（机械电子工程专业论文）谐波小波包在旋转机械故障诊断中的应用研究.pdf

，一 l 声 一p y ：j尸 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文谐波小波包在旋转机械故障诊断 中的应用研究，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的 研究工作和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：眨土缝丝 e t 期： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或 其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校 可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：畦进丝 1 3 期：醴z ：至：驾 导师签名： 日期： a l p 奄 1 1 科 6 厶 一 华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 现有的信号分析与处理的方法在高频段细化分析以及对非平稳信号和奇异信 号的分析方面不理想。为了有效地提取故障征兆，提高故障诊断的准确率，本文采 用具有严格盒形谱特征及简单的解析表达式的谐波小波对信号进行分析，并构造出 谐波小波时频网格图、时频等高线图和时频剖面图。通过对仿真信号和现场采集数 据的分析，表明谐波小波有很好的特征信号提取能力和工程应用价值。 为提高谐波小波变换在高频段的分辨率，本文采用了谐波小波包分解变换，并 给出了其实现过程。通过对常见故障仿真信号和现场实际采集到的故障数据的分 析，说明了谐波小波包分解变换的正确性和有效性，利用此方法能大大提高故障诊 断的准确性。 关键词：故障诊断，谐波小波，时频分析，谐波小波包，信号分析 a b s t r a c t t h ee x i s t e dm e t h o d so fa n a l y z i n gs i g n a l sa r ei m p e r f e c ti nt h ea s p e c to fd e t a i l e d a n a l y s i s o n h i g hf r e q u e n c ya n dt h ea n a l y s i s o nn o n - s t a t i o n a r ya n ds i n g u l a r i t y s i g n a l s i no r d e rt oe x t r a c tt h ef a u l ts y m p t o me f f e c t i v e l ya n di m p r o v et h ea c c u r a c y o ff a u l td i a g n o s i s ，t h i sp a p e ra d o p tt h eh a r m o n i cw a v e l e t w i t hs t r i c tb o x l i k e s p e c t r u ma n ds i m p l ef u n c t i o ne x p r e s s i o nt oa n a l y z es i g n a l s ，a n dc o n s t r u c th a r m o n i c w a v e l e tt i m e f r e q u e n c yg r i dp l o t ，c o n t o u rp l o ta n dp r o f i l ep l o t t h er e s u l to f a n a l y s i so nt h es i m u l a t i o ns i g n a la n da c q u i s i t i o nf a i l u r ed a t ao n s i t ep r o v e st h a t h a r m o n i cw a v e l e th a s g r e a tc a p a c i t y o fe x t r a c t i n g s i g n a l c h a r a c t e r i s t i c sa n d e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o nv a l u e t oi m p r o v er e s o l u t i o ni nh i g hf r e q u e n c yo ft h eh a r m o n i cw a v e l e tt r a n s f o r m ， t h i sp a p e ra d o p t sh a r m o n i cw a v e l e tp a c k e tt r a n s f o r m ，a n dg i v e st