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自由边界问题的数值算法研究 刘浩( 计算机软件与理论) 指导教师：王子亭( 教授) 摘要 自由边界问题是边界为未知的一类偏微分方程的定解问题，其未知边 界要作为解的一部分来确定。自由边界问题本质上都是非线性的，求解自 由边界问题的数值方法主要可以划分为三类：边界跟踪法、区域固定法和 边界固定法。随着自由边界问题实际应用背景的扩大，新的数值算法思想 不断涌现。本文主要研究了一类变系数抛物型方程的自由边界问题，其中 系数是空间变量和时间变量的函数，这类方程在实际工程中有着很广泛的 应用。 首先，将此类自由边界问题转化为求积分方程不动点问题，然后通过 利用不动点、压缩映像原理证明了其解的适定性；其次，根据方程变系数 这一特点，利用积分插值法给出了方程的守恒差分格式。描述物理现象或 运动过程的微分方程常常具有某种守恒特征，而守恒差分格式很好的保持 了微分方程中的这神守恒规律，同时，能量估计法是在变系数微分方程情 况下验证差分格式稳定性和收敛性的常用方法，故本文应用该方法检验了 守恒差分稳定性和收敛性。在无相变和有相交情形下，分别用隐式和显式 差分格式逼近微分方程，得到了离散点温度值随时间或空间变量变化的规 律。无相变发生情形下，热流量满足一定条件，证明了若在某一时刻的离 散点温度值为j 下，则下一时刻的离散点温度值为正这一结论；在有相变( 或 自由边界) 情形下，若格式系数满足一定条件，则离散点温度值随空间变 量增加而增加，随时间变量增加而减小。我们还讨论了热流量的选取。此 外，在有相变情形下，还将有关结论推广到二维情形。 最后，为了直观的了解离散点温度分布及自由边界的移动轨迹，分别 给出了它们的曲线图。 关键词：s t e f a n 问题，不动点原理，变系数，前沿追踪 r e s e a r c ho l ln u m e r i c a lm e t h o do ff r e eb o u n d a r yp r o b l e m l i u h a o ( c o m p u t e rs o f t w a r ea n dt h e o r y ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rw a n g z i - t i n g a b s t r a c t f r e eb o u n d a r yp r o b l e m sa l eac l a s so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw h o s e b o u n d a r i e sa r ep a r t i a l l yo rc o m p l e t e l yu n k n o w na n dm u s tb ed e t e r m i n e da sa p a r to f t h es o l u t i o n i ti si n h e r e n t l yn o n l i n e a r i ng e n e r a l ，t h en u m e d c a lm e t h o d f a l l si n t ot h ef o l l o w i n gt h r e ec a t e g o r i e s ：f r o n t - t r a c k i n gm e t h o d 、f i x e d - d o m a i n m e t h o da n df r o n t - f i x i n gm e t h o d w i t ht h ew i d e n i n go f t b ea p p l i c a t i o ns c o p eo f f r e eb o u n d a r yp r o b l e mi na p p l i e dm a t h e m a t i c s ，n e wi d e a sf o rn u m e r i c a lm e t h o d a r es t i l l a p p e a r i n g t h i sp a p e rd e a l sw i t hac l a s s i c a lo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s t h ec o e f f i c i e n ti saf u n c t i o no ft h es p a c e v a r i a b l ea n dt h et i m ev a r i a b l e t h i sk i n do fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a