（计算数学专业论文）广义逆在代数扰动理论中的性质、表示及矩阵drazin逆条件数的极小性质.pdf

摘要 广义逆矩阵的表示与计算是，1 义逆理论的重要研究课题，因其埋论卜的重要地 位和实际中的j “泛应用+ 直为人们所关注，近二三卜年来，国内外众多学者在这方 而做了大量：工作，得到了丰富的成果( 见f 1 6 等) 。 区别于传统的分析扰动，j r b u n c h 和d j r o s e 在1 9 7 4 年首先提出了用代数扰动 的方法求勰非奇异线性方程组，随后，l ，b ，r a i l 。陈永林，季均等运用这一1 方法相继 得到了y c y - b a n a c h 空间卜的线性算子。实( 复) 域上矩阵的 1 ) 逆， 1 ，2 ) 逆及a 簧；逆 的系列结果。本文的第三章将麻用代数扰动的思想，首次得到l 一零矩阵的( j 。义) b o t t d u f f i n 逆矩阵及矩阵的加权d r a z i n 逆的荇干新性质以及这两类广义逆的新表达 式。 鉴于除环在：】：程，物理等领域的重要应j _ l 】，本文的第四章将对广义逆在p 一除环 。所具有的众多性质加以系统整理。并且在p 一除环卜首次研究了矩阵的代数扰动理 论。 条件数是衡量矩阵对扰动敏感程度的主要指标之，在矩阵计算和扰动分析的研 究中发挥着重要作用，从而广受重视( 见 3 ，3 2 4 7 1 等) 。本文的第五章将讨论d r a z i n 逆 条件数的极小性质，绘出了d r a z i n 逆条件数达到极小的充要条件以及此时矩阵所具 有的性质。 非负矩阵在随机过程，马氏链，数理统计中有着泛的廊朋。本文的第六章将讨 论类特殊的非负矩阵。文章将从新的角度出发，在进一步的讨论中得到若t 瓤性 质。 关键词：代数扰动，( 加权) d r a z i n 逆，( 广义) b o t t d u f f i n 逆，p 除环，条件数，值域 与零空间，矩阵范数，非负矩阵 a b s t r a c t t h er e p r e s e n t a t i o na n dc a l c u l a t i o no fg e n e r a l i z e di n v e r s en r a t r i e e si sa ni m p o r t a n t t o p i c i nt h et h e o r yo fg e n e r a l i z e di n v e r s e s i n c ei t s h i g hv a l u ei n t h ef i e l do fb o t h t h e o t i c a lr e s e a r c ha n d p r a c t i c a lu s e ，m a n y s c h o l a r sh a v e ( 1 0 n en m c hr e s e a r c ho ni t ( r e f s ： 1 6 e t e ) i nt h ey e a ro f1 9 7 4 ，j rb u n c ha n dd jr o s ef o u n dan e ww a yc a l l e d a l g e b r a i ( - p e r t u r b a t i o nm e t h o d f o rs o l v i n gn o r i s i n g u l a rl i n e a re q u a t i o n s a f t e rt h e n l ，b r a i l ，y ，l c h e na n dj j ih a v ea l s od o n eal a r g ea r n o u n to fw o r ko ni tw i t hr e s u l t si np r o p e r t i e so f l i n e a ro p e r a t o ro nb a n a c hs p a c e ， 1 卜i n v e r s e ， l ，2 ) 一i n v e r s ea x e da g i n v e r s eo fm a t r i c e s t h et h i r dc h a r p to ft h i sp a p e ri sg o i n gt od i s c u s st h ep r o p e r t i e sa n dr e p r e s e n t a t i o n so n a l g e b r a i cp e r t u r b a t i o no fg e n e