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基于混沌时间序歹l j 的心电数据分析中文摘要 摘要 随着经济的发展，人们的生活方式和饮食习惯发生了不同程度的改变，使得心血 管疾病的发病率与死亡率日益增高，成为了人类健康的头号大敌。而心脏又是一个极 其复杂的生理系统，从时间序列分析的观点来看，它是一种典型的非线性时间序列。 所以，对心电数据的分析不能采用传统的线性方法，鉴于此，本文采用了混沌时间序 列分析法。 本论文首先简要的介绍了混沌动力学的基本原理、特性，详细介绍了基于混沌时 间序列心电数据分析用到的几种算法：如功率谱、相空间重构、关联维数、l y a p u n o v 指数。用此算法对健康人、室性失常病人和束支传导阻滞病人的多例数据样本进行分 析。功率谱分析表明：所有人的e c g 功率谱图结构都很相似，均是连续的频谱，具有 细致的尖峰结构，这说明心电信号不是简单的噪声信号，也不是周期信号，而是有着 确定性规律的信号；e c g 的相空间重构、关联维数和l y a p u n o v 指数的计算表明：心脏 系统的运动是混沌的，健康人心脏系统的混沌最强，而病态的心脏系统混沌性则减弱 了，各种不同病态下心脏混沌性的强弱也不一样。 实验结果表明：e c g 的混沌动力学参数可以作为评价心脏系统健康状态的有效指 标，可以辅助心脏疾病的早期诊断。希望能为早期的临床诊断提供一些新的方法。 关键词：混沌时间序列，心电数据，功率谱，相空间重构，关联维数， l y a p u n o v 指数 作者：丁娟 指导老师：曲波 a b s t r a c t a l o n gw i t he c o n o m i cd e v e l o p m e n t ，p e o p l e sl i f e s t y l ea n dd i e t a r yh a b i t sh a v em a d ea v a r yd e g r e ec h a n g e ，s ot h ec a r d i o v a s c u l a rd i s e a s e si n c i d e n c er a t ea n dm o r t a l i t yr a t eh a v e b e e ni n c r e a s e dg r a d u a l l y ，w h i c hh a v eb e c o m et h en u m b e ro n em o r t a le n e m yo fh u m a n h e a l t h w h i l et h eh e a r ti sa ne x t r e m e l yc o m p l e x p h y s i o l o g i c a ls y s t e m ，l o o kf r o mt h et i m e s e r i e sa n a l y s i s sv i e w p o i n tw h i c hi sat y p i c a le x a m p l eo fn o n l i n e a rt i m es e r i e s t h e r e f o r e ， w ec a l ln o ta n a l y s i se c gw i t hc o n v e n t i o n a ll i n e a rm e t h o d i nv i e wo ft h i s ，t h i sp a p e r a d o p t e dc h a o t i ct i m es e r i e sa n a l y s i s i nt h i sp a p e r , f i r s t , im a k eab r i e fp r e s e n t a t i o na b o u tt h eb a s i c p r i n c i p l e sa n d c h a r a c t e r i s t i co fc h a o t i cd y n a m i c s ，a n dt h e nm a k ead e t a i l p r e s e n t a t i o no fs e v e r a l a l g o r i t h m s b a s e do nc h a o t i ct i m e s e r i e s ，s u c ha s p o w e rs p e c t r u m ，p h a s e s p a c e r e c o n s t r u c t i o n , c o r r e l a t i o nd i m e n s i o n , l y a p u n o ve x p o n e n t u s et h e s em e t h o d st oa n a l y z e h e a l t h yp e o p l e ，p r e m a t u r ev e n t r i c u l a rc o n t r a c t i o na n db u n d l eb r a n c hb l o c kp a t i e