（应用数学专业论文）关于leslie模型的综述.pdf

摘要 本文针对几类主要的l e s l i e 捕食者一食饵模型的相关结果进行了整理，主 要包括具有比率依赖的、具有时滞与反馈控制的和具有反应扩散的等几种常见的 重要的l e s l i e 模型。 全文共分为两章，第一章是对种群动力学模型的简单介绍，包括 l o t k a - v o l t e r r a 模型和几种l e s l i e 模型；第二章是介绍了相关文献中的l e s l i e 模型主要结果。结果主要包括定性与稳定性以及周期解的存在性等动力学行为。 关键词：l e s li e 模型；比率依赖；时滞；定性分析；稳定性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e f w es u m m a r yt h er e s u l t so fs o m ei m p o r t a n tl e s l i em o d e l t h e m o d e li n c l u d i n g ：w i t hr a t i o d e p e n d e n t ，t i m ed e l a ya n dr e a c t i v ed i f f u s i o n t h ep a p e ri sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s ，t h ef i r s tc h a p t e ro u t l i n e st h eb a c k g r o u n d o ft h em o d e l ，r o a m e dl o t k a v o l t e r r aa n dl e s l i e ；t h es e c o n dc h o p t e ri n t r o d u c e s t h er e s u l t so fe q u i l i b r i u m se x i s t e n c e ， s o l u t i o n s ，q u a l i t a t i v ea n a l y s i s s t a b i l i t ya n dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i c k e yw o r d s ：l e s l i ep r e d a t o r - p r e ys y s t e m ；r a t i od e p e n d e n t ；t i m ed e l a y ； q u a l i t a t i v ea n a l y s i s ；s t a b i l i t y ； 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 童盔日期 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东 北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：童主 日 期：雄互雩 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 指导教师签名：驻 u i z i 声i l 如 f ：1 ：_ 。 通讯地址： 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 1 厶j l 刖吾 任何一个生物系统无论它是种群，生物群落，还是生物圈都在有限时间内生 存，它只在这段时间内稳定。物种灭绝，或迁徒表示稳定性的丧失。在生态演替 过程中，一个生物系统个生物系统逐渐替代，可以说我们周围的世界是稳定的协 调发展。而每一生物有机体都不能脱离由它们组成的被称为种群的集体而单独存 活，在种群内部存在着相当复杂的相互作用，不论是同其他物种的关系，还是同 周围环境的关系，种群都是以某种整体结构的形态而出现的，种群的基本特点是 其大小，即总数或密度( 种群所占据的单位空间内的数量) ，通常用个体的数量或 者生物量表示种群的大小；种群的大小的动态变化取决于两个过程：出生和死亡。 用出生率，即种群的大小增加能力表示出生过程的特性；种群数量减少过程的特 征是死亡率。因此，种群动力学模型是描述种群与环境，种群与种群之间相互竞 争相互作用的动力学关系的数学模型。 物种之间的竞争，自然界的平衡及环境因素；个体数量与资源量的关系，此 类模型是种群数学生态学的基础。