r a l i z e db o t t d u f f i ni n v e r s ea n dw e i g h t e dd r a z i ui n v e r s e i nt e r mo ft h ei m p o r t a n tp r a c t i c a la p p l i c a t i o n so fd i v i s i o nr i n gt oe n g i n e e r i n ga n d p h y s i c s i nt h ef o r t hc h a r p t ，w eg i v es o m en e wr e s u l t si np d i v i s i o nr i n go ua l g e b r a i c p e r t u r b a t i o nt h e o r y c o n d i t i o n1 1 1 1 1 n b e ri so n eo ft h em o s ti m p o r t a n ti n d e c i e sw h i c ha r eu s e dt om e m s u r e s e n s i t a t i o no fm a t r i xa g a i n s tp e r t u r h a t i o ni nt h ef i v t hc h a r p t ，w eo b t a i ns o m e p r o p e z l a e s o fm a t r i xw h e ni t sc o n d i t i o nn u m b e ro nd r a z i ni n v e r s ei 8m i n i m a l a n d f i n a l y ，w ew i l lf i n ds o m ep r o p e r t i e so fn o n n e g a t i v em a t r i c e sw h i c hh a v i n gs a n l e n o n n e g a t i v eg r o u pi n v e r s ea n dm pi n v e r s e k e y w o r d ：a l g e b r ap e r t u r b a t i o n ，( w e i g h t e d ) d r a z i ni n v e r s e ，( g e n e r a l i z e d ) b o t t d u f f i ni n v e r s e ，p d i v i s i o n r i n g ，c o n d i t i o nn u m b e r ，v a l u e df i e l d & z e r os p a c e 、m a t r i x n o r n l n o n n e g a t i v em a t r i x 噶垫堑= 硕士学位论文答辩委员会成员名单 矿衫年，月j 孑曰 i姓名职称单位各注 i 座发顿放褪鲜芳肝也犬墨税哲缸主席 l 才l 研韶褪鲜袁肝范无喜磁学瓜 f 呶茄旋教疆辞龟卿勃震基诒噎番l 馥确坩井烀笮磊好瑟戎爱么舅畚云纬 l v 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导f 进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名遂塑垒日期 学位论文使用授权声明 驺以- g 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学 位论文用于非赢利e l 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：嗜砌葫乙 日期：够， 导师签名：荫军良 日期：菇厂、厂 1 引言 在生产实践和科学研究中。人们经常需要求解类方程组： 设x ，y 是两个线性空间，a l ( x ，y ) ， a x ：= bz x ，be y ( 1 1 ) 众所周知，若算子a 可逆，贝t l ( 1 1 ) 有唯一解= a _ 1 b 。但是在实际应用中，a 往往是 不可逆的。此时( 1 1 ) 就有两种情况，是方程无解，二是方程有解，但解不唯。阕 此，方程无解时如何求“最佳近似”解以及有解但不唯一一时，那些解的性质更好就成 为了人们关注的问题。人们希望能象非奇异方程组那样，也找到菜个适当的算“rx ， 使得x b 可用于表征此类方程的解集或特定解。于是，厂义逆便应运而生。 