（应用数学专业论文）关于集值优化问题超有效解和强有效解若干问题的研究.pdf

摘要 摘要 集值优化理论在不动点、变分学、微分包含、最优控制、数理经济学等领 域有着广泛的应用，是目前应用数学领域中备受关注的热点之一，而集值优化 问题在各种解意义下的最优性条件是其中的重要组成部分，是建立现代优化算 法的重要基础另一方面，凸性的概念在优化理论中扮演着重要的角色，因而 各种凸性的推广都倍受人们的关注本文在实赋范线性空间中考虑约束集值优 化问题的超有效性在内部锥类凸假设下，利用凸集分离定理，分别得到了 k u h n t u c k e r 和l a g r a n g e 必要条件，并得到了新鞍点的最优性条件在锥序 b a n a c h 空问中利用集值映射的上图导数引进了强有效意义下的广义梯度，在下 c 一半连续条件下，利用凸集分离定理证明了该广义梯度的存在性；由此建立 了集值向量优化问题强有效解在广义梯度下的撮优性条件 关键词；超有效性； 内部锥类凸；鞍点，上图导数；强有效性；广义梯度； 最优性条件 1 1 a b s t r a c t a b s t r c t t h et h e o r yo fs e t - v a l u e do p t i m i z a t i o ni so n eo ff o c a lp o i n tp r o b l e m si nt h e v e c t o ro p t i m i z a t i o nf i e l da n df i n d sw i d ea p p l i c a t i o n si nf i x e dp o i n tt h e o r y ，v a r i a t i o n p r o b l e m s ，d i f f e r e n t i a li n c l u s i o n s ，c o n t r o lt h e o r ya n dm a t h e m a t i c a le c o n o m i c s a n dt h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o rs e t v a l u e do p t i m i z a t i o np r o b l e m si nt h es e n s eo f v a r i o u ss o l u t i o n sa g ei t si m p o r t a n tc o m p o n e n t sa n da l et h ei m p o r t a n tb a s eo f d e v e l o p i n gm o d e ma l g o r i t h m s o nt h eo t h e rh a n d ，t h ec o n c e p to f c o n v e x i t yp l a y s i m p o r t a n tr o l e si n t h eo p t i m i z a t i o nt h e o r y ，h e n c ee a c h o fg e n e r a l i z a t i o n so f c o n v e x i t yr e c e i v e s r e s e a r c h e r sa t t e n t i o n s i nt h i s p a p e r ，t h es e t v a l u e d o p t i m i z a t i o np r o b l e mw i t hc o n s t r a i n t si sc o n s i d e r e di nt h es e n s eo fs u p e re f f i c i e n c y i nr e a ln o r m e dl i n e a rs p a c e u n d e rt h ea s s u m p t i o no f t h ei c c o n e - c o n v e x l i k e n e s s ， b ya p p l y i n gs e p a r a t i o nt h e o r e mf o rc o n v e xs e t s ， k u h n - t u c k e ra n dl a g r a n g e n e c e s s a r yc o n d i t i o n sa r ed e r i v e dr e s p e c t i v e l y ，a n dt h en e ws a d d l e p o i n t so p t i m a l i t y c o n d i t i o ni so b t a i n e d t h ec o n c e p to ft h eg e n