利用数学模型研究种群稳定性及其他性质是具 有重要的理论和实际意义，可应用于环境科学，能源开发，灾变生态学；可应用 于描述预测以至调节和控制物种发展过程与发展趋势，构建和谐发展环境。 东北师范大学硕士学位论文 第一章种群动力学模型简介 种群动力学模型是描述种群与环境，种群与种群之间相互竞争，相互作用的 动力学关系的数学模型，可用于描述、预测以至调节和控制物种的发展过程与发 展趋势。早在一百多年前建立了m a l t h u s 人口模型，根据这个模型得到人口指数 无穷增长的论述，实际上，人所生存的环境资源不是无限的，这样荷兰数学家 v e r h u l s t 提出用l o g i s t i c 模型来描述人口或其他生物种群的增长，v o l t e r r a 根 据第一次世界大战期间意大利f i n m e 港口捕鱼量下降导致非食肉鱼类减少而食 肉鱼类数量增加这一现象，他利用动力学的方法建立了大鱼与小鱼相互作用的数 学模型；如果考虑到增长率和环境容纳量是时间的函数，再考虑到种群的非线性 繁殖，时滞因素，随机干扰，除了l o g i s t i c 模型和v o l t e r r a 模型，l e s l i e 模 型又有多种修正，得到滞后效应模型，功能性反应作用模型，反应扩散模型这 一节我们主要介绍几类基本的种群动力学模型。 第一节两种群相互作用的i o t k a v o l t e r r a 模型 用x o ) ，y o ) 分别表示两种群在t 时刻的数量或密度，两种群模型一般是从 考察各自的相对增长率三拿和三拿入手，经常需要考虑到种群内自身发展规律 xd tvd t 和种群间相互作用的影响两个方面，故两种群相互作用的模型常用的形式是 三塞一删+ 9 1 ( y ) 歹i 瓦d y f a x ) + g z ( y ) 其中 ) 、g ：( y ) 分别表示各种群各自的发展规律所导出的自身的相对增长 2 东北师范大学硕士学位论文 率，g ，( y ) 、厂2 0 ) 分别表示另一种群对这一种群的影响，这四个函数根据具体对 象和环境确定。若假设函数 o ) 、9 2 ( y ) ，g x ( y ) 、，2 ) 都是线性的，则得到两 种群相互作用的l o t k a v o l t e r r a 模型： 鲁- 地+ 虹+ c 1 ) ，) d 出y y ( 口2 + 略+ c 2 y ) 其中口。，q 2 分别是种群石，y 的内禀增长率，其正负由它们各自食物的来源 而确定。 第二节l e s l i e 模型介绍及分类 2 0 世纪4 0 年代，l e s l i e 介绍了一个捕食者食饵模型，其中，捕食者的环境 容纳量是与食饵的数量成正比的。l e s l i e 强调了这样一个事实，捕食者和食饵 的增长率都有一个上限，这是l v 模型里没有的。这个上限在适当的条件下是可 以到达的。对捕食者而言，当食饵与捕食者的比例充分大时，可以到达上限；对 食饵而言，当捕食者的数量充分小时，可以到达上限。模型出处在文n m l 中 鲁叱- 口1 y 一舡弦 警一( r 2 吨y 众所周知，以上两个模型分别称为l e s l i e 第一模型和l e s l i e 第二模型。 2 1具有功能性反应的模型 l e s l i e 捕食与被捕食模型： 3 和 弦弩x 办 羔：工 叩 如 “ 化 出一出咖一出 东北师范大学硕士学位论文 警哪) ( 口一) 一r e x ( t ) y ， 警川，卜耕 工( o ) 0 ，y ( 0 ) 0 其中z o ) 是食饵在时刻f 的密度，y ( f ) 是捕食者在时刻f 的密度；食饵种群 工1 3 f ) 遵循l o g i s t i c 增长，口是食饵的内增长率，等为食饵种群的容纳量；s o 是 d 捕食种群的内禀增长率；为捕食种群的容纳量，与食饵种群的大小成比例，h ，l 为食饵转化成捕食者的度量；文h 1 对系统( 1 ) 进行了研究。在模型中捕食者的功 能反应函数r e x ( t ) 为线性的函数，对模型( 1 ) 引入功能反应函数得到具 h o n i n g t a n n e r 功能反应的l e s l i e 捕食与被捕食模型 鱼掣。x o ) ( 口一缸1 0 f ”一p o 抄o ) ， 口f 警啪，卜斟 x ( o ) 0 ，) ，( o ) 0 文h 1 对系统( 2 ) 进行了研究。然而，近年来越来越多的明显的生物学和生理 学的证据表明，在许多情况下，特别是当捕食者不得不搜索食物时( 因此，不是 不分享或竞争食物) 时，一个更切实际且更一般的捕食与被捕食模型应基于“比 率依赖 理论，这一理论被大量的野外观察结果和实验数据所证实。