（物理电子学专业论文）激光谐振腔模式分析——基于有限元的数值矩阵方法.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 光束质量决定了激光的聚焦特性和传输特性，它与激光谐振腔内的光场模式密切 相关，因而光腔模式的相关计算在激光加工和激光测量等应用领域有着非常重要的意 义，它对于谐振腔腔型的设计、外光路设计和光束整形具有指导作用。 谐振腔模式的经典理论仅给出了部分简单腔型( 如平平腔、圆形镜共焦腔) 的模式 解析解：在激光器的不断发展中出现了各种新的腔型和光学元件，对此，解析法通常 难以实施，而必须采用各种数值计算方法，如厄米一高斯展开法、快速傅立叶变换法 ( f f t ) 、有限差分法( f d m ) 和有限元法( f e m ) 。特别是有限元法，它具有适应性强、精 度高等特点，在导波光学领域中得到了非常广泛的应用，但在激光谐振腔模式计算中 还不多见。 本文结合谐振腔模式计算的特点，提出了基于有限元的传输矩阵方法，其主要特 点是：可求解腔内多个模式、适用于复杂腔型的计算。本文首先通过对圆形共焦腔和 非共焦稳定腔的模式进行了分析，验证了方法的精度和适用性，同时，显示了该方法 与传统方法相比的几个主要优点。然后计算了应用在i o k wc o 。气体激光器上的孔耦输 出非稳腔，采用数值矩阵法计算了腔内模式和输出光束远场分布，并且结合实验，实 测光斑予以验证。而后，对广泛应用在射频放电c 0 2 波导激光器中的平板波导腔和环 形螺旋腔这两种更为复杂的模型应用此法，模拟了腔内模式分布和输出光场，并将模 拟结果与文献结果进行了比较。 最后，对自行开发的谐振腔模式计算软件做了基本介绍，总结了在开发中采用的 m a t l a b 与高级语言的混合编程技术。 关键词-谐振腔衍射积分有限元法傅立叶变换参数曲面复曲率腔镜 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h eo u t p u tb e a mq u a l i t yo ft h el a s e r , w h i c hd e t e r m i n e dm a i n l yb yt h el a s e rm o d e i n s i d et h er e s o n a t o r , d e c i d e st h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h et r a n s m i s s i o na n df o c u s i n go p e r a t i o n o ft h eb e a m t h ec a l c u l a t i o no ft h el a s e rm o d es h o w si t si m p o r t a n c ei nt h ea p p l i c a t i o n so f l a s e rm a c h i n i n ga n do p t i c a lm e a s u r e m e n t i tp r o v i d e st h eb a s i sf o rt h ed e s i g no ft h e r e s o n a t o r s ，e x t e r n a lo p t i c a lp a t ha n d b e a m s h a p i n gs y s t e m n l em o d es o l u t i o n so ft h et y p i c a lr e s o n a t o r s s u c ha sp l a n ep a r a l l e lr e s o n a t o ra n d c o n _ f o c a ls p h e r i c a lr e s o n a t o r , a f tg i y e nb ya n a l y t i ct h e o r y b u t 廿l er e l e v a n tc a l c u l a t i o n so f n o v e lr e s o n a t o r sa n dn e w l yd e v e l o p e do p t i c a lc o m p o n e n t ss h o wt h el i m i to ft h i sm e t h o d n u m e r i c a lm e t h o d s ，i n c l u d i n gh e r m i t e - g a u s s i a ne x p a n s i o n ，f a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ( f f d m e t h o d ，f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ( f d m ) a n d f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ，a