（概率论与数理统计专业论文）定数截断寿命试验中污染指数分布的研究.pdf

摘要 本文研究了定数截断寿命试验中受污染的指数分布模型的统计分析问题。 r y 设非负随机变量x ，x ：，x 。是元件的寿命随机变量，它们相互独立且具有相 、j 同的指数分布函数 、 曩g ) = 1 一e 一扯g z o l 五 0 。 这些元件同时开始试验，并在试验前预先确定一个正整数r ， 0 t h e s ev a r i a b l e sa r et e s t e da tt h es a m et i m ea n dw h e nr 0 。可计算出其密度函数和生存函数 ，( f ) = 知“和s ( f ) = e “ ( 1 2 2 ) 该分布的均值和方差分别为1 z 和1 牙，p 分位数为。= 一去l 。g ( 1 - p ) 。指数分布 是伽玛分布和威布尔分布的特殊情形。它是首先得到广泛应用的寿命分布模型， 部分原因是它容易得到简单的统计方法，另部分原因是指数分布适合用来描述许 多对象的寿命。 1 2 2 伽玛分布 伽玛分布的密度函数为 厂o ) = 南r 分“，f 0 ( 12 3 ) 图1 2 1 3 图i 2 2 这里口 0 和五 0 均为参数，旯为尺度参数，口有时被称为指数或形状参数。形 状参数口的大小决定r 分布密度函数的曲线形状。对口 i ，r 分布的密度函数 是单峰的。峰值位于z ：竺 ( 即众数) 。对1 2 ，其密度函数是先下凸，中间上凸，最后又下凸。其均值和方 差分别为a 以和口刀。 当口= i 时，伽玛分布就是指数分布。伽玛分布也可以作为寿命模型但不是很 常用，一定程度上由于伽玛分布的生存函数和危险函数不能以简单的形式表达。 然而伽玛分布的确足以适合广泛的寿命数据，并且有一些失效过程还可以导出伽 玛分布。另外独立同分布( i i d ) 的指数分布的随机变量之和服从伽玛分布。具 体地，若z ，z 2 ，墨，独立，每个具有密度函数( 1 2 2 ) ，则x 。+ ：+ + x 。服 从参数为五和口= 打得伽玛分布。用矩母函数很容易得出这一结论。 1 2 3 正态分布 寿命试验中常用到的是对数正态分布模型。当寿命川驭对数后】，= l o g t 服从 正态分布时，就称r 服从对数正态分布。其密度函数为 4 赤唧等 2 ，y o 是参数。设 x ( 1 ) 五2 ) x ( ，) x ( 。) 是x 的顺序统计量，那么在定数截断试验中，我们只能看到真实寿命数据 z ( 1 ) ，z ( 2 ) ，x ( ，) 。此时，总的试验时间为 r = 五。) + ( ”一r ) x 。 可以证明2 r 服从自由度为2 r 的z 2 一分布( 参见 1 ) 。但是在实际问题中元 件寿命的分布往往不是一个单纯的指数分布，而要受到其它随机因素的干扰。常 见的会有两种情况： 模型i ：元件试测受到伽玛分布的随机变量的污染和干扰，事实上的观察为 z = x 。+ 占j j ： 1 1 3 1 ) 其中一相互独立，z 服从参数为0 ，如) 的伽玛分布，且与置相互独立。此处 0 s 1 也称为污染系数，事实上它是一个很小的数。本文只考虑口1 的情况， 可进一步假定 譬 1 ( 1 3 2 ) 如 其直观背景是x 。的期望要比占z 的期望大的多，也就是占r 这一项仅是污染和干 扰而已。 模型：元件试测受到误差的影响，这种误差服从正态分布。观察值也是 z j = x | 七s y j 其中r 相互独立服从标准正态分布n ( o ，1 ) ，且与置相互独立。 记乙) ) s 刁) 为互的顺序统计量，t = 互，) + ( 玎一，) 互一为总试验 i = 1 时间。现在要问在上述两个模型中t 的分布是什么呢? 显然当占= 0 时2 丁的分 布就是z 2 ，2 ，那么当占0 时r 的分布就与占有关，它又与z 2 ，2 相差多少呢? 本文 中我们将讨论这些问题，在第二章中我们讨论模型i ，得出2 ) q t 的分布为 g ( ，) = p ( 2 2 ，t - oo 则z = x + 占y 的概率分布函数c ( z ) 为： f a z ) = r 砂r p ( x ，y ) d x = 蓐扩e 却砂。