（动力机械及工程专业论文）柴油机缸盖机体的热与机械应力耦合计算研究.pdf

a thesis submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree for the master of engineering investigation of thermo-mechanical coupling on cylinder head and block of diesel engine candidate : huang chengfu major : power machinery and engineering supervisor: associate prof. cheng xiaobei huazhong university of science using the coupled calculation, this paper simulated the temperature field and the stress field of a type of diesel. in addition, the thesis provided some improvement suggestions for further optimum design of this type of diesel. keywords: diesel coupled calculation temperature field stress field cfd 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 iii 目目 录录 摘摘 要要 . i abstract . ii 1 绪论绪论 1.1 研究背景以及意义 . (1) 1.2 研究的现状与发展 . (2) 1.3 本章主要内容 . (4) 2 传热及有限元分析基础传热及有限元分析基础 2.1 有限元法基础 . (6) 2.2 传热学基础理论. (7) 2.3 弹性理论基础 . (11) 2.4 耦合分析基础理论 . (22) 2.5 本章小结 . (23) 3 温度场计算温度场计算 3.1 温度场计算概述. (25) 3.2 有限元模型的建立 . (26) 3.3 msc.patran 生成 mpc 文件 . (30) 3.4 边界条件 . (31) 3.5 编写命令文件 . (37) 3.6 本章小结 . (38) 4 温度场计算结果分析温度场计算结果分析 4.1 缸盖温度场分析. (39) 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 iv 4.2 模拟温度场与实验对比 . (44) 4.3 缸套和缸垫温度场 . (50) 4.4 本章小结 . (53) 5 应力场计算分析应力场计算分析 5.1 生成模型 . (54) 5.2 缸盖鼻梁区应力场分析 . (57) 5.3 本章小结 . (62) 6 工作总结与展望工作总结与展望 6.1 全文工作总结 . (63) 6.2 今后研究展望 . (63) 致致 谢谢 . (65) 参考文献参考文献 . (66) 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 1 1 绪论绪论 1.1 研究背景研究背景以及以及意义意义 作为常规的动力机械装置，柴油机在许多地方许多行业得到了广泛的应用。柴 油机在运行中承受着非常复杂的热与机械负荷，因此必须具有良好的可靠性。随着 科技水平的不断进步，以及化石燃料资源的有限性和环境的日益恶化，新设计的柴 油机必须具有良好的经济性和可靠性。提高柴油机的经济性，一方面可以让燃料在 燃烧时释放出更多的能量，另一方面让冷却液与排气带走的能量变少1。但是强化程 度的提高也增加了柴油机的热与机械负荷，而热与机械负荷是影响柴油机可靠性的 重要因素。温度的升高会降低柴油机部件的强度等性能，有可能导致出现裂纹等严 重问题，从而降低柴油机零部件的可靠性，减少其使用的寿命。 随着内燃机功率的不断提高，原来设计的结构已经不能保证内燃机的可靠性要 求。高温热负荷一方面降低了内燃机零部件的强度等性能，另一方面会在内燃机零 部件上产生很大的热应力。频繁的热与机械负荷的交变作用很容易使内燃机零部件 产生裂痕2。要提高内燃机的可靠性，除了使用新材料，还应该相应的改进对内燃机 零部件本身的结构3。 