c h i e v ei n s o l v i n ga b o v ep r o b l e m s i np a r t i c u l a r , t h ef e m s h o w si t sa d v a n t a g e so f g o o df l e x i b i l i t ya n d h i 曲e f f i c i e n c yo v e rt h eo t h e rm e t h o d s i th a sb e e nw i d e l yu s e d i nf i b e ro p t i c s ，b u tr a r e l y f o u n di nm o d ec a l c u l a t i o no fl a s e rr e s o n a t o r an u m e r i c a lm a t r i xm e t h o d ( n m m ) f o rm o d ec a l c u l a t i o nb a s e do nf e m i sp r o p o s e d i nt h i sp a p e ni tc a l ld e s c r i b et h es e r i e so f e i g e n m o d e so f t h er e s o n a t o rw i t hg o o da d a p t a t i o n t ov a r i o i l sm i r r o r s h a p e s t h e m o d ec a l c u l a t i o i l so f s p h e r i c a lc o n f o c a lr e s o n a t o r a n du n f o c a l s t a b l er e s o n a t o ra r cp e r f o r m e du s i n gt h en v i m t h er e s u l t sa r ec o n t r a s t e dw i t ht r a d i t i o n a l m e t h o d s t h em e t h o di sa l s oe x p l o i t e dt oa n a l y z et h ea n n u l a r l yo u t - c o u p l i n gu n s t a b l e r e s o n a t o ro ft h el o k wt r a n s v e r s ef l o wc 0 2l a s e r n 坞o u t p u tc o u p l i n go f t h er e s o n a t o ri s o b t a i n e db yn v i mi na g r e e m e n tw i t he x p e r i m e n t s t l l em o d ed i s t r i b u t i o n si nt h ep l a n n a r a n da n n u l a rw a v e g u i d er e s o n a t o r sa r ei n v e s t i g a t e da sm o r ec o m p l e xi n s t a n c e s n l ef e a t u r e s o f b e a m p r o p a g a t i o n i nt h en e a rf i e l da n df a rf i e l da r cs h o w n a st l l e i m p l e m e n t a t i o no f t h ea l g o r i t h m s ，as o f t w a r et o o lf o rm o d ec a l c u l a t i o n si s d e v e l o p e d s o m et e c h n i q u e so fm u l t i - l a n g u a g ep r o g r a m m i n g o fv c + + w i t hm a t l a b a r e s u m m a r i z e d k e y w o r d ：l a s e rr e s o n a t o r d i f f i a c t i o ni n t e g r a l f i n i t ee l e m e n tm e t h o d f o u r i e rt r a n s f o r i l lp a r a m e t r i cs u r f a c e s t o r i cs u r f a c em i r r o r i i 华中科技大学硕士学位论文 1 1 本课题的意义 l 绪言 1 1 1 模式计算解析法的局限性 谐振腔理论给出了部分典型的谐振腔的模式的解析解，并且在光束传输和工业加 工中得到了普遍的应用，如平行平面腔和圆形共焦腔。