（信号与信息处理专业论文）基于改进对偶分解的智能电网实时定价算法研究.pdf

摘要 智能电网具有可靠、优质、高效、兼容、互动等特点，是未来电网的发展方 向。实时电价( r t p ) 作为智能电网的一种理想定价机制，具有节能环保、削峰填 谷、保障用户和供电商最大化效益等方面的优势，能完善需求侧管理，鼓励用户 更明智更高效地用电，有效解决智能电网的供需平衡问题。然而，对实时电价模 型的求解，通常采用基于对偶分解的次梯度算法，该算法有步长不易调整及在电 网规模较大时，收敛慢甚至不收敛的缺陷。本文所用改进对偶算法即近端中心算 法不仅具有可分离性，且不需要调整步长，在电网规模较大时，具有收敛速度快、 收敛性能好的优点。 本文研究的主要内容及创新点如下： 1 ) 建立了时隙独立的实时电价模型，即在所有用户的总耗电量不超过电能 总供给的约束下，使得用户的总效用减去供电商的成本之差最大。利用近端中心 算法求解，并对算法的收敛性进行分析。通过m a t l a b 仿真平台验证了在电网规 模较大( 即电网中用户量较大) 时，与基于对偶分解的次梯度算法比较，近端中 心算法收敛速度更快，性能更好。 2 ) 针对一些用户在用电过程中的用电要求，建立了时隙耦合的实时电价模 型，使智能电网能够为其提供一定的需求质量保证。利用近端中心算法求解，通 过m a t l a b 仿真平台验证该算法，当电网规模较大时与基于对偶分解的次梯度算 法比较，近端中心算法同样具有收敛速度快的优点。 3 ) 通常用户的效用函数都是凹函数，而实际中用户的效用函数可能是非凹 的。若对此类用户继续使用凹函数来衡量其效用，会导致当电能消耗量不为o 时， 效用为“0 的情况，针对这种情况建立了面向效用公平的实时电价模型。通过 对效用函数的倒数积分引入“伪效用一概念，可实现效用公平。利用近端中心算 法来解决此模型，通过m a t l a b 仿真表明，在每个时隙中，与比例公平相比，效 用公平下用户的效用及耗电量有所提升。 关键词：智能电网；实时电价；基于对偶分解的次梯度算法；时隙耦合；近端中 心算法 r e a l t i m ep r i c i n gm e t h o dr e s e a r c hb a s e do ni m p r o v e d d u a ld e c o m p o s i t i o nf o rs m a r tg r i d a b s t r a c t s m a r t 鲥d i st h ed e v e l o p m e n td i r e c t i o no ff u t u r ep o w e r 鲥dw i t hr e l i a b i l i t y , h i g h q u a l i t y , h i g l le f f i c i e n c y , c o m p a t i b i l i t y , i n t e r a c t i o na n ds oo n r e a l t i m ep r i c i n gi sa n i d e a lp r i c i n gm e c h a n i s m ，w h i c hc a ns a v ep o w e ra n dp r o t e c te n v i r o n m e n t ，c l i pp e a k a n df i uv a l l e y , g u a r a n t e et h eu s e r s a n dp o w e rp r o v i d e r sm a x i m u mb e n e f i t s ，a n dc a n c o m p l e t et h ed e m a n ds i d em a n a g e m e n t ，e n c o u r a g eu s e r sc o n s u m i n gw i s e l y , a n dc a l l e f f e c t i v e l ys o l v et h eb a l a n c ep r o b l e mo f t h es m a r t 鲥d h o w e v e r , u s u a l l ys u b g r a d i e n t a l g o r i t h mu s e db a s e do nt h ed u a ld e c o m p o s i t i o nh a sd i f f i c u l t yi na d j u s t i n gs t e pl e n g t h w h e ns o l v i n gt h er e a l - t i m ep r i c i n gm o d e l w h a t sm o r e ，w h e nt h en e t w o r ks c a l ei s l a r g e ，t h ea l g o r i t h m sc o n v e r g e n c er a t e i ss l o wa n de v e nn o tc o n v