（运筹学与控制论专业论文）倒向随机微分方程与彭猜想.pdf

山东大学硕士学位论文 倒向随机微分方程与彭猜想 陈涛 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 1 9 9 0 年，e p a r d o u x 和彭实戈教授引入如下一般形式的倒向随机微分方程： r tr t y t = f + 夕( r jy ，z r ) d r 一o d w ，t 0 ，t j tj t 从那时起，许多专家致力于这一领域的研究，建立了倒向随机微分方程与随机控制、 微分对策、随机几何、偏微分方程以及金融数学与数理经济学等领域的联系。 众所周知，倒向随机微分方程如果满足一定的条件，则它有唯一的一对适应解。 1 9 9 5 年，彭实戈教授由倒向随机微分方程引入如下的非线性数学期望一g 一期望： g 吲= y o 这一非线性数学期望几乎可以满足经典数学期望所满足的除线性性外其它所有性质 ( 详见第四部分) 。本文将通过探讨倒向随机微分方程的解( z t ) o cc c 丁的性质来研究 如下问题： ( 1 ) 由于经典数学期望可以表示成相应概率的c h o q u e t 积分的形式，彭实戈教授 据此提出猜想：g - 期望是否也可以表示成c h o q u e t 积分的形式? ( 2 ) 在经典概率论中，大数定律占有非常重要的地位，那么在我们引入了g 一期 望与分概率之后，我们自然想知道关于g 一期望与g 一概率是否也存在相应的大数定 律? ( 3 ) 经典数学期望的其它性质中哪些是对哥期望满足的? 哪些是对g 一期望不满 足的? 围绕这几个问题，本文进行了详细的研究论证并给出了相应的初步结果 本文一共分为七部分： 第一部分：介绍本文所要研究的问题的背景 山东大学硕士学位论文 第二部分：介绍倒向随机微分方程的主要已有成果，包括解的存在唯一性定理、 比较定理、非线性f e y m a n n k a c 公式以及其它要用到的数学结果。 第三一第七部分是我的主要工作： 第三部分：对于如下形式的部分耦合的正倒向随机微分方程： j 霹3 = z + 正56 ( r ，珲。) d r + f 盯( r ，霹，。) d 叫， ( 1 1 ) l ，。= 西( 肆。) + r 9 ( _ 玲一，z z ) d r 一霉r d w ，( 1 2 ) 我证明了在b ，盯，9 ，西满足一定条件时，如果西单调非降，则z 保持非负；如果西单 调非增，则z 保持非正。 对于b ，仃，9 都不显含时间的如下正倒向随机微分方程： ix s = z + 筵b ( x ，) d r + 赡。t x o 洮f 【l ：n ，= 中( j k ) + f 2 ，g ( e ，z ，) d r 一丘，乙d 叫， 其中： r ：= i n f s 0 ，x 。隹g )g = ( ，p ) 可以利用常微分方程的方法，证明： 当圣( ) 西( 卢) 时，v s 0 ，t ，五0 ，a 8 ； 当西( o ) 西( p ) 时，v s 0 ，丁】，互 0 ，a 8 ； 当垂( 。) 中( 芦) 时，v s ( o ，t 】，忍 0 ，a 8 ；当f = 6 r 。】，v a ，b r ，a 0 ，o s ；当f = 蛀：。，司，v a ，b i i 山东大学硕士学位论文 r ，a 0 ， j i 巴局 旧垒l 碍一岛f 碍】i e ) = 1 第六部分：这是本文中一个很简短的结果：对于一维正倒向随机微分方程，当6 ，仃 关于t 连续，关于z 一阶连续可微，9 关于y ，：也一阶连续可微且导数一致有界， 当圣严格单调增或严格单调减，盯恒不为零时，倒向随机微分方程的解( k ) 一c r 在 任意时刻5 都有不恒为零的密度函数。 第七部分：在这一部分，我利用第三部分的结果，证明：对于正倒向随机微分方 程( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，当g 满足正可加条件时，坼关于分期望满足j e n s e n 不等式。 关键词：倒向随机微分方程，非线性f e y n m a n k a c 公式，g 期望，容度 c h o q u e t 积分，共单调可加，大数定律。 