但是，在激光器的不断发展中 出现了各种新型的腔型和光学元件。使得解析的方法往往难以实施，必须转丽采用数 值方法求解。这在各类工程设计和模拟中，已经成为主流。解析法的局限性，主要有 以下几个方面： ( 1 ) 解析法求解谐振腔内模式时，往往采用一些经典的近似，在具体问题的分析 上不够全蟊。圆形镜共焦腔和方形镜共焦腔的解析鼹虽然已经由经典的解析法给出， 但是前提条件是，假设谐振腔内的菲涅尔数很大( 趋于无穷) 。解析解通常对应于稳态 的解，而在脉冲激光器( 尤其是超短脉冲激光器) 中，粒子反转时间很短( 毫微秒级以下) ， 光脉冲在谐振腔只有几个来回。基于衍射理论的解析法把腔内的光场视为严格的单色 光，认为光束具有完全相干性。但在实际应用中，如激光材料表面热处理，有时要求 光斑强度分布非常均匀，出现了在腔内采用随机相位片、旋转透镜输出来改善光束中 心的均匀性。这时，必须采用部分相干理论 1 j 。 ( 2 ) 射频放电等新的激励方式，在功率提取、冷却控制和放电结构设计上与以前 的激光器有很大区别，其腔型也较为特殊，如采用非旋转对称结构和复曲率腔镜。对 于这种空间形体不规则的腔镜，要得到解析解是非常困难的。对这些复杂的谐振腔必 须采用更加有效的模式计算方法。 ( 3 ) 解析法求解时，在几何结构上通常作理想情况考虑。如腔镜无倾斜；而在非 稳腔中，往往采用腔镜倾斜，以实现腔内光场的耦合输出，最佳倾角问题的计算必须 考虑腔镜倾斜。同时，非稳腔调整困难，对腔镜失谐敏感，各种失谐的情况在非稳腔 设计和分析时必须考虑。 华中科技大学硕士学位论文 1 1 2 光束传输计算和光学整形系统的设计 射频激励扩散冷却波导c 0 2 激光器，具有结构稳定紧凑、可提取高功率激光等优 点，具有很大的发展潜力和应用前景。该类型的激光器在国外已经达到商品化程度， 在国内也已达到了较高的水平，但是输出光束质量较差，在很大程度上限制了它的应 用。其输出光束与传统的高斯光束有很大区别，难以实现低阶模输出，一般需要外加 光学器件对其整形 2 1 。 境 镜t 导 图1 1 】射频激励扩散冷却平板波导c 0 2 激光器结构 如图1 1 1 ，以平板波导c 0 2 激光器为例。所采用的复合腔( h y b r i d r e s o n a t o r ) 两个 平板电极之间的距离很小，一般2 - 2 0 m m ，形成波导，此方向的腔镜采用稳腔形式以 匹配低阶波导模式，而在宽度方向一般采用非稳腔形式。通过旋转针孔法( p d d s ) 法实测，其输出截面为椭圆的像散光束，在椭圆的短轴方向为类高斯分布，单模输出， 而在长轴方向为类似非稳腔模式分布。在这种情况下，准确模拟该谐振腔内的模式， 对其配套的光学整形系统和外光路设计具有重要作用。 1 2 国内外研究概况和进展 从6 0 年代末开始，出现了各种数值方法来分析谐振腔和光波导【3 1 。近2 0 年来， 适应于不同的情形又出现了多种数值分析方法。根据本人课题方向，这里主要列举了 以下3 种。 1 2 1 快速傅立叶变换方法( f f t 法) f f t 自7 0 年代被提出以来p 卅，被广泛应用在光束传输和模式计算中，f f t 也被 2 华中科技大学硕士学位论文 用来计算传输过程中考虑介质增益的情况，并且取得了比较理想的效果7 删。 ( 1 ) 快速傅立叶变换方法的基本原理 设自由空间传输满足近轴波传输方程 鲁+ 亲+ 2j k 要：0 ( 1 1 ) a x 2 。 a v 2 。 a z 、1 1 7 f f t 法针对上述方程提供快速解，求解过程一般分三步完成。 首先，对输入光场分布，进行傅立叶变换，改用空间频谱表示： o ( v ，v y ) 2j h ( x ，y ) e x p ( j 2 ；, z v ；x + j 2 m , y y ) d x d y ( 1 - 2 ) 然后，光束在空域中的传输改为频域中的等效传输计算，也即对输入频谱进行操 作。得出输出光场的频谱。 p ( v ，v y ) = p o ( v ；，v ，) f ( v ，v ，) 其中，f ( v ，v 。) 表示光场在频域中的传输。 最后，对输出光场的频谱进行傅立叶逆变换，求得对应的空域输出光场的分布。 u ( x ，y ) 2j j p ( v ，v y ) e x p ( - j 2 删，x 一_ ，加y y ) d v ，咖， 快速傅立叶变换法具有很高的计算效率，可以大大减少计算时间，对于n n 的光 场采样点，用f o x l i 法每做一次衍射，需进行n 4 次复数乘法和一n 2 次复数加法， 而采用f f t ，一次傅立叶变换和逆变换需作n 2 l 0 9 2 n 次复数乘法和2 n 2 l 0 9 2 n 次复数加 法，一次频域传输需作n 2 次复数乘法，总体计算量相当于缩减了半个维度，速度很 快。 ( 2 ) f f t 法与a b c d 定律结合 通常在研究光束通过共轴的a b c d 光学系统传输和变换问题时，用c o l l i n s 公式 可以很好地给出系统输入和输出面上复振幅之间的关系，而对那些非共轴现象不是很 严重的失调光学系统，其空域中的衍射积分一般形式也已得到。