e r g e n t t h e i m p r o v e dd u a la l g o r i t h mg i v e ni nt h i sp a p e r , t h a ti s ，p r o x i m a lc e n t e ra l g o r i t h mn o t o n l yh a st h es e p a r a b i l i t y , b u ta l s od o e sn o tn e e dt oa d j u s tt h es t e pl e n g t h w h e nt h e n e t w o r ks c a l ei s l a r g e ，o u ra l g o r i t h m h a sf a s t e r c o n v e r g e n c er a t e a n db e t t e r c o n v e r g e n c ep e r f o r m a n c e t h em a i nc o n t e n t sa n dt h ei n n o v a t i o np o i n t sa r ea sf o l l o w s ： 1 ) e s t a b l i s ht h er e a l - t i m ep r i c i n gm o d e l 哳n ii n d e p e n d e n tt i m es l o t s ，t h a ti s ， w em a x i m i z et h em i n u sb e t w e e nt h eu s e l 芯t o t a lu t i l i t i e sa n dt h ec o s to ft h ep o w e r p r o v i d e rs u b j e c t e dt ot h et o t a lu s e r sc o n s u m p t i o n sa r en o tm o r et h a nt h et o t a lp o w e r s u p p l i e d w eu s et h ep r o x i m a lc e n t e ra l g o r i t h mt os o l v et h i sm o d e la n da l s oa n a l y z e t h ea l g o r i t h m sc o n v e r g e n c e m a t l a bs i m u l a t i o nr e s u l t sv a l i d a t et h a tt h ep r o x i m a l c e n t e ra l g o r i t h mh a sf a s t e rc o n v e r g e n c er a t e ，c o m p a r e dw i t hs u b g r a d i e n ta l g o r i t h m b a s e do nt h ed u a ld e c o m p o s i t i o n 2 ) a c c o r d i n g t os o m eu s e r s p o w e rr e q u i r e m e n t ，w ei n t r o d u c et h ef a c t o ro fs l o t s c o u p l i n gw h i c hm a k es m a r t 鲥dp r o v i d eu s e r sw i t hc e r t a i nr e q u i r e m e n t so fq u a l i t y a s s u r a n c e t h e nw eg i v eac o r r e s p o n d i n gr e a l t i m ep r i c i n gm o d e l w ea l s ou s et h e p r o x i m a lc e n t e ra l g o r i t h mt os o l v et h i sp r o b l e m b ym a t l a bs i m u l a t i o nt ov a li d a t et h e a l g o r i t h m ，w h e nt h en e t w o r ks c a l ei sl a r g e ，i ta l s oh a st h ea d v a n t a g eo ff a s t e r c o n v e r g e n c er a t et h a ns u b g r a d i e n ta l g o r i t h m 3 ) t h eu s e r s u t i l i t yf u n c t i o ni su s u a l l yc o n c a v e i nf a c t ，t h eu s e r s u t i l i t i e sm a y b en o tc o n c