（基础数学专业论文）clean环的扩张与exchange环的推广.pdf

摘要 本文中，我们研究了c l e a n 环、s e m i c l e a n 环、m e t a r s i d e de x - c h a n g e 环和单边e x c h a n g e 环的一些重要性质及扩张我们还定 义了不含单位元的单边e x c h a n g e 环，并且给出了几条等价刻画 a b s t r a c t t h e p a p e r d e a l sw i t hs o m e i m p o r t a n tp r o p e r t i e so fc l e a nr i n g s ， s e m i c l e a nr i n g s ，m e t a r s i d e de x c h a n g e r i n g sa n d o n e - s i d e de x c h a n g e r i n g s ，a n de x t e n s i o n so ft h e ma r ei n v e s t i g a t e d ：w ed e f i n e do n e - s i d e de x c h a n g er i n gw i t h o u ti d e n t i t ya n ds e v e r a le q u i v a l e n tc h a r - a c t e r i z a t i o n so fi ta r ea l s og i v e n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 签名：奄葡琴 日期：加。j 年6 月日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：亨f 莉琴导师签名：乏吖彩日期：舯钿日 仁习 环与模作为基本的代数结构，在代数学研究中起着举足轻重的作用，故雨得到了 广泛的重视与研究，也出现了一系列系统的研究方法和有特色的研究方向c l e a n 环 和e x c h a n g e 环是两类重要的环类近年来许多作者对其进行了广泛的研究，取得了较为系 统的研究成果参见( 【4 ，7 ，8 ，1 3 ，1 5 ，1 7 ，2 2 ，2 3 1 ) 称r 是c l e a n 环，如果r 的每个元素都可以表达成r 中的一个幂等元和一个单位的和 文献【4 】中提出了这样的问题：除环上的可数( 行和列有限) 的矩阵环是否是c l e a n 环? 这 个问题至今尚未解决本文证明了c l e a n 环上的可数( 有限或列有限) 的上三角矩阵环 和c l e a n 环上的可数( 有限或行有限) 的下三角矩阵环都是c l e a n 环而除环是局部环，局部 环是c l e a n 环，所以除环上的可数( 有限或列有限) 的上三角矩阵环和除环上的可数( 有限或 行有限) 的下三角矩阵环都是c l e a n 环这就部分地回答了上面的问题文献【4 】中还提出 了这样的问题：c l e a n 环是否是m o r i t a 不变量? 这个问题至今仍未解决，本文在一定条件 下回答了该问题证明了对非零幂等元都是本原幂等元的v o nn e u m a n n 正则环来说，作 为c l e a n 环是m o r i t a 不变量文献【3 ，定理5 3 j 证明了，当r 是环，( s ，) 是严格序幺半群且对 任意8 s ，都有。曼s 成立时，r 是d e 锄环当且仅当r 上的广义幂级数环i i 斧5 】是e l e a n 薯l ； 本文考虑了c l e a n 环的另外一些扩张，证明了以下等价：( 1 ) 月是d e a n 环；( 2 ) r 上的形 式幂级数环r 【旧 是c l e a n 环；( 3 ) r 上的斜幂级数环r b ；0 i 】是c l e a n 环2 0 0 3 年文献【6 】的作 者推广了c l e a n 环，提出了s e m i e l e a n 环的概念，并：拳j s e m i c l e a u 环进行了研究本文研究 t s e m i c l e a n 环的扩张，如m o r i t a 系统环( a ，b ，m ，n ，妒，) 的s e m i e l e a n 性质而且证明了， 当r 是环，) 是严格序幺半群且对任意s s ，都有o s 时，r 是s e m i c l e a n 环当且仅 当见e 的广义幂级数环【舻5 】l 是8 e h d d e a 环 称r 是e x c h a n g e 环，如果对每个右r 一模a 及其任意两个分解a 凡= m r o n n = o 迮i a ， 都存在子模正a ，使得a r = m r o ( o 湖以) ，其中m r 型r 且，( o o e x c h a n