s f o u n dw i d ea p p l i c a t i o ni ns o m ep r a c t i c a lp r o b l e m s f i r s t l y ，t h i sf r e eb o u n d a r yp r o b l e ms h o u l db et r a n s l a t e di n t of i x e dp o i mo f i n t e g r a le q u a t i o np r o b l e m ，p r o v e di t ss o i n t i o n se x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s ，s e e o - n d l y ，i nv i e wo f t h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t s ，t h ec o n s e r v a t i o nd i f f e r e n c es c h e m eo f t h ee q u a t i o ni sd e r i v e dt h r o u g ht h ei n t e g r a li n t e r p o l a t i o nm e t h o d i nm o s t s i t u a t i o n st h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o nd e s c r i b i n g $ o m ep h y s i c a lp h e n o m e n ao r m o v i n gp r o c e s s e ss h o u l dh a v ec e r t a i nc o n s e r v a t i o np r o p e r t i e s ，w h i l et h e c o n s e r v a t i o nd i f f e r e n c es c h e m eu n d e rt h ec o n d i t i o no f t h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t s ， s oi ti su t i l i z e dt ov e r i 匆t h eo b t a i n e dc o n s e r v a t i o nd i f f e r e n c es c h e m ei nt h i s p a p e r u n d e rt h ec o n d i t i o no fi n e x i s t e n c ea n de x i s t e n c eo fp h a s e - c h a n g e ，t h e i m p l i c i t a n de x p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e st o a p p r o x i m a t e t h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa r eg i v e nr e s p e c t i v e l y ，t h ec h a n g i n gl a w so ft e m p e r a t u r ea td i s c r e t e p o i n tv a r y i n g 、j i r i t ht i m ea n ds p a c ev a r i a b l e sa r eo b t a i n e d w h e nt h e r ee x i t sn o p h a s e - c h a n g ea n dt h eh e a tf l u xs a t i s f i e ss o m ei n e q u a l i t y ，t h er e s u l tt h a tt h e t e m p e r a t u r ea tt h ed i s c r e t ep o i n ti sa l s op o s i t i v ei nt h en e x td i s c r e t et i m ei f i ti s p o s i t i v ea tad i s c r e t et i m ei sp r o v e d w h e nt h e r ee x i s t sp h a s e c h a n g e ( o rf r e e b o u n d a r y ) ，t h et e m p e r a t u r