（应用数学专业论文）kgs与zakharov格点系统的全局吸引子与核截面.pdf

上海师范人学硕上学1 讧论文巾文摘要 摘要 动力系统( 包含有限维和无穷维) 是非线性科学的一个重要的组成部分，它研究自然现 象随时间变化的演变规律在过去的几十年里，人们对无穷维动力系统做了大量的研究， 并且取得了很多的重要成果对于自治的无穷维动力系统来说，我们通常用全局吸引子来 描述它的长时间性态而对于非自治的无穷维动力系统而言，我们则一般用一致吸引子或 是核截面( 可看作是全局吸引子定义的推广) 来描述它的长时间行为不论是全局吸引子， 还是一致吸引子和核截而，我们主要都是研究它们的存在性、k o l m o g o r o v 熵、上半连续 性和h a u s d o r f f 维数、分形维数等。 格点动力系统( 包含自治与非自治) 作为一种典型的无穷维的常微分系统，囚其在 诸如化学反应理论、材料科学、激光系统发电气上程等重耍领域的广泛应用而受到 了很多数学工作者和物理工作者的青睐近些年来，有很多学者研究了格点动力系统 的解的存在性及其相关的动力学性质其中既有对自治格点系统的全局吸引了的存在 性、k o l m o g o r o v 熵、上半连续性和分形维的研究；也有对非自治格点系统的一致吸引子 或是核截面的存在性、k o l m o g o r o v 熵、上半连续性和分形维的探讨另外，对延时的和随 机的格点系统的解的存存性及相关动力学性质的研究同样被涉及 本论文的第章是对动力系统、无穷维动力系统、格点动力系统做。一个简单的叙述； 第二章则介绍了与本论文相关的一些预备知识：第三章就自治k l e i n g o r d o n s c h r o d i n g e r 格 点系统的全局吸引子的分形维进行了估计并且得到了它的一个上界；最后，在第四章首 先证明了非自治z a k h a r o v 格点系统的核截面的存在性，然后得到了其分形维的一个上界同 时建寺= 了其上半连续性。 关键词：k l e i n g o r d o n s c h r 6 d i n g e r 格点系统，z a k h a r o v 格点系统，全局吸引子，紧致核截 面，上半连续性，分形维数 英文摘要上海师范人学硕上学1 讧论文 a b s t r a c t d y n a m i c a ls y s t e m s ( f i n i t ea n di n f i n i t e d i m e n s i o n a l ) p l a ya ni m p o r t a n tp a r ti nn o n l i n e a rs c i - e n c e ，w h i c hi n v e s t i g a t et h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro fn a t u r a lp h e n o m e n aw i t ht h et i m ev a r y i n g ， d u r i n gt h ep a s td e c a d e s ，c o n s i d e r a b l er e s e a r c h e sh a v eb e e nd o n e ，a n dm a n ya c h i e v e m e n t sh a v e b e e no b t a i n e da sw e l l a st ot h ea u t o n o m o u si n f i n i t e d i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m s ，w eo f t e n u s eg l o b a la t t r a c t o r s t od e s c r i b ei t sl o n gt i m eb e h a v i o r w h i l ef o rt h en o n a u t o n o m o u si n f i n i t e d i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m s ，w eu s u a l l ya p p l yu n i f o r ma t t r a c t o r so rk e r n e ls e c t i o n s ( c a nb e b o t hr e g a r d e da sg e n e r a l i z a t i o n so ft h en o t a t i o no fg l o b a la t t r a c t o r s ) t od e s