（课程与教学论专业论文）小学生除法竖式计算错误的主要类型及错因分析.pdf

摘要 计算教学是小学数学的重要内容，其中利用竖式计算除法是普遍反应最困难的内容 之一，主要表现为学生在除法竖式计算过程中经常出现这样或那样的错误。 本研究旨在给出辨别小学生数学错误的辨别标准，通过抽样对北京市三、四、五年 级小学生除法竖式的计算错误开展研究，由此得出除法竖式错误的类型划分，并据此分 析错误的原因。 问卷编制主要根据w o r t hj o s b u m 对除数是两位数、商是一位数的除法的类型划 分，利用s p s s 软件进行信效度检验和数据处理。得到的主要结果如下 单一型题目较复合型题目错误率低。 余数不为零的除法错误率高。 除数是小数的题目错误率略高于除数为整数的题目。 商为循环小数的题目错误率较高。 对于学生计算错误的原因，除题目本身特点对解题的正确性有影响外，学习者 自身的因素，如小学生的认知、思维和情感特点，同样影响着解题的正确性。 关键词：计算错误除法竖式类型错因 a b s t r a c t a r i t h m e t i ci sl o c a t e da tak e yp o s i t i o nd u r i n gp r i m a r ys c h o o lm a t h e m a t i c s h i s t o r i c a l l y , l o n gd i v i s i o ni st h em o s td i f f i c u l tc o n t e n tf o rp r i m a r ys t u d e n t s t h ed i f f i c u l t i e sw e r er e f l e c t e d f r o mh u g ek i n do f m i s t a k e sm a d eb ys t u d e n t s t h i ss t u d ya i m e da tp r o v i d i n gt h ec r i t e r i at oi d e n t i f ye l l o r s ，t h e i rc a t e g o r i e sa n da t t r i b u t e a n a l y s i s a c c o r d i n gt ow o r t hj o s b u m , t h er e s e a r c hw a s c a r r i e do u tb yq u e s t i o n n a i r et om o r e t h a n1 0 0 0p r i m a r ys t u d e n t s m e a n w h i l e , a sar e s e a r c ht o o ls p s sw a se m p l o y e df o rd a t a a n a l y s i s m a i nf i n d i n g sa n dc o n c l u s i o n sa t ea sf o l l o w s ： t h e p r o b l e m sw i t ho n l yo n ef a c t o rh a v el o w e rw r o n g r a t et h a nt h em i x e dt y p e o d i v i s i o n 而t hr e m a i n d e r sh a sh i g h e l w r o n gr a t e d i v i s i o nw i t ht h ed e c i m a ld i v i s o ri se a s i e rt om a k eam i s t a k et h a l ld i v i s i o nw i t ht h e w h o l ed i v i s o w d i v i s i o nw i t hr e p e a t i n gd e c i m a lh a sh i g h e rw r o n gr a t e a st ot h ea t t r i b u t eo fm i s t a k e sm a d eb ys t u d e n t s , b e s i d e st h ec h a r a c t e ro f m a t h e m a t i c si t s e l f , l e a r n e r s c o g n i t i v ea n da f f b c f i v ea s p e c t sa l s oi n f l u e n c es t u d e n t s i e a r n i n g k e y w o r d s ：m i s t a k ei na r i t h m e t i c ，l o n gd i v i s i o n ，c a t e g o r y , a t t