（应用数学专业论文）三类具有收获率的生物数学模型周期解的存在性.pdf

硕七学位论文 摘要 本文在已有的连续模型的基础上，得到了更符合实际的几类具有收获率的离 散模型我们主要应用迭合度理论的两延拓定理对三类具有收获率的生物数学模 型多周期解的存在性进行深入的研究本篇论文由四章构成 在第一章，我们介绍了本文研究的背景与意义、主要工作、预备知识以及文中 用到的一些符号 在第二章，我们研究了一类具有收获率的变时滞人口模型，并应用迭合度理论 的一个延拓定理，得到了该变时滞系统至少存在两个正周期解的充分条件，并用一 个例子进行了验证 在第三章，我们研究了一类具有收获率的l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型，并应用迭 合度理论的另一个延拓定理，得到了该差分系统至少存在四个不同正周期解的充 分条件 在第四章，我们研究了一类具有收获率的非自治的三群捕食者一食饵模型，并 应用与第三章相同的方法，首次验证了该常时滞系统至少存在八个不同正周期解 的充分条件 从已有的文献可以看出，具有收获率的系统往往会表现出复杂的动力学行为 本文通过对三类具有收获率的非自治系统进行研究，得到了保证这三类系统分别 至少存在二、四、八个正周期解的充分条件，在一定程度上反映了该类具有收获率 的系统的复杂性 关键词：正周期解；变时滞；常时滞；延拓定理；收获率 i i 硕十学位论文 a b s t r a c t b 5 8 e do nt h ee x i s t e dt h r e ec o n t i n u em o d e l s ，w eo b t a i ns e v e r a lc l a s s e so fd i s - c r e t ed e l a y e dm o d e l sw i t hh a r v e s t i n gr a t ei nm a t h e m a t i c a lb i o l o g yw h i c hs e e m m o r ep r a c t i c a lt h a nt h o s ee x i s t e d i nt h i sp a p e r b ye m p l o y i n ga 政e dp o i n tt h e - o r e mi nr e g u l a rc o n ea n dac o n t i n u a t i o nt h e o r e mi nc o i n c i d e n c et h e o r y ，w em a k e m u c hi n v e s t i g a t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep e r i o d i cs o l u t i o n so ft h r e em o d e l si nm a t h e m a t i c a lb i o l o g yw i t hh a r v e s t i n gr a t e t h i st h e s i si sc o m p o s e do ff o u r c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d sa n ds i g n i f i c a n c eo fo u rs t u d i e s ， m a i nw o r ko ft h i sp a p e r ，p r e p a r i n gk n o w l e d g ea n d s o m en o t i o n s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yad i s c r e t ef o rag e n e r a l i z e dd e l a y e dp o p u l a t i o nm o d e l w i t ha ne x p l o i t e dt e r m b ya p p l y i n gac o n t i n u a t i o nt h e o r e mi nc o i n c i d e n c et h e o r y , w eo b t a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hg u a r a n t e et h ee x i s t e n c eo fa tl e a s tt w od i r e c t p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s i nc h a p t e r3 ，w es t u d yal o t k a - v o l t e