ea tt h ed i s c r e t ep o i n td e c r e a s e sw i t ht h et i m eg o i n g o n a n di n c r e a s e sw i t hs p a c ev a r i a b l ei n c r e a s i n gi ft h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t ss a t i s f y s o m ec o n d i t i o n s t h e nw ed i s c u s s e dh o wt os e l e c tt h ev a l u e so ft h eh e a t f l u x m o r e o v e r ，t h i sr e s u l ti so b t a i n e di nt h et w o - d i m e u s i o n a ls p a c e ，w h e nt h e r e e x i s t sp h a s e - c h a n g e i nt h ee n d ，i no r d e rt oo b s e r v et h ev a r y i n go f t h et e m p e r a t u r e sa n dt h ef r e e b o u n d a r i e s ，t h eg r a p h sa r eo f f e r e dr e s p e c t i v e l yi nt h i sp a p e r k e yw o r d s ：s t e f a np r o b l e m ，f i x e dp o i n tt h e o r y ，v a r i a b l e c o e f f i c i e n t ， f r o n t - t r a c k i n g 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特i i i i 以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国石油大 学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 关于论文使用授权的说明 日 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名：量：l 丝 导9 巾签名：尘盘虚 圆萨 争月；同一 知年，月乡同一 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 1 1 课题背景 第1 章前言 对一个偏微分方程的定解问题，若其求解区域的部分边界是待定的， 它和问题的解彼此相关且必须同时确定，这类问题人们称之为自由边界问 题，其待定边界称为自由边界。在自由边界上，除了需要给定通常的条件 外，还必须增加一个边界条件。所有自由边界问题本质上都是非线性问 题。s t e f a n 问题是一类典型的自由边界问题，是根据j j t e f a n 早期工作得来。 在十分常见的物理现象中就己发生带有自由边界问题的问题，如s t e f a n 问题是一个考虑到相转换的热传导问题，以一维的冰一水的热传导问题为 例，假设，”：分别表示水温和冰温，x = s ( r ) 表示自由界面( 相界面) 它不 是给定的，在它上面的水温和冰温为已知，且满足热平衡条件【2 i ： 坼( s ( f ) ，) = u 2 ( j ( f ) ，) = 0 一k 垫垒塑：尘 ：三一t i - k zo u 2 ( s ( t ) t ) 敏 一 出a s 出( t ) 式中和t ( f = 1 , 2 ) 是物理常数，第二个条件称为s t e f a n 条件，s t e f a n 于1 8 8 9 年给出的。如果液相和固相的温度都是变化的，则为两相s t e f a n 问题。如果 其中一相区域的温度为常数，只考虑另一相区域的温度变化，则为单相 s t e f a n 问题。如果引进表示内能的焓的概念，那么根据能量守恒定律，热传 导方程和s t e f a n 条件可以统一为一个积分等式： 中国石油大学( 华东) 硕士论文第一章前言 【( ”) 詈一砌) 罢差 西泐= 。 ( v 妒。( q ) ) 式中“是温度，( 甜) 是焓，p ( u ) = 甜+ l s g ( u ) ( s g ( u ) 是符号函数) ， k ( u ) = k 2 + ( k l - k 2 ) s g ( u ) 。此时自由边界x = s ( r ) 以及咖疗条件作为解 的弱间断线和间断条件由该积分等式直接导出，在连续可微意义下适合热 传导方程和s t e f a n 条件的解称为古典解；在s o b o l e v 广义微商意义下适合上 述积分等式的解称为广义解。 