（光学专业论文）高q腔中有时序差的二能级原子的操控及保真度的计算.pdf

i 摘摘 要要 在微腔中(qed)，原子与腔中光场发生强相互作用，描述原子腔场耦合的相互 作用模型为经典的 jaynes-cumming 模型。腔中的光子、原子作为信息的载体，在 耦合过程中，所携带的信息随时间不断演化，从而实现量子信息比特的制 备、操 纵和传输。本文中，我们简要介绍一下 haroche 研究小组的超导微腔rydberg 原 子实验，并以此为背景利用 j-c 模型和包括系统耗散的 master 方程来计算子系统 原子的暂态演化过程。借助数值计算的方法，求解了原子矩阵元的微分方程组， 直观的给出了原子矩阵元随时间演化的曲线和原子的保真度的演化图。并且通过讨 论有时序差输入的原子的注入时刻，初始光场、原子的状态和腔场的品质因数对原 子所携带的信息的影响，充分地说明了两个顺序注入的原子中的第二个原子的注入 时刻能够导致其完全不同于第一个原子的信息演化，而且阐述了系统的耗散对信息 保真程度的影响，从而可以实现对原子的操控和其所携带的量子信息的有效传递。 关键词关键词：腔量子电动力学（qed） ，j-c 模型，master 方程，保真度，时序差 ii abstract a two-level atom interacting with a single cavity mode, the jaynes-cummings model, is one of the most interesting problems in quantum optics. atoms and photons of quantized radiation field can be viewed as carriers of qubits. by the interaction of atoms and field, we can realize the controlling and transferring of the qubits. in this paper, the system of two atoms with different injection time coupled with the cavity field was studied. the j-c model and master equation involving the dissipation became the starting point of our study. we derived the differential equations of the reduced density matrix, and also numerically solved the transient evolution of atoms referring to the experiment parameters of haroches group. it was obviously found that the initial field, atomic state and field damping could affect the information transferring. the difference of injection time of the second atom would result in the evolution of the first atom which was distinct from the evolution with no injection，which was emphasized in this paper. the figures agreed with our conclusions very well. according to the above discussions, the manipulation of atoms could be realized. moreover, the quantum information could be transmitted with high fidelity. key words: cavity quantum electrodynamics, j-c model, master equation, fidelity, difference of injection time 1 1 综综 述述 1.1 量子光学的新进展量子光学的新进展 1963 年，e. t. jaynes 和 f. w. cummings 两人提出了表征单模量子化光场与单 个理想二能级原子单光子相互作用的 jaynes-cummings 模型（简称 j-c model） 1,2。 