r r ac o o p e r a t i v em o d e lw i t hh a r v e s t i n g b ya p p l y i n ga n o t h e rc o n t i n u a t i o nt h e o r e mi nc o i n c i d e n c et h e o r y , w eo b t a i ns u f - f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hg u a r a n t e et h ee x i s t e n c eo fa tl e a s tf o u rp o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n so ft h i ss y s t e m i nc h a p t e r4 ，w es t u d yat h r e e - s p e c i e sp r e d a t o r - p r e yd i f f e r e n c ee q u a t i o nw i t h n o n m o n o t o n i cf u n c t i o n a lr e s p o n s ea n dh a r v e s t i n g b yt h es a m em e a nw i t hc h a p t e r 3 ，w ef i r s t l yo b t a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hg u a r a n t e et h ee x i s t e n c eo fa tl e a s t e i g h tp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so ft h i ss y s t e m f o rm o d e l sw i t hh a r v e s t i n g ，f r o mt h ew o r k sw h i c hh a v ea l r e a d yd o n ei nt h e l i t e r a t u r e ，w ec a ns e et h a tt h e yo f t e np r e s e n tc o m p l e xd y n a m i c a lb e h a v i o r s i nt h i s p a p e rw es t u d yt h r e en o n a u t o n o m o u ss y s t e m sw i t hh a r v e s t i n gr a t ea n do b t a i ns o m e c o n c i s es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hg u a r a n t e et h ee x i s t e n c eo ft w op o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n s ，f o u rp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s ，a n de i g h tp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n si n d i f f e r e n c e ，t h er e s u l t sw eo b t a i n e dr e f l e c tt h ec o m p l e x i t yo ft h e s es y s t e m sw i t h h a r v e s t i n gt oc e r t a i ne x t e n t k e yw o r d s ：p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s ；c o n t i n u a t i o nt h e o r e m ；v a r i e dd e l a y s ； c o n s t a n td e l a y s ；h a r v e s t i n g i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 储鹤：关p 诠醐：节细h 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密瓯 ( 请在以上相应方框内打“”) 月je t 月 i 。