（应用数学专业论文）一类浅水波方程解的研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文从微分动力学的角度，研究了浅水波方程行波解的性质，重 点对广义超弹性杆波方程的行波解作了研究。首先将偏微分方程转化 为常微分方程，探讨了广义超弹性杆波方程存在光滑行波解的必要条 件，研究了方程中g ( “) 为多项式和指数形式时行波解的情况及具体形 式，最后利用相空间( 仍玎) 讨论了广义超弹性杆波方程的平衡点类型及 相应的轨线，给出了极限环的存在性。 另一方面，本文对组合k d v - m k d v 方程的孤立波作了研究。利用 平面自治系统( 地_ y ) ，以及组合k d v m k d v 方程的孤立波和平面自治系 统( “，y ) 的同宿轨之间的对应关系，运用动力系统分叉理论研究了自治 系统( 轧j ，) 在不同参数条件下同宿轨的情况，进而给出并证明了在各种 参数条件下孤立波的存在情况。 最后，本文研究了( 2 + 1 ) 一维b u r g e r s 方程的孤立波解及周期波 解。对f 一展开法进行扩展，即在f 展开式中添加了f 的负幂项，这里 f 是r i c c a t i 方程的解，然后运用此方法及m a t h e m a t i c a 求出了( 2 十1 ) 一维b u r g e r s 方程的孤立波解及周期波解。 关键词：行波解，平衡点，极限环，孤立波，同宿轨，f 展开法，齐次 平衡原则 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t f r o mad i f f e r e n t i a ld y n a m i c a lp o i n to fv i e wt h ep a p e rs t u d i e st h ep r o p e r t i e so ft h e t r a v i n gw a v es o l u t i o nt os h a l l o ww a t e rw a v ee q u a t i o n , e m p h a s i z i n gi nd o i n gr e s e a r c ht o t h e 扛a v i n gw a v es o l u t i o no fg e n e r a l i z e dh y p e r e l a s t i c r o d w a v ee q u a t i o n f i r s t l y t h e p a p e r t r a n s f e rt h e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i n t o o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，d i s c u s s e st h en e c e s s a r yc o n d i t i o no ft h ee x i s t e n c eo ft r a v i n gw a v e s o l u t i o no f t h i se q u a t i o n , t h e ns t u d i e st h ee x i s t e n c eo f t r a v e l i n gw a v es o l u t i o nt o t h i s e q u t i o n w h e ng ( “) i si n p o l y n o m i a la n de x p o n e n t i a lc o n d i t i o n s a tl a s t , v i ap h a s es p a c e ( 妒，r ) ，e q u i l i b r i u mp o i n ta n dt r a j e c t o r yo f t h i se q u a t i o n a r ed i s c u s s e da n dt h ee x i s t e n c e o f l i m i tc y c l e si ss t u d i e d o nt h eo t h e rh a n d ，t h i sp a p e rs t u d i e st h es o l i t a r yw a v eo ft h ec o m b i n e dk d v m k d v e q u a t i o n t h i sp a p e ru s e st h er e l a t i o nb e t w e e ns o l i