a v e i fw eu s et h el o g a r i t h mt or e a l i z et h e i ru t i l i t i e s ，“0 u t i l i t yw i l lo c c u r w h e ni t sc o n s u m p t i o ni sn o tz e r o i no r d e rt oa v o i d i n gt h i ss i t u a t i o n ，w ee s t a b l i s hu t i l i t y o r i e n t e df a i r n e s sr e a l t i m e p r i c i n gm o d e l u s et h ec o n c e p to f p s e u d ou t i l i t y ”t or e a l i z eu t i l i t y - f a i r n e s s w eu s e p r o x i m a lc e n t e ra l g o r i t h mt os o l v et h i sm o d e l m a t l a bs i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h e u s e r s u t i l i t i e sa n dp o w e rc o n s u m p t i o nl e v e lu n d e ru t i l i t y - f a i m e s si ne a c hs l o ta r e b e t t e rt h a nt h o s eu n d e rp r o p o r t i o n a l - f a i r n e s s k e yw o r d s ：s m a r tg r i d ；r e a l - t i m ep r i c i n g ；s u b g r a d i e n tb a s e do nd u a ld e c o m p o s i t - i o na l g o r i t h m ；s l o t sc o u p l i n g ；p r o x i m a lc e n t e ra l g o r i t h m 浙江理工大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 论文研究的背景及意义 根据我国目前所面临的能源结构、电力供求关系以及环境问题，电力部门提 出要改革传统电网的格局，加快建设以自动化、信息化和互动化为特征的坚强智 能电网【1 捌。智能电网【4 - 7 l ( s m a r t 鲥d ) ，即电网智能化，集先进的传感器测量技术、 决策支持、控制方法以及能源电力技术于一体，以实现电网的可靠、安全、经济、 集成、高效及优化等目标，其显著特点包括兼容、自愈、抗毁性强等。它能够满 足新世纪用户所要求的电能质量、允许多种发电方式( 如风能、太阳能等) 的接入， 能够启动电力市场以及促进资源的高效优化运行。鉴于电网行业所面临的挑战以 及智能电网的优势，智能电网已成为各国电网领域一个热门的研究话题。 智能电网包括几个环节：发电环节、输电环节、配电环节及用户用电环节。 本论文主要讨论配电环节和用户用电环节的互动及双方效益最大问题。智能电网 的研究当然也离不开智能用电，其指导思想就是采用信息化手段，利用价格杠杆， 通过互动化策略，调动电力用户参与需求响应，实现电力负荷需求的理想化【8 捌。 因此，理想化的电价形成机制应该是：电力企业根据电力供需状况，实时制定并 发布电价，通过价格杠杆调节电力用户的需求，用户根据价格，实时调整用电量。 1 2 智能电网定价的研究现状及意义 价格机制是电力市场机制的核心，公平合理的电价能够反应社会效益的大 小，实现电力资源的优化配置。在智能电网中，有很多种定价方法，目前较流行 的电价定价方法有以下几种： 1 ) 固定电价 固定电价是价格不随时间波动的一种电价机制。在我国乡镇地区及农村普遍 使用固定电价，在用电高峰期，常常会出现电量供应紧张，资源没有合理利用的 情况。因此，固定电价很难反映电力的供需关系。 这一电价的电费只与电能量有关，电能表只需要实现计量功能，用机械表或 者电子表均可。 2 ) 阶梯电价 阶梯电价是将每个用户的平均用电量设置为若干个阶梯，分阶段或分档次 定价计费：第一阶段内提供基数电量，此阶梯内电量较少，每千瓦时电价较低； 第二阶梯供电量较多，电价也有所提高；第三阶段供电量更多，电价更高。阶梯 浙江理工大学硕士学位论文 电价按照阶梯式累进电价计收电费，通过价格杠杆抑制用户的需求量，从而达到 节能减排的目的【l o 】。阶梯电价一般是以一个月为周期，同样很难反映电力供需的 真实关系。加之，在实施的过程中，电力企业缺乏有效的需求侧管理手段，难以 实现资源的高效利用。 阶梯电价的电费既与各阶段内的供电量有关，也与用户每月的用电量有关。 从理论上讲，电能表既需要实现计量功能，还需要具备时钟功能，所以要用电子 表。 