p 协高卜枘肌却砂 = 高陟e 瑚咖一卜却e 如_ ) 7 卅 ( 2 1 1 ) 记 c o ；叫) 2 岛”1 9 曲砂，其中纠，五如 ( 2 1 2 ) 为伽玛分布1 1 c y ；口，五) 的分布函数，c ( z ；a ，五) 【o ，1 】。由1 3 节中( 1 3 2 ) 的假 设及口1 知有量 ，即五一 0 。故( 2 1 1 ) 式可记为： c ( z ) = c 川一( 击卜谗；毗圳。 ( 2 1 3 ) z = x + 6 y 的概率密度函数为： 删= 掣= ( 剖。矿氆；毗训。 2 2 计算顺序统计量的联合密度函数 式： 本节主要计算2 0 ) ，2 ( ，) 的联合密度函数如，x ，) a 由顺序统计量的密度公 航 ) ：志卧) 1 - f a x , ) r ，o 0 ，无妨记c g 。；c t ，如一 ) 为c 1 g 。) ，记c g 。；口，厶) 为 c ：x ，) ，则此时( 2 2 1 ) 式可表为： 忙稚 q e i 7 ，矾卜+ ( 剖8 e 哪帆州 = 南彳( 去r 喜冉q 一e 州珥 = 南舛( 南r 盼h j ( 冉酏广小t ! 二刍延! !i e 椰嘶 ( 南列 一括 q 封 篙 卜 p = 南去卜7 + 制剖。e 电协 r ，一t 卜蒜胬 ( - r ) - 丫c j x ，- _ 1 4 “e - 分别记 ，2 ，厶在d 上的积分为，。o ) ，：( f ) ，3 ( f ) ，则 ( 2 2 2 ) g ( t ) = p ( 2 2 ，l t r ) = ，l ( r ) + 2 ( f ) + 1 3 ( t ) 。 ( 2 2 3 ) 2 3 积分的估计 首先由1 3 中表述的性质可知 又知 ( 2 3 1 ) 裔( 牡1 脚m ，) 卜蒜街 上 一括 旦嘶 一产 q 崖脚 一括 旦嘶= ” 砭 剖 惦 幽 小 r ” 为估计上式在相应积分区域上的积分，下面我们先证明下面的关于伽玛分布 的性质。 v x 0 ，记c 1 g ) 为服从r 如，旯) 的分布函数，c 2x ) 为服从1 1 0 ：，五) 的分布函 数，其中口l 0 ，口2 0 ，a 0 。若口1 口2 ，则c 1 g ) c 2 g ) 。 ( 2 3 2 ) 事实上若设随机变量z 1 r 白：，旯) ，z ：f ( a 。一口：，旯) ，且z 。与z ：独立，则 z 。+ z 2 r 0 。，z ) 。从而有 c 1 g ) 一c 2 g ) = p ( z 。+ z ：x ) 一e ( z 。s x ) 0 即( 2 3 2 ) 得证。 v a 1 ，定义k 】为对口的下取整函数，即k 】为距离口最近的且不大于口的 整数，知k 】1 ，且k 】口 k + 1 】。 由( 2 1 2 ) 式知 c 。= 降弘“e * 仙砂， 设_ y 服从分布f ( a ，2 3 一 ) ，则c l k ) = 尸( y t ) 。当口1 时，对任意的 x ，1 i r ，有 c 1 g ，) = p x ，) = p 1 + y 2 + + y k l x ，) + p ( y 一) 一p ( y l + y 2 + + j ，m x ，) 其中乃服从r ( 1 ，丑一 ) ，即参数为厶一 的指数分布，1 _ ，k 】。由1 2 中 表述的伽玛分布和指数分布的关系，知y 。+ y ：+ + y k 】r ( k l 一 ) 。那么由 从而有 户x 3 - e ( v l + y 2 + + y k l z ，) o ， c t ( x ，) 茎尸c y 。+ y 2 + + y k 】工。) p 。- - x ，y 2 x ，) ，k 】- x 。) = o - e - ( 南一 k p l - 1 一p 一( 南一 k ( 2 3 3 ) n n n p ( yg _ ) 一p ( y ，+ y ：+ + y b + l j5 t ) 20 ，故对任意的t ，l s is r ，有 p ( ) ，。