) p ( v s ) d s f o of b se 印【一( a + j ) s ) 【p ( 丁= o 。) + p ( s t o o ) 】d s 九，d ( b z ) p ( z ) 如 而尹( 1 一唧【砌e ) ) + 上se x p 【一( a + 6 ) s ) ，d ( 丁班) d s 1，- ， 斋可一万e 丁唧h 入删丁) - 高杀e 唧h a 删丁) 两爵【1 一e 印【喇一e 、| ，2 + 2 ( a + 占) ) 】 e ( a + 6 ) 巧习歼而 故 c b d ( b ) = + 厶 = c b ，d ( 6 一仃e ) e x p 【一e e 、乞万了i 趸丽) 慨d ( 6 一万嵩丽唧【- - v e - - e 厕】- 、2f b + 南( 1 - e x p - v e - e 痧丽) ) 上如( 6 _ 咖( z ) d z 一丁忑 姜示焉e x p 卜e 一。痧可不丽) 一万两万霉丽e x p t 叫e _ 6 、+ 2 【a + 6 ) z 6 妒6 ，d ( 6 一z ) p ( z ) d z ， 令_ 0 ，由t a l o r 展式知 1 一e x p 一z ，e e 、乞虿了1 可f 干万) e x p 一e e 巧可耵丽) ( 2 2 2 ) p + 以巧孺再确e + d ( e ) ， 1 一p + 、石下干j 刁- f 】e + d ( ) ， 将以上两式代入( 2 2 2 ) ，等号两边同时除以盯e ，并令e _ 0 ，化简即得( 2 2 1 ) 式，定理2 1 得证 同理也可以证明九。( 6 ) 满足下面的积分一微分方程 湖北大学硕士学位论文 这里 定理2 2 设初始准备金为b ，则c b ，。( 6 ) 满足如下方程： 瓦扪+ ( 害- c 一面) 蝴) = 赫 喾一留 厶鼬刊挑，亿2 渤 仍：三+ 1 层+ 2 ( a 删 仍2 孑+ v 万+ 2 ( a + 6 ) 接下来我们将讨论c b d ( z ) 和九，。( 。) 满足的积分一微分方程及它们的边界条 定理2 3 对任意0 a t ) e x p - - 6 a t e 矽b ，d ( x + c a t + 口w ( t ) ) 】 + p ( l 1 2 t ) e x p ( - j a t f x + e t + a w ( a t ) 加，d ( z + c a t4 - 盯w ( x t ) 一砌，( z ) 如 + o c a t ) ， ( 2 2 8 ) c b ，。( z ) = p ( l 1 2 a t ) e x p - - 6 a t e c b ，。( z + c a t + 盯w ( z x t ) ) + p ( l 1 2 a t ) e x p - - 6 a t z 计出件口州出九一( x + c a t + t r ( t ) 一2 ) p ( z ) d z 湖北大学硕士学位论文 + 厂 1 j ， + 1 l j ( 。+ + ，z z 一 一 i ， ) ( 2 2 9 ) 又由t a l o r 展式知 p ( l n a t ) p ( l n a t ) e x p - 6 z x t e c b d ( x + c a t + a w ( z x t ) ) e 仇d ( x + c a t + 口w 7 ( t ) ) e c b ，。( z + c a t + 仃彤( ) ) e 西b ，。( z + c a t + a w ( a t ) ) = p ( l 1 2 a t ) = 1 一a a t + o ( a t ) ， = p ( l 1 2 a t ) = a a t + o ( z x t ) ， = 1 一b a t + o ( a t ) ， = 九d ( z ) + c ：d ( z ) + d a t o b d ( z ) + o ( z x t ) ， = 九，d ( z ) + c t ：，d ( z ) + d t 藐，d ( z ) + o ( z x t ) ， = c b 一( z ) + c 亡以。( z ) + d a t c b , , ( x ) + o ( l x t ) ， = c b ，。( z ) + c 亡魂，。( z ) + d t 砂：，。( z ) + o ( a t ) 将上面的展式分别代入( 2 2 6 ) 一( 2 2 9 ) 式，并令t _ 0 ，得 0= 0= 0= 0= a 五，d ( z ) + c 咖：d ) + d e , d ( z ) 一( 6 + 入) 九，d ) ， 入五，。