i i i 山东大学硕士学位论文 b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d p e n g c o n j e c t u r e c ：h e nt a o ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ) ( s h a n d o n gu n i v e r s i t y ，j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t i n1 9 9 0 ，e p a r d o u xa n d p e n gs h i g ei n t r o d u c e d t h ef o l l o w i n gb a c k w a r ds t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( b s d e ) ： r 丁r 丁 y f _ + 9 ( _ ，z r ) d r 一z r d w ，t 0 ，t i jcj t f r o mt h e no n ，al o to fr e s e a r c h e r sh a v ea p p l i e dt h e m s e l v st ot h i sf i e l da n d u n dt h e r e l a t i o n s h i pw i t hs t o c h a s t i cc o n t r o l ，d i f f e r e n t i a lg a m e ，s t o c h a s t i cg e o m e t r y ，p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n f i n a n c i a lm a t h e m a t i c sa n de c o n o m e t r i c a i ti sw e l lk n o w nt h a ti ft h eb s d es a t i s f i e ss o m ec o n d i t i o n s ，t h e r ei st h eu n i q u e a d a p t e ds o l u t i o ns a t i s f y i n g i t i n 1 9 9 5 ，p e n gi n t r o d u c t e dt h ef o l l o w i n gn o n l i n e a r e x p e c t a t i o n g - e x p e c t a t i o nb yb s d e ： 譬旧= y 0 t h i sk i n do fn o n l i n e a re x p e c t a t i o n g - e x p e c t a t i o na l m o s t l ys a t i s f i e sa l lt h ep r o p e r t i e s o ft h ec l a s s i c a le x p e c t a t i o n ，b u tl i n e a r i 略 i nt h i sp a p e r 1w a n tt or e s e a r c ht h ef o l l o w i n gq u e s t i o n sb ys t u d ) t h ep r o p e r t y o fb s d e ss o l u t i o n ( 施) o c 0 ，a s ； i f 西( a ) 西( 卢) ，v s 【0 ，t 1 ，五 0 ，。5 ；i f f = 6 叫r 兰n 】，v a ，b r a 0 ，n ：i f = i i b _ w t = n 】，讹，b r ，a 0 ，扣l i m 。b m ：l 碍一蹦磷】i e ) = 1 i ns e c t i o n6 ，ia c q u i r et h i sr e s u l t ：f o rt h eo n ed i m e n s i o n a lf b s d e ，i fb , u g 西 s a t i s f ys o m ec o n d i t o n s ，t h es o l u t i o n ( k ) z 5 rh a v ea n o n z e r od e n s i t yf u n c t i o na tt i m e s i ns e c t i o n 7 ，b yt h er e s u l t s i ns e c t i o n3 ，ih