r i b u t e 2 图目录 图1 1 减法竖式计算题 图1 2 诊断教学循环 图3 1 除法竖式1 图3 2 乘法竖式1 2 3 图3 3 乘法竖式2 图3 a 乘法竖式3 图4 1 除法错题1 图4 2 除法错题2 4 6 图4 3 除法错题3 图4 4 除法错题商的首位数字写错位置 图4 5 除法错题商中没写零 图4 6 除法错题商中多写零 4 6 图4 7 除法错题商大了 图4 8 除法错题商小了 图4 9 除法错题从末位除起 图4 1 0 除法竖式将被除数变为整数“ 图4 1 l 除法竖式，小数点位置错误 表目录 表格3 1 小学数学教材中包含除法竖式计算内容的章节2 6 表格3 2 诊断测试题型 表格4 1 被试资料 表格4 2 专家效度数量化方法表。 表格4 3 各年级错题总数 表格4 4 三年级测试题型 表格4 5 三年级a 类题目错误率 3 6 3 7 表格4 6 三年级。类题目错误率3 7 表格4 7 三年级b r 类题目错误率 表格4 8 三年级o r 类题目错误率 表格4 9 两位除数、一位商除法竖式错题统计结果 ，3 7 3 7 表格4 t o 错题类型一商中是否有零类错题3 9 表格4 1 l 错题类型一除数各位数字特征 表格4 1 2 错题类型一其他 表格4 1 3 四年级测试题型 4 0 ，4 0 表格4 1 4 四年级a 类题目错误率4 l 表格4 1 5 四年级c 类题目错误率 表格4 1 6 四年级a r 类题目错误率4 l 表格4 1 7 四年级b r 类题目错误率4 2 表格4 1 8 四年级c r 类题目错误率4 2 表格4 1 9 四年级c b r 类题目错误率4 2 表格4 2 0 错题类型一除数特征4 3 表格4 2 1 错题类型一余数末尾不写零4 4 表格4 2 2 错题类型商小了4 5 表格4 2 3 错题类型除数个位数字特征 表格4 2 4 五年级测试题型 表格4 2 5 五年级a 类题目错误率4 7 表格4 2 6 五年级c 类题目错误率 表格4 - 2 7 五年级b c 类题目错误率 表格4 2 8 错题类型题目类型4 8 表格4 2 9 错题类型一商是否为有限小数4 9 表格4 ，3 0 错题类型一循环节标错4 9 表格4 1 3 l 错题类型除数是否整数4 9 表格4 3 2 错题类型一商为循环小数中错题数较高5 0 表格4 3 3 三四年级总错题数。5 0 表格4 3 4 错题被除数各位数字是否除数倍数 表格4 3 5 思考步骤 。5 2 5 3 表格4 3 6 错题除数是否整数5 3 表格4 3 7 商为循环小数错误种类 表格4 - 3 8 确定商的错误5 5 表格4 3 9 错误类型3 商的首位数字写错位置5 6 表格4 4 0 错误类型4 商中多写零 表格4 4 l 错误类型5 一商大了 表格4 4 2 错误类型6 一商小了5 9 表格4 4 3 错误类型7 一余数末尾不写零5 9 表格4 4 4 错误类型8 一抄错数6 0 表格4 4 5 错题一商中是否有零6 3 4 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所晕交的学位沧文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 靴论文作者獬：力穆 r | 期：劢7 年万月彳r 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文 并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利 目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据 库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规 定。 学位敝储繇磁 | 二1 期： 卯k | 绪论 对学生数学错误的研究，是数学教育研究的第一个i 果题_ ( f r e u d e n t h a l 。，1 9 9 9 ) 。近年 来，学生在数学学习过程中所犯的错误逐渐引起了人们的重视，甚至有人主张将学生错 误较多的知识从小学数学教学内容中删除，除法竖式就是其中之一。 针对除法竖式在数学学习中的意义和作用，并不能简单地因为学生的错误多，就将 除法竖式从小学数学内容中删除。为了能够有效地帮助学生克服解题时的困难，本研究 尝试对除法竖式计算错误的类型和错因进行分析，以了解学生的困难所在，从而为教师 教学提供参考。 本研究首先根据前人对错误概念的界定，进一步明确了除法竖式计算错误的含义： 除法竖式计算错误就是不符合除法竖式计算顺序和计算法则的行为。及心理过程 明确了错误的标准，依据小学阶段除法竖式计算内容，以及w o r t hj o s b u r n ( 1 9 4 6 ) 对除法竖式题目类型的划分，确定了试卷编写的两级指标，并参考教材、学生作业、教 师撰写的教学分析及教学案例中提到的错题分年级编制了试卷，对小学生在从事除法竖 式计算过程中容易出现的错误进行调查。