3 ) 分时电价( t o u ) 分时电价【1 2 1 5 】是根据电网的负荷变化情况，将每天2 4 小时划分为峰、平、 谷等多个时段。对不同时段制定不同的电价，以鼓励电力用户合理安排用电时间， 削峰填谷，提高资源的利用率。但是分时电价时段划分策略按日循环，重复执行， 过于僵化，缺少灵活性【l o 】。 分时电价电费既与电能量有关也与用户每个时段的不同用电量有关。电能表 需要实现计量、计时且还要实现分时功能，所以要用电子表。 4 ) 关键峰荷电价( c p p ) 关键峰荷电价【1 每1 8 c p p 是实时电价和分时电价的结合，在供不应求的关键峰 荷日通过提高电价来限制部分用电负荷，而在平时给予这些用户折扣电价的策 略。反应了系统尖峰时段的短期供电成本，c p p 的费率也是事先确定的，同样缺 乏灵活性。 关键峰荷电价电费不仅与用电量有关也与峰荷日有关，因此电表要实现计 量，时钟及分时的功能，所以要使用电子表。 5 ) 自适应电价 自适应电价【1 9 l 是一种动态电价，通过电价和电量的消费，供应和需求相互影 响的一种定价策略，制定价格调整负荷。在这一定价机制中，电价是被精确地实 时计算出来的且仅在每个用电时段刚开始时发布。 6 ) 实时电价 实时电价1 1 0 , 2 0 - 2 8 】是随时间持续波动的定价机制，也是电力市场中最理想的电 价机制。通过价格杠杆实时地调节电力用户的需求，提高电能源的使用率和利用 率，实现节能减排、绿色环保的目的。若在各用电领域全面推行实时电价体系， 并实时地将电价告知电力用户，用户可根据自己的需求结合当前的电价，按自己 2 浙江理工大学硕士学位论文 的意愿选择用电方式，可实现用户主动移峰填谷，鼓励用户更明智更有效地消费 电能，实现削峰填谷和资源的优化配置。 对于实时电价来说，由于电价随时间波动频繁，电费不仅与电量有关，也与 用户每天不同时间段的用电量有关，更与供电商发布的电价有关。因此，电表既 需要实现计量功能，又需具备时钟和分时功能。除此之外，还必须具备远程通信 实现用户和供电商之间的信息交换，所以必须是电子表，这一电表又称之为智能 电表【2 ”1 l ( s m a r tm e t e r ) 。 除固定电价外，其余五种电价都是基于价格激励的需求侧响应，基于价格的 需求响应就是通过市场的价格来影响需求的时间。基于价格的需求响应能够提供 竞争压力来降低电力市场的零售价，增强能量使用的意识，提高可靠性。此外， 通过和某些新的技术结合可以支持使用可再生能源、分布式生产1 3 2 】。 目前我国的电价是受管制的，管制下的电价无法真正反映电力供应与需求之 间的关系，从而导致电力企业在电力需求波动的时候，缺乏有效的调节手段，造 成资源的巨大浪费。因此，实时电价的研究是非常有意义的，灵活的电价可以带 给用户、企业和社会的双赢。 研究智能电网实时电价的意义： 1 ) 实时电价的实施可促进清洁能源( 如风能，太阳能等) 接入到电网中，减少 温室气体的排放，推动低碳经济【3 3 3 4 l 的快速发展； 2 ) 实时电价的实施可优化能源结构，促进多种能源的互补，确保为用户提 供安全稳定的能源； 3 ) 实时电价的实施能有效提高能源传输率及利用率，增强智能电网运行的 强健性、稳定性、可靠性及灵活性； 。 4 ) 实时电价的实施，通过双向通信网路，能实现供电商与用户的双向互动， 改革传统的电网服务模式，为用户提供高质量的服务，提高居民的用电满意度； 5 ) 引导用户积极参与需求侧管理； 6 ) 实时电价反应了短期供电边际成本，具有全社会效益最大的优点。 1 3 实时电价模型及算法研究现状 为了高效节能，使用户积极参与到需求侧管理【3 5 3 6 】中来，实时电价成为了当 前的研究热点。国内很多文献对实时电价建立了很多模型，用不同的算法来求解 这些模型。文献【3 7 l 中用户通过实时电价信息来调整其能耗水平，以用户的效用最 浙江理工大学硕士学位论文 大为目标建立优化模型，用简单的线性规划方法进行求解。该算法可使用户的效 用函数最大和供电商的成本最小，但使用滚动窗算法来计算整个时间周期的能 耗，因为滑动窗以外的数值被默认为是0 ，所以结果会出现较大的误差。文献【3 8 】 建立了能耗调度模型，以系统所有用户的总效用最大和供电商的成本最小为目 标，给出了基于对偶分解的次梯度算法。该算法以公平有效的方式为每个用户寻 找一个最优的能耗水平，但是这个算法在网络规模较大时收敛速度较慢甚至不收 敛。文献【3 9 1 基于能耗调度理论，建立以供电商的生产成本最小为目标的优化模型， 利用博弈论为每一个用户找到一个最优的能耗调度，以达到减少总电能成本和峰 平比的目的，但博弈算法也很难收敛，即使收敛也很难达到良好的效果。文献【4 0 1 提出了一种自治住宅能耗调度框架，目的是：在带有倾斜块率i 拘( i n e l i n i n gb l o c k r a t e s ) 实时定价费率下，建立用户在所付电费最小和操作用电器的等待时间最小 之间取得折中的模型，使用内点法求解这个优化问题，也存在收敛速度慢的问题。 文献f 4 l j 为智能电网中的需求响应和用户适应提出了一种分布式框架，建立了借用 网络拥塞价格概念调整用户需求和平衡网络负荷的模型。