+ y ：十+ y l a + 1 1sx i ) s c l ( x 。) 。 其中y ，服，：r o ，a ，一 ) ，1sjs b + 1 。且有 c lx 。) e ( y 1 + y 2 + + y k + 1 1sz 。) 七酣s 南小e 一赞厂 ( 2 3 4 ) 同理，对任意固定的z ，1 s f sr ，可知对于c ：x ，) 也有类似( 2 3 3 ) 和( 2 3 4 ) 的 不等式成立，即 ，一。一b t 之c ：k ) f ，一e 一# 角】k “1 。 c z s s ， 当钐， 口即扣， 时，无妨设e 南- z2 陋+ 堆衙。又因为，c 面t ， 且结合( 2 3 3 ) ，( 2 3 4 ) 和( 2 3 5 ) 式，可知，有 e 。r ：b 獬广】一 ij f 霹 e 网一1 监土王 e l a + 1 一e k + 1 】 ；箸簇x ( , , - l l - o z 。 p 垴一k + 1 圹网网j ， s 2 k + 1 】e 一赢。s 1 1 2 k + l 1 一pl a + 1 ( 一 k l - e 阿 1 南e 乱e 南z k + 1 ( 2 3 6 ) 小l i 雨 兰酱 ，i 一 j亿r 籍 一 一l i 乩丽 b 一 一 p 蒜矧 ( 1 。厂7 。e 如嘛 ( 备州。 以卜 c 去，“南 7 黔t 卜广7 胁e 电叫一 叫m 去卜去，“南 7 盼- 卜v ”睁叫 2 卜击j ( 击) “志小文一 卜如荆 = p 卜南。志 e x p ( 一厶融纠 ( 2 3 7 ) 在积分区域d 上求积分，有 1 1 2 ( ，1 = 肛凼出，j 卜删凼d x ， 卟。小。寺九剖。南小小融制卜戤 为计算( 2 3 8 ) 右边的积分，做变量代换 令： w l2 n x i w 2 = ( n o ( x 2 一x 1 ) w i = ( 打一i + 1 ) ( t z ，1 ) w ，- 1 = ( n r + 2 ) ( x ，一1 一x ，一2 ) w ，= 粤( n 一，) 品+ x , - - ( n r + 1 ) 品 ( 2 3 8 ) 记 丁= w l ：1 + s - - ( n - r ) x ， 几1 瓮荆叫川卜_ z ， 焘”叫 百n ! 叫。 如 - - - ( n - r ) + 1 南 记d 在上述变换下的区域为d 。因为 故 t 一 ：- ，x 2 1 2 n 尢。 t 一h 丽而， t t w 12 珊 瓦 石 = ( n 一1 x x ：一x 。) ( ”一1 b ： 耽2 从而积分区域。+ 亡 “，m ， 玎一r ) x ，+ x ，一( n 一，+ 1 ) x ，一l ( n - r ) + 1 1 x ， ( n - r + 1 ) x ， ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) 。 云，。 者，0 w ， 者) 4 x ， = 南赤 ，一a ，一丑纷嗽 1 2 ( t 】卜 卜九南 。溯 肌一如( 纠咖 佩镥l k d w l 机 o o lj 卜八剖“嗉绺铲 爿 当如一佃时，易知上式为( 甜的等价无穷小量，从而圳= 。g 7 ) 。 下面接着讨论厶( f ) = ，。弘出。d x ，其中 厶= 南吖剖“e 唧 为方便讨论记 则 1 一c ：g ，) e 咄嘶) ( 剖8 啪h _ d 馅硝( 特舻l 蒜街 下面先分析以( r ) 。 ，= 1 , 2 ，疗一，。 厶( f 】。j 六l 出，d x ，s n - r ( f ) ， 严l d w ， 出t 出， 赫 厂南1剖n 端 “f ) - 卜+ 焉”项打 妒十叫。蒜街帆吨 s 1 d j - z 川若毒( 毒一7 e _ k 叫e 一知一峨 叮。, 。2 a 而+ 1 i n ! c 去m x 一( _ 南卜掣卜k 制胪咄 与计算( 2 3 8 ) 式积分类似，现在做几乎相同的变换就可以估计出上式积分的阶 数。具体令 从而有 w 1 。