同时，针对典型错误类型，对学生除法竖式计 算错误的原因进行探索性分析。 o 弗莱静塔尔( 1 9 0 5 - - 1 9 9 0 ) 荷兰人，著名数学家和数学教育家。 审行为指受思想支配而表现在外面的活动。这单主要指学生解题时的行为。 一 l 第一章问题的提出及意义 第一节问题的提出 一、历史上关于小学生是否应该学习除法竖式的争论 2 0 世纪8 0 年代末9 0 年代初，美国曾掀起过一场关于小学生是否应该学习加、减、 乘、除的基本运算法则的争论。1 9 8 9 年由美国数学教师联合会( 1 k n a t i o n a lc o u n c i lo f t e a c h e r so fm a t h e m a t i c s ，简称n c t m ) 颁布的学校数学的课程与评价标准。中明确 建议应该降低笔算特别是除法竖式( l o n gd i v i s i o n ) 计算在学校数学中的重要性。1 9 9 9 年1 0 月，美国教育部更在众多反对意见的压力之下又正式颁布了一系列的数学计划： 在小学数学课程中，标准的算术运算法则，特别是除法竖式运算法则，不会再出现，即 使出现也必会大幅度删减( d a v i dk l e i n r j a m e sm i l g r a m ，p 4 ) 。 但是如此的改革，却引起了数学家们的反对。上述相关标准和计戈l i 一经颁布就引起 了美国数学界的轰动，更是有很多著名的科学家、数学家，大学的系主任，前教育协会 的主席，甚至还有诺贝尔奖和菲尔兹奖的获得者共计2 2 0 余人，联名绘其教育部部长 r i c h a r dr i l e y 递交了一封公开信，要求停止实行计划。 如此大规模的争论，可以看出人们对计算教学、特别是除法竖式计算教学的关注 教育家从计算教学入手对数学课程内容进行改革的原因概括起来主要有两点：一是许多 老师抱怨运算法则的教学，特别是除法竖式的教学会占用很多课时( d a v i dk l e i n r j a m e sm i l g r a m ，p 1 ) 。其实教学时间长，也从一个侧面说明这部分知识对学生来说理 解起来很困难。另一个原因是随着时代的发展，特别是计算机( 器) 技术的普及，日常 生活中人们很少采用笔算的方式对大数目进行计算。相比之下，使用计算器进行计算， 在计算速度上很有优势。这样就没有必要再增加学生的思维负担了，更何况采用竖式计 算也不是唯一的计算方法。那么究竟是不是不需要学习基本运算法则以及除法竖式计 算的内容呢? 二、除法竖式计算在数学学习中的重要性 尽管科学技术的发展带来了计算工具的重大变革，计算的熟练程度和技巧也已不再 是基础教育的主要目标，但是对运算意义的理解仍然是学习数学的重要基础。标准的算 。段文是t h e c u r r i c h l 蝴4a n de v a l u a t i o ns t a n d a r d sf o rs c h o o lm a t h e m a t i c s 。 。详细内容参见d a v i d k l e i nc | a 1 ，2 0 0 0 。 。具体的算法在下文会古介绍。 2 术运算法则不仅仅是一种“得到正确结果的方法”( d a v i dk l e i n r j a m e sm i l g r a m ， p 1 ) 。除法在学生数学学习过程中有非常重要的作用： 首先，除法与加法、减法、乘法一样，它们的运算法则都是理解代数思想的基础。 第二，除法有助于学生体验函数的基本思想，同时感受和理解“不变量”。 第三，除法竖式有广泛的应用性。例如，余数不为零的除法是理解数论知识的基础， 而一般情况下，余数是不能通过计算器直接求出的。另外，除法也是将假分数化为带分 数、分数化为小数的基本方法。 第四，除法是诸多后继学习的基础。例如，除法有助于理解实数系统，整数竖式除 法也是进行多项式除法的基础。 由此可见除法与后续知识的联系是相当紧密的，就除法在学生数学学习中的作用来 讲，不应该通过不学来克服学生的学习困难，要想改变这种矛盾，就必须帮助学生克服 困难。 困难是一个抽象的概念，是看不见摸不着的，但是学生在解题过程中出现的错误就 是学生学习困难的一种体现。因此对于学生计算困难的了解，可以首先从了解学生在计 算时常犯的错误入手。 三、数学错误产生的必然性 一直以来，人们视错误为“洪水猛兽”，就怕学生出错，但是实际上“每个人在数 学学习的过程中都会犯错”( b r y a nb u n c h ，1 9 8 2 ，p 1 ) ，出错是学习的一个必经环节。 p i a g e t ( 转引自施良方，2 0 0 1 ，p p 1 8 5 1 8 6 ) 认为，错误是有意义的学习所必不可 少的，因此，让学生犯些错误也是合理的。错误会引起学生顺化自己的知识结构，并把 所观察到的结果同化到修正过了的知识结构中去。 