j-c 模型是两个非相似量子力学系统的相互作用的精确可解模型， 尽管它很理想化， 但却是量子光学中重要的理论基石。从研究态的塌陷回复 3,4，到利用相互作用 束缚单原子5,6，到通过和腔场的作用将原子所携带信息进行传递7,8，都是与该相 互作用模型密切相关的。尤其是腔场中的原子和量子化光场中的光子都可以被看成 是与经典信息传递方式不同的，它们能够存储、传递、处理信息的“量子位” ，换 而言之，即原子和光子成为量子信息的载体。 “量子位”的载体之间的相互作用能 够模拟量子逻辑门9,10等。关于实现量子计算和信息处理的物理系统，迄今已提出 了离子阱（ion trap）11、核磁共振12、腔量子电动力学(cqed)13,14等方案。qed 利用原子和腔场的相互作用实现信息处理和保存，由于腔场和原子耦合的相互作用 时间短，也即相当于实现腔场-原子操作耗时少，信息处理快捷（相对于其它的量子 方案）。但是由于 qed 利用的是原子和腔场之间的强耦合作用，所构成的整个系 统对宏观环境如腔场的损耗15、热辐射等极为敏感，则系统与周围环境的能量交换 易产生量子退相干，其所传递的信息被泄漏到外界环境中去。因此考虑了耗散的 j c 模型近来已经成为量子计算16、 量子信息17 ，18、 量子非破坏测量19,20等领域的 热点问题，大量相关的解析分析、数值计算正在被研究21-25。 2 下面我们来介绍一下法国高师 haroche 研究小组的微腔 qed 实验1， 他们利用 抛光极好的铌镜制作的 high-q 腔实现了微波场和原子的强耦合。实验装置1如图 1.1 所示。 图 1.1 haroche 小组的实验装置 图 1.1 显示的实验装置被冷却到 0.8k。图 1.1 中 o 为炉体，经过速度选择的原 子（铷原子）从炉 o 中发射出来，b 是产生一时间序列过程制备为处于态e的 rydberg 原子的装置。其中原子能级e、g分别对应于主量子数为 51、50 的玻尔 轨道，其间的跃迁频率分别为 51.099ghz。而后原子从 b 中出射，进入高品质的超 导腔 c ，在其中利用附加的微波源 s 对原子腔场耦合系统进行操作。最后进入 离子化场探测器 d 对原子态终态进行探测。此实验的参数为：腔的品质因数 7 q = 7 10；相应的光子寿命为220 cav ts=；原子两能级eg的跃迁频率大致 为 51.099ghz；腔中心的原子腔场耦合系数为 0/2 25gkhz=；共振情形下腔的 衰减速率（反比于腔的 q 值）为/ ca kqq=。这个实验是我们讨论和参照 的基准。 3 1.2 量子信息科学量子信息科学 我们所处的时代是信息时代，信息科学与技术已经深入到社会的各个方面。信 息科学的飞速发展，使经典系统受到巨大挑战，从而诞生了由量子力学和信息科学 形成的一门新兴交叉学科量子信息科学17,18。量子信息科学，以量子力学的态 叠加原理为基础，研究信息处理的一门前沿科学。通常所说的“信息” ，指的是通 信理论中的经典信息，是用经典物理态编码。但是，微观世界遵循的是量子规律， 如光子、电子等微观粒子具有波粒二象性，它们的运动状态、性质、描述方法与经 典物理具有本质的不同。量子信息就是利用微观粒子即量子态编码的信息，具有与 经典信息不同的新特点，如量子信息的隐匿性26、量子隐形传态27,28等。而量子信 息的传递、处理，必然要考虑保真度29-31。正是由于在相互作用演化过程中的一些 量子信息，并不完全由纯度反映出来，即使对于初态为纯态的系统，也无法了解系 统与其子系统的信息的差异， 人们才引入了保真度的概念32,33， 描述量子态在转移、 演化过程中与初始状态的相似特征，成为量子信息、量子通信34中所关注的焦点。 1.3 本人的工作本人的工作 目前，据我们所知，在研究相互作用的原子和光场时，讨论原子的状态演化的 稳态情况且系统能量无耗散的很多，而研究暂态过程有损耗的情况较少，这可能是 由于暂态过程非常复杂，而且从数学处理来说是微分方程组，解析求解比较困难。 但我们认为暂态过程很可能具有与稳态过程不同的特征，因此很值得研究。文献35 给出了对于任意初始条件的腔场， 原子的状态演化公式， 这是一种相当精确的方法。 我们认为将其应用到有时序差的输入的两原子和腔场的作用是具有极其重要的意 4 义的,它和条件动力学36,37密切相关，在量子计算、量子信息等方面有着重要作用。 