h ep r o c e s so fi t s i m p l e m e n t a t i o n t h er e s u l to fa n a l y s i so nf a u l ts i m u l a t i n gs i g n a la n da c q u i s i t i o n f a i l u r ed a t ao n - s i t e p r o v e s t h a tt h e a l g o r i t h m o fh a r m o n i cw a v e l e t p a c k e t d e c o m p o s i t i o nt r a n s f o r mi sc o r r e c ta n de f f i c i e n t u s i n gt h em e t h o dc a ni m p r o v et h e a c c u r a c yo ff a u l td i a g n o s i ss i g n i f i c a n t l y y ej i n s h e n g ( m e c h a t r o n i ce n g i n e e r i n g ) directed b yp r o f t a n gg u i - j i k e yw o r d s ：f a u l td i a g n o s i s ，h a r m o n i cw a v e l e t ，t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s ， h a r m o n i cw a v e l e tp a c k e t , s i g n a la n a l y s i s 华北电力大学硕士学位论文目录 目录 中文摘要 英文摘要 第一章引言l 1 1 选题背景及意义：l 1 2 国内外研究动态2 1 3 本论文的主要工作4 第二章常用信号分析方法与理论6 2 1 傅里叶分析6 2 2 短时傅里叶变换7 2 3 小波分析7 2 3 1 小波分析理论的产生j 7 2 3 2 小波变换的基本原理8 2 3 3 连续小波变换1 0 2 3 4 离散小波变换与二进小波1 1 2 3 5 多分辨率分析。1 l 2 3 6 小波分析存在的问题1 2 2 4 小波包分析1 3 第三章谐波小波分析及其在故障诊断中的应用1 5 3 1 谐波小波的概念和特性1 5 3 2 谐波小波的算法1 6 3 3 谐波小波时频分析：o 1 9 3 3 1 谐波小波时频图1 9 3 3 2 仿真信号的谐波小波分析2 1 3 3 3 谐波小波的时频剖面图2 7 3 4 流体激励故障信号的谐波小波分析实例2 9 3 5 火电厂现场故障诊断实例_ 3 l 3 5 1 转子动静碰摩的理论分析k 3 1 3 5 2 现场碰摩故障信号的谐波小波分析实例3 3 第四章谐波小波包分析及其在故障诊断中的应用3 8 4 1 离散信号的谐波小波变换3 8 i 一 华北电力大学硕士学位论文目录 4 2 谐波小波包变换3 9 4 3 几种仿真信号的谐波小波包分析。4 l 4 3 1 局部突变信号的谐波小波包分析4 l 4 3 2 微弱谐波信号的谐波小波包分析4 2 4 3 3 近频信号的谐波小波包分析4 3 4 4 现场转子动静碰摩故障信号的谐波小波包分析。4 4 第五章结论5 2 参考文献5 3 致谢5 5 攻读硕士学位期间发表的学术论文和参加科研情况5 6 i i 华北电力大学硕士学位论文 1 1 选题背景及意义 第一章引言 随着现代化大工业的迅猛发展，石化、电力i 航空、冶金、能源和工程机械等 行业中广泛应用的各类大型回转机械如离心压缩机、汽轮发电机、风机、水轮机和 燃气轮机，同益向大型化、高速化、自动化、长周期连续运行方向发展。上述各类 回转机械的f 常运行，不仅能为国家创造巨大的物质财富，而且还产生了巨大的社 会效益【。 设备的制造缺陷、维护不得当以及运行操作的失误都会影响到旋转机械的稳定 运行，威胁生产的安全，甚至会造成设备停机、流程中断，以至于造成严重的经济 损失。据统计，1 9 9 2 1 9 9 3 年，国内1 7 套尿素装置故障停车共计5 4 9 次，停车9 5 7 天，相当于3 套尿素装置的生产能力放空一年，最多的一套装置共停车6 7 次，直 接经济损失数亿元。1 9 9 5 年酒泉钢铁公司的发电机组由于多次强行启动，造成转子 弯曲过大而报废，给酒钢和嘉峪关市造成了近亿元的经济损失。因此研制和开发先 进的大型回转机械状态监测和故障诊断系统，对于确保这些关键设备的安全、高效、 长周期运行，避免巨大的经济损失和灾难性事故的发生，具有重大的经济价值【2 】。 转子运行状态监测和振动信息提取是为转子故障诊断作准备，振动信息是转子 故障诊断的依据。然而，仅仅靠转子振动信息是不可能完成转子故障诊断的，必须 将实测振动信息与转子典型故障在振动信息中的反映相联系，通过理论分析和实验 研究掌握转子典型故障的振动特征。