文献阻1 伽结合傅立叶 变换，给出了在频域中的衍射积分公式，适用于共轴光学系统和微失调光学系统。 空域中，假设用e ( x ，y ) 和e f f x t ，y 1 ) 分别表示失调光学系统的输a 9 1 输出复振幅， a 、b 、c 和d 为系统共轴时的变换矩阵元，则失调系统的衍射积分公式为 华中科技大学硕士学位论文 骗，j ，i ) = 丽- i k 肛( 训) e x p 秀i k 【a ( x 2 + y 2 ) 一2 ( x x l + 肼) + d ( x 1 2 + y 1 2 ) + + 毋+ g 一+ 月少l 】) 姗 式中已略去e i k l o 因子，它是恒定的相位因子，略去后不影响振幅的讨论。式中， e = 2 ( a t e ；+ 斯占：) ，g = 2 ( b t t - d a t ) 。+ 2 ( b s t d b t ) 6 ： f = 2 ( a t f y + i t 6 y ) ，h = 2 ( b t t - d a t ) y + 2 ( b s t - d p t ) 占j ( i t 、p t 、y t 及6 t 分别为系统失调矩阵元，x 、y 及占：、占j 分别为二维的失调参数( 位 移和倾角) ，当e x = e y = t = 占i = 0 时，上式可退化为c o l l i n s 公式。 对上式两边同时作傅立叶变换，整理可得 k ( v 小v ，i ) = i r a c p ( 叱，b ) e x p t - i i 7 - r 2 l _ 匕2 + 。2 ) 十一( 2 + 1 2 ) 一2 ( v x v x ! + b b ) + - 基( e d + g ) +f d + h ) 一芸( g _ + e ) 一- - 芸( h a + f ) 】 咖，西， ( 1 3 ) 其中c = e x p 意 即2 + f 2 ) + 2 ( g e + f h ) + a ( 0 2 埘2 ) 】) 此为失调光学系统频域中的衍射积分公式。 当e = f = g = h = 0 时，此式退化为无失调的共轴系统的频域传输公式： v i ( 1 ，x l , v y i ) = 暑扩( w 加x p 半【d ( v x 2 + v y 2 ) + 一( v n 2 + v y l 2 ) 一2 ( v ，v ，i + v y v ) l d v ，d v ， 当c = o 时，利用6 函数的性质，上式可改写为 k = 去e 冲( 二警【( v ，一历g ) 2 + 一杀) 2 】 矿 击帆一一墨警) 古一去) f f t 法结合频域的a b c d 定律，对光束在共轴光学系统和微失调光学系统中的传 输，提供了非常简洁的频域描述，容易实现快速求解： a 1 自由空间传输距离d 光束传输的a b c d 矩阵为， 4 华中科技大学硕士学位论文 c a 匀= 嘲 由式( 1 3 ) 可得，自由空间传输的频域积分公式为： a l ( 匕i ，v y i ) = 4 ( v ，l ，v y l ) x e x p 一i n d 2 ( v ，l2 + v y l 2 ) ) 二维积分退化为简单的乘积形式。 b ) 光束聚焦过程，可化为卷积运算 如图1 2 1 所示，单透镜失调系统为例： 图1 2 1f f t 用于失调光学系统计算 输出面在透镜焦平面上，透镜的主轴相对光轴沿x 方向偏移量为。易知： 在式( 1 3 ) 中，各项矩阵元为： 8 y = 占：= 占j = o ，e = 2 e x ，f = g = h 2 0 ，其、b 、c 和d 为： 尝三 = ：f 一1 1 ，厂： = 一0 ，f 代入参数，可得系统的频域传输表达为： 4 ( p z l , v v l 卜舯p ( 簪肛，v y ) e x p f 硼2 叫2 。- 2 ( v x v x l 1 v y + 可2 。x 训渺，哪 此式的积分核可改写为： 似( v ，) e x p 【一f 砒r ( v 2 v 2 ) 】) e x p ( f ，蟛i ( v z - - c z l ) 2 + ( v ，一v 一2 + 等心一) 】) 可见，积分运算可化两个函数的卷积运算。在数值计算中，一次卷积能够转换为两次 f f t 运算来完成，求解的效率大大高于二维积分a ( 3 ) 缺点 由式( 1 1 ) 可知，f f t 法采用了傍轴近似，相当于对衍射积分公式，采用了菲涅尔 华中科技大学硕士学位论文 近似【1 “，即 p2 历m 三+ 等+ 等+ o 玎帅】4 因而不适合宽角衍射的计算。 f f t 法的单元划分只能采用矩形或类似网格( 如扇形) ，在其计算过程中，等效于 假设了同一单元上光场的分布是一个常数，为保证精度，则要求网格数目足够多，计 算量很大。 f f t 法提供的频域内的传递函数f ( v x ，v y ) ，仅包含了自由空间传播和普通透镜变 换的情形，通常难于计算更为复杂的情况，如复曲率腔镜的反射。 另外，f f t 法在单元划分上不够灵活，带来了计算上的困难。采用f f t 法对光 场表面进行划分时，必须保证一次传输中相对应的两个表面的划分单元具有相同的几 何尺寸，以保证“空间频率”的一致性。