九年级数学上册专题突破讲练一元二次方程的根与系数究竟有何关系试题新版青岛版.doc

一元二次方程的根与系数究竟有何关系一、一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根x1、x2，则x1x2，x1x2。方法归纳：（1）如果方程x2pxq0的两个实数根是x1、x2，那么x1x2p，x1x2q。（2）以x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2（x1x2）xx1x20或（xx1）（xx2）0。二、一元二次方程根与系数的关系的应用（1）验根；（2）已知方程的一个根，求方程的另一个根及未知系数；（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。方法归纳：利用方程根与系数的关系求代数式的值，几个重要变形如下：（1）x12x22（x1x2）22x1x2；（2）；（3）；（4）（x1x2）2（x1x2）24x1x2；（5）x1x2。总结：1. 已知一元二次方程的两个实数根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围。2. 利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。例题1 已知方程x22x10，则此方程（ ）A. 无实数根 B. 两根之和为2 C. 两根之积为1 D. 有一根为1解析：根据已知方程的根的判别式符号确定该方程的根的情况；由根与系数的关系确定两根之积、两根之和的值；通过求根公式即可求得方程的根。A. （2）241（1）80，则该方程有两个不相等的实数根。故本选项错误；B. 设该方程的两根分别是、，则2。即两根之和为2，故本选项错误；C. 设该方程的两根分别是、，则1。即两根之积为1，故本选项正确；D. 根据求根公式x1可知，原方程的两根是（1）和（1），故本选项错误。故选C。答案：C点拨：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式以及求根公式的应用。利用根与系数的关系、求根公式解题时，务必清楚公式中的字母所表示的含义。例题2 设x1、x2是方程x2xxx0的两个实数根，求x13xxx2xx的值。解析：由原方程可知x2xxx，xx2xx；x12x1xx，x1x12xx。由根与系数的关系可知x1x21，根据以上关系代入求值即可。答案：x2xxx0，x2xxx，xx2xx。又x1、x2是方程x2xxx0的两个实数根x1x21x13xxx2xxx1x12xxx2x2xxx1（x1xx）xxx2x2xxx12xxx1xxx2x2xx（x1xx）xxx1xxx2x2xxx1x2xx（x1x2）xxxx1xxxx点拨：本题考查了根与系数的关系，对所求代数式的变形是解答此题的关键点和难点。利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。设一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个实数根为x1、x2，则（1）当0且x1x20时，两根同号，即（2）当0且x1x20时，两根异号，即例题 如果关于x的方程x2pxq0（p、q是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个解析：p、q是正整数，且p24q0，原方程有两个不相等的实数根。又x1x2q0，此方程两根异号。这个方程的正根为，即3。解得q93p，其正整数解是：、。故选C。答案：C点拨：要判断一元二次方程的根的符号有一个前提条件不能忽略，那就是判别式0，然后再依据x1x2和x1x2的正负情况进行判断。（答题时间：30分钟）一、选择题1. 已知（xa）（xb）x22x1，则ab（ ）A. 2B. 1C. 1D. 22. 已知一元二次方程x26xc0有一个根为2，则另一个根为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 83. 已知m、n是关于x的一元二次方程x23xa0的两个解，若（m1）（n1）6，则a的值为（ ）A. 10B. 4C. 4D. 10*4. 设x1、x2是方程x23x30的两个实数根，则的值为（ ）A. 5B. 5C. 1D. 1*5. 若m、n是方程x22x10的两个实数根，则的值是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8*6. 若方程x22px3p20的两个不相等的实数根x1、x2满足x12x14（x22x2），则实数p的可能的值为（ ）A. 0或1B. 0C. 0或4D. 4二、填空题7. 若x11是关于x的方程x2mx50的一个根，则方程的另一个根x2_。8. 已知关于x的一元二次方程x2x30的两个实数根分别为、，则（3）（3）_。*9. 已知实数a、b不相等，并且a215a，b215b，则_。*10. 已知关于x的方程x2（ab）xab10，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：x1x2；x1x2ab；x12x22a2b2。则正确的结论是_。（填上你认为正确结论的所有序号）三、解答题11. 已知关于x的方程x2xn0有两个实数根2、m。求m、n的值。*12. 已知、是关于x的一元二次方程x2（2m3）xm20的两个不相等的实数根，且满足1，试求m的值。*13. 已知、是方程x22x10的两个实数根，试求3510的值。*14. 已知关于x的一元二次方程x2（2k1）xk22k0有两个实数根x1、x2。（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1x2x12x220成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由。*15. 已知关于x的方程x22mxm22x的两个实数根x1、x2满足x1x2，求实数m的值。一、选择题1. C 解析：注意本题ab不是利用根与系数的关系求得的，根据等式的性质求解即可。2. C 解析：设方程的另一个根为x1，由题意可知x126，所以x14，即方程的另一根为4。3. C 解析：根据题意得：mn3，mna，（m1）（n1）mn（mn）16，a316，解得a4，故选C。*4. B 解析：由题意可知x1x23，x1x23，5。*5. D 解析：由已知得mn2，mn1，则（mn）2（mn）24mn（2）2416，mn4。8。*6. B 解析：原方程有两个不相等的实数根，（2p）24（3p2）0，即p23p20，且x1x22p，x1x23p2。又x12x14（x22x2），即x12x22x1x24，（x1x2）22x1x2（x1x2）4，即（2p）22（3p2）2p4，4p24p0，解得p0或1。当p0时0，当p1时0（舍去），所以p的可能的值为0。二、填空题7. 5 解析：由x1x25且x11，得x25。8. 9 解析：1，3，（3）（3）3（）933199。*9. 23 解析：a、b满足a215a，b215b，即a、b是x215x的两个实数根，整理此方程为x25x10，根据根与系数的关系可知ab5，ab1。23。*10. 解析：方程x2（ab）xab10中，（ab）24（ab1）（ab）240，x1x2，故正确；x1x2ab1ab，故正确；x1x2ab，x1x2ab1，x12x22（x1x2）22x1x2（ab）22ab2a2b22a2b2，即x12x22a2b2。故错误；综上所述，正确结论的序号是：。三、解答题11. 解：关于x的方程x2xn0有两个实数根2、m，解得，即m、n的值分别是1、2。*12. 解：根据条件知：（2m3），m2，1，即m22m30，所以有，解得m3。*13. 解：是方程x22x10的根，212。3a2a（12）222（12）52，又2，3510（52）5105（）85（2）82。*14. 解：（1）原方程有两个实数根，（2k1）24（k22k）4k24k14k28k14k0，k。当k时，原方程有两个实数根。（2）假设存在实数k使得x1x2x12x220成立。理由如下：x1、x2是原方程的两个实数根，x1x22k1，x1x2k22k。由x1x2x12x220得3x1x2（x1x2）20。3（k22k）（2k1）20，整理得：（k1）20，只有当k1时，上式成立。又由（1）知k，不存