，1 w 2 = ( 1 , 1 1 ) ( x 2 一x 1 ) w i = ( n i + 1 ) ( x f z f 一1 ) w r 一1 = ( n r + 2 ) ( x ，一1 一石2 ) ：掣j ( n 一，) ”矿堡型( n 一，+ 1 ) 凡 喜掣掣吁k + 掣薯j 且 矧叫卜如2 ) 掣”叫 = 南 i 掣”叫南 一_ l ，i 一 一r ) ! i 厶 、 l 一r + 1 ) 同样可知在上述变换后 且此时 一卜，w ，) 小mc 和c mc 小 “班 一z 娜叫”圳( 击h 掣”叫e 一浏；牲k 饥 书”( 去厂赫鲋e 一蒯2 掣叫 m 1 2 ( n - r ) ( n - r + 1 ) ( 南厂雨杀硼 所以啪) i 。“小同理可对其余的小) 类似分析得出 j ，o ) 2 。g l 岸，3 ，。此时我们已证明圳) 。g ) 。 由( 2 2 3 ) 式，我们要求的分布为 g ( f ) ip ( 2 r s f ) 2 ，；p “，r ) 叙，一出， = i i o ) + ，：o ) + 1 3 ( f ) ；( 击) 8 n k 2 , + o ( 寺 山一 = ( 1 一：i s ) 一“k ：，( f ) + d ( e ) 宗理2 】就此得讦。 1 7 第三章：受正态分布污染的指数分布的数据分析 本章中主要是讨论模型i i 的情形，给出了受正态分布污染的指数分布的截断 寿命数据的总试验时间r 所服从的概率分布公式，并通过计算混合分布的概率密 度函数、顺序统计量的联合密度函数以及积分阶的估计，分三步完成定理3 1 的证明。 定理3 1 ；在模型i i 中，役随彩l 燹量j 服从参数为五的指数分布，具密度函 数为p l ( x ) = 旯p ，工0 。随机变量】，服从标准正态分布( o ，1 ) ，其密度函数为 p ：( ，) = 名茅。毒。顺序统计量可) ，z ( r 】的联合密度函数为p “，) ，则2 五丁 的分布可以表示为 g ( f ) = 户( 2 a r f ) = np ( 而，砟) d x l 凼，= 8 下足2 ，( ，) + o ( s ) 。 其中积分区域。： ( z 一，砟) ：而- 幽+ + t + 。一，) 。寺) ，k ：，( r ) 表 示自由度为2 r 的z 2 分布函数。 下面将分为三步依次证明该定理。 3 1 计算混合分布的分布及密度函数 本节中主要计算z = x + 6 y 的分布函数和密度函数。 f a z ) = i 沁，协蚴 ；+ d = d x f p ( 五y ) d y ( 令“= x + 占y ) = r 。出p ( 五兰) 咖 密度函数 = 肛胁础去膨2 出 ! 竺o+ 11一f ! ! 2 = ! 瑾 剐t p 讪幽珐e 一节出冷扣h p 2 卜训 ：。孚f 血一h 幽r 善。去硪 朝下肛抽幽r 去e 2 一硪 = e 学h 竿卜“， 卜( 竿 p 驴1 去e 一譬 忙譬可 算卜吖竽 + e 卑中( 割 = m ( 匀一e 譬中( 半卜 见( ：) ：掣；从n 。( ! 丝弦譬。 0 2 占 3 2 计算顺序统计量的联合密度函数 牡卑珐e 舌 ( 3 1 2 ) 本节中主要计算郅) ，i ，2 ( ，) 的联合密度函数p g ，工，) 。由顺序统计量的密公 式知 1 9 半 七 p ( x 当x 1 z 2 x ，时 p ( x 。) in ! 一，) !兀p ：oi = 1 = 志n 肌“喜 e 字m ( 一，) !l 眢i o ) 【1 一f a x ，) 】，x l x 2 s x ， x 一占2 五 ：黑。酚一h j 。孚州 0 一，) !l 廿l 1 + 1 + i 矿 ee 1 一中f 生 ls 1 一中f 立 lsj z 。一占2 旯 工，一c 2 2 卜( 刳 x 一占2 旯 m 生。一z 静，。 。字+ ( 聍一，) ! l + 州k e 字蝌 l 一。f 生 l 占 x 一占2 旯 矾 x l 一6 2 2 x l e 2 2 2 0 其它 x 一占2 a x ，一6 2 2 矿 矾半 卜 州 x 一占2 a ，。