有限元的计算分析有助于设计人员理解内燃机零部件的关键参 数4，帮助内燃机在设计中提高可靠性，同时缩短设计周期，降低设计成本并提高设 计的质量。有限元法等现代设计技术在内燃机的设计和开发中已经得到广泛的应用， 是内燃机零部件的设计和改进重要方法。因此计算内燃机温度场分布，并在此基础 上进行柴油机热与机械载荷的有限元耦合分析非常重要。 在有限元分析中若涉及不止一种条件的相互作用就需要进行场的耦合分析5。 基 于有限元的耦合场分析可以分为两类：第一类的流固场之间存在着共同的区域，求 解域部分或全部重叠在一起；第二类问题的流固场之间不存在共同的区域，它们之 间只存在一个把流、固两相分隔开来的交界面，柴油机涉及燃烧、冷却系统的有限 元耦合就属于这一类问题，交界面处固体传出的热量与流体吸收的热量相等，有限 元通过该热平衡来完成耦合计算。 流固耦合有限元分析问题从控制方程的解法上可以分成强耦合与弱耦合，强耦 合就是直接求解流固耦合问题；弱耦合需要利用分区迭代的方法进行求解。弱耦合 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 2 也叫顺序耦合法，分析时分别对流场和固体场用各自的求解器求解,然后通过中介交 换流场和固场的计算结果,从而完成流固耦合的求解。利用顺序耦合法求解热与机械 耦合问题时需要先进行热分析求解出结构的温度场，在后序的应力分析步中将得到 的单元温度作为体力载荷施加在有限元模型上 6。本文的柴油机缸盖-机体有限元分 析使用的是顺序耦合法，先在 cfd 软件如 avl fire 中以一个假定的边界条件对燃 烧室和冷却系统进行模拟，然后将计算得到的表面温度和换热系数（htc）映射到 有限元软件如abaqus中作为柴油机的壁面热边界条件来对缸盖的温度场进行有限 元分析， 接着再将计算得到的表面温度映射到 avl fire 中作为第二步计算的边界条 件，如此反复进行迭代，直至两次数据交换的误差较小。顺序耦合法充分利用现有 的计算流体力学和结构力学的方法和程序并能够保持程序的模块化，在使用的过程 中只需要对其进行少量的修改。强耦合也叫直接耦合法，就是在同一个方程中将流 场、固体场以及它们之间的耦合作用进行协同控制，在同一时间步内通过由耦合界 面连接的单一连续介质求出解所有的变量。 柴油机在工作中承受着复杂的交变热与机械载荷。柴油机在运行时承受着包括 螺栓预紧力在内的机械应力以及爆压的作用，这些力造成很高的应力分布。柴油机 热负荷包括稳定工况下的准静态热负荷和启动、停机、变工况以及瞬态循环过程中 的动态热负荷7。由于高温热负荷会降低零部件材料的强度，柴油机在运行过程中经 常会出现因为强度不足而导致的诸多问题。同时柴油机运行时各零部件温度分布不 均而且温差很大。高温以及温度分布不均导致的热应力的反复作用使柴油机零部件 特别是缸盖很容易产生热疲劳裂纹，而且研究证明非稳定工况下的热应力要比机械 应力高得多8。因此深入的研究分析柴油机的热负荷，并在此基础上考虑多种机械载 荷综合作用的有限元分析是目前柴油机零部件设计研究的热点内容。 柴油机安装时会产生较大的预紧力，工作时需要承受循环作用爆压产生的爆压 和热负荷产生的较大热应力，所以会在局部区域出现塑性变形。实际中内燃机的寿 命会受到设计、工艺和使用等各个环节的影响。所以柴油机零部件的损坏需要综合 考虑多种因素的作用。 1.2 研究研究的现状与的现状与发展发展 热与机械负荷会直接影响内燃机零部件的可靠性，因此研究在热与机械负荷综 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 3 合作用下的强度问题是提高内燃机零部件设计水平的关键内容之一。 要充分的研究热与机械负荷综合作用下的强度问题，首先要研究内燃机受热部 件的热负荷及其规律，而内燃机受热零部件的热负荷及其规律到目前还没有被技术 人员完全掌控，因此需要行业人员深入对其进行研究分析。国外对内燃机中流场的 研究始于在上世纪七十年代，1988 年，kenny9 等初步模拟分析了内燃机冷却系统， 也获得了一定的研究成果。 此后的几年里， jin kameyama、 sortor m 、 yuichi shibata10 等先后开展了冷却系统性能预测与优化的研究工作，并对内燃机冷却系统及受热零 部件进行了大量模拟分析，比较全面地获得了冷却液流动的分布情况。 