j 。义逆的概念最早南n e d h o l m 于1 9 0 3 年提，他给 j i 了积分算子的，、义逆。1 9 2 0 年 ，e hm o o r e 首次提出了矩阵，。义逆的概念。 定义1 1 设a c 7 “，则4 的广义逆矩阵x c “。”是如下方程的唯解 a x = p r ( a ) ，x a = r ( x ) 并且把x 记作 f 。 1 9 3 3 年，曾远荣( y u y at s e n g ) 将此定义推广到h i l b e r t 空间，得到了h i l b e r t 空问 线性算了的t s e n g 。义逆，为无限维空闻的算予广义逆研究作出了重大贡献。 定义12 8 设玩，吼是两个h i l b e r t 空间a l ( 凰，h 2 ) ，d ( a ) 为a 的定义域， 如果线性算了a g l ( 如h i ) 满足 r ( a ) cd ( a 9 ) ，n ( a 9 ) cd ( a ) 4 9 a z = 二f 弓i 丽。，v z d ( a ) a a 9 y = - = = 斥两y ，vy d ( a 9 ) 则称a g l ( 风，h 1 ) 为a 的一一个曾f “义逆，记作g i 。 然而，在之后的数十年中，广义逆并没有q f 起人们的重视。直到5 0 年代中期，随 着j 1 义逆矩阵在线性方程组研究中的作用l j 茄凸娃，人们列广义逆的兴趣_ 重新高 涨起来。1 9 5 5 q ：，1 1 p e r u o s e 将四个特定矩阵疗程的难解定义为矩阵的j 义逆，井 证叫了与m o o t e 所定义j 义逆的等价性。 定义1 3 ( p e r u o s e j 设a c ”，则以的j 1 义逆矩阵a + c “”。是下列方程的唯 解 a a t a = a “) ( a 4 ) 片= a a t ( 3 ) a t a a = a t ( 2 ) ( a t a ) “= a t a ( 4 ) p e n r o s e 的这个定义较m o o r e 的定义更直观更易操作，甜被称为矩阵的m - p “义 逆。p e n r o s e 的这一突破为广义逆的研究和发展开辟了广闹的空间。 随后，mz n a s h e d 又将m p j 。义逆的概念推广至4h f l b e r t 空间和b a n a c h 空问。 定义1 4 ( n a s h e d ) 设x ，y 是两个b a n a c h 空闯。a 是从x 到y 豹线性有界算子，即 a b ( x ，y ) ，如存在两个连续的投影算子p ：x 一( a ) 及q ：y 一兄( a ) 。则存 在唯r 的广义逆a t l ( y ，x ) 满足 a a t a = a ，a t a a t = a t ，a a t = q ， a t a = j p 此井，a t b ( x ) 当且仪当露 以) 闭。 近四十年来，广义逆矩阵的理论和应川得到了迅速的发展，它在数值分析，最优 化，数理统计，测量学，经济学等应用科学领域发挥着重耍的作用。在研究最小二 乘问题，长方，病态线性或非线性问题，不适定问题，回归，分布估计，马尔呵夫链 等统计问题，无约束，约束随机规划问题，控制论和系统识别等问题中，j 1 义逆 都是不可缺少的研究：e 具。 随着研究的深入和研究领域的拓广，人们在m p 逆的基础上又衍生出各种类型的 ，“义逆，如加权m - p 逆，d r a z i n 逆，加权d r a z i n 逆，群逆，b o t t d u f f i n 逆和，“义b o t t d u f f ：i n 逆等。值得一提的是，对于任意给定的矩阵a ，卜- 述几种常用的广义逆均属于 a 的具有指定值域鞠1 零空间s 的 2 ) 一逆，即l 诌。8 0 年代，乔三正，蔡东汉等人对 b a j l a c h 空闻1 算子的d r a z i n 逆傲了大量研究( 【9 ，l o 】) 。此外国内抖众多学者( n a s h e d ， jg s u n ，j d i n g ，陈永林，王国荣，陈果受薛以蟠，季均，王禾文，魏益民等) 进 步研究了线性算予m p 逆，d r a z i n 逆和群逆的扰动理论，各种形式的表示和逼近 等( 1 1 1 8 等) 。 定义15 设x 是b a n a c h 空问，。4 ( x ) ，则称为a 的d r a z i n 逆，如果存在某 个非负整数k ，使得 a x a ：a f 1 “1 x a x = x( 2 1 a x = x af 5 、 满足卜述三式的最小整数称为a 的指标，记为i n d ( a ) = k ，特别的若i n d ( a ) = l ， 则称x 为a 的群逆，记为a 9 。 