c r i b ei t sl o n gt i m eb e h a v i o r h o w e v e r , w h e t h e rg l o b a la t t r a c t o r so ru n i f o r ma t t r a c t o r sa n dk e r n e ls e c t i o n s ，w ep r i m a r i l y s t u d yt h e mb ym e a n so ft h e i re x i s t e n c e ，k o l m o g o r o v e n t r o p y ，u p p e rs e m i c o n t i n u i t y ，h a u s d o r f f d i m e n s i o na n df r a c t a ld i m e n s i o n ，e t c a sat y p eo ft y p i c a li n f i n i t e d i m e n s i o n a lo r d i n a r yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s ，l a t t i c ed y n a m i c a ls y s t e m s ( a u t o n o m o u sa n dn o n a u t o n o m o u s ) a p p e a lt om a n ym a t h e m a t i c i a n sa n dp h y s i c i a n sd u et oi t s w i d ea p p l i c a t i o n si nm a n yf i e l d ss u c ha sc h e m i c a lr e a c t i o nt h e o r y , m a t e r i a ls c i e n c e ，l a s e rs y s t e m s 。 e l e c t r i c a le n g i n e e r i n ga n ds oo n i nr e c e n ty e a r s ，t h e r ew e r em a n yr e s e a r c h e r sh a ds t u d i e dt h e u n i q u ee x i s t e n c ea sw e l la so t h e rp r o p e r t i e so ft h es o l u t i o n so fl a t t i c ed y n a m i c a ls y s t e m s f o re x a m p l e ，n o to n l yt h ee x i s t e n c e ，k o l m o g o r o v e n t r o p y ，u p p e rs e m i c o n t i n u i t ya n df f a c t a ld i m e n s i o n o fg l o b a la t t r a c t o r sf o ra u t o n o m o u sl a t t i c ed y n a m i c a ls y s t e m sh a db e e nl e a n t ；b u ta l s ot h ee x i s t e n c e ，k o l m o g o r o v e n t r o p y ，u p p e rs e m i c o n t i n u i t ya n df r a c t a ld i m e n s i o nf o ru n i f o r ma t t r a c t o r so r k e r n e ls e c t i o n sf o rn o n a u t o n o m o u sl a t t i c ed y n a m i c a ls y s t e m sh a db e e ni n v e s t i g a t e d i na d d i t i o n ， r e t a r da n ds t o c h a s t i cl a t t i c ed y n a m i c a ls y s t e m sh a v eb e e nr e c e n t l yc o n s i d e r e dt o o t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ：i nt h ef i r s tc h a p t e r , w em a k eas i m