t a r yw a v eo ft h ec o m b i n e d k d v - m k d v e q u a t i o na n dh o m o c l i n i co r b i to f a u t o n o m o u ss y s t e m ( “，y ) a n dt h e b i f u r c a t i o nt h e o r yo fd y n a m i c a ls y s t e mt os t u d yt h eh o m o c l i n i co r b i t so fo na l l p a r a m e t r i cc o n d i t i o n s ，a n dt h e ni n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo fs o l i t a r yw a v e so ft h e c o m b i n e dk d va n dm k d ve q u a t i o n i nt h ee n d ，t h ep a p e r m a k e st h es t u d yt os o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa n dp e r i o d i cw a v e s o l u t i o n sf o ra ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a lb u r g e r se q u a t i o n t h ef e x p a n s i o nm e t h o di s e x t e n d e d ，i nw h i c ht h et e r m sw i t hi n v e r s ep o w e r so f fa r ea p p e a r e d ，i nw h i c hf = f ( 0 b eas o l u t i o no fr i c c a t ie q a t i o n b ym e a d so ft h i sm e t h o da n dm a t h e m a t i c a , s o m e s o l i t a r yw a v e s o l u t i o n sa n dp e r i o d i cw a v es o l u t i o n sf o ra ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lb u r g e r s e q u a t i o nh a v e b e e ng a i n e d k e yw o r d ：t r a v i n gs o l u t i o n ，e q u i l i b r i u mp o i n t ，l i m i tc y c l e s ，s o l i t a r yw a v e ，h o m o c l i n i c o r b i t , f e x p a n s i o nm e t h o d ，h o m o g e n e o u sb a l a n c ep r i n t i p l e i i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密z 学位论文作者签名：夏蚴 矽年，zj q 矽日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 夏京桶 日期：矽z 年廖月矽日 江苏大学硕士学位论文 1 1 研究背景 第一章绪论 偏微分方程的研究兴起于十八世纪，在十九世纪得到迅速的发展。偏微分方 程的产生和发展是与物理学的发展密不可分的。随着物理学所研究的现象在广度 和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围也更加广泛了。从数学自身的角度 看，偏微分方程的求解促使数学需要在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、 代数、微分几何等各方面发展，偏微分方程问题变成了数学的中心之一。近几十 年来，该领域的研究，特别是对非线性方程的研究，发展蓬勃。 浅水波方程是偏微分方程基本方程之一。浅水波方程解的研究是浅水波方程 研究的重要组成部分，如c a m a s s ah o l m 方程、k o r t e w e g d ev r i e s 方程、b u r g e r s 方程、b b m 方程、b o u s s i n e s q 方程等等。