e r a l i z e dg r a d i e n ti ns e n s eo fs t r o n g e f f i c i e n c yi si n t r o d u c e db ye p i d e r i v a t i v ef o ras e t v a l u e dm a pi n o r d e r e db a n a c h s p a c e s u n d e r t h ec o n d i t i o no f l o w e rcs e m i c o n t i n u o u s ，i t se x i s t e n c ei sp r o v e db y t h e s e p a r a t i o nt h e o r e m f o rc o n v e xs e t s ；t h u st h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o no f s t r o n g - e f f i c i e n ts o l u t i o no fs e t - v a l u e do p t i m i z a t i o np r o b l e m si se s t a b l i s h e di n t h e s e n s eo f g e n e r a l i z e dg r a d i e n t k e yw o r d s ：s u p e re f f i c i e n c y ； i c c o n e c o n v e x l i k e n e s s ； s a d d l e - p o i n t ； e p i d e r i v a t i v e ：s t r o n g e f f i c i e n c y ：g e n e r a l i z e dg r a d i e n t ；o p t i m a l i t yc o n d i t i o n u i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，电 不包含为获得直昌太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：余劢签字日期：矽7 年胆月。7e 1 学位论文版权使用授权书 本学位沦文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论 文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印什和 磁髓，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌盔堂可以将学位沦文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。列时授权中国科学技术 信息研究所将本学位论文收录到l p 同学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位沦文侄解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：徐硫 导师签名：f 每必力 签字h 期：卿午f 2 f j2 7 签字日期：2 旧年f2 ，月刁口 7 第1 章绪论 第1 章绪论 集值优化理论在微分包含、逼近论、变分等领域均有广泛的应用，而集值 优化问题的最优性条件是其中的重要组成部分，是建立现代优化算法的重要基 础下面我们从集值优化问题的最优性条件方面概述一些与本文研究内容密切相 关的结果 设x 是局部凸拓扑线性( 赋范) 空间，y ，z 为h a u s d o r f f 局部凸拓扑线性( 赋范) 空间，d ，e 分别为y ，z 中的闭凸点锥，f ：x - 0 2 7 ，g ：x 斗2 2 是集值映射 考虑如下的集值优化问题( r e ) m i n f ( x ) s t g ( x ) n ( 一e ) 声，r q ( r e ) 的可行集用矿表示，即v = r q ：g ( x ) n ( 一e ) 以 不少学者对集值优化问题的各种有效解的最优化条件进行研究李仲飞在 定义了一个适当的集值l a g r a n g e 映射并对其引入真鞍点的概念之后，建立了 b e n s o n 真有效性的一个充分条件和必要条件；“z f 1 2 , ”建立了在弱有效解和 b e n s o n 真有效意义下的l a g r a n g e 型最优化条件；l iz ，m | 4 1 建立了在弱有效 意义下( v p ) 的f r i t zj o h n 和k u h u t u c k e r 型非导数最优化条件；x uy ，h f 5 6 1 在 