我们通过数值计算分析了由于注入的原子时序差的不同、初始时刻场的不同、腔场 的品质因数的不同、注入的原子态的不同，将会影响原子状态的演化和信息的传递 及保真度。最后，作出直观的图形进行比较，并对其可能的原因进行了较为深入的 讨论。 5 2 原子与单模腔场相互作用模型原子与单模腔场相互作用模型 2.1 描述光场的态函数及其分布描述光场的态函数及其分布 光场的量子特性采用不同态函数描述可以更加清晰。描述光场的态函数常用的 有 fock 态、相干态、压缩态、热场等。下面我们将简要介绍后面所要用到的光场 的态函数及其分布形式。 2.1.1 fock 态态 由电磁场的量子化理论，我们知道光场的哈密顿量可以表示为以下形式 1 () 2 jj j fkkk k haa + =+ ? ， （2.1） 其中， j k a+ 、 j k a 分别是量子化后场的光子数的产生和湮灭算符。为单模光场的 频率， n 为正交归一完备集，则本征方程为 1 () 2 n h na anen + =+=?。 （2.2） 根 据na a + =和 对 易 关 系,1a a + = ， 容 易 求 出 能 量 本 征 值 为 (1 2) n en=+? 。能量本征态n是粒子数算符a a + 的本征态，因此n也称 为“光子数态”或“fock 态” 。光场的一般纯态可以表示为 n n c n=， （2.3） 其中，cn是光场处于 fock 的几率。 2.1.2 相干态相干态 相干态的波函数具有最小不确定度，在量子力学所允许的范围内，最接近于经 6 典场。数态场具有确定的幅度，但相位完全不确定。而处在相干态的光场的相位、 幅度的不确定度完全相等。 相干态是光场的湮灭算符 a 的本征态，即 a=。 （2.4） 利用上式将相干态以数态的本征态为基矢进行展开，可得表达式 2 2 0! n n en n = = 。 （2.5） 接下来，我们讨论相干场的重要特性： （i） 处于相干态的光场满足泊松分布 由（2.5）式，我们得到 2 ( ) ! nn nn ene p nnn nn =。 （2.6） （ii）相干态的过完全集性 设和为 a 的两个不同的本征矢，本征值分别为、，利用（2.5） ， 可以得出 * * 22 22 22 * 1 exp() 00 2 1 exp() 00 2 1 exp(2) 2 aa aa ee eee + + =+ =+ =+ 。 （2.7） 从上面的式子，我们可以看到相干态一般不正交，但是仍然具有完备性。一般 的相干态是定义在整个复平面上的，由（2.5）可得 7 22 21() 00 11 ! ! rm ni m n mn m n ddrerd e m n + + = 。 （2.8） 将 2 () 0 2 i m n mn d e = ， 2 22 0 ! rn dr ern = 代入式（2.8） ，同时利用完备 性条件|1 n nn = 我们得到 2 1 1d = ， （2.9） 此即是相干态的完备性条件。由上讨论可知相干态构成了不正交的完全集，此即称 为过完备性（overcompleteness） 。 （iii）具有最小不确定性 描述光场的正则坐标算符 q、正则动量算符 p 可以表示为 () 2 qaa + =+ ? ， () 2 piaa + = ? 。 （2.10） 利用（2.4）式，我们很容易求出相干态中坐标和动量的方差满足 2 22 ()() 4 xp= ? ， （2.11） 即相干态为最小不确定性的量子态或者说最接近经典态的量子态。 2.2 单模光场与原子的相互作用模型单模光场与原子的相互作用模型 量子化的单模光场与单个二能级原子的相互作用在 “偶极近似” 和 “旋波近似” 下，可以用“jaynes-cummings”模型来描述。 2.2.1 电子和场相互作用的哈密顿量算符电子和场相互作用的哈密顿量算符 首先，我们写出单电子与场相互作用的哈密顿量 8 2 1 ( , )( , )( ) 2 e hr teu r tv r mc =+pa， （2.12） 式中，p是正则动量算符，( , )r ta、( , )u r t分别是场的矢势和标势。v(r)是束缚原 子的在 r0处中心位势。 对于电子范围来说，一般情况下， 1k r ?，因此在处理相互作用时，我们忽 略了电子的线度，即认为场在电子范围内是完全相同的，通常称这种近似为偶极近 似。 在偶极近似下，矢势为 0 0 () 0 * (, )( ) ( ) ikrr ikr rrtt e t e + +=aa a? 