p l ei n t r o d u c t i o nt o “d y n a m i c a ls y s t e m s ”“i n f i n i t e d i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m s l ”a n d “l a t t i c ed y n a m i c a l s y s t e m s ”s o m en o t a t i o n sa n dp r e l i m i n a r i e sr e l a t et ot h ep a p e ra r ed e s c r i b e di nt h es e c o n d c h a p t e r f r a c t a ld i m e n s i o no fg l o b a la t t r a c t o r sf o ra u t o n o m o u sk l e i n ，g o r d o n r s c h r r d i n g e rl a t t i c e d y n a m i c a ls y s t e m s i se s t i m a t e da n da nu p p e rb o u n di so b t a i n e di nt h et h i r dc h a p t e r f i n a l l y ，i nt h e f o u r t hc h a p t e r , t h ee x i s t e n c eo fk e r n e ls e c t i o n sf o rn o n a u t o n o m o u sz a k h a r o vl a t t i c ed y n a m i c a l s y s t e m s i sp r o v e da tf i r s t ，a n dt h e na nu p p e rb o u n do ff r a c t a ld i m e n s i o no ft h ek e r n e ls e c t i o n si s o b t a i n e da sw e l la st h eu p p e rs e m i c o n t i n u i t yo ft h ek e r n e ls e c t i o n si se s t a b l i s h e d k e yw o r d s ： k l e i n g o r d o n s c h r 6 d i n g e rl a t t i c es y s t e m s ，z a k h a r o vl a t t i c es y s t e m s ，g l o b a la t - t r a c t o r , c o m p a c tk e r n e ls e c t i o n s ，f r a c t a ld i m e n s i o n ，u p p e rs e m i c o n t i n u i t y i i 论文独创性声明 本论文足我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均己在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 论文使用授权声明 本人完全了解卜海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文存解密后遵守此规定。 名：辫聊躲陋脚 f0 上海师范大学硕上学位论文第一章前言 第一章前言 本章的主要内容是分别就动力系统、无穷维动力系统、格点动力系统做简单的叙述 1 1动力系统 动力系统是非线性科学的一个重要的组成部分，它研究自然现象随时间演变的动力学 行为经过p o i n c a r e 、l y a p u n o v 、b i r l ( 1 l o 嘴人的奠基和发展，动力系统已经成为了二十世 纪最富有成就的一个数学分支与此同时，产生了很多很好的应用数学( 如混沌控制) ，并 且在很多领域都有重要的应用( 【1 5 】) 一个动力系统是由拓扑空间及其上的连续自映射所构成的系统该系统研究的问题大 致可以分为如下两类：一类是孤立的研究一个自映射迭代生成的动力学复杂性质，即长 时间的形态；另一类是把一个动力系统看作是某个空间内的一点，研究诸如在微小摄动 下动力性状的改变 动力系统大致可分为拓扑动力系统、微分动力系统、随机动力系统等它不仅是非线 性科学的研究对象，而且是研究“非线性”的有力工具，其理论与方法已经广泛的渗透 到了许多重要领域和众多重要学科 