在这方面，国内外学者己经进行了大量的研究， 这些研究成果也已成功地应用于实际转子故障诊断中。但主要是利用f f t 谱分析和 轴心轨迹来反映这些典型故障的振动特征，振动特征以谱峰的变化和存在来表示， 与f f t 谱分析提取转子实际振动信息有同样的不足之处，因此，不可能全面地反映 出转子典型故障的振动特征。许多转子故障在频谱图上具有相同的特征，不对中与 转子表面横向裂纹都引起二倍频振动分量的出现，矢量不平衡与质量不平衡都通过 一倍频反映出来，油膜涡动、喘振、旋转脱离都引起转子亚同步振动等等。因此， 要有效地区别转子故障，必须研究新的转子振动特征提取方法和表示方式，按照新 的特征提取方法从理论上和应用上进一步深入研究转子典型故障的振动特征。 提高大型回转机械故障诊断的准确性，不但要提高监测诊断的方法、速度、范 围，还要充分借鉴已出现故障的识别、判断和解决问题的经验，也就是说必须加强 对现场大型回转机械故障实例的收集和分析。大型回转机械振动产生的原因是非常 复杂的，并不是所有故障都可以建立力学模型进行分析和研究，就算是不对中这一 简单故障的主要影响因素也难以和典型故障建立一个满意的力学模型，而且，有些 i 华北电力大学硕士学位论文 转子振动现象的机理还不是很清楚，更不要说建立力学模型进行分析和研究了。要 诊断这一类转子故障只有靠对现场实例的收集、归纳、整理，得到有益的结论，作 为以后发生类似故障和同类回转机械类似故障的借鉴，从而提高故障诊断的效率和 准确率。在大型回转机械故障实例收集、整理方面人们已经进行了不少的努力，但 仍然需要进一步深入和积累。要很好地完成大型回转机械的故障诊断，就必须对转 子系统本身的固有振动特性有充分的研究，将实测振动信息与转子的固有振动特性 相结合。最近几年，人们也认识到两者的联系对大型回转机械准确的故障诊断的重 要性，并开始了相应的研究。目前，就如何利用和表达转子系统本身的固有特性来 为转子故障诊断服务还待于进一步探索【3 1 。 虽然己有很多故障信号分析与处理的方法成功应用于机械设备故障诊断中，但 有关理论还在发展，以弥补现有理论和方法的不足。基于f o u r i e r 变换的谱分析技术 虽然有很多优点，但在细化分析上，特别是在高频段，模态相当密集难以区分，这 时谱分析方法就显得不太理想了。基于f o u r i e r 变换的谱分析技术的另一个缺陷是， 它对非平稳信号和奇异信号的分析比较困难。目前，随着小波理论的迅速发展，从 时频两方面对非稳态信号提供了局部化分析的手段，并且取得了很好的效果【4 】。但 是，小波变换随着分解层数的增加，小波逐渐向低频聚焦，对信号的高频段刻画较 粗糙。小波包变换则是小波变换的改进，对信号的高频段也进行分解，因而比小波 变换具有明显的优势，但是仍不能在同一分解层得到感兴趣的频段。如果要将频段 划分更精确，是以增加分解层数加大计算量为代价的。另外，二进小波变换和二进 小波包变换均采用二抽一采样，随着尺度的增加，采样频率减半，数据点减半，当 数据点数太少时，信号的细节信息会丢失。 由剑桥大学的d e n e w l a n d 提出的谐波小波具有明确的表达式和准确的箱函数 形式的谱图，它对信号存在的奇异成分非常敏感，并且算法实现简单。谐波小波变 换在不同尺度下数据点数不变、采样频率不变，在频域具备优良的定位特性，谐波 小波变换能够实现频段的任意细化分解。但是，同其他小波分解类似，随着分解层 数的增加，小波分解的分析频域变小，且分析频域低频段细化能力好，高频段分辨 能力差。针对此缺陷，为提高谐波小波变换在高频段的分辨率，在此本文利用了谐 波小波包分解变换。谐波小波包分解变换可以将任何信号正交、无冗余、无泄漏地 分解到相互独立的频段上，且保证了高频段和低频段具有同样高的频率分辨率，对 于工程应用和旋转机械故障诊断具有重要意义。 1 2 国内外研究动态 2 0 世纪7 0 年代以来，电子技术有了一定的发展，先进的信号处理技术的出现， 对转子轴承系统动力特性待的研究也得到了迸一步的深入，以上这些，有力地促进 2- 华北电力大学硕士学位论文 了旋转机械状态监测和故障诊断技术的发展，使旋转机械状态监测和故障诊断技术 水平有了不断的提高。 为了故障诊断工作的顺利开展，国内外很多科研人员和科研部门在故障机理方 面作了大量的研究工作。例如，具有多年工厂实践经验的美国人j o h ns o h r e 是研究 涡轮机械故障机理的权威，他于1 9 6 8 年发表的论文“高速涡轮机械运行问题的起 因和治理 ，清晰简洁地描述了典型的机械故障征兆及其可能成因，并将典型的故 障划分为9 类3 7 种。美国b e n t l yn e v a d a 公司的转子动力学研究所对转子和轴承系 统典型故障做了大量的试验研究，并发表了许多很有价值的论文。同本的故障诊断 专家白木万博自2 0 世纪6 0 年代以来发表了大量的故障诊断文章，积累了丰富的现 场故障处理经验，并进行了理论分析。国内自2 0 世纪8 0 年代中期以来，清华大学、 上海交通大学、哈尔滨工业大学、西安交通大学、西安热工研究院等单位，在故障 机理的研究方面做了大量的工作，发表了许多有价值的文章。