（交通信息工程及控制专业论文）一类非线性波的控制及渐近稳定研究.pdf

西南交通大学研究生博士学位论文第i 页 摘要 控制工程是一个很丰富的学科最优化非线性波的控制工程常常假设可以 得到一个非线性波模型，人们力求优化这些非线性波的性质根剧不同的实际背 景。从控制工程中得到的一些非线性波模型也各不相同例如：某些常微分方程 可以用来描述连续信号波，一些偏微分方程可以用来刻划样本信号和非线性波 这些非线性波产生于数字化系统或水波运动系统在对这些系统进行推理的过程 中，假设它们的输入初值或输入初边值满足一定条件，我们不仅对这些系统的解 很感兴趣，而且也对这些系统解的稳定性和长时间渐近表现感兴趣 从上世纪六十年代开始，在控制工程中，渐近稳定性一致是很活跃的研究领 域之一人们已经很清楚地认识到：原有的控制系统和稳定性理论已经不再适合 去解决当今各种非线性波和许多复杂系统的控制问题为了分析这些控制工程中 的复杂问题，人们使用越来越多的前沿数学技巧和方法，这便导致了非线性控制 系统众多理论的发展。特别是双曲型偏微分方程所代表的线性与非线性波系统的 控制工程，已经被许多学者关注众多学者把这些控制理论推广到了去研究各种 空间( 包括s o b o l e v 空间和古典空间) 中整体解( 时间无穷大) 的存在和渐近稳 定性假设半线性波系统的各种受控参数满足一定假设，对这样的半线性波系统 的控制已经建立了一些理论如果受控的初值或受控的初边值满足一定条件，相 应的非线性波方程在s o b o l e v 空间中的渐近理论可以用来分析自然界中的一些 现象 我们本工作中所讨论的几种和自然现象相关的非线性波在控制工程学中已 经被一些学者关注( 见【1 4 1 7 】) 只是他们得到的非线性波的稳定性和长时间渐 近性结果与本文不一样我们重点在s o b o l e v 空间或古典空间中研究这些非线性 波 本工作的主要目的是；在受控的初值或受控的初边值满足一定条件时，研究 三种不同的广义b o u s s i n e s q 方程和两种非线性波方程整体解的适定性和长时间 渐近稳定性同时，由于本工作研究的广义b o u w i n e b q 方穗与薯导缋性波方程的 第i i 页西南交通大学研究生博士学位论文 解代表了孤立予波。因此本文得到的孤立子波也是渐近稳定的 本工作由六部分组成： 1 给出了本工作的一些研究背景 2 讨论了一类广义b o u s s i n e s q 系统在受控初值条件下解的渐近稳定性，分 析了该b o u s s i n e s q 波的渐近性态 3 研究了一类具有受控初边值的阻尼b o u s s i n e s q 方程整体解的渐近稳定 性，并给出了渐近近似解的计算方法 4 得到了另一类广义b o u s s i n e s q 方程孤立子波的稳定性 5 ：在一类负指数s o b o l e v 空间中，研究了一类阻尼e u l e r - b e r n o u l l i 方程整 体解的稳定性 6 在三维空间中，建立了一类半线性波方程在非球面对称形式下整体解的 渐近理论，并给出了应用 西南交通大学研究生博士学位论文第i i i 页 a b s t r a c t c o n t r o le n g i n e e r i n gi sal a r g es u b j e e t o p t i m a lc o n t r o le n g i n e e r i n go fn o n l i n e a rw a v e so f t e na s s u m e st h a to b t a i n i n gam o d e lo ft h en o n l i n e a rw a v e s y s t e m s i sa v a i l a b l ea n do n ew a n t st oo p t i m i z ei t sb e h a v i o r n o n l i n e a rw a v em o d e l se s t a b l i s h e df r o mt h ec o n t r o le n g i n e e r i n gv a r ya c c o r d i n gt ot h ea p p l i c a t i o n s ：f o r e x a m p l e ，s o m eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eu s e dw h e nm o d e l l i n gac o i l t i n u o u ss i g n a l ，v a r i o u sp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eu s e dt om o d e ls a m p l e d s i g n a l sa n dn o n l i n e a rw a v e sa su s e di nd i g i t a ls y s t e m so rw a t e rm o t i o ns y s t e m s i nr e a s o n i n ga b o u ts u c hs y s t e m sw ea r ei n t e r e s t e dn o to n l yi nt h es o l u t i o n s ，b u t i nt h e i rs t a b i l i t i e sa n dl o n gt i m ea s y m p t o t i cb e h a v i o ru n d e rv a r i o u sa s s u m p t i o n s o ni n p u ti n i t i a lo ri n p u ti n i t i a l - b o u n d a r yd a t a a s y m p t o t i c s t a b i l i z a t i o ni nt h eb r a n c ho fc o n t r o le n g i n e e r i n gh a sb e e nas u b j e c to fa c t i v er e s e a r c hs i n c e1 9 6 0 s o n eo ft h em a j o rm o t i v a t i n g f a c t o r sh a sb e e n t h er e a l i z a t i o nt h a te x i s t i n gt h e o r i e so nc o n t r o ls y s t e m sa n a l y s i sa n ds t a b i l i t y a r ei n a d e q u a t ef o rs o l v i n gm o d e r nd a yp r o b l e m si nn o n l i n e a rw a v e sa n dav a r i