一般来说，动力系统研究的主要问题( 【1 3 】) 是： ( 1 ) 轨道长时间的渐进性质，如极限点集、周期点集等； ( 2 ) 轨道在相空间的稠密性，如拓扑传递性等； ( 3 ) 动力系统的整体性质，如全局吸引子等； ( 4 ) 动力系统的拓扑分类和结构稳定性，如不动点和不变集的稳定性； 1 第章前言上海师范大学硕上学位论文 ( 5 ) 动力系统的复杂性，如混沌、分形一几何复杂性；拓扑熵、l y a p u n o v 指数一动力 学复杂性 研究这些问题的主要方法，一种是以结构分析为主的几何方法，另一种是以数值计算 为主的模拟方法本论文将采用几何方法来研究动力系统问题 1 2 无穷维动力系统 一般地说，常微分方程可看做是有限维的动力系统，而偏微分方程可看做是无穷维的 动力系统( 如流体力学的湍流问题) 它们之间的区别在于有限维动力系统研究的是时间上 的混沌现象，而无穷维动力系统研究的是空间上的混沌现象基于本论文的研究对象是无 穷维的动力系统，故此，在这里就不对有限维的动力系统做叙述了。近几十年来，随着计 算机的广泛使用及计算能力的不断提高，在非线性科学中发现的两个极端的现象( 一个是 具有内秉对称和保守性质的孤立子：另一个是在耗散系统中发现了奇怪吸引子和混沌) 以 及近来又发现的一批可从孤立子演化为混沌现象的非线性演化方程都对无穷维动力系统 的研究起到了积极地推动作用( 【1 3 】) 关于无穷维动力系统的研究，目前已经取得了很大的发展和进步 如r t e m a m 、v v c h e p y z h o v 、m i v i s h i k 分别在【2 4 】和【9 】里不仅对无穷维动力系统的相 关概念与理论都做了系统的叙述与总结，而且还通过对一些具有耗散效应的非线性发展 方程的吸引子存在性及其动态结构、h a u s d o r f f 维数、分形维数等问题的深入研究，获得 了一系列的重要结果由于无穷维动力系统被广泛的运用到诸如流体力学、气象科学、生 命科学等重要的科学领域，使得它成为了目前一个十分热门的研究课题 值得一提的是，对无穷维动力系统的学习和研究是一件复杂而且困难的事情尽管目 前动力系统的基本理论已经形成，但由于其理论体系的不完善，因此在实际应用中仍有 2 上海师范大学硕上学位论文第章前言 不少问题难以解决比如备受关注的全局吸引子，由于空间维数的无限性，使得对吸引子 的几何拓扑结构的描述仍是一件非常困难的事情，还有待于今后的进一步研究 1 3 格点动力系统 格点动力系统作为一种典型的无穷维的常微分方程系统，因其在诸如化学反应理论、 材料科学、激光系统及电气工程等重要领域的广泛应用而受到了很多数学工作者和物理 工作者的青睐近砦年来，有很多学者( 如e w b a t e s 、k l u 、b w a n g 、s z h o u 等) 研究了格 点动力系统的解的存在性及其相关的动力学性质其中既有对自治格点系统的全局吸引子 的存在性、k o l m o g o r o v 熵、上半连续性和分形维的研究( 如【l ，3 ，5 ，7 ，1 l ，1 7 ，1 9 2 0 ，2 5 - 2 6 ， 3 4 3 8 1 ) ，又有对非自治格点系统的一致吸引子或是核截面的存在性、k o l m o g o r o v 熵、上 半连续性和分形维的探讨( 如【2 7 ，3 1 ，3 3 ，3 9 - 4 0 】) 另外，对延时和随机格点系统的解的存在 性及相关动力学性质的研究同样被涉及( 如【2 ，2 2 ，3 2 1 ) j ! 说到这里，我们有必要提一下自治系统与非自治系统的区别和联系简单的讲，自治 系统不依赖于初始状态，它只依赖于发生的时间段；非自治系统则对初始状态有很强的 依赖性尽管如此，非自治系统里有许多概念和理论却是自治系统里相关概念和理论的延 伸与发展比如，用来描述非自治动力系统的长时间行为的两个非常苇要的概念：一致吸 引子和核截面就是自治动力系统里全局吸引子概念的推广 总而言之，鉴于格点动力系统在许多重要的科研领域的广泛应用，对它进一步的深入 学习、探讨和研究是必要的，也是值得的 3 第章前言上海师范大学硕上学位论文 1 4 本文的工作及主要结果 出翟溢二= ，舢一。， 哲ii2+-鼬au+ai移a+u-7臼h+(ua,vi钍)i=p：f(gt)。