（凝聚态物理专业论文）低维凝聚体中的孤子动力学：darboux变换法.pdf

i 摘 要 实验成功地在玻色-爱因斯坦凝聚体(bec)中观测到亮孤子和暗孤子，从而 有关非线性物质波的研究成为人们广泛研究的热点之一。bec 形成以后可以用 基于平均场理论的 gross-pitaevskii(gp)方程来描述， 对于 gp 方程而言在实验中 可调控的主要物理量是s-波散射长度(可以描述原子之间的相互作用强度)和外部 囚禁势阱。其中原子之间的相互作用是 bec 物理性能研究中的核心问题，此外外 部囚禁势阱对 bec 的非线性动力学行为也起到非常重要的作用。因此，本文主要 从 gp 方程出发，利用 darboux 变换法，解析的地研究了处于恒定外部势阱中或不 同生长模型中的 bec 的非线性动力学性质，得到了一些有意义的研究成果，具体 内容如下： 第一章，阐述了 bec 的基本理论、实验进展情况及研究意义。bec 具有重 要的基础研究意义和美好的应用前景。而且 bec 极有可能像激光那样给人类带 来另外一次技术革命。 第二章，介绍了我们的研究方法：darboux 变换法。基本思路是：利用非线 性方程的一个解及其 lax 对的解，用代数及微分运算得出非线性方程的新解。 darboux 变换是求解非线性微分方程的一种非常实用的方法，比多尺度法、双线 性变换法等其它方法更简单、更实用。 第三章，考虑凝聚体中玻色子之间的相互作用为常数，解析地研究了局限于 恒定不变外部势阱中的玻色-爱因斯坦凝聚体的非线性动力学性质。结果发现凝 聚体中的粒子之间的相互作用强度对其非线性动力学特征有重要的影响。 当玻色 子之间的相互作用相当强时，凝聚体中只会存在亮孤子；而玻色子之间的相互作 用相当弱(小于临界值)时，凝聚体中会出现亮孤子和暗孤子交替演化。 第四章，考虑凝聚体中原子相互作用随时间作指数形式变化，利用 darboux 变换解析地研究了一维生长的 bec 的非线性动力学行为。结果表明：凝聚体的 生长对其中的孤子的振幅有重要的影响。当凝聚体没有生长时，凝聚体中会出现 交替稳定的亮孤子。而当凝聚体中原子减少时，亮孤子的振幅会减小；当凝聚体 从外部热原子云中吸取原子时，亮孤子的振幅会增大。 第五章，研究了周期性变化生长模型中 bec 的双孤子的相互作用性质。结果 表明： 在凝聚体中原子间相互作用随时间作周期性变化和凝聚体中的粒子数发生 改变的影响下，凝聚体中的两个孤子会发生分离和融合等一些有趣的现象。并且 这种现象在当前实验条件下就能够被观测到。 最后，我们对本文的研究工作做了一个简单的总结和展望。 关键词：玻色-爱因斯坦凝聚体；gross-pitaevskii 方程；原子间相互作用； 孤子；darboux 变换法 ii abstract since the bright and dark solitons in the bose-einstein condensates (becs) have been observed experimentally, the field of nonlinear matter waves has received extensive attention. at the mean-field level, the gross-pitaevskii (gp) equation may describe some characteristics of bec after the condensates appeared. the observed maroscopic quantities in gp equation are s-wave scattering length (it may describe interatomic interactions) and the external trap. meanwhile the interatomic interactions play an important role on the investigations of the physical properties of bec, and the external traps greatly affect the nonlinear dynamics properties of bec. so in this thesis, by using darboux transformation, we study analytically nonlinear dynamics properties of bec in an invariable external potential or with different growing model, and obtain some significant results. the thesis is organized as follows: in chapter one, we introduce the theory of bec, the relevant experiments and the significance of bec. bec is very important for foundation research, and the applications in the foreground are beautiful. similar to well-known laser, bec maybe bring another technology revolution. then the darboux transformation method is presented in chapter two. based on the “seed” solution of nonlinear equation and the solution of its lax equation, we can obtain the new solution of nonlinear equation with some mathematics operation. compared to the multiple-scale method and hirota method, the darboux transformation is a more simple and useful method for nonlinear equation. in chapter three, we study analytically nonlinear dynamics properties of bose-einstein condensates trapped in an invariable external potential with invariable atomic scattering length. it is shown that inter-atomic interaction strength