e t yo fc o m p l e xn o n l i n e a rs y s t e m s i no r d e rt 0s o l v et h e s ec o m p l i c a t e dp r o b l e m s i nc o n t r o le n g i n e e r i n gs y s t e m s ，c o n t r o l l i n gt h el o n gt i m ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro f n o n l i n e a rw a v e sn e e d sal o to fa d v a n c e dm a t h e m a t i c a lt o o l 8a n dt e c h n i q u e ss o a st oa c h i e v ead e s i r e dg o a l t h e s el e a dt h ed e v e l o p m e n to far i c ht h e o r yo f n o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e m sa n a l y s i s c o n t r o l l a b i l i t yo fl i n e a ra n dn o n l i n e a rw a v e s y s t e m sr e p r e s e n t e db yn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n sh a sb e e n s t u d i e db yan u m b e r o fa u t h o r s t h i sc o n c e p th a sb e e ne x t e n d e dt od i s c u s st h ee x i s t e n c ea n da s y m p - t o t i cs t a b i l i t yo fg l o b a ls o l u t i o n si nt i m ei nv a r i o u sb a n a c hs p a c e s ，w h i c hi n c l u d e s o b o l e va n dc l a s s i c a ls p a c e s s o m ea p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t yo fs e m i l i n e a rc o n - t r o ls y s t e m su s i n gf u n d a m e n t a la s s u m p t i o n so nt h e8 y 8 t e 嘲c o m p o n e n t sh a v e 第i v 页西南交通大学研究生博士学位论文 b e e ne s t a b l i s h e d t h ea s y m p t o t i ct h e o r yi nc o n t r o le n g i n e e r i n gf o rh y p e r b o l i c p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si ns o m es o b o l e vs p a c e sw i t hs e v e r a lc o n t r o l l e di n i t i a lo ri n i t i a l - b o u n d a r ya s s u m p t i o n si sk e yt oa n a l y z et h ep h e n o m e n ae x i s t i n gi n n a t u r e i ti sw o r t ht on o t i c et h a ta l lt h en o n l i n e a rw a v e sc o n s i d e r e di ut h i sp a p e ra r e r e l a t e dt os o m en a t u r ep h e n o m e n at h a ts o m ee x p e r t sh a v er e s e a r c h e di nt h ef i e l d o fc o n t r o le n g i n e e r i n g ( s e e 【1 4 1 7 】) o u rr e s u l t sa b o u t t h es t a b i l i t ya n dl o n gt i m e a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fn o n l i n e a rw a v e sa r ei ns o m e s e n s ed i f f e r e n tf r o mt h e i r s w ec o n s i d e rt h en o n l i n e a rb o n s s i n e s qw a v e sa n do t h e rt w on o n l i n e a rw a v e si n t h es o b o l e vs p a c eo rc l a s s i c a ls p a c e t h ep u r p o s eo ft h ep r e s e n tw o r ki st oo b t a i ns o m er e s u l t si n v o l v i n gt h e w e l l p o s e d n e s sa n da s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fg l o b a ls o l u t i o n sf o rt h r e eg e n e r a l i z e d b o u s s i b e s qe q u a t i o n sa n d t w on o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n sw i t hs o m ec o n t r o l l e da s - s u m p t i o n so nt h ei n i t i a ld a t ao ri n i t i a l - b o u n d a r yd a t a a l s o ，i t i sd u et ot h e f a c tt h a tt h es o l u t i o n so fg e n e r a l i z e db o u s s i n e s qe q u a t i o n sa n dn