虽然在故障机理的研 究方面已经取得了大量的成果，但大型汽轮机组的振动故障机理仍然没有全部明 确，亟须进一步的深入研究【5 】。 故障机理的研究是机械故障诊断技术中采用的最主要的方法之一。目前，在振 动信号分析与处理方法中，以快速傅立叶变换( f f t ) 为基础的调和分析法应用最为普 遍，几乎所有的动态分析仪都是以f f t 为核心进行信号处理的，f f t 分析方法及其 派生出的多种有效的振动信号处理方法( 如快速卷积、相关、自谱、互谱、倒谱、 细化谱及传递分析等) ，在机械故障诊断技术应用中起到了非常大的作用。然而， 这类基于平稳过程的经典信号处理方法，分别仅从时域或频域给出信号的统计平均 结果，无法同时兼顾信号在时域和频域中的全貌和局部化。 为实现对非平稳信号的有效表示，解决其时频局部化分析问题，g a b o r 提出了 加窗傅立叶变换( w f t ) 或短时傅立叶变换( s t f t ) ，但由于其时频分辨率固定，缺乏 细化能力，逐步被2 0 世纪8 0 年代发展起来的一种新的数学方法一小波( w a v e l e t ) 分 析所取代。小波分析是一种包含尺度伸缩和时间平移的双参数的函数分析方法，由 于小波函数具有时频局部化特性、多尺度性和“数学显微( “变焦) 特性，使得 小波变换能够很好地解决非平稳信号的分析问题，它的出现对纯数学和应用科学都 具有重要意义。研究表明：小波分析在振动噪声的去除、非平稳振动信号的表示与 分析以及振动信号多分辨率分析等方面具有较强的优势，是适合机械故障诊断的一 种有效方法。 随着人们对小波分析的理论和应用研究的深入，不少新的理论方法被提出。其 中，信号自适应小波分解理论和基于基因遗传算法求解的广义自适应小波分解方法 已经具有工程应用背景。但在小波参数的最优化问题上，将小波分析的理论应用到 实际的故障诊断系统中，还有大量的实际工作要做。 3 华北电力大学硕士学位论文 小波分析中，小波基的选择至关重要，信号分解结果常因选用的小波基的不同 而出现差异。有研究表明，采用具有严格盒形( b o x 1 i k e ) 谱特征的小波基有利于信号 特征的提取。本文所用的谐波小波( h a r m o n i cw a v e l e t ) 是1 9 9 3 年d e n e w l a n d 提出 的，它是一种具有严格盒形谱特征的小波基，对信号中存在的奇异成分非常敏感， 而信号奇异成分的提取和分析恰是故障诊断的重要依据。 2 0 世纪9 0 年代末期，国外科研工作者对谐波小波分析的研究与应用迅速开展 起来。除了上面提到的纽兰外，c h a n t e ye ta 1 也发现谐波小波变换在处理旋转机 械中产生的瞬时振动现象方面有强大的功能。s a m u e le ta 1 指出定义在谐波小波上 的非平稳信号测量比一些常用的测量方法如直升机齿轮箱故障检测上的峭度等具 有更高的可靠性。b o n d c e r d a n 、n i k o l a j s e n 和c h e t t r ie ta 1 描述了谐波小波变换相 对于谱分析的优点，并分析了谐波小波变换在振动分析中的应用。另一方面，通过 与短时傅立叶变换的对比研究，t a n g 指出了谐波小波变换在处理指数式时间衰减信 号方面的局限，而这种指数式时间衰减信号可能由时域局部化问题产生【6 】。 谐波小波的研究近年在国内也已开始，何正嘉利用谐波小波时频剖面图，诊断 重催烟汽轮机中膜片式联轴器产生的不对中故障；李舜酩进行的微弱振动信号谐波 小波频域特征提取方法研究，提取和分离出汽车离合器壳裂纹故障的微弱奇异信 号；万方义等以支承在滑动轴承上、带有横向微裂纹的j e f c o t t 转子为对象，采用谐 波小波对转子碰摩的振动响应进行数值计算，结果表明，谐波小波分析能够较好地 表述故障状态下时域和频域的特征和能量分布，较传统f f t 具有优势。 但是，谐波小波同其他小波分解类似，随着分解层数的增加，小波分解的分析 频域变小，且分析频域低频段细化能力好，高频段分辨能力差，针对此缺陷，为提 高谐波小波变换在高频段的分辨率，在此本文采用了谐波小波包分解变换。主要研 究采用谐波小波包在旋转机械故障诊断中的应用，对多个实际采集的现场信号进行 了分析，并与其他的研究方式( f f t 变换和小波变换) 进行了对比。研究结果表明， 谐波小波包分解变换能够明显地提高故障的识别能力，有一定的工程应用价值。 1 3 本论文的主要工作 由以上分析可知，谐波小波和谐波小波包算法有很好的工程应用价值，本文准 备研究谐波小波分解算法和谐波小波包分解算法，并通过对仿真信号和现场实际采 集的故障信号的分析，来说明谐波小波和谐波小波包分解变换的优越性及其在工程 实际中的实用价值。本文主要不同于以往研究的地方是本文所用的数据都是在现场 实际采集的数据，具有一定的工程实用价值，而以前大多数的研究都是来自仿真信 号或是实验室的数据，这些数据往往和现场采集的数据情况有一定的差距，因为现 场条件一般比较复杂，可能受到各种情况的影响，而仿真信号和实验室的实验数据 4 华北电力大学硕士学位论文 往往带有一定的理想性， 1 ) 理论研究： 介绍了傅里叶分析、 及其原理。 