日 研1 期期 日日 硕士学位论文 1 1前言 第1 章绪论 众所周知，周期现象普遍存在于自然界中( 如季节、食物、交配习惯等) ，人们可 通过研究泛函微分方程周期解的性质，了解种群内部以及种群之间的变化规律与 渐近性态凶此，对泛函微分方程周期解的研究具有重要的理论和实际意义，见文 献 1 2 1 近十年来，随着微分方程理论在种群生态学研究中的不断深入，迭合度方法广 泛地应用于非自治生态模型周期解存在性的研究中如：y a n g 3 应用迭合度理论获 得了下列微分方程至少存在一个正周期解的充分条件 jz ：( ) = x l ( t ) e x p r 1 ( ) 一a n ( t ) x a ( t 一丁1 ( 亡) ) + a 1 2 ( t ) x 2 ( t 一死( t ) ) ) ， 【z ；( t ) = z 2 ( t ) e x p ( ( r 2 ( t ) + a 2 , ( t ) x l ( t n ( 芒) ) 一a 2 2 ( t ) x 2 ( t 一死( t ) ) ) 目前，应用迭合度方法讨论泛函微分方程多周期解存在性的文献越来越多，见文 献4 1 1 ，更甚者一些学者把微分方程多周期解的存在性研究推广到一般形式，并 获得了一些好的结果如：在2 0 0 7 年，z h a n g 8 】用迭合度理论研究了如下具有收获率 的广义时滞人口模型： z 7 ( 亡) = x ( t ) f ( t ，z ( t ) ，x ( t 一7 1 ( t ) ) ，x ( t 一( 亡) ) ) 一九( t ) ， 以及具有收获率的二维微分方程组【9 】： jz 7 ( 亡) = z ( t ) 只( t ，z ( ) ，( ) ) 一九1 ( 亡) ， 【矿( t ) = y ( 亡) f 2 ( ，z ( ) ，可( t ) ) 一h 2 ( t ) 在2 0 0 8 年，z h a n g 1 0 】又研究了三种群捕食者一食饵模型： ix i ( t ) = z 1 ( ) ( x l ( t ) g ( t ，z 1 ( ) ) 一o ( t ) x 2 ( t ) p 2 ( x l ( t ) ) 一c 2 ( t ) x 3 ( t ) p 3 ( x l ( t ) ) ) 一h i ( t ) ， z ；( ) = x 2 ( t ) ( - d l ( t ) + 恳( ) 沈( z 1 ( t 一丁) ) n 2 2 ( ) z 2 ( ) ) 一h 2 ( t ) ， i z ；( ) = x 3 ( t ) ( - d 2 ( t ) + 尾( t ) p 3 ( x l ( t 一7 - ) ) 一a 3 3 ( t ) x 3 ( t ) ) 一h 3 ( t ) ， 并获得此类具有收获率的微分方程具有多周期解的充分条件 人们发现，虽然在很多方面，微分方程与差分方程有一些结果是相似的，相近 的或平行的，然而当种群数量较少或世代不可迭代时，差分系统确定的离散模型比 连续模型更切合实际 一1 一 i 类具有收获率的牛物数学模犁刷期解的存仵件 尽管迭合度理论已经广泛地用于研究微分方程剧期解的存在性，而对于差分 系统，该理论在微分方程周期解的存在性研究中用到的一些方法和技巧不再实用， 以至处理起来非常困难到目前为止，我们发现用于研究差分系统周期解存在性的 文献还比较少，见文献【1 2 1 9 】如：在文献 1 5 1 q 口，z h a n g 对 3 】相应的差分系统： iz l ( k + 1 ) = z l ( k ) e x p r l ( k ) 一a i z ( k ) x l ( k 一及( 七) ) + a t 2 ( k ) x 2 ( k 一死( 七) ) ， 【x 2 ( k + 1 ) = x 2 ( k ) e x p ( r 2 ( k ) + a 2 1 ( k ) x l ( k 一丁1 ( 忌) ) 一a 2 2 ( k ) x 2 ( k 一死( 七) ) ) 以及在文献 1 6 】中，x i a 与c a o 等对捕食者一食饵离散模型： 一1 陋鼬州m ) _ 6 ；o o 删州肛p ) _ 啪m 鬻) 器) ， 【z 2 ( 七+ 1 ) = z 2 ( 忌) e x p 一d ( ) + e ( 七) 9 ( 删) ) ， 进行研究，且用迭合度方法获得了以上两差分系统至少存在一个正周期解的充分 条件在二维的基础上z h a n g 与d a i 纠17 】研究了如下三维s t a g e - s t r u c t u r e 差分模 型周期解的存在性 f ( 七+ 1 ) = x l ( k ) e x p 一6 ( 七) 一c ( 七) + o ( 七) 笔鬻) ， m l ( k + 1 ) = m l ( k ) e x p ( 一d 1 2 ( 后) 一o l ( k ) m l ( k ) + 里丝丝些蕞茜亟盟鱼盟) ， 【m 2 ( k + 1 ) = m 2 ( k ) e x p ( - d 2 1 ( k ) 一p ( 尼) + d 2 1 ( 忌) 必m 2 ( k ) l j 而用迭合度理论讨论离散人口模型及离散微分方程多个周期解的结果非常之少，仅 见文献 1 8 - 1 9 】如：在2 0 0 7 年，z h a n g 与z h u 牟 1 8 l 首次用迭合度方法研究了如下具 有i v 功能性反应的离散捕食者一食饵模型多周期解的存在性 jz ( 七+ 1 ) = z ( 七) e x p b ，( 后) 一n ( 七) z ( 后一7 1 ( 南) ) 一丢篙芳瓣) ， iz z ( 七+ 1 ) = z 。