近似锥次类凸假设下给出了( v p ) 超有效元l a g , r a n g e 型最优性条件及在近似锥次 类凸假设下f v p ) 强有效元g u h u t u c k e r 型非导数最优化条件；s a c i lph 川在近 似锥次类凸假设下利用鞍点刻画了弱有效解b e n s o n 真有效解的最优性条 件c o r e l y h w p 】借助于集值函数的图给出了函数的图导数概念，并建立了f v p l 在弱有效解意义下的最优性条件1 a h nj 和c h e ngy 【9 1 0 l 进行推广而建立了用 函数的上图取代圈而定义的切导数概念，但【9 ，1 0 1 q ，定义舱导数是单值的最 近，盛宝怀【1 1 ”1 借助于函数的上图引进了函数的上图导数，与【9 ，l o 】中不同， 它是集值函数，【1 l j 用上图导数给出了( v p ) 在b e n s o n 真有效解意义下的f r i t z j o h n 型必要条件和k u h u t u c k e r 型充分条件 另一方面，有效性理论一直是人们所热切关注的课题b o w e i n 【1 3 14 1 定义了 超有效点的概念，它具有非常好的性质，即能用严格正泛函来标量化j a h n 1 5 1 把 发展超有效点理论厦拓展它的应用看成今后发展多目标规划的问题z h e n g ( 1 6 , 1 7 1 第1 章绪论 把超有效点的概念从赋范空间推广到局部凸空间傅万涛【l t ”o o 】提出了严有效点 的概念，它有非常漂亮的性质，即每个严有效点都能用严格正泛函来标量化，同 时它保持了超有效点1 1 3 1 4 的主要特征，而且存在条件又比超有效点弱得 多c h e n g 2 1 1 引进了强有效性概念，它推广了超有效性【1 3 1 4 】和严有效性，且具有 很好的性质，即强有效点能用基泛函来标量化因此，研究集值优化问题f v p ) 在 超有效解、严有效解及强有效解意义下的最优性条件就很有必要了 1 1 预备知识 设e 3 0 x 的任一子集，若对任意y 。，r 2 e ，a 【o ，l 】均有以+ ( 1 一a ) r ：e ， 称为x 中的一凸集 e c x 称为锥，如果对任意的旯 o p e ，我们有2 e e ，若e c x 非空， 则e 的生成锥定义为 c o n e e = f 2 e ：名o p e ) 显然，0 c o n e e 当e 为凸集时，c o n e e 为凸锥 如果占为锥e 的凸子集，0 仨c l b 且e = c o n e b ，则口称为e 的一个基 集e c x 称为凸锥，若e 为锥且为凸锥易知，e 为凸锥当且仅当o r ，2 0 j a e + p e c e ，其中血= 础：p e ) ， 锥e c x 称为一点锥，如果e 为锥且e n ( 一毋= 0 ) 设集值映射f ：x 寸2 7 ，其定义域表示为 d o m f = 工x ：，( r ) ) 集值映射f 称为严格的，如果d o m f = x f 的图定义为 g r a p h f = ( 墨力x y ：x d o m f ，y f ( x ) ，的上图定义为 e p i f = ( tj ，) x x y ：r d o m f ，y f ( z ) + d 集值映射f ：x 一2 7 称为在d o m f 上是凸的，如果对任意的j t ，j 2 d o m f ，五 o ，l 】，均有 2 f ( x i ) + ( 1 一；o f ( x 2 ) c f ( 2 x , + ( 1 一五) x 2 ) 集值映射f ：x j 2 称为在d o m f 上是d 一凸的，如果对任意的x 。x ，d o r a f ，a 【0 ，1 】，均有 第l 章绪论 a f ( x 1 ) + ( 1 2 ) f ( x 2 ) c f ( a x l + ( 1 一a ) x 2 ) + d 集值映射f ：x 一2 7 称为在d o m f 上是d 一次类凸的，如果存在d i n t d ，使 得对任意的x l ，屯d o m f ，a 【o ，1 】，占 0 ，均有 蔚+ z f ( x 1 ) + ( 1 2 ) f ( x 2 ) c f ( 3 x , + ( 1 一五) x 2 ) + d 集值映射f ：x _ 2 7 称为在d o m f 上是近似d 一类凸的，若c l ( f ( d o m f ) + d ) 是凸集 集值映射f ：x 专2 称为在d o m f 上是近似d 一次类凸的，如果c l c o n e ( f ( d o m e ) + d ) 是凸集 非空集合a 称为内部凸( i - - c o n v e x ) 的，如果i n t a 是凸的，且ac c li n t a 非空集合a 称为内部锥凸( i c - - c o n v e x ) 的，如果c o n e a 是内部凸的 非空集合a 称为是内部锥d 凸r i c d c o n v e x ) 的，如果4 + d 是内部锥凸的 f ：x 斗2 称为是内部类凸( 内部锥类凸，内部锥d 类凸) 的，如果i m f 是内 部凸( 内部锥凸，内部锥d 凸) 的，其，中i m f = f ( x ) = uf ( x ) 设x 。