缺少实践的检验。概况一下本文主要准备做以下工作： 小波分析，谐波小波分析以及谐波小波包分析的理论知识 2 ) 应用研究 根据以上的理论，对一些典型故障的仿真信号进行了分析研究，得到了理想的 效果，证明了谐波小波和谐波小波包的正确性和优越性。 3 ) 试验验证： 通过介绍现场故障诊断的详细过程，并利用谐波小波和谐波小波包分解变换对 现场采集的故障数据进行了分析，得到了理想的效果，说明了谐波小波和谐波小波 包具有很好的工程应用价值。 5 华北电力大学硕士学位论文 2 1 傅里叶分析 第二章常用信号分析方法与理论 1 8 8 2 年，法国工程师傅里叶( f o u r i e r ) 指出，一个任意函数厂( f ) 都可以分解为 无穷多个不同频率j 下弦信号的和。对任一函数厂( f ) ，如果它满足狄晕克莱条件，且 绝对可积，即f ( t ) 只有有限个第一类间断点，只有有限个极值，f 存在，则 个波形分 解成许多不同频率的正弦波之和。如果这些正弦波迭加起来成为原来的波形，那么 就确定了这个波形的傅罩叶变换。在数学上，这种关系可表示为 1“ ( 缈) = if ( t ) e 1 酬d t ( 2 一1 ) q2 兀w 其中f ( t ) 是已知的，它能被分解成若干个正弦函数之和，那么夕( 国) 称为厂( f ) 的傅里 叶变换。记为夕( ) = f f ( f ) ，其中f 被称作傅里叶算子。如果把f 看成时间变量，国 看成频率变量，那么夕( 彩) 就被称为谱函数，它的模i 夕( 缈) i 称为频谱，它表示各谐波 所占的份量【7 l 。 傅里叶变换是信号分析技术中的一个非常普遍的方法，是数字信号处理、图像 处理、量子物理等众多科学领域中的最重要的工具之一。在具体的应用时，积分傅 里叶变换和傅里叶级数是人们普遍采用的傅里叶分析方法。 傅里叶变换能把时域信号转换到频域进行分析的一个有力工具，从物理意义上 讲，傅里叶变换的实质是将一个信号的波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加 和。从这一点出发，可以把对原函数的研究转化为对其权系数也就是对其傅里叶变 换的研究。从傅里叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及其高次谐波组成的， 因此它在频域内是局部化的【8 1 。 傅里叶变换作为一种将信号的时域和频域特征联系的一种工具，从信号的时域 和频域分别观察信号特征，但却不能把二者有机地结合起来。信号的时域波形中不 包含任何频域信息，而从频谱的表达式中也可以发现，它其实是整个时间域内的积 分，不具备任何的时域信息。对于傅里叶谱中的某一具体的频率成分，我们不知道 这一频率是何时产生的。这样，就产生了信号分析中的一对最基本的矛盾：那就是 时域和频域的局部化矛盾，为了更好地解决这个矛盾，就引出了时频分析的方法。 6 华北电力大学硕士学位论文 2 2 短时傅里叶变换 前面已经提到了傅里叶分析方法，它是分析和处理平稳信号的最常用也是最主 要的方法。但是，傅里叶变换只是针对平稳信号有很好的分析效果，而对于非平稳 信号，傅里叶变换缺乏局域性信息，它不能有效的给出某频率成分发生的具体时间 段，频率发生的时间对非平稳信号的故障诊断是十分重要的。此外，它对变频、变 幅信号等突变信号也无能为力。从傅旱叶分析的这些先天缺陷可以看出，对于非平 稳信号的分析与处理需要比傅旱叶变换具有更多、更严格的要求，从信号分析的角 度来看，必须使用具有局域性的基函数【9 】。 1 9 4 6 年，g a b o r 引入“窗口”概念，提出窗口傅里叶变换，或称为短时傅罩叶 变换( s h o n t i m ef o u r i e r t r a n s f o r m ，s t f t ) 和g a b o r 变换。其假定在窗函数所在的 一个短的时间间隔内非平稳信号是平稳( 伪平稳) 的，然后再用傅里叶变换分析每 一个时间间隔，分析完后移动窗函数，依次计算出各个时问间隔内的频率或功率谱。 其中，窗函数通常取作g a u s s 窗，也可以取作h a m m i n g 窗、h a n n i n g 窗、平顶窗、 矩形窗等。 s t t f 是时频分析的一种方法，它在很长一段时期内成了非平稳信号分析和处 理的一种标准和有力的工具。但s t f t 其实是一种具有单一分辨率的分析，当窗函 数确定后，分辨率也就确定了，如要再想改变分辨率，则必须重新选择窗函数。由 于受到h e i s e n b e r g 不确定性原理的制约，窗口的时宽和频宽的乘积是一个常数，它 们不可能同时都任意小。因此，s t f t 用来分析平稳信号以及一些缓变的非平稳信 号犹可，但大多数非平稳信号要求分辨率是变化的( 即在高频部分要求有较高的时间 分辨率、在低频部分要求有较高的频率分辨率) ，这时s t f t 就无能为力了，需要寻 找新的信号分析处理方法。 