shojaefard.m.h11等同时考虑温度场和流场的影响，利用有限元完成了缸盖的传热以 及流场的分析，对内燃机运行状态下缸盖的热负荷状况进行了较准确的模拟分析。 国内在上世纪八十年代开始研究柴油机受热部件的热负荷及其规律，但由于计 算机技术和实验水平水平的局限，内燃机传热过程的研究都做了简化而且都是限于 二维稳态温度场12。九十年代后逐步开展了内燃机内的三维传热研究。内燃机的传 热研究是一个复杂而庞大的系统，涉及到多个学科之间的联系，从单一学科去研究 内燃机热问题是不准确的。现代内燃机热研究的一个热点是把燃烧、冷却、传热与 内燃机部件整体耦合起来，进行内燃机传热的全仿真模拟。即使在内燃机行业得到 高速发展的今天，内燃机零部件传热问题得到了充分的研究，但内燃机传热全仿真 模拟的实施还有很大的难度，它依赖于对内燃机冷却和燃烧流场的仿真准确程度和 计算机科技水平的发展13。 1987 年,陈国华14等首次利用耦合的思想建立了包括活塞组、 润滑油和缸套系统 的循环瞬态传热模型。2000 年，白敏丽15等建立了内燃机燃烧室的瞬态传热模型， 然后通过耦合模拟的方法分析活塞环摩擦热对燃烧室部件的影响。2003 年，辛军16 等使用 kiva 软件利用耦合法模拟分析了内燃机燃烧室部件和冷却系统的相互影响。 2003 年，杨万里17等通过结合 avl fire 和 boost 等软件的模拟计算和台架试验 确定冷却水套和燃烧室壁面的热边界条件，比较准确地计算出了内燃机整机的热分 布。2007 年，李迎18等通过编制程序进行模拟计算获得内燃机缸内工作过程的初始 热边界条件，建立了包括活塞组、缸套、机体等部件的内燃机耦合分析模型，较准 确地模拟了多种工况的传热耦合分析；并最终实现了内燃机整机热平衡状态的模拟 分析。 发达国家较早的进行了内燃机的强度及可靠性方面的研究，并且能综合利用模 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 4 拟分析和实验相结合方法进行研究和设计。通过研究得到了非常实用研究结果，不 断提高了内燃机的使用寿命。但影响内燃机的强度及可靠性的因素很多，结构、材 科、加工以及运行的方式等对内燃机的强度及可靠性的影响都很大，并且很少有公 开发表的实验方法、数据和评定指标。而是通过长期的总结才能得到相关问题分析 处理方法。 国外在内燃机有限元分析研究方面非常成熟， 包括fev、 avl和ricardo 等专业内燃机研发机构都有着非常全面而且成熟的有限元分析能力。2004 年，avl 公司的 fzieher 等19全面说明了缸盖的 cae 分析。 国内的内燃机零部件有限元计算起步比较慢，近年来，国内的内燃机厂家通过 与 avl、fev 等公司的合作，在内燃机有限元计算方面发展迅速，取得了很大的进 步。2001 年，廖日东、左正兴20利用有限元法，通过计算获得缸盖稳态温度场后， 研究了缸盖热应力、机械应力和综合应力分布规律。2004 年，梁莎莉21等利用有限 元法分析了缸盖的结构强度，计算并分析了缸盖的温度场和综合应力场分布情况。 2005 年，陈立锋22等利用 i.deas 软件，通过热机耦合的方法分析了柴油机缸盖在 不同工况下的应力分布规律。2005 年，李红庆23分别计算并分析了主轴承壁在螺栓 装配载荷工况、轴瓦装配载荷工况和动轴瓦载荷工况下的强度。2007 年，杨万里24 等建立了包括缸体、框架、轴瓦、曲轴及连接螺栓在内的内燃机轴承座模型，进行 结构改进后加强了轴承座局部薄弱区域的刚度。 1.3 本文主要内容本文主要内容 本文通过计算柴油机的燃烧和冷却系统的流场，获得缸盖火力面、缸套内表面、 水套壁面的热边界条件， 利用映射的方法完成柴油机缸盖-机体传热的耦合模拟计算， 获得内燃机零部件温度场的分布情况。在此基础上计算柴油机缸盖-机体在多种载荷 下的应力场分布，为柴油机缸盖-机体的设计以及改进提供参考，文章的主要内容包 括： (1) 阅读了大量的国内外文献资料，阐述了业内关于本课题的研究的现状以及 发展趋势；了解有限元模拟计算基本原理以及具体的实现步骤，熟悉并掌握模拟计 算需要的使用的软件，为学习研究进行规划。 (2) 利用 avl fire 软件完成了柴油机冷却系统和缸内燃烧的 cfd 计算，评估 了冷却系统各主要参数的分布情况。 