g e 环包 含了许多重要的环类，对它的研究渊源流长，而且取锝的成果颇为事厚1 9 6 4 年，c r a w - l e y , p ，j o n s s o n ，b 研究了模的e x c h a n g e 性质1 9 7 2 年，r b w a r f i e l d 给出t e x c h a n g e 环的 定义；研究t e x c h a n g e 环肚的投射左j r 一模的结构；证明了e x c h a n g e j 不r 的反环牙p 仍 是e x c h a n g e 环；而且给出了一类e x c h a n g e 环1 9 8 6 年，j o s e fs t o c k 研究了其上的模具 =y月 前言 有e x c h a l l g e 性质的环1 9 9 5 - 年，文献 1 5 1 的作者研究 r e x c h a n g e 环的稳定秩1 1 9 9 7 年， 文献f 1 5 】的作者研究t e x c h a n g e 环的结构1 9 9 7 年，文献【2 2 】的作者对不含单位元 的e x c h a n g e 环进行了多角度的研究1 9 9 8 年，文献1 2 0 1 的作者对含单位元的e x c h a n g e 环 作了推广，提出 m e t a s i d e de x c h a n g e 环和单边e x c h a n g e 环的概念，但对其研究并不多 在此基础上，本文对这两种环做了进一步的研究，得出了以下结论：1 如果r 是本 原商环a r t i n 的m e t a - s i d e de x c h a n g e 环，则r 有稳定秩l ：2 设r 是本原商环a r t i n 的m e t a s i d e de x c h a n g e 环如果r 是同态半本原的，则r 是v o nn e u m a n n 正则环特别地，r j 黾单 位正则环2 0 0 3 年：文献f 1 6 ，命题2 2 】中证明了以下等价：( 1 ) r 是e x c h a n g e 五 ：；( 2 ) r f 的 可数( 有限或列有限) 的上三角矩阵环是e x c h a n g e 环；( 3 ) r ：的可数( 有限或行有限) 的 下三角矩阵环是e x c h a n g e 环本文证明了，对单边e x c h a n g e 五l ；，也有类似的结果我们 还研究了单边e x c h a n g e 环的扩张性质，如形式三角矩阵环的单边e ) ( c h a n g e 性质我 们在一定条件下证明了，r 是单边e x c h a n g e 环当且仅当r 上的广义幂级数环且s ，! 】是 单边e x c h a n g e 环并且证明了以下等价：( 1 ) r 是单边麟e h a n g e 环；( 2 ) r 上的形式幂级数 环r 【1 是单边e x c l a n g e 环；( 3 ) r l 的斜幂级数环r 【k ；叫 是单边e x c l l a i l g e 环最后我们定 义了不含单位元的单边e x c h a n g e 环，并且给出了几条等价刻画 对c l e a n 环和e x c l l a g e 环的研究相当广泛，本文所做的工作是粗浅的我们将在今后 的工作中继续努力 2 1 c l e a n 环的扩张与推广 c 1 e a l l 环是一类非常重要的环许多作者研究t d e a n 环以及c l e a n 环的特殊子类，如 强c l e a n 环、唯- - c l e a n 环，并且研究t c l e a n 环的多种扩张，如c l e a n 环上的矩阵环、形式幂 级数环、广义幂级数环等文1 6 】的作者对d e a n 环作了推广，提1 1 4 t s e m i c l e a n 环的概念，并 且对其进行了多方面的研究本章主要研究c l e a n 环和s e m i c l e a n 环的扩张性质 文中除特别声明之外，总假定r 是有单位元的环j ( 兄) ，矿( r ) 和i d ( r ) 分别表示 环r 的j a c o b o s o n ) 幔，r 的单位群和用拘幂等元构成的集合 1 1c l e a n 环的扩张 称环置的元素r ：是c l e a n 元i 4 】，如果r = e + t ，其中e i d ( r ) ， i t u ( r ) 称r 是d e a n 环， 如果蚓拘每个元素都是c l e a n 元显然单位和幂等元都是c l e a n 元如局部环、半完全环、 单位正则环都是c l e a n 环见4 ，1 3 命题1 1 设r 是环，e s d ( r ) ，口e r e ，如果a 在e r e 中是c l e a n 元，则a 在r 中也 是c l e a n 元 证明 设n = ，+ u ，s z d ( e r ) ，u u ( e