，y 。) g r a p h f 则f 在( ，y o ) 点的c l a r k e 切导数c f ( x o ，y 。 定义为映 j 到y 的集值映射，其满足： g r a p h c f ( x o ，y o ) = g 哪f ( ，y o ) f 在( x o ，y 。) 点的a d j a c e n t 切导数d 6 f ( x o ，y o ) 定义为映x 到j ，的集值映射， 其满足： g r a p h d 6 f ( x o ，y o ) = 7 刍，f ( ，y o ) f 在( x o ，y 。) 点的c o n t i n g e n t 切导数d f ( x o ，y 。) 定义为映工到j ，的集值映射， 其满足： g r a p h d f ( x 0 ，y o ) = k f ( r 0 ，y 。) 屠近，盛宝怀借助于集值映射的上图及c l a r k e 切锥，c o n t i n g e n t 切准， a d j a c e n t 切锥引入了集值映射的上图导数 定义1 1 设( x o ，y 。) ；g r a p h f ：则f 在( x o ，o j 点的c l a r k e 上图切导数 c f ( x 。，儿) 定义为映x 到y 的集值函数，其满足： e p i c f ( x o ，y o ) = c 。，( x o , y o ) f 在f r 。，y 。) 点的a d j a c e n t 土图切导数d 5 f ( x o ，y o ) 定义为磅x 到y 豹集值 函数，其满足： e p i d 6 f ( x o ，y o ) = 瑶l f ( x o ，y o ) ， f 在( ，y 。) 点的c o n t i n g e n t 上图切导数d f ( x 。，| ，。) 定义为映x 到y 的集值 第l 章绪论 函数，其满足： e p i d f ( x o ，y o ) = 瓦，( x o ，y o ) 借助于上图切导数，盛宝怀引进了一类广义伪凸函数概念 设f ：x 斗2 7 ，( ，y o ) g r a p h f f 在( x o ，y o ) 点c o n t i n g e n t 上图可导，则f 在( x o ，y o ) 称为强c c o n t i n g e n t 伪凸的，如果对厶c + o ， ，由 、 九( f ( x ) 一儿) n ( 一r + ) 以v 一j 有 矗( d f ( x o ，y o ) ( x “一x o ) ) n ( 一r + ) ，v r z 设f 在( x o ，y o ) 点c o n t i n g e n t 上图可导，则称f 在( ，蜘) 弱c - c o n t i n g e n t 伪凸的，如果对厶c + 0 ，) ，由 磊( f ( x ) 一儿) n ( 一r + ) 六 v x x 有 九( d f ( x o ，y o ) ( x _ ) ) n ( 一r ) ，v x x ， 这里r = 【o ，啪) ，r + = ( o + 。0 ) 2 0 0 2 年，盛宝怀在锥序b a n a c h 空间引入了一类关于集值映射的广义梯度 设f ：x 斗2 7 ，( ，y o ) g r a p h f 则集合 a f ( x o ，儿) = 矿l ( x ，y ) ：0 r p m i n ( d f ( x o ，y o ) 一d ( ) ，c ” 称为在b e n s o n 真有效意义下，在( x 0 ，y 。) 的广义梯度，其中 ( d f ( x o ，y o ) 一项j ) = u ( d f ( x o ，j ，。) 一丁) ( x ) 1 2 有效性理论 设】，是局部凸拓扑线性空间，a c y ，d 是y 中的闭凸点锥，i n t d a 的有效点集记为e ( a ，d ) ，即y e ( a ，d ) 当且仅当( a y ) n ( 一d ) = ( 0 ，a 的弱有效点集记为w e ( a ，d ) ，即y w e ( a ，d ) 当且仅当( a 一力n ( 一i n t d ) = 若，是赋范空间，a 的超有效点集定义为： s e ( a ，d ) = j ，a ：e l c o n e ( a y ) n ( u d ) c - m u 其中m 0 为一实数，u 为y 的闭单位球， 在局部凸拓扑线性空间，a 的超有效点集定义为： s e ( a ，d ) = y a ：v v ( o ) ，3 u n ( o ) ，s t c l e o n e ( a