。 （2.13） 根据(2.12)式，系统的薛定谔方程如下 2 2 0 ( , ) ( , )( ) ( , ) 2 ier t r tv rr ti mt += a ? ? ? ， （2.14） 这里，( , )0u r t =，0=ai。 我们引入一个新的波函数( , )r t 0 ( , )exp(, )( , ) ie r trtr t=ari ? 。 （2.15） 将（2.15）式代入（2.14） ，约去指数项，得到 00 ( , )(, ( , )ir thertr t=r e ? ?i， （2.16） 其中， 2 0 2( )hpmv r=+是无相互作用时电子的哈密顿量，且= ea ? ，则由（2.16） 式，我们得到与场的相位无关的单电子与场相互作用的哈密顿量 10 (, )her t= r ei。 （2.17） 9 2.2.2 原子与场相互作用的哈密顿量原子与场相互作用的哈密顿量 在偶极近似下，单电子原子与场e相互作用的哈密顿量可以写为 af hhhe=+ r ei 。 （2.18） 由辐射场的量子 k 化理论，可知自由场的哈密顿量如下 1 () 2 fkkk k haa + =+ ?。 （2.19） 上式说明光场的能量是由波矢为k、频率为 k 的无穷多模式的光子叠加而成的。裸 原子的哈密顿量为 e aiii i h= ， （2.20） 其中， ii 是原子的布居算符， ij 是原子的跃迁算符。 原子的半径约为0.1nm， 而光的波长 2 210 nm=k, 因此忽略原子的线性尺 寸，在偶极近似下 ijij ijij ee iijj= rr， (2.21) 式中 ij 为电偶极跃迁矩阵元。 由辐射场量子化理论，量子化的场可以表示为 () kkkk k eaa + =+ 。 （2.22） 为了简化起见，我们以线性极化和单位极化矢量为实作为讨论的起点。上式中， 0 / 2 kk v=?。将（2.19）（2.22）代入（2.18） ，总的哈密顿量为 () ij kkkiiikijkk kiijk ha aegaa + =+ ? ， ijkkij k g = ? 。 （2.23） 10 我们知道实际原子的光谱结构都比较复杂，因此完全精确的讨论原子与光场的 相互作用是不可能的。尽管光场能够诱导原子不同本征态之间的许多跃迁，但最可 几跃迁是原子的本征频率与光场频率近似相等时的跃迁。因此，在理论上，我们能 够假设原子只具有两个非简并能级， 即二能级原子模型。 但在实际中这是有条件的， 对于二能级原子，若原子的两个能级的能量差为?(是光场的频率） ，则要求该 原子的其它能级之间的能量差不与?相接近；此外还要求从原子的其它能级向这 两个能级跃迁且从这两个能级向其它能级跃迁的跃迁几率都非常小。 下面我们来讨论二能级原子与场的相互作用哈密顿量。 假定二能级原子的电偶极跃迁矩阵元完全相等，即耦合常数相等，则由（2.23） 可得二能级原子与光场相互作用系统的总哈密顿量 1 ()() 2 kkkazkkk kk ha agaa + + =+ ? ， （2.24） zaabb aabb=， （2.25） ab ab + =， （2.26） ba ba =。 （2.27） 相互作用哈密顿量 () kkkkk k vgaaaa + + =+ ? 。 （2.28） 上式中，第一项表示了原子由下态跃迁到上态时吸收一个模式为k的光子的相互作 用过程；第二项表示原子由上态跃迁到下态时发射一个模式为k的光子的过程，这 两个过程系统的能量守恒。第三项对应于原子跃迁到下态并吸收一个模式为k的光 子的过程；第四项对应于原子跃迁到上态并产生一个模式为k的光子的过程。这两 11 个过程产生能量为2?的损耗或增益，导致系统的能量不守恒。由能量时间不确定 关系e ?，我们知道这两个过程产生的光子寿命极短，是快变振荡量。略去 能量不守恒的后两项所作的近似，就称为旋波近似。近似简化后的系统的哈密顿量 为 1 () 2 kkkzkkk kk ha agaa + + =+ ?。 （2.29） 这是量子光学中经常用到的典型哈密顿量，是我们研究的起点。 2.3 j-c model 由（2.29）式，在偶极近似和旋波近似下，我们得到单个二能级原子（或分子） 与单模量子化的光场相互作用的哈密顿量 01 hhh=+， （2.30） 0 1 2 az ha a + =+?， （2.31） 1 ()hgaa + + =+?。 （2.32） 在相互作用绘景中，利用前面介绍过的变换，我们得到相互作用绘景的哈密顿 量 () ii ti t hgaea e + + =+?。 (2.33) 这是一个描述场与原子相互作用精确可解的理想模型，即j-c模型。虽然这是一个 简化模型， 但却在量子光学、 腔量子电动力学 （cqed） 、 激光物理中被广泛地应用， 而且成为许多前沿课题如单原子激光、量子非定域测量等研究的基点。 12 3 密度算符和密度算符和 master 方程方程 3.1 密度算符密度算符 冯诺伊曼首先提出用密度算符代替态矢量来描写微观状态， 引入密度算符可以 统一描述“纯态”和“混合态” 。 纯系统是由同一种纯态( ) t组成的体系的集合。纯态( ) t可由系统任一物 理量的本征态矢 n 的叠加来表示： ( )( ) nn n tct=， （3.1） 其中， 2 ( ) n c t表征系统处在本征态 n 的概率。 混合系统是由许多不同态矢量( ) i t（i=1,2n）描写的子系统所组成的，由 态矢量( ) i t描写的子系统在整个系统中以一定的概率pi出现。 由上可见，纯态是某些组分态的相干叠加态，而混合态则是各组分态的非相干 叠加。即纯态的概率 2 ( ) n c t是量子力学对系统固有量子属性的反映，而pi不是系统 的固有属性，它们完全由每次测量的结果确定。 对于任意系统而言，力学量a的平均值为 1 n iii i apa = = ， （3.2） 上式中，先进行量子力学平均由态矢量的几率性质引进；而后进行统计平均 由系统所处的可能态的统计性质引进。 取正交归一完备集n作为表象基矢，利用完全性条件1 n nn= ，可得 1 n iii imn apmm a nn = = 。 （3.3） 13 引入密度算符 1 n iii i p = = ，上式可化为 1 () n iii mni mn apnmm a n nmm a n tra = = = = 。 （3.4） 只要知道了密度算符，即可求出a，从而可了解系统的基本特征。 3.1.1 密度算符的基本性质密度算符的基本性质 密度算符的基本性质： （i）的归一性1tr= 1 ii i ijjj i j ji ji i ji t r pi pp = = = 。 （3.5） （ii）是厄米算符 + = * () iiiiii ii pp + = 。 （3.6） （iii）密度算符平方的迹 2 2 () () 1 ijiijj ij ijijij ij i i trpp tr pp tr p = = = 。 （3.7） 2 1t r=（当且仅当系统为纯态时该式成立） ； 2 1tr （混合态）在力学 量完全集a的本征态n为基矢的表象，可表示为以下的矩阵元 * kk n nkkkknn kk pnnp cc = ， （3.8） 其对角元为 14 2 0 k n nkn k pc= 。 （3.9） nn 为任意态下量子态n的布居，即系统测得体系处于n时的概率。非对角元 nn 表征在 描述的状态下n与 n 的相干程度。 3.1.2 约化密度算符约化密度算符 对于包括两个子系统a，b的系统s，如果我们测量系统a的物理量m,则m 的期望值为 , ( ),( ), ( ) ( ) ss absabsab a b s sab ab s asa mtrmta b mta b a mbtba trmt = = = ， （3.10） 式中，( ) s a t即为约化密度矩阵算符，定义为 ( )( ) ss abab ttrt=。 （3.11） 也就是a的约化密度矩阵就是对b求迹，反之亦然。这样我们可以方便地直 接计算系统a或b中任意物理量的时间演化及期望值。 3.1.3 密度算符的刘维方程密度算符的刘维方程 在希尔伯特空间中，态矢量满足薛定谔方程。采用密度算符代替态矢量， 可以简单而统一地描述纯态系统和混合系统。密度算符随时间的演化方程就是刘维 方程，它能够描述系统的固有动力学特性。 利用关于态矢量的薛定谔方程 i i ih t = ? ， （3.12） i i ih t = ?， （3.13） 15 () () ,( ) iiiiii i iii iiiiii i ii ttt i t hpph hhht = + + = = ? ? ， （3.14） 上式即薛定谔绘景下的密度矩阵运动方程刘维方程。已知初始时刻的态密度 (0)，可以求出任意时刻的态密度( ) t，从而可以确定任意力学量的平均值随时间 的变化。现在我们来讨论相互作用绘景中的刘维方程。 系统的哈密顿算符在薛定谔绘景中可分解为 ( ) soss hhv t=+。 （3.15） 对于任意算符a，存在以下变换： 00 exp exp i ih tih t aa = ? 。 （3.16） 我们通过上述变换，可得相互作用绘景下的刘维方程 ( ) ( ),( ) i ii t iv tt t = ?， （3.17） 其中 00 expexp is ih tih t vv = ? 。 （3.18） 3.2 考虑了原子衰减、光场损耗的考虑了原子衰减、光场损耗的 master 方程方程 上面我们讨论的辐射场的量子化及辐射场与原子系统的作用，都没有考虑系统 的能量损耗，那么如果系统有能量损耗，我们一般采用热库理论，即将光场或原子 或光场与原子看成一个系统，并将该系统能量的损耗认为是与外界相互作用的结 果，由于外界的自由度远远比系统的自由度高，对外界的状态一般不加细致研究， ， 因此称为热库。 3.2.1 与热库相互作用的原子的衰减与热库相互作用的原子的衰减 处于激发态的原子的衰减可以理解为原子和大量谐振子系统组成的库场的耦 合而引起。一般的，可以用产生、湮灭算符来描述库场。则在旋波近似下，相互作 16 用绘景中二能级原子和频率为 k 的系统的哈密顿量可以简化为 ()() kk ititi kkk k hg beb e + + =+ ?。 （3.19） 由热库的理论，我们得到 () , ()() ()() ,( ) ( ) 2( )( ) *( )( ) * k i kk kk it atomkkatomi k t kkatomatomatom t k k it it kkatomatom it it kkato ig bt e dtg gttt eb btt eb b + + + + + = + + + ? ()() ( )( ) *. . kk matom it it k k tt ebbhc + + + ， （3.20） 其中， i t是相互作用的初始时刻， k b + 、 k b是场的产生、湮灭算符，它们的平均值 跟库场最初状态有关。 我们以最初处于热平衡的混合态为例来进行讨论。热库的约化密度算符为 1exp()exp() kkkk r k bb b b k tk t + = ? 。 （3.21） 上式中， b k是玻尔兹曼常数，t是温度。很容易推出 0 kk bb + = 0 kkkk b bb b + =， （3.22a） kkkkk b bn + = (1) kkkkk b bn + =+， (3.22b) 其中1 exp() 1 k k b n k t = ? 是热库平均光子数。 将（3.22）代入（3.20） ，得 ()()2 ()() ( )( ) ( )( )(1). . k i k t it t atomkatomatomk t k it t atomatomk tgttn e ttneh c + + = + ? 。 （3.23） 利用标准变换 2 2 3 000 2 (2 ) k v dd sindkk 和weisskopf-wigner近似，化 简（3.23） ，可得到原子的约化密度算符的演化方程 17 ( )( ) 2 (1)( )( ). . 2 atomthatomatom thatomatom ntt ntth c + + = + ? ， （3.24） 其中， 0 0 () thk nnk c =， 原子的衰减率 32 3 0 41 43 ab c = ? 。 （3.25） 因此，根据(3.22)我们推导出原子的密度矩阵元的运动方程如下 (1) aakaakbb nn= +?， (3.26a) * 1 () 2 ababkab n= +?， (3.26b) (1) bbkbbkaa nn= + ?。 (3.26c) 注意到，0 aabb +=?这是因为我们仅仅考虑了二能级原子从上能级衰减到 下能级。在上式中，随着库场平均光子数的增大，原子的衰减速率将加快。当系统 处在零温度时，即0 th n=，方程(3.26)化为 aaaa = ?， (3.27a) 2 abab = ?， (3.27b) b ba a = ?。 (3.27c) 3.2.2 场的损耗场的损耗 腔内频率为的单模光场的损耗，同上可认为是光场和一组库场的模式的相互 作用。采用类似的方法讨论 首先，我们给出整个体系的相互作用哈密顿量 ()() kk ititi kkk k hgb aea b e + =+ ?， （3.28） 上式中，a、a+分别是光场的湮灭、产生算符， k b+、 k b是库场的产生、湮灭算符。 