导数与不等式.doc

导数的应用-不等式与导数1. 设函数，其中为常数（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（3）求证对任意不小于3的正整数，不等式都成立2. 已知函数f(x)=ax3+bx23x在x=1处取得极值. （）求函数f(x)的解析式； （）求证：对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4； （）若过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f(x)三条切线，求实数m的取值范围.3. 已知函数 （I）求f(x)在0，1上的极值； （II）若对任意成立，求实数a的取值范围； （III）若关于x的方程在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.4. 已知函数（为常数且） （1）当时，求的单调区间 （2）若在处取得极值，且，而在上恒成立，求实数的取值范围（其中为自然对数的底数）5. 已知是定义在R上的函数，它在和上有相反的单调性，在和上有相反的单调性.（）求的值；（）在函数的图象上是否存在点，使得在点的切线斜率为？若存在，求出点的坐标，若不存在，则说明理由；（）设的图象交轴于三点，且的坐标为,求线段的长度的取值范围.6. 已知的定义域为区间1，1。 （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性； （3）若方程的取值范围。解答：1. 解：（1）由题意知，的定义域为， 当时， ，函数在定义域上单调递增 （2）由（）得，当时，函数无极值点 时，有两个相同的解，时，时，函数在上无极值点 当时，有两个不同解， 时，,此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：减极小值增由此表可知：时，有惟一极小值点， ii) 当时，01此时，随的变化情况如下表：增极大值减极小值增由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点； 综上所述：当且仅当时有极值点; 当时，有惟一最小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点（3）由(2)可知当时，函数，此时有惟一极小值点且 令函数 2. 解： （I）f(x)=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0， 即 解得a=1，b=0. f(x)=x33x. （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，当1x1时，f(x)0，故f(x)在区间1，1上为减函数，fmax(x)=f(1)=2，fmin(x)=f(1)=2对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)|f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(2)=4 （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲线方程为y=x33x，点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.过点A（1，m）可作曲线的三条切线，关于x0方程=0有三个实根.设g(x0)= ，则g(x0)=6，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减.函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得3m2.故所求的实数a的取值范围是3m2.3. 解：（I），令（舍去）单调递增；当单调递减. 上的极大值 （II）由得， 设，依题意知上恒成立， 上单增，要使不等式成立，当且仅当 （III）由令，当上递增；当上递减 而，恰有两个不同实根等价于 4. 解：（1）由得 又的定义域为，所以当时，当时，为减函数当时，为增函数 所以当时，的单调递增区间为 单调递减区间为（2）由（1）知当时，递增无极值所以在处有极值，故且 因为且，所以在上单调 当为增区间时，恒成立，则有 当为减区间时，恒成立，则有无解 由上讨论得实数的取值范围为5. 解：（）由题意可知在-1，0和0，2上有相反的单调性，所以是的一个极值点.故，即是的一个解，所以. （）因为在 和上有相反的单调性，所以在上必有一根.又，易知方程一根为，另一根为，所以， 假设存在点，使得在点的切线斜率为，则，即有解.而=，因为，所以，与有解矛盾。故不存在点，使得在点的切线斜率为. （）依题意有，又，所以，所以=， 两点的横坐标就是方程的两根，所以=， 因为，所以当时，；当时，=.所以的取值范围是.6. 解：（1） （2） （3）由（2