氧气的扩散是带有隐含条件的自由边界问题的典型例子，所谓隐含条 件既是在自由边界条件中缺少关于自由边界s ( ，) 的导数项。首先，氧气以常 速度扩散到一种既能吸收氧气又不与氧气反应的介质中，在介质表面的氧 气中浓度保持常数。氧气扩散的最内部边界构成了自由边界。问题的第一 个阶段是连续的直到达到一个稳态，氧气不再扩散到介质中，介质表面不 再有氧气进入或出来。介质继续吸收已经扩散到其中的氧气，相应地，标 志渗透深度的边界将退到表面。主要的问题是取得边界轨迹及决定氧气的 分布式时间的函数。氧气扩散的方程为l l j ： 鲁：鲁一1 o x 纠r ) 钟缸2 丝：0工：0 ，0 出 c = 霎= 0 x ：s c t ) f o c = ：1 ( 1 一x ) 2 o x 刁石肛， 3 在有相变发生情况下，用显式差分格式得到离散点温度值之间的关 系。在变系数满足一定的条件下，温度“? 随时间，增加而减少，温度“j 还 随着变量x 的增加而增加，并将这种性质推广至j j - - 维情形。 在最后利用数值方法计算离散点温度“；的近似值，画出了温度“；对变 量x 的曲线和自由边界j ( f ) 对时间f 的曲线。 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章自由边界问题数值方法简介及预备知识 第2 耄自由边界问题的数值方法介绍及预备知识 2 1 自由边界问题数值方法简介 自由边界问题一般很难求出解析解，特别是对于变系数和多维问题， 求解自由边界问题越来越多地借助于数值方法。1 9 5 0 年以来，有着各种数 值方法被介绍用在解自由边界问题上：包括焓函数法( a l b a s i n y ，1 9 5 6 ) 、 边界固定法和有限差分法( c r a n k ，1 9 5 7 ) 、变动网格法( d o u g l a s 和 g a l l i e ，1 9 5 5 ) ，而当前各种各样的数值方法仍在产生，新的思想不断凸现。 但是，普遍地按照c r a n k 在1 9 8 4 年书m 中把解自由边界问题的数值方法分 为三类：边界跟踪法( 如在固定或变动网格上的有限差分法) 、区域固定法 ( 如焓函数法和变分不等式法) 和边界固定法。g r e e n b e r g 在文1 1 3 1 中也认 同这种分类，下面简单介绍这三种数值方法。 2 1 1 边界跟踪法 边界跟踪法这一类方法就是根据用显式格式计算移动楣截殛在每一时 间步长上的数值这一明显的特征而命名的，具体的这一方法又包括边界跟 踪法和边界捕捉法，边界捕捉法是最早应用在自由边界问题上的数值方法， 它是用固定网格的有限差分方法来解的，只是在靠近自由边界的计算格式 已经采取修正格式加以改变，使得能够适用于这种不规则的边界，因此自 由边界上每个时间步长的点并不在固定网格上，而边界跟踪法是根据自由 边界来建立网格的，也就是说它的网格是和自由边界上的节点相符合的， 因此它是很适合用有限方法来解的。 下面简单介绍一下边界捕捉法是怎样来处理自由边界上的网格剖分， 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章自由边界问题数值方法简介及预备知识 因为边界捕捉法用的是固定网格，因而对每一个t 自由边界j ( f ) 都会处在两 个网格点i a x 和( i + 1 ) a x 之间，也就是说= a 十以) x ，这里o p 。1 。 骧显可见。这里直接使用修正格式和边界条件是难以计算的，但是可以用 f 缸、( i + 1 ) 缸和( j + p 。) ) c 做插值，同时利用前面求到的边界上的值，而且 这里的见可以看作自由边界上点的导数，这样就可以用插值算出，如果以。 小于0 或是大于i ，这就意味着边界已经从给定的计算网格点到下一个网格 点了，这一方法在氧气的扩散问题上是适用的。 边界跟踪法的思想是调整时间步长以使得边界处于网格点上，这里以 一简单的例子说明，假设这里有个简单的s t e f a n 问题：考虑热传导方程 坼一甜。= o 满足砉= 一罢和“= o 在x = s ( f ) ，这样就有关于s ( f ) 的以下表达 式： s ( ，) = 卜r “( f ，曲出 结合边界条件，对上式离散可得： 虬= ( 押十l + “抽) a x - t n 这就是新的时间步长满足+ ，= 。a r k ，从而结合方程采取的计算格式就 不难计算出来。 2 1 2 区域固定法 区域固定法这一类方法的基本思想就是把给定的自由边界两边的偏微 分方程及自由边界上的条件转换成一个在整个固定区域有意义的新问题， 然后针对这一新的问题用数值方法求解。这里简单介绍区域固定法中的一 7 中国石油大学( 华东) 硕+ 论文第2 章自由边界问题数值方法简介及预备知识 种：交分不等式法。