基于比例确 定的h o l l i n g - t a n n e r 功能反应的l e s l i e 捕食与被捕食模型可表示如下 警哪) ( 口- 一p 此) ， 警川，卜耕 x ( 0 ) 0 ，y ( o ) 0 当功能反应函数p ( x ) ；l 时，得到如下具h o l l i n g t a n n e r l i i 类功能反应 口+ x 比例确定的l e s li e 捕食与被捕食模型 4 东北师范大学硕士学位论文 警哪) ( 口一) 一丽c x ( t ) y ( f ) 掣叫巾一 耕 x ( o ) 0 ，) ，( o ) 0 ( 4 ) 由于生态系统本身是离散的，因此用差分系统来描述捕食与被捕食系统更 符合实际，与( 4 ) 相对应的具离散时间h o l li n g t a n n e ri i 类功能反应比例确定的 l e s l i e 系统为 ,：(。k七+1。)=。x工a：(。k七)，eexxp女jap(。k七)，-一b厂(k。七)x，器,(k)f博，cz(k2 l ) k x j 2 + ( k 琢) 万，c 5 ， 2 2 时滞与具有反馈控制的模型 2 2 1 具有时滞的l e s l i e 模型 文献n 4 1 中，l e s l i e 提出环境对捕食者的承载能力与食饵的数量成正相关， 同时强调不论是食饵还是捕食者的增长率都应有一个上限的捕食食饵模型： 警邓小挈) 删抛叫， 掣呦中别， 6 0 表示环境对食饵的承载能力，r x q ) 揪赖于食饵的对捕食者承载能力， q o ) 表示捕食者对食饵的功能反应函数，这恰恰是l o t k a - v o l t e r r a 捕食一食饵 模型没有考虑到的。因此，它更能反应现实的自然生态状况。 2 2 2 具有反馈控制的l e s l i e 模型 在文献n 嬲中，研究了具有反馈控制的l e s l i e 模型，如下： 5 东北师范大学硕士学位论文 鲁哪腆) - 口嗍沪黼叫州 鲁啪玳) 豢碘政蚓 叫，2 ) 警；q o ) 一层( f 兆o ) + 以。她o ) 2 3 具有反应扩散的l e s l i e 模型 ( 7 ) 由于生物现象的复杂性，描述两种群之间相互作用的生态学模型日益增多， 在两种群的相互作用中，捕食与被捕食的关系最普遍。文献n 3 1 介绍了具有扩散的 l e s l i e 模型： j v i - d & 。v e y ( 吃一“0 + 2 _ _ z - ) _ v o f ) q ( 。，) ( 8 ) l i o u = 芸一峨班豫( o ，) 州 【u ( x ，o ) = u o ，v ( x ，0 ) t ，z 其中q 是r n 中的有界区域，n 为单位外法向，其边界光滑。“ ，f ) ，v ( x ，f ) 分 者种群的内禀增长率，饥，口。，口：，h 分别是正常数。 6 东北师范大学硕士学位论文 第二章模型定性分析 第一节一类基于比率依赖的l e s l i e 食饵一捕食模型的定性分析 在许多情况下，特别是当捕食者不得不搜索食物时( 因此，不得不分享或竞 争食物) ，一个更切实际且更二- 般的捕食与被捕食模型应基于“比率依赖”理论， 这一理论已被大量的野外观察结果和实验数据所证实。基于比率依赖的l e s l i e 捕食与被捕食模型可表示如下口1 ： f d x i 一x 莨 【d t 的研究，其主要结果有： ( 9 ) l 、系统的有界性 在文献璐埘中，研究了系统( 9 ) 的有界性、平衡点及其稳定性。 引理1 1 系统( 9 ) 满足初始条件x ( o ) 0 ，y ( o ) 0 的解最终有界。 有系统( 9 ) 的第一个方程得，了d xs x ( 1 一x ) 由比较原理，得l i m s u p x ( t ) s 1 ，从而，存在一个瓦 0 ，当t 乏互时，x ( t ) 墨1 由系统( 9 ) 的第二个方程得，当f 瓦时，生d t s 6 y 一y ) 由比较原理，得l i m s u p y ( t ) s ，从而，存在疋正，当t 疋时，y ( t ) s 声 因此，系统( 9 ) 每一个满足初始条件x ( o ) o ，y ( o ) 0 的解最终有界。 2 、平衡点及其稳定性 7 生 一缈八叫 一a 上x 卜 一 工 b k r o y 东北师范大学硕士学位论文 显然，系统( 9 ) 总有边界平衡点e 。0 , o ) 系统( 9 ) 有唯一正平衡点e + o ，y ) 存在的充分必要条件是 ( h1 ) ：印2 + 1 成立，其中x f f i l 印百，y + = 触+ 引理1 2 ( 1 ) e 。