r e ) ，则存在1 l u ( e r e ) ，使得口 = e = 忉口令u = 一( 1 一e ) o r ( r ) ，则u u ( r ) ，且t 一1 = t o 一( 1 一e ) ，这样a = “+ ，+ ( 1 一e ) 因为，和1 一e 正交，所以，+ ( i e ) 是幂等元故口在兄中是c l e a n 元 称而黾唯一d e a n 环【3 l ，如果兄中的每个元素都可表达成刷i 臼个幂等元和一个单位的 和，且表达形式是唯一的 命题1 2 设局基环，且1 + l = 2 u ( 冗) ，则r 是唯一c k i n 环当且仅当r 的每个元素都 可唯一地表达成一个单位和1 的平方根的和 证明 ( 必要性) 设r 是唯- - c l e a n 环任意z r ，有0 + 1 ) 2 ；e + t ，其中e 2 = e r ，t t r ( r ) ，且表达形式唯一则= ( 2 e 1 ) + 2 ，其0 0 ( 2 e 一1 ) 2 ；1 ，2 u 矿( r ) 设茁还 可表达为。；t + ，喜e 中2 = 1 ，u ( _ r ) ，则0 + 1 ) 2 = o + l + ”) 2 = 0 + 1 ) 2 + 2 而( ( + 1 ) 2 ) 2 = ( t - i - 1 ) 2 ，v 2 t r ( a ) ，由扛+ 1 ) 2 的表达形式唯一知，( f + 1 ) 1 2 = e ， v 2 = u ，则= 2 e 一1 ， = 2 u 因此z 可唯一地表达成一个单位和1 的平方根的和 3 1c l e a n 环的扩张与推广 ( 充分性) 任意r ，有2 。一1 = t + u ，其中铲= l ，u t r ( r ) ，且表达形式唯一 则：( + 1 ) 2 + ! 2 ，其中( + 1 ) 2 ) 2 ；0 + 1 ) 2 ，让2 u ( r ) 设斑可表达为z = e + v ， 其中e 2 = e ，u 【，( 兄) ，而2 。一1 = 2 e 一1 + 2 v ，( 2 e 一1 ) 2 = 1 ，2 v v ( 兄) 由2 一l 的表达 形式唯一知，2 e 一1 = t ，2 v = u ，则e = 0 + 1 ) 2 ， = u 2 因此茁可唯一地表达成一个幂 等元和一个单位的和即是黾唯一c k a n 环 引理1 1 【3 】c l e a n 环的同态像是c l e a n 的 从c l e a n 环的定义及环同态的特点易知 引理1 2 直积州r 是c l e a n 环当且仅当每个尼是c l e a n 环 设，是环r 的理想，g + ，是r i 的幂等元称g + f 是可被提升的，如果存在e i d ( r ) ， 使得g + i = e + ，称环r 是幂等元模，可提升的，如果r ，中的每个幂等元都可被提升 到r 的幂等元该定义见【l ，p 3 0 1 引理1 31 1 3 r 是c l e a n 环当且仅当r j ( r ) 是c l e a n s e r 是幂等元模，( r ) 可提升的 文献【4 】中提出了问题：除环上的可数( 行和列有限) 的矩阵环是否是c l e a n 环? 我们用 下面定理可以部分地回答这个问题 定理1 1 以下论断等价： ( 1 ) r 是c l e a n 环； ( 2 ) r 上的可数( 有限或列有限) 的上三角矩阵环是c l e a n 环； ( 3 ) r 上的可数( 有限或行有限) 的下三角矩阵环是c l e a n 环 证明用s 表示肚的上三角矩阵环，这里只证可数无限上三角矩阵环的情形，另一 种情形可类似地证明 ( 1 ) = 辛( 2 ) 设r 是c l e a n s e ；首先证s t ，( s ) 是r j ( 兄) 的可数直积因为 s = rr r 0r r 0o r j ( s ) = 4 j ( r 1 r r 0 j ( r 1 r 0 0 j ( r ) 1c l e a n 环的扩张与推广 令o ：s ( n j ( r ) ) ，其中a 是可数的指标集 口( ( ) ) = 阿，面，丽，) 型 显然。是满映射又因为口( ( ) + ( ) ) = 口( 叼) + a ( ) a ( ( 叼) ( ) ) = 口 a l l b l l 0 a 2 2 k 2 = ( a l l b l l ，a 2 2 b 2 2 ，磊，) 即n ( ( o 巧) ( ) ) = a ( n 甜) a ( 幻) ，所以。是满的环同态显然k e r= t ，( s ) 由环同态 基本定理知，彤j ( s ) 掣( r j ( r ) ) 4 所以彤j ( s ) 是驯j ( 固的可数直积由引理1 3 知， r g ( n ) 是c l e a i l 环且是睦幂等元模j ( r ) p - i 提升的又由引理1 2 知，酬j ( s ) 是c l e a n 环 对( ) s ，设( 叼) 一( 叼) 2 j ，贝0 有叫i 一2 j c 聊，v d = l ，2 ，而r j ( 硒的幂等 元可被提升到刷掏幂等元，因此存在幂等元e “r ，使得c e , ) 一( a 4 i ) ，( r ) ，；1 ，2 ， 令： 8 甜。