（电路与系统专业论文）混沌、时空混沌的控制理论及实验研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要 本文主要围绕用延迟反馈法、脉冲扰动法、预测延迟反馈法、预测反馈法这几种方 法控制混沌、超混沌、时空混沌展开了研究工作。以电路实验、仿真为主要研究方法， 结合理论分析和数值计算方法，对于文中研究的控制混沌、超混沌、时空混沌系统的问 题都给出了充分、正确的论证结果。 本文针对前人提出的分析延迟系统产生h o p f 分岔( 支) 理论，用电路仿真实现了 延迟反馈控制法控制时间连续混沌系统，从而证实了这种理论的可行性，同时用电路硬 件实验和数值计算方法实现了离散超混沌系统的延迟反馈控制，从而验证了延迟反馈控 制法控制连续、离散混沌系统的可行性： 通过电路实验和数值计算的方式验证了脉冲扰动法控制离散混沌系统是可行的； 提出了一种改进的预测反馈控制法，将其应用于混沌系统，电路实验、理论分析、 数值计算充分证实了该方法的可行性： 提出用电路构造耦合映象格子模型的设计方案，并通过电路仿真、理论分析、数值 计算三种方式分别验证了预测反馈法、延迟反馈法控制单向耦合环形映象格子和双向耦 合环形映象格子时空混沌系统的正确、有效性。 本文用电路( 包括电路仿真) 实验研究控制混沌、超混沌及时空混沌的结果，无疑 会为实际应用控制混沌、超混沌和时空混沌系统提供重要的实验依据。 关键词：混沌、超混沌、时空混沌、混沌控制、理论分析、电路实验 a b s t r a c t c o n t r o lo fc h a o s ，h y p e r c h a o s ，a n dc h a o so fs p a t i o - t e m p o r a la r er e s e a r c h e db ym e a n so f d e l a y e df e e d b a c k ，p u l s ed i s t u r b a n c e ，p r e d i c t i o nf e e d b a c ka n dp r e d i c t i o nd e l a y e df e e d b a c ki n t h i sp a p e r , a n dt h e ya r er e a l i z e di nc i r c u i te x p e r i m e n t sa n ds i m u l a t i o na sw e l la st h e o r e t i c a n a l y s i sa n dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o r la t l a s t i te n d sw i t hr e s p e c t i v er e a s o n a b l ec o n c l u s i o nt o p r o b l e m so f c h a o s ，h y p e rc h a o s ，a n dc h a o s s y s t e mo f s p a t i o t e m p o r a l i nt h i sp a p e r , b a s e do nt h et h e o r yo f “h o p fb i f u r c a t i o n ，c o n t r o lo ft h ec o n t i n u a lt i m e c h a o sb yt h em e t h o do fd e l a y e df e e d b a c ki sr e a l i z e di nc i r c u i ts i m u l a t i i na d d i t i o nc i r c u i t e x p e r i m e n t sa n d n u m e r i c a lc a l c u l a t i o ns u c c e e d si nf e a s i b i l i t yo f d i s c r e t eh y p e r c h a o ss y s t e m s d e l a y e d f e e d b a c kc o n t r 0 1 t h ec o n t r o lo f d i s e r e t ec h a o si nt h ec i r c u i tb y t h em e t h o do f p u l s ed i s t u r b a n c et os y s t e m v a r i a b l e si sr e a l i