罗增儒( 1 9 9 9 ) 也曾提出：“学生在解题中出错是学习活动的必然现象。对于解题 中出现的错误与疏忽，我们不仅要看到其消极的方面( 这很容易使我们生气或泄气) ， 而且更要看到这是提高解题能力、完善认知结构的一个极好机会。” 认识到了数学错误产生的必然性，就必须适应错误的这种客观存在，但面对学生的 各类数学错误，又该如何对其善加利用，从而促进学生的学习呢? 四、将错误作为学生数学学习的资源 从以上学者的论述中可以看出，错误是数学学习过程中的一个非常重要的环节，也 正如e r i c a m e l i s ( p 1 ) 所说，“学生在数学学习中所犯的错误是数学学习的重要资源”。 对于小学生来讲，运算的学习是数学学习的一个主要方面，那么学生在计算过程中出现 的错误就成为小学生数学学习中的一大障碍。为什么学生学习除法竖式计算有困难? 学 生的困难主要表现在哪些方面? 常犯的除法竖式计算错误主要有哪些类型? 这些错误 产生的原因是什么? 学生是如何学习除法竖式计算的? 以及这些问题对教学的意义如 何等等，都是非常值得关注的。 为了克服除法竖式难教、难学的现状，就必须对学生的学习情况、对学生的计算错 误进行研究。由此提出了“小学生除法竖式计算错误的主要类型及错因分析”这一课题， 主要探索小学生在从事除法竖式计算过程中容易出现的错误类型以及错误的原因。 第二节研究意义 一、研究的必要性 其实数学教育中正式研究的第一个课题就是关于错误的，研究的是学习者的数 学的错误( f r e u d e n t h a l ，1 9 9 9 ，p - 2 1 5 ) 。可见错误一直是教育者们关注的问题。 f r e d r i c k ak r e i s m a n ( 1 9 7 2 ，p 2 3 ) 曾经做过一个很恰当的比喻：“如果将学生 数学基础的缺陷形象化，可以将它想象成一个梯子中间坏了的或不牢固的横撑，它会阻 碍你继续向上爬；即使你跨越了它，你也会不自在，因为你知道那里是坏的。梯子的横 撑是到达顶点所必需的条件。” 郑毓信( 2 0 0 1 ，p 1 2 6 ) 也曾指出：学生所已形成的错误观念对新的数学学习活动 会产生严重的消极影响，而新的数学学习活动的失败反过来又会进一步强化原先的错误 观念这样不断反复，直至学生最终完全丧失对数学学习的兴趣和信心。郑毓信称这 个反复的过程为“恶性循环”，可见其对学生的影响之重。但是如果教师能够在教学前 就对学生容易出现的错误或困难有所认识，并在教学过程中适当加以处理，那么无疑使 教学更有针对性。因此，有效的数学教学有必要首先了解学生学习时易出现的错误或困 难。本研究希望能够对小学生在从事除法竖式计算过程中常犯的错误类型加以整理，并 尝试对错误产生的原因进行分析，从而加深教师对学生数学错误的理解，为有效教学服 务。 二、研究的理论意义 ( 一)有助于丰富数学错误研究的内容 在所查阅到的文献中，关于数学错误方面的研究大致可以分为三方面：一类是分析 错误的教育功能，认为错误有助于学生的学习；第二类是从教师的角度分析学生错题的 原因；第三类就是针对一个或几个题目进行错误分析。可以说前两个方面是从理论上进 4 行分析，第三个方面则是从实际出发，但是学者们的研究大多侧重其中某一方面，较少 将二者结合。 另外，虽然目蘸数学教育工作者已经开始重视错误在数学学习中的重要作用，但是 从现有的关于数学错误，特别是计算错误的研究来看，仍然是比较缺乏的。虽然国内有 些学者曾对数学错误以及计算错误进行过相关的研究，但是并没有见到针对除法竖式计 算错误进行的研究。 本研究首先对错误的概念进行界定，并通过对学生易犯的除法竖式计算错误类型的 调查，以及对学生真实思维过程的了解，对普遍性错误产生的原因进行分析，将对数学 错误，特别是计算错误的理论研究内容有所补充。 ( 二)探索学生学习计算的规律 如前文所述，除法竖式计算内容的学习对学生来说是一个难点，不同国家的学生都 存在相当大的困难。学者们对于学生如何学习的研究比较丰富，而且形成了各自的理论 体系，但是不同的学科各有特点，学生在不同学科上的学习情况也可能存在较大差异， 这就需要对学生的数学学习特点进行系统研究。美国的r w c o p e l a n d ( 1 9 8 5 ) 曾编著 儿童怎样学习数学一皮亚杰研究的教育意义，国内的孔企平( 2 0 0 1 ) 也编著了小 学儿童如何学数学，这无疑是对小学数学教育理论上的一大贡献，仅从其中计算部分 的内容来看，二者都不约而同地将小学生的计算过程对情境的依赖性作为切入点进行了 论述，而对学生在从事计算这个具体的过程中所表现出来的特点论述不多，因此本研究 对小学生除法竖式计算错误的研究将有助于探索小学生学习计算的规律。 ( 三)丰富诊断工具、补充诊断方法 要了解学生错误的原因，首先必须确定学生易犯的错误有哪些，因此本研究针对除 法竖式计算教学内容编制的诊断试卷，就是教师在进行除法竖式计算内容的教学时用以 了解学生学习水平及主要困难的一个工具。 