( k ) e x p 一6 2 ( 后) + 霹话二翥箦乡箸三黑) 在2 0 0 8 年，h u 与z h a n g 1 9 】用迭合度理论研究捕食者一食饵差分模型： 厂z ( 尼+ 1 ) = z ( 七) e x p n ( 七) 一6 ( 七) z ( 七) 一磊专潞一黔 ， i ! ，( 七+ 1 ) = y ( 后) e x p 石5 譬2 舌竺写i ：务弩端一c 2 ( k ) x ( k ) 一d ( 后) ) ， 首次获得了该系统至少存在四个正周期解的充分条件 受以上研究的启发，本文将应用迭合度理论的两个延拓定理，研究下面具有收 获率的差分系统多个正周期解的存在性 ( 一) 具有收获率的变时滞模型 具有收获率的系统，由于存在开发项，往往表现出复杂的动力学行为目前，已 有很多学者研究了此类模型，见文献【8 1 0 ，2 0 2 4 】 硕十学位论文 z h a n g 8 】用迭合度理论研究了具有收获率的变时滞模型： z 7 ( 亡) = x ( t ) a ( t ) 一b ( t ) x ( t ) 一c ( t ) x ( t 一7 l ) ) 】一九( 亡) ，( 2 1 ) 其中， ( ) 表示种群的收获率，o ( 亡) ，6 ( ) ，c ( t ) 和时滞7 - ( t ) 都是非负连续的u 一周期函 数，并证明了在一定条件下该系统至少存在两个正周期解 在第二章中，我们将研究系统( 2 1 ) 对应的差分方程： m + 1 ) = z ( k ) e x p n ( 七) 一m ) m ) 一c ( 咖( 后一m ) ) 一糕) ， ( 2 2 ) 并应用迭合度理论的一个延拓定理获得该系统至少存在两个正周期的充分条件 ( 二) 具有收获率的非自治l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型 随着人们对种群内部以及种群之间是否协调发展愈加关注，模拟生物种群数量 演变过程的数学模型显得十分重要近几年，种群间相互竞争的l o t k a - v o l t e r r a 离散 模型倍受关注，见文献【2 5 3 0 ，如：m a y 2 8 】首先提出了离散的二维l o t k a - v o l t e r r a 竞 争系统模型： ! z ( 七+ 1 ) = z ( 七) e x p 7 - 1 一。1 1 ( 七) z ( 七) 一。1 2 ( 尼) 可( 七) ) ，( 2 3 ) 【夕( 七+ 1 ) = y ( k ) e x p ( r 2 一a 2 1 ( k ) x ( k ) 一a 2 2 ( k ) y ( k ) ， 、7 并研究了该系统的稳定点、稳定环等 在系统( 2 3 ) 的基础上，s a i t o 等【2 9 】获得如下自治时滞l o t k a - v o l t e r r a 差分系统持久性 的充分条件 ( 2 4 ) z h a n g 和z h o u 3 0 】研究了系统( 2 4 ) 对应的非自治系统： _ ! z ( 几+ 1 ) = z ( 佗) e x p 7 1 ( n ) 一。1 1 ( n ) z ( n 一尼1 ) 一。1 2 ( n ) 可( n 一忌2 ) ) ，( 2 5 ) 【可( n + 1 ) = y ( n ) e x p ( r 2 ( n ) 一a 2 1 ( n ) x ( n z 1 ) 一a 2 2 ( n ) 可( 礼一f 2 ) ) ， 、 并获得了该系统持久性的充分条件 在第三章中，我们将应用迭合度理论的另一个延拓定理研究如下具有收获率 的l o t k a - v o l t e r r a 差分模型： 雠x(k+1)=+1)-mx(k)exp(al(k)一-b,(k)x(k：；=)1 e x p ( a 2 ( kb 2 ( k ) y ( k 兰凛嬲二繁 ( 2 6 ) 【可( 七+ ) = ! ，( 七) ) 一 ) 一c 2 ( 后) z ( 七) ) 一等鲁】- ， 、7 获得该系统至少存在四个周期解的充分条件 1，1，圳训 一 一 n 礼 可 可 虮 一 一d ) f h 一 一0 l z 0 屹 z t 