z e d av a r i o u so fs t a b l ep e r i o d i co r b i t sa r eo b t a i n e db yp r o p e r l ya d j u s t i n g p u l s ei n t e r v a l sa n df e e d b a c k c o e m c i e n t a n i m p r o v e dp r e d i c t i o nf e e d b a c k c o n t r o lm e t h o di sp r o p o s e da n du s e di nc h a o ss y s t e m s ， a n dc i r c u i te x p e r i m e n t s ，t h e o r e t i ca n a l y s i sa n dn u m e r i c a l c a l c u l a t i o n p r o v e s i t sf e a s i b i l i t y a n o t h e rd e s i g ns c h e m eo fc i r c u i t sm a k i n gc o u p l e dm a p l a t t i c em o d e li sp r o p o s e di nt h i s p a p e r t h ec i r c u i ts i m u l a t i o n , t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n d n u m e r i c a lc a l c u l a t i o nr e a c h e st h es a m e c o n c l u s i o nr e s p e c t i v e l yt h a tp r e d i c t i o nf e e d b a c ka n dd e l a y e df e e d b a c km a yp e r f e c t l y a n d e f f e c t i v e l yc o n t r o lo n e - w a y a n dt w o - w a yc o u p l e dr i n gm a p l a t t i c e t h i s p a p e r s t u d i e sc h a o s ，h y p e r c h a o s ，a n dc h a o so fs p a t i o - t e m p o r a lb y c i r c u i t e x p e r i m e n t sa n d c i r c u ks i m u l a t i o n , a n du n d o u b t e d l yt h ec o n c l u s i o n sa r ev e r yi m p o r t a n ta n d h e l d f l l lf o rf u r t h e rr e s e a r c h e si ns u c hs u b j e c t s k e yw o r d s ：c h a o s ，h y p e r c h a o s ，s p a t i o t e m p o r a lc h a o s ，c h a o sc o n t r o l ，t h e o r e t i c a l a n a l y s i s ， c i r c u i te x p e r i m e n t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：堑鱼墨日期：丝! 垒旦圣旦 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件 和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制 手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 日期： 指导教师签名：7 隘! 鱼盔 日 期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址； 电话 邮编 引言 一、研究意义 自从上世纪六十年代初，美国气象学家l o r e n z 在研究大气层的热对流问题，发现 “蝴蝶效应”现象后，近半个世纪以来，科学工作者对混沌运动规律做了大量研究工作， 在各个学科领域的诸多系统如物理、机械、电子学、化学 1 7 】甚至在社会和经济学系统 中均己发现混沌现象的存在【8 】。 