1 9 世纪8 0 年代，几何学家b a c k l u n d 在 研究负常曲率曲面时，得到了s i n e - g o r d o n 方程的一个奇妙的重要性质，即从该 方程的一个已知解，经过一个特殊变换，可求得另一个新解，这变换被称为 b a c k l u n d 变换( 文献 卜2 ) 。g a c k l u n d 变换将同一个方程的两个不同的解联系了 起来。人们一度把b a c k l u n d 变换当作几何学中的定理看待，直到它在孤立子理论 中有了重要应用，才引起人们的关注。1 9 6 7 年， c s g a r d n e r ，j m g r e e n e ，m d k r u s k a l 和r m m i u r a 提出了逆散射方法( 文献 3 ) ，解决了一大类浅水波方程的求解问题。但此方法只对某一类浅水波方程有 效( 例如k d v 方程，n l s 方程或s g 方程) 。1 9 6 8 年，p d l a x ( 文献 4 ) 将逆散射 方法归纳成更精练的数学形式，引入了l a x 对概念，提供了一个可用逆散射方法求 解的非线性方程的判别依据与分类标准，从而将浅水波方程的求解问题和求l a x 对的问题联系起来。1 9 7 2 年，v e z a k h a r o v 和a b s h a b a t 找到了非线性 s c h r o d i n g e r 方程的l a x 对( 文献 5 ) ，首次求出了浅水波方程的孤立子解。而1 9 7 3 年，m j a b l o w i t z ，d j k a u p ，a c n e w e l l 和h s e g u r ( 文献 6 ) 将逆散射方法方 法用于s i n e g o r d o n 方程，求得其精确解。1 9 7 5 年w a h l q u i t 和e s t a b r o o k ( 文献 江苏大学硕士学位论文 7 ) 以外微分形式为工具提出延拓结构法。1 9 8 1 年，m a l f l i t 首次提出了一种求 k d v 方程多重孤立波解的方法，称为m a l f l i t 方法( 文献 8 ) 。a b d e l r a h m a n 利用 修正形式的m a l f l i t 方法得到了m k d v 一方程，r l w 方程，b o u s s i n e s q 方程的多重孤 立波解( 文献 9 ) 。2 0 0 0 年，j i e f a n gz h a n g ( 文献 1 0 ) 运用m a l f l i t 方法求出了 组合k d v - m k d v 方程的两个多重孤立波解，给出了一个b a c k l u n d 变换。九十年代提 出并发展起来的齐次平衡原则( 文献 1 1 - 1 2 ) ，可事先判定某浅水波方程是否有一 定形式的精确解存在，如果回答是肯定的，则可按一定的步骤求出它来。借助 m a t h e m a t i c 或m a p l e ，将齐次平衡原则与f 一展开法、椭圆函数、三角函数或双益 正切函数( 文献 1 3 一1 6 ) 等展开方法结合起来可以求出浅水波方程的精确解及其 周期波解。 1 2 研究现状 近年来，国内外关于浅水波方程的研究主要有以下几个方面： 第一方面是关于浅水波方程的c a u c h y 问题。女n l i x i nt i a n ，g u i l o n gg u i ，y u e l i u ( 文献 1 7 ) 研究了d g h 方程c a u c h y 问题的适定性。首先，l i x i n t i a n ，g u i l o n g g u i ，y u el i u 幂u 用k a t o 定理，解决了d g h 方程c a u c h y 问题的局部适定性问题：其次， 通过建立必要的先验估计，研究了d g h 方程的理论：最后，利用已建立的谱图理论， 在给定的条件下，解决t d g h 方程c a u c h y 问题的整体适定性问题。c o c l i t e ，h o l d e n 和k a r l s e n ( 文献 1 8 ) 证明了对于日1 ( r ) 的任何一个初始函数，广义超弹性杆 波方程柯西问题的解构成了一个强连续半群。 第二方面是关于浅水波方程的整体解。