a v ep r o v e dt h a ti ft h ef u n c t i o ng i nf b s d e ( 1 1 ) ，( 1 2 ) i so fp o s i t i v ea d d i t i v i t y , x ts a t i s f i e st h ej e n s e ni n e q u a l i t yo n g - e x p e c t a t i o n t h i si n e q u a l i t yi ss i m i l a rt ot h ej e n s e ni n e q u a l i t yo nt h ec o n v e n i e n t e x p e c t a t i o n k e y w o r d s ：b s d e ，n o n l i n e a rf e y n m a n k a cf o r m u l a t i o n g - e x p e c t a t i o n ，c a p a c i t y c t m q u e ti n t e g r a l ，c o m o n o t o n i ca d d i t i v i t y , t h el a w o fl a r g en u m b e r v i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：丝煎 日期：皇! 堕塑 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：煎!盔 导师签名：啦日 期：宴! 塑：兰：堕 山东大学硕士学位论文 第一节引论 自从e p a r d o u x 和彭实戈教授引入如下形式的非线性倒向随机微分方程： 厂tr t y f + g ( r ，y ，z , ) d r 一z r d w ，t 0 ，t 】 j j t 许多研究人员致力于这一领域的研究，建立了倒向随机微分方程与随机控制、微分对 策、随机几何、偏微分方程以及金融数学与数理经济学等领域的联系。 众所周知，倒向随机微分方程( 以下简称b s d e ) 如果满足一定的条件，则它有 唯一的一对适应解( y c ，z t ) o cc c t ，但现有结果中，对( 盈) o cc c t 的性质研究甚少，尤其 是研究当f 和g ( ，) 满足什么条件时，( z t ) o o 是其上的一 个d 一维标准布朗运动，我们设( 兀) 是( w 。) 。o 的自然的盯- 代数流： 五= o n ，a w ，；0 r s ) ) 其中是c r w ，；0sr o o 的p 零测集全体( 只) 蜒。! r 也是由( 加，) 。o 生成的 信息流： 只= o n ，盯 叫，一w t ；t r s ) ) ， 其中是口 ，一w t ；t r 。 的p 一零测集全体 对于如下的倒向随机微分方程： ，丁厂t k = f + 9 ( s ，k ，互) 如一五d w 。 ( 21 ) j j t 其中：g = o ( t ，y ，。) ：【0 ，t r r 4 一r 我们给出两个假设： ( h 2 1 ) 对v ( g ，。) r r 4 ，g ( t ，y ，2 ) 关于t 连续且岳9 2 ( f ，0 ，o ) d t 0 ，使得v y ，y e r ，z ，z 7 r e ，都有i g ( t ，y ，z ) 一g ( t ，y 7 ，) i ! c ( t y y l + l z z i i ) 我们以m ( o ，t ；r ) 记满足e 石川2 d t o o 的( 五) o ! c ! t 适应的r - 值的过程全 体，它是一个h i l b e r t 空间 引理2 1 设g 满足( h 2 1 ) 及( h 2 2 ) ，则对于任何给定的终端条件l 2 ( q ，j ，p ；r ) b s d e ( 2 1 ) 存在唯一的解即存在满足( 2 1 ) 的唯一的( 五) 适应过程( y ，z ) m ( o ，丁；r r d ) 引理2 2 我们假设( i z ) 是( 2 1 ) 的解，如果( p ，牙) 是倒向随机微分方程 玩= f + ，r 吼一r 磊d 训。 3 山东大学硕士学位论文 的解，其中( 吼) 是给定的满足f 1 ；d t 0 使得l b 。l k ，l j 。