n t s p o w e r s p e c t r a la n a l y s i ss h o wt h a ta l lo ft h ep o w e rs p e c t r u mo fe c ga r ei nc o m m o mw i t h , w h i c h h a v ec o n t i n u o u ss p e c t r u mw i t hp e a k ，s oe c gi sn o tn o i s es i g n a ln o rp e r i o d i cs i g n a l ，b u ta s i g n a l 、玑t hs o m ec e r t a i nr u l e s ；b e s i d e sp h a s e - s p a c er e c o n s t r u c t i o n , c o r r e l a t i o nd i m e n s i o n a n dl y a p u n o ve x p o n e n ts h o wt h a tt h em o v e m e n to fh e a r ts y s t e mi sc h a o t i c ，h e a l t h yh e a r t i st h em o s tc h a o t i cs y s t e m ，s i c kh e a r ts y s t e m sc h a o t i ci sw e a k ，a n dt h ec h a o so fv a r i o u s p a t h o l o g i c a lh e a r ti sd i f f e r e n t t h er e s u l t ss h o w e dt h a tt h ec h a o t i cd y n a m i c sp a r a m e t e r so fe c gc a i lb eu s e da sa i l e f f e c t i v ei n d i c a t o rt oe v a l u a t eh e a r ts y s t e m sh e a l t hs t a t e ，a s s i s t e dt ot h ee a r l yd i a g n o s i so f h e a r td i s e a s e ，h o p e dt os u p p l ys o m en e wm e t h o d st oe a r l yc l i n i c a ld i a g n o s i s k e yw o r d s ：c h a o t i ct i m es e r i e s ；e c gd a t a ；p h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o n ；c o r r e l a t i o n d i m e n s i o n ；l y a p u n o ve x p o n e n t n w r i t t e nb y ：d i n gj u a n s u p e r v i s e db y ：q ub o 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体己经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：二骅日 期：2 翌正业 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 组 日 期：塑堕：皇! ! ! 导师签名：遭逸 e t 期： 2 1 1 星：! ! 基于混沌时同序列的心电数据分析 第一章绪论 第一章绪论 1 1 混沌理论的发展简史 混沌科学是随着现代科学技术的迅速发展，尤其是在计算机技术的出现和普遍 应用的基础上发展起来的新兴交叉科学。在现代的物质世界中，混沌现象无处不在， 大至宇宙，小至基本粒子，无不受混沌理论的支配。混沌科学是正在蓬勃发展的非 线性科学的重要组成部分，它的任务是揭示具有混沌特征的非线性系统的规律，并 解决实际问题。混沌理论基本思想起源于2 0 世纪初，作为非线性科学的另一主体， 与在无穷多自由度的复杂系统中可以促成规整性的孤子遥相呼应，从另一个极端向 人们展示了在微观和宏观两个层次上，由确定性方程描述的简单系统可以出现貌似 无规则的运动。这一发现进一步动摇了牛顿以来占主导地位的“机械决定论”。混 沌物理学家约瑟夫福特曾经预言，混沌理论对科学思想的影响，最终将与相对论 和量子力学相媲美，被称为2 0 世纪物理学上的“第三次革命 。他说：“相对论消 除了关于绝对空间与时间的幻想；量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的 梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测性的幻想。 2 0 世纪的二三十年代，gd b i r k h o f f 紧跟p o i n c a r e 的学术思想，建立了动力系 统理论的两个主要研究方向：拓扑理论和遍历理论。