明确了学生的困难所在，还需进一步对学生产生错误的原因进行诊断，有效的诊断 必须从学生角度出发，了解学生的真实思维过程，不能仅将从教师角度出发的推断作为 矫正的依据。以下是一道减法竖式计算题： 4 2 3 8 7 4 固1 f 减法竖式计算题 显然最后的答案是错误的，但是不同的学生错误的原因却有可能不同。学生的错误 s 大致有两种情况： 第一，学生在用被减数十位上的“3 ”减减数十位上的“8 ”时，需要向百位借l ， 但是在计算百位上两个数的差时，学生忘记“4 ”已经被借走了1 ，所以计算时仍然用“4 2 ”，得2 。因此最后的结果是2 5 3 。 第二，学生在计算每个数位上的数字差时，都采用的是“大减小”的方法，即“在 进行竖式运算时，每一列总是从较大的数字中减去较小的数”( 郑毓信，2 0 0 1 ，p 3 2 1 ) 。 这主要是由于学生在学习多位数的减法前，很可能曾大量接触到这样的问题：“7 与3 的差是多少? ”“4 与8 呢? ”在此完全不需要顾及究竟哪个是被减数，哪个是减数。 那么学生的错误究竟属于哪种原因呢? 如果教师不了解学生错误的原因，必将导致 对学生错误的纠正缺乏针对性。同样，“错误的”纠正方式还会让学生不明所以，产生 厌倦情绪。以上仅列举了两种错误的原因，除此以外，可能有些学生还会另有想法。因 此，为了避免。误诊”，需要了解学生的真实思维过程。 ( 四)重新考量小学数学教育中的基本矛盾问题 数学学科知识的逻辑体系与学生的心理发展顺序之间存在着矛盾。p i a g e t 的理论 中明确提出了学习顺序的问题，指出“向一定年龄的儿童讲授的材料存在着固有的限制， 有准备才能进行有效的学习”( p i a g e t ，转引自r w c o p e l a n d ，1 9 8 5 ) 。这就决定了数 学本身知识体系的形成与学校中作为教育的数学知识体系的不一致，作为教育的数学除 了要考虑数学本身的特点，同时还要兼顾学生的认知特点和接受能力，这就在无形中为 数学教学内容的编排提出了一个较大的难题。通过本研究对学生计算错误原因的分析， 有助于对数学教育基本矛盾问题在数学教学内容中的体现进行考量。 念 三、研究的实践意义 ( 一)有助于教师正确认识学生的学习状况，转变对学生错误的观 一直以来，人们视错误为“洪水猛兽”，就怕学生出错，但是实际上“每个人在数 学学习的过程中都会犯错”( b r y a nb u n c h ，1 9 8 2 ，d 1 ) 。 建构主义认为，任何真正的认识都是以主体已有的知识和经验为基础的主动建构， 因此，尽管这些思想可能是错误的或幼稚的，但却具有一定的“内在”合理性，因此就 不应对此采取简单否定的态度，而应做出认真的努力去理解它们的性质、产生的原因等 等。也只有这样，才能采取适当的教学措施以最终实现帮助学生做出必要改进的目标( 郑 。皮哑杰( 1 8 9 6 1 9 8 0 ) ，瑞上心理学家。 6 毓信，2 0 0 1 ，1 3 3 9 5 7 。 虽然错误的出现是不可避免的，但是错误和困难也并不是随意按照一种不可预期的 方式产生的( b a t a n e r o ，j d g o d i n o ，a v a l l e c i l l o s ，d r g r e e na n dp h o l m e s ，p 2 ) ，如果人们能够主动地去认识错误，了解错误产生的原因，并对其加以 利用，错误就会变成教师教学和学生学习的有效资源。 随着课程改革的推进，教师的教学观念得到了更新，教师对待学生错误的态度也正 在逐步发生着转变。但是仍然可以见到由于学生( 频繁) 出错而遭到教师严厉斥责的现 象，通过本研究对学生计算错误类型以及错误原因的分析，将有助于教师重新认识学生 的数学错误，进而转变自己的教学观念。 ( = )为教师教学设计提供参考 2 0 0 1 年，我国开始了新一轮的课程改革，此次课程改革突出强调了“义务教育阶段 的数学课程不但要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学 生已有的生活经验出发”( 中华人民共和国教育部，2 0 0 1 ，p 2 ) 。也即是强调“动态生 成”和“以生为本”的教育理念，这就要求教师要关注学生学习的过程，教师的教学要 以学生的学习为前提。教师备课不仅要备教材，更重要的是备学生。也就是说，教学的 前提是学生已经知道了什么。正像美国著名认知教育心理学家d a u s u b e l 。曾经说过的 那样：“如果我不得不将教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重 要因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学”( 转引 自郑毓信，2 0 0 1 ，p 3 9 0 ) 。因此教师在备课时恰当地考虑学生的实际水平和认知情况 对于学生的学习是非常有必要的。 