g o ) 是系统( 9 ) 的鞍点目以x 轴为稳定流形； ( 2 ) 若条件( h1 ) 及条件( h2 ) ：2 ( 1 + 妒) ( 筇2 + 1 ) 2 成立，则e 。 + ，) ，) 是 不稳定的。 引理1 3 当条件( h4 ) ：筇乏1 成立时，系统( 9 ) 在内无闭轨。 由引理1 1 、引理1 2 及引理1 3 得 定理1 1 如果条件( h1 ) 及( h4 ) 成立，那么正平衡点e + g ，y ) 在彤中是全 局渐进稳定的。 从以上定性分析所得出的主要结果知，由系统( 9 ) 描述的具功能性反应的微 分生态系统，尽管食饵种群的密度变化对捕食者种群有较大影响，但在经过充分 长的时间以后，不论食饵种群的密度初值和捕食者种群的密度初值在r + 内取何 值，在给定参数满足一定的条件下，两者的密度或产生周期性的变化，产生生物 周期振荡，或都稳定在一组定值的附近，两个种群长期共存并保持生态平衡。 系统( 9 ) 为自治系统，描述环境因素是常定的情况，然而，恒定的环境是不 存在的，为了更精确地描述生态现象，应在种群所依存的变化环境中相应地建立 时变环境因素，由于生态系统本身是离散的，因此用差分系统来描述捕食与被捕 食系统更符合实际，梁志清在文 8 1 6 中对系统( 5 ) 有如下结果： 3 、正周期解的存在性 在文献8 1 中， 定理1 2 如果云 ( 争，则系统( 5 ) 至少存在一个周期的正周期解。 8 东北师范大学硕士学位论文 引理1 4 设f ：z r 为( ) 周期函数，即f ( k + t o ) 一f ( k ) ，则对任意取定的 k l , k 2 ，。及任意的七k 总有 ，( 七) s 厂 ) + 薹i f ( s + 1 ) 一，( s ) l ， 厂( 七) 厂( 七：) 一荟1 i 厂( s + 1 ) 一厂( s ) i n ，一 引理1 5 ( 延拓定理) 设l 是指标为零的f r e d h o l m 映射，n 在q 上是l 紧的 假设：( 1 ) 对任意的a ( o 舯，方程l x a n x 的解满足x w o q ； ( 2 ) 对任意的x k e r l na q ，q n x 一0 而_ h d e g ( j q n ，q i ) k e r l ，0 ) _ 0 ，则方程 l x n x 在d o t a l n q 内至少存在一个解。 引理1 6 如果口 ( 与，则代数系统 a 雎一丢薹蒜一“勘 7 生；0 iy 2 4 、持久性 引理1 7 函数f ( x ) 一x e 4 出的极大值为e x p ( a 一1 ) 引理1 8 方程的每一个解 ( x 伽) ，y ( m ) ) ) ：有。l i - m 。s u p x o ) m 。， l i m s u p y ( n ) s m 2 其中， m 。；i 1e x m - 1 ) ，m ：；等e x 附一1 ) 一i 1 e x p ( 口“- 2 ) 梁志清得到的持久性，周期解存在的条件比文献 1 7 中定理2 6 ，定理3 3 的条件简单。 此外，在文献阳1 中，研究了更有趣并且非常重要的l e s l i e g o w e r 模型 9 东北师范大学硕士学位论文 d x _ ( t ) ；( o ) 一qo ) y o ) 弦o ) 警= 心o ，而蒜p 1 a x = ( _ t ) 。( ( f ) 一口。o ) y ( f ) 一b l ( t ) x ( t f o ，z o ) ，y o ) ”x o ) 警= 咆o 石编p 常理用雷合序理诊做出了他们的周期解的存存件。 第二节一类具有相互干扰的离散l e s l i e 系统的持久性与稳定性 h a s s e l l 引进了干扰常数m ( o 0 ，y ( 0 ) 0 ，0 小墨1 在文献n 们中，研究了， 1 、系统的持久性 定义2 1 ：如果存在紧集s i n t ，使得系统( 1 0 ) 满足初始条件的任一个解 最终进入并保留在s 中，则称系统( 1 0 ) 是持久的。 引理2 1 ：集合磁是系统( 1 0 ) 的不变集。 定理2 1 ：当系统( 1 。) 满足m 。 m ：；矿a u ，m ： m ：t 等m 。和 1 0 东北师范大学硕士学位论文 0 m 2 。，当f 丁时，有 x q ) ，y ( t ) e s ，从而系统( 1 0 ) 时持久的。 2 、周期解的全局渐进稳定性 定义2 2 ：p o i n c a r e 映射a ：呻为, 4 z o - z ( w ，z ) ，其中是系统( 1 0 ) 的周期，这样系统( 1 0 ) 的周期解的存在性等价于a 的不动点的存在性。 定理2 2 ：周期系统至少存在一个严格的周期解。 定理2 3 ：若系统( 1 。) 满足一石e = 万m 2 。