,，t丁，丁r， 4 上海师范大学硕上学位论文 第二章预备知识 第二章预备知识 作为预备知识，本章介绍一些与本论文所研究的问题相关的概念和符号 2 1相关概念 定义2 1 1 称度量空间三上的算子族 s ( 芒) ) t o 为连续的算子半群，如果s ( t ) ：三一 三，v t 0 满足 ( 1 ) s ( o ) = j ( 单位算子) ， ( 2 ) s ( t + s ) = s ( t ) s ( s ) ，v t ，8 0 ， ( 3 ) s ( ) z 关于( ，z ) 连续，v t 0 ，z 三 定义2 1 2 设算子族 s ( 亡) ) t 2 0 是完备度量空间e 上的连续算子半群，称集合c e 为【s ( t ) ) t 2 0 的全局吸引子，如果满足 ( 1 ) 是紧的， ( 2 ) 是不变的，即s ( ) = ，v t 0 ， ( 3 ) 是吸引的，即对任何有界集留e 成立 d i s t e ( s ( t ) , g 矽，) = d i s t e 器呈螳( s ( ) 。，y ) _ 0 ，v t - g 。：m a r _ o 。 霉绑 定义2 1 3 称b a n a c h 空间x 上的含两个参数的映射族【u ( t ，7 - ) ) t r ，7 - r 是个过程， 如果( ，7 - ) ：x x ， v t 7 ， 下尺满足 ( 1 ) u ( 7 ，7 - ) = ( 单位算子) ( 2 ) u ( t ，s ) ( s ，7 ) = u ( t ，丁) ，v t2s 7 ，7 - r 5 第二章预备知识 上海师范大学硕上学位论文 定义2 1 4 曲线妒( s ) ，8 r 称为【u ( t ，下) ) 垃r 的全轨道，如果 v ( s ，7 ) 妒( 7 - ) = 妒( s ) ， v s l 7 - r u ( t ，下) t r 的核疋由 u ( t ，丁) ) r 的所有有界全轨道组成，即 c = 妒( t ) ：妒( ) = u ( t ，7 ) 妒( 7 ) ， v t 7 - ，7 - r ， i i 妒( s ) 0 x a 4 妒，v s r 特别地，称集合 为t = | s 时刻的核截面 c ( 8 ) = 妒( s ) ：妒( ) 咒) cx 定义2 1 5 过程 u ( ，7 - ) ) t r 称为关于7 r 一致拉回有界的，如果存在有界集玩cx 使得对任意的有界集舀cx ，存在蚕= ( 7 - ，廖) 使得u ( 丁，1 - 一s ) 廖岛，v s ( 丁，廖) 这时， 称有界集晚为 ( t ，丁) ) t r 的吸收集 定义2 1 6 过程 u ( ，7 ) ) t 2 r 称为关于丁r 拉回渐进零的，如果对任意的有界 集舀ch ( 如2 2 节所示) 及任意的 0 ，存在t ( s ，丁，酋) 及( ，丁，舀) n i 吏得 u ( t ，7 - ) ) t 下的 经过p 艿的轨道在7 时刻满足 s u p ( 圳 蒹l 甸眦u c l 丁一s ，妒，川备) v 2 e ，v s 兰t ，l 后， 。圳 ( e 摩) 定义2 1 7 度量空间三里的紧集的分形维数d i m ，为 a i m ，如紫l i r ap 酱铲， 这里，( ，e ) 表示覆盖的半径为e 的闭集的最小个数 6 注2 1 1 研究分形维数的意义就在于如果d i m ，n e ( n ) ，那么我们就能作一 上海师范人学硕上学位论文第二章预备知识 个从到形( 死n ) i 堑j l i p s c h i t z 映射，并且它的逆映射是h 6 1 d e r 连续的 定义 2 2 相关符号 艮卜c 砒刊心皑 z 2 = = c 岣，z i 吻c ， 店 j z j z 1 + ， j 钟 0 e i f p l f 2 l | p | l ；= ( p ，p ) 。( 4 + e ) l f 肛| 1 2 ，v p h 护= ( 笆2 ，( ，) ，忆1 2 = ( 1 2 ，( ，) ，1 1 i i ) ，= ( 它2 ，( ，) 。，”l i c ) ， 则可知护，1 2 ，理都是h i l b e n 空间因此风= 蟹俨f 2 或f 2 x 护也是h i l b e r t 空间，而 且皿的范数和内积可以表示为 | j 妒j | 色= ( 妒，) 鼠，皿， ( 妒( ，妒( 2 ) 日。= ( t 正( ，札( 2 ) 。+ ( u ( ， ( 2 ) + ( 伽( ，叫( 2 ) ，v 妒( 皿= x2 2 f 2 ， = 1 ，2 ； ( 妒( ，妒( 2 ) 肌= ( t 正( ，u ( 2 ) + ( ( ，u ( 2 ) e - - i - ( 叫( ，叫( 2 ) ，v 妒( 皿= 1 2 x 俨， = l ，2 ； 其中，妒= ( 砖) j z = ( 弓，0 ，q ) j z 皿，6 = 1 ，2 最后，记g ( r ，日) 为从r 到日的有界连续函数的全体并引入递增的光滑函数x ( o ) c 1 ( 凰，f 0 ，l 】) 如下 8 i x 7 ( 多) l x o ，v 多r + ( 2 2 1 ) 1 o 、| 一 一 一 一 痧 0 11 仉 一 l l i 功 = 一 x _ x o 。