g e o r g j i e 等( 文献 1 9 ) 研究了一类 带有衰减项坼i z r 和形如川”1 “的源项的非线性浅水波方程，证明了当l p m 初值足够大时问题有整体解，而当l 0 , y e r ，c 2 z ， 若取g ( “) = 2 k u + 3 u 2 ，y = 1 ，方程( 1 2 2 ) 就是如下c a m a s s a - h o l m 方程( 文献 3 0 ) ： 塑一! + 2 2 瓦o u + 3 “瓦o u = 2 瓦o u 丽c 0 2 u + “窘(tooer0t o t o x )( 1 2 3 ) 2 缸巩苏缸2苏 该方程表示单方向浅水波的传播情况，式中u ( x ，f ) 代表了在t 时刻水平方向x 的流体速度。已经知道当k 0 时，c a m a s s a - h o l m 方程具有双哈密尔顿结构，且完 全可积，它的孤立子解是光滑的。当k = 0 时，c a m a s s a - h o l m 方程有奇特的 u ( x ，t ) c e p - a 形式的孤立波解，与光滑孤立波解不同，该解在波峰处一阶导数不 存在，所以被称为尖峰孤立子解。 若取g ( u ) = 3 u 2 ，y 0 ，方程( 1 2 2 ) 就是方程( 1 2 1 ) ，其中y 是材料杆的预应 力系数。在文献 3 1 中，d a ih - h u i 给出了y o ，0 0 时，若将x 轴看成一根张紧的弦，从全局看，u ( x ，f ) = u ( x - c t ) 就表 示它在t 时刻的形状( 即波形) 。点在时刻f = 0 时的位移为u ( x o ，0 ) = u ( x o ) ， 到时刻t 0 ，点x = x o + c t 的位移为u ( x c t ) = u ( x o + c t c t ) = u ( x o ) ( 如图 ( 2 1 1 ) ) 。所以，对固定的t 0 ，u ( x - c t ) 的图形是由甜( 功的图形向右平移距 离c f 而得到的。 特别的，若f = 1 ，则平移距离是c ，可见“( 功保持波形不变而以速度c 向右 传播，故称u ( x c o 为右行波，u ( x + c t ) 为左行波。无论是右行波还是左行波， 都是沿着单一方向传播的波，所以称“( 五f ) = u ( x - c t ) ，x r n , t 0 是行波解。 u = u ( x ， “j 、。“ 、下一夕。 0 x ox o + c t c t ) 图( 2 1 1 )浅水波方程行波解 定义2 1 3 ( 文【4 6 】) ：设有系统 7 江苏大学硕士学位论文 f 鱼：p ( x ，y ) j d t 尘：q ( x ，y ) ld t ( 2 1 1 ) 系统( 2 1 1 ) 的闭轨线r ，若存在万 0 ，使系统( 2 1 1 ) 在f 的两侧邻域s ( r ，o 3 内 的一切轨线均以彳为其q 或爿极限集，则称f 为系统( 2 1 1 ) 的一个极限环。( 如图 ( 2 - 1 2 ) ( a ) 、( 2 - 1 - 2 ) ( b ) 和f 2 1 2 ) ( c ) 所示) 由定义知：极限环是一条孤立的闭轨线。 图( 2 1 2 ) ( a ) 稳定极限环 图( 2 - 1 2 ) ( b ) 不稳定极限环 图( 2 - 1 2 ) ( c ) 半稳定极限环 定义2 1 4 ( 文 4 6 ) ：若直线y = f ( x ) _ 1 2 没有与系统( 2 1 1 ) 的轨线相切的点，即 轨线只能从直线的一侧穿向另一侧，则直线y = f ( x ) 是系统( 2 1 1 ) 的无切直线。 定义2 1 5 ( 文 4 7 1 ) ：设e 是r 2 的开子集，h c 2 ( e ) ，其中 h = h ( x ，1 3 ，x ，y r 2 ，形如 x ，：塑 a 】， y ，：一o h e x 的系统，称为在e 中的h a m i l t o n 系统。 而日= ( x ，r ) ，x ，y r 2 称为h a m i l t o n 函数。 定义2 1 6 ( 文【4 8 ) ：设系统( 2 1 1 ) 具有一鞍点n ( x o ，y 。) 及当t 哼+ o o 和 fj 时均趋向n 的轨线l ，则l 和n 组成一同宿轨( 如图( 2 1 3 ) 所示) 江苏大学硕士学位论文 图( 2 1 3 )同宿轨 目前，对孤立波有多种定义方式，但还没有一个确切的定义。李政道认为： 在一个场论系统中，如果有一个经典的解，它在任何时间内都束缚于一个有限区 域内，那么这样的解就叫做经典孤立波解。 本文采用以下述定义，即 定义2 1 7 ( 文 4 9 】) 孤立波是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊 性质的解，以及与之相应的物理现象。它满足以下三点： ( 1 ) 孤立波是波动问题中的一种能量有限局域解： ( 2 ) 能在空间给定区域稳定存在； ( 3 ) 相互作用不改变各自的特性。 