of condensate has an important effect on its nonlinear dynamics properties. when inter-atomic interaction is strong enough, there only exhibits bright soliton. while inter-atomic interaction is less than a critical value, the alternate evolvement phenomenon between bright and dark soliton appears in the condensate. in chapter four, by using darboux transformation, we study the nonlinear dynamics of a one-dimensional growing bec with exponential function of time varying scattering length. it is shown that the growing model has an important effect on the amplitude of the soliton in the condensates. in the absence of the growing model, there exhibit the stable alternate bright solitons in the condensates. in the iii presence of the growing model, our results show that the amplitude of the bright soliton decreases (increases) for the bec loses (gains) atoms. in chapter five, the interaction characteristics of two bright solitons in a one-dimensional growing bose-einstein condensate with time-dependent periodic atomic scattering length has been investigated. it is shown that the interaction between two bright solitons occurs fission and fusion in the presence of both time-dependent periodic atomic scattering length and the growing case, and these intriguing phenomena can be observed under the current experimental condition. finally, we make a summary of our work and some prospects for future work in this field. keywords: bose-einstein condensate; gp equation; the interatomic interaction; soliton; darboux transformation. 湘潭大学湘潭大学 学位论文原创性声明学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湘潭大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名： 日期： 年 月 日 导师签名： 日期： 年 月 日 何章明 湘潭大学硕士学位论文 2008 年 5 月 1 第1章 绪 论 当自由理想玻色子气体的基态(即玻色子的动量为零的状态)布居密度为 0 n 的粒子时，这些粒子就可以称为处于玻色-爱因斯坦凝聚态(bec)。bec 可以用 下面简单公式来描述 , 0 1 000 + aa v n (1.1) 其中 0 a是零动量态粒子的湮灭算符， + 0 a代表对应的产生算符，v是总体积。对 宏观量子体系的bec来说，基态上的几率密度必须是宏观量。对相互作用的玻 色体系，bec仍可以用上式来定义，只是在求平均时要用包括相互作用的哈密 顿量。 1.1 bec 的理论 bec是物质的一种新的状态，处于这种状态的大量原子的行为像单个粒子 一样，它本质上是一种量子统计现象。从经典的boltzmann统计出发，两个能级 1 e(基态)和)( 122 eee上粒子布居数之比是 ()./exp 12 1 2 ktee n n = (1.2) 其中k是boltzmann常数，在 12 eekt，这是否意味着 发生了凝聚呢？下面以he为例 1，取边长为 1cm 的立方体用方势阱作简单估 计，基态与第一激发态的能量差为erg1048. 2 30 =e，相当的kt的温度是： k10 14 t。 如果要求 21 nn ， 就需k10 14 (量子浓度)时才会起作用，其中量子浓度 . 2 2/3 = h mkt nq (1.3) 质量为m的原子的de broglie热波长是 , 2 2/1 2 = mkt h (1.4) 何章明 湘潭大学硕士学位论文 2008 年 5 月 2 因此在 3 体积内有一个原子的体系，其密度就是 q n，这正是全同粒子不可区分 的条件。对低温下的液氦这个条件是满足的。此时bose-einstein分布给出在温 度t下能量为的粒子数热平均),(tn为 , 1/ )exp( 1 ),( = kt tn (1.5) 其中是化学势。对于理想玻色气体，在 q nn时有)/ln( q nnkt= 2。在温度 趋近于零时，nn=)0(，为总粒子数。式(1.5)给出nkt/=，即值为负。 对于 22 10=n，k1=t时，erg104 . 1 38 =。 仍以1cm边长立方体中液氦为例， 基 态0 1= ，erg104 . 1 38 1 =， 第 一 激 发 态 与 化 学 势 之 差 erg104 . 1 38 22 =。在ot(1k)时，它们都满足 )kerg1038. 1( -116 = kkt。此时有 ,),( kt tn (1.6) 即)10()( : )(: 8 2112 onn=。可见基态上布居宏观量粒子是由化学势 非常接近 1 所导致的，这实际上是量子统计中玻色子体系的交换对称性的结果。 令)(tne代表在所有激发态上的粒子数，它是温度的函数，由玻色-爱因斯 坦分布和自由粒子的态密度)(g决定。其中自由粒子的态密度)(g , 2 4 )( 2/1 2/3 22 = h mv g (1.7) 所以有 =.d)(),()(gtntne (1.8