混沌运动的基本特征是运动轨道的不稳定性，表现为对初值的敏感依赖性，或对小 扰动的极端敏感性，它会降低动力系统的性能，并且限制系统的可操控性，甚至可能带 来各种灾难 9 - 1 2 】，因此，抑制混沌成为控制混沌的一个重要任务，一方面努力消除混沌 的有害性，另一方面充分发挥混沌的可用性，这无疑对混沌的实际应用有着极为重要的 意义。 又由于在保密通讯及信息处理等方面，超混沌具有比混沌更大容量，更好保密性和 更高效率等优点，更加引起了人们的关注。因此，研究超混沌的控制具有重要的实际意 义。 同时，自然界中大量实际系统同时具有空间和时间变量，这些系统的混沌运动即时 空混沌具有无穷多维而且会表现出各种时间和空间的特点，比低维系统的混沌运动具有 丰富得多的内容 9 , 1 3 , 14 】。混沌研究的一个重要起因和原动力，就是人们试图利用对低维 混沌动力学的透彻分析来达到深刻理解高维湍流性质的目的，而时空混沌在小尺寸系统 一端联系着低维混沌，在大尺寸一端过渡到湍流，所以它是建立混沌和湍流之间联系的 理想桥梁。随着混沌控制研究的深入，人们自然期望将低维混沌控制的思想和方法 1 5 - 1 6 】 用于控制更复杂的时空混沌以至湍流系统。即能否用简单的方法控制时空混沌，将系统 驱动到目标模式，时空混沌中包含着极为丰富的周期轨道、空间模式和时空结构；人们 能否通过控制时空混沌在这无穷模式中进行选择，并根据环境的需要进行可控制的模式 转换，在什么条件下可以实现上述控制目标。如对上述问题找到明确的回答，那么时空 混沌和湍流将不再是人们急于回避的一种状态，其包含的无穷无尽的模式和结果将为实 际应用提供巨大的待开发的矿藏。因此，这一领域的研究未知空间广阔，具有更大的理 论价值和应用的潜力。 二、发展概况 1 9 8 9 年胡柏勒( a h u b l e r ) 发表了控制混沌的第一篇文章1 7 l 。1 9 9 0 年奥特( e o t t ) 、 格锐柏基( c g r e b o g i ) 和约克( j h y o r k e ) 提出的控制混沌的思想( o g y 控制) 产生广泛影 响【1 8 】。同年，佩考拉( l m p e c o r a ) 和卡罗尔( t l c a r r o l l ) 提出混沌同步的思想【】9 】，接 着迪托( w l d i t t o ) 和罗意( r r o y ) 完成了控制混沌的实验【2 0 , 2 1 。从此，揭开了混沌控制 研究的序幕，这一方向迅速成了混沌研究领域的热点课题之一f 9 。2 1 ，在众多领域中，如 电子学【1 0 ，瑚、光学口3 】、化学【2 ”、生物学【2 5 】及医学口6 1 的应用研究已经取得一批令人注目 的成果，充分显示了其巨大的应用潜力。 混沌行为千奇百怪，因而，控制混沌的方法也丰富多彩：其中有些是将经典控制理 论和工程控制方法用到混沌控制中，有些是基于混沌运动的特点而特有的控制手段。大 体分为反馈控制和非反馈控制。简单的理解，反馈控制就是利用系统的输出信号来调节 自身，以达到某种预期的目标，一般来说被稳定的周期轨道是原系统混沌吸引子中的某 条不稳定周期轨道，此类方法如：延迟反馈法，预测反馈法，比例脉冲法等。而非反馈 控制则是将系统以外的信号注入到系统中，驱使系统达到某个周期态，但此周期态已是 原系统完全被改变的一个新状态，此类方法如周期驱动法，周期拍法，相空间压缩法等。 超混沌系统由于存在不止一个正的l y a p u n o v 指数a ( f - 1 , 2 ) ，所以就会对初始条 件在多个方向上高度敏感，对于这样的系统控制起来就不如低维混沌系统容易控制。时 空混沌具有无穷多维，所以控制起来也不易。对于这两种情况，一般或者直接把控制低 维混沌的方法沿用，或者在原有方法的基础上进行改进。 本文将从以下几个方面开展对混沌、超混沌、时空混沌控制的研究工作： 1 、介绍利用p s p i c e 仿真平台实现连续混沌系统的延迟反馈控制的方法：用电路实验实 现对离散二维超混沌系统的延迟反馈控制，理论分析、数值模拟和电路实验都说明 该方案的有效性： 2 、对离散混沌系统应用脉冲扰动控制方法进行控制，数值模拟和电路实验结果一致， 充分证明该方法的有效性； 3 、基于延迟反馈方法和预测反馈方法提出一种预测延迟反馈控制方法，而且应用于离 散混沌系统中，理论分析、数值模拟和电路实验结果一致，充分说明该方法的可行 性： 4 、将预测反馈控制方法应用于格点位置为二维离散系统的时空混沌系统，理论分析、 数值仿真和电路仿真结果吻合，从而验证其有效性； 5 、将延迟反馈控制方法应用于格点位置为一维离散系统的时空混沌系统，从理论分析、 数值仿真和电路仿真几方面，验证其有效性。 