从此文献的仿真结果中 可看出当用户规模不大时，这个算法的收敛速度由于受参数的影响很大，收敛的 很慢甚至不收敛。针对以上这些算法的缺点，本文利用一种新的算法求解实时电 价优化模型近端中心算法，当网络规模较大时，它具有收敛速度快、收敛效 果好的优势。 1 4 本文的主要工作及创新点 本文的主要工作及创新点： 1 ) 建立智能电网实时电价模型，研究在独立的时隙中，所有用户的总电耗 不超过供电商提供的电能量的约束下，使得用户的总效用之和减去供电商的成本 最大。利用改进对偶算法一近端中心算法来求解这一模型，同时和基于对偶分解 次梯度算法做比较。 2 ) 针对不同用户对耗电量的要求引入时隙耦合，建立了时隙耦合的实时电 价模型，从而使智能电网能够为用户提供需求质量保证，以满足用户的特殊用电 要求。利用近端中心算法来求解这一模型，同时和基于对偶分解的次梯度算法做 比较。 3 ) 将用户的效用函数更一般化，研究了既有凹效用函数又有非凹效用函数 的实时电价模型，由于智能电网中某些用户可能对每个时段都有用电要求，这一 4 浙江理工大学硕士学位论文 类型用户的效用可采用s i g m o d 函数来衡量。另外，比例公平会导致“0 效用情 况的出现，本文引入“伪效用 这个概念来解决这一问题，提出了一种面向效用 公平的优化模型，从而实现用户之间的效用公平。使用近端中心算法来求解，仿 真比较了比例公平下和效用公平下的用户耗电量及效用。 1 5 本文的组织结构 本文主要是针对目前国内外研究的热点，基于智能电网的实时电价进行了 深入的分析和研究，并利用近端中心算法求解所建立的模型，解决了网络规模 大时其他算法( 例如基于对偶分解的次梯度算法) 收敛慢甚至不收敛的缺点。通 过仿真验证了这一算法收敛快的性能。 本文的主要内容包括以下几个部分： 第二章主要介绍了改进对偶算法近端中心算法的推导过程，以及收敛性 分析。 第三章提出了时隙独立的实时电价用户端和供电端效益最大化问题，通过 对问题的拉格朗日目标函数进行平滑，推导出求解这一问题的优化算法近端中 心算法。通过m a t l a b 仿真平台来验证该算法，并对算法的性能进行分析。 第四章提出了基于时隙耦合的实时电价模型，使电网能够为用户提供一定 的服务质量保证。通过对原问题的拉格朗日目标函数进行平滑推导出近端优化 算法。通过m a t l a b 仿真平台来验证该算法，并对算法的性能进行分析。 第五章将在实际当中用户的效用函数可能是非凹的( 例如s i g m o d ) ，若继续 用对数函数作为效用函数实现比例公平，在电能消耗量不为0 的情况下会导致 用户的效用为0 。针对这一情况，建立了面向效用公平的模型，可使不同效用 函数的用户能够得到效用公平。利用近端中心算法求解，通过m a t l a b 仿真平台 来验证所提出的效用公平，并对算法的比例公平和效用公平作了比较。 第六章对所做的工作进行总结，并指出进一步的工作。 浙江理工大学硕士学位论文 第二章近端中心算法 2 1 近端中心算法简述 第一章的第三小节中介绍了实时电价的模型和解决这些模型的算法，这些算 法都存在收敛慢甚至不收敛的缺点。本章主要是针对文献【3 8 】中的次梯度算法步长 不易调整、收敛慢甚至不收敛这一缺点，根据近来文献中y u n e s t e r o v 提出的 基于分解方法的近端中心平滑思想推导出的一种算法一近端中心算法克服收敛 慢的缺点。该算法不仅保留了问题的可分离性，而且在电网规模较大时，收敛速 度快。以下是这一算法的具体数学推导过程及证明。 2 2 算法的推导 2 2 1 动机 y u n e s t e r o v 提出该算法的动机：次梯度方法是解决非平滑凸最大化问题的 第一批数值方案，但这种方法的收敛速度的阶为d ( 1 f ) ，占是对近似解所要求的 精度1 4 3 。这些方法的主要缺点是收敛速度慢，而且最简单的次梯度方法的有效估 计也不能一致地提升变量的空间维数1 4 4 1 。 文献1 4 2 给出了一种系统的方法：用一个具有利普希茨连续梯度的函数来近似 最初的非平滑目标函数，并说明了这个梯度方法的收敛速度的阶为d ( 1 s 2 ) 。 说明：基于伴随问题的定义，定义原始有限维实向量空间为e ( 可能带有下 标) ，在e 上的线性方程的对偶空间表示为e 。i | 10 表示原始空间范数及( - ，) 表示 标量积( 两者和空间e 有相同的下标) 。对偶空间的范数表示为： 娜= m 野如x i l x l l = l 。 对于一个算子a ：e l _ e ，定义伴随算子为a ：e 2 _ 目，即： ( a x ，甜) ：= ( 彳材，z ) 。垤巨，u ee 2 。 算子的范数定义为：0 啦= 理努 ( 月而甜) ：l l x l l 。= 1 ，l u l l ：- l 。 很显然，啦= 1 2 l = m ， l l a x 州= 1 = 峄 怕 2 l i ：l = l 因此，对于任意一个“五，有0 彳“| 1 s 怕l | i 2 i l u l l ： 2 2 2 平滑不可微函数 问题： f i n d f = m i n f ( x ) ：x 仨q 2 - ( 1 ) 6 浙江理工大学硕士学位论文 其中q ；是有限维实向量空间e 上的有界闭凸集，厂( x ) 是q 上的一个连续凸 函数，且假设( x ) 是不可微的。