l l e 血 一p 宅| ： p+ ，q 缸 字 也 一 打r1 能 志 _111il ， m 缸 _ 8 竺： p 1j l r扣 1l，j 一p 南 字q 矿 志 ，、 中 n e 宅| ： e 上 l o i q l ( 3 2 1 ) 由于此时x 。可以取负值，不再像模型i 中的x 。0 。故我们需要把积分区域 分成两部分来讨论。记 ，均- ，) 耶西t 记d ：= d d 1 ，分别记正， ，厶在d l 上的积分为。( r ) ，2 ( f ) ，1 t ，( f ) ，记 p g ，砟) 在d 2 上的积分为j ：( f ) ，则 g o ) = p ( 2 3 a t f ) = 厶。o ) + 厶：( r ) + 3 ( f ) + l ( f ) 。 ( 3 2 2 ) 3 3 积分的估计 本节主要估计( 3 2 ，2 ) 式中各项的阶数。首先进行。( f ) ，：( f x j 。，o ) 的讨论 ( ，的讨论也限制在d 1 上) 。由1 3 中表述的性质可知， 1 r “( f ) = h 一弘凼出，= e 下k ：，( f ) ( 3 3 1 ) = 志协旷帆 e 字料半 h 半矿一- 一兄 一2 一占 、一 一 一一占一 p 丛： p 脚书面 弋一弋 卜 一也 z ) r一 ( +x r x 一 v lx 一 0 、jr x k ，j【 = q 因为o _ 石t 瓦，所以 从而 故 一m m m f 华 1 + 百 82e 一。( 爿 由吖孚 e 譬e ( 华) ( 1 + 2 e2 ”) ” e 2 n r o s 2 a 蚓禹胛化知。静k 斗( 华门 志广m z 赫悔一釉。一半 2 e 2 n ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 同第二章中证明，做类似的积分变换可以估计出上式( 3 3 3 ) 右端的积分 1 1 1 2 ( f 】= o g ) 。 下面讨论，( f ) = f q 一肛出，庙，其中 z +【 巫： 一 p 一 ! k! p 一砚一 盟俘 卜 一音f 差 孚 志 为方便讨论记 蚪旷话融h ) 。字q ， 主l x 一占2 一吖誓) 。譬。一揖f 芏尘生p 下e 一揖i ! ! 二兰兰 l s _ ，= 1 ，2 ，玎一r 。 则k ( f 】f w 五i 凼出，艺o ) 。下面先分析以( f ) 。 j l 因为0 x ，t - - - - l - 2 n 3 , 。 故 出l 出， 志肌一”，z 硒, - o i l ) 坼出， l 占 一生 s ! ：，当占_ o + 时， 瓦立 占 ( 。，q ，。乞毫尹石兰习e 一”。一，弘 e 揖出一出， 与第二章中的证明方法类似做几乎相同的变换后可以证明以( f ) = 0 0 2 ) 。可对其 余的( f ) 进行类似分析得出以( r ) = d 0 2 l ，= 2 ，3 ，”一r 。 此时我们已证明 ，。o ) = o g 2 ) 。从而 ，o ) + ，l ：( f ) + ，( ，) = e 丁足：，( r ) + o g 2 ) 。 ( 3 3 4 ) t i i i ! t ! 行积分区域d ：上的讨论。由前面的定义知 d ：= t 中至少有一个为负，葺x ：，血。+ x ：+ + ( 4 - r + 1 ) _ 去 ， 弋一吖 卜一寺f p 宅| ： p c 川 字 彤 南 厶 主。 三厉 o ) 嘶猢) = l 杀 砂岛咖p 出 ：丢+ 。孚中( - 旯占) 小去s + o g ：) 2 圭+ e 丁中( - 旯占) 小去s + o - 2 ) 此时得到 圳小( 一去舢， r = 。 结合( 3 2 2 ) 和( 3 3 4 ) 式知 g o ) = p ( 2 2 t r ) = i ( ，) + 厶2 ( r ) + 1 1 3 0 ) + l ( f ) n ，f 2 2 1 =e 2 k 2 ，( f ) + d ( 占) 定理3 1 就此得证。 