，旦m 1 一朋口“( 去) 1 。” 。时，系统( 1 。) 存在唯一的全局渐近稳定的正周期解。， 具有相互干扰且所有系数均为周期连续函数的l e s li e 捕食与被捕食系统， 两种群长期共存，并且产生生物周期振荡。 此外，在文献阳1 中，还研究了系统 f x + 1 ) 一z ) e x p ) 一岛 讧 ) 一口l ) y 冰) ) 卜帅p 吧 鬻) 定理2 3 证明了此系统周期解的存在性。 第三节时滞与具有反馈控制的l e s l i e 系统 l e s l i e 提出环境对捕食者的承载能力与食饵的数量成正相关，同时强调不 论是食饵还是捕食者的增长率都应有一个上限的捕食食饵模型： 孽啪，( 一种抛x ， 降a y ( t ) 唧o ， 1 - 黔】， 一 东北师范大学硕士学位论文 降哪，g 一簧x ( t - ) 一 x ， 降哪o ， 1 斟 一 平衡点的稳定性及以时滞可为参数h o p f 分支的存在性 定理3 1 ( 1 ) 当z ( 0 ，) 时，正平衡点e ，y 。) 是渐近稳定的，当z 时， 平衡点e ，y 。) 不稳定； ( 2 ) 当f 一吼 = 0 ，1 ，) 为系统( 1 1 ) 的h o p f 分支值，即当z 经过吼时， 系统( 1 2 ) 在正平衡点e ，y 。) 分支出周期解。 在研究此问题中，还主要应用了r u a n 和w e i 的根的分布情况的结果。 在文献1 中，又研究了l e s l i e - g o w e r 系统。 悸d x i lr l x ( t ) ( 1 - 掣) 一川 ， a y 叫巾器) 它以f 作为分支参数，得到了h o p f 分支产生的临界值。 文献中的引理2 1 和引理5 1 分别得出了分支的结果和周期解。 第四节具有比率依赖和反馈控制的l e s l i e 模型概周期解的存在性 在下面这个模型中， 1 2 东北师范大学硕士学位论文 鲁哪”口( t ) a f i ( t ) 一揣枷脚】 鲁姒荆玳) 器删蚴) 】 o 都) ( 1 4 ) 了d u i ，呸( f ) 一层o 弦，o ) + 扎o 她( f ) 文献n 妇中，研究了解的存在性和有界性。 定理2 1 系统是永久的； 定理2 2 系统正解的存在性； 定理3 1 用v 二函数法做出了概周期解的存在性。 第五节一类具有常数收获率的l e s l i e 系统的定性分析 生物资源作为一种可再生的自然资源，人类要考虑这种资源的可持续利用。 为了更好地利用生物资源，近此年人们对各种生物系统进行了大量的研究并取得 了很好的结果，这些结果在实际生产中指导人们对生物资源进行合理的开发利 用，取得了可喜的效果。但是生物系统是复杂多样的，还要各种不同的系统进行 深入的研究。对具有常数收获率的l e s l i e 系统的研究很少。下面对一类食饵种 群具有密度制约效应，捕食者容纳量与食饵种群的规模成正比例，对食饵种群有 常数收获率的捕食与被捕食系统如下n 3 1 ： 班饿- b y 2 一唧( 1 5 ) 尘。删一筻 m。x 其中x 为食饵种群的规模或密度，y 为捕食者种群的规模或密度。a ，b ，c ， e ，f ，h 均为正常数，h 为收获率。 1 、正平衡点的存在性 令厂= 1 ，这相当于对系统( 1 5 ) 作了一个简单的变换。对系统( 1 5 ) 做变换 d t 一划z ，且仍有t 记f ，则系统( 1 5 ) 变为 东北师范大学硕士学位论文 系统( 1 6 ) 有平衡点d ( o ，o ) 、 r ( 华，。) 、r 2 ( a + 、a 凹2 - 4 b h 一，0 ) 、 b f a - 4 a 2 i - 4 ( b i + 一c e ) h ，p a - 4 i a 2 _ - 4 ( b _ + 一c e ) h ) 、 外 2 p + c p ) 7 2 p + 凹) 7 r 4 ( a + 、a 2 - 4 ( b + c e ) h ，e a + 、a 2 。- 4 ( b 、+ c e ) h ) z p + c e )z p + c e ) 2 、正平衡点的定性分析 关于0 点，为高阶奇点；再看冠点，为不稳定的结点；这时生物种群的变化 是不稳定的、发散的。也就是说在这个点附近某个状态出发，生物种群的演化将 远离这个点。 恐、恐为系统( 1 0 ) 的鞍点。从生态学上看，如果种群量取在心或坞上，将 维持平衡，然而一旦有一个极小的偏离，种群将远离恐或恐。 心为一阶细焦点，这时若种群规模从尺4 附近出发，则随着时间的变化，种 群规模将在r 4 附近变化。 