通常，( 1 ) 的目标函数是显式，假设可以用下述 模型来表示： 厂( x ) = 夕o ) + r 峄 ( 出，材) ：一 ；( 材) ：“q 2 2 ( 2 ) 其中函数夕( x ) 是q 上的一个连续凸函数，q 2 是有限维实向量空间丘上的有 界闭凸集，函数多( 甜) 是q 上的一个连续凸函数且线性算子a 把空间巨映射为 乓。 下面给出一些关于式子2 - ( 2 ) 的知识可以帮助解决问题2 ( 1 ) 。 考虑集合q 2 上的一个近端函数吐似) ，假设d 2 ( u ) 毛eq 2 上是连续强凸的，且 具有凸参数呸。定义： u o = a r g 卿n 吐( 甜) ：甜q 2 为不失一般性假设破( ) = 0 。因此，对于任何“q ，有 吐( 甜) 去吼肛一哐 2 ( 3 ) 假设0 是一个正的平滑参数。那么考虑下面的函数： 石( 工) = 峄 ( 出，甜) ：一f ；( 甜) 一从( 材) ：“鲮 2 - ( 4 ) 定义”( x ) 是问题2 - ( 4 ) 的最优解，因为函数吐( 甜) 是强凸的，所以最优解是唯一的。 定理1 定义函数石( 曲在任意x 巨处是连续可微的。而且，这个函数是凸的， 它的梯度为： 1 咒( x ) = a 。甜( x ) 2 - ( 5 ) 是利普希茨连续的，其利普希茨常数为厶2 瓦1 忡i i ： 定义：3 2 = m 吐( 材) ：“q 和以( x ) = m ， ( 叙，甜) ：一f ；( “) ：“q 2 ) 那么，对于任意x 巨我们有 力( x ) s 工( x ) s 石( _ x ) + p d 22 - ( 6 ) 因此，对于口 0 ，函数( x ) 可以看作是函数以( x ) 的一致平滑近似。 下- 4 节给出了具有利普希茨连续梯度的函数的最大化方法。 浙江理工大学硕士学位论文 2 2 3 平滑优化问题的最优方法 设函数厂( x ) 在一个闭凸集q _ ce 上是可微且凸的。假设这个函数的梯度是 利普希茨连续的： l i v f ( x ) 一耵( y ) 1 1 0 。假设毛是集合q 的中心，l l o x o = a r g 哑n d ( 工) ：x e9 ) 。 为了不失一般性，假设a ( x o ) = o 。因此，对于任意x q ，有 d ( 石) 妻仃0 工一x o l l 2 2 - 0 0 ) 在这一节中考虑解决下面问题的优化方法： m i n f ( x ) ：x q 2 - ( 1 1 ) 对于上述的问题可以调用收敛速度1 4 5 1 为o ( 1 k ) 的标准次梯度映射方法求解，其中 k 是迭代次数。而本文是通过满足关系( 2 ( 1 2 ) ) 的方法来递归更新 x 1 l 。cq 和 儿 ：。cq 来求解最优值的。 4 厂( t ) 虬誊m j n 晏d ( x ) + q 【厂( ) + ( 夥( 薯) ，x x 】：x q ) ， ( 墨) c j # 0 其中4 = q ， q ：。是正的步长参数，常数三 o 是已知的。 下面给出推导过程：当k = o 时，令吼( o ，q ) 2y o = r q ( x o ) ，那么根据不等式2 - ( 9 ) 和2 - ( 1 0 ) ，可得： 8 浙江理工大学硕士学位论文 蝉n 告m ) + a o f ( x o ) + ( 夥( 如x 一) 缈 哑n 瓦l 卜堋+ 讹) + ( 可( 咖一) ：x q 口。f ( y o ) ( r ) 定义： 气2 a , g m i n 詈d ( x ) + 善q ) + ( 可( ) ，x 一薯) 】：z g 引理1 假设某个序列 吼 ：。满足下面这个条件： 吼( o ，l 】，口：+ ，( o ，i i ，口二。4 “，七0 2 - ( 1 2 ) 假设对于某些七o ( r ) 成立，选择= 等以及 k 。三( ：1 耽 2 - ( 1 3 ) y k + 。= 乇( + 1 ) u 7 那么关系( r + 。) 成立。 证明：事实上，( r ) 成立，那么，因为方程d ( x ) 是严格凸的，可得 + 一2 蝉n 詈d ( 功+ 善q 【厂( ) + ( 夥( ) ，x 一) 】：x q ) i 乒n 妖+ 鲁忙一气0 2 + + 。 f ( x k + 。) + ( 可( t + 。) ，x t + 。 】：z q ) 进一步，由于关系( 墨) 和2 - ( 1 3 ) q h 第- 个式子，可得 + a k + ，【厂( t + ) + ( 气y ( + ) ，x 一毛+ 。) 】 至三揣捌：鞴! ：凛j 啊。一) 】2 羽4 ， 4 【厂( + 。) + ( 夥( + 。) ，咒一) 】+ + ，【厂( t + 。) + ( 可歹( 一+ ，) ，x 一+ 。) 】 、7 = 4 + 。八吒+ 。) + + 。( 夥( t 。) ，工一瓦) 根据条件2 一( 1 2 ) ，彳：，。