b o t t d u f f i n 逆可应用于电网络限制系统，以及约束方程形如： 设a c “”，b c - l 是g ”的予空间。 a 。+ y = bz l ，y l 上( l 2 ) 定义1 6 设a c “。l 是g “的子空间，若( 且危+ 既- ) 非奇异，则称a ：= r ( a 兄+ 兄- ) - 1 为a 关于l 的b o t t d u f f i n 逆。 本文组织如下。在第二章中，我们将介绍本文所需的相关知识。在正文的第三章 中我们将研究l 一零矩阵的( 广义) b o t t d u f f i n 逆和矩阵的( 加权) d r a z i n 逆。试图通过代 数扰动的方法给出它们的若干性质和薪表示。第四章将结合环论的知识研究r 除环 上矩阵的代数扰动性质。第五章将得到矩阵d r a z i n 条件数达到极小时的充要条件 以及与之相关的一些结果。在第六章中将讨论具有相同非负群逆和m p 逆的非负矩 阵，得到此类矩阵的一些新性质与系数的显式表示。 3 2准备知识 本节中我们将介绍些必要的准备知识。其中对”一些经典性的结果或已有的可 在文献中查阅到的结采，我们都略去证明。 首先介绍m p j “义逆和( 广义) b o t t d u l i n 逆等几种常用广义逆的性质， 引理2 1 【1 】矩阵a 的m o o r e - p e n r o s e , 逆a + 具有下列性质： ( 1 ) ( a t ) t = a ： ( 2 ) ( a “) + = ( a t ) “； ( 3 ) a t = ( a “a ) t a 符= a “( a a “) + ， 特别地，嚣a 为列满秩阵，则a t = h a ) 一1 a “，a a = k ； 若a 为行满秩矩阵，则a t = a “( a a ”) 一1 ，a = k ： ( 4 ) r ( a a t ) = r ( a ) ，r ( a t a ) = r ( a t ) = r ( a ) ； ( 5 ) n ( a a t ) = n ( a t ) = n ( a 8 ) ，n ( a a ) = v ( a ) ； ( 6 ) a a t = p r a t a = 玮( * ) ； ( 7 ) r a n k ( a t ) = r a n k ( a ) = r a n k ( a a ) = r a n k ( a a ) 。 作为广义逆的麻用之v 一，关于线性方程a x = 6 的解有以下结果( 在e u c l i d e , 范, 下) ： 1 t 1 22 【1 】设a c n “，b g “，对任意的a ( 1 3 a 1 ，3 ) ，令圣= a ( 1 , a ) b ，则 l i a 童一6 i i = 。r a 。c i n 。i i a 。一6 i i 反之，若x c n “- , 满足对任意的b g 4 ，都有i l a ( x b ) 一b l l = 。r a g i n 。f l a x b l l 成直， 则x a i ，3 ) 。 引理23 【1 设a c 4 “，b c “，是方程a x = 6 的解集，对任意的a 1 1 部 a 1 ，4 ) ，令= a ( 1 4 ，6 ，则 俐2 罂l l x l l 反之，嚣x c n 。m 满足对任意的b c “，都有i i ( x b ) l l = m 。i n i l x l l 成立，则x a 1 ，4 ) 。 引理24 【1 设a c “，6 c ”，则a t b 是方程a x = 6 的极小范数最小二乘 解，反之，符x g n 一2 满足对任意的b c “。x 6 都是方程a z = b 的g t d 、范数最小 二：乘解，则x = ：= = 。 4 在引言中，我们已经简单的介绍了矩阵的b o t t d u f f m 逆，以下是关于b o t t , 一d u f i 日n 逆 及广义b o t t d u f f i n 逆的些基本性质。 可以证明，约束方程( 1 2 ) 的相容性等价于如下方程的相容性( 1 】) 。 ( a p l + 兄- ) 。= b( 2 1 ) 且( i ) 是c ，国的解当且仅当 t = p l z y = p l 2 = b a p l z 其中。是( 2 1 ) 的解。 对任意矩阵a 和予空间l ，其b o t t d u f f i n 逆是否存在取决于( a r + p 工- ) 的奇异 性。