变分不等式法对流体力学中的单相自由边界问题很有 用，考虑以下的多维自由边界问题： “，一a u = 厂 甜：o u ：0 o n ”= g 0 “l i l 0 = 臀d 0 “n i o n s q ) o 聆r l = a q i s c t ) 这里q ，是使方程成立的区域；r i 为固定边界，s ( ，) 为自由边界。下面我们 引入区域q ，uq 0 ，满足q 。和q ，有着共同的自由边界s ( t ) ，区域q 是固定 边界的。定义在q 。上甜s 0 ，由于自由边界s ( f ) 上的条件，我们定义甜在整 个区域q 上是连续的。这里定义以下算子： a ( v ，忉2 留v v w d x 同样定义常用的内积： ( v ，w ) = 肛 从而上面的自由边界问题可以转化成以下在区域q 上的变分不等式形式： 0 ，v 一材) + 口( 暂，v 一”) 2 ( ，v - - u ) ， 区域固定法提供了一个处理自由边界问题的很好的一般化范式，包括 对多维自由边界问题的处理，而且这里没有牵涉到非线性的边界条件，同 样它也是定义弱解和证明弱解存在性和唯一性的有力工具。 2 1 3 边界固定法 边界固定法就是引入变换使得自由边界变为固定边界，变换后的区域 一般是一个规则的区域( 如矩形) ，从而针对变换后的方程很多数值方法都 8 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章自由边界问题数值方法简介及预备知识 可以用，这里以一维自由边界问题为例，引入变换： 卢= 兰一 7 s ( f ) 从而把区域( o ，s ( ，) ) 变为( 0 , 1 ) ，对方程 “f = c u “ 和s t e f a n 条件 甲i d s = - k i t x ( ，j ( f ) ) 甲瓦 ( ，5 ( ) ) 分别变为： s 2 = 喙一j o ) 善磊d s 巾去一去删) 巾石一而唯 为简便起见这里用，表示罢，碧，对某些高维也可采用同样的思 0 xi r 想，如对二维的自由边界问题，如果区域 一s ( f ) ，s 2 ( f ) s x 2 ，2 ) ，则 相应的变化就是 卣= 丽x 1 - - i l i 最= 赫 2 2 预备知识 在本节中将介绍一些在后面几章，我们证明解的适定性及建立差分格 式，对格式稳定性和收敛性的分析中需要用到的函数空间、若干记号和引 9 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章自由边界问题数值方法简介及预备知识 理。 2 2 1 记号、若千差分公式与不等式 为了变化各种差分表达式，这里我们给出一些记号与差分公式。 设给定区间【o ，l 】，对其作均匀剖分，h = l l n 。记而= i h ，i h = “，0 i 册，厶= 托，l x n - i ，为简单计，用，v 等表示定义在 j 一上的网函数，它们在网点一处的值记为“，v ，等。用0 ，) ，及q ，) ，分剐表示 u 在处的向前及向后差商： 内积与范数 ( ，= 虹， n - i ( “，叻= 甜，h | l l ， ( “，v 】- - e “，一 ， 一i 【甜，v ) = q 呐 驴与竽 l 0u = ( “，“) 2 0 】i = ( 材，“】2 i 【ui | - 【i g , “) 2 n 甜n ；硼u l l ：+ 1 1 】1 2 ， n 甜1 1 c = m a x l 甜，1 厶 乘积差商公式 。u ) ，= ，) ，坼十甜m “) ，= ，) ，v ，+ 1 + 虬“) ， ( m ) = ( u t ) 一h + 甜( v ) = ( 虬) v f i + m ( h ) j f，j， 分部求和公式 0 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章自由边界问题数值方法简介及预备知识 ( u , r ，) = u , v v 一u o v i 一( u 一，v 】， ( u , v 一) = n v 。l u 0 v o 一【u x , v ) ， 差分g r e e n 公式 第一差分g r e e n 公式： ( z ，( a y ：) ，) = 一( ，z 一】+ ( n 秒一) 一q ( z y a o j ，： 若z 0 = “= 0 ，则上式变为： 协蚴= 一( a y ，)其中a y = ( a y ) ， 第二差分g r e e n 公式： ( 厶( a y 一) ，) 一，( 盯) ，) = a n ( 秒一z 力一a l ( 儿z z ：力o 若y o = y = z o = 孙= 0 ，则上式变为： ( a y ，z ) = ( 弘a z ) 其中a y = ( a y ) ， 满足这个关系式的差分算子a ，称为自共轭的差分算子。 