1 9 6 0 年前后，非线性科学的研 究得到了突飞猛进的发展，美国气象学家洛伦兹( l o r e n z ) 在1 9 6 3 年研究天气预报 模型时，用计算机求解一个确定的三维微分方程，发现当方程中的参数取某个合适 的值，方程的解是非周期的且具有随机性，即由确定性方程得出了随机性的结果， 这与几百年来统治人们思想的拉普拉斯确定论相违背( 确定性方程得出确定性结 果) 。1 9 7 5 年，美国数学家约克( y o r k e ) 和李天岩提出“周期3 蕴含混沌 的思想 【1 1 ，被认为是对混沌的第一次正式表述，c h a o s 一词也自此被正式使用，后来，他 们的观点在很多方面得到了推广。1 9 7 6 年，r m n a y 在研究一维平方映射时，发 现非常简单的一维迭代映射也能产生复杂的周期倍化和混沌运动 2 1 。1 9 7 7 年，第一 次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌科学的诞生。在混沌理论的发展过程中， 各种混沌现象不断被发现，各种分析方法和判据也相继被提出。 基于混沌时间序列的心电数据分析第一章绪论 2 0 世纪八十年代全球掀起了一股“混沌热 。许多学者将混沌学研究与几乎所 有的自然科学交叉，并开始向社会经济领域渗透。1 9 8 1 年，莫斯科国立大学的 a l e k s e e vy u k o b s o n 教授将符号动力学这一概念应用于混沌研究领域之中。19 8 4 年， 我国著名科学家郝柏林编纂的混沌一书在新加坡出版，为混沌科学的发展起到 了一定的推动作用。1 9 8 6 年，我国科学家徐京华提出三种神经细胞的复合网络，并 证明它存在混沌而且得到与人脑脑电图相似的输出。现在，混沌与其它科学相互渗 透，在数学、化学化工、气象学、生理学、音乐和艺术等众多领域均得到了广泛的 应用，并且拓展到工程技术领域。 线性系统的理论已日趋完善，过去人们为了用线性理论来解决众多的工程问 题，常常以忽略实际系统的各种非线性因素为代价，或只考虑弱非线性问题。随着 科学技术的发展，线性化理论日益显示出它的局限性，所以近年来以混沌理论为代 表的非线性理论得到了迅猛发展。尤其在一些复杂的生命科学中混沌理论更是发挥 着无可限量的作用，对其混沌特性的研究能更加深刻地认识和理解事物的本质【3 】。 1 2 心电数据的研究背景及意义 近几十年来，随着国民经济的迅速发展和人民生活水平的不断提高，各地区居民 的生活方式和饮食习惯都发生了不同程度的改变，使得心血管系统疾病的发病率与死 亡率日益增高，已经成为人类健康的头号大敌1 4 。在美国，大约有6 0 0 0 万人左右患有 不同种的心脏和血管疾病，每年有超过4 0 万的人死于冠心病，心脏疾病导致的死亡人 数已经占到了所有死亡人数的一半以上；在芬兰，心脏疾病的发病率达到了每1 0 万人 中有9 1 5 人；在苏格兰，每1 0 万人中有2 5 6 人患有心脏疾病；在中国每1 0 万人中有7 6 0 人患有心脏疾病。这说明我国已是心血管病高发国，迫切需要加强预防保健。心血管 疾病种类繁多，例如：病毒性心肌炎、风湿性心脏病、高血压、高血脂、冠心病、早 搏、房颤等等，而且病因也很复杂。因此，在普及心血管疾病防治基础知识的同时， 应加强研究心脏处于不同病变状态下的生理电特性，特别是通过体表可测量电位无创 的检测心脏的病变情况，研制相关的医学仪器，协助医生进行临床诊断。 在对生理电信号的研究中，心电图仪、脑电图仪等现代医疗设备和系统的研究己 经成为当今热点，并且已经达到了一个较高的水平。从1 9 0 3 年e i n t h o v e n 将心电图 ( e l e c t r o c a r d i o g r a m ，e c g ) 技术应用于临床以来，鉴于e c g 检查对人无损伤的优点而得 2 基于混沌时间序列的心电数据分析第一章绪论 到了广泛采用，且为临床医学积累了丰富的e c g 诊断知识，而人们对心电图的研究也 一直没有停止。其持续不断的发展已为人类的生命与健康，为生物学、临床医学做出 了巨大贡献，成为临床上不可缺少的、最重要的常规检查技术之一。近年来，心血管 疾病的发病率和死亡率逐年上升，对心脏做定期检查，及早发现隐患，已成为大多数 人尤其是心脏病患者的需要。心电图作为检查心脏病的常规和必要的手段，是医生诊 断心脏疾病的得力助手，但病态心电图种类繁多、变异极大，同种病理的不同患者的 心电图甚至同一患者本身的心电信号都存在着很大的差异，因此要对其做出准确的判 断，医生必须具有丰富的知识和大量临床经验。此外，若医生长时间从事大量图形的 识别工作，极易疲劳，容易漏检、出错，因而我们需要寻求一种新的研究方法来对心 电信号进行分析。 早在1 9 8 8 年，b a b l o y a n t zz 和d e s t e x h ea 就证明了e c g 信号不是一个单纯的 周期信号，他们认为，e c g 是一个混沌信号，e c g 动力学系统是一个典型的混沌 动力学系统【5 】。混沌是当今举世瞩目的前沿课题及学术热点，它揭示了自然界及人 类社会中普遍存在的有序性与无序性的统一、确定性与随机性的统一、平衡与非平 衡的统一、稳定性与不稳定性的统一等等，拓宽了人们的视野，加深了对客观世界 的认识。