传统的备课，教师可以参考的仅仅是数学教材、教学参考书，以及些教案集，但 是这些只涉及到了备课内容中的个别方面，通过对学生计算错误的研究，有助于教师了 解学生的困难所在，根据学生的实际需要和困难设计教学，从而使自己的教学更有针对 性，为改善教学效果打好基础。 ( - - )为教材编写提供参考 数学知识体系的生成与数学教材上知识的编排是有很大差别的，为了能够便于学习 者学习，故将其组织、编排成了现在教材中的顺序，但是有学者研究发现，数学知识的 编排体系会对学生的学习造成影响，例如小学生在初学小数加减法时，往往出现数位对 不齐的错误，原因是此前学习的整数加减法中加数或减数的末位都是整数( 邱学华， 1 9 7 8 ) 。因此学生会认为数位对齐就是末位对齐，也正是这种观念导致了小数计算中某 。臭苏伯尔 7 些错误的产生，本研究将对除法计算中的错误进行研究，探索学生错误产生的原因，挖 掘教材中由于除法内容的编写顺序而对学生学习产生的消极影响，从而为教材的编写提 供参考。 ( 四)为教师教育提供素材 新的数学课程强调教师教学观念的转变，在数学教师教育课程中，教学内容多以理 论讲解为主，教师普遍反映实际收获不大。如前文所述，除法竖式计算内容是教学的难 点，因此，通过对学生计算错误的研究，可以为教师教育课程提供素材。从教师熟悉的 学生常犯的数学错误入手对教师进行继续教育，可以将理论与实践相结合，从而提高教 师教育的针对性。 四、本研究是后继研究的基础 初等数学阶段的诊断教学包括了五个过程( f r e d r i c k ak r e i s m a n ，1 9 7 2 ，p 5 ， 如图2 所示) ：识别学生在算术学习过程中的弱点和强项；对造成学生学习弱点和 强项的原因进行假设：详细制定目标以帮助学生补救弱点，加强强项；给出并尝试 正确的补救措施；继续对诊断的所有环节进行评估，以确定措施在加强强项和排除弱 项上是有帮助的。 图1 2 诊断教学循环 由上图可以看出，对学生错误的识别以及对错误原因的假设是诊断教学的两个基本 环节。但是仅对错误产生的原因进行假设也是不够的，必须对学生错误的原因进行深入 调查和研究，才能真正为后面的补救服务。因此本研究中关于除法竖式计算错误的识别 以及对错误原因的分析正是诊断教学得以实施的两个基础环节，也只有首先对学生的错 误进行识别、对错误产生的原因进行分析，才能对症下药，纠正错误。 如上所述，只有明确了学生的错误所在、了解了学生计算错误的原因。才能对错误 进行有针对性的纠正，因此，本研究是后继研究得以实施的基础。 第二章文献综述 从已有研究中可以发现，数学教育领域内对数学错误的研究包括了四个基本问题： 第一，辨别学生数学错误的标准； 第二，识别学生容易错误的知识点； 第三，探索学生为什么犯错误； 第四，如何矫正学生的错误。 其中，前三个问题属于诊断的范畴，第四个问题属于矫正的范畴，而第四个问题的 解决必须以前三个问题为基础，在本研究中，着重探讨前三个基本问题，因此以下重点 对前三个方面的研究成果进行梳理。 首先需要对数学错误研究的相关理论进行必要的了解。 第一节数学错误研究的相关理论 如前所述，教育领域内对错误的研究有了很长的历史，也已形成了一些相关的错误 理论。行为主义、认知主义，建构主义学派都是教育心理学发展过程中的几个主要流派， 虽然不同流派对学习的认识有所不同，但是它们都同时强调了错误在数学学习中的作 用。 行为主义学派的代表人物e l 。t h o r n d i k e 。、和b f 。s k i n n e r 国c 睦j 通过实验证明， “学习过程是渐进的尝试与错误直至最后成功的过程”( 转引自张大均，2 0 0 4 ，p 6 0 ) 。 也就是说学习就是一个从不会到会的过程，学生在学习中，往往需要经历犯错误、纠正 错误、再犯错误、再纠正错误这个不断循环往复的过程，并在这个过程中逐步得到 提高。显然，每一次犯错误都是一种尝试，每一次尝试也会使学生更加接近成功，并且 能够给新的学习保留必要的经验。 作为认知主义学派中的格式塔心理学家认为，“学习就是知觉的重新组织。这种知 觉经验变化的过程不是渐进的尝试与错误的过程，而是突然领悟的”。尽管与行为主义 “试误”的观点有所不同，但他们也承认在学习中存在着尝试与错误的过程( 转引自张 大均，2 0 0 4 ，p p 6 3 6 5 ) ，也就是说，尝试和错误是学习的必经阶段。对这样一个学习 过程中不可逾越的阶段，教育者不能一味强调跨越与克服，而要积极寻找合适的方式、 方法，帮助学生正确认识错误，并进而得到提高。 建构主义虽然强调“知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境下，借 助学习过程中的一些其他因素，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得的” o 桑代克( 1 8 7 4 - - 1 9 4 9 ) ，美国心理学家和教育家。 o 斯金纳( 1 9 0 4 一1 9 9 0 ) ，美国人新行为土义心理学的创始人之一。 