第一章连续混沌及离散超混沌系统的延迟反馈控制 反馈控制方法的基本思想和做法是：将系统输出信号直接或者通过某种组合之后回 送给系统本身，利用反馈信号的调制或控制作用使得系统的运动状态从混沌态转变成周 期态，或稳定住混沌和超混沌中的某条不稳定的周期轨道。一般所讨论的反馈信号都是 以差信号的形式注入系统中的，如七( x 。一x 。) 或k ( x ( t ) 一x 。( f ) ) 和( z 。一x 。) 或 k ( x ( t f ) ) 一z ( ) 。其中，前两式中z 。和x 。表示待控制的目标态( 预先己知) ，可见该 控制是以已知目标轨道为前提的。目标轨道的确定需要对已有数据进行大量的采集和分 析。在一些实际问题中，实验并不能多次重复，混沌控制却需要即时地进行，这样，不 稳定的目标轨道就难以确定，所以在本文，我们采用后两式表示的变量延迟反馈( 简称 d f c ) 控制法，它直接利用测量数据进行反馈操作，使系统在自动寻找原混沌系统不稳 定周期轨道的同时实现混沌控制。由于引入延迟项，对于连续系统来说相当于将原来有 限维的系统转化为无限维系统，而对于离散系统则在原来的维数上增加一维。 1 1 变量延迟反馈法控制连续混沌系统的仿真实验 对一般非线性连续自治混沌系统 x = f ( x ( r ) ) 采用d f c 法，其控制系统的状态方程可写成； x = j ( x ( f ) ) + k x ( t r ) 一z p ) 运用d f c 法控制混沌，恰当地选择延迟时间t 和反馈系数k 这两个控制参数至关重 要。实际上，混沌系统引入延迟反馈项，已将原系统转变为一个延迟系统，这个系统具 有无穷维，适当地调整，和k 的值，使得原系统混沌吸引子中的不稳定周期轨道被稳定 住，这也相当于d f c 项存在的条件下，延迟系统出现稳定的周期轨道，从而可以利用 分析延迟系统产生h o p f 分岔( 支) 的方法来确定：和k 的关系，文献【2 7 j 提出了在用d f c 法控制混沌的情况下确定其控制条件的一般分析方法。这里我们在自行设计的三阶连续 混沌电路的基础上，利用文献【2 7 】提出的分析方法，从理论上给出实现单变量线性延迟反 馈控制时。和t 的关系，并用电路仿真证实了理论分析的正确性和有效性。 1 1 1 连续光滑混沌电路的实现 三阶连续混沌电路如图1 1 所示( 虚线框部分除外) ，电路的状态方程如下 图1 1 连续光滑混沌及控制电路图 粤：击呼rv 1 吨) 言2 丽( _ h 叫：) i d v 2 = 去( v ，_ v 3 一i rv ：)i 2 面( ”t 叫s i ”：) 霉：上芦。，+ g ( ，) 】 出r c r ，1 。 2 0 16 10 净0 5 j 口口 0 f i 1 n 15 1口 12 v l ，v 图1 2 连续光滑混沌吸引子 其中，g ( v ) = 与芋v ，( v ：一k ) ，它是光滑的非线性函数。 为分析方便，迸一步对方程( 1 1 1 ) 做如下标度变换： b ：即：，v ，：即= 丽t ，童= 磊8 _ x v 2x 2 , a l = 砉，4 ：= 鲁，吧= 警，口。= k ， v 】州l 2 v 3 列3 胪丽h2 磊2 百川2 。酉3 一百4 ”1 则方程( 1 1 1 ) 可重新写成 寞= 口l x l x 2 土2 = x l x 3 一2 。2 ( 1 1 2 ) 童3 = 口l x l + a 3 x 3 ( x 2 一日4 ) 取r ：1 0 0 k q ，r 1 = 3 3 0 k f 2 ，r 3 = 5 k f ，c = 3 3 0 p f , v 1 = i v ，r 2 作为系统的可调参量。变换后 的各个口，值分别取d 1 = 0 3 ，口3 = 4 0 ，口4 = 1 0 。数值计算系统( 1 1 2 ) 的l y a p u n o v 指数可 知，在o 0 1 3 0 1 3 1 1 2 3 5 5 1 7 或k 0 5 、n 0 0 _ 口5 10 1 旦 ”l ，v ( b ) 2 p 图1 3 连续光滑混沌电路被控制到周期态时1 ) 2 - v l 的相图 如果我们选择的f 与系统的基本周期有接近的倍数关系并且被稳定的周期轨道的周 期又与f 接近，那么从实验观察到的反馈控制量f ( ，) 的幅值将会很小，图1 4 ( a ) 和( b ) 分别给出当系统被控制到1 p 和2 p 时，f ( f ) 及系统输出量v 。( f ) 的波形图。由图可见，f ( f ) 的幅值显然远小于v ，( r ) 的幅值，这个结果也充分体现了用小的代价获得了大的收 益的小扰动法控制混沌的基本思想。