y ) n ( u d ) c 矿 设，是局部凸拓扑线性空间、具有基口，则a 关于基占的严有效点集定义为 4 第1 章绪论 f e ( a ，b ) = j ，a ：3 u ( 0 ) ，s t c l e o n e ( a y ) n ( u b ) = 庐 在局部凸拓扑线性空间中，c h e n g 定义了强有效点，设占为d 的基，y a 称为a 的强有效点，如果对所有妒j ，q u ，v n ( o ) ，使得 妒 c l c o n e ( m - y ) n ( u e o n e ( v + 口) ) 】 有界我们用g e ( a ，d ) 表示一的强有效点集 i 3 集值优化问题 考虑下面集值最优化问题 ( v p ) m 。i n f g ) ， s t g ( x ) n ( - e ) 氟x j j ( v p ) 的可行集用v 表示，即v = 扛x o ，g g ) n ( - 功矽) 在以下的部分我们假x o v ，y o f k l z o g g 。) n e 设i v ，i 称为( v _ p ) 的超有效解，如果f ( i ) ns e ( f ( v ) , d ) 妒( i ，夕) 称 为( v p ) 的超有效元，如果罗f ( x - - ) o s e ( f ( v ) , d ) 第2 章广义凸赋范线性空间集值优化的超有效性 第2 章广义凸赋范线性空间集值优化的超有效性 向量优化问题中充分条件韵给出往往少不了凸性的假设，为此，不少学者相 继提出了很多种广义凸性2 0 0 5 年，s a c h “1 引进了一种新的广义凸性一内部锥类 凸，它是近似锥次类凸的推广s a c h 在内部锥类凸假设下得到了弱有效解，有 效解，b c n s o n 真有效解的k u h n t u c k e r 型和l a g r a n g e 型必要条件为此，本文 在内部锥类凸假设下，讨论约束集值优化问题( v p ) 超有效解的k u h n t u c k e r 型 和l a g r a n g e 型必要条件以下总是假设为实线性空间，y 和z 为实线性赋范 空间，y + 和z 分别为y 和z 的拓扑对偶空间，j d 和e 分别是j ，和z 中的闭凸点锥， 且d 和e 具有非空内部用以，分别表示y 和z 的凸零点领域锥d c y 的正 对偶锥定义为 d + = p + y - ：( j ，j ，) o v y d 引理2 1 1 2 2 1 若d 是锥，则有 c i ( a + d ) = c i ( a + i n t d ) ； ( 2 1 ) 引理2 2 【2 2 1 设a c y 是凸的，则c l 4 也是凸的特别若i n t a 西，则i n t a 是 凸的，c l a - = c l i n t 。4 且i n t a = i n t d a 引理2 3 设a c y 是任意子集且d c y 是凸锥并且d 具有非空内部， 则 c i ( a + d ) = d ( a + i n t d ) ； ( 2 2 ) i n t ( a + d ) = a + i n t d ( 2 3 ) 2 1k u h n t u c k e r 和l a g r a n g e 最优性条件 考虑下面的集值优化问题 ( v p ) m i nf ( x ) 6 第2 章广义凸赋范线性空间集值优化的超有效性 s t g ( x ) f i ( 一e ) ，x q ( v p ) 的可行集用v 表示，即v = x 莎g ( x ) n ( - e ) 科 假设d 有闭有界基b ，设 万= i n f l b a ：b 曰 则万 0 定义 眈= c i c o n e ( b + 彬) 引理2 4 t ”v 0 s 巧，眈是闭凸点锥 引理2 5 驯v o o 叠o ，使得 ( 五( f ( 量) 一y o ) + i n t 眈) n ( - i n t d 。) ( 2 1 1 ) 且 ( 五( g ( 膏) 一卢毛) + i n t e ) n ( 一i n t e ) ( 2 1 2 ) 由( 2 1 1 ) 知砂f ( 膏) ，使得 9 第2 章广义凸赋范线性空间集值优化的超有效性 夕一儿一i m d l ( 2 1 3 ) 由( 2 1 2 ) 知j ；g ( 2 ) ，使得j f l z o - i n t e j 如一i n t e - e i n t e 一i n t e ， 故j v ，由( 2 1 3 ) n ，【f ( 膏) 一y o n ( 一i n t 眈) 矿，这与( 2 9 ) 矛盾! 故( 2 1 0 ) 成立于是由定理2 1 知，c o n e ( i m h 日) + i n t ( 见x e ) 是凸集， 故由凸集分离定理知，3 ( y o ) y z + 魄o ，。