2 2 基本定理 定理2 2 1 ( p e r r o n 第一定理) ( 文 4 6 】) ：设有平面非线性系统： 其中尹，q c 1 ( d 置2 ) ，o ( 0 ，0 ) 为孤立奇点，分离出线性项后，( 2 2 1 ) 可改写成 i 妄一+ 砂以( 训) 1， i 象2 蹦+ 砂+ y 力 其中z ，y 。( r ) ，肖，y 连续可微，r ：0 而。 其线性系统为 9 ( 2 2 2 ) 22 ) ) y y x 工 ( ( p 9 i i i i 出一西砂一出 江苏大学硕士学位论文 ( 2 2 _ 3 ) 设系统( 2 2 2 ) 中的z ，y 满足条件： ( 1 ) 在奇点o ( 0 ，0 ) 的邻域内有连续的一阶偏导数； ( 2 ) x ( x ，y ) = d ( ，) ，( x ，y ) = d p ) ，= x 2 + y 2 则如果o ( o ，0 ) 是对应线性系统( 2 2 3 ) 的焦点、结点或鞍点，那么0 也是非线性 系统( 2 2 2 ) 的同类型奇点。 定理2 2 2 ：( b e n d i x s o n d u l a c 判别法) ( 文 4 6 1 ) 若在单连通域g 内存在函数 占y ) c i ( 回，使 了0 ( b e ) - i - 挈咚o ) ， y ) g ( 2 2 0 戗钟 且不在g 的任一子区域内恒为零，则系统( 2 2 1 ) 不存在全部位于g 内的闭轨线和具 有有限个奇点的奇异闭轨线。 函数b ( 五力称为d u l a c 函数。 1 0 妙 砂 + 十 饿 “ | l = 出一衍砂一出 ，c，l 江苏大学硕士学位论文 第三章广义超弹性杆波方程的行波解 3 1 行波解存在的必要条件 我们先讨论当，r ，在一定速度c ( o ) 传播情况下光滑行波解存在的必要条 件。 定理3 1 1 ：当y r 时，对于c 0 ，方程( 1 2 2 ) 存在光滑行波解的必要条件 是( g ) 一c 妒2 ) ( 脚一c ) o 。( 其中r g ( 工) 出= g ( 伊) ，c 为波速) 证明：设u ( x ，t ) = u ( x c t ) = 伊( f ) 是方程( 1 2 2 ) 的光滑行波解，则有 一c + c 矿+ 掣矿：，( 2 c p f a + 卿一) ( 3 1 1 ) 此处上标表示对手= x c t 的导数，将方程( 3 1 1 ) 关于善积分，取积分常数为 零，得到 唧仰”+ 半= y 陟灿卅 m ， 对方程( 3 1 2 ) 两边同乘以，有 一州坳矿+ 半伊= 丢m 3 + 脚矿 ( 3 1 3 ) 将方程( 3 1 3 ) 关于f 积分，得到 一三一秒) 2 + r 半出= 考嘶，) 2 伸 记j ：g ( x ) d x = g ( 妒) ， 即 ，妒( 妒) 2 一c ( 妒) 2 + c o p 2 = g ( 伊)( 3 1 4 ) 整理得： ) 2 ( r f o c ) = g ( 伊) 一e r a 2( 3 1 5 ) 当卿一c o 时，( ) ：旦鲤盟o 江苏大学硕士学位论文 若g ( p ) 一c 妒2 = 0 ， 则妒7 = 0 或，妒一c = 0 所以妒= d ( 其中d 表某个常数) 将妒= d 带入( 3 1 1 ) ，方程成立。 所以当y r 时，对于c 0 ，方程( 1 2 2 ) 存在光滑行波解的必要条件是 ( g ( 妒) 一c 妒2 ) ( y 妒一c ) 0 。 3 _ 2 g ( 矿) 为特殊形式时仃z - 波解的研究 ( 1 ) g ( 伊) 为多项式时的情形， 设g ( 妒) = a 。p ( n e z + ，n 1 ) ， 将g ( 纠= 口，缈带入( 3 1 5 ) ，得 7 ) 2 ( y 伊一c ) = q 妒一c ( a 2 所以，) 2 ( r m - c ) = b ，妒 ( 其中b ，= a ，( i 2 ) ，b 2 = a 2 一c ) z b ，妒。一。 所以 ) 2 5 曩i 7 2 善q 妒 ( 其中q 由b j 具体确定) 行= 3 时，行波解的具体研究结果如下。 定 理 3 2 1： 设g ( 妒) = b 3 f a 3 + b 2 ( a 2 + b l ( o + b o 且满足 ( g ) 一c 伊：) ( y g , - c ) o ，则方程( 1 2 2 ) 有形如缈= 眈2 颤一云的行波解。 其中彳：堕，b ：丁b ，c + r ( b 2 - c ) ，c ：垦二兰鱼笔迹，满足 yy 。7 。 江苏大学硕士学位论文 6 3 c 3 + 弦2 ( 6 2 c ) + y 2 b l c y 3 常数，c 为波速。 + b o = 0 ，b 2 4 a c = 0 ，b 3 与y 同号，其中d 、e 为 证明：将g ( 妒) = 6 3 妒3 + 6 2 妒2 + b l c p + b o 代a ( 3 1 ，5 ) ，得 ( 妒) 2 0 驴一c ) = b 3 ( p 3 + ( 6 2 一c ) p 2 + 6 l 缈+ b o b 3 ( p 3 + ( 6 2 一c ) 妒2 + b l q d + b o ：鲁9 2 咖一c ) + 譬伊：+ ( 6 ：一c ：+ b 。q o + b 。 y， = 等砌叫+ 睁yly =盟切一e)+f竺y2yy+ 鱼兰k咖一c)+_b3c2+yc(b2-c)伊+6。驴+60 717 。 生1 9 咖一c ) + 垡兰垫掣切一c ) y)y + b 3 c 3 + 4 s 2 ( b 1 2 - c ) + y 2 b z c + b o y 。 艄壁型学+ 6 0 = 。时 ) 2 = 等妒2 + 学妒+ 鱼型兰! ! 竺学 记“：生， y b = b 3 c + g ( b 2 一c ) c ：垦! ：丝! 丝：! ! 兰：! ! ! ，。 则得到方程： ( p7 ) 2 ：爿妒2 + b 妒+ c 所以：扛万丽 即 江苏大学硕士学位论文 t 坠一= 鸳 ( 3 2 i ) 、4 妒2 + b f o + c 、 当b 2 4 a c = 0 且彳 0 ( 即b 3 与y 同号) 时，( 3 2 1 ) 化成 所以 f 网d f o = d fl 痂+ 拓 一 坚：塑扑口+ - 7 。 l l l i 廊+ 4 - 6 = + 4 7 1 亭1 + d ： l 廊+ 垌= b 已“刮引， 、励+ 拓= + d 3 e 2 啊纠 4 - 7 0 = d 3 e + 罚刳4 - ( 即： 矿：肇e 4 - d n 一磐：伪。堋一e aa 定理得证。 ( 2 ) g ( 彩为指数形式时的情形， 定理3 2 1 ：设g ( 妒) = e 9 ( 其中厂( 妒) 为9 的任意函数) ，且满足条件 脚c ，f ( f o ) l n c + 2 l n q ，f 或者当y q o c ，f ( r p ) l n c + 2 1 n l q ) i ，则方程( 1 2 2 ) 有形如妒= d e i 纠的行波解。其中d 与，为同号且d 满足式子 f ( d e 一旧) + 3 蚓= h 1 r a 3 l 的常数，c 为波速。 证明：当g ( f o ) = p 7 引， 且满足( g ) 一c 妒2 ) ( 胗一c ) 0 时 则 1 4 江苏天兰壁主兰竺垒圣一 一。 fef(p)-cq72。或le脚fe一)c-c(p0 0 2 。 口z，一 4 、 l 脚一cs 艺2 l 制或p 嚣2 切捌 l彤2 c l y3 。 所以当即c ，厂( 妒) l n c + 2 1 托i 妒l ， 或坤c ，( 妒) l n c + 2 1 ，z i 纠时，方程( 1 2 2 ) 有行波解。 将g ( 妒) = e l p ) j l q 口= d e 一代入( 3 1 4 ) 得 y d e - i f l d 2 e - 2 悟l c ( d z e - 2 1 e 1 ) + c d 2 8 堋= 扩 3 8 训= e m ， e m ) + 3 1 引= 3 因为e m 脒i 0 所以3 0 ，即d 与y 为同号 且厂( 矿) + 3 陶= 1 1 1 弦3 l 即厂( 出嘲) + 3 蚓= l i l 护3 l 定理得证。 3 3 行波解的平衡点 下面利用相空间( 仍刁) 讨论方程( 1 2 2 ) 的平衡点及相应的轨线。 令舻= 叩，由( 3 1 2 ) 得 打= 7 卵2 一g ( 妒) + 2 c , p 2 c 一2 弦 则得到方程组： 1 5 江苏大学硕士学位论文 77，： 口7 = r 7 r 2 _ g ( q ) + 2 c 口o( 3 3 1 ) 2 c 一2 脚 不妨记( 3 ，3 1 ) 在相空间中的平衡点为：( 妒，0 ) ( 其中妒满足条件g ( 妒) = 2 c ( a ) 定理3 3 1 ：设g ( 妒) = a f 0 2 + 6 缈+ d ( a o ) 为二次多项式，则方程组( 3 3 ，1 ) 的平衡点为中心或鞍点。 证明：因为g ( 矽) = 口妒2 + 6 矿+ d ( a 0 ) 所以2 c f o = a ( 0 2 + 6 妒+ d 整理得： d 妒2 + ( b 一2 c ) o + d = 0 ( 1 ) 当a = 一2 c ) 2 4 a d = 0 时，方程组( 3 3 1 ) 有一个平衡点，为 ( 2 c 2 - 口b ，。) ( 2 ) 当= ( 6 2 c ) 2 4 a d 0 时，方程组( 3 3 1 ) 有两个平衡点，为 。