j 2 ， 第三章自治k g s 格点系统的全局吸引子的分形维数 上海师范大学硕上学位论文 其中，加= ( w j ) j z ，w i r ；乱= ( ) j z ，c ；a w = ( ( a w ) j j e z ，a u = ( ( a 乱) j ) j z ； w i t = ( 屿吻) j z ，i u l 2 = ( i 乱j 1 2 ) j z ；，= ( 五) j z r ，互= ( 岛) j z g ；t 为虚数单位，乜，p ， 1 和a 都是止常数同时赋予( 3 1 2 ) 的初始值如下 w ( o )= ( w j ，o ) j e g ，西( o ) = ( 奶，o ) j g ，缸( o ) = ( u j ，o ) i e z ( 3 1 3 ) 其次，为了把( 3 1 2 ) 和( 3 i 3 ) 写成抽象的一阶常微分方程，我们假设 u = t i ，“叫一= 篇 撼们炉却似叶舢州叫r ； ， 其中，驴= ( w ，v ，钍) t ，u = g = 1 伽，f ( 驴) = ( 0 ，- y l u l 2 + f ， 6 l i i i w u 一蝤) 丁是局部l i p s c h i t z 连续的， p ，+ 6 l ( 6 1 一q ) ，( o t 一6 1 ) ， 00 。o 卜 i a + 入il ( 3 1 5 ) 从【2 9 】可n ( 3 1 4 ) 的解乒( ) 在r + 上是全局存在的且解映芽t s ( t ) ：驴( o ) = ( 叫( o ) ，u ( o ) ，乱( o ) ) t _ 驴( ) = ( 伽 ) ，口( t ) ，u ( ) ) 丁协，v t o 在耶= 嵋俨1 2 2 牛_ 成了连续的算子半群 s ( ) ) 。2 0 而且算子半群 s ( ) ) f 芝。拥有一个全局吸引子。蛎，它含于一 个以。为中心，半径为= ( 氆磐+ 等辨+ 垛) 1 7 2 的有界球玩= 玩( o ，岛) 里面此外， 还成立s ( t ) 蕊= 。，v t 皿，这里 因此，就有 1 0 峋= m i n 0 ， 0 卵 0 使得 ( 1 ) s ( t ) 在a _ k l i p s c h i t z 连续，即 s ( 丁) u 1 一s ( t ) w z l l z - zsl i l u l 一u 2 1 1 - ，吨一4 ， 6 = 1 ，2 ； ( 2 ) 存在有限维的投影算子pch 使得 ( ，一p ) ( s ( t ) w l s ( t ) w z ) 1 n ? 7 i l u l u 2 i i h ，讪。4 ，c = 1 ，2 ； 那么，4 的分形维数d i m r4 满足 胚a i m 川n ( ，+ 等) ( - n 南) 一 取9 ( 。) ( o ) 。，驴( ( t ) = s ( t ) 驴( ( o ) = ( 伽( ，t ，( ，u ( ) ) t ，= 1 ，2 ；并设函( ) = 驴( 1 ) 一 9 ( 2 ( t ) ，则由( 3 1 4 ) 便有 主三竺三三：薹：；：_ ( 3 2 1 ) 其中，函= ( ，( ，) r = ( 勺，白，岛) 晃z = ( 玉) j z ， 0 ，s ( t ) 在蕊上是l i p s c h i t z 连续的，即 9 ( 1 ) ( ) 一驴( 2 ( ) i i 蛳se ( c o 墙一如) 。i i 驴( 1 ( o ) 9 ( 2 ( o ) l | 勘， ( 3 2 2 ) 1 1 第三章自治k g s 格点系统的全局吸引子的分形维数上海师范大学硕上学位论文 其中 岛= 譬+ 丽1 ， 乜 z d a 的= m ；n 为了方便起见，我们用r e ( ，) 和，仇( ，) 分别代表( ，) 的实部和虚部 证明以函和( 3 2 1 ) 作内积( ，) 并取实部，就有 舭( 西，$ ) 嘞+ r e ( a c p ，参) 鳓= 冗e ( f ( ( 1 ) 一f ( 9 2 ) ，西) 咖 通过简单计算，一方面有 尺e ( 参，$ ) h en t - r e ( g 占，$ ) 耶互l 磊di i 钏 2 耶+ v o l l 0 5 1 1 2 。+ 詈i i ( 1 1 2 + 害l i 1 1 2 事实上 冗e ( 锄咖= 互l 刻d 刎乙， n e ( a 。，$ ) 月口= 6 。i i ) l l c l l 2 一筹怙t l p l l 1 1 二xu = ( 师忙怕一序石l | ) 2 ， 即 觑( g 鳓洲1 2 + ( 詈+ 冰| | 2 + 删1 2 峋玩+ 扣1 1 2 + 扣1 2 ( 3 2 7 ) 结合( 3 2 6 ) - - ( 3 2 7 ) ，便知( 3 2 5 ) 成立另一方面有 r e ( f ( p ( 1 ) 一f ( 眵( 2 ) ，函) 。