o n l i n e a rw a v e e q u a t i o n sd i s c u s s e di nt h ew o r kr e p r e s e n tt h es o l i t a r yw a v e s ，w eh a v eg o tt h a t s o l i t a r yw a v e so b t a i n e di nt h ep a p e ra r es t a b l e t h i sw o r kc o n s t i t u t e sm a i n l ys i xp a r t s 1 ：t h eb a c k g r o u n da n d s i g n i f i c a n c eo f t h i sp r o j e c ta r eg i v e n 2 ：t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fc o n t r o l l e di n i t i a lv a l u e sf o rag e n e r a l i z e d b o u s s i n e s qe q u a t i o ni sg i v e n t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h i sb o u s s i n e s qw a v e i sa n a l y z e d 3 ：w eh a v ed i s c u s s e dt h eg l o b a l l ys t a b i l i t yo fac o n t r o l l e di n i t i a l - b o u n d a r y p r o b l e mf o r t h ed a m p e db o u s s i n e s qe q u a t i o n t h em e t h o d st oc a l c u l a t et h e a s y m p t o t i cs o l u t i o ni se s t a b l i s h e d 4 - t h es t a b i l i t yo fs o l r a r yw a v e sf o rag e n e r a l i z e db o u s s i n e s qe q u a t i o ni s o b t a i n e d 西南交通大学研究生博士学位论文第v 页 5 ：w eh a v eg o tt h a tt h es t a b i l i t yo fg l o b a ls o l u t i o nf o rad a m p e de u l e r - b e r n o u l l ie q u a t i o ni nam i n u si n d e xs o b o l e v s p a c e 6 ：t h ea s y m p t o t i ct h e o r e mo f g l o b a ls o l u t i o n sf o rs e m i l i n e a rw a v ee q u a t i o n s w i t hn o n s p h e r a ls y m m e t r i cf o r m si nt h r e es p a c ed i m e n s i o n si se s t a b l i s h e d a sa n a p p l i c a t i o no f t h ea s y m p t o t i ct h e o r y ，as p e c i a lw a v ee q u a t i o ni sa n a l y z e di nd e t a i l k e yw o r d s ：s t a b i l i t yo fb o u s s i n e s qw a v e s ，c o n t r o le n g i n e e r i n g ，s o b o l e v s p a c e ，c l a s s i c a ls p a c e ，s o l i t a r yw a v e s ，w e l l - p o s e d n e s s ，g l o b a l l ys t a b i l i t y , a s y m p - t o t i cf o r m u l a 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论 文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权西南 交通大学可以将本学位的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编 本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保适用本授权书。 学位论文作者签名：抟年 指导教师签名 日期t w 弋年亨司日 日期t 加4 年瑚拍 l 西南交通大学 学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出 贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本文完全意识到本声 明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下 1 在一个s o b o l e v 空间中，对一类受控初值条件，得到了一类广义 b o u s s i n e s q 方程整体解的适定性及孤立子波的长时间渐近稳定性。 2 对一类受控初边值条件，在古典空间中，得到了一类d a m p e d b o u s s i n e s q 方程整体解的适定性及渐近近似解的稳定性，并指出了 这类渐近近似解按指数衰减而得到控制。 3 关于一类非线性b o u s s i n e s q 方程，得到了b o n ys a e h e s 假说相对应 的一个结果：即靠近孤立子波的初值条件可以导致或生成某些非线性 方程的整体解。 4 对一类受控初值条件，得到了一类e u l e r - b e r n o u l l i 方程整体解在负 指数s o b o l e v 空间中的存在唯一性及稳定性。 5 在古典意义下得到了一类半线性波动方程整体解的适定性及渐近 近似解的计算方法。