而复合腔在波导方向尺寸很小，一般为几毫米 到几厘米，f f t 法在该方向划分数耳必须足够大( 否则，不足以描述该方向波导模式) ， 采用相同的单元尺寸，使得腔体在大尺寸方向的划分数目成倍增加。这样，腔镜上的 整体单元数目非常庞大，计算的效率很低。同时由于复合腔输出光场的近场分布跳变 很大，计算近场输出时必须将耦合输出窗口的单元数目划分得足够细。而复合腔的通 常采用“大腔镜- ，j 、输出孔”结构，这又出现了同样的问题。所以，f f t 法不适合于上述 情况的计算。 1 2 2 有限差分法( f d m ) 由于f f t b p m 存在上述缺点，1 9 8 9 年y e v i c k 等人提出了一种新方法一有限差分 光束传播法( f d b p m ) 1 2 。1 4 1 。其简要过程可描述为：将波导横截面划分为很多网格， 在每一个网格的场用差分方程来表示，然后加入边界条件，就可得到整个横截面的场 分布；沿着传播方向取不同的横截面，重复前面的步骤，最后得到整个波导中的场分 布。光场的传播就是解有限差分方程，由于x - y 方向极化的边界条件可以被合并到 f d b p m 方程中，f d b p m 是半矢量的，即可以处理一个极化分量和一个纵向分量， 可以分辨出t e 和t m 模，可以很正确地估计散射损耗与传播损耗。 计算过程如下： 一 华中科技大学硕士学位论文 - - - - + 斗- - - - - - - i i - - - 斗- - - - i - - - - - - - - - - - - l 12nn + ln o ( m i l ) 中( m ) e ( m + 1 ) n 硐百：五而硎 图1 2 2 有限差分法计算b q 过辛莹 将t e 模和t m 模写成统一形式， 罂+ 要k 。：p z 百+ 了k q 2 p 在未知点m 处，上式的有限差分方程结构为： c ( m 一1 ) o ( m 一1 ) + c ( m ) ( m ) + c ( m + 1 ) ( m + 1 ) = p 2 ( m ) 其中 c ( m - 1 ) 2 面丽匠蔷t 丽 c ( m ) = 等k ( m ) 一面疏2 而丽 c ( m + 1 ) 2 面面而面盂i 厕 对应每一个内部剖分点，都存在一个形如上式的有限差分方程，如果在处理边界 和截面时，差分式的左边不出现常数项，就可以联立这n 个方程，得到标准的本征矩 阵形式， = 6 2 f d b p m 对网格并不要求一定是等间距的，可以在传输方向的不同位置，采用不 7 d 苟m蚴州d 动m删蚴 丌i 0 0 i 0 0 址 n 0 o o m c d o o o n nc 0 o 文o c ” o亿o c c 埘确蚴。 c c c 黜。 华中科技大学硕士学位论文 同大小的网格，再采用等效波导法，将弯曲波导等效为平板波导，然后求解。这样就 可以在光场强度大，变化很剧烈的区域采用细网格，而在其它“次要”区域采用粗网格。 这样其精度和计算效率都比f f t b p m 法要高1 5 州】。 其缺点在于使用方形网格，在处理弯曲曲面时，计算量大，效率不高。在光腔模 式计算中，腔镜主要是球面镜和复曲面镜，由于这一缺点，f d m 不适合于光腔模式 计算。同时其算法本身也有缺陷，f d 矩阵是非厄米阵( h e r m i t i a n ) 的，其离散化矩阵的 特征谱包含有复特征根，在计算场时，可能导致虚假增益。这些问题至今并未完全解 决。 1 2 3 有限元光束传播法( f e i i 卜b 刚) 1 9 9 0 年k o c h e t 将有限元法f e m 用于表示横向场，从而提出了一种新的b p m 方 法一有限元光束传播法( f e m - b p m ) 1 1 7 - 1 9 1 。f e m b p m 的计算过程为：波导截面被 分成很多三角形元，在每一个元内的场用多项式来表达，然后加入不同元之间场的连 续条件，就可以得到整个横截面的场分布，因而可以很容易地模拟二维问题，但是不 能用于三维，因为节点元不能防止虚根产生，对其扬长避短产生了混合元法，即用边 界元来表示横向场分量，用节点元来表示纵向场分量。虚根的产生得到了抑制，而边 界条件得到了准确的描述，因此，可以用全矢量来模拟三维波导。 可在波导方向利用波导模 矗( z ) ) 表示光场矢量中x 方向的慢变振幅，其中 姚) ；乱z ) , 栅n y o 奇 利用 f n ) 的正交性质，可以建立对应于第n 阶波导模的光场方程。 对区域 - x ，) ( 】作节点剖分，假设方程的数值解是x 的分段三次多项式， a n ( x ，z ) = 口n , 1 ( z ) 磊( x ) + 6 。，( z ) 伊，( x ) 这里，a f l ，i 为节点值，b 。i 为节点导数值。g ( x ) 和9 ) 是属于节点x l 的基函数，满足， 妒，( x ) = 4 。，办 。) = 0 竹( 一) = 0 ，办( _ ) = 皖，l ，i 2 0 l ，l 对应于第n 阶波导模的光场方程为： 8 华中科技大学硕士学位论文 ( 2 巧f 丢+ 知帕力= s n ( x ，z = 1 ，2 ， 其中k 。