i k ，且存在常数c ，使 v x ，r d , v t 0 ，t 】，f + 盯( t ，z ) 口+ ( t ，z ) c i f | 2 ( h 2 6 ) g 四1 ( o ，t r xr d ；r ) 且偏导数一致有界， 西四( r 。) 且导数 一致有界， s u p i b ( t ，0 ) l + i 口( t ，o ) + i g ( t ，0 ，0 ) l + l 垂( o ) l u 三z 茎l 对应于f b s d e ( 2 2 ) ( 2 3 ) 有相应的变分方程： f v i x 。= e + 正5 b 。( r ，* ) v l 墨d r + 名1f 【以( nj ) v 墨d 叫； ( 2 5 ) v 。i ：= 西。( x t ) v ，强+ r 吼( r ，k ，历) v f 蚱+ 】d r 【一rv i z ，d w ， ( 2 6 ) 其中：e i = ( 0 ，0 ，1 ，0 ，o ) + ，一( ) 是d ( ) 的第j 列， iv x = ( v i x ，v 2 x ，v d x ) v ，7 = ( v i v j j ，v d l ) iv z = ( v 1 z ，v 2 z ，v d z ) 这两个变分方程在我的论文中具有重要作用 对于比引理2 3 弱，比引理2 4 强的条件下，张建峰在参考文献【4 】中得出了以下结 果： 引理2 5 假定( h 2 5 ) ，( h 2 6 ) 成立，伍，y iz ) 是f b s d e ( 2 2 ) ( 2 3 ) 的适应解， 定义札( t ，z ) = k ，那么： ( 1 ) 对所有( t ，z ) 0 ，卅r d ，u 。存在且具有下面的表达式： ，t u 。( s ，x 。) v 置= e 虬( 坼) v 曲+ 曲( l ；，4 ) v 坼+ a r l 曩) j s 5 山东大学硕士学位论文 即 v se t ，t 曼= 。u 。( s ，x 。) v j x t = e ( 墨1 圣。( 曲) v ，研+ r b y ( r k ，历) v ，k + 耋1 ( n k 4 ) v j 召 训曩)j = 1 ，2 ，d 特别地，当8 = t 时， “ p 丁 d u q ( t ，z ) = e 垂。( 一r ) v j x ；+ 夕y ( r ， ；乙) 码k + 9 。( r k ，4 ) v ，召】打 f = l 。 1 = 1 j = 1 ，2 ，d ； ( 2 ) “。( t ，z ) 在 o ，t 】r “上连续； ( 3 ) 互= v u ( s ，五) 盯( 5 ，x 。) ，v s t ，t 】，p 一s 注：引理2 3 、引理2 4 和引理2 5 都是关于正倒向随机微分方程和偏微分方程 的关系问题的研究。 下面我来介绍一下w i e n e r 空间中导数的一些概念，这一部分内容将在下面引理 和本文第四部分中用到，关于这一部分知识可详见参考文献 3 3 或f 5 ： 我们用s 表示所有下面形式的随机变量的空间： p 丁 一了、 = f ( 妒1 ( t ) d w ，( t ) d w 。) ， d0j0 其中： f c f ( r 4 ) ，妒一，l 2 ( o ，卅；r d ) 在空间s 上，我们定义导算子d ：s - _ l 2 ( o ，t 】q ) ： v s ，v t 【o ，t 】 蹦壤。差( 小挑， ，r 妒。( t ) d w t ) j 0 我f r i l l 入空间s 上的范数： 比s ， 俐：，2 = e 旰+ e i d ，1 2 d r j0 我们用d 1 2 耥l ；- js 在范数b 下在空间l 2 ( n ) 中的完备化，可以证明：算子 d 可以扩张为从d 1 ，2 到上2 ( n 0 ，丁】) 的稠密的闭、线性算子，定义域为d 1 - 当n = 1 时，p a r d o u x e 和彭实戈两位教授在【3 1 ( 1 9 9 2 ) 中证明了 6 山东大学硕士学位论文 引理2 6 b ，口，g ，西满足( h 2 5 ) ，( h 2 6 ) ，则( 2 2 ) ( 2 3 ) 存在唯一的解( x ，kz ) 过程x ，是连续的，z 循序可测、适应，且： 剧s u ，p 7 i x 。i 。) v g 2 ，e ( s u p 1 k 1 ，) ； o 。，e ( ，1i 五1 2 出) 5 。v p 1 s!丁t 1 ，d 坦，且w = 露( d 。f ) 2 d s 可 逆a 8 ，那么：f 的分布关于l e b e s q u e 测度绝对连续。 