一 一 阻文 1 r ，t r t唧唰 nz y = = + + 佗 n z y ，j(1i一， i 类具有收获牢的乍物数学模犁周期解的存在性 ( 三) 具有收获率的捕食者食饵模型 捕食者和食饵之间的动力学关系由于它的普遍存在性，一直都在生态学和数 学牛态学中占统治地位，见文献 1 5 2 0 ，3 1 3 6 】 z h a n g 1 0 】用迭合度理论研究了如下具有收获率的二捕食者一食饵模型： iz j ( 亡) = x l ( t ) ( 0 1 ( t ) 一b l ( t ) x l ( t ) 一c l ( t ) x 2 ( t ) 一c 2 ( t ) x 3 ( t ) ) 一九1 ( t ) ， 吐( t ) = x 2 ( t ) ( 一d l ( t ) + 侥( t ) x l ( t 一7 - ) 一a 2 = ( t ) x 2 ( t ) ) 一h e ( t ) ， ( 2 7 ) i ( ) = x 3 ( t ) ( 一d 2 ( ) + 风( ) z l ( 一7 ) 一a a a ( t ) x 3 ( t ) ) 一h a ( t ) ， 其中，常数丁 0 表示食饵向捕食者转化过程中的平均周期，z 1 ( 亡) 代表食饵的种群 密度，x i ( t ) ( i = 2 ，3 ) 代表捕食者的种群密度，a i ( t ) 代表食饵的内在成长率，搿代 表食饵的承载能力，d i ( t ) ( i = 1 ，2 ) 代表捕食者的死亡率，q ( 亡) ( i = 1 ，2 ) 代表捕获 率，a i i ( ) ( i = 2 ，3 ) 代表两捕食者之间竞争系数，屈( 亡) ( t = 2 ，3 ) 代表捕食者的转化 率，h i ( ) “= 1 ，2 ，3 ) 代表三个种群的收获率，并证明了该系统在一定条件下至少存 在八个正周期解 在第四章中，我们将运用与第三章相同的方法，首次获得系统( 2 6 ) 对应的差分 方程： z 1 ( 七) e x p ( a i ( k ) 一b l ( k ) x l ( k ) 一c l ( k ) z ：( k ) 一c 2 ( z 2 ( k ) e x p ( 一d l ( k ) + & z l ( k 一7 _ ) 一0 2 2 ( 七) z 2 ( 七) ) z s ( k ) e x p ( - d 2 ( 忌) + & z l ( k 一7 ) 一a 3 3 ( k ) x 3 ( k ) ) 至少存在八个正周期解的充分条件 1 2预备知识 z 3 ( 克) ) 一业x l ( k ) ) ， 垒盟l z 2 ( k ) j 鱼巡1 ( 2 8 ) 我们首先介绍b r o u w e r 度的分析定义与它的两个重要性质 定义1 2 1 f 3 7 】设q 是形中的有界开集，f ：q _ 舻是c 2 映射，p r n ，( a q ) ，于是7 _ = i n 。f i i f ( x ) 一p l i 0 作连续函数圣： 0 ，+ o 。) 一冗1 ，使满足 正d i z ( i ) 3 0 仃 7 - ；，使当7 ( 盯，r + ) 时圣( 7 - ) = o ； ( i i ) 厶远 ( 1 l u l l ) d u = 1 定义d e g ( f ，q ，p ) 如下： ， d e g b ( ，q ，p ) = o ( 1 l f ( x ) 一p i i ) 以( z ) d z ， ，q 这里以( z ) 是f ( x ) 在z 处的j a c o b i 行列式 定理1 2 1 定义1 2 1 中定义的d e g ( f ，q ，p ) 是一个整数 一4 一 | | i | | | 、l，、，、l， 1 1 l + + + 后七七 ，fl， 1 2 3 z z z ，-j(1-_l 硕十学位论文 定理1 2 2 由定义1 2 1 所定义的d e g ( f ，q ，p ) 不随函数圣的选取而改变 定理1 2 3 若p 隹，( ，) ，则对于由定义1 2 1 所定义的d e g ( f ，q ，p ) 来说，有 m d e g ( f ，q ，p ) = s i g n j ( z i ) i = 1 性质1 2 1 【3 7 】( 同伦不变性)设h ： 0 ，1 】q _ 舻连续，并且对任给 t 0 ，1 1 ，z a q ，有h ( t ，z ) p ，贝i j d e g ( h ( t ，) ，q ，p ) = 常数，v0 t 1 性质1 2 2 ( - f 解性)如果d e g ( f ，q ，p ) 0 则方程，( z ) = p 在q 中有解 引理1 2 1 设h ：0 ，1 1xq 一口是俨映射，若对于任给t f 0 ，1 1 ，z a q ， 都有h ( t ，z ) p ，则d e g ( h ( t ，) ，q ，p ) 是与t 无关的常数 其次，我们将从g