= 1 f 生一 ! ：，b 为波导间隔，s n 为源项，由波导内的折射率和增益决定。 ycd 应用g a l e r k i n 有限元法，可得， 2 七。f 口n , i ( z ) ( 仍，红) + 九，( z ) ( 办，织) + 口n , i ( z ) ( 铒，仍) + 以j ( z ) ( 硝，仍) = ( 屯，妒，) 2 吒匹口州( z ) 渤，谚) + 屯，o ) ，仍) + a n ，( z ) 何，谚) + 屯，( 力耐，谚) = ( ，妒，) i - l ，2 ，l - 1 ；n = l ，2 ，n 。 化为矩阵形式，求解本征方程，即可求得腔内波导模式。 其优点很多。在设置单元的大小和形状时很方便，在处理复杂几何曲面时，更加 有效。f e m - b p m 使用内在元加权函数( s h a p ef u n c t i o n ) ，允许在网格元每个元素的介质 特性不同，这样可以更准确地描述光波导结构。同时，矩阵的维数小，计算时间少。 f e m b p m 不能直接用来计算谐振腔内的光场传输。这主要是因为：( 1 ) f e m b p m 的适用于强波导结构，所求解的导波模式方程与衍射积分方程区别较大。( 2 ) f e m b p m 通常考虑一个截面到另一个截面的模式传输，而谐振腔模式计算考虑光场 在截面( 也即腔镜表面) 间的多次往返，并且自再现。( 3 ) f e m - b p m 的计算主要集中在 输入和输出截面之间的传输媒质上，而谐振腔模式计算主要集中在截面( 也即腔镜) 本 身。 1 2 4 用于谐振腔模式计算的有限元法 文献 2 0 1 较早将有限元法应用到一般光腔模式计算中。在波导腔的计算模式中，该 方法显示出比f f t 等角谱展开法的更好的适用性，特别是当腔镜表面和波导端面的光 场振幅和相位起伏较大时【2 l 书1 。 其实现思想是，在腔镜表面和波导端面选取有限个节点或单元，采用一组正交多 项式( 适合于弱波导和自由空间传输) 或波导的各阶模式( 一般为波导的低阶模式) ，对光 场进行拟合，将积分运算转化为矩阵特征方程的求解。 本文正是基于这一有限元思想，提出了适合谐振腔模式计算的数值矩阵方法。 9 华中科技大学硕士学位论文 2 数值矩阵方法的提出和经典模型的验证 2 1 基于有限元的数值矩阵方法提出 2 1 1 衍射积分方程的推导 均匀介质中传播的光波，稳态下的波动方程为 e + t 1k 2 e = 0 1 1 是介质的复折射率，k o 为波矢。在限定边界条件和初始条件的情况下，可得到 此微分方程的特解。在空腔导体、有限尺寸物体的衍射和半平面等条件下，作为一次 简化，可以忽略光场的矢量特性。于是得到亥姆霍兹( h e l m h o l t z ) 方程： e + t 12 k ：e = o 光波在真空( 1 ；1 ) 中传播时，上式的近似解即为基尔霍夫菲涅尔衍射积分方程： 乜= 砉严。字c o s 如 偿t ， 2 1 2 数值矩阵方法求解模式的基本过程 - 晓i 。 x l j 空镜n。 ? u 2 厦 z 。 、 歹 一 l 图2 i i 光场传输矩阵的建立 设镜i 上的光场复振幅分布可用函数u l ( x l ，y 1 ) 表示，经过腔内一次渡越，得到镜 上的光场分布函数u 2 ( x 2 ，y 2 ) 。 将镜i 按照一定的顺序划分为单元l s 。当s 足够大时，每个单元上复振幅变化 很小，可用单元中心处的复振幅表示，也即假设其上复振幅为常数。这样，通过在各 1 0 华中科技大学硕士学位论文 u 1 = u 1 1 】，u 1 2 】，u i 【s 】) ， 同理，镜i i 上的光场可用复振幅向量u 2 表示。 采用数值矩阵方法，根据u 1 推导u 2 的求解过程如下： 镜i i 的某一单元n ( 如图2 1 1 ) ，其中心位置【x 。，y n 】由腔型和单元划分完全确定， 其复振幅u 2 n 是镜i 上单元i s 对其衍射积分叠加的结果。根据衍射积分公式( 2 1 ) ， 镜i 上的某一单元n l 对镜i i 上单元n 的作用，可表示为： 毗酬2 鲫m ，半叶c o s 呲酊 其中：p = 厄i 再再而叮，归 s 。为单元m 的二维积分区域。如前所述，积分式中的u i ( x i ，y o n - 用u 1 【m 】代替。因 为u 1 【m 】与积分变量x i 和y l 无关，从积分号内提出得： u 1 2 m n 】_ u 1 尝厅警( 1 + c o s 蚺， ( 2 2 ) s 。 可以将其改写为： u 1 2 m ，n 】- u l m 】a 1 2 m ，n 】， 胞呱啦詈鲈”c o s 蚺t 考察a 1 2 m ，n 】的积分式，被积函数与u i ( x i ，y 1 ) 无关，在腔型已知且单元划分已确定的 情况下，代入m 和n 可以求得a 1 2 m ，n 】为一复常数。 