陈永林在1 1 9 中定义了矩阵的广义b o t t d u f f i n j , 煎：a 1 ；兄( a 巳+ p l - ) + 显然， a 1 总是存在的，它是b o t t d u f f i n l 煎 自然推广。 矩阵指定值域和零空间的 2 逆是各类r 义逆中具有突出地位的一类。常用的 六种广义逆：m o o r e - p e n r o s e 逆，加权m o o r e p e n r o s e 逆，b o t t - d u f f i n 逆( 广义) b o t t - d u f f i n 逆，d r a z i n 逆，群逆都是具有指定值域和零空间的 2 ) 逆。事实上，不仅是这六 类，“义逆，只要所指定的值域r 和零空闻s 满足一。定的条件，都能找到相对麻的广 义逆x ，使得n ( x ) = t ，n ( x ) = s 。 引理2 5 【l 】设a c ，m ，子空闻t cc ”，scc m 。d i m t = ssr ，d i ms = m s ，则a 有满足n ( x ) = t ，n ( x ) = s 的 2 ) 逆x 当且仅当 此时x 唯一，记作x = a 夥。 本文中还将使用到幂等矩阵及其性质。就其几何意义而亩，幂等矩阵( _ p = p 2 ) 也 称为投影矩阵，它与矩阵的广义逆密切相关。在一定的意义上，幂等矩阵可以看作 是单位矩阵的推广。以下是幂等阵有关存在和表示的。些基本性质。 引理2 6 【1 对任意的幂等矩阵e c ，都有冗( e ) 与( e ) 是互补子空问，目、 成立 e = p r ( e ) ，( e ) 反之。蒋己， ，是互补了空间，则存在唯。的幂等矩阵r ，m ，使得矗( r ) = l ， j v ( r m ) = m 。 引理2 7 f 1 】设a ( 7 “，lm 是互补子空闻，则 ( 1 ) p l m a = a 当且仅当r ( a ) cl 。 ( 2 ) a p l m = j 4 当且仪当mcn ( a ) 。 此外，本文中涉及了多种矩阵范数，定义如下： 定义2 1 设a g “，对任意的向量范数”忆称 = 忙s u p l ；。糌忙曼，$ o 1 i “ 为山向量范数 乳导j b 的矩阵范数。 易知矩阵范数是相客范数，即对任意的a c ”“，z c ”成立i i a z i i 。sl i a i i 。 下面是三类常用的向量范数及由其导出的矩阵范数： 设a = ( o 玎) c m “”，z = ( z 1 ，z 。) 甘c “ 一，：。l x j l ，i i a i i t2 燃蓦吲 * 2 盟。吼i i a i i * 2 燎善吲 z i l 2i t a t l 2 = m a x x ：a 是a 打a 的最大特征值 = p ( a ”a ) 1 一 也称 忆为矩阵的谱范数。 本文的第二部分将讨论除环上的矩阵。以下楚除环的定义。 定义2 2 ( 1 ) 设集合( k ，+ ，) ，关于加法( ，十) 为加法群，关于乘法( k ) 为半群 且加法和乘法满足分配律，则称k 为环。 ( 2 ) 设k 为。环，若k 还满足关于乘法有单位元，任意元素都有逆元 则称肖为除环。 易知。除环定不含零囡子。 6 胆 勺唧 。匹：巨 3 广义b o t t d u m n 逆及加权d r a z i n 逆的代数扰动 3 1 有关代数扰动 代数扰动方法较早的见与 2 0 ) ，其中j ，r b u n c h 和d j r o s e 提j i 了_ f f ：| 代数扰动的方 法来求解非奇异线性方程组。有别丁分析扰动，在代数扰动中通常不要求扰动( 如 a a ，a x ) 的度量性质( 如l i l - 1 i a a i i n 时，设b = ( b 1 ，b 2 ) ，b 1 暖譬”1 j ， 令m = ( a + b 1 c a 最 8 k 1 ) 1 ”b 2 ) ， ( 3 ) 当m n 时，m 非奇异，记m 一1 = ( 麓) ，m i ( 嚣。”， 则a z k = m 1 一p c 一- ) - ，l c * b i ( b 1 b i + b 2 或) 段， l ： ( 3 ) 当m n 时，非奇异，记n 。= ( n 1 ，) ，n 1 ( 焉。”， 则 l 1 2 ，) = l 一只 h k l ) - ，l ( c l c , + 谚q ) + q m p k ， l 。 