在第六节中我们将用到这一结果 下面我们将利用上面的引理证明下面几节的结果 7 山东大学硕士学位论文 第三节倒向随机微分方程的解z 的性质的研究 首先我们来研究如下如下一维f b s d e 的解z 保号的一个充分条件 j 五= z + 片b ( r ，x ) d 7 + 正3 a ( r ，x r ) d w ， ( 3 1 ) ik = 垂( x r ) + r 9 ( r ，v ，z r ) d r r z r d w ，( 3 2 ) 这一f b s d e 的变分方程为 1 + 止36 。( r ，x r ) v x r d r + f 口。( _ x , ) v x r d w ，( 3 3 ) 中。( 硒) v 场+ j y g g ( r ，k ，4 ) v k + 乳( r ，k ，z r ) v z , d r rv z ，d w ，( 3 4 ) 引理3 1 假定b ，盯满足( h 2 5 ) ，且v ( t ，z ) 1 0 ，t 】r ，o f t ，z ) 0 ，随机微分方 程( 3 1 ) 的解为( 托) c ! 。! 丁，则y s 【t ，卅，x 。的分布关于l e b e s q u e 测度绝对连续， 也即存在不恒为零的密度函数。 证明：由引理2 6 知： fd ，x s = 0r s 【d ，x s = v x 。v x ：1 盯( r ，x ，) r s 而解关于v x 的线性s d e ，得 广s 1 r 5 v x ；= e x p 【k ( nx ，) 一百1 口。2 ( - x ，) d r + a o ( - x ，) d 训，) ， j o j t 因而v 五 0 ，v s 【t ，t 】，又由于v ( t ，z ) 【t ，t 】r ，o ( t ，z ) 0 ，所以由引理2 7 知 广o 7 x 。= ( d r 五) 2 d r 0 ，v s t ，丁】， j 0 所以x 。的分布关于l e b e s q u e 测度绝对连续。 在b ，盯，g ，西满足( h 2 5 ) ，( h 2 ，6 ) 的条件下，我们来分析z ( ) 的符号： 定理3 2 假定( h 2 5 ) ，( h 2 6 ) 成立，v ( t ，z ) 0 ，t lx r ，o ( t ，。) 0 ，( x ，z ) 是f b s d e ( 3 1 ) ( 3 2 ) 的适应解，那么： ( 1 ) 当西( ) 在r 上关于x 单调不减时，y s 【t ，卅，五20 ，a 8 ； 当由( ) 在r 上严格单调增加时，y s i t ，t i ，磊 0 ，1 1 8 ； ( 2 ) 当中( ，) 在r 上关于。单调不增时，y s t ，丁】，五0 ，a 8 ； 当垂( ) 在r 上严格单调减小时，v s t ，t 】，玩 0 ，v s k 丁】对王v k 作，公式，可解得： v k = 叫吒( x r ) v x r g t l 】 由( 3 5 ) 知 札：( s ，x 。) = e 0 。( 而) v 晒坼1 7 ： v x 。，v s t ，t 】 由引理2 5 ( 3 ) 知 五= 让。( s ，j k ) 盯( s ，k ) = e 【咖。( j 0 ) v x h r i 一】v x 。一1 盯( 5 ，x 。) v s f ，t 9 d巩 磊 p r lr 啦 u ， +r爿日磊 耳 r 野 口 。 ， 丁 十 t 1 | | 怕 巩 0x v 令 以所 山东大学硕士学位论文 又因为v ( t ，。) 0 ：t xr ：j ( ，z ) 0 ，v x 。，v x t 0 ，h t 0 ，则：当西在r 单调 不减时，中。0 恒成立，所以v s ，五兰0 ，os ；当圣在r 单调不增时，西。茎0 恒成 立，所以v s ，五s0 ，s 。 进一步，当中。 0 恒成立时，v 5 ，互 0 ，a s ；当西： 0 ，a 8 同理：当西在r 上严格单调递减时， z s 0 ， 使得： e 【s u pj ，? 一l ? 1 2 + i 乏一霉1 2 d s l z t 】c e i ( 。一f 。1 2 + ( l 吼1 d s ) 2 i 五】 其中吼= g l ( s ，：1 忍) 一9 2 ( s ，? ，乏) 注：此定理的证明可见参考文献：6 1 定理3 5 如果b ，盯，g ，中满足( h 2 3 ) ，( h 2 4 ) ，且v ( t ，z ) 0 ，t 】x r ，o ( t ，z ) 20 ， 则； ( 1 ) 当西关于z 在r 上单调不减时，五0 ，a 8 ，a e ，； ( 2 ) 当西关于z 在r 上单调不增时，五0 ，a 3 ，a e 证明：当b ，盯，g ，垂满足( h 2 3 ) ，( h 2 4 ) 时，( x ，y ，z ) 是f b s d e ( 2 2 ) ( 2 3 ) 的解。 