u 2 n = a 1 2 1 ，n l a 1 2 1 2 ，n 】a 1 2 s ，n 】 i l 1i；j 跚rrl 1 u u u 华中科技大学硕士学位论文 n 取值1 s ，即可得到镜上的复振幅向量u 2 ： u 2 = a 1 2 1 ，1 】 a 1 2 i ，2 】 a 1 2 1 ，s 】 a 1 2 1 2 ，1 a 1 2 2 ，2 】 a 1 2 2 ，s 】 【1 】 口】 【s 】 ( 2 ，3 ) 可简记为： u 2 = a 1 2 u 1 ， 腔内光场的一次渡越可由( 2 3 ) 式的矩阵形式表示：a 1 2 m ，n 】的物理意义为：镜i 上单 元m 上输入单位值的复振幅时，对镜i i 上单元n 的作用。同理可得a 2 1 ，它描述光 场从镜返回到镜i 。腔内光场的一次渡越往返可表示为： u l = a 2 1x a l 2 x u i = a x u l ， 根据光腔的自适应原理，当腔内的光场逐渐稳定时，有 u 1 = ? x u l ， y 为表示振幅衰减和相位波动的复常数因子，将两式比较可得， ? “u i = a u i ， 描述此谐振腔各阶模式的本征值y 就是a 的特征值。而谐振腔各阶模式分布( 由向量 u l 表示) 即为不同的y 对应的特征向量。可见矩阵a 包含了对腔内模式和光束特性 的描述，可称a 为传输矩阵。对谐振腔模式的求解，主要转化为对传输矩阵a 的各 元素和矩阵特征向量的求解。 该法的优点是： ( 1 ) 求出a 后，无须迭代，可直接求得腔内稳定场的分布； ( 2 ) 可直接求出本征值t ，便于计算单程相移和单程损耗； ( 3 ) 可求解出腔内的多阶模式和对应本征值； ( 4 ) 由式( 2 2 ) 可知，计算中没有对p 采用傍轴近似，可计算宽角衍射，这一点优 于f f t 法。 2 1 3 有限单元的次数和形函数( s h a p ef u n c t io n ) 的选取 在上节所述传输矩阵的建立过程中，实际上是选取“常数元”进行有限元计算， 1 2 u u u 丌oojooo韭器猢 m m m i l r=_叫i一 1 2 s l r l 2 2 2 u u u 华中科技大学硕士学位论文 人为假设，在任单元表面的光场是均匀分布的( 不同单元上的光场仍然是不相同 的) ，也即单元表面所有的点具有完全相等的振幅和相位。 常数元作为一种对实际光场的近似，误差较大，或者说，要达到需要的精度，必 须将腔镜表面的划分数取得非常大，这显然是不利于求解的。在数值矩阵方法的实际 应用过程中通常取高次元，如二次元( 二次分段多项式) 。其计算精度比常数元有显著 的提高，同样计算精度，所需的单元数日大大减少。 高次元的计算流程与常数元基本相同，在传输矩阵的建立上有较大区别。采用常 数元时，传输矩阵的某一元素的意义为，镜i 上该节点所属单元上的光场对镜i i 上某 一点的衍射积分。一个矩阵元素的与一个划分单元的中心点相对应，对应图2 1 2 中 节点i 。 图2 1 2 常数元和高次兀比较 图2 i 3 双三次b e z i e r 曲面 而采用高次元时，传输矩阵的某一元素意义为，镜i 上该节点对镜i i 上某点的 衍射积分的“贡献”。以一次元为例，如图2 1 2 所示，单元l 上的光场分布由该单元 的四个控制节点b ( x i ，y 2 ) 、c 2 ，y 2 ) 、f ( x 2 ，y 1 ) 和e ( x l ，y 0 确定，由这四个控制节 点处的复振幅e b 、e 。、e 。、e f ，可以得出单元1 上任意点( x ，y ) 处的复振幅分布为： 它一e b ( x x 2 ) 一y t ) e 。( x x i ) 一y 1 ) 。e 。( x x 2 ) ( y y 2 ) 一e f ( x x 1 ) ( y y 2 ) 一 ( x 2 一x 1 ) ( y 2 一y i )( x 2 一x 1 ) 0 2 一y i )( x 2 一x 1 ) ( y 2 一y 1 )( x 2 一x 1 ) ( y2 y i ) 可见在衍射积分的过程中，各个节点的作用相互独立，最后在目标位置线性叠加。由 于节点e 属于相邻的四个单元，所以，节点e 对镜上某一点的作用由它在这四个单 元中对衍射积分的“贡献”求和而得。 单元的次数选取并不是越高越好。首先，单元的次数越高，相应的参数曲面对光 场拟合时稳定性越差，特别是当光场的振幅和相位发生跳交的时候，低次元的实际效 果要优于高次元。其次，单元次数较大时( 如三次以上) ，提高次数不一定能获得计算 华中科技大学硕士学位论文 精度的提高，但是却成倍地增加了计算量。这是因为，高次元相应的参数曲面要求的 控制节点数日更多。在图2 1 2 所示的一次元计算中，一次参数曲面有四个控制节点， 每个节点分属于4 个相邻的单元，求解传输矩阵的一个单元需要4 次积分。而采用双 三次b e z i e r 曲面时( 如图2 1 3 ) ，一个单元对应9 个网格，有1 6 个控制节点，每个节 点分属于1 6 个相邻且重叠的单元，因而，求解传输矩阵的一个单元需要1 6 次积分， 计算量是前者的四倍。 对光场进行拟合时，对于同样的单元次数，可选用不同的参数曲面形式作为单元 形函数( s h a p ef u c t i o n ) ，如双线性曲面、贝赛尔曲面。不同形函数对不同光场模式的 拟合效果区别较大，视腔型而定 图2 i ，4 采用混合元的单元划分 图2 1 5 混合元的拟合示例 另外，在单元的不同方向可以选取不同的单元次数，即采用混合元。