实际上，混沌作为非线性动力学的分支之一，它的起源还要追溯到生物学， 因为生物体本身就在不同层次上表现出高度的非线性，这就决定了只靠简单的线性 方法去解决生命科学问题已不可能，至此，非线性方法被引入并应用于生命科学的 研究中，它涵盖了自然界及社会科学等各个领域，其持续的发展将有力地促进几乎 所有学科和技术领域的发展。所以说运用混沌理论分析心电信号对心脏疾病的早期 诊断具有非常重要的意义，必将促进心电学研究的进一步发展。 1 3 混沌理论在心电数据分析中的应用 2 0 世纪8 0 年代，在对心脏器官动力学行为研究时的惊人发现催生了一种新的 生理学技术的发展，即非线性的生理学研究。以混沌理论为基础，美国和加拿大的 几个研究小组发现了心脏的动力学特性。其中蒙特利尔m c g i l l 大学的生理学家 g l a s s 和哈佛医学院g o l d b e r g e r 的研究工作受到国际上的广泛关注，亦在国内学术 界产生很大的影响 6 - 9 1 。他们在对心电图定量测定的过程中发现，正常和动态的心脏 都有其明显的动力学特性，即尝试用非线性动力学的方法对其进行对比研究分析。 3 基于混沌时间序列的心电数据分析第一章绪论 得出的结论是：传统心脏病学在不规则的心搏方面做了错误的概括，即用心脏搏动 表面上的分类模糊了深刻的原因。 对于健康心脏临床医生一般会在病历记录上写“心律齐”或“律整，然而我们 仔细测量一段时间内的心电图，会发现健康的心脏几乎没有两处p p 间隙是完全相等 的，所以应该说是“绝对不齐 才是健康的【1 0 1 。1 9 8 9 年，p o o l 等也在s c i e n c e 发表文章 认为，在研究心脏动力学时，严格的周期性不是健康的标志，而是与病理状态相关联 的【1 1 j ，所以非线性方法可以比线性方法更准确地反映正常和病理状态下心脏机能的想 法渐渐被接受，并激励很多学者将非线性动力学的分析方法应用于心电的分析。至 此，人们开始提出“混沌的才是健康的”的口号【1 2 】，即系统的复杂性越好，应变能力 就越强，必然使得临床医生对非线性动力学的兴趣越来越高，认识也不断加深。 心脏系统是最复杂的非线性动力学系统之一。应用非线性动力学研究心脏的状态 变化，可以及时追踪心脏活动的状态，这是临床医学十分关心的问题。由于非线性系 统内部的非线性机制作用，即使是很少的几个变量构成的系统也会表现出复杂的现 象。利用高阶次的线性模型不可能对非线性系统的行为作出恰当的解释，而一个简单 的低阶非线性模型或许可以很好地刻划该复杂动力学系统。由此可见，其信号的非线 性特性决定了要研究该信号的本质必须采用适合它的非线性分析方法。 目前，非线性科学发展迅猛。人们将非线性分析和混沌原理应用于生物系统的研 究，在各种生理信号如血压、脑电、诱发电位、肌电、胃电、心率信号、e c g 等发现 混沌特征。而e c g 信号的非线性研究主要集中在异常心电信号的非线性动力学参数的 计算上，如关联维数、l y a p u n o v 指数( l y a p u n o ve x p o n e n t ，l c e ) 等。将非线性动力 学原理应用于e c g 分析的优点是e c g 序列数据点密度高，一般采样率在1 2 5 h z 以上， 在短时间1 0 秒( s ) 以内就可以得出非线性动力学参数；缺点是非线性动力学参数对 应疾病的特异性不强，走向临床还需要作大量的工作，也依赖于非线性动力学理论的 发展。所以，研究工作还有待进一步的深入。 4 基于混沌时间序列的心电数据分析 第一章绪论 1 4 本文的主要工作 本文首先简要介绍了混沌的基本知识，接着详细介绍了时间序列的混沌分析方 法及其在心电数据分析中的应用。全文共分五章，章节安排如下： 第一章绪论简要介绍了混沌理论的发展史，并概括说明了心电数据研究的 意义及背景，接着介绍了混沌理论在心电分析中的应用。 第二章混沌理论的基本知识首先介绍了在混沌领域影响力比较大的几个 基本概念并总结了混沌的特性，在此基础上分析了d u f f i n g 振子系统的动力学行为， 最后简要介绍了混沌的应用。 第三章混沌时间序列的分析方法详细介绍了功率谱分析法、相空间重构、 延迟时间和嵌入维数的选取、关联维数和最大l y a p u n o v 指数的计算，为第四章进 行心电数据的混沌分析提供了理论基础。 第四章心电数据的混沌分析首先简要介绍了心电的产生机理及m i t - b i h 心电数据库，接着对数据库中的健康人、室性失常病人和束支传导阻滞病人的心电 数据进行功率谱、相空间重构、关联维数和最大l y a p u n o v 指数分析，以期为心脏 疾病的早期诊断提供一条有效的途径。 第五章总结对全文进行总结，并对下一步工作进行了展望。 5 基于混沌时间序列的心电数据分析第二章混沌理论的基本知识 第二章混沌理论的基本知识 2 1 混沌的定义 在非线性科学中，“混沌”这个词的含义和本意相似但又不完全一致，非线性科 学中的混沌现象指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的 随机运动很相似，即都不可预测：但和随机运动不同的是：混沌运动在动力学上是 确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。