( z ) + 却：。( z ) + d k 。( z ) 一( 6 + 入) 九，。( z ) ， ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 11 ) a 厂王c b ，d ( z z ) p ( z ) d z 一( 6 + 入) 磊，d ( z ) + c 瓦d ( 正) + d 瓦d ( z ) ，( 2 2 1 2 ) a ，d ( z 一一( 6 + 入) 九，d ( z ) + c ；d ( 正) + d 咖：，d ( z ) ，( 2 ，o a c o z 如一( z z ) p ( z ) 出+ 叫( x ，z - - x ) p ( z ) d z 一( 入+ 6 ) 磊，s ( z ) + c 茏，。( z ) + d 元。( z ) 由( 2 2 1 0 ) 式和( 2 2 11 ) 式可知 元，d ) = t b + a 九，d 。) 一姜无，d ( z ) 一百d 九? 1 ，d ( z ) ， 五，忙) = t b + a 九，。 ) 一姜咖：，。) 一i d 九i ! ，。( z ) 分别对( 2 2 1 4 ) 5 和( 2 2 1 5 ) 式两边同求一阶、二阶导数可得 无“z ) = 半“圹妥屯( 圹罢毋器( 乩 确( z ) = 半西* ) 一丢躁( 圹罢础( 吐 瓦刷= 半“z ) 一姜武。( z ) 一安础( z ) ， ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) 第二章g e r b e r - s h i u 折扣罚金函数 磁厶) = 半如) 一姜铡( 沪安咖罐( n 将上述式子分别代入( 2 2 1 2 ) 式和( 2 2 1 3 ) ，化简即得( 2 2 4 ) 式和( 2 2 5 ) 定理 2 3 得证 1 5 湖北大学硕士学位论文 第三章 d z ，6 的矩母函数m ( x ，y ；b ) 在下文中，我们均假设保险公司的分红策略是以常数率q ( 0 q 岫 则m ( x ，；b ) 根据初始盈余的不同会有所不同，设 m ( x , y ；b ，= 篆：二：；：；：三二三兰 下文中，伊m ( x ，；b ) l c g x 七和o k m ( x ，y ；b ) l c o y 七分别表示m ( x ，；b ) 关于z 和y 的 k 阶偏导数 3 1 关于m ( x ，可；b ) 的积分一微分方程 定理3 1 当0 z b 时，尬( z ，y ；b ) 满足如下的积分一微分方程： 4 a 2 尬( z z ，y ；b ) p ( z ) d z 一4 a 2 ( z ，y ；6 ) + 4 a 2 p ( z ) d z j 0j 2 = 盯4 掣+ 矾掣一4 a 2 6 y 掣 + 4 ( c 2 - - 州掣- 8 c t j y 掣+ 4 t j 2 y 2 掣 一8 c a 掣+ 4 6 ( 6 + 2 a ) 矽掣 ( 3 1 1 ) 当b z o o 时，m 2 ( z ，y ；b ) 满足如下的积分一微分方程： f x - - o，王 4 a 2 ( z z ，y ；b ) p ( z ) d z + 4 a 2 尬( z z ，；b ) p ( z ) d z j 0j x - b - 4 ( a 一口! ，) 2 ( z ，y ；6 ) + 4 a 2 p ( z ) d z ， ，z = 口4 伊尬( z ，y ；b )+ 4 a r 2 ( c 一口) 掣一幻2 t j y o a m 口2 y ( x , 。y ；b ) + 4 【( c q ) 2 一盯2 ( a - t r y ) 】皇掣一8 ( c 一口) 6 1 ，c q m 1 2 旷( x , y ；b ) - 1 6 + 4 6 2 1 ，2 0 2 m _ 2 r ( x , y ；b ) 一8 ( c 一口) ( a - a y ) 掣 + 4 l ：【6 + 2 ( a q 矽) 】! ，掣 边界条件为 m ( o ，；b ) = 1 ； l i r a 1 4 2 ( 啪) = e x p 詈) ； z lnj 尬( 6 一，y ；b ) = 尬( 6 + ，可；6 ) ； o m l ( x , y ；b ) i ：里丝! 兰! 里型1 一= = ：l 如 i x = b - 如 i 卫： 6 可掣i 盂：。