，0 z ) ，使得 ( 瓴，z o ) ，( c o n e ( i m h p ) + i n t ( 见) ) ) o 且 ( 威，- n t 忿) + ( 乏，i n t e ) 0 f 2 1 4 ) ( 2 ，1 5 ) 由( o o ) 皿e 及( 2 1 4 ) 得，( 战，石) ，i m h p ) o 因此， ( y o + ，y ) + ( z 0 ，z ) ( 以，) + ( 菇，f l z o ) ，v ( y ，z ) i m ( f g ) ( 2 1 6 ) 在( 2 1 6 ) q h 令y = y o ，z = 气，可证得( 磊，毛) = o 于是( 2 ，7 ) 成立，而( 2 8 ) 式的证明可参见文献【1 3 ( a ) 先证式e + 由i n t e 为锥及z ：在其e 有t # a ( 2 1 5 ) 得 ( ，i n t e ) 0 因为e 为闭凸锥，故e = e l ( i n t e ) ，对任意的e e e ，存在c i n t e ，使p = l i r a e n ， 于是体，p ) = j i m ( 石，吒) o ，因此，体，) 2o 从而菇e + ( b ) 下证贰e i n t d + 取i n t e ，五 0 ，d a ( 2 ，1 5 ) 有 ( 式，弛) 似，一i n t 砬) 令名寸o + 得( 贰，i n t 眈) 2 0 ，于是贰p ；，因为文献【i 】中已证到贰o r ，故 以p ：、( 、o ， 由引理2 5 可知，正e i n t d + 下面我们证明定理的另一部分结论成立 1 n 第2 章广义凸赋范线性空间集值优化的超有效性 i ：g l 为y o i n t d + 。n j 姻l , t o i n t d ，使得( 盛，a o ) = i 定义线性算子瓦：z y 为死( z ) = ( 2 ：，z ) 瓯，比z ，显然，r o t ( z ，y ) 由( 2 8 ) 得，v 2 0 re g ( x o ) n ( 一c r e ) ，r o ( z o ) = ( 磊，气) 巩= q ，t o ( g ( x o ) i l ( 一c 坦) ) = o 另一方面，v x o 仳，( t 瓦) ) = 似，f ( x ) ) + 似，哦) ( i ，g ( 功) = ( 以，f ( x ) ) + ( 磊，g ( x ) ) ( 2 1 7 ) 由于r o ( z o ) = 0 ，于是( 2 1 7 ) _ 幂1 1 ( 2 ；7 ) 可得 怫，f ( x ) + 磊 g ( r ) 】) ( y o ，y o + r o ( z o ) ) 由此f ( x o ) 及t o ( g ( x o ) q ( - e l e ) ) = 0 知 儿十t o ( z o ) f ( x o ) + t o ( g ( x o ) ) = l ( x o ，t o ) 于是，( x o ，儿+ 矗( 白) ) 是下列标量化问题 m i n 佛，f ( 功+ m g ( x ) 】) s t v x o 的最优解，由引理2 8 可知，( ，y 0 + r o ( z o ) ) 是( p ) 的超有效元 2 2 鞍点最优性条件 定义2 3 1 固定贰，( x o ，磊) q x e + 称为问题( 、，p ) 关于正的鞍点， 如果存在0 ，z o ) f ( x o ) x g ( x o ) ，使得 ( y o ，儿) + ( z ，z o ) - ( 盛，儿) + ( 磊，z o ) - o ，使得烈6 ) ，6 曰 定义3 1 2 9 1 设x 和y 是拓扑向量空间，k 是x 中一非空子集， f ：k 斗2 7 是集值映射，则f 称为在x o k 上是下c 一半连续的，如果对于0 ，的 任何开邻域v ，都存在瓦的开邻域u ，使得对任意的x u ，有 f ( x ) n ( x o ) + v + c ) 矿 定义3 。2 设c 2 y 非空，材c l e ，l j e 关于“的c o n t i n g e n t 切锥乃 ) 定义为 碘) = q q 。姑( 胁悯 其中s o 为，中的单位球，即j ，0 ) 当且仅当存在数列以 0 及点列。e ， 满足九寸佃，寸，而使y = l i r a 九 - 1 1 ) 1 4 第3 章用广义梯度刻画集值优化的强有效解 定义3 3 m 1 f ：x 一2 7 ，( x o ，y o ) g r a p h f ，则f ( x o ，y o ) 点的c o n t i n g e n t 上图切导数d f ( x o y o ) 定义为映到y 的映射，满足 e p i d f ( x o ，y o ? = 乙f o o ，y o ) ， 其中e p i f = ( tj ，) x y ：x x ，y f ( r ) + e ； 用l ( x ，y ) 表示到】，的连续线性映射的集合 定义3 4 设，：x 一2 ，( x o ，y o ) g r a p h f ，则集合 o f ( x o ，j ，。) = p l ( x ，) ：0 ，g e ( d f ( x o ，y o ) 一r ) ( x ) ，c 】 称为在强有效意义下f 在 。