对于共焦腔， 由于腔镜中心处光场沿径向起伏较大，可在该方向采用高次元拟合( 如抛物线) ，而在 分布较平稳的周向采用低次元。拟合的示例如图2 i 5 。这样即保证了足够精度，又尽 可能地减少了计算量。 2 1 4 数值矩阵法的误差分析 图2 i 6 不同尺寸矩形单元的衍射光场 分布( x 方向) 1 4 华中科技大学硕士学位论文 由于腔镜形状通常为圆形和矩形，单元的形状相应为矩形或扇形( 当扇形单元对 应圆心角度很小时，近似为矩形) 。在图2 1 1 中，镜i 上的单元，在镜i i 上的衍射光 场分布具有以下特征：一、在x - y 方向上光场的分布相互独立，均为类似s i n e 函数 分布，如图2 i 6 ；二、随着单元尺寸的减小，接收屏上衍射光强从有多个峰值，到只 有一个主峰，光场幅值分布逐渐平缓，如图2 1 6 ( 曲线i 5 ，单元尺寸逐渐减小) ：三、 接收镜上，光场主峰值的范围，b l 九a ，其中a 为衍射单元的尺寸，l 为镜i i 到镜i 的距离。x 为波长，如图2 i 7 。 在腔长l 和波长 一定时，减小镜i 上的单元尺寸a ，将设定镜i i 上衍射光场的 b 值增大( 图2 i 7 ) ，这样镜i i 上的光场主峰值将逐渐占满整个腔镜区域，光场的振幅 和相位分布将趋于平滑，同时，避免出现多个波峰和波谷，有利于提高拟合的精度。 实际计算中，一般通过限制a ，使b 在n 附近。 对图2 ，1 7 中的类s i n c 函数进行二次拟合，考虑拟合的误差。考虑中心区域，在 x = o 处进行级数展开， 掣斗等+ 篙州6 z o1 2 u 如果在o b 范围内，有1 0 个采样点，则二次拟合误差项： 耐引争1 2 0 8 1 0 ， 考虑外围区域，在x _ 处进行级数展开， 半=一旦+掣小砉+扣zre)3+ox-7-b-1t ，4 - = - 一1 一一十一一1 一h 【一 - x 耳。 b 嚣 二次拟合误差项： 出( 一吉+ 专嚆) 3 2 0 m m ) ， 腔内各阶模式损耗均很小，鉴模特性差，改变光阑尺寸，对各阶模式损耗的影响很小； 当光阑直径减小到1 5 m m 附近时，高阶模的损耗迅速增大，而基模损耗增加缓慢。腔 内模式梯度迅速增大( 如图2 3 3 ) 。 试验结果，一、平面镜无光阑限制，输出光瞳尺寸为平面镜光瞳尺寸3 7 m m ， 有机玻璃烧蚀试验在距离输出镜l m 处得到的烧斑为9 个同心圆环，且旁瓣值与主峰 值十分接近，表明近场模式表现为多横模混合输出。二、平面镜前加d = 1 2 m m 的光阑 限制时，仅有基模和t e m l 0 输出。 2 l 华中科技大学硕士学位论文 3 环耦输出非稳腔模式分析 3 1 非稳腔腔型分析 稳定腔在激光发展中起到了重要作用。由于它的衍射损耗小易于达到振荡阈值， 一般低增益激光器多采用这种腔结构。但稳定腔也有很大的弱点，模体积小，包含的 反转粒子数少，因此得到的单模输出功率很低。 稳腔的几何损耗很小，其各阶模式之间的衍射损耗差别不大，选模比较困难，尤 其是当谐振腔的菲涅尔数较大时，往往形成多模混合输出，聚焦特性差。因此，高功 率的激光器，一般采用非稳腔，以提高光束质量。 非稳腔内的模式光场并不只限制于腔轴附近，模体积比稳定腔大得多，较好地覆 盖工作物质的体积，有利于提高器件的输出功率。由于非稳腔的几何损耗很大，在一 般增益条件下不易实现振荡，因此也不适合用于低增益的激光器。同时，高增益的激 光器要求有较大的输出耦合率，在这种情况下，可将非稳腔的逸出损耗作为激光能量 的耦合输出，并得到十分满意的结果。 在理论和实验上，对非稳腔的研究要比稳腔复杂。这主要是因为非稳腔对失调非 常敏感，调整困难。另外，非稳腔的衍射积分方程没有糖确的解柝解。只自基进行数值 计算，而运用在大功率激光器上的非稳腔，一般菲涅尔数较大，数值计算的计算量也 很大。 3 2 非稳腔的耦合输出方式比较 非稳腔的常见耦合输出形式有衍射耦合输出和偏振耦合输出两种形式a 圈3 2 1 偏振耦合输出非稳腔 2 2 华中科技大学硕士学位论文 偏振耦合侧端输出被认为是非稳腔较好的输出方式，如图3 2 1 。这种腔型利用 l 4 波片的旋光特性可以最大程度地将光场能量有效地从腔内取出。调整1 “波片的旋 光角度，可以改变勰合输出能量的大小。它不仅输出辐合效率高，调整方便，两且近 场输出无烧孔。将其应用在固体激光器上时，调q 晶体所承受光荷密度远低于普通腔， 显示出的独特的优越性。 衍射耦合输出又分为前端输出和侧面输出两种。这两种输出方式在结构设计时， 必须使得耦合输出镜“悬浮”在激光束中心，因此在制造和控制的时候有一定难度。 衍射耦合输出镜的孔径限定非常严格，且与其在腔内的位置有关，加工和调试的精度 要求很高。其优点是可承受很大的光荷密度，因而在高功率气体激光器中得到了广泛 应用，其光路图如图3 3 1 所示。 3 3 环耦输出非稳腔的光场计算 3 3 1非共焦非稳腔的模式计算 瞿耋饕争 平傻。 位置馕4 平馕3 图3 3 1 环耦输出非稳腔 某1 0 k w c 0 2 激光器的多折非稳腔的光路结构如图3 3 1 所示。基本尺寸参数为： 凹镜1 光瞳直径为5 0 m m ，曲率半径1 2 1 0 0i n i