混沌现象是自然界中的普遍现 象，天气变化就是一个典型的混沌运动，著名的表述是蝴蝶效应，即南美洲一只蝴 蝶扇一扇翅膀，就会在佛罗里达引起一场飓风。 混沌系统具有三个关键要素：一是对初始条件的敏感依赖性；二是临界水平， 这里是非线性事件的发生点；三是分形维，它表明有序和无序的统一。混沌系统经 常是自反馈系统，出来的东西会回去经过变换再出来，循环往复，任何初始值的微 小差别都会按指数放大，因此导致系统内在不可长期预测。 由于混沌描述的是比周期或概周期运动更加复杂的运动方式，使得人们难以对 其做出一个统一而又严格的定义。至今也还没有一个能得到大家一致公认的非常严 格的定义，以下给出的是几种影响较广的定义。 第一种定义：著名数学家n e w h o u s e ，f a m e r 等人给出了混沌的所谓数学定义即 针对时间序列，一个有界且至少有一个正的李氏指数的确定性系统是混沌的【1 3 】，如 果用数学准则来描述混沌的定义就是： ( 1 ) 系统是有界的： ( 2 ) 系统有一个维数有限的吸引子； ( 3 ) 系统有至少一个正的李氏指数； ( 4 ) 系统是局部可预测的。 混沌的基本特征是对初始条件非常敏感，假设两个相同的混沌系统以很小差 别的初始条件开始，随着时间的发展，微小差别将以指数形式扩大。且值得注意 的是“混沌”与“非线性”并非一码事，虽然任何混沌系统必然是非线性的，但 非线性并不能保证一定能产生混沌。 6 基于混沌时间序列的心电数据分析第二章混沌理论的基本知识 第二种定义：基于l i y o r k e 定理( 李天岩和y o r k e 的一维迭代映射的混沌定 义) ，1 9 7 5 年由李天岩和他的导师y o r k e 在美国数学月刊上发表的一篇短文周 期3 意味着混沌中给出的混沌的数学定义，它是从区间映射的角度出发进行定义 的，现称为l i y o r k e 定义，叙述如下： ( 1 ) 不包含周期点； ( 2 ) 任给五，五s ( 五五) ，有 l i m s u plf ( 五) 一f ( 置) l o l ，一i m i n f lf 。( 五) 一f t ( x 2 ) l = o ， 其中厂( ) = ( ，厂( ) ) 表示t 重函数关系； ( 3 ) 任给五s 及f 的任意周期点p i 有 l ，i m s u plf ( x - ) 一f ( p ) | 0 ， 则称f 在s 上是混沌的。该定义准确的刻划了混沌运动的以下三个重要特征： ( 1 ) 存在可数的无穷多个稳定的周期轨道； ( 2 ) 存在不可数的无穷多个稳定的非周期轨道； ( 3 ) 至少存在一个不稳定的非周期轨道。 第三种定义：d e v a n e y 给出的基于拓扑学角度的： 设v 是一度量空间，连续映射f ：v v 称为是混沌的，若其满足： ( 1 ) 拓扑传递性：对v 上的任一对开集x 、y ，存在k 0 ，使f ( x ) n 】，( 如 一映射具有稠轨道，则它显然是拓扑传递的) ； ( 2 ) 对初值的极其敏感依赖性：存在万 0 ，对任意的占 o 和任意的x 矿，在x 的占领域内存在y 和自然数1 1 ，使得d ( f “o ) ，f ”( y ) ) 艿； ( 3 ) 的周期点集中在y 中稠密。 d e v a n e y 的定义从另一个角度刻画了混沌运动的几个重要特征。拓扑传递性说 明系统不能被细分或不能被分解为两个在厂下相互影响的子系统；对初值的敏感依 赖性，意味着任意靠近的两初始条件会导致完全不同的动力学行为，系统是不可预 7 基于混沌时间序列的心电数据分析第二章混沌理论的基本知识 测的，初值的微小变化可能导致迭代结果产生不可忽视的误差；而周期中点集的稠 密性既说明它类似于一般的随机系统，又表明系统具有很强的确定性与规律性，决 非混乱一片，形似混乱而实则有序，这正是混沌发人深思之处。 2 2 混沌的基本特性 混沌作为一种自然界与人类社会中普遍存在的运动形态，在不同学科范畴和领 域中有各自适合的定义和内涵，既有共性又有其特殊性。混沌运动是确定性非线性 动力系统所特有的复杂运动状态，出现在某些耗散系统、不可积哈密顿系统和非线 性离散映射系统中，它是一种不稳定的有限定常运动，局限于有限区域但轨道永不 重复，也被称为具有无穷大周期的周期运动。其独有的特征主要表现在以下几方面： ( 1 ) 有界性。混沌吸引子在相空间内整体上是有界的，但是在吸引子内相轨迹 具有高度不稳定性，但无论系统内部多么不稳定，它的轨迹都不会走出混沌吸引域。 ( 2 ) 遍历性。混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限时间内混沌 轨道经过混沌区内每一个状态点。 ( 3 ) 标度性。混沌运动是无序中的有序态，只要数值或实验设备精度足够高， 总可以在小尺度的混沌域内观察到有序的运动形式。 ( 4 ) 内随机性。单一频率的输入产生具有连续功率谱的输出。这种遍历性不是 由随机性外因引起的，而是由确定性方程( 内因) 直接得到的。 ( 5 ) 对初始条件的敏感依赖性。只要初始条件有微小的变化就会使系统的最终 状态出现巨大的差异，因而，混沌系统的长期演化行为是不可预测的。