2 3 小波分析 2 3 1 小波分析理论的产生 自从1 8 2 2 年傅里叶( f o u r i e r ) 发表“热传导解析理论”，傅里叶变换一直是信号 处理领域最完美，应用最广泛，效果最好的一种分析手段。但傅里叶变换只是一种 纯频域的分析方法，它在频域的定位性是完全准确的，而在时域无任何定位性，即 傅里叶变换所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特性，而不能提供任何时间 段上的频率信息【1 0 】【1 。 1 9 4 6 年g a b o r 提出了著名的g a b o r 变换，后来又进一步发展为短时傅里叶变换 ( s t f t ) 。目前，s t f t 已广泛应用在许多科学技术领域，但由于s t f t 的自身的 缺点，其窗口函数的大小和形状始终保持不变，其不随时间和频率的变化而变化， 7 华北电力大学硕士学位论文 这对于分析时变信号是非常不利的，对于一般的信号，其高频信号一般持续时间很 短，而低频信号持续时间很长，用一个不变的窗函数分析这些信号，必然会产生很 多问题，达不到理想的效果。因此，对于高频信号，由于其持续时间短应该采用小 时间窗来分析，而对于持续时间相对比较长的低频信号则应采用大时间窗进行分 析。在进行信号分析时这种变时间窗的要求同s t f t 固定时窗的特性是相矛盾的。 这表明s t f t 在处理时变信号时己无能为力，而这种不足恰恰是小波变换的特长所 在。小波变换不仅继承和发展了s t f t 的局部化思想，而且克服了窗口大小不随频 率变换，缺乏离散正交化的缺点，是一种比较理想的信号处理的数学工具【l 2 1 。 小波变换的思想来源于伸缩和平移方法，小波分析方法的提出最早应属1 9 1 0 年h a a r 提出的规范正交基。1 9 3 8 年，l i t t l e w o o d p a l e y 对傅里叶级数建立了l p 理 论，即按二进制频率成份分组，傅里叶变换的相位变换本质上不影响函数的形状与 大小。1 9 6 5 年的g a l d e r o n 发现了再生公式，它的离散形式已接近小波展开，只是还 无法得到组成一组正交系的结论【i3 1 。1 9 8 1 年，s t o r m b e r g 对h a a r 系进行了改进，证 明了小波函数的存在性。1 9 8 2 年b a t t l e 在构造量子场论中采用了类似于g a l d e r o n 再生公式的展开形式。 小波概念的真正出现于1 9 8 4 年，法国地球物理学家m o r l e t 第一次应用了小波 变换来分析地震波的局部性。1 9 8 6 年，m e y e r 创造了具有一定衰减性的光滑函数矿 例，其二进制的伸缩和平移构成了时间轴上平方可积函数空间的规范正交基。这之 后，m e y e r 、m a l l a t 、d a u b e c h i e s 、崔锦泰等人为小波的研究和应用作出了重要的贡 献。 2 3 2 小波变换的基本原理 小波分析方法是一种窗口大小固定，但其形状可改变的时频局部化分析方法。 即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的 时阃分辨率和较低的频率分辨率。小波变换优于傅里叶变换的地方是它在时域和频 域同时具有良好的局部化性质。正是这种被誉为数学显微镜的特性，使小波变换具 有对变化信号的自适应性【1 4 1 。 设y ( f ) r ( r ) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间，其傅里叶变 换为汐( 彩) 。当痧细) 满足允许条件 c y 譬f 足掣如 ( 2 2 ) l 倒i 时，称y 0 ) 为一个基本小波或母小波( m o t h e rw a v e l e t ) t ”1 。 只有满足了允许条件，才能保证小波变换的反变换的存在，而任何变换只有存 在反变换才能有实际应用价值。可以证明，满足允许条件的函数是一正负交替的振 r 华北电力大学硕士学位论文 荡波形，其均值为0 ，且该函数在时域和频域都是局部化的。 基本小波y o ) 经伸缩和平移后，对于连续函数的情况，得到的一小波序列为 ，6 0 ) ： 缈( 堂) 口，b e r ( 2 3 ) 吖口 a 式中，口为频率伸缩因子；b 为时间平移因子。 而对于离散函数的情况，其得到的小波序列为 一， ，1 = 22 9 ( 2 7 t 一尼) i , k z( 2 - 4 ) 小波变换的时频窗口特性不同于短时傅里叶变换窗口，其窗口形状为两个矩形 【6 一口a 沙，b + a a 沙】【垡堡二垒坦，垡里垒堕】，窗口中心为( 6 ，竺) ，时窗宽和频窗宽 口a口 分别为口a y 和a _ k ，图2 1 描述了小波分析的时频分析的特点。 镜 头 推 进 平移方向b 以较低频 率作分析 图2 1 小波分析变焦示意图 其中平移方向b 仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置，而口不仅影响窗口在 频率轴上的位置，而去也影响窗口的形状。