- - c 掣j 王：。一百u 2 望掣l 王：。= 。； 6 可掣i 霉由一- - c 掣l z ：。一一0 f 2 皇掣l ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) = 6 可掣l 王：一( c 一口，掣i z = b + - - 譬垡掣1 2 一口可( 6 + ，y ；6 ) ； 阿笋l - - c 掣l x = b - 一i 0 2 掣 ( 3 1 8 ) 呐掣l z - - - b + 咄叫骂掣l 王小一譬学掣l o m 2 ( z , 可；b ) i 川拶矿i 盂： 证明当0 a t ) e m ( z + c a t + 仃( ) ，y e x p - 6 a t ；6 ) 】 rf x + e z 、t + a w ( z l t ) + p ( l 1 2 a t ) l 矾( z + c a t + 盯( t ) 一z ， l ，o ，1 ye x p 【- s a t ；b ) p ( z ) d z + p ( z ) d z i + o ( x t ) ( 3 1 11 ) 类似定理2 3 的处理方法，经过化简我f f , - - 以得到( 3 1 1 ) 式而当z = 0 时， 破产立即发生，不需要支付任何红利，即得边界条件( 3 1 3 ) 当b s ) p ( d s ) h ( a ，s ，z ) 如， ( n ，s ) d s ， 且h ( a ，z ) 关于t 和n 至少二阶连续可微，日( 口，t ，z ) 关于o 、t 和z 也是至少二阶 连续可微的 3 2 2 m ( x ，y ；b ) 的积分方程 定理3 2 对0 z b ，m ( x ，y ；b ) 满足下面的积分方程： m ( z ，秒；b ) = + ( 14 - 入如) e x p - 入t o ，口 m ( x + 嘞+ a y ，y e x p - s t o ；b ) h ( a ，t o ，y ) 妇 ，一n z o t 。a 2 s 唧h s d s 仁脚，s ，蜘 f z + 州 m ( z + c s + a y 一2 1 ，y 叩【一6 s ) ；6 ) p ( z ) d 名 j 0 1 t o + 丢( 1 + 入t ) 屯【一a t m ( x + c t - 4 - o a ，y e x p 一乳) ；b ) -j0 + m ( z + 髓一a a ；ye x p - - 6 t ；b ) l h ( a ，t ) d t ， 这里 。托百b - x ，。 口学 证明设丁= f m a r a a l l ，这里l 1 是第一次理赔的发生时间对t ( 0 ，7 - ) ， 我们有0 x b ( t ) b 由x b ( t ) 的强马氏性和全概率公式可得 m ( z ，秒；6 )e m ( x b ( 7 ) ，e x p - - 6 t y ；6 ) 】 e m ( x + c t o + , , w c t o ) ，y e x p - 6 t o ；b ) r ( t o 气al 1 ) 】 + e 【m ( z + e t a + 盯w ( ) ，可e x p - 6 r ；6 ) ，( t oal 1 ) 】， + e 【m ( z + c l i + a w ( l 1 ) 一z 1 ，ye x p - 6 l 1 ；b ) x i ( l l t o ，l 1 ) 】 = a i ( x ，y ) + a 2 ( x ，y ) + a s ( x ，) ( 3 2 1 ) 我们下面依次计算a l ( z ，可) ，a 2 ( x ，y ) 和a 3 ( z ，y ) 首先由 ( ) ) 和 ( t ) ) 的独 1 9 湖北大学硕士学位论文 立性条件有 a l ( x ，y ) = e m ( x + c t o + 仃w ( t o ) ，ye x p - j t o ；b ) i ( t o t o ) 】 = ( e x p ( - ) _ t o + a t oe x p - a t o ) m ( x + c t o + a y ，ye x p - 6 t o ；b ) x h ( a ，t o ，) d y = ( 1 + a t o ) 唧【一a 幻) m ( x + c t o + a y ，ye x p - 6 t o ；b ) h ( a ，t o ，) d y 又由文【3 6 】中命题2 8 3 知 p ( ( ) = a , te 出) =