通过 fire 软件的映射功能获得缸内燃烧和冷却 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 5 水套的热边界条件，实现了 cfd 与有限元的整体耦合计算，得到柴油机温度场的分 布情况。 (3) 完成了该型号柴油机稳态运行时的缸盖温度场测量实验， 利用试验数据分析 缸盖温度场的分布情况；并将试验测量值与模拟结果进行比较，验证有限元模拟计 算的准确性。 (4) 计算了柴油机缸盖-机体部件在多种载荷和温度场下的应力分布，并分析了 应力分布危险区域缸盖鼻梁区的应力分布情况，为柴油机零部件的设计和改进研究 提供参考。 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 6 2 传热及传热及有限元有限元分析基础分析基础 2.1 有限元有限元法法基础基础 2.1.1 有限元有限元概述概述 虽然许多工程问题可以获得基本方程、边界条件和初始条件，但只有少数方程 简单、边界规则的问题可以获得解析解，绝大多数工程问题需要借助其他途径求解。 计算机软硬件的快速发展使得数值求解方法得到越来越广泛的应用，数值解法中的 有限元法成为处理各类复杂工程问题的一种有效方法。有限元分析方法有机的结合 了弹性理论、计算数学和计算机软件。有限元数值分析方法可以用来求解各种传热、 结构力学、断裂力学和流体力学等连续性问题。现在有限元分析法在内燃机零部件 产品的设计研究中得到非常广泛的应用25。内燃机结构复杂而且受到多种载荷的作 用，难以实现精确的模拟。因此，建立与实际内燃机结构接近的有限元模型，以及 给有限元模型施加接近实际运行状态的各种复杂边界条件，通过有限元法计算出与 内燃机实际运行状况相近的热与应力分布一直是国内外行业人员研究的的重点26。 有限元分析的首先将求解域离散成有限个单元组成的组合体，每个单元都有指 定有限个数的节点数量，这些单元仅在顶角处通过一定的方式由节点联接在一起， 所有的单元构成了有限元计算分析的模型。进行有限元分析首先选定所求结点值的 物理量例如结点位移作为基本未知量，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移 的分布规律，一般用待求场函数或其导数在各结点的数值以及插值函数来表达假设 的近似函数，再利用力学理论中的变分原理或其他方法得到一组以结点位移为未知 量用来表示结点力与其位移的关系的代数方程，通过这组代数方程可以求解出结点 的位移。最后利用插值函数确定求解域上的待求的场函数。如果有限元的单元能够 满足收敛性要求，进一步缩小单元尺寸就能够不断增加解的近似程度并最终收敛于 精确解，但单元尺寸的缩小也会增加模型单元数量，导致计算的成本变大。有限元 法的实质是：通过把无限个自由度的连续体理想化为有限个自由度的单元的集合体， 待求解的问题就可以简化为结构型问题，进而可以用数值解法进行求解27。 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 7 2.1.2 有限元有限元分析计算分析计算软件软件简介简介 有限元分析软件非常多，在通用的大型有限元分析软件中目前得到广泛应用的 有 ansys、adina、abaqus、msc 四个，而这其中 adina 和 abaqus 因较强 的非线性分析能力成为目前得到最多认可的非线性有限元分析软件。abaqus 则致 力于解决结构力学以及相关领域的深层次问题，其强大的非线性分析功能在设计和 研究中得到了广泛的认可。在航空航天、电子、汽车、材料工程和能源等各个工程 领域得到了充分的应用28。 本文也将基于 abaqus 进行柴油机零部件热与结构的模 拟分析。 诞生于 1978 年的 abaqus 是功能非常强大的通用有限元分析软件，其解决复 杂非线性问题的能力得到普遍的认可。abaqus 包括前后处理程序 abaqus/cae、 核心模块 abaqus/standard 和补充的显式计算模块 abaqus/explicit 等。 abaqus 具备超过 400 种的单元库和丰富的材料库，可以模拟和研究各种领域的问题以及多 物理场的耦合问题，解决复杂的高度非线性问题29。 abaqus 具有良好的操作性， 可 以 很 容 易 建 立 起 复 杂 问 题 的 有 限 元 模 型 。 软 件 自 带 的 前 后 处 理 程 序 abaqus/cae 有友好的用户界面，用户通过在界面内选择不同的模块来使用软件 的各种功能和命令。