s c h w a r z 不等式 | 1 1 , v 】酬圳i lv0 ， 其中， “，川表示，v 的某种内积，i i = u ，“】j 表示对应此内积的范数。 占一不等式 设a 和b 为实数，则对任意s 0 ，有 a b i 0 则可以证明，存在内点q 。使厶吒 0 ，这导致与条件厶us o 的矛盾， 定理得证。 推论若f l ，网函数q 0 ( 或q 0 ) ，又当f q 时，厶q 0 ( 或 l t , v t 0 ) ，则当i q 时，坼0 ( 或叶0 ) 证明： 设在q 。上，l 叶2 0 ；在l 上，一o 。若存在内点i o q 。，使 o ，此时，v , c 芷t a 内取负最小值，又咋c o n s t ( 当i q ) ，这与极 值原理矛盾，故在q 上，v ，0 。第二个论断证明与此类似。 定理2 在j = x 。= i h , o f n ， g o = o ，h = f 上定义的网函数“，如满 足“o = “= 0 。则 忆知纠 证明o 1 2 主垦互鲨盔堂! 堡壅! 堡士论文第2 章自由边界问题数值方法简介及预备知识 u ，可表示为 由s c h w a m 不等式知 坼= ( q ) h ， j = l t “墨t e ( u j ) ! 矗， g = l j = 一( “) ，h j l j “? ( ，一x ，) ( 甜，) ： g = l + l 。 以( 1 - - x ，) ，五分别乘上两式，相加，并除以，则得 郎驾型； 1 2 _ t l l 叫i i 两端关于i 取最大值，即得证。 定理3 在， 上定义的网函数“，如满足= = 0 ，则有不等式 和匕 驰惦i 1 2o 匕俨 证明： 将u 按特征函数 以) 展开 n - ! - 1 ”= q 以，q = ( ，以) ， 忪l l ：= z c ； i - i l 。i 由第一差分g r e e n 公式，有 ( 一a u ，”) = l “】1 2 ， 这里a u = ” j j 因一心。= 以，则 n - ! 一a u = g 以以 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章自由边界问题数值方法简介及预备知识 以之代入上式，并注意到 以) 是标准正交组，则有 i i 甜；】1 2 = 一a u , a ) 2 善 口 由此推知 其中 = 矿4s i i l 2 砉，厅一zf 嵋剑“】1 2 “一忪惦 j 钆= 砉耐著 现在，我们估计 的下界，记口= 考，则 = 矿：r 2 卜s i n a 2 ，因而。射 故口在( o ，刍上变化。s i n c r ，当口：三时，取最小值丝，于是 4瑾4，r f 8 又知名。- l 矿4 ，故从上式推知不等式成立，即1 4 】彬1 和掣脚惦知纠2 2 2 3 不动点定理及b a n a c h 函数空间 不动点定理： 定义1 设，d ) 是距离空间，r 是x 到x 中的映射，如果有在一个常数 e ( o 0 1 ) ，使得对所有的x ，y x ，满足下述不等式： d ( t x ，z ”锹 ，y ) 则称r 是上的一个压缩映射，口成为r 的压缩系数( 因子) 。 压缩映射在几何上的意义是点x 和y 经映射后，它们像的距离缩短了， 并且不超过d y ) 的口( o p 1 ) 倍。 1 4 中国石油大学( 华东) 硕十论文第2 章自由边界问题数值方法简介及预备知识 定理( b a n a c h 压缩映射原理) 设石是完备的距离空间，r ：石寸z 是一个 压缩映射，则r 在爿上有唯一的不动点工，即t x = x ，也就是说方程a ：z 在z 上有唯一的解。 证明： 在j 中任意取定一点x 0 ，并且令一= t x o ，工2 = t x i ，x 。= a 。- l ，下面 分三步来证明： ( 1 ) 证明 矗 是x 中的一个基本点列。为此考虑 d ( x l ，x 2 ) = d ( t x o ，t x t ) o d o ，毛) = o d ( x o ， i x o ) d ( x 2 ，x 3 ) = d ( t x l ，t x 2 ) 觎( ，屯) 口2 d ( x o ，t x o ) 一般地，可以证明 d ( 靠，+ 1 ) 口2 d ( x o ，砜) 栉、= 1 , 2 ，3 ， 对于任何整数p ，考虑到 d ( ，+ p ) d ( x 。，k 1 ) + d ( + 1 ，z 柑) + + d ( 靠+ p - i ，以+ p ) s ( 8 “+ 口肿1 + 十口“+ 9 - 1 ) d ( x o ，t x o ) =旦警讹，txo)笔d(xotx010i 一 一 因为0 0 l ，所以当n 一佃时，口”一0 。注意到初始值预先选定时 d ( x o ，t x o ) 将是一个常数，故不管p 为何值，只要当n 寸佃时，就会有 d ( x 。，x n + 。) 