2 ，则( 叼) 2 ：i u ( r ) ，且使得( ) 一( ) j ( s ) ，所以s t ，( s ) 的 l 0 j 幂等元可被提升到s 的幂等元再由引理1 3 知，s 是c l e a n 环 ( 2 ) = 等( 1 ) 设s 是d e a n s 则酬j ( s ) 是c l e a n 环而s j ( s ) 是r j ( r ) 的可数直积， 由引理1 3 知，彤j ( 印是d e a n 环且s 是幂等元模j ( s ) 可提升的又由引理1 2 知， 兄l ，( 固是d e a n 环设z 一铲j ( 脚，。r 令= “一7 ，则( ) 一( ) 2 j ( s ) o0 t j 而7 ( s ) 的幂等元可被提升至0 s 的幂等元，因此存在幂等元( 南) s ，使得( 南) 一( ) t ，( 印，易验证矗是r 中的幂等元，且使得厶一$ j ( 固，= l ，2 ，所以吲，( r ) 的幂等 元可被提升到r 的幂等元再由引理1 3 知，剐黾c l e a n j $ 虽然我们不知道除环上的可数( 行和列有限) 的矩阵环是否是c k 8 i l 环，但知道除环上 的可数( 有限或列有限) 的上三角矩阵环和除环上的可数( 有限成行有限) 的下三角矩阵环 都是c l e a n 环 5 1c l e a n 环的扩张与推广 文献 4 】中提出了问题：作为d e a n 环是否是m o r i t a 不变量? 文献【4 】中的推论1 说明 t c l e a n 环r 上的nxn 阶全矩阵环 靠( r ) 是c l e a n 环要说明c l e a n 环是m o r i t a 不变量，还需 说明对r 中的幂等元e ，有e r e 是d e a i l 环故而文献【4 】中又提出了问题：如果兄是c l e a n 环， e 2 = e r 且满足r e r = 且，i q u e r e 是否是c l e a n 环? 这个问题至今仍未解决，本文在一定 的条件下回答了上面的问题 称聩v o nn e u m a n n j 正则环【5 】，如果对任意。r ，存在y r ，使得z = x y x 引理1 4 1 l , p 7 4 1 设r 是环，则非零幂等元e 是r 的本原幂等元当且仅当0 和e 是环e r e 仅 有的幂等元 命题1 3 如果剐黾v b nn e u m a n n 正则环，e 是r 的本原幂等元，则e r e 是c l e a n 环 证明如果e 是尺的本原幂等元，, l j e r e 是有单位元e 的环设0 e z e e r e ，f l n r 是v o nn e u m a n n 环知，存在y r ，使得e x e = ( e z e ) ( e z e ) 则 有( e 。e ) ( e g e ) ( e z e ) ( e e ) = ( e x e y e x e ) ( e y e ) = ( e z e ) ( e g e ) ，即( e z e ) ( e v e ) = e x e y e 是幂等元 由引理l 4 ，( e x e ) ( e y e ) = o 或( e x e ) ( e y e ) = e 若( e x e ) ( e y e ) = 0 ，则e 嚣e = ( e x e ) y ( e x e ) = 0 ， 这与假i 殳e x e 0 矛盾所e a ( e x e ) ( e y e ) = e ，这样e x e 在e m 中有右逆元对称地可 证e x e 在e r e 中也有左逆元，因此e r e 是除环而除环是局部环，局部环又是c l e a n 环， 故e r e 是d e a n 环一 因此，对非零幂等元都是本原幂等元的v o nn e u m a n n 正则环来说，作为c l e a n 环 是m o f i t a 不变量 例1 1 【4 】设r 是任意交换环，r 上的多项式环r m 不是d e 吼环 而环r ( 妒+ 1 ) 的性质比较好，我们有下面结论： 命题1 4 设剐邑e l e a n 环，则对任意n 1 ，都有r 旧( 霉“+ 1 ) 是c l e a n 环 证明 设r 是c l e 蛆环令= 互r ( 矿+ 1 ) ，贝u r x l ( x “+ 1 ) = r m = r + 肌+ + r u ”，其中帅r 的元素相乘可交换，且铲+ 1 = 0 而i ，( r m ) = ，( 固+ ( t ) ，其中( u ) 是冠m 的 由t 生成的理想令n ：r m ，r j ( n ) ，o ( 笛啦) = a