同时用户通过关联 abaqus 提供的关键词可以直接编辑.inp 格 式的文件。高级用户还可以在 dos 界面下调用命令 abaqus command 进行有限元 计算。 此外通过提供了多种途径的二次开发接口， abaqus 具有了更广泛的适用 性。abaqus 的有限元分析可以帮助产品在设计初期进行预测，避免重复设计，以 及对产品在使用过程中出现的各种问题进行分析。 2.2 传热传热学学基础基础理论理论 研究内燃机的实际工程问题经常需要获得其受热零部件温度场的分布。内燃机 中的这些零件在运行中承受着高温高压的综合作用，为了分析内燃机受热零部件的 高温强度，就需要了解其温度的分布状态。柴油机温度场的分布可以通过实验和计 算的办法获得。但实验方法获得柴油机受热零部件温度场的分布具有很大的局限性， 毕竟柴油机上能布置的温度测点非常有限。如果通过有限元法计算温度场，就可以 了解内燃机受热零部件的温度分布，并能初步判断设计的合理性。最有效的方法是 实验与计算的有机结合30。 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 8 进行内燃机传热分析是为了获得在一定的边界条件下内燃机受热零部件的温度 场分布，并在此基础上计算出因温度变化导致的变形以及应力分布31。 1）使用有限元分析内燃机传热过程时涉及的主要传热形式包括稳态传热和瞬态 传热两种。 瞬态传热是指加热或冷却的过程。在加热或冷却地过程中系统的温度、热流率 和系统的内能会随时间发生明显的变化。计算瞬态传热过程需要计入热存储项，其 表达式如下： + = ctktq (2.1) k t q 上式中是传导矩阵，包括导热系数、对流系数和辐射率； 是单元节点温度向量； 是单元的节点热流率向量。 如果存在存在随时间变化的的载荷，瞬态传热的表达式为： + = ( ) ctktq t (2.2) +=qqq 流入生成流出。 稳态传热是指热流不随时间变化即净热流率为0的情况，流入的热量加上产生 的热量等于流出的热量：稳态传热中系统的温度、热载荷不随时间 而发生变化，满足热力学第一定律。稳态传热的有限元方程如下： ktq (2.3) k t q 上式中是传导矩阵，包括导热系数、对流系数和辐射率； 是单元节点温度向量； 是单元的节点热流率向量。 稳态传热的微分表达式为： ()()()0 xxyyzz tyt q xxyyzz (2.4) 瞬态与稳态传热的区别是瞬态传热中热载荷随时间变化，而稳态传热中热载荷 不随时间发生变化。为了在有限元中表达瞬态传热中随时间变化的载荷，可以将载 荷随时间变化的曲线分解为多个载荷步。有限元热分析将载荷时间变化曲线中的每 个拐点作为一个载荷步，每个载荷步都需要定义时间及对应的载荷值。而稳态传热 中的热载荷不随时间变化，计算成本较低，本论文选用稳态的温度场进行内燃机受 热零部件的有限元分析32。 2）内燃机耦合传热分析基本原理 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 9 由内燃机内的传热可知，流体和固体之间存在复杂的热交换过程。在流体和固 体的交界面上温度和换热系数时刻变化且相互影响。实现整体耦合计算的关键因素 是建立两者间的热传递的方程式。由能量守恒定理可知：在交界面两侧，一方释放 的能量等于另一方吸收的能量。所以，可用下式描述介质之间的热传递情况： |() w ffw t qh tt n (2.5) 式中：h 是对流换热系数 (w /(m 2k)； 是固侧导热系数 (w /(mk)；tf 是流体温度(k)；tw是壁面温度(k)。 导热基本定律傅立叶定律33的表达式为： t q n (2.6) /(); qn wm k n t n n 2 上式中 表示 方向上的热流密度矢量（w/m ）； 是材料的导热系数，( 是单位法相向量； 是温度在 方向上的温度梯度。 物性参数导热系数的大小是体现了材料导热能力的大小。不同的材料导热系数 不同，同一材料的导热系数在不同的温度下也不相同。内燃机的零部件材料的导热 系数越高，冷却效果就会越好。准确定义各零部件的导热系数对内燃机有限元传热 计算非常重要。内燃机在实际运行中很容易在冷却套的冷却侧形成水垢，水垢的导 热系数非常低，会降低内燃机冷却的效果。 