因此，可得： + 。4 + 厂( t + ) + n 錾n 鲁0 石一乙0 2 + + 。( 可( 毛+ 。) ，x 一气) ：工9 = “讹+ - ) + 删n 瓦l 卜州+ 。( 盯( x 一乙) ：x q 2 ( 1 5 ) 4 + 。【厂( 毛+ 。) + m i n 寺r ：忙一z i l l 2 + q ( 夥( 吒+ 。) ，x 一乞) ：x q 最后，注意l 【0 ，1 】。对于任意的x q 定义为： y = 工+ ( 1 一气) 儿 9 浙江理工大学硕士学位论文 那么从2 - ( 1 3 ) 中的第一个关系式可得： y - x k + 。= 吒( x 一毛) 因此，根据2 - ( 9 ) 式和2 - ( 1 3 ) 的第- - 个关系，可得： m x i n 寺0 x 一乙1 1 2 + 气( 夥( t + 。) ，z 一乙) ：x q ) = n 萼n 吉li y t + 1 1 2 + ( 夥( + 。) ，j ，一t + ) ：y t q + ( 1 一吒) 儿 i 粤n 圭l i i y t + 。i r + v f o ，定义= 孚，那么吒= 雨2 ， 4 = 半，且满 足条件2 - ( 1 2 ) ： 硼搏趾，2 象2 南丽4 2 石1 棚烁能- ( 1 2 m 惰： 对于七0 ，执行 1 计算( ) 和耵( ) ： 2 找出乃= 乇( 吒) ； 3 找出 气= a r g 哑n 吾d ( 曲+ 圭i s o 耸2 厂( 葺) + ( w ( 薯) ，x 一五) 】：z q ) 2 - ( 1 6 ) 4 眠。= 南气+ 等儿 定理2 - 设序列 吒 ：。和饥 乙是由2 - ( 1 6 ) 这个过程产生的，那么对于任意七0 ， 有： 半地) s 叫n 扣) 嘻掣盹) + ( 夥( 址) 吲 2 - ( 1 7 ) 因此， 厂( m ) 一m ) s 丽4 丽l d ( x ) 2 ( 1 8 ) 其中x 是问题2 - ( 11 ) 的一个优化解。 1 0 浙江理工大学硕士学位论文 证明：事实上，将 吼) ：。的形式选为如引理2 所示，根据引理l 和f ( x ) 的凸度， 则有： ， 4 f ( y , ) 兰d ( 工) + a f f ( x + ) d 接下来利用引理2 中的式子。注意，一般地，模型2 - ( 1 6 ) 不能保证在最小化的过 程中目标函数是单调递减的。然而，有时这个性质还是非常好用的。为了达到单 调递减的性质，需要对关于以的下面的这个条件做一个小小的改动： f ( y k + 。) f ( t q ( x j + 。” 把过程2 ( 1 6 ) 中的步骤2 - ( 2 ) 改为： 2 找出一= 乇( ) ，计算八以) 设儿= a r g n f i n f ( x ) ：x y k _ l t ，以) 。 很显然，可得出：f ( y k ) ( 儿一。) 八j c 0 ) 以上是近端中心算法的运用平滑技术的数学推导过程，将平滑技术应用于对 偶分解称之为近端中心算法，该理论为第三章、第四章的算法作了理论铺垫。 浙江理工大学硕士学位论文 第三章时隙独立情况下用户需求的快速实时定价算法 本章研究时隙独立的实时电价优化模型，每个用户的电能消耗量及电价仅与 当前这个时隙有关，利用第二章推导的近端中心算法求解该模型，此算法不需要 调整步长的大小，通过更新两个序列就可以得到电价的更新。该算法求得了最优 电价和用户的电能消耗量，使得整个模型的社会效益最大化。从仿真结果可看出， 当电网规模较大时，它具有收敛速度快、收敛效果好的优势。 3 1 系统模型与问题描述 3 1 1 系统模型 考虑一个具有单个供电商的智能电力系统，个用户共享这些电能资源， 垒l i ，是所有用户的集合。假设每个用户f ( f ) 的智能电表中都安装了 一个能耗控制器，其作用就是控制用户的能耗量，所有的智能电表互联且通过双 向通信网络( 例如局域网) 和供电商相连闱。两者通过通信网络交换控制信息，控 制信息包含了用户的能耗量和实时电价。每个时隙的准确电价是实时计算出来 的，在每个时隙刚开始时发布h 7 l 。将用户的用电时间划分为k 个时隙，k 垒i k i ， 置是所有时隙的集合。对于每个用户f ，令r 表示用户f 在时隙七的能耗量。 这个模型如图3 1 所示： 电能源 ( 能源提供者) c t ( ) ， ；僻i 篓。一2；蒌卜 月 血l ： 即i 矿2 l 二 i l 一 - 一。_ 一 、r j - - 一_ r l 一一 _ _ _ - 一1 一广 局域网 输电线 图3 1 有n 个用户的简单智能电网模型 对每个用户f 和每个时隙七眉，彳需要满足耐5 彳s 叫，其中硝和 彬分别表示用户f 在时隙七的最小和最大能耗量。相应地，供电商也要保证在相 应的时隙能够满足用户的最小和最大需求量，假设每个时隙提供的电能厶满足 1 2 浙江理工大学硕士学位论文 掣“s 厶 0 ，饥，c 0 ，这三个参数的值是提前设定的。 本节将用户和供电商之间的互动作为优化问题，在这个模型中，供电商基于 总负荷需求发布实时电价。从社会公平的角度来看，人们期望的情况是：使用供 电商提供的可用电能来使得所有用户的总效用函数之和最大，强加给供电商的成 本最小。