并指出了渐近近似解的稳定性 湫黼懿蔽铌扣 吼例叶年n7 日 西南交通大学研究生博士学位论文第1 页 c h a p t e r 1 p r e l i m i n a r y 1 1b a c k g r o u n d a n d s i g n i f i c a n c e i nr e c e n ty e a r s ，t h et e c h n o l o g i c a lr e v o l u t i o nw h i c hh a so c c u r r e di nt h ef i e l d s o fc o n t r o le n g i n e e r i n ga n di n f o r m a t i o ns c i e n c e sh a sl e dt ot h ed e v e l o p m e n to f t h en o n l i n e a rw a v ea n a l y s i s t h et r a d i t i o n a l l ys t r o n gt e m p t a t i o nt o ”l i n e a r i z e e v e r y t h i n g a n d t ot r e a tn o n l i n e a r i t i e sa 8d i s t u r b a n c e st ot h el i n e a ri n t e r p r e t a t i o n o fn a t u r ei sn o wo f t e nd i s c a r d e di nf a v o ro fat r u l yn o n l i n e a rd e s c r i p t i o no ft h e w o r l d n o n l i n e a rm o d e l si nc o n t r o le n g i n e e r i n ga r en o wu s e db ye n g i n e e r sa n d m a t h e m a t i c i a n sa l la r o u n dt h ew o r l d ，a n da r e a so fc o n t r o le n g i n e e r i n gs u c ha st h e c o n t r o lo fn o n l i n e a rw a v e sh a v eb e e nr e v i v e db yan e w - b o r ni n t e r e s t a tt h es a m e t i m e ，n e we x c i t i n gr e s u l t sh a v eb e e n a c h i e v e di nt h eu n d e r s t a n d i n ga n dd e t e c t i o n o fn o n l i n e a rp h e n o m e n a o nt h eo n eh a n d ，o n ec h a l l e n g eo ff u t u r ew o r k sf o r c o n t r o le n g i n e e r i n gm a yb et oa n a l y z es t a n d a r dm e t h o d su s i n gt h et e c h n i q u e so f n o n l i n e a rd y n a m i c s o nt h eo t h e rh a n d ，ac o n t r o le n g i n e e r i n ga n a l y s i so fm o d e r n m e t h o d ，a d d r e s s i n gi s s u e ss u c ha sr o b u s t n e s sa n dn o n l i n e a rw a v e s ，i sd e v e l o p i n g o n l yt h e np e r h a p s c a l la p r o p e rc o m p a r i s o n b em a d eb e t w e e ns t a n d a r da n dn o n - s t a n d a r dm e t h o d s i na w o r d ，e n g i n e e r sw o r k i n g i nt h ef i e l do fc o n t r o le n g i n e e r i n g f e e ls t r o n gt oe s t a b l i s hm a n yn e w p e r t u r b a t i o nm e t h o d s a n da n a l y s i st o o l st od e a l h d 曲p r o b l e m si nn o n l i n e a rp h e n o m e n a h e n c e i ti se x t r e m e l yi m p o r t a n tt of i n d a n dd e v e l o ps o m em a t h e m a t i c a lm e t h o d st oa n a l y z et h ec o r r e s p o n d i n gp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si no r d e rt ok n o wt h eb e h a v i o ro fn o n l i n e a rw a v e s o n eo ft h ee a r l i e s tr e c o r d e do b s e r v a t i o n so fan o n l i n e a rw a v ew 够d i s c o v e r e d b yj o h ns c o t tr u s s e l l ，再s c o t t i s he n g i n e e rb a c ki n1 8 3 4 ( # b e 【l 】) w h i l er i d i n g 第2 页西南交通大学研究生博士学位论文 h i sh o r s eb e s i d e st h eu n i o nc a n a lh eo b s e r v e dab o a t s t o ps u d d e n l y , t h ew a t e r a r o u n dt h ep r o wo ft h eb o a ta c c u m u l a t e di n t oa l a r g ew a v ea n dr o l l e df o r w a r d a l o n gt h ec a n a l h ef o l l o w e dt h i sw a v ef o rs e v e r a lm i l e so nt h eh o r s eb a c ku n t i l h ee v e n t u a l l yl o s ti ti nt h ew i n d i n g so ft h ec a n a l i tw a sm a n y y e a r sl a t e ri n1 8 7 2 t h a tb o u s