，y ( i 乱( 1 i + i 乱( 2 ) i ) i i c i | i i 0 一i m ( w ( 1 ) u ( 1 ) 一叫( 2 ) 乱( 2 1 ，) ， 而 一，m ( 硼c l ，u ( 1 ，一叫c 2 ，让c ，) - - - i m ( 垒尘兰二! 尘兰丛兰兰l 三兰竺 堕! 二! 生竺幽，) 1 2 上海师范大学硕上学位论文第三章自治k g s 格点系统的全局吸引子的分形维数 南( j + i 札口) i ) | l i i 口1 1 1 1 ， 因此 月e ( f ( 9 1 ) 一f ( 9 2 ) ，$ ) 嘞7 ( i 也1 i + i 乱2 i ) l l c h f l l l + h - 南( 1 u ( j + l u 2 i ) i j j ( f ) ( 3 2 1 7 ) 2 。， ” 这样，对任意的j 了( 露) ，根据( 3 2 。1 5 ) ，( 3 ，2 1 7 ) 及( 3 ，2 。2 ) ，可知 磊d 1 1 8 j ( t ) l l 备。一峋i i q ；j ( t ) l l 玩+ c l + 厂c 一2 e z ( 岛r 3 一峋) to $ ( o ) o 一l j l 2 jl d l _ 2 j 。 依g r o n w a l l 不等式，可得 令 i u i _ 2 j f l ( e 咖。+ j 2 c o - 确一峋 西( o ) 晚 ( 3 2 1 8 ) 了= m a x j c 露，r 垒吾 三尝簧黼】+ 1 ) 2 j ， 是d i mh 2 j = ( 4 歹+ 1 ) 4 o 及 - = 卜+ 学 ( 3 2 1 0 ) 成立，g ，峋，g 和q 分别如( 3 2 3 ) 和( 3 2 1 3 ) 所示证完 1 4 作为引理3 2 1 一引理3 2 3 的一个直接的结论，我们有下面的定理 ( 3 2 2 0 ) i i 篆 上海师范大学硕上学位论文 第三章自治k g s 格点系统的全局吸引子的分形维数 定理3 2 1 全局吸引子确的分形维数d i m ，编满足 妇邴圳4 m ( 1 + 紫m 南) ， 其中，了和7 7 1 分别如( 3 2 1 9 ) 矛1 1 ( 3 2 2 0 ) 所示 注3 2 1 本章提供的估计自治耗散的k g s 格点系统的全局吸引子分形维数的方法，对 于定义在z n ( n 2 ) ，n 上的自治耗散的k g s 格点系统的情形仍然适用该情形下，线 性算子a ，b 及其共轭b 的定义如注5 2 ( 【3l 】) 所示 结束语：本章通过运用一个估计h i l b e r t 空间罩紧集分形维数的判据，从而得到了自治 耗散的k g s 格点系统的全局吸引子分形维数的一个上界本论文已发表在上海师范大学学 报( 自然科学版) 2 0 0 9 年第3 8 卷第一期 1 5 第阴章非自治z a k h a r o v 格点系统的核截面上海师范大学硕上学位论文 第四章非自治z a k h a r o v 格点系统的核截面 本章的主要内容是对非自治耗散的z a k h a r o v 格点系统的核截面的存在性，分形维及上 半连续性进行了研究，并且得到了相关的结论和结果 4 1 引入及准备工作 移iiz+-pa。u+aia+u-7h+(ua,vi札)i=p：f(夕t)。,，三r，丁冗， e 4 jj ， u ( 丁) = ( 钍j ( 丁) ) l z ，v ( r ) = ( 吩( 丁) ) j z ，心( 7 - ) = ( 奶( 7 - ) ) j z ，丁r ， ( 4 1 2 ) 其中，u j c ，r ；i 为虚数单位；o t ，p 和，y 都为正常数；h ( u ，v ) = ( h j ( u j ，吻) ) j z ， ，( t ) = ( h ( t ) b z c ，g ( t ) = ( o j ( t ) b 2 r ，i u l , = ( i 让j l ) j z ，p 1 为常数 卜+ u * * + i a u - h ( u , v ) _ m ， ( 4 1 3 ) 卜+ 触一+ ，y u 一( 1 u l p ) = 夕( z ，) 在r 上的离散情形该z a k h a r o v 方程描述的是一个l a n g m u i r _ ；i ；d 流模型，其中一 个方程对应于高频电场里l 锄g m u i r 波的包络，另一个方程对应于离子声波 王业娟( 【4 0 】) 则对非自治的z a j ( h 啪v 格点系统的一致吸引子的存在性，k o l m o g o r o v 熵作了 上海师范大学硕上学位论文第四章非自治z a k h a r o v 格点系统的核截面 次分析了该核截面的分形维数，最后建立了该核截面的上半连续性 作为准备工作，首先定义峨= f 2 瑶孽2 ，并记q ( r ，日) 的子集形为 其次，设 z ( t ) = ( z j ( t ) b z g ( r ，h ) ：v e 0 ，吖( ) n e 1i z j ( t ) l s u p t e r 2 _ i j i2 _ n (e 1l 。