2 4 f 3 3 6 ) 4 1 模型i 的模拟 第四章：随机模拟 从前面的论述我们可以知道，由于g ( f ) = p ( 2 r s t ) 的真实值一般很难算 出，我们可以用6 ( ，) = k ：r ( f ) ( 1 一砉占) ”去估计它。显然这个估计的精度依赖于 o ( ) 这一项的大小，如果o ( 占) 项确实较小那我们的估计就是可行的，否则就不 可取。因此我们需要通过随机模拟方法来进行考察。我们所采用的方法和步骤 如下： ( i ) 通过编制程序计算g ( t ) 和k 2 ，( f ) ，其中 如胪h 叩抖 ( 2 ) 产生总观察时间的随机数正，五，其母体 r = z ? = + ( n 一，) z ( r ) i = 1 i = l 表示总观察时间，然后计算经验分布函数g 。( f ) = 击蓦，( 2 a t 正f ) 。 ( 4 1 1 ) ( 3 ) 用g m o ) 代替g ( f ) ，比较g ，o ) 与6 ( f ) ，k ：，( r ) 之间的差异。 由g 1 i v e n k o c a n t e l l i 定理，有 舰s 叫g ，( r ) 一g ( r ) i = o ，黜 ( 4 l 2 因此上述方法是合理的。 模拟时首先考虑到若取 和如差异程度不同而占一定时误差的变化。具体 见表( 4 1 ) 。( 其中计算g 。( r ) 时，取m = 1 0 0 ，0 0 0 ) a l = 5 0 ， 2 = 1 0 0 ，a = 1 2 l = 2 0 ， 2 = 6 0 ，a = 1 2 l = 3 0 ， 2 = 1 2 0 ，a = 2 0 t k 2 ，( t ) g “( t )g m ( t ) g ( t ) g 。( t )g ( t )g 。( t ) 40 0 0 0 0 4 60 0 0 0 0 5 10 0 0 0 0 5 20 0 0 0 0 4 9 0 0 0 0 0 5 00 0 0 0 0 5 00 0 0 0 0 4 9 60 0 0 1 1 0 2o 0 0 1 2 0 7o 0 0 1 2 1 20 0 0 1 1 7 10 0 0 1 1 5 90 0 0 1 1 8 8 o 0 0 1 1 5 2 80 0 0 8 1 3 20 0 0 8 9 0 00 0 0 8 9 6 40 0 0 8 6 3 60 0 0 8 8 7 2 0 0 0 8 7 6 60 0 0 8 4 5 2 1 0o 0 3 1 8 2 80 0 3 4 8 3 30 0 3 5 6 7 20 0 3 3 8 0 00 0 3 4 2 9 80 0 3 4 3 1 0 0 0 3 4 8 2 6 1 20 0 8 3 9 2 4 o 0 9 1 8 4 80 0 9 0 5 3 20 0 8 9 1 2 30 0 8 9 9 4 10 0 9 0 4 6 90 0 9 0 4 2 4 1 40 1 6 9 5 0 40 1 8 5 5 0 9o 1 7 6 5 6 00 1 8 0 0 0 40 1 8 5 4 9 20 1 8 2 7 2 30 1 8 2 4 4 2 1 60 2 8 3 3 7 6 o 3 1 0 1 3 2o 3 1 6 3 5 10 3 0 0 9 2 90 3 1 1 2 8 20 3 0 5 4 7 50 3 0 5 8 4 2 2 00 5 4 2 0 7 0 0 5 9 3 2 5 30 5 9 8 3 5 60 5 7 5 6 4 80 5 6 8 4 9 30 5 8 4 3 4 40 5 8 3 6 5 2 2 20 6 5 9 4 8 90 7 2 1 7 5 90 7 2 1 2 4 20 7 0 0 3 4 0 o 7 1 2 9 5 2o 7 1 0 9 2 0o 7 1 0 2 9 8 2 50 7 9 8 5 6 90 8 7 3 9 7 10 8 7 8 9 4 20 8 4 8 0 3 50 8 5 5 7 8 60 8 6 0 8 4 6o 8 6 1 2 4 7 2 6 0 8 3 4 1 8 8o 9 1 2 9 5 30 9 0 2 4 6 80 8 8 5 8 6 00 8 7 4 9 8 60 8 9 9 2 4 30 8 9 2 4 6 9 1 2 = 1 5 。