一0 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章自由边界问题数值方法简介及预备知识 故 以) 为基本点列，由x 的完备性知，存在x x ，使得以一x 伽 + 0 0 1 ( 2 ) 证明x 为f 的不动点，即证戤= x ，由于距离空间中极限是唯一的， 因此，只需证明l i r a _ = 。因为 d ( 研。，t x ) = d ( 既+ ，t x i ) 倒( x ，工疗- i ) 一o 一十o o ) 因此，l i m x n = t x ，从而有t x + = x 。 ( 3 ) 证明丁的不动点是唯一的，用反证法来证明，假若r 还有另一个不动 点工x ，而且x x ，因为 d ( 工，z ) = d ( 7 x ，t x ) a 彳( 工，x ) 考虑到石x ，所以孑( x ，x ) 0 ，因此秽1 ，这就是一个矛盾。 关于压缩映射原理有以下值的注意的几个方面： 1 由证明可以看出，为了获得不动点x 可以从x 中的任意一点出发，这无 疑是很方便的。 2 方程强= x 的不动点x 在大多数情况下实际上不易求得，因此往往用矗 作为其近似值，这样就要估计与，的误差。若用工近似代替工，由于 矗= t x 。，则其误差为 讹) 禹d ( x o ，r x o ) 这就是误差估计式。 3 在r 满足d ( t x ，t y ) d ( x ，y ) ，x y 的条件下，r 在z 上不一定存在不动点。 1 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章自由边界问题数值方法简介及预备知识 4 压缩映射原理中距离空间的完备性是不能缺少的。 b a n a c h 空间： 定义1 设x 是数域f 上的一个线性空间，如果对于x 中每个元素x ，按照 一定的法则对应于一个实数0 x 而且对于任意的x ，y x 和口f ，下述 三条范数公理被满足： 1 正定性： i i 工忙0 ；而且0 x l | - 0 x = 0 ； 2 绝对齐次性；l i 锻悯口x 3 三角不等式； nx + y0 卸x + 0 y | l 。 则称c z ，1 ) 为赋范线性空间，i i 石0 成为元素x 的范数。通常，在范数已被 理解的情况下，( z ，i ) 可以简单记为z ，在赋范线性空间x 中，我们可 以用a ( x ，力刊ix - y 定义元素x 与j ，之间的距离，显然，( x ，d 是一个 距离空间，x 中的点列 x n ) 在z 中收敛于点x ，是指：a ( x 。，工) 刊i x n x0 哼o ( n _ 栩) ，自然地称 矗) 依范数收敛于x ，有时也称 ) 强收敛于x ， 芬 记作：l i mx n = 石，或 工。 一x 0 峥佃) 。 定义2 如果赋范线性空间( x ， ) 中的点列 矗) 满足c a u c h y 条件： l i m i i 晶一0 = 0 ，则称 而) 为( z 1 ) 中的c a u c h y 点列或基本点列，若 z 中所有的c a u c h y 点列恒收敛，则称z 是完备的，而且称( z ，i ) 为 b a n a c h 空间。 注：收敛点列必为c a u c h y 点列恒收敛，b a n a c h 空间中的c a u c h y 点列 都收敛，b a n a c h 空间正是使得c a u c h y 收敛原理成立的赋范线性空间， 7 皇国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章自由边界问题数值方法简介及预备知识 c a u c 砂收敛原理表明f 是b a n a c h 空间1 1 6 1 。 2 3 本章小结 随着比一维s t e f a n 问题远为复杂的自由边界问题的出现，求解自由边 界问题的方法越来越求助于数值方法。本章主要介绍了目前解决自由边界 问题的三类数值方法：边界跟踪法、区域固定法、边界固定法。同时，我 们给出了在以后几章需要用到的一些记号、原理及函数空间。 1 8 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章一类自由边界问题解的适定性 第3 章一类自由边界问题解的适定性 3 1 问题的提出 本章我们将考虑型如兰! ! 鲨：昙陋( x , t ) 至! ! 鲨) 的一类变系数抛物型 o t积o x 偏微分方程的自由边界问题【2 “1 【2 1 】，通过不动点、压缩映像原理证明其解的 适定性。为了便于证明，我们可以将此类方程改写，得到如下自由边界问 题： t o u ( x , t ) 叫列) 警吣 啪o t t u ( x ，o ) = 妒( x ) 0 x b “( j ( r ) ，f ) = 0 0 t t 口【u ，f ) “，【u ，”一a a o ，t ) u ( o ，”= g 【f ) 0 t t 掣：一口( m f ) 虬( j ( 伽+ g ( f ) o 0 ，且当f 0 时，仃o ) 仃( o ) 0 ，设u ( x ，f ) 为如下问 题( i ) 之解。 