既然这种方法完全等同于前面所讨论的原子与库场的相互作用，我们可以直接 写出库场最初处于热平衡态的光场的约化密度算符的演化方程 18 (2) 2 (1)(2) 2 fthfff thfff naaaaaa na aaaa a + + = + + ? ， （3.29） 其中为光场的损耗常数， 0 thk nn=是热库中频率为的平均量子数。 同样的，当系统处于零温度时， (2) 2 ffff a aaaa a + = +? 。 （3.30） 如果腔场中的损耗都是透射损耗，那么腔中的光场损耗常数与腔的品质因数之间存 在关系式 q =。 3.2.3 能量有损耗的系统的主方程能量有损耗的系统的主方程 在我们所考察的情形中， 超导腔处于极低温度下， 不妨认为该热库的温度为0k， 相应的平均热光子数0 th n=。考虑了上述损耗的原子和腔场构成的整个系统的 master为 , cfs i hlll + t ， （3.31） (2) 2 f la aa aa a + =， （3.32） 其中是腔场的衰减率。 22 2 (2) czzzz lssss=， （3.33） c l是描述碰撞引起的失相效应。 () / 2,() / 2 segzeg ls= + ， （3.34） s l是由自发辐射导致的， e ， g 是上、下能级的自发衰减率。 正是由于实际系统的复杂性，使得在量子光学的许多问题的研究中，衰减都是 一个重要的影响因子，因此master方程广泛应用于量子光学、量子计算领域。 19 4 有时序差的两个二能级原子的演化有时序差的两个二能级原子的演化 原子与腔场的相互作用，一直以来都是量子光学和量子信息研究的一个热点问 题，尤其是在微腔qed的实验有了长足的进步后。微腔qed的实验主要有两个方 案，前者以法国高师的haroche研究小组为代表，他们利用抛光极好的铌镜制作的 high-q腔实现了微波场和原子的强耦合。后者则主要是加州理工的kimble和德国 光学研究所的rempe小组。1995年kimble小组首先利用high-q光学腔中的铯原 子和腔场的强耦合实现了两比特的逻辑门量子异或门。随后kimble和rempe小 组分别利用铯原子和铷原子与腔场的强耦合实现了量子通信中的关键器件确 定性单光子源。随着实验的进展，理论上也有更多的研究进行。但是我们发现目前 还没有人讨论过存在时序差的原子的演化，而在实际的实验中采有顺序注入的原子 和腔场耦合的方法，因此我们将利用前面介绍的j-c模型及 master方程来讨论有 时序差的二能级原子的演化。 4.1 理论模型理论模型 两个有时序差的原子与腔中光场的总哈密顿量在旋波近似下可写为 1,21,2 1 ()() 2 j cazjjjj jj ha agttaa + = =+ ? (4.1) 上式中，a、a+是腔场的湮灭、产生算符； z j jj j eegg=， j jj eg + =是第 j个原子的泡利算符； j g是第j个原子与腔场的耦合系数； a 、 c 分别是腔场和 原子的频率。() j tt是阶跃函数， j t是第j个原子的注入时刻。 20 不失一般性，可认为 12 gg=，并且讨论共振情况即0 ac =。 在原子2注入的时刻，假定原子1和腔场已经无耦合作用（即原子1离开了腔 的有效作用中心） ，则整个过程可以分为两个阶段，如下： 4.1.1 原子原子2未注入时未注入时 在相互作用绘景下，考虑到腔场的衰减和原子的自发辐射对体系的影响，则 原子1和腔场构成的整个体系的master方程可写为 1 ,(2) 2 va aa aaa ti + =+ ? ? ? ? （4.2） 如前面所述，采用对任意算符的如下变换 11 ex p () ex p () 22 zz aiaa t aiaa t + =+ ? （4.3） ()vgaa + =+ ? ?，其中假定原子1的上能态和下能态的驰豫速率完全相 等，记为。 为了讨论腔中的光场随时间的演化，我们定义约化腔场的密度算符为 f a i trii=?。 由（3.2） ，我们可以推导出 (. .)(2) 2 ffffff geeg ig aahca aa aaa + = + ? ? （4.4） 则对角元的演化为 ,1,1, 1(. .)(. .) ff n ngnengn enn n ignhcnhcn + = + ? ? （4.5） 非对角元的演化 1,2,1,1,1,1 1, (2)1() (0.5) f nnengngnenen gngnen f nn ignnn n + + = + + ? ? ? （4.6） 21 其中 ,an a m ? 是原子1和腔场构成的体系的密度矩阵元，,a ae g = ，n是量子化 后场的光子数。 