从图上可以看出，这样可以保证小波变 换对不同的频率在时域上可取不同的步长，即在低频时有较高的频率分辨率，而小 波变换的时间分辨率则较差；在高频时，可以有较高的时间分辨率，而频率分辨率 则较差。这些特性和低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点是相符的。以上 分析说明小波交换比短时傅里叶变换具有更好的时频窗口特性。 9 ， ， ， ， ， ， 、 、 、 、 、 、 华北电力火学硕士学位论文 2 3 3 连续小波变换 设y ( f ) e ( r ) ，其傅里叶变换为痧( 缈) ，当汐( 缈) 满足容许条件( 完全重构条件或 等分辨条件) c y = 辨认 ( 2 - 5 ) 时，称y ( f ) 为基本小波或母小波，将其经伸缩和平移后得 ，( f ) = h 一1 2 ( t - r ) 口，r r ；a o ( 2 6 ) 口 称其为一个小波序列。其中a 为伸缩因子，f 为平移因子。 对某一基小波9 z ( t ) ，信号厂( f ) r ( 尺) 关于该基小波的连续小波变换( c w t ) 1 6 1 为： ( 似叩) = 一，置巾) y ( 等) 出= 印r , a o ( 2 - 7 ) 由此可见，小波变换从根本上说是一种积分变换，既厂( 4 ，f ) 为小波变换系数。 其不同于傅里叶变换的是，小波基具有尺度a 和平移f 两个参数，某一函数经过小 波变换后，就相当于将一个时间函数投影到二维的时间一尺度相平面上，这样有利 于提取信号的某些特征参数。 连续小波变换的逆变换可以表示为： 八d 2 专驴( 似口力帆- f ( 力拳办 ( 2 - 8 ) 、一y 置2 “ 在用小波分析信号时，对于被分析信号，小波序列虬，( f ) 在小波变换中起着观 测窗的作用，因此基本小波缈( f ) 还应满足一般函数的约束条件： ) i 出 。 ( 2 - 9 ) 为使信号重构的实现在数值上是稳定的，除了满足完全重构条件外，还要求小波( f ) 的傅里叶变换满足以下稳定性条件( s t a b i l i t yc o n d i t i o n ) 1 7 】【1 8 】【1 9 】 彳i 沙( 2 。c o ) i 曰 ( 2 - l o ) 其中a 、b 为满足条件0 彳曰 o o 的两常数，则把函数( f ) 称为一个二进小波。显 然二进小波一定满足允许条件，当然一定也是小波。函数y ( f ) r ( 尺) 为少o ) 的二迸 对偶，且满足 1 0 华北电力大学硕士学位论文 痧( 2 彩) 痧( 2 c o ) = 1 ( 2 11 ) 七 若y o ) 为二进小波，函数序列孵( 功k 。z 称为信号俐的二进小波变换，其中 肜厂( 功= 2 _ i 厂( f ) 5 c ，【2 。 一t ) a t ( 2 1 2 ) 五 信号f ( t ) r ( r ) 可由它的二进小波变换重构，即 f ( t ) - 妻 ( 嘭) ( 6 ) 】2 。y 2 沙【2 ( x 一6 ) 】如 ( 2 - 1 3 ) 以上分析可以看出，只要所用的小波函数满足平稳性条件，就可根据信号的小 波变换在一列尺度参数下的信息重构原信号，从而使计算量大大减少，数据压缩比 也会更大。 另外，连续小波变换是将一维信号变换n - - 维空间厂( f ) 付既，因此小波变换 中存在多余的信息( 冗余度) ，因此连续小波变换的逆变换公式不是唯一的。 2 3 4 离散小波变换与二进小波 在实际应用中，必须将连续小波变换进行离散化。需要注意的是，小波变换的 离散是针对连续的时移因子和尺度( 伸缩) 因子，而不是针对时间变量t 。 在小波变换的离散化过程中，需要离散化尺度参数和选取时移参数，可通过改 变尺度因子d 和平移因子b 的大小，使小波变换具有“变焦距 的功能，从而使小 波变换具有可变化的时间和频率分辨率，也就是使小波变换具有了自适应的时频分 辨率。在实际应用中，最常用的一种离散方式是二进小波，它采用二进制的动态采 样网格：令a o = 2 ，反= 1 ，即每个网格点对应的尺度因子口= 2 ，平移因子b = 2 j 后。 在通常的信号分析中，可以采用具有变焦距功能的二进小波。假定某观测信号 的某一部分需要放大倍数，如果想看更小的细节信号，就需要增加放大倍数，即 减小值；反之，若想了解信号更粗的内容，则可减小放大倍数，即加大_ ，值。从 这个意义上说，小波变换又被称为“数学显微镜”。 2 3 5 多分辨率分析 1 9 8 8 年m a l l a t 在构造正交小波基时提出了多分辨率分析的概念，从空间的概念 上形象地说明了小波的多分辨率特性，将此前所有的正交小波基的构造法统一起 来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变换的快速算法，即m a l l a t 算法。 m a l l a t 算法在小波分析中的地位相当于快速傅里叶变换算法在经典傅里叶分析中的 地位。 以一个三层的多分辨率分析为例，其小波分解树如图2 2 所示。