，o ) ，奴，0 ) ( 其中仍2 =2 c b 厄 厂) 下面分析平衡点的类型。 直接计算，有 俨吐笋 一a c p 2 一( b 一2 c ) ( o d + 朋2 2 c 一2 朋 一堡+ 6 2 c ) 妒+ 7 r 2 一d 2 7 妒+ j 2 五c 厂 7 2 朋 6 江苏大学硕士学位论文 一( 竺+ 6 2 c ) 妒+ 朋2 一d 企i 一：丁( 妒，7 1 ) ， 令 2 c 一2 胗 1 、y f妒= 卵 1 7 7 ，= 号 “仍们 ( 3 3 2 ) 仁伊 s 方程组c s 3 ，系数对应的矩阵a ：l ： i ， 。c五，：l二兰二五i：名一差=02y ， d ( 五) = 巴一无i = 名一昔= ， 则p 2 o ，q2 一万a ( 1 ) 当q = 一石a 0 ，即岛y 异号时，p = 0 ， z y 髋 1 7 江苏大学硕士学位论文 当 0 时，轨线沿顺时针方向旋转。( 图( 3 3 一1 ) ( b ) 所示) 此时平衡点为中心。 j r 乍书。 心涉4 。 j 、r 乍孓。 心 币 图( 3 3 1 i ( a ) 中心 图( 3 - 3 1 ) ( b ) 中心 ( 2 ) 当g2 一寺三o ，即岛，同号时， 此时方程组( 3 3 3 ) 的特征根 ，如为两异号实根， 方程组( 3 3 3 ) 对应的标准型为： f 妒7 = a 妒 【r 7 = 名2 7 7 则 9 = ( 7 1 e 稚，7 7 = c 2 e 硝 由( 3 3 4 ) 知，妒= 0 与7 7 = 0 均为轨线。 再由( 3 3 5 ) 知，当手j + 0 0 时， 或者矿- - - ) 0 ，刁专o o ； 或者妒- - 9 o d ，r 哼0 ( 如图3 - 3 2 ( a ) ( b ) ) ( 其中原点0 为平衡点) ， 此时平衡点为鞍点。 由p e r t o n 第一定理知：方程组( 3 3 1 ) 的平衡点为中心或鞍点。 1 8 ( 3 。3 4 ) ( 3 3 5 ) 江苏大学硕士学位论丈 j 敝沙 r r 。( () ) j。， 砂起 飞。i 伊 定理3 3 2 ：当g ( 缈) = 口。q o + 口缈2 + 6 p + d ( 其中历3 , b m z ，q 不 同为0 ) 时，方n n ( 3 3 ，1 ) 的平衡点为中心或鞍点，或者r 亍0 ( 即p 轴) 上任一点为 证明：g ( 缈) = 口。伊+ a q 0 2 + 6 伊+ d ( 1 ) 当a 0 时， ( 其中纪满足2 c 纺= g ( 仍) ，i = l ，2 ， n 1 ) ，聊2 一( 善口，妒+ 口妒2 + 6 伊+ d ) + 2 c 七 矿= 上l 瓦i 矿上 5 昙妒州卿) 则方程组( 3 3 1 ) 的平衡点分类情况同定理3 3 1 ，即平衡点为中心或鞍点。 ( 2 ) 当a = 0 时，g = 0 ， 由方程组( 3 3 1 ) 知，刁= 0 ( 即妒轴) 上任一点都为平衡点。 定理3 3 3 ：当g ( 妒) = 6 伊+ d 或其它不含妒二次项的形式时，7 7 = 0 ( 即伊 江苏大学硕士学位论文 轴) 上任一点都为平衡点。 证明：当g ( 缈) = b ( o + d 或其它不含妒二次项的形式时 7 7 ，：y r 2 = - g ( 够) ) + 2 一c o p ：g ( p ，7 7 ) 2 c 一2 y r # ” 万程组( 3 3 1 ) 化为： 2 7 7 b7 = g ( 仍7 7 ) 考虑方程组( 3 3 6 ) 平衡点类型， 即考虑线性方程组；17 7 ，：o r f 矽7 = 平衡点的类型，方程组c s 3 7 ，的特征方程为：i 一0 a 1 一五l = 矛= 。， 则q = 0 ， 由方程组( 3 3 6 ) 知： 7 7 = 0 ( 即妒轴) 上任一点都为平衡点。 定理得证。 3 4 极限环的不存在性 ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) c 很显然，妒2 7 是方程组( 3 3 1 ) 的无切直线即若有极限环一定不和它相交。 所以，以下设伊一三。 ， 定理3 4 1 ：当y 0 、g ( 妒) 一2 c ( o 恒正或y 0 、g ( 9 ) 一2 c o p 恒正或y 0 、g ( 妒) 一2 c ( a 恒正或y 0 、g ( 妒) 一2 c ( g 恒正或 y 令u = y ，则得到平面自治系统： ( g + c u - 詈 弘 ( 4 1 3 ) 很显然，系统( 4 1 3 ) 是一个h a m i l t o n 系统，其h a m i l t o