性质3 4 1 设a g ”“，w c “”，l n d ( a w ) = k l ，i n d ( w a ) = 2 ，则有以 下命题： ( 1 ) a d ，w = ( w a w ) w 一川b ； ( 2 ) r ( w a ) b r ( w a w ) ；n ( a w ) ，三n ( w a w ) ， 且等弓成立的充要条件是a d ，w w a w 1 ，2 ) 。此时k = m a x k l ，k 2 2 。 若还有w 是非奇异的，则七k xk 2 1 。 证明( 1 ) ；由引理3 4 1 ，r ( a d ，w ) = r ( a w ) “；( a d ，w ) = n ( w a ) b 。 所咀 a d ，w 7 a 矸7 a d ，w = a d ，w p n f w ) 幻，n ( w a ) 2 = a d ，w 。 从而 a d ，w = ( w a w ) w ) h ， ( ) t 。 ( 2 ) ：由引理34 1 ，易知 r ( w a w a d w ) = r ( w a ) “r ( w a w ) ： 又因为 n ( a dw w a w ) = n ( a v v ) h 三n ( w a w ) 。 r ( w a w ) r ( w a w a d ，w ) # ( w a h 7 a d w ) ”a w = w a i l 甘a d w w a w 1 ) 。 1 3 所以 r ( w a ) b = r ( w a w ) 甘a a ，w w a w 1 ，2 。 同理 n ( a w ) 1 = n ( w a w ) 讳a a ，w w a w 7 1 ，2 。 此时d jf w a w a a w ) w a w = w a w ， 得到( w a ) ( w a ) d w a w = w a w ，即( w a ) 3 ( w a ) d = ( w a ) 2 ， 所以k 2 2 ，同理k ls2 。= m a x k l ，k 2 2 。证毕。 结合引理3 42 与性质3 4 1 ，我们得到如下定理： 定理3 4 l 设a c ”。“，w c “”，i n d ( a w ) = k l i n d ( w a ) = k 2 ， 则 a d ，w t 一1 一p n ( a w ) k l , r ( w ) bc b 尸v ( w a ) h ，冗( ) 2 。 其中t = w a w 玮( a w ) k l , n ( a w ) i 十b c ， 列满矩阵b ，e “分别满足 r ( b ) = n ( w a ) “；n ( c ) = r ( a w ) “。 证明令l = r ( a w ) “。d i m l = $ ；k = ( w a ) “。 则d i m k = d i m n ( w a ) 。= 7 n d i m r ( w a ) b = l r ( a w ) l = m s 。 又因为 w a w l = w a w r ( a w ) h = w a w r ( a d w ) = r ( w a w a a ，w ) = r ( n 7 a ) “， 所以w a w l o k = g ”。南引理4 2 ， 即得t = w a w 十b c 一( w a w ) p ( w a w u n ( ) 乜h t ( a w ) * t 非奇异。 叉因为 ( w a w ) 8 n 1 ( 1 y a ) b 】1 = 【( w a w ) “( n ( a a ，w ) 1 ) 】1 = f ( w a w ) ”r ( a a , w ) + 1 = 【r ( ( w a w ) “a 0 k ) 】1 = n ( a a ，w w a w ) = v ( ( a i 矿) h ) 所以 t 2 w a w + b c 一( w a w ) j ) ( ) “，a ( a w ) t 。 = t 4 7 a w ( a w ) k 1 ，f a w m + b c 。 又易得w a w r ( a w ) 。，= r ( ( w a w ) a aw ) = r ( w a ) “， 性质3 41 及日i 理3 4 2 即可得到 a y = u y 肖w 7 ) 譬厶) * ，( ) 虹 = t 一p , c ( a w ) k lr ( a w ) i c 十b + p ( w a ) b 、押( ? ) “2 。证毕。 1 j 特别的，当w = 邝f ，山定理34 1 即得d r a z i n 逆的表达式。 推论3 4 1 设a c ”，i n d ( a ) = k ，则a a = t 一一p n ( a ) ，r ( a k ) ， 其中t = a p r 【a n ) + p ( a a ) 。 