著名的l o r e n z “蝴蝶效应 就是一个典型的例子。 ( 6 ) 统计特征：正的l y a p u n o v 指数及连续功率谱等。l y a p u n o v 指数是对非线 性映射产生的运动轨道相互间趋近或分离的整体效果进行的定量刻画。当其小于零 时，轨道间的距离按指数缩小，系统运动状态对应于周期运动或不动点；大于零时， 则初始状态相邻的轨道将按指数分离，系统运动对应于混沌状态；等于零时，各轨 道间距离不变，迭代产生的点对应于分岔点( 即周期加倍的位置) 。 ( 7 ) 分维性。混沌系统在相空间中的运动轨迹，在某个有限区域内经无限次折 叠，形成一种特殊曲线，因这种曲线的维数是分数，故称为分维。分维性表示混沌 运动具有无限层次的自相似结构，亦是其与随机运动的重要区别之一。 8 基于混沌时间序列的心电数据分析 第二章混沌理论的基本知识 图2 1 给出几种常见的混沌系统相图： 工 ( a ) i k e d aa t t r a c t o r 图 z ( b ) h e n o na t t r a c t o r 图 ( c ) l o r e n za t t r a c t o r 图( d ) r o s s l e ra t t r a c t o r 图 图2 1 几种常见的混沌系统相图 2 3d u f f i n g 振子系统的动力学行为 混沌态是某些非线性方程所特有的一种解，即它是某些非线性系统所持有的一 种运动状态。混沌系统虽然具有随机性，但描述其运动的方程却是确定的，比如著 名的l o r e n z 方程，r o s s l e r 方程，d u f f m g 方程等等，其中描述软弹簧振子弱阻尼运 动的d u f f i n g 方程是非线性系统中研究得比较充分的数学模型，因此我们选d u f f i n g 方程来分析其动力学行为，具体形式如下： z + k i x3+x 5 = ，s i n ( 国f ) ( 2 1 ) 其中七为阻尼比，( 一x 3 + x 5 ) 为非线性恢复力，r s i n ( c o t ) 为周期策动力。 为了说明其工作原理，建立d u f f i n g 混沌系统的仿真模型如图2 2 所示，取 r s i n ( t ) 为周期策动力，即系统频率缈= l r a d s 。 9 基于混沌时间序列的心电数据分析 第二章混沌理论的基本知识 图2 2 频率彩= l r a d s 时的系统仿真模型 在图2 2 的仿真模型中取阻尼比七= 0 5 ，随着y 的变化，系统将历经同宿轨道、 分叉、混沌轨迹、临界周期状态、大尺度周期状态等各个状态，各个状态的时域波 形和相平面轨迹如图2 3 2 9 所示。 ( a ) 相平面轨迹 ( b ) 时域波形 图2 3 当y = 0 ，陆( 0 ) ，f ( 0 ) 】= 【1 ，1 】时的初始状态 ( a ) 相平面轨迹 ( b ) 时域波形 图2 4 当7 = 0 ，【x ( 0 ) ，x ( o ) 】= 【1 , - 1 】时的初始状态 1 0 基于混沌时间序列的心电数据分析第二章混沌理论的基本知识 x ( v ) ( a ) 相平面轨迹 t ( s ) ( b ) 时域波形 图2 5 当y = 0 2 ， x ( 0 ) ，r ( 0 ) 】= 【0 ，0 】时的同宿轨道状态 疗 、 占 ( a ) 相平面轨迹( b ) 时域波形 图2 6 当y = 0 3 8 5 9 ，【z ( 0 ) ，x 。( o ) 】- 【0 , 0 时的分叉状态 ( a ) 相平面轨迹( b ) 时域波形 图2 7 当厂= 0 6 8 7 ，【x ( 0 ) ，x ( 0 ) 】_ 【0 , 0 时的混沌状态 基于混沌时间序列的心电数据分析第二章混沌理论的基本知识 ( a ) 相平面轨迹 ( b ) 时域波形 图2 8当7 = 0 7 2 5 7 7 6 ，【x ( 0 ) ，z 。( 0 ) 】= 【0 , 0 】时的混沌临界状态 x ( v )t ( s ) ( a ) 相平面轨迹( b ) 时域波形 图2 9 当y = 0 7 2 5 7 7 7 ，【x ( 0 ) ，一( 0 ) 】= 【0 , 0 】时的大尺度周期状态 分析该系统的相平面轨迹及时域波形可知： ( 1 ) 当7 = 0 时，系统相平面鞍点为( o ，0 ) ，焦点为( 1 ，o ) 。点( z ，x ) 将最 终停在两焦点之一( 如图2 3 和图2 4 所示) 。 ( 2 ) 当7 0 时，系统表现出了复杂的动力学形态，具体可分为以下几种情况： 当y 很小时，相轨迹表现为p o i n c a r e 映射下的吸引子，相点围绕其中的一个焦 点作周期振荡。当7 超过一定的阈值儿时，随着厂的增大，系统历经同宿轨道( 如 图2 5 所示) 、周期分叉( 如图2 6 所示) 直至混沌状态( 如图2 7 所示) ，这一过程 随着厂的变化非常迅速，且y 在很长时f s - j 内，系统都处于混沌状态。直到厂大于另 一阈值儿时，系统进入大尺度周期状态( 如图2 9 所示) 。此时相轨迹将焦点、鞍 点团团围住，其对应的p o i n c a r e 映射为一个不动点f 1 4 1 。 