s w = 0 + 如 ，5 2 = 卢2 + 4 一y 则( 4 1 1 h 4 1 2 ) 可改写为下面的一阶抽象的常微分方程 驴+ y 妒= z ( 妒，t ) ，t 7 - ， 0 ， 妒( 7 ) = ( “( 7 ) ， ( f ) ，加( 7 - ) ) r = ( u ( 7 - ) ， ( 7 - ) ，移( 7 ) + 如u ( 1 ) ) t ，下r ， 其中，妒= ( u ，u ，叫) t ，w = 0 + 5 2 v ，而 i a + a i y = 10 0 a+7j曼如一卢，j。卢二二。52)i， 6 2 ， 一， l ， a + 7 j + 6 2 ( 6 2 一卢) j ( 卢一j - i h ( u ，口) 一i f ( t ) z ( 妒，t ) = 10 最后，我们做如下的假设( h 1 ) 一( h 5 ) ： - a l u l p + g ( t ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) ( h 1 ) 九是局部l i p s c h i t z 连续的：即对朋 0 ，存在l ( m ) 使得对任意的( 乱( ，秒( ) f 2 俨， 如果i i ( u ( ，u ( ) ) | f f 2 胆朋，6 = 1 ，2 ；那么就有 ( “( ，钐( 1 ) 一九( “( 引，u ( 2 ) | i l ( m ) ( i l u ( 1 ) 一乱( 2 1 1 2 + i l u ( 1 ) 一u ( 2 ) 1 1 2 ) 1 2 ( h 2 ) ( ( 让，口) ，钍)= j z ( ( ，) 弓r ，v u = ( 吻) j z1 2 ，口= ( ) j z 碍 ( h 3 ) f ( t ) = ( 乃( ) ) j z g ( r ，1 2 ) ，9 ( t ) = ( 缈( t ) ) j z g ( r ，俨) ( h 4 ) f ( t ) = ( f a t ) b z 形，日= 1 2 ；夕( t ) = ( 9 j ( t ) b z 澎，h = 驴 ( h 5 ) h c 1 ( c r ；c ) ；弼，u ( o ，0 ) = h 刖t ( o ，0 ) = 0 1 7 第四章非自治z a k h a r o v 格点系统的核截面 上海师范大学硕上学位论文 4 2 解的存在唯一性与有界性 本节的内容是证明( 4 1 5 ) 的解的存在唯一性与有界性 引理4 2 1 对任意的初始值妒一) = ( 仳( 7 ) ，口( 7 ) ，伽( 7 - ) ) t 风，( 4 1 5 ) 存在唯- n n n 解妒( t ) = ( u ( t ) ，口( t ) ，叫( t ) ) r 日使得对于而 7 有妒( ) c ( 【7 ，确】，峨) nc 1 ( ( 丁，勺) ，q ) 而 且，如果 1 1 2 ) + 1 酽( 1 l u 【1 ) i | + l i u ( 2 ) i ) 1 1 2 0 - i ) i i u i l 一钍佯酽， ( ( 1q - 专) l 2 ( 召) + 9 2 2 v - l p 2 三2 p 一2 ( b ) ) i f 妒( 1 ) 一妒( 2 ， ( 4 2 2 ) 其中，三( 侈) = s u p 。8l i u l l 和l ( 且) 都是依赖于屡的正常数( 4 2 2 ) 说明z ( 妒，t ) 关于妒峨局 部l i p s c h i t z 连续因为y 是从耳到峨的有界线性算子，则由常微分方程的经典理论，可知结 论成立证完 引理4 2 2 ( 4 i 5 ) 的解妒( ) = ( u ( t ) ，钞( 芒) ，叫( ) ) t 峨对初始值妒( 丁) = ( 钍( 丁) ，钞( r ) ，叫( 丁) ) r 峨满足 o ) 上都是有界的就是说， 解妒( 幻在t f r ，+ o 。) 上全局存在于是，解映射u ( t ，f ) ：妒( 丁) = ( 丁) ，( 7 - ) ，铆( 7 - ) ) t 墨一 妒( ) = ( 让( ) ，u ( t ) ，训( ) ) 丁日，v t 7 ，就在以上生成了一个连续的过程 u ( ，7 - ) ) t r 引理4 2 3 ( 4 1 5 ) 生成的过程 u ( t ，丁) ) t ，拥有一个一致拉同有界的吸收集b oc 皿使 得对于任何的有界集召c 皿，