第六节具有反应扩散的l e s l i e 两种群生物竞争模型的稳定性 在前面第一章第二节中，提到了具有反应扩散的l e s l i e 模型n 4 1 ： u 1 一d a u 一“( 一轨“) 一a l u l ) ， ，t ) f 2 x ( o ，c o ) h d a y 。 ，( 厂2 一竺；) ， ，t ) e f 2 ( o ，) m ( 8 ) 罢。罢。o ， ，f ) a q ( o ，) o hu f u ( x ，0 ) 一，v 扛，o ) = v o ，x 1 4 回 k y 就一k 广 一 一 2 p ， 舻 唧 = = 出一出咖一办 东北9 币范大学硕士学位论文 其中q 是r n 中的有界区域，n 为单位外法向，其边界光滑。“o ，f ) ，v ( x ，f ) 分 别表示食饵和捕食者的种群密度函数，d 为扩散系数，r l , r 2 分别表示食饵和捕食 者种群的内禀增长率，魄，a ，a ：，h 分别是正常数。 1 、解的存在性与唯一性 定义1 一对非负函数正，；) ，g ) 称为系统( 8 ) 的藕合上解和藕合下解，如果 比0 ，f ) 、v ( x ，t ) e c ( q o ，f 】) c ( q 【o ，t i ) ，0s u s “，0sy 墨 ，o ，t ) 6 qx o ，0 0 】 对于非负初始函数，6 ，；) ，g ，；) 为系统( 8 ) 的藕合上解和藕合下解，则有唯 一全局解 ，) 。 2 、解的有界性 定理2i 发u ( x ，f ) 、v ( x ，t ) e c ( 一q o ，1 ) a c ( f f 2 0 ，r 1 ) 是系统( 8 ) 满足初值 比o ，o ) ，u o ( x ) 0 ，v ( x ，o ) - - v o ( x ) 芑o 的解，则o s h o ，o ) sm 。，o 0 时，正平衡点 。， ，) 局部渐近稳定。 系统( 8 ) 有唯一的正平衡点足以，矿) ，这里搿；苕乏；警一群 4 、正平衡点的全局稳定性 定理4 满足条件口：一口。咖 0 时，系统( 8 ) 的平衡点 ， ，) 全局渐近稳定。 m 拳 吒川唰 值似 _ 吃 0 = 星j = 皇帆帆 一 一 、i 砸 s 、 = 矗 仁 s 、1 0 0 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 1 p h l e s l i e ，s o m ef u r t h e rn o t e so nt h eu s eo fm a t r i c e si np o p u l a t i o n m a t h e m a ti c s ，b i o m e t r i k a 3 5 ( 1 9 4 8 ) 2 1 3 2 4 5 2 p h l e s li e ，as t o c h a s ti cm o d e lf o rs t u d y i n gt h ep r o p e r ti e so fc e r t a i n b i o l o g i c a ls y s t e m sb yn u m e r i c a lm e t h o d s ，b i o m e t r i k a4 5 ( 1 9 5 8 ) 1 6 3 1 3 梁志清一类基于比例确定的离散l e s l i e 系统正周期解的存在性 j 生物数 学学报2 0 0 4 ，1 9 ( 4 ) ：4 21 - 4 2 7 4 董世杰，葛渭高基于比率的离散型捕食系统的周期解北京理工大学学报 j ，2 0 0 3 ，2 3 ( 2 ) ：1 4 3 1 4 6 5 欧伯群，秦发金基于比率的离散型l e s l i e 系统正周期解的存在性 j 哈尔 滨师范大学自然科学学报，2 0 0 6 ，6 ( 2 2 ) ：7 - 11 6 f e ic h e n ，x i a o h o n gc a o ，e x i s t e n c eo fa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o ni na r a t i o d e p e n d e n tl e s l i es y s t e mw i t hf e e d b a c kc o n t r o l s ，b i o m e t r i k a2 3 ( 1 9 5 9 ) 2 5 4 1 7 梁志清一类基于比率依赖的l e s l i e 食饵一捕食者模型的定性分析 j 长沙 大学学报，2 0 0 7 ( 0 2 ) ：3 6 - 4 0 8 梁志清一类基于比例确定的离散l e s l i e 系统正周期解的存在性 j 生物数 学学报，2 0 0 4 ，1 9 ( 4 ) ：4 2 1 4 2 7 9 h a i f e n gh u o , ，m a t h e m a t i c a la n dc o m p u t e rm o d e l l i n g4 0 ( 2 0 0 4 ) 2 6 1 2 6 9 1 0 潘红卫一类具相互干扰的l e s li e 捕食与被捕食系统的定性分析 j 长沙 大学学报，2 0 0 5 ( 0 5 ) ： 1 1 s a n l i n gy u a na ，术，y o n g l is o n gb ，s t a b i l i t ya n dh o p fb i f u r c a t i o n si n ad e l a y e dl e s l i e g o w e rp r e d a t o r p r e y s y s t e m j m a t h a n a l a p p l 3 5 5 ( 2 0 0 9 ) 8 2 。1 0 0 1 6 东北师范大学硕士学位论文 1 2 f e ic h e n 木，x i a o h o n gc a o ，e x i s t e n c eo fa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o ni n ar a t i o d e p e n d e n tl e s li es y s t e mw it hf e e d b a c kc o n t r o l s j m a t h a n a l a p p l 3 4 1 ( 2 0 0 8 ) 1 3 9 9 1 4 1 2 1 3 赵延忠：具有反应扩散的l e s li e 两种群生物竞争模型的稳定性 a 青海大 学学报，2 0 0 7 ( 5 ) ：6 2 - 6 5 1 4 3 张建明等时滞l e s l i e - c o w r e 捕食者一食饵系统h o p f 分支的存在性 a 浙 江理工大学学报2 0 0 8 ( 1 ) ：9 6 - 9 8 1 5 李建民，谢丽明一类具有常数收获率的l e s l i e 系统的定性分析 a 平顶山 学院学报，2 0 0 5 ，2 0 ( 0 5 ) ：3 6 - 3 8 1 6 梁志清，陈兰荪离散l e s l i e 捕食与被捕食系统周期解的稳定性 a 数学 物理学报，2 0 0 6 ，2 6 a ( 4 ) ：6 3 4 6 4 0 1 7 3w a n gq ，f a nm ，w a n gk d y n a m i c so fac l a s so fn o n a u t o n o m o u s s e m i r a t i o d e p e n d e n tp r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hf u n c t i o n a lr e s p o m s e s m a t ha n a la p p l ，2 0 0 3 ，2 7 8 ( 2 ) ：4 4 3 4 7 1 1 8 g a i n e sre ， m a w h i njl c o i n c i d e n c ed e g e ea n dn o n l i n e a r d i f f i e r e n t i a le q u a t i o n m n e wy o r k ：s p r i n g e r v e r l a 6 ，1 9 9 7 1 9 陈兰荪数学生态学模型研究方法 m 成都：四川科学技术出社2 0 0 3 1 7 3 2 0 王明新非线性抛物方程 m ，北京：科学出版社，1 9 9 3 8 6 9 9 2 1 陈兰荪井竹君捕食者一食饵相互作用中微分方程的极限环的存在性和唯 一性 j 科学通报1 9 8 4 ，2 4 ( 9 ) ：5 2 1 5 2 3 2 2 h ex z s t a b i l i t ya n dd e l a y si nap r e d a t o r p r e vs y s t e m j jm a t h a n a l a p p l ，1 9 9 6 ，1 9 8 ( 4 ) ：3 5 5 3 7 0 2 3 董士杰，朱玉峻基于比率的两种群捕食者食饵系统的周期解 j 河北科技 大学学报2 0 0 4 ，2 5 ( 1 ) ：卜7 2 4 颜向平张存华一类具功能反应的食饵捕食者两种群模型的定性分析 j 生物数学学报2 0 0 4 ，1 9 ( 3 ) ：3 2 3 - 3 2 7 2 5 陈柳娟孙建华具h o lli