fu t = c t ( x ，t ) u 。0 石 仃( r ) 0 ， 五 j 甜( x ，o ) = 矿( x ) o o x 6 l 口( 0 ，t ) u ，( o ，f ) 一口。( o ，t ) u ( o ，f ) = g ( f ) 0 0 t a 【“o ( f ) ，) = o 0 盯( o ) 0 ，妒( 砷c 2 【o ，b 】，a ( x ，f ) 对x - - 次连续可微，对，一次连续 可微，1 j a ( x ，f ) 0 ，a ( o ，t ) 1 ，口，( o ，f ) 0 ，使得0 v ( x ，) s 曰( 盯( f ) 一x ) ( o x 口 ) ， 0 s f a ) 。0 x s 口( r ) 证明： 利用极值原理可推出不等式v 0 。为了证明结论的第二部分，我们首 先考虑，= 0 时，由妒 ) 的性质，显然存在b o 0 ，使得v ( x ，) b o ( o - ( r ) 一功。 取充分大的b m a x s u p l g ( f ) i ，b o ，对任何0 ，名，我们考虑如下定解 o ，n 问题： z i = t z ( x ，) 0 x 仃( n 0 f t z ( x ，0 ) = 00 芹s v ( t ) a ( o ，t ) z ；( o ，t ) - a ，( o ，t ) z ( o ，f ) = - b 0 f 广 z ( u ( t ) ，) = 0 0 f t 为了证明z 的存在，取 z o ，f ) = j ( f ) g c x , f ：0 ，f ) d r 其中g 为伴空间一o o x a ( t + )g r e e n 函数。而由条件口( o ，f ) 瓦( o ，f ) - - o f ，( o ，t ) z ( o ，t ) = - b 确定。利用极值原理，可以得到z 0 且z p ( f ) ，f ) 0 。 再利用极值原理，我们可以得到在区域0 x o ( t ) ，0 0 ，考虑函数z ( x ，f ) = z ( x ，f ) 一( 占+ 占) p o ) 一工) ) ，在区间0 z 2 l 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章一类自由边界问题解的适定性 a ( t ) ，o r f 。它满足如下方程： z t = c t ( x ，t ) z # 0 善 t r ( t ) 0 f 0 0 t f z ( a ( t ) ，f ) = 0 0 t f 运用极值原理，可以断定z 0 。因此有v ( x ，力z ( x ，t ) ( b + 占) ( 口o ) 一石) 取t = t , 8 寸0 ，有u ( x ，t ) s s ( a ( t ) 一功。注意n t + 是区间( o ，捌内任意点， 从而证明了结论0 妄v ( x ，d 占p ( d 一0 x a ( t ) 0 s f s a 。 引理2 若v ( x , t ) 在区域0 石 t r ( t ) ，0 0 ，所以不可能 w j 在点( o ，t ) 处取其极大值。故根据极值原理形a + e a ，( 0 z 盯( ，) ， 0 ，们，令f - - 0 ，结论得证。 推论在引理2 中，若l k s ( t ) ，t ) 阵a ，v j ( o ，r ) = 0 ，则l k x ，t ) 阵a 。 引理3 设v l ，q 和v 2 ，盯2 分别为方程( i ) 的两个解。a ( x ，) 对x 二次 连续可微，对，一次连续可微，r c c ( x ，t ) 0 ，a ( o ，t ) l , f f ，( 0 ，t ) 盯( o ) 0 。定义变换t o , = p ，其中p ( f ) = s ( f ) ，妒( x ) c 2 【0 ，b 】，g ( f ) c 【o ，旯) ，a ( x ，t ) x c x 二次连续可微对f 一次连续可微，且 a ( x ，f ) o , a ( o ，r ) 1 , a ，( o ，f ) 0 ，t a ( o = p ( f ) 存在唯一不动点盯，即r v ( t ) = 盯( f ) 。 证明： 设z = p i 盯( ，) ，仃( f ) 盯( o ) o ) ，其中c r ( o 为【o ，加上的连续可微单调 函数，且在x 中定义范数为l l q 一盯：0 = m a x i q ( ，) 一仃：( ，) i 。可证x 是连续 u s f 副 函数空间c o ，棚的闭凸子集，因而为b a n a c h 空间。由p ( ，) 0 ，由盯( f ) 的 含义可知p ( f ) 为【o ，伽上