e + i ，( r ) 易验证n 是满的环 同态，显然k e r = j ( r m ) 由环同态基本定理知，r m j ( r m ) 竺r j ( 功由引 理1 3 知，r j ( 固是d e 蛆环，从而r m i j ( n m ) 是c 1 n 环设，十j ( r 【司) n l u j c n u 1 ) ， 则存在a o r ，使得 ，+ j ( r 【叫) = ( a o + n l 让+ + a n 矿) + j ( n b ) = a o + j ( n m ) 6 1c l e a n 环的扩张与推广 如果( ，+ l ，( r m ) ) 2 = ，+ l ，m ) ，则( n o + j ( r h ) ) 2 = 磅+ t ，( r m ) = a o - - j ( r u ) ，医此 0 0 一磅j ( 固又由引理1 3 知，r j ( r ) 的幂等元可被提升到r 的幂等元，所 以存在e i d ( 硒，使得知+ j ( r ) = e + l ，( r ) ，则，+ j ( r m ) = a o + ，( r m ) = e + j h ) 即埘叫t ，( r m ) 的幂等元可被提升到州叫的幂等元再由引理1 3 知， r u l ；兄矧( 。n + 1 ) 是c l e 8 i l 环 一 设兄是环，a ：r _ + r 是环r 上的自同态n i l e ；卅】表示斜幂级数环，其上元素的形式 和加法运算与形式幂级数环r 【上的一致，乘法运算定义为：任意r r ，r 一= a ( r ) 该定义见文献【2 】 引理1 5 【4 】r 上的形式幂级数环r 【】是c l e a n 环当且仅当r 是c l e a n 环 引理1 6p m 4 1 】设冗是环，o t 是环r 上的自同态，如果f = 0 0 + n l z + a 2 x 2 + 兄【p ；叫1 ，则，u ( r 【扛；n 1 1 ) 当且仅当o o u ( r ) 定理1 2 设q 是环见t 的自同态，则以下论断等价： f i ) n 是d e 8 n 环； ( 2 ) r 上的形式幂级数环r l 旧】是d e 啦环； ( 3 ) r 上的斜幂级数环r 【k 吐1 1 是c l e a n 环 证明 由引理1 5 知，( 1 ) = 丰( 2 ) ， ( 1 ) = = ( 3 ) 任意f = n + b x + 凹2 + 兄噼；叫】，因为兄是c l e n 环，所以存在e i d ( r ) ，1 1 , u ( r ) ，使得口= e + n ，则，= e + ( n + b x + c 善2 + ) 由引理1 _ 6 知，n + b x + c 庐十u ( r 盼；胡1 ) ，而e 也是r 【k 硼的幂等元，故斜幂级数环r 【陆；硼是c l 朗口环 ( 3 ) ( 1 ) r 是斜幂级数环r 【k ；0 i 】的同态像，由引理1 1 知，冗是c l e 曲环 一 设，b ，m ，n ，妒，表示m o r i t a ) j ；统环，其中a ，8 是环，b “， 日是双模， 妒：n o m _ a ，西：m o n _ 日 是双模同态，且满足： 妒0 0 伽) t ，= 廿庐( 叫o , 0 t ) ，庐( 甜 ”) 伽= 叫妒扣o t t j ) 7 一。：兰竺篓查些型篁塑兰：。一 矬条件雠了? a ( 三：净于一阵的加法和如下定义的耥 ( 二：) ( 二：) = ( “搿咖a n 删 + n 删u ) 在胁t a 系统驰中，取= o ，则褥到形式三角矩阵环( 三三) 文删的命麟。证明了，形式三角矩阵环( 三三) 舭姐环当且仅当脚踯 是c l e a n 环下面我们考虑m o r i t a 系统环，b ，m ，n ，妒，庐) 的c l e a n 性质 引理1 71 4 如果r 是环，e 是r 的幂等元，且使得e m 和( 1 一e ) r ( 1 一e ) 都是d e a n 环， 定理1 3 如果a 和崩鄯是e l e a n 环，则哩c l e a n 环 证明c 证法一，令e = ( ：, l - e = ( ：) ，则 e ，1 一e l d ( t ) ，e t e 笺a ，( 1 一e ) t ( 1 一e ) g b 由引理1 7 知，如果a 和b 都是c l e a n 环，则r 是c l e a n 环 ( 证法= ) 设任意( 三：) t ，因为a 和b 都是d e a n 环，所以存在e 站 ) 漕 己，) ，使得8 = e + 钍，本在，；l d ( b ) ，t ，徊) ，使褥6 一庐( m t 一1 固n ) ：f + v 这样 ( 二：) = ( i ；) + ( 1 ：。+ 币一。