利用梯度和散度的向量形式推导(2.6)式，可以得到直角坐标系下导热微分方程 式： x t kqx y t kqy (2.7) z t kqz 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 10 x x n x xx x t tt qqx t qqx 上式中 是物体任意边界处的外法线方向向量。以x方向为例，当的方向与 坐标轴相反（为负值）时， 为正值， 的方向与 轴方向相同；当的方向与 坐标轴相同（为正值）时， 为负值， 的方向与 轴方向相反。 结合能量守恒定律推导出的固体传热微分方程表达式如下： cz t y t x t t t )( 2 2 2 2 2 2 (2.8) s 2 上式中 是热扩散系数（m / )： c k (2.9) c 为为材料的定压比热（j/(kgc)） ，为材料内热源强度（w/m） 。 固体处于绝热状态的温度记为： ct (2.10) 结合 (2.11)可以写成： 0)( 2 2 2 2 2 2 t t tz t y t x t (2.11) abaqus 中，采用加权残差的方法进行传热分析，用热传导方程和边界条件加 权残差为零的方法推导出近似的有限元求解方程。将连续的求解区域离散后，每个 单元内的温度分布为： 1 ( , )( ,) ( )( , , ) ( ) n iiiiiiii i t x y z tn x y z t tn x y z t t (2.12) 上式中 n(x,y,z)表示温度变化在单元内的插值函数，t(t)表示随时间变化的单元 节点温度。由于方程(2.12)代入热传导微分方程(2.11)，方程右端非零，存在残差 r。 根据 galerkin 法，以插值函数 n（x,y,z）作为权函数，使残差在 galerldn 加权积分上 等于零。 如果热交换达到稳定，温度不会随时间变化，即： 0 t t t (2.13) 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 11 这种温度场就是稳态温度场，其热传导微分方程简化为： 0)( 2 2 2 2 2 2 z t y t x t (2.14) 研究温度分布问题常见的热边界条件可依次分为以下三类： 1（）已知边界温度值，一般用已知公式表示边界的温度函数： ( , , , )tf x y z w (2.15) ( , , , )f x y z 上式中是随位置和时间变化的壁面温度函数。 2（ ）已知边界的热流密度： xyzw ttt knknknq xyz （） （）+ () = (2.16) 式中 qw是已知的热流密度，沿边界面外法线 n 的方向。 3（）已知与物体相接触流体介质的温度和换热系数值： xyzwf ttt knknknh t- t xyz （） （）+ () = () (2.17) 式中与 tf的值可以是常数，也可以是随时间、位置变化的函数，这个变化的 函数可以通过在数值计算中采用分段取平均值的方法处理。 2.3 弹性弹性理论理论基础基础 2.3.1 弹性力学理论基础弹性力学理论基础 当弹性体受力后， 其内部就会产生应力。 可以用图 2-1 所示的九个应力分量来描 述弹性体内任一点的应力状态34，将每一个面上的应力可分解为一个正应力和两个 剪应力，其中 x、y、z 三个方向的正应力用x，y，z表示；剪应力用 xy，xz，yz 表示。由剪应力互等定理可知，六个剪应力并不都是独立的，而是两两相等的，所 以九个分量只有六个不同。由材料力学可知，如果这六个应力是已知的，那么就可 以求得经过该点的任何斜裁面上的应力。 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 12 图 2.1 应力分量示意图 受外力作用下的弹性体在处于平衡状态时，可用六个应力分量的坐标函数描述 其内部任一点的受力状况。同时，弹性体受力变形时要保证变形的协调性，即应变 和位移的变化必须是连续的。有限元法的未知数是位移，解出位移后，通过几何方 程解出应变分量，最后由物理方程解出应力。如果位移函数能够满足协调性，从几 何方程推导出来的协调方程自然可以满足协调性。 许多工程实际问题属于三维问题。三维问题有限元法的原理和解法完全类似于 平面问题的有限元法，弹性体的三维问题的基本方程有平衡方程(3 个)、几何方程(6 个)和物理方程(6 个)。对应有 15 个未知量，即 3 个位移分量、6 个应变分量和 6 个 应力分量。 