1 2 基于混沌时间序列的心电数据分析 第二章混沌理论的基本知识 2 4 混沌与噪声的区别 “关于动力系统混沌与噪声的区分一文从时间序列相关演化指数方法入手，以 l o r e n z 方程为例，估算出其最大李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 指数旯= 1 4 8 0 0 3 ，判断出 其数值序列是低维的混沌运动 1 5 】。而白噪声系统具有高维性质，是从分形几何的分维 数值来区分噪声与混沌的，且计算表明即使在较少的数据里，这种区别也是很明显的。 “电子线路的噪声与混沌区别”一文则对其进行补充说明了两者间的其他一些主要区 别：( 1 ) 噪声与混沌的时间序列的波形虽有类似，但噪声波形比混沌更复杂；( 2 ) 噪 声纯属随机，但服从高斯统计分布；而混沌是貌似随机或称“假随机 ，是由确定系 统的非线性方程对初值敏感而导致的内在随机现象；( 3 ) 噪声只能减少不能消除，而混 沌可控制( 或同步) 0 6 1 。所以说，混沌与噪声之间确实有区别，而不是人们从表面所看 到的是相似的。 事实上，混沌与噪声也具有很强的内在联系的。噪声是一种随机过程( r a n d o m p r o c e s s ) ，它的产生除了热噪声外，有很大一部分是由仪器的测量精度或运算精度 所造成的系统误差。混沌的最根本特征是系统状态对初始条件的敏感依赖性，而这 种初始的微小差别同样往往是由仪器的测量精度所引入的，属于噪声的范畴，这里 所谓的敏感依赖性是由系统的非线性决定的。由此可以说，初始条件的随机性与敏 感依赖性是动力学系统中出现混沌现象的基本条件，这就是混沌与噪声的内在联 系，单凭肉眼观察状态是根本无法区分混沌与噪声的。 虽然混沌与噪声有着内在的联系，但它们还是有许多不同之处的，如可从能量 分布频带的宽窄、幅值差距的大小等角度来区分混沌和噪声信号。混沌时间序列的 能量主要集中在很窄的频带内，尽管幅值分布连续但变化十分剧烈；而噪声能量连 续、均匀地分布在整个频带内，且幅值变化范围不大。 以d u f f i n g 动力学系统x 分量和高斯白噪声为例来说明混沌时间序列与白噪声 之间的不同。d u f f i n g 动力学方程为： 舅+ 后_ ) 一x3 + x 5 - - ys i n ( t ) ( 2 2 ) 当取初值x ( o ) = o ，工( 0 ) 7 = 0 ，参数k = o 5 ，7 = 0 6 8 7 时，由2 3 节可知上述方程 可以产生混沌吸引子。图2 1 0 是d u f f i n g 系统x 分量取3 0 0 个数据点的幅值图形( 即 1 3 基于混沌时间序列的心电数据分析第二章混沌理论的基本知识 时域图形) ，可以清晰地看到单个分量在时域的图形是不规则的；图2 1 1 是x 分量 的混沌时间序列经过f f t 变换后的频域图形，是连续的谱，它的能量主要集中在很 窄的频带内，且有线状的峰值散布其中。 t ( s ) 图2 1 0 d u f f m g 混沌系统时间序列图 n 图2 1 1 d u f f i n g 混沌系统时间序列频域图 为了方便说明两者之间的不同，选择均值为零、方差为1 的高斯白噪声。实验 仿真结果如图2 1 2 和图2 1 3 所示，分别是高斯白噪声的时域和频域图形，由图可 以看出：白噪声序列的时域波形图虽与混沌系统有一定的相似性，但频域图却是连 续的且布满整个频域，与混沌时间序列的频谱有着明显的不同。 n 图2 1 2白噪声序列时域波形图 1 4 基于混沌时间序列的心电数据分析第二章混沌理论的基本知识 - 岔 塑 口 s 一 图2 1 3白噪声序列频谱图 混沌与随机噪声更本质的区别在于：混沌信号在相空间吸引子具有许多不变 量( 如嵌入维) ，并且是短期可预测的；而噪声在相空间是随机分布的点，是不可 预测的，这些性质为我们的研究提供了很好的依据。 2 5 混沌的应用 混沌不是偶然的、个别的事件，而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观 系统里，万事万物，莫不混沌。混沌也不是独立存在的科学，它与其它各门科学互 相促进、互相依靠，由此派生出许多交叉学科。混沌学不仅极具研究价值，而且有 现实应用价值，能直接或间接创造财富，其应用是很广泛的，如混沌神经网络在联 想记忆中的应用、混沌在天气预报中的应用、混沌在经济学中的应用、混沌在机电 系统中的应用、混沌在赤潮研究中的应用、混沌在勘探地震学中的应用、混沌在生 物医学信号分析中的应用等等。它们概括了混沌应用的两个方向：一种是混沌分析； 另一种是利用混沌，又称为混沌综合。 在混沌分析方面，人们在分析某些自然界中的复杂现象时，发现其中包含混沌 行为，可以利用混沌动力学规律来处理，这方面的应用多不胜数，涉及到气象学、 经济学、生物学医学、电子学、物理学等各个领域。在此过程中，我们利用混沌现 象在空间、时间、功能上的多样性作为特殊的信息源，用于信息的存储与通信。目 前，混沌在保密通讯中的应用问题，使得信号的保密成为当代科学的一个重要分支。 在利用混沌方面，典型的例子是航天工程领域。利用天体力学中三天体问题对 微小扰动的极度敏感性，n a s a 科学家使用非常少的残余氢液燃料把一个 i s e e 3 i c e 飞行装置送到五千万英里外从而实现了第一个科学彗星对接。