由图可知，小 1 1 华北电力大学硕士学位论文 波的多分辨率分析只是对低频部分进行进一步分解，而高频部分则不予考虑。图中 产1 ，2 ，3 代表小波分解的层数( 即尺度数) ，a 代表低频部分，与尺度空间巧对应；d 代表高频部分，与小波空间孵对应。很显然，三层小波分解具有关系： s = a 3 + d 3 + d 2 + d l 。另外强调一点，这里只是以一个层分解进行说明，如果要进 行进一步的分解，则可以把低频部分a 3 分解成低频部分a 4 和高频部分d 4 ，以下 再分解依此类推。多分辨率分析的低频部分也称作“逼近 ，高频部分也称作“细 节 。 图2 - 2 三层多分辨率分析树结构图 2 3 6 小波分析存在的问题 虽然小波分析在旋转机械故障诊断中已经取得了一定的进展，但仍存在着几个 重要的问题，需要进一步来解决。 1 ) 小波函数的多样性 小波分析与傅里叶分析不同的是，其小波母函数从理论上说有无数个，只要是 满足小波允许条件的函数都能作为小波母函数，这种小波母函数的多样性也就决定 了小波分析结果的多样性。所以在对信号作小波分析时，如何选取小波母函数就成 为了一个很重要的问题。在实际应用中，复杂信号的小波分析不仅有信号自身的关 联，还包含小波变换本身的某些关联。不同的小波在正交性、紧支性、平滑性甚至 对称性上表现出不同的特性，但难以构造一个同时具有四种特性的小波函数。 d a n b i c h i e s 证明了当由一个多分辨率分析所决定的尺度函数和小波函数都是实函数 且都有紧支集时，小波函数不再具有对称性或反对俐- - ，, u 工- 2 0 2 1 ( h a a r 小波除外) 。因此 需要针对不同的具体信号选择不同的小波，通过比较不同小波分解后嫡值的大小， 选择嫡值较小的小波以获得较大的分解，达到较好的效果。因此，寻找不同性质的 小波基，研究其特点，并开发小波深层处理方法，是小波理论及其在故障诊断应用 中的一个重要内容【2 2 1 。 2 ) 小波分析中的频带混叠 目前，在状态监测与故障诊断中采用的小波分析多采用离散小波变换，而二进 l2 华北电力大学硕士学位论文 小波是最为普遍的一种离散小波变换。m a l l a t 给出了正交二进小波的快速算法，该 算法可以将信号一层层进行分解，每一层分解的结果是将上次分解得到的低频信号 再次分解成低频和高频两部分如图2 3 所示。但实际的小波变换的频带划分不是很 理想，基小波傅氏交换v ( c o ) 的频域中心为现，频域窗内的能量为整个窗口能量的 8 4 4 8 。所以这个窗口内的能量必然扩散到其它频段，同时其它频段的能量也会渗 透到这一频段内。可见小波分析各尺度之间存在频域混叠现象，这是造成测量误差 的一个主要原因。另外二进划分时，随着尺度的伸缩将出现分频不到位的现象，而 分频不到位加重了混叠现象。在实际故障诊断中，混叠问题往往容易造成误诊断。 解决该问题的方法是选择或构造时频域行为良好的小波函数，但构造过程一般难度 较大，不便于实际应用，一个比较实用的方法是根据具体故障信号的分析要求，对 已有的小波函数进行改造，使其达到较好的分析效果。 口 j r ，8 3 3 ，4厅，2 万 图2 3 二进小波理想频带的划分 3 ) 二进小波的时间和尺度网格划分粗糙 在小波分析中，二迸小波变换和基于二进制划分的多分辨率分析是非常重要 的，利用它们能变换并提取信号在，尺度及其附近的频率分量。但由于时间和尺度 二进网格划分过于粗糙，频率分辨率会有所下降，特别当，较大时，对于信号在尺 度歹与j + l 之间的频率分量，基于二进制划分的多分辨率分析或m a l l a t 算法将很难 分辨甚至严重失真。解决这个问题的方法是采用小波包算法，但会大大增加计算量， 且有频带错位现象【2 3 1 。连续小波的分割是使窗长按尺度降低方向逐渐减小，即在s y 窗长和j 之间存在过渡( _ ，o ，且：，z ) ，所以它划分的网格要比二进分割细致得 多，更适合于瞬态信号的分析。 2 4 小波包分析 在小波分析中，随着尺度_ ，的减小，小波变换的基函数的时域窗口的宽度将减 小，而相应的频域窗口宽度增大。正交小波变换这种小尺度大频窗、大尺度小频窗 1 3 华北电力大学硕士学位论文 的时频分布规律是同自然界中信号的时频特性相符合的，适宜于分析任意尺度的信 号。但是在具体的应用中，很多时候我们只对特定的时间段或频域段的信号感兴趣， 只需提取这些时间段及频率段上的点的信息即可。因此，我们希望在感兴趣的频率 点上尽量提高频域分辨率，在感兴趣的时间点上尽量提高时间分辨率。在此情况下 正交小波变换的那种时频窗口的固定分布却不是一种最优的选择。主要原因是，正 交小波变换的多分辨率分解只将尺度空间进行分解，而对小波空间没有进一步的分 解，而通过小波包可以将小波空间进一步分解，使正交小波变换中随_ ，的增大而变 宽的频域窗口进一步变细，这样我们就可以找到最适于待分析信号的时频窗口或最 优基【2 4 1 。 在小波变换的基础上，w i c k e r h a u s e r 、c o i f m a n 等人从数学上作了比较严密的推