对于满足条件的b ，盯，g ，圣，我们可以分别找到满足( h 2 5 ) ( h 26 ) 的一族函数 以，c r 。，g 。，西。分别一致收敛到b ，盯，g ，圣，且饥与垂有相同的单调性 将b 。，以，g 。，饥代入f b s d e ( 2 2 ) ( 2 3 ) 得： 霉三；蕊墨麓d rz z 以；) d r r 掣篙d w ， 慨e ， 【埒= 西。( 酶) + r 矶( n 玲，一r 名， 一。 1 0 山东大学硕士学位论文 ( x ，y ，z ) 是方程( 3 6 ) 的解，则由b u r k h o l d e r - d a v i s g u n d y 不等式和g r o n w a l l 不 等式容易证得： e s u pi 嚣一x 。1 2 = 0 0 ) ， e - - - - 40 s 6 t ，t 】 由引理3 4 得： e s u pi e k 1 2 + e l 露一z , 1 2 c l s = o ( 1 )e _ 0 ， 所以研一五，n ，a e 当垂单调不减时，西。也是单调不减，由定理3 2 得：霉0 ，所以互0 ，a 8 ，a e ， 同理当垂单调不增时，z 8 茎0 ，a 8 ，a e 。 在定理3 5 中，我们将西的条件放宽到连续情况，实际上对某些不连续的情况， 我们只要能找到一族光滑的函数来逼近它，则仍然可以得到如同定理3 5 的结论： 定理3 6 假定6 ，盯，g 满足( h 2 3 ) ，( h 2 4 ) ，v ( t ，z ) 【0 ，t 】r ，o ( t ，z ) 0 ，若 圣为示性函数，f b s d e ( 2 2 ) ，( 2 3 ) 仍然有唯一解，且： ( 1 ) 当e o ( z ) = 。】，v a r 时，互0 ，a , 8 ，o e ； + ( 2 ) 当垂0 ) = 丘。) ，v a r 时，互0 ，a , 8 ，a , e 证明：对于垂( z ) = 丑。，。) ，v a r 的情形，我们可以如下取到一族函数蛾，使得中。 一致收敛到圣： 对v e 。，令圣。( z ) = e - c 。1 m ，其中：d ( 。) = 一司3 ：；：； 由于西。单调不减，类似定理3 4 的证明，我们可知：磊0 ，a 8 ，a e ；同理对 于圣( z ) = 。 0 。使得v x g 都 有盯( o ) 7 ( h 3 2 ) g ( 可，z ) 在r xr 上连续可微且导数一致有界， 垂( 。) c 3 ( r ) ， 山东大学硕士学位论文 我们口j 以足义如f 的随机微分方程：v z g ， 试= 6 ( 咒) 幽+ 口( 五) d s( 3 7 ) l x o =z 、 由此随机微分方程我们可以定义停时： 7 - ：= i n f s 兰0 ，x 。垡g ) 下面我们定义一个 以7 - 为终端时刻的倒向随机微分方程： p t，r k n ，= 西( x ，) + 9 ( k z ，) d r 一 4 d 叫， ( 3 8 ) js a tjs a t 由( 3 7 ) ，( 3 8 ) 可以定义如下常微分方程( 简称o d e ) ： i b ( x b ( z ) + 盯2 ( z ) “”( z ) + 9 ( 札( 。) ，扎7 ( z ) 盯( z ) ) = 0 “( o ) = 西( n )( 3 9 ) 【u ( 卢) = 中( 卢) 对于形如( 3 7 ) ( 3 8 ) 的f b s d e 和形如( 3 , 9 ) 的o d e ，我们也有非线性f e y m a n n k a c 公式： 引理3 7 如果( h 3 1 ) ( h 3 2 ) 成立，那么f b s d e ( 3 ? ) 和( 3 8 ) 有唯一一对适 应解( x ，l jz ) ，令u ( z ) ：= k ，则u ( z ) 是常微分方程( 3 9 ) 的解，且( k ，邑) = ( u ( j k ) ，u ( x 。) 盯( y 。) ) ，0 s 丁。 下面将给出这种正倒向随机微分方程的解z 的正负情况，这一结果是由我独立 首次获得： 定理3 8 如果( h 31 ) ( h 3 2 ) 成立，且o (