s i n e s q ( s e e 【1 ) d e r i v e da ne q u a t i o nf o rs u r f a c ew a t e r ，t oe x p l a i nt h i s p h e n o m e n a t h i s i sj u s to n ee x a m p l eo fn o n l i n e a rw a v e s s i n c e1 8 9 5 ，m a n ye n g i n e e r sa n ds c i e n t i s t sh a v ed i s c o v e r e dal o to fn o n l i n e a r w a v e si nt h ed y n a m i c a lm e d i a s o m eo ft h e s en o n l i n e a rw a v e sc a nb ed e s c r i b e d b ye x t e n d e db o u s s i n e s qe q u a t i o n s 4 ，w h i c hw o u l dp l a yaf u n d a m e n t a lr o l en o t o n l yi no p t i m a lc o n t r o lb u ta l s oi nb r o a d e rc o n t e x t ，f o re x a m p l e ，i nat h e o r yo f s o l i t a r yw a v e sf o rn o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e m s m a n ye n g i n e e r sw a n tt op r o b et h e d y n a m i cs t a b i l i t ya n di n s t a b i l i t yo fs o l u t i o n s ( s o l i t a r yw a v e s ) o f n o n l i n e a rb o u s s i - n e s qc o n t r o ls y s t e m s ，s u c ha sh a m i l t o n se q u a t i o n so rn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s ， d e s c r i b i n gt h ep r o p a g a t i o no fs m a l la m p l i t u d e ，n o n l i n e a rl o n gw a v e si ne l a s t i c c o m p o s i t em e d i a ( s e e 3 1 8 】) i ns h a l l o ww a t e r ，t h e r ea x et w ot w o - p a r a m e t e rf a m - f l i e so fs o l i t a r yw a v e s ：f a s ta n ds l o w t h es t a b i l i t yo fs o l i t a r yw a v e si ns h a l l o w w a t e rh a sb e e nr e s e a r c h e do nt h eb a s i so fan u m e r i c a lo ra s y m p t o t i cs o l u t i o n s o ft h ea s s o c i a t e dc a u c b yp r o b l e m so ri n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rt h e m o d e lp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h es o l u t i o n so fn o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e m s g i v en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h el o c a le x i s t e n c eo faf e e d b a c ko r f e e d f o r w a r dl a wi nt e r m so ft h es o l v a b i l i t yo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n sa r et h en o n l i n e a ra n a l o g u eo ft h e ”s y l v e s t e r ”e q u a - t i o n so fl i n e a rc o n t r o ls y s t e m sa n di nt h i ss e n s er e p r e s e n ta ni n i t i a t i o no ft h e s t u d yo fn o n l i n e a re n h a n c e m e n t so ft h ei m p o r t a n ts e t so fe q u a t i o n sa r i s i n gi n n o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e m sw h i c ha r ec e n t r a li nc o n t r o le n g i n e e r i n gf 1 9 - 2 6 1 w h i l e n o n l i n e a rb o u s s i n e s qe q u a t i o n so rn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n sa r eas p e c i a lc a s eo f e q u a t i o n sw h i c hh a v eb e e nu s e dq u i t eab i ti nc o n t r o le n g i n e e r i n g 口c o n s t r u c t i n g 西南交通大学研究生博士学位论文第3 页 a n d o b t a i n i n gt h e i rg l o b a lo rl o c a ls o l u t i o n si ns o m eb a n a c h ，h i l b e r to rc l a s s i c a l s p a c e sa r ek e yt oe x p l a i ns o m en o n