9 ( 转引自张大均，2 0 0 4 ，p 6 8 ) 。这也就是说，并非教师教什么，学生就能够掌握什么， 或者说形成和教师一样的认识。从某种程度上来讲，这也说明了错误存在的客观性。 从数学教育的相关理论的论述中可以看出，无论是早期的行为主义，还是后来的认 知主义，再或是目前较流行的建构主义，都突出强调了错误在学生学习过程中的重要性。 在小学阶段，计算是学生学习的主要内容，而除法竖式又是教与学的主要困难所在，那 么对小学生除法竖式计算错误的研究就显得格外重要。 第二节什么是错误 关于错误概念的界定，不同领域中有不同的侧重。 一、哲学领域中的错误概念 “错误”在哲学领域内被称之为“谬误”，意义与“真理”相对。谬误是指主观对 客观的歪曲反映，它是主观的、片面的( 范彬，1 9 8 5 ，p 2 7 3 ) 。在哲学上真理属于认识 范畴，所以这里与真理相对的错误也属于认识范畴，只指错误的认识，而不指错误的行 为。但是错误或是谬误只有在通过行为表现出来时才能够被人们识别，因此仅把错误归 为认识范畴是有局限的。黄楠森等( 黄楠森，李宗阳，涂荫森，1 9 9 3 ) 就将行为因素考 虑了进来，将错误定义为主体与客体规律不相一致的认识或者实践。 二、关于错误的普遍理解 错误一词在生活中经常用到，是一个很普遍的概念，现代汉语词典( 2 0 0 2 ，p 2 2 1 ) 中对错误的界定为：不正确；与客观实际不符合。不正确的事物、行为等。从这里 可以看出，错误的概念是相对正确来说的，而正确是“符合事实、道理或某种公认的标 准”( 中国社会科学院语言研究所词典编辑室，2 0 0 2 ，p o1 6 0 7 ) 。因此错误又可以界定为 不符合事实、道理或某种公认标准的事物或行为。 三，数学教育领域内对错误的一般认识 以上都是一般意义上人们对错误的认识，对于学生在学习过程中所犯的数学错误应 该有其特殊所指，数学教育领域对学生数学错误概念的界定不多。尽管没有明确界定， 但是可以发现，不同教师在教学过程中对错误有基本一致的态度或表现，而从教师的表 现也可以看出他们对待错误的态度。教师头脑中对问题有唯一的答案，为了得到这个唯 一的答案，需要采取一定的方法，经过一定的程序，最终取得正确答案。如果学生的答 案或所采用的程序与教师或教科书上的“标准”不致，往往就被认定出错了。但是大 l o 多数情况下，教师更多关注的是问题的答案。 郑毓信也曾说过，教师往往把“学生在学习过程中所产生的各种不同于标准观念 ( 或标准作法等) 的想法( 或作法) 看成完全错误的，从而也就必须彻底地予以纠 正”( 转引自李善良，2 0 0 2 ) 。这个定义包含了两个要点，一是错误的标准问题，不符 合标准观念或作法的称之为错误，而这里所说的“标准观念”( 或“标准作法”) 多指 教材或教学参考书中的规定；二是错误的表现，即错误可以通过学习者的行为表现出来， 也可以是没有付诸行动的观念。这一点与哲学领域内对错误的认识是一致的。但是值得 注意的是，上述说法并不是郑毓信对数学错误的定义，只是他个人概括出的教师对待学 生学习错误的一般看法。 将辨别学生正误的标准局限于教科书或命题人的主观意图方面，显然是不恰当的。 依据现代汉语词典对错误的定义，应当把这个标准定位于数学中的“客观实际”， 也就是按照数学自身发展规律自然生成的“规律性内容”。当然，这并不意味着为了数 学的发展而由人所主观规定的“规则性内容”是可以随意违背而不必纠正的，应当认识 到“规则”制定出来是为大家所共同遵守的，并且在不同条件下是会发生变化的。( 刘 莹，郜舒竹，2 0 0 6 ) 数学中有很多内容是人为的规定，要学生牢固记忆这种人为规定而不出错是不可能 的，而学生在建构知识的过程中必然要经过自身的加工与整理，每个人也有自己特有的 习惯和方法，因此，并非不符合既定的、约定俗成的标准的内容就是错误的，所以，对 于错误概念的界定还必须仔细斟酌。 第三节数学错误研究 前人关于数学错误的研究主要集中在数学概念错误和数学计算错误两个方面，本研 究是针对小学生除法竖式计算错误的研究，主要涉及数学计算错误方面，因此以下将主 要针对数学计算错误的相关研究进行梳理，并主要介绍除法竖式计算错误。 一、数学计算错误的类型 如前所述，对数学错误的研究已经有了很长的历史，2 0 世纪四十年代，就有了对学 生计算错误的定量研究。例如，h e n r i e t t a h o l l a n d ( 1 9 4 2 ) 研究发现，学生在除法竖式计 算上的困难主要是由于计算过程本身的困难，以及学生对减法、乘法甚至加法的理解及 应用有困难而造成的。同时，他还概括了学生在从事除法竖式计算过程中的主要困难类 型：对除法本身理解的困难；乘法的困难；减法的困难；除的过程中涉及基本 运算出现的困难；位置上的困难；估商的困难；o 的困难等等。另外，为了帮助 学生纠正错误，h e n r i e t t a h o l l a n d 还设计了一系列的符号，用以代表错因。例如：“z o m 表示丢了o ；“p ”表示位置错误；“wq ”表示商有错；“bd ”表示截数。