r = 1 0 。= 0 0 1 ( 表4 1 ) 4 2 模型的模拟 从前面的论述我们可以知道，由于g o ) = p ( 2 a t t ) 的真实值一般很难算 ! 丝 出，我们可以用g ( t ) = e 2 k ：，0 ) 去估计它。显然这个估计的精度依赖于0 ( 6 ) 这 一项的大小，如果o ( e ) 项确实较小那我们的估计就是可行的，否则就不可取。 因此我们需要通过随机模拟方法来进行考察。我们所采用的方法和步骤和上节 中模拟类似，详细数据见下表： = o 0 0 5e = 0 0 1= 0 0 3 tk 2 ，( t ) ( ( t )g 。( t )( p ( t )g 。( t ) g ( t ) g 。( t ) 40 0 0 4 5 3 4 0 0 0 4 5 3 90 0 0 4 5 4 20 0 0 4 5 5 40 0 c 4 5 5 00 0 0 4 7 2 l0 0 0 4 7 3 0 60 0 3 3 5 0 90 0 3 3 5 4 60 0 3 3 6 0 l0 0 3 3 6 6 00 0 3 3 6 0 50 0 3 4 8 9 3 0 0 3 4 2 1 6 8 0 1 1 0 6 7 4o 1 1 0 7 9 90 1 1 0 8 3 2o 儿1 1 7 3o 1 1 1 1 5 8o 1 1 5 2 4 8o 1 1 6 3 2 4 1 00 2 3 7 8 1 70 2 3 8 0 8 40 2 3 8 4 1 40 2 3 8 8 8 90 2 3 8 8 6 3 0 2 4 7 6 4 60 2 4 5 6 8 9 1 2 0 3 9 3 6 9 70 3 9 4 1 4 00 3 9 4 0 8 90 3 9 5 4 7 30 3 9 4 6 4 70 4 0 9 9 6 9 0 4 1 1 2 4 7 1 30 4 7 3 4 7 60 4 7 4 0 0 9 0 4 7 4 2 5 60 4 7 5 6 1 20 4 7 4 8 7 50 4 9 3 0 4 60 4 9 1 2 6 8 1 5 o 6 2 1 8 4 50 6 2 2 5 4 50 6 2 3 0 1 40 6 2 4 6 5 00 6 2 3 7 6 50 6 4 7 5 4 7 0 6 3 9 8 2 5 1 70 7 4 3 8 2 2 0 7 4 4 6 5 90 7 4 6 4 1 20 7 4 7 1 7 7o 7 4 6 8 9 30 7 7 4 5 6 50 7 6 9 2 4 l 2 0 0 8 6 9 8 5 90 8 7 0 8 3 80 8 7 i 0 4 2 0 8 7 3 7 8 20 8 7 2 6 4 50 9 0 5 8 1 10 8 9 3 6 4 2 2 2o 9 2 1 3 8 6 0 9 2 2 4 2 30 9 2 3 8 6 40 9 2 5 5 4 10 9 2 4 6 8 20 9 5 9 4 6 80 9 4 7 6 4 2 2 40 9 5 4 1 7 80 9 5 5 2 5 2 0 9 5 6 8 9 20 9 5 8 4 8 10 9 5 7 6 4 20 9 9 3 6 1 50 9 9 2 3 1 6 i l = l o ，r = 7 ，x = ： ( 表4 2 ) 从上两表都可以看出，台( f ) 与g 。( f ) 的接近程度要比x ：，( f ) 好很多，可见6 ( r ) 近似效果是相当理想的。 但是模拟的结果仅限于n ，占都很小的情况，这需要进一步提高计算的精度改 进定理的结果来优化。 主要参考文献 1 】黎子良，郑祖康，生萨易呖( 1 9 9 3 ) ，浙江科学技术出版社 2 d a “s ，d j ( 1 9 5 2 ) a na n a l y s i so f s o m ef a i l u