整个体系的密度矩阵元的演化方程如下 ,1 ,1 ,1 ()(1) 1 (. .) e ne ne ne ne ne n e ng n nn ignh c + + = + + + ? ? ? (4.7a) ,1,1 ,1,1,1 (0 .5)(1)(2 ) *1 () en g nen g n en g nen eng ng n nnn ign + + = + + + ? ? ? (4.7b) 1,11,12 ,2 ,1 (1)(2) 1(. .) gngngngngngn en gn nn ignh c + + = + + + ? ? ? (4.7c) 我们将上式代入方程（4.5） ，计算求得腔中光场的密度矩阵对角元的演化，从 而求出在原子2注入时刻 2 t的腔场中密度矩阵的对角元。 值得注意的是在原子1刚刚注入的 1 t时刻，原子1和腔场未发生耦合，因此， 我们得到最初体系的密度算符是可分离的， 即 111 ( )( )( ) af ttt=?， 11 ( )( ) aa tt=?， 11 ( )( ) ff tt=?，分别是初始时刻原子1和场的密度矩阵。而且 1 ( ) a t和 1 ( ) f t仅仅跟原子1和腔场的初始制备的状态相关，这正是求数值解时的 初始条件。 4.1.2 原子原子2注入后注入后 同上，在相互作用绘景中，哈密顿量为 2 1 ()() 2 z ha agttaa + =+? (4.8) master方程为 22 2 () , (2) 2 itit igttaeae aaaaaa + + = + + ? ? ? (4.9) 22 讨论原子2的演化时，我们由原子的约化密度算符 a f n trnn=?推导出 以下方程 2 ,2,1 ()1(. .) itaa g gg gen gn n igttneh c + = + ? ? （4.10a） 2 ,2,1 ()1(. .) itaa e ee een gn n igttneh c + = + ? ? （4.10b） 采用同上的方法可以得到原子2和场构成的体系的密度矩阵元的演化方程。我们在 原子2进入的时刻 2 t，原子2和场无相互作用，则 222 ( )( )( ) af ttt=?， 2 () f t ? 能够通过计算原子1和腔的相互作用后得到 由上面的分析可知， 对于任意给定的初始时刻不同状态的原子1、2和腔中的场， 都能够利用以上的方法较为精确地计算出原子2的系统的动力学演化、所携带的信 息的变化以及各种初始条件的差异对于原子2所携带的信息的影响。原则上，求解 上述微分方程组是可行的， 但太过复杂， 因此我们采用数值计算的方法， 利用fortran 编程精确求解，求解过程详见附录2。 4.2 数值计算及分析数值计算及分析 在数值计算时，我们选取注入时刻时原子1、2均处在上能级即 ,1 ()1 j e e t=， ,1,1 ( )( )0 jj g ge g tt=，j=1,2；光子数分布为柏松分布，即 0 0 , ! n nf n n n e n =， 0 n是 平均光子数，将它做为初始条件，代入方程组求解。相应的腔原子相互作用系统 的各个参数，参照haroche文中1给出的实验参数：高品质腔，腔的品质因数 7 q = 7 10，相应的光子寿命为220 cav ts=，原子两能级的跃迁eg的频率约 51.099ghz。在腔中心的原子腔的耦合为 0/2 25gkhz=，共振情形下的腔的衰减 速率（反比于腔的q值）为/ ca kqq=。考虑smithpurcell effect等带来的 23 变化35，我们有 0 80 =， 0 1.2= 。 4.2.1 初始时刻选取不同的相干场初始时刻选取不同的相干场 原子1注入时刻 1 t取为0，原子2的注入时刻 2 t 取任意值，这里取为30 s， 则原子2处在下能级的几率如图4.1所示； 1 t取为0， 2 t 取为60 s，则原子2处 在下能级的几率如图4.2所示。 0510152025303540 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 gg t (s) n0=0.4 n0=0.84 n0=1.77 图 4.1 不同相干场为初始场，原子 2 在 30 微秒注入后，其处于下能级几率随时间的演化。 24 0102030405060 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 gg t(s) n0=0.