a i n e s 和m a w h i n 的专著3 8 】中介绍迭合度理论中的一些基本 概念和延拓定理，首先介绍迭合度的一些概念 定义1 2 2设x 和z 是b a n a c h 空间，l ：d o m lcx _ z 是一个线性映 射，三称为一个零指标的f r e d h o l m 映射，如果满足 ( a )i m l 是z 的闭子空间， ( b ) d i m k e r l = c o d i m i m l 0 本章内容如下：在2 2 节，我们将利用迭合度理论中m a w h i n 的一个延拓定理( 定 理1 2 4 ) ，获得系统( 2 1 2 ) 至少存在二个正周期解的充分条件在2 3 节，我们举一个 例子来说明2 2 节中得到的主要结果的有效性 2 2两个正周期解的存在性 为了证明( 2 1 2 ) 的周期解的存在性，我们将用到定理1 2 4 首先，我们给出如下假设： ( h 1 ) 瓦e 也讪 2 、云( 瓦+ - d e a ) ， 其中a = i n 警 定理2 2 1 若( 吼) 成立，则系统( 2 1 2 ) 至少存在两个正沙周期解 证明： 考虑到系统( 2 1 2 ) t 周期解的存在性，我们作变量代换： z ( 七) = e u ( m ， 则方程( 2 1 2 ) 可写成： u ( k + 1 ) 一u ( k ) = 口( 南) 一6 ( 七) e u ( 七) 一c ( 七) e u ( 七一r ( 七) ) 一 ( 七) e 一缸( 舢( 2 2 1 ) 一7 一 j 类具有收获率的乍物数学模犁周期解的存在性 易知，若( 2 2 1 ) 存在一个u 一周期解矿( 七) ，则z + ( 七) = e 1 + ( 七) 为方程( 2 1 2 ) 一个正u 一 周期解因此，只要证明方程( 2 2 1 ) 有两个不同的u 一周期解即可 现在我们定义 z = 可= 可( 七) ) r ，k z ) 令牡r ，定义忪i i = l u l ，且pcz 是u 一周期的子集再4 l l y l l 。澎 ( 尼) l ，v y2 可( 七) ) p ：k z ) ，且当被赋予以上范数时，p 是一个有限维的b a n a c h 空间 设 留= 耖= 妇( 七) ) ：y ( 后) = o ， 掣= 秒= 可( 后) ) f u ：y ( k ) = c r ，k z ) 则搿和掣都是的闭线性子空间， 并且 = 搿。掣，d i m l ；，= 1 再定义x = y = p l u = u ( k + 1 ) 一钍( 七) ， 以及 n u = n ( 七) 一b ( k ) e t ( 七) 一c ( 尼) e ”( k - r ( 七) ) 一h ( k ) e u ( 舢 显然，对于任意的乱x 和k z ， k e r l = 掣，i m l = 塔， 与 d i m k e r l = 1 = c o d i m l m l 则是一个线性零指标的f r e d h o l m 映射 再定义投影p 和q 如下： 尸饥：三量小) ， u ； 与 护三萎小) ， u s = 0 。 其中牡x ，z z 显然，p 和v 是满足如下条件的连续映射： ，m p = k e r l 和k e r q = i m l = i m ( i q ) ， 硕十学位论文 并且，l 的广义逆：i m l k e r pnd o 仇l 被定义为： 则 以及 其中 七一1 “，一1 碘) z 。) _ 1e 。( 一s 净( s ) 8 = 0。8 = 0 q n 让：三w - 1g ( s ) ， u ：； 一 ：量g(s)一三董s)g(s)+(互1+万1一石k),a冬-ikp(i q ) n u 1(m- g ( s ) ， 一 = g ( s ) 一j s ) g ( s ) + ( 互+ 五一j ) 乙g ( s ) ， s = os = o 。 s = 0 a ( s ) = a ( k ) 一6 ( 七) e u ( 七) 一c ( k ) e u ( 七一7 。( 七) ) 一h ( k ) e 一牡( m 显然，q n 和郧( ，一q ) n 是连续的利用a r z e l a - a s c o l i 定理可以证明对于x 中的 任何有界开子集q ，q ( q ) 及( 一q ) ( q ) 是相对紧的因此，对于x 的任何 有界开子集q ，在q 中是l 紧的 现在我们必须找到满足定理( 1 2 4 ) 的两个有界开子集q l 和q 2 对应于算子方 程l u = a ( u ，a ) ，a ( 0 ，1 ) ，有 u ( k + 1 ) 一让( 七) = a 【o ( 后) 一b ( k ) e u ( 七) 一a c ( 后) e u ( 七一7 ( 七) ) 一h ( k ) e u ( 奄】( 2 2 2 ) 设对于某个入( 0 ，1 ) ，u x 是方程( 2 2 2 ) 的一个解，则 u 一1 讪= 附) e u 七+ a c ( 尼) e u 胁动+ ( 尼) e 一哪 ( 2 2 3 ) k - - - 0 由( 2 2 2 ) 与( 2 2 3 ) 有 u 一1u 一1 l u ( k + 1 ) 一让( 七) i 。