近年来， 1 5 基于混沌时间序列的心电数据分析第二章混沌理论的基本知识 世界各国将混沌在工程中的应用研究转化为机电产品，如日本三洋公司的混沌暖风 机、松下公司的混沌洗碗机、韩国l g 公司的混沌空调机和混沌洗衣机等，都以其 良好的性能( 空调更柔和，洗衣更清洁) 提高了与同类产品的竞争力。通信技术方 面，美国海军实验室研究人员p e c o r a 和c a r r o l l 在1 9 9 0 年首次实现了两个混沌的同 步。此后，混沌同步技术和混沌保密通信就成为国际、国内通信领域的一个研究热 点，国际上相继提出了各种混沌通信制式及其理论与方法，由此使混沌保密通信成 为现代通信领域的一个新的分支。信号处理方面，主要任务是将嵌入混沌背景中的 微弱信号检测出来，或者对微弱信号的某些特征进行提取。混沌背景中的微弱信号 检测可以概括为来两个方面，一个是抑制噪声，即对混沌背景信号的预测( 基本上 都是依据t a k e n s 的嵌入定义，建立相空间轨迹的状态映射的模型) ；另一个是信号 检测，利用混沌振子检测噪声中的有用信号，就是将待测信号作为混沌系统周期策 动力的摄动，噪声虽然强烈，但对系统状态的改变并无影响，若有特定的信号输入， 即使它的幅值很小，系统状态也会发生相变，计算机通过辩识系统状态，可清楚的 判断信号是否存在。 特别值得一提的是混沌的工程应用，实践表明，混沌学存在于多种工程系统中， 诸如卫星的混沌振摆、转子的振动、切削的机床振动、冲击系统的振动、地震的振动、 心脏的振动。在混沌理论应用的方方面面，生命科学被认为是前景最为美好的领域， 也正是本文的重点所在。 2 6 本章小结 本章首先讲述了与混沌理论相关的一些基本知识，包括混沌的定义、混沌的基 本特性、混沌与噪声的区别，接着详细分析了基于d u i t i n g 混沌振子的混沌系统的 动力学行为，最后简要介绍了混沌的应用。可以看出：混沌是极具研究价值的，它 解释了以往人们无法解释的复杂现象，为我们的生活带来了方便。因此，有必要对 其进行更深入的研究。 1 6 基于混沌时间序歹i j 的心电数据分析第三章混沌时间序列的分析方法 第三章混沌时间序列的分析方法 对于混沌行为的分析方法，从不同的角度讲有数值分析( 相平面图、功率谱、 p o i n e a r e 截面、胞映射法) ，统计性质的量的计算( l y a p u n o v 指数、分维数、测度嫡) 和 解析分析( 重整群、k a m 理论、m e l n i k o v 方法、s m a l e 马蹄映射、符号动力学系统) 等 三个方面【1 7 1 。本章主要研究了功率谱、相空间重构、关联维数、l y a p u n o v 指数四种 典型的分析方法，为第四章对心电数据的分析提供了有力的依据。 3 1 功率谱分析法 谱分析是研究复杂非线性运动的一个重要手段【1 8 】，它是由相空间中坐标的傅立 叶变换求得的，涉及到信号与系统、概率统计、随机过程等一系列的科学。其广泛 应用于通信、地质勘测、天文、生物医学工程等众多领域，且内容、方法不断更新， 是一个具有强大生命力的研究领域。 1 9 世纪初叶，f o u r i e r 证明了在有限时间段上定义的任何函数都可以用正弦和 余弦分量的无限谐波的总和来表示。以傅立叶分析为基础，1 8 9 8 年s c h u s t e r 提出用 周期图的概念研究太阳黑子的周期变化。1 9 3 6 年w i e n e r 发表了经典型论文广义 谐波分析，对平稳随机过程的自相关函数和功率密度谱作了精确的定义，证明了 两者之间存在傅立叶变换的关系，从而为谱分析奠定了坚实的统计学基础。可以认 为这二年是谱分析发展历史中的重要转折点。由于1 9 3 4 年k h i n t c h i n e 也独立证明 了自相关函数和功率谱之间的傅立叶变换关系，因此，人们把这一关系称为 w i e n e r - - k h i n t c h i n e 定理。1 9 6 5 年c o o l e y 和t u k e y 完善了著名的f f t 算法，把计 算傅立叶变换的时间缩短了两个数量级，从而使离散傅立叶变换走向工程实际，同 时也使周期图谱估计法很快流行起来。周期图和自相关法以及它们的改进方法统称 为谱估计的经典方法，现代方法主要是以随机过程的参数模型为基础，故称为参数 模型方法。 本文采用直接对数据进行傅立叶变换的方法， 假设观测到一组时间序列：毛，x ：，h ，对玎个采样值加上周期条件x n + 。= x 胛， 计算自相关函数： 1 7 基于混沌时间序歹l j 的心电数据分析第三章混沌时间序列的分析方法 耻丢兰舯 v = l 再对月肘进行离散傅立叶变换就是功率谱： ( 3 1 ) 瓯= 阱= 氖m = lc o s c 学 2 ， 由函数形式可知，时间序列的图像看上去是不规则的，但其功率谱却可能呈现出规 律性【1 9 1 。我们不难区分周期时间序列，拟周期时间序列和非周期时间序列【2 0 1 。 1 谱图若无明显的峰值或峰值连成一片，则对应于湍流或混沌序列。 2 若有单峰或几个峰，则对应于周期或拟周期序列 此结论可用于区分随机白噪声和确定性的随机( 混沌) 。对白噪声而言，它