不定积分 教案示例

不定积分教案示例 目的要求1理解原函数的定义，知道原函数的性质，会求简单函数的原函数2理解不定积分的概念，掌握不定积分的线性性质，会用定义求简单函数的不定积分内容分析1不定积分是一元函数微积分学的基本内容，本章教材是在学生已掌握求导数方法的基础上，研究求原函数或不定积分的故学好“导数与微分”是学好不定积分的前提，教学时，要与“导数与微分”一章的有关内容进行对照2本节教学重点是原函数和不定积分的概念教学，难点是原函数的求法突破难点的关键是紧紧扣住原函数的定义，逆用求导公式，实现认知结构的理顺由于逆运算概念学生并不陌生，因此教学中要充分利用思维定势的积极因素并引入教学另外，本节切勿提高教学难度，因为随着后续学习的深入，积分方法多，无需直接用定义求不定积分3本节教学要始终抓住一条主线：“求导数与求原函数或不定积分(在不计所加任意常数时)互为逆运算”强调求不定积分时，不要漏写任意常数C；另外，要向学生说明：求一个函数的不定积分，允许结果在形式上不同，但结果的导数应相等指出这点是有益的，一方面使学生会检查得到的不定积分是否正确，另一方面消除学生由于所得不定积分形式的不同而产生的疑问4根据本节知识的抽象性，教学中应充分安排学生进行观察、联想、类比、讨论等课堂活动，使之参与到概念的发现过程，体会知识的形成过程本着这一原则，本节课宜采用引导发现法进行教学教学过程1创设情境，引入新课(1)引例(见解本章头)用多媒体显示引例图象，提出问题，激起学生求知欲望，揭示并板书课题(2)介绍微积分产生的时代背景，弘扬科学的学习态度和钻研精神2尝试探索，建立新知(1)提出问题：已知某个函数的导数，如何求这个函数？(2)尝试练习：求满足下列条件的函数F(x)F(x)3x2 F(x)x3(3)解决问题：上述练习是完成与求导数相反的逆运算因此，解决问题的方法仍为求导数(4)形成定义：详见课本“原函数”的定义对于原函数的定义，教师应强调下列三点：第一，F(x)与f(x)是定义在同一区间I上，这里的区间I可以是闭区间或半闭区间或开区间第二，F(x)是f(x)的一个原函数，不是所有的原函数第三，求原函数(在不计所加常数C的情况下)与求导数互为逆运算(5)简单应用：例1 求下列函数的一个原函数f(x)3x2 f(x)x3小结解法：根据定义，求函数f(x)的原函数，就是要求一个函数F(x)，使它的导数F(x)等于f(x)(6)讨论问题：已知函数f(x)的一个原函数F(x)，那么函数f(x)是否还有其他原函数？举例说明(略)(7)归纳性质：一般地，原函数有下面的性质：设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，对于任意常数C，F(x)C也是f(x)的原函数，并且f(x)在区间I上任何一个原函数都可以表示成F(x)C的形式教师强调：一个函数虽然有无穷多个原函数，但是我们只要求出其中的一个就行，其他的原函数都可以由这个原函数再加上一个常数得到这样就给出了求已知函数的所有原函数的方法3类比分析，拓广知识根据原函数的性质，类比引入不定积分的概念(1)讲解不定积分的有关概念：不定积分、积分号、被积函数、积分变量、被积式、积分常数等(详见课本)对于不定积分的定义，教师说明如下：C常数C不要漏写，F(x)只能表示一个原函数，这也正是原函数和“f(x)dx”构成，书写时不要漏掉dx积分变量是u，被积函数ux是关于u的幂函数(2)推导不定积分的性质证明：设函数f(x)的一个原函数为F(x)，即F(x)f(x)证明(略)上述两个性质表明：求导数与求不定积分(在不计所加的任意常数时)互为逆运算因此，求不定积分时，常常利用导数与不定积分的这种互逆关系，验证所求的不定积分是否正确4例题评价，反馈训练例2 如果在区间(a，b)内，恒有f(x)g(x)，则一定有BAf(x)g(x)Bf(x)g(x)CDf(x)Cg(x)例3 求下列不定积分小结解法：(1)求不定积分时，都要在结果上写上任意常数C本章凡是没有特别说明时，所加的C均表示任意常数(2)求一个函数的不定积分，由于方法不同，它的结果在形式上往往也不同这种形式上不同的结果，可以用求它们的导数的方法，看其导数是否相同，如果导数相同，就说明结果是正确的课堂练习：教科书练习第1、3、4题的解析式解：由不定积分的性质得f(x)(2x3x29xC)6x22x95归纳总结，巩固提高(1)一条主线：求导数与求不定积分(在不计所加任意常数时)互为逆运算(2)二组概念：原函数的定义和性质，不定积分的定义和性质(3)三个注意：一是注意一个函数的原函数有无穷多个，它们之间仅相差一个常数；二是注意求不定积分时，不要漏写任意常数C；三是注意求一个函数的不定积分，允许结果在形式上不同，但其结果的导数应相等布置作业1课本习题41第3、4题2设函数yf(x)的图象为a，且在曲线a上任一点M(x