，) 则( ；) 2 = ( o e o f ) ，即( ；) 舸中的幂等元靴( 三可+ ：飞礼，) 鼢中 妒( n 一1o 舢一1 ) 十妒( no ( 一口一1 m t l 一1 ) ) = 0 m 让一1 妒如口一1em 缸一1 ) = ( m t 一1on ) 一1 砌1 多 m 函( - - a - 1 舢1 ) ) 十( m 钍- 1o 动t r l l = o l ! g 坦竺至塑芏茎皇楚 所以 即( 二州。二州) 舯黼妇环 因为 推论1 _ 1 如果双模同态庐= 0 ，妒= 0 ，则a 和b 都是c l e a n 环当且仅当t 是c l e a i l 环 证明 ( 必要性) 定理1 ，3 中已证 ( 充分性) 设t 是c l e a n 环令 q ：t _ a 口：t _ b ) = + n = n ( 二：) + a ( 二) ， o 口7 口竹+ n 矿、 h + 耐6 6 ，j ? 口 一。i m礼b )口( ： n ：) 一 所以n 是环同态显然a 是满的同样可验证卢是满的环同态因此a 和b 都是t 的同态像， 由引理1 1 知，a 和b 都是c l e a n 环 一 推论1 21 1 2 , 6 3 形式三角矩阵环 是c l e a n 环当且仅当 和目邯是c l e a n 环 、 0 1 o 1 1 o 1 o ，一， | | j 、 一 犯 4 憎 一 卅 叫 n 一眦 0 烈 旷 + m ，、一0、m m o o q 。枷舻 u m u ，f、，ji、 0 6 j | = 、 n 6 仲6 o m o m ，一，一 d p 、 + + n 6 + + 口 m ，一 o = m ， + 、 n 6 o m ，f-、 。l 口 1j 、l ，nm ，li、i， n 6 n m ，一-。l 口 、， 9 o 8 a m ，ii、 1c l e a n 环的扩张与推广 1 2s e m i c l e a n 环的扩张 本节将主要讨论c l e a n 环的推广：s e m i c l e a n 环 称环矧拘元素r ：t 毛s e m i c l e a a 元1 6 】，如果r = a + u ，其中。是刷狗周期元( 即o = a n ，m ，n z + ，且m n ) ，札矿( r ) 称剐黾s e m i c l e a n 环，如果r 的每个元素都是s e m i c l e a n 元显 然c l e a n 环是s e m i c l e a n e ；l = 文【6 】中作者还证明了群环历g 是鲫n i c l e a n 环但不是c l e a n 环可 见，s e m i c l e a n 环是c l e a n 环的真推广 命题1 5 设冗是环，e 是r 的幂等元，a e r e ，如果口是e r e 中的s e m i c l e a n ：元，则a 是r 中 的s e m i c l e a n 元 证明 由是e r e 中的s e m i c l e a i l 元，可设。一b + ，其中6 是e 月e 中的周期元f 即护= 扩，m ，n z + ，且m n ) ，口c ，( e r e ) 则存在枷e r e ，使得 叫= e = w o 令u = 一( 1 一e ) ，则【，( r ) ，且t 一1 = 1 t ) 一( 1 一e ) ，这样o = 乱+ b + ( 1 一e ) 因为b 与l e 正 交，所以 ( b + ( 1 一e ) ) ”= 6 m + ( 1 e ) ”= 6 r n + 1 一e ( b + ( 1 一e ) r = 扩+ ( 1 e ) “= 6 “+ 1 一e 而6 7 n = 扩，故6 + ( 1 一e ) 是r 中的周期元所以n 是r 中的8 e m i c l e a i l 元_ ，史题1 - 6 设岛黾环，若口是r 中的s e m i c l e a n ：元；，则对任意6 r ，有且= ( ：) 是( 固中的s e m i c l e a n 元其中( r ) 表示r 上的2 2 阶全矩阵环 证明 由口是兄中的s 唧i c i e 蛆元，, - j - 设口= c + “，其中c 是r 中的周期元( 即扩： 护，m ，n z + ，且m n ， 矿c r ，则a = ( ：) + ( ：二) ，( ；：) ”= ( ；：) “，c m ，n z + ，且m n ，所以( ；：) 是c 固中的周期元，而( ：二) ； ( 1 ：小n ( ：二) 删蝴靴枞岬m s 眦一 引理1 8 【6 1 环r 中的每个周期元都是e l e a n 元 1 0 51c l e a n 环的扩张与推广 巩( r ) = r 兄卜= u l + u 2 + ，u ( 固，i = 1 ，2 ，n ) 表示矗中的可以表达 成不超过n 个单位的和的元素的集合 命题1 7 设忌黾8 e l i c l e a n 环：若1 + 1 = 2 u ( 硒，则尉 q 每个元素可以表达成两个单 位和1 的平方根的和特别地，r = 魄( r ) 证明 设任意嚣r ，2 u ( r ) ，0 + 1 ) 2 r 由r 是s e m i c l e a n 环，有协+ t ) 2 = a + u ，其中n 是_ r 中的周期元，矿( r ) 由引理1 8 知，o = e + v ，其中e i d ( r ) ， ，( r ) ， 则嚣= ( 2 e 一1 ) + 2 u + 2 v ，葡i ( 2 e 一1 ) 2 = l ，2 u u ( r ) ，2 v ( ，( r ) - 设，是环刷拘理想，称尼黾周期元模，可提升的【6 】，如果对任意口r ，a k a j ( ，z z + ，b k f ) ，存在b 兄，使得b = b t r ，r a b j 命题1 8 如果r j ( r ) 是s e r n i c l e 8 n 环，且r 是周期元模j ( r ) 可提升的 则r 是s e m i c l e a n 环 证明 设任意。r ，由n j ( 脚是s e m i c l e a n i t 吓知，牙= a + 面r t ，( r ) ，其中面 u ( r j ( r ) ) ，a 是r j ( r ) 的周期元( e p a 。= 驴，k ，z z + ，r k f ) 因为面u ( r j ( r ) ) ， 所以存在 r ，使得面口= j 则存在l ，t 2 j ( 功，使得u = 1 + 1 ，讹= l + 2 令w l = 1 + t l ，挑= 1 + 2 ，则 1 ，i u 2 u ( r ) ，k u v w ；1 = t 町1 咖= l ，这样u u ( r ) 而驴一一j ( r ) ，由假设知，r 是周期元模j ( r ) 可提升的，所以存在b r ，使得泸： 6 f r ，且口一b j ( 固令n = b + 。，z i ，( 固，则存在y j ( 固，使得$ = 口+ t + y = 6 + 0 + t + 掣) 而j ( r ) = r rlr + ”是单位， 【，( r ) ) ，( r + 1 l ，) 一1 = ( 1 + 一l r ) 一1 w 1 则( = 4 - g - 4 - u ) - 1 = ( 1 - 4 - u 。0 - 4 - g ) ) _ 1 u ，而b 是r 的周期元，故r 是s e m i c l e a n 环 引理1 9 【6 js e m i c l e a n 环的同态像是s e m i c l e a n 的 命题1 9 设f 是有限集，则直积n i e j r i 是鲫试c l e a n 环当且仅当每个r i 是b e i i c l e 髓环 证明 ( 必要性) 因为皿是皿。，r 的同态像，所以由引理1 9 知，皿是8 e m i c l e 锄环 ( 充分性) 令r = 巩，r ，任意r = ( n ) 蚶r ，由风是8 e m i d e a n 环知，对r 皿，存 在砬中的周期元啦( 即d ，= 皆，挑，啦z + ，且耽 啦) ，地u ( r ) ，使得n ：毗+ i ， 则r = 机) 触= h ) 埘+ ( 啦) 州，显然( “i ) 州u ( 兄) 下证( 口i ) 涮是兄中的周期元由j 有 1c l e a n 环的扩张与推广 限，有r = ( r 1 ，n ，r 。) = ( o l ，啦，) + 托l ， u 2 ，) 对( n 1 ，0 2 ) ，因为n 1 是周期 元，所以 a 1 ”2a i ，( m 1 ，礼l z + ，m l n 1 ) 又因为眈是周期元，所以 a 2 m 2 = a l ”，( m 2 ，n 2 z + ，m 2 他) 不妨设m 1 m 2 ，则 n l m l = a l “1 = a l n s - - m ：+ m 1 = a 1 2 ( n l i t i i ) + m l = = a l s ( m - m 1 ) + m 1 ，( s z + ) a 2 m j = n 2 “2 = a 2 n 2 - - ”心+ m 2 = 口2 2 ( ”2 一m 2 ) + m = = n 2 ( 啦一”k ) + t r 2 ，( t z + ) 这样 口1 t n 2 = a l m l + ( m 2 一m ) = a l s ( n l - m 1 ) + m 1 0 1 m 2 一m l = a l s ( n 1 - 仃s 1 ) + m ，( 8 z + ) 取 m = m 2 ，扎= ( 札1 一m 1 ) ( 啦一m 2 ) + m 2 ，( m ，n z + ，m n ) 则d l m = o l ”，o ，= a 2 ”，( m ，n z 十，m 礼) ，因此( a 1 ，砚) m = ( a l ，n 2 ) ”对( d 1 ，啦，a 3 ) 用 同样的方法可以找到k ，z z + ，k z ，使得( 1 ，a 2 ，a 3 ) z ( a 1 ，口2 ，a s ) 继续上 面的过程最后可以找到p ，g z + ，p q ，使得( n l ，a 2 ，) p = ( a l ，n 2 ，) 2 ， 日p ( a l ，1 1 2 ，) 是r e 的周期元故有限直积叫r 是s e m i c l e a n t ； _ 例1 2 【6 1 设咒是交换环，r 上的多项式环r 嘲不是s e m i c l e a n 环 与命题1 4 类似，我们有下面结论： 命题1 1 0r 是s e m i c l e a n 环，且r 是周期元模，( r ) 可提升的，则对任意n 1 ，都 有r 纠( 。