固定上述的f 值而改变_ j ，系统还可以被控制到 其它的周期态( 如4 周期等) ，一般说来出现的周期均为接近f 的整倍数，在这种情况 下实验测得的f ( t ) 幅值将不再是一个小量，我们可以说系统被一个大幅值的反馈信号镇 定住。 图1 4 电路被控制到周期态时，( ，) ( 上) 和v 。( f ) ( f ) 的时域图 1 , 1 4 连续分段线性混沌电路的控制 延迟反馈法不仅能对连续光滑混沌系统进行有效控制，对连续分段线性混沌系统同 样适用。改变图1 1 电路的非线性项，可得用d f c 法控制分段线性混沌的实现电路如图 1 5 ( a ) 所示，其中，电阻马，r 。，r ，二极管d ，及运放4 ，实现分段线性的功能，其它线性 电路部分与图1 1 相似。 图1 5 ( a ) 连续分段混沌及控制电路图图l s ( b ) 分段线性特性1 t t t 线 加如伸。加御枷”仙呻舭加任 日，( _ 净、h 4 2 、 一口 2 4 4 2口246 p l ，v 图1 6 连续分段混沌吸引子 对于非线性电路部分，些v k 坞y 2 + r i 4 一i 兰簧s 时( 为二极管的正向导通压降) ， 即v ：+ 芈时，二极管。截止，( v ：) = 。；否则，当v ： + 芈 时，二极管。导通，厂( v ：) = 托吲，其中( = + 半) 。 设h ( x ) 为单位阶跃函数，即当x 茎0 时，i - i ( x ) = 0 ；当x 0 时，i - i ( x ) = 1 ，则分段 线性函数，( v ：) 可表示为( v ：) = 鲁( u 一) 日( v ：一圪) 。f ( v 2 ) 与v ：的关系特性曲线如 图1 5 ( b ) 所示。由此可得图1 5 ( a ) 电路的状态方程为 鲁= 面1 i rv l _ v 2 ) 小) 堕：1 ( v ，- - v 一一v ，)(18)3 r 1-v3 i 2 丽( ”一百”：) _ 8 鲁= 志( 肌) - v ，) p n 其中，( ，) = 等h p f ) 一q ( 明仍为反馈控制项，k = i a w 是反馈系数，f 为延迟时间。 选取r = 1 0 0 k o ，r l = 3 3 0 k q ，r 2 = 5 m q ，r s = 1 0 k q ，r 4 = 5 2 5 k o ，r s = 8 0 k o ，c = 3 3 0 p f ， v o = 1 2 v ，二极管的正向导通压降p 萨0 6 v 。当r 。= o ( _ j = o ) 即对电路未加控制时，数值 计算方程( 1 1 8 ) 的l y a p u n o v 指数为( 0 0 2 6 5 ，- 0 0 3 8 6 ，一1 3 6 4 2 ) ，有一个为正值，这表明 在此范围内系统是混沌的，此时电路的混沌吸引子如图1 6 所示。利用引文【2 8 】的确定混 沌系统基本周期的方法可知，该混沌电路的基频为4 6 1 k h z 。调整电位器r 。0 ( k 0 ) ， 即对混沌电路施加控制，选择t = 0 2 1 7 m s ，r 。= 1 5 k q ( k = 0 1 5 ) 及t = 0 4 3 4 m s ， r 。= 1 2 k o ( t = o 1 2 ) ，p s p i c e 仿真结果表明t 电路分别被控制到1 周期和2 间期如图 1 ，7 ( a ) 和1 ，7 ( b ) 所示。同样如果我们选择的f 与系统的基本周期有接近的倍数关系 并且被稳定的周期轨道的周期又与f 接近，那么从实验观察到的反馈控制量f “1 的幅值 仍很小，不再赘述。 4 3 2 1 、 o - 1 2 3 ： ； ；- 口 2 ：i ( a ) i p( b ) 2 p 图1 7 连续分段混沌电路被控制到周期态叫v 2 - v 1 的相图 12 变量延迟反馈法控制离散超混沌 对一般的m 维离散非线性系统 x = f ( x 。) 采用d f c 法，其控制系统的状态方程可写成： x 川= f ( x 。) + k x 一x 。 其中k = ( ，k ：，女。) 7 为反馈系数，本文选择二维离散映象系统作为研究对象。 1 2 1 离散超滑沌系统及其电路实现 为了从实验上研究延迟反馈法控制离散超混沌，我们选择具有超混沌特性的离散电 路0 9 1 进行讨论，实验电路如图1 8 所示。 图1 8 二维离散超混沌系统电路 9 这个离散电路系统由模拟电路和离散化连续信号的电路两部分构成。其中，模拟部分主 要由运放( l f 3 5 3 ) 和模拟乘法器( a d 5 3 4 ) 构成，离散部分由采样保持器( l f 3 9 8 ) 构成，两对采样保持器的工作状态分别由反相电压v 。，v ：控制，这样不仅实现了连续信号 的离散化，而且又可实现离散信号的时间延迟。