然而，每个用户都选择能够使自己效益函数3 ( 5 ) 达到最大的能耗水平， 这些个别的最优能耗水平对于供电商发布的电价不一定达到社会最优。为了把这 些个别的最优能耗水平组合成社会最优的情况，所有用户的能耗水平通过有限可 用能量耦合时，需要把所有效用函数之和减去强加给供电商的成本作为目标函 数。对所有用户采用集中控制且提供关于用户需求的完整信息。 综上所述，本章提出的社会效益最大化问题可以表示如下： m 瓤埘( 删u ( ，硝) 一q ( 厶) ) 儿善彳s 厶，v k 钋3 - ( 9 ) 以s 霉s m ：。i n 。k k 掣“s 厶s 矿，k k 1 4 浙江理工大学硕士学位论文 其中，u ( # ，硝) 的定义如3 - ( 4 ) 所示，是用户f 在第k 时隙的效用函数，科表 示用户f 在第k 时隙的购电意愿参数。对于不同的用户，购电意愿参数值也不相 同。c 。( 厶) 的定义如3 ( 8 ) 所示。 3 2 基于时隙独立的近端中心算法 3 2 1 平滑对偶问题的目标函数 问题3 ( 9 ) 是一个凸最大化问题，可以用集中式凸规划方法来解决( 如文献5 1 1 中的内点法) 。如果使用集中式解决这个问题供电商就需要知道每个用户精确的 效用函数，但每个用户的效用参数都是用户私有的，所以供电商没有足够的 信息解决问题3 ( 9 ) 。如果采用分布式算法，供电商不需要知道用户的所有信息， 只需要知道用户的能耗量即可。因此，分布式算法大大减少了信息的交互量，从 网络资源方面讲，大大节约了带宽。 观察3 - ( 9 ) 式可发现每个时隙k 置是不耦合的，可以独立解决问题3 ( 9 ) ， 对于固定时隙k k ，有下面的优化问题： m a x ) - i ! , 旭u ( ，矿) 一q ( 厶) s j t z l # 厶3 ( 1 0 ) 武s 毫m ：，j n 。k x 砰“厶r ，k k 问题3 - ( 1 0 ) 也是凸优化问题，可以用集中式求解。在实际中，这个问题要用 分布式方法求解，尽管变量# 和厶可以进一步分离，但是通过问题3 - ( 1 0 ) 的第一 个约束耦合。这是一个多变量、多限制条件的最优化问题，可以将它转化为对偶 函数来求解，其对偶问题为： d ：咖季。( 见) 3 - ( 1 1 ) 根据第二章的近端项对原始问题3 - 0 0 ) f 豁2 格朗日目标函数g 。( z ) 进行平 滑，可得对偶问题d 的目标函数为： 宫。( 旯) = g 。( 兄) 一c ( 以+ 或) 3 - ( 1 2 ) 其中 ( 五) 2 搿删u ( 枷f ) 一q c q ) 一z ( 削# ) ) 3 - ( 1 3 ) 显然，3 - ( 1 2 ) 式中的变量z 和是可分离的。因此，实时电价模型最大化问 浙江理工大学硕士学位论文 题所对应的拉格朗日目标函数司以分为两部分，如下所示： 弘( 旯) 2 嚣f 洲( u ( 彳，硝) 一州一咄) + 霉。器砰一吐) 3 删 允是拉格朗日乘子，这里表示单位电价。第一部分的最大化由用户来求解，第二 部分的最大化由供电商来求解。 根据第二章的分析有： 以( ) = q 2 1 1 x i j 2 ( ，= 【茸，】) 及吼( 厶) = l 2 i j 厶1 2 。 见掣翟鼙4 。，以( 厶) ，巩彳m ；彳a 卅x 以( ) 根据畋( r ) 和以( 厶) 的表达式，可以推出相应的闭式： 眈= ( 1 2 ) ( r ) 2 ，以= ( 1 2 ) ( # 一) 2 根据p x 和砬的定义及不等式的性质，可推出如下不等式成立： 季。( a ) g 。( 旯) 誊。( 名) + c ( 见+ 砬) ，元足其中置表示非负实数集，c 是正的平 滑参数。这个参数尽可能足够小，以便平滑后的函数香。( 见) ( 允0 ) 的最小优化解 可任意接近拉格朗日函数g 。( 旯) ( 五0 ) 的最小优化解，也可为两个近端项选择不 同的参数q 和c 工。关于平滑参数的求法可以参考文献4 2 l 【4 7 1 ，常用的表达式为： c = | ( d x + d 或c x = | d x ，c l = 8 | d l 。 对于时隙k ，每个用户i 可求解能耗水平譬( ) ，供电商可求解提供量 厶( ) ，有： 删) 2 a r g m 觚t ；i f 埘u ( 刺” 3 - ( 1 5 ) - 2 茸( 名) 一a 以( x ( 旯) ) ，v i w ) 2 鹕m 觚弛。矿砌) 3 - q ( l , ( a ) ) 一吐( 厶( ) ) 这个过程可由用户端和供电商分别完成。加入近端函数之后的3 - ( 1 2 ) 式变为 一个具有利普希茨连续( l i p s c h i t zc o n t i n u i t y ) 梯度d 如= ，i 茸一厶的凸可微函 数，且具有利普希茨常划5 2 1 厶= 1 ( c ( + 吼) ) 。求解3 - 0 5 ) n3 ( 1 6 ) 式的最优解 茸( a ) ( i = 1 ，) 和厶( ) 之后，通过( 3 1 1 ) 来求解旯( ，厶) 的最优值。 1 6