当a 是长方阵时，设a c “( 不失一般性的，最m n n , t , 廊非奇异，若记府。= ( 篆) ，m ，r n 。m ， 有a ( 1 ) 。 ( b ) 当m 0 ) 。n 是零特征使的若尚块的直和，易知 n 2 = = 0 。p 是可逆矩阵。 沭肯中将讨论加权范数忙+ = 1 l 尸一x l l ，m 定义易知【比导的矩阵范数为 l i a i i p , + = l l p a p i i 。若分别取+ = 1 ，2 ，o o 时，则为常朋的加权一1 范数，一2 范数，一 。范数。并有”1 1 只1 ，”1 1 只2 ，i 只。m 。 引理5 1 1 【3 2 设a c “，则 j i i a i i i i a 。i i 2 p ( a ) p ( a 。) 引理5 1 2 3 2 1 设a c ，且p ( a ) 0 ，a 的最大和蛀小( 按模k ) 非零特抓值对 应的若当块是对角阵的充要条件是存在”i i m ，使得l | a 洲a 。= p ( a ) p ( a 。) 。 以下是本节的主要结果： 定理5 1 1 设a c “”，则以下两命题等价 c u0 ( 1 ) 存在c 0 ，对角酉矩阵u 。使得a = p il p 1 。 0n ( 2 ) 存在”m m ，使得i i a i i i i a 。m = 1 当上述命题成立时，设t 是所有满足定理1 1 中( 2 ) 的矩阵范数的集合。则 当c 1 时，f 当cs1 时，f 其中，只= p 1 只1 ；1 1 只2 ； 1 r ，l ；卧，2 妒一l | | 1 1 只o 。) t 。 ；l i - l | r ，。) t 。 v e ( 0 ，c ) 。 证明( 2 ) 辛( 1 ) 由；i 理5 1 1 可知， l = i l a l l i i a 嘲2l l 器l i a l ”。1 1 = p ( 蛳( = 斟l 所以l l a 叫l a 。m = p ( a ) p ( a 。) ， - i = i 沁i = + + = l i 再由引理5 ，1 2 可知，a 一，所对应的若当块都是对角阵。令这些若当块的直和矩 阵为u ，c = l a l io 故而，存在c 0 ，对角西矩阵u ，使得b = c u ，从而a = p f 叫o1 p - t o 0n ( 1 ) 号( 2 )由( 1 ) 易知a 的最大和最小( 按模长) 特征值对应的若当块都是对角 矩阵。 山引理5 1 ，2 ，存在”| 1 m ，使得i i a i il i a d | | = p ( a ) p ( a d ) 。 又因为p ( a ) p ( a 。) = 尉= 1 ，所以l l a m i t a o = p ( a ) p ( a 。) = 1 。 当卜述两命题成奇+ 时。设了是所有满足第二j 个命题的矩阵范数的集台。以下， 讨 论+ = 。同理可得+ = 1 ，2 的情况。 、1， l i a 1 只。= i ( 。了品) l i 。= c ，i i 以。i l p 。= i i ( 。一“：) i i o 。 所以得到i i a i i p , 。i i a 。0 只。= l ，即”| 1 只。t 。 若c 0 ，对角酉矩阵u ，使得a = p ll 00 ( 2 ) 存在”m m ，使得i i a i i i i a 。m 一1 此时，ve 0 ， 0 i l r ，l ； | | l i b ，2 ；i - l r ，) t 。 b 证明因为i n d ( a ) = 1 ，所以a 的蓉当标准形为l f 0 类似定理5 1 1 的证明可知，此时无论c21 ，或c 0 ，都有 5 2 谱范数下的d r i n 逆条件数的极小性最 本节将对 = 2 的情况加以进。步的讨论，从空间的角度给出d r a z i n 逆条件数达 到极小时的必要和充要条件。 设a b ，n p ，u 都如上节中定义。 设p = ( p l ，p 2 ) ，其中只ec “”，岛c “( 是列满阵。 p = ( 霆) ，其中a eg “ s ，岛ec m ) “是行满阵。 引理5 2l 4 6 】设日是h i l b e r t 空间，记l ( i t ) 是h 一仃的线性有界算予全体。s l ( h ) ，且r ( s ) 闭于h ，则| i s l l - i i s t l 卜1 的充要条件是存在c o ，使得c s 是( s ) 1f 的等距矩阵。 引理5 22 4 7 设x 是b a n a c h 空间，可逆算子s ，s _ 1 l ( x ) 。则i i s l | 1 i s 。