电路的状态方程由下式给出： r0 1 r ， “2 瓦。n 一百虻 ( 1 。一。i ”一万 其中r = 1 0 触，r ，= 1 0 0 鼬，r 2 = 9 1 k a q ，r 3 = 5 硒，月。连续可调。进一步令x 。= “。 = v = 瓦r ，d = 警，6 = 惫，c = i r ，则方程( 1 2 1 ) 简化成 z = 工( 矗，y n ) 2a y ”一d y ： ( 1 2 2 ) y 。+ 1 = ( x 。，y 。) = b x 。+ c y 。 其中d = 0 2 ，b = 1 1 ，c = 0 1 ，a 与r 。有反比关系，因此将它作为可调参数，系统随d 变化 时的l y a p u n o v 指数谱如图1 9 ( a ) 所示，由图可见，当1 3 5 1 ) ，由于需要m 次迭代不易在实验中实现。 本章针对离散混沌系统提出一种预测反馈控制法，采用该方法得到的被控制系统的 维数比延迟反馈法的维数低，实验中易于实现，我们以二维离散混沌系统为例，从理论 上给出系统被控制到不动点和2 周期的解析条件并从数值计算和电路实验上证实理论结 果的正确性和有效性。 3 1 预测延迟反馈控制法原理 考虑二维离散混沌系统 x n + l2 石( x y ) ( 3 1 ) y 。= 正( x 。，y 。) k ，y 。是系统的状态变量，若把系统( 3 1 ) 控制到原混沌系统中不稳定的m 周期轨道，则 系统( 3 1 ) 变为 x “2f a ( x y ) + 一( 5 y ) - - x n _ m + 1 】 ( 3 2 ) y 。+ l = - j ( x 。，y 。) + 女2 l 如( x 。，y 。) 一y “ 限于篇幅，我们只讨论m = l ( 1 p ) ，m = 2 ( 2 p ) 的稳定性控制条件。 当m = l 时，得控制方程为 x “2 ( x 一，y n ) + 屯【石( x n ，y 一) - - x n 】 ( 3 3 ) y = 兀( x 。，y 。) + k 2 【兀( b ，y 。) 一y 。 这时系统( 3 3 ) 变为文献1 5 3 3 1 的预测反馈控制系统，设 ，y ，) 为系统的不动点，在不动 点系统( 3 3 ) 的7 a c o b i a n 矩阵为 ( 1 + 毛) 娶 咖 ( 1 + ：) 晕一_ j ： 卯 ( 3 4 ) 要使系统( 3 1 ) 能被控制到不动点上，则要求以的所有特征根的模都小于1 ，由此可确 定出稳定到不动点时所需系数。，k ：的取值范围。 当m = 2 时，系统( 3 2 ) 变为 x 。l = ( x 。，y 。) + t 【z ( x ny 。) 一w 。 y 2l ( x 。，y 。) + 七2 f a x 一，y 一) 一v ”】 ( 3 5 ) w + 12 x ” v + 1 = y 在不稳二周期( x 1 ，蚶) 处，系统( 3 4 ) 的j a c o b i a n 矩阵为 j 2 = + t ) 篓 戚 + k 2 ) 善 锻 1 0 ( 1 + t 。) 篓 洲 ( 1 + 女：) 筝 洲 o 1 一k l 0 0 一k 2 00 00 卜，蓑。，等吐。 卜：，篆叶蚴善一t ： 1 000 ( ，州n ) l 01o o x 儿， ( 3 6 ) 这里f ：l ，j ：2 或f = 2 ，= 1 ，对于给定的离散混沌系统，只要适当选取。，k 2 使j z 的所 有特征根的模小于1 ，则系统( 3 1 ) 即可被控制到2 周期轨道上。 3 2 控制二维离散混沌系统的稳定性分析 考虑h e n o n 混沌映射系统 x 。+ 1 = d x 。2 + 砂。 ( 3 7 ) y n + 12 x h 当口：1 4 ，b ：0 3 时，系统是混沌的3 ”，其不动点之一为( 。，y ，) = ( o 8 8 4 ，0 8 8 4 ) ，不稳2 周期解为( x ? 1 ，y i l ) = ( 1 3 6 6 ，一0 6 6 6 ) ，( x i ”，y i 2 ) = ( - o 6 6 6 ，1 3 6 6 ) ， 显然，当m = l 时， ，。= l 一2 0 ：拿芝7 一。翟乏d 1 c s - s ， 其特征方程为： 壕 + 0 = ( ( p ( a ) = 刀+ ( 1 7 6 8 + k 2 + 2 7 6 8 k i ) , 2 , + 1 4 6 8 k 2 + 2 4 6 8 k l k 2 0 3 k l 一0 3 = 0 若要求系统可控，则k ，k 2 须满足以下条件 1 1 4 6 8 k 2 + 2 4 6 8 k l k 2 0 3 k i 一0 3 l 0 ( 3 9 ) 1 一( 1 7 6 8