平衡方程和剪切力互等方程如下： xyyx yzzy zxxz (2.18) 0 0 0 yz xzx xyy zx yz xzz x xyz y xyz x xyz 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 13 几何方程如下： x y z u x v y w z (2.19) xyyx yzzy zxxz uv yx vw zy wu xz 上式中x，y，z表示正应力，xy，yz，xz表示剪应变。 物理方程如下： 1 () 1 xxyz xyxy e g 1 () 1 yyzx yzyz e g (2.20) 1 () 1 zzxy zxzx e g eg上式中 为弹性模量， 为剪切弹性模量， 为泊松比。 上述方程只有求解相对简单问题才能得到解析解，复杂问题很难求得解析解， 一般通过数值法求得近似解，而有限元法是目前使用较广泛的数值解法。利用有限 元法来分析三维问题时，也要将弹性体离散成连续单元。常用变分法求解弹性力学 问题，变分法通常有位移法和应力法两种，其中位移法是基于最小位能原理或虚位 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 14 移的原理，而应力法基于最小余能原理。而有限元法是以变分法为基础的。 2.3.2 热应力热应力概述概述 外力的作用和温度的变化都可以使弹性体产生应力、应变和位移，弹性体各点 在外力作用下产生的应力、应变和位移是一般弹性理论研究的内容；而弹性体受到 非均匀温度场作用而产生的在弹性范围内的应力、应变和位移是热弹性理论研究的 内容 35，热弹性力学也是固体力学的分支，是弹性力学的外推。各向同性地材料在 热膨胀只产生线应变，不产生剪切应变，可以把热变形产生的应变当作初应变0。 三维问题，0的在三维问题中可以表达为： )( 00 (2.21) 0 i 1/ c 上式中 是材料热膨胀系数（）； 是初始温度； 是稳态温度。 可以通 过对温度场分析得到的节点温度 的插值得到，求解 的公式如下： e i n i i nzyxn e 1 ),( (2.22) 如果有初应变，表达式变为： )( 0 d (2.23) 上式结合虚位移原理就可以得到含有温度应变的最小位能原理，可以用来求解 热应力问题： 0 ) 2 1 ()( 00 t d tudfuddu tttt p (2.24) 离散有限元的求解域得到的热应力有限元求解方程为： pka (2.25) 上式的中的载荷项p包含了由温度变化引起的载荷。p的表达式如下： 0 pppp tf (2.26) 载荷项 f p、 t p分别是由体积、表面载荷产生的， 0 p 是由温度变化产生的。 ddbp t 0 0 (2.27) 从上述可知，与普通的应力问题相比，结构热应力问题多了一项温度载荷项 p0。 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 15 热弹性理论也是从问题的静力学、几何学和物理学三个方面出发建立未知量满 足的基本方程和相应的边界条件，与没有温度变化的一般弹性理论方程相比，从静 力学出发建立的平衡方程完全相同： )( 2 2 t u ox zyx zx yx x )( 2 2 t v oy zyx zyyxy (2.28) )( 2 2 t w oz zyx z yz xz 上式中x、y、z是温度改变引起三个方向的热应力分量；xz、yx、yz、 zx、zy为三个方向的剪应力，且xy=yx，xz=zx，yz=zy。与一般弹性理论 的方程一样，热弹性理论的几何方程的形式如下： x u x y v y (2.29) z w z x v y u xy x w z u xz (2.30) y w z v yz 通过比较可以看到 6 个几何方程的表达形式就会不变。当弹性体的应变同时由 应力和温度变化引起起，可将应变分成两部分，其中应力引起的部分服从胡克定律， 温度变化引起的部分则服从热膨胀规律。如果热膨胀系数是常数，材料均匀而且满 足各向同性时，那么在温度发生变化时物体中无限小单元体还会保持性状不变，在 单元的各个方向上产生的应变相同： 华华 中中 科科 技技 大大 学学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 16 xyz t (2.31) 式中的上标 表示应变是由温度变化引起的，同时温度变化不产生剪应变： 0 222 yzxzxy