，儿) 的广义梯度，其中 ( d f ( x o ，y o ) 一丁) ( x ) = u ( d f ( x o ，y 。) 一丁) ( x ) 蚝j 3 1 强有效意义下集值映射的广义梯度 引理3 i t 2 ”b “有以下性质： ( 1 ) b “西 ( 2 ) 若占是c 的有界基，则b ”= i n t c 引理3 2 若锥q c ，及其对偶锥q c 厂，如果g + q 、 o ，。) ，g i n t q ， 贝u g + ( 口) 0 引理3 3 占是c 的有界基，设锥r c 7 x y 为凸锥，若存在线性泛函 ：x _ 足缈b “，使得v ( x , y ) r ，有烈x ) + y o ) 0 ，则存在线性映射 a ：x 寸y ，使得v 妒y + ，3 u ，v ( o ) ，满足 吐c o n e 。铵。( 人( x ) + y ) ) n ( u c o n e ( y + 曰) ) t 1 ( 3 1 ) l( r y x r 星! 里旦 墨塑壁型堕叁堕垡些堕堡壹塾坚 有界 证由于y b “，由引理3 1 知少i n t c 。，并且存在， 0 ，使得 妒( 6 ) f ， v b 任取石i n t c ，由y i n t c 知妒( 石) 0 令儿= 石矿( 于) ，则妒( 儿) = i 定义线性映射 f ：r 一 y ，( f ) = t y o ； a ：x y ，a ( x ) = 厂( ( z ) ) = ( r ) y o( 3 2 ) 下面证明( 3 1 ) 式成立，若不然，则存在9 i r + ，使得对任意的u ，v ( o ) ， 有 c o n e ( 。技。( 他) ) n ( u - c o n e ( 矿删) 无界取詹 o ，j 0 ，令 u 一= 旷= 秒j ，：j m 0 j 痧= 矿= y ：j 巩刑 ，+ 艿一f = 万 o ，于是存在，当嚣 ， 有 w ( u 。一以( v 。+ 西。) ) 0 ，当a 【0 ，卅时，有 缸出 勿三 因而存在夕f ( x o + a x ) n ( r ( x o ) + 矿+ c ) ，即存在歹孝旷，夕f ( ) ，手c ，使 得 歹= 夕+ 夕+ 石= 夕+ p + 砂+ 2 歹+ 石一( p + 砂+ 歹) ( 3 6 ) 综合( 3 4 ) 式有歹多+ p + 耖+ 巧+ 芒一c ，于是 ( + ；i x ，多+ p + 砂+ 2 y 十石) = ( x o ，夕+ p + 2 y + 石) + a ( x ，y ) e p i f ，a 【o ，万) 因此( x 0 ，夕+ p + 2 歹+ 石) i n t e p i f 1 7 第3 章用广义梯度刻画集值优化的强有效解 t i i f ( x ，y o ) g i n t e p i f 若不然，则存在d n ( 0 ，) ，有 ( z o ，j ，) e p i f ，歹e t ) + y 。 由p i n t c 和d 是吸收集知，存在口 0 ，使一a p d ，则y 。一a p f ( x o ) + c ， 因此存在f ( x o ) ，c c ，使得儿一a p = y + c ，即有 y o y = a p + c i n t c c c 1 0 ，于是j ，o 茌e ( f ( x o ) ，c ) ，因此儿萨g e ( f ( x o ) ，c m ， 与己知条件矛盾于是由凸集分离定理知存在( 矽，1 x y + ，缈，缈) ( o ，o r ) ， 使得 o ( x 一) + 妒( y + c y 。) 0 ，v x x ，y f ( x ) ，c c( 3 7 ) 缈0 r 若不然，则v x x ，有烈工一z o ) 0 因j c o i n t x ，这就导致矛盾在 ( 3 7 ) 中取x = x o , y ：y o 知p ) o ，c c ，因而妒c + 、 0 ) 下证v x x ，y f ( x ) ，c c ，y + c y o ，有 ( z x o ) + 妒+ c y 。) 0 ( 3 8 ) 若不然，由( 3 7 ) 知存在( 毫夕+ 6 ) e p 矿且夕+ 0 儿，使得 烈量一j r _ o ) + 杪 + 0 一y 。) = 0 ( 3 9 ) 对任意的旯( 0 , 1 ) ，令 x j = 詹+ ( 1 2 ) x o ；y = 矽+ ( 1 一五) j ，o 由f 在处是c - 严格凸的知 y = 砂+ ( 1 一, t ) y o f ( 2 k + ( 1 2 ) x o ) + i n t c 令 y z = r + ，r f ( 詹+ ( 1 一五) ) ，i n t