l i n e a rc o n t r o l l e dp h e n o m e n a t h es t r u c t u r e o ft h ec o n t r o l l e rd e r i v e df r o mt h es o l u t i o n so ft h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n si s ，o f c o u r s e ，q u i t ea m a z i n gi na n a l y z i n gt h en o n l i n e a rw a v e s t h i ss i m i l a r i t yl e a d st o t h eq u e s t i o n sa st ow h e t h e rt h e r ee x i s t ss o m e g e n e r a l i z e db o u s s i n e s qe q u a t i o n s t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n dt h ew e l l - p o s e d n e s sf o rn o n l i n e a rw a v ee q u a - t i o n sa r ea t t r a c t i v ea n dc h a l l e n g i n gi nc o n t r o le n g i n e e r i n g t h e yb r i n gt o g e t h e r m a n yb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s ，s o m eo fw h i c ht o u c ho nd e e pi d e a s t h et h e o r y ， n e v e r t h e l e s s ，r e l a t e st oe v e nm o r ea r e a so fm a t h e m a t i c s ，a n dh a se v e nm o r ea p - p l i c a t i o n st ot h ei n f o r m a t i o ns c i e n c ea n dp a y s i c a ls c i e n c e s i th a sa ni n t e r e s t i n g h i s t o r y a n d p r o m i s i n gf u t u r e ( s e e 【1 8 】) t h ed e v e l o p m e n to f s o l i t a r yt h e o r y , w h i c h i t s e l fs t a r t e dl i f ei nt h ec o n t e x to fw a t e rw a v e s ，h a sc o m p l e t e l yt r a n s f o r m e dm a n y a s p e c t so fm a t h e m a t i c a ld e s c r i p t i o no fn o n l i n e a rw a v ep r o p a g a t i o n ( 4 0 ) i n d e e d ， t h ew o r ko fs o m ee n g i n e e r sw h i c hg a v eu sag r a n dt i t l ef o rs o l i t a r ya n da s y m p - t o t i ct h e o r y , i sam a j o ra c h i e v e m e n to ft w e n t i e t h - c e n t u r ym a t h e m a t i c s ( s e e 4 2 ) al o to fr e s e a r c ho fn o n l i n e a rw a v e si ne n g i n e e r i n gw a ss t i m u l a t e db ya p h y s i c a l p h e n o m e n at o g e t h e rw i t hs o m es u r p r i s i n gc o m p u t a t i o n a lr e s u l t s t h i si s a ne x - a m p l e o fh o wn o n l i n e a rw a v e sa n da s y m p t o t i ct h e o r yl e a dt ot h ed e v e l o p m e n to f o p t i m a lc o n t r o lt h e o r yi nc o n t r o le n g i n e e r i n g n o n l i n e a rw a v e sc a nb ed e s c r i b e db yv a r i o u sp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a s s o c i a t e dw i t hv a r i o u si n i t i a lo ri n i t i a l - b o u n d a r yc o n d i t i o n so ro t h e rc o n t r o l l e d d a t a t h ep r o p e r t i e so ft h ec o r r e s p o n d i n gn o n l i n e a rw a v e sa r es u b s t a n t i a ld i f - f e r e n t h o wt oa p p l yc o m p l e xm o d e r nm a t h e m a t i c a lt e c h n i q u e st oc o n t r o la n d h a n d l et h e s en o n l i n e a rw a v e sh a sb e c o m eam a j o rc o n c e r nt os c i e n t i s t s f o re x - a m p l e ，al o to f r e s e a r c hw o r ks h o u l dh a v eb e e nd o n et oa n a l y z ea c o m p o s i t em e d i a c o n s i s t i n go fe l a s t i cm a t e r i a l si nw h i c hw a v e sc a i lp r o p a g a t e 。w h