( 后) + 6 ( 七) e u 砷+ 入c ( 后) e u ( + ( 七) e 叫七) 】 k - - - - o k = o 再由( 2 2 3 ) 得 因此 = 2 酗 也( 七) l n 可a 0 2 ：= a ， 一9 一 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 姊叫 e 一 ”似 e七 6 脚 一 讪 三类具有收获二棼的牛物数学模犁周期解的存在性 由于y = 可( 后) ) x ，则存在，叩l 使得： m ( 2 2 3 1 解得 从而有 y ( ) 2 搿 可( 吼秒( ? 7 ) 2 黜 夕( 吼 ( 2 2 6 ) b e 2 “( 叩) + 瓦u ：= ：一 e t ( ) 昧) 独半 根据( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) 与引理1 2 2 可得 特别地 即 解得 其中 m 胁一8 争( s + 1 ) 叫s 炒h 1 掣咖， 同理，m ( 2 2 3 ) 得 从而 咖) 1 n 半一2 孔， - e 2 ( 7 ) 一- e 2 嘶e u ( 叩) + 瓦 0 1 n l 一 也( 7 7 ) i nl + ， b ：望粤i b ( k ) e 2 u ( ) + c ( 七) e a + u ( e + h ( k ) e u ( n ) 琵2 u ( f ) u + 苞e a + u ( ) u + 7 b = = ：- - - - - - 一 e u ( 7 ) 札( 叩) l n 型些! ! 坠互 a m ( 2 2 4 ) ，( 2 2 9 ) 与引理1 2 2 有 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) m 脚+ 8 妻1m s + 1 m l 一 酗 ! 脚 i n u + 或u ( ) 2 v b ( - h + - 石e a ) 因此，该差分系统至少存在二个正4 周期解 一1 2 硕士学位论文 第3 章具有收获率的非自治l o t k a - v o l t e r r a 竞 争模型四个正周期解的存在性 3 1引言 近年来，l o t l ：( a - v o l t e r r a 系统在种群生态学中具有一定的普遍性，诸多学者研究 了该系统种群间的相互作用( 包括合作、竞争、捕食者一食饵) ，见文献【2 5 3 6 ，4 0 4 2 】 对于一个标准的非自治l o t k a - v o l t e r r a 合作模型 4 2 1 ： i ) = z ( 亡) ( n 1 ( t ) 一b l ( t ) x ( t ) + c 1 ) 可( t ) ) ， l 矿( t ) = y ( t ) ( a 2 ( t ) 一b 2 ( t ) y ( t ) + c 2 ( t ) z ( 观 在文献 4 3 】中，h u 考虑了以上两种群的收获率，得到如下合作模型： ie ( t ) = x ( t ) ( a l ( t ) 一b l ( t ) x ( t ) + e l ( t ) ! ，( t ) ) 一危1 ( 亡) ， 【矿( ) = y ( t ) ( a 2 ( t ) 一h ( t ) y ( t ) + c 2 ( t ) z ( t ) ) 一 2 ( ) ， 并用迭合度方法讨论了该系统对应的差分方程： ，z ( 后+ 1 ) = z ( 南) e x p ( a 1 ( 尼) 一b l ( 尼) z ( 后) + c l ( 忌) 可( 七) ) 一等等) ， l 可( 七+ 1 ) = y ( 后) e x p ( a 2 ( k ) 一6 2 ( 七) ! ，( 后) + c 2 ( 尼) z ( 后) ) 一篆辫) 至少存在四个正周期解的充分条件 受以上启发，考虑到如下具有收获率的非自治l o t l 媳- v o l t e r r a 竞争模型【9 】多个 周期解的存在性， z 他) j _ z ( 艺) ( n ，( 亡) 一z ( 亡) 咱( 蝴) ) 一， ( 3 1 1 ) 【矿( t ) = y ( t ) ( a e ( t ) 一b 2 ( t ) y ( t ) 一c 2 ( t ) x ( t ) ) 一h 2 ( t ) ， 、 其中，z ( ) 和可( 亡) 分别表示两竞争种群的密度，n i ( t ) ，b i ( ) ，白( z ) 与( t ) ( i = l ，2 )