叶1 ) 是s e m i c l e a n 环 证明 设r 是8 e n l i c k a n 环令u = 孟r l z i l ( x “+ 1 ) ，则r ( 。”+ 1 ) = 兄m = r - i - j h + + r u ，其中卿r 的元素相乘可交换，且让1 = o i l i i a ( r t 1 ) = j ( r ) + ( t ) ，其 中钍) 是r 【钍】的由仳生成的理想令d ：r m ，r i j ( r ) ，口( 羔。啦) = a o + ，( 固易验 证a 是满的环同态，l 拣k e r a = j r l u ) ，由环同态基本定理知，r m ( r m ) 岂a j ( 固， i t l 弓l t l l 9 知，r a c r ) 是s e m i d e a n 环，从而冗m j ( r m ) 是黝i c l e a i l 环t i e r u 是周期元 模j ( r m ) 可提升的设，+ ，( r 【u 】) r u j ( r m ) ，则存在a o r ，使得 ，+ j ( r m ) = ( a o - t - n 1 缸+ - 4 - n n t ，) + j ( r i 嘲) = 0 4 + j ( r m ) 1 l ! g 墼至生芏整鱼整 如果( ，+ j ( 兄阻】) ) = ( ，+ j ( r 【u 】) ) ，? z + ，且f ) ，则n 3 + j ( r m ) = 吐+ j c r u ) ， 所以口言一畦t ，( r ) 由题设知，飓黾周期元模j ( r ) 口- t 提升的，所以存在r 中的周期元c ，使 得沙= c f ，且o o + j ( r ) = c + i ，( r ) ，因此，+ l ，( 埘“1 ) = a o + j ( r m ) = c + j ( r m ) 由命 题1 8 知，r m = 兄矧( x - + 1 ) 是s e m i c l e a n 环 一 引理1 1 0 1 6 1 r 上的形式幂级数环r 【】是s e m i c l e 阻环当且仅当剐黾l i c l e a n 环 定理1 4 设q 是环冗上的自同态，则以下论断等价 ( 1 ) r 是s e m i c l e a n 环； ( 2 ) r 上的形式幂级数环r i m 是s e m i c l e a n 环； ( 3 ) 冗上的斜幂级数环r 【k 叫】是s e i n i d e 8 环 证明 由引理1 1 0 知，( 1 ) = = ( 2 ) ( 1 ) = 专( 3 ) 任意f = n + b x + 2 + r 盼；a 】，因为尼黾s 锄i c l e a 环，所以 存在r 中的周期元p ，t u ( r ) 使得口= p + 饥则，= p + ( t + b x + c 一+ ) 由 引理1 6 知，u + b x + c 矿+ u 【陋；凸1 ) ，而p 也是r b ；a 】的周期元，故斜幂级数 环兄【k0 i 】是s e m i c l e 趿环 ( 3 ) = 辛( 1 ) r 是斜幂级数环r 【k ；卅】的同态像，由引理1 9 知，冗是唧n i d e a n 环 引理1 1 1 【6 】如果尼黾环，e i d ( r ) ，且使得e m 和( 1 一e ) r ( 1 一e ) 都是8 e r i l i d e 蛐环 则r 是s e m i c l e a n 环 定理1 5 如果朋订b 都是8 髓l i d e 蛐环，则t 是s e m i c l e a n 环 证明c 证法一，令e = ( ：0 ) , l - e = ( ：；) ，则 e ，1 一e j d ( d ，e t e 是a ，( 1 一e ) 丁( 1 一e ) 型b 由引理1 1 l 知，如果a 和倒郇是8 删c l e a n 环，则t 是s e n l i c l e a n 环 ( 证法二) 设任意f 。nl t ，因为a 和b 都是8 e m i c l 锄环，所以存在a 中的周期 mb 。 一 元d l ，t ，( a ) ，使得n = n 1 + 仳，存在b 中的周期元6 l ，t 【，( b ) ，使得 b 一庐( 仇 一1 n ) = b l + 1 3 l ! g 堡婴堑塑芏整量楚 因为n 。是