( 落) 错误；“w c ”表示进位错误；m 表示乘法错误；“s ”表示减法错误；“r ”表示余数错误。 w o r t h j o s b u m ( 1 9 4 6 ) 认为，学生在学习中所犯错误率高的内容就是学生的困难。 他将除数是两位数、商是一位数的除法分成了以下九种类型，并依据这九种类型编制了 测试问卷，以考察学生在除法计算上的困难。 1 ) a ：针对位值或除法竖式的运算形式，如1 8 3 - - 6 1 ； 2 ) o ：商中有零，如0 + 2 8 ； 3 ) r ：余数不为零的除法； 4 ) b ：个位上有借位； 5 ) b 。：十位上有借位； 6 ) b 2 ：十位和个位上都有借位； 7 ) c ：有进位的乘法( 在部分商与除数相乘过程中发生了进位) ，如1 7 6 + 2 2 ； 8 ) q ：商不明显； 9 ) q ( 带有下标) ：为了得到正确的商要经过多次错误的尝试。 尽管明确界定了这九种类型，但是实际的测试题目更多是两种或多种类型的综合， 例如5 0 + 2 1 ，属于b r 类型( 意为此题的减法运算个位需要借位，并且最后的余数不为 零) 。 通过调查，他发现学生在进行除法竖式计算过程中的困难主要表现为以下六种： 1 ) 对位值和运算形式理解的困难； 2 ) 在确定余数上的困难； 3 ) 商中有零的困难； 4 ) 进位乘法困难； 5 ) 退位减法困难； 6 ) 当商不明显时，确定商困难。 从w o r t hj o s b u m ( 1 9 4 6 ) 的错误统计表中可以看出，其中错误率较高的，多为包 含进位乘法、退位减法以及余数不为零的除法( 如b r 、c r 、b c r 类等) ，错题数均明 显超过了其他类型题目。 。具体内容参见后文，“对除法竖式运算法则的理解”。 以上可以看出w o r t hj o s b u m 的测试针对性较强，每道题目都有要考察的主要知识 点，这对学生错误原因的分析以及最后的归类都有很大帮助，因此本研究也计划参考 w o r t hj o s b u m 的问卷编制方式。 邱学华在小学生计算错误的研究( 1 9 7 9 ，p p 1 7 - 4 9 ) 中，从整数计算、分数计 算、小数计算、几何形体有关计算以及正负数四则计算五个方面列举了大量错误案例， 并针对不同的运算对学生的错误类型进行了划分，简单概括起来，主要有以下几个方面： 没有对齐相同数位；基本口算算错；进、退位错误；零的计算错误；不同运算相混淆； 除法试商错误等。 张泰山、梁秋莲( 1 9 8 6 ) 分别从整数、小数、分数四则运算，简便运算和文字题五 个方面对加法、减法、乘法、除法运算中容易产生的错误进行了划分。以除法为例，他 们将整数除法计算的常见错误划分为：遗漏被除数；商的首位数商0 ；商的首位 数写错位置；试商错误；计算商中间有0 的除法的常见错误；计算商末尾有0 的 除法的常见错误；计算被除数和除数末尾都有0 的除法的常见错误；商和除数相乘 的常见错误；部分被除数减“分去的数”的常见错误。 曹培英( 1 9 8 6 ) 在计算教学中将计算错误的类型划分为： 口算错误 计算错误 方法错误 蓍薹鎏兰妻蚕羹薹鋈 其它错误 徐斌( 1 9 9 5 ) 曾对小学二年级学生表内乘除法口算的错误进行过调查，处理了1 4 6 6 0 0 道口算题，对学生易错的题型进行了整理。结论表明： 1 ) 除法错题略多于乘法错题： 2 ) 大数乘小数的错题略多于小数乘大数的错题； 3 ) 商比除数小的错题多于商比除数大的错题； 4 ) 用7 、8 、9 的口诀计算的乘法和除法错题多于用其他口诀计算的乘除法题。 除此，笔者还从其他学者的研究中了解到了一些相关的研究信息。例如，美国数学 教育家b r o w n 等人曾就减法运算的学习对1 3 2 5 名小学生进行了调查，发现了学生常犯 的1 4 条错误，并提供了针对某些错误的诊断图：心理学家s t e f f e ，l 调查了8 岁小学 生怎样解决乘法问题( 孔企平，2 0 0 1 ) 。 学者们关于小学生计算错误的主要类型划分大致可以概括为以下几点； 1 3 1 ) 针对不同计算内容。如邱学华( 1 9 7 8 ) 、张泰山与梁秋莲( 1 9 8 6 ) 、曹培英( 1 9 8 6 ) 以及徐斌( 1 9 9 5 ) 等人的研究，均涉及加、减、乘、除四种运算形式。 2 ) 针对具体题型。如w o r t hj o s b u m ( 1 9 4 6 ) 即通过错误类型进行编码而对学 生的主要错误进行的调查。 3 ) 找出错在哪里。如h e n r i e t t ah o l l a n d ( 1 9 4 2 ) 、w o r t hj o s b u r n ( 1 9 4 6 ) 以及张泰山和梁秋莲( 1 9 8 6 ) 的研究都明确指出了学生的错误所在。 二、数学计算错误的原因 在平时的数学教学及数学学习过程中，无论是教师还是家长，甚至学生自己都习惯 于将数学错