（基础数学专业论文）toeplitz算子值域.pdf

t o e p l i t z 算子值域 专业基础数学 研究生张正亮指导教师严从荃教授 摘要：本文第一部分应用j b o u r g a i n 分解定理对t o e p l i t z 算子的符号的考察， 得到了一些t o e p l i t z 算子满射的充分必要条件。对于单个的t o e p l i t z 算子，考 虑其符号的内外分解，得到了它的满射只与其幺模部分有关的结论，详细她讨 论了符号为幺摸函数的t o e p l i t z 算子的各种情况，在讨论符号在h 。的特殊情 形时，推广m i c h a e ls a n d 2 】中的定理2 到 r ) + c ( t ) ，第二部分简单地讨论了符 号在h c ( t ) 以及r 中的两个t o e p l i t z 算子的乘积的满射情况，先对t o e p l i t z 算子的符号进行分析得到两个结论，最后考察了t o e p l i t z 算子的乘积的值域包 含后移算子的所有非循环向量的满射情况，部分地回答了m i c h a e ls a n d 在f 2 】 中提出的t o e p l i t z 代数满射问题。 关键词：t o e p l i t z 算子满射值域非循环向量 r a n g e o f t o e p l i t zo p e r a t o r m a j o r ：b a s i c m a t h e m a t i c s s t u d e n t ：z h a n gz h e n g l i a n g d i r e c t o r ：y a nc o n g q u a n a b s t r a c ti nt h ef i r s tp a r to f t h i sp a p e r , w eg o ts o m es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sa b o u t s u r j e c t i v et o e p l i t zo p e r a t o r s ，t h r o u g hi n v e s t i g a t i n gs y m b o lo ft o e p l i t zo p e r a t o rv i aj b o u r g a i n f r a c t o r i z a t i o nt h e o r e m f o ras i n g l et o e p l i t zo p e r a t o r , i tw a so b t a i n e dt h a tw h e t h e rt o e p l i t z o p e r a t o r w a ss u r j e c t i v e m e r e l y h a ds o m e t h i n gw i t hi t su n i m o d u l a rs y m b 0 1 w ed e t a i l e d t o e p l i t zo p e r a t o rw i t hu n o m o d u l a rs y m b o l ，a n dg e n e r a t e d t h et h e o r e m p r o v e db ym i c h a e ls a n d i n 【2 】2 f r o mh 。t oh 。+ c ( t ) i nt h es e c o n dp a r to f t h i sp a p e r , t h ea u t h o rd i s c u s s e ds i m p l yw h e n m u l t i p l i c t i o n o ft w ot o e p l i t z o p e r a t o r sw i t hs y m b o li n 铲+ c f r ) o ri n 乙劬w eg o tt w o c o n c l u s i o n sb ya n a l y z i n gs y m b o lo ft o e p l i t zo p e r a l o m t h el a s t ，w ei n v e s t i g a t e dw h e t h e r m u l t i p l i c a t i o n o ft w ot o e p l i t z o p e r a t o “，w h i c hr a n g ei n c l u d e d a l l n o n c y c l i c v e c t o r so f b a c k w a r ds h i f t ，i ss u r j e c t i v e ，a n dp a r t l ya n s w e r e dt h eq u e s t i o na b o u ts u r j e c t i v e t o e p l i t z a l g e b r ap o s e db ym i c h a e ls a n di n 2 k e y w o r d ：t o e p l i t zo p e r a t o r s ；s u r j e c t i v e ；r a n g e ；n o n - c y c l i cv e c t o r 致谢 s 1 8 7 在读研究生朝间，我的导师严从荃教授在学业上给予我悉心的指 导，在生活方面热情的关怀，我衷心地感谢他。严老师的严谨治学态 度、深邃的思想，对数学的热爱，对工作的热忱给了我深刻的影响， 是我一生学习的榜样。 研究生阶段的孙顺华教授和曹广福教授的谆谆教诲，以及数学学 院的老师们的关心，各位同学的关心和帮助，在此，特向他们表示衷 心的感谢。 四川太学硕士论文 前言 算子理论是数学领域的一个重要分支十九世纪末，为了解决一些实际问 题，如对积分方程的研究，而作一些现代分析。随着数学的其他分支以及物理 学、机械学的发展，他们提出了各类算子、算子类，为了对这些算子、算子类 作系统的研究，算子理论得到了迸一步发展，同时自身领域内的一些问题f 6 1 6 的提出与逐步解决也促使了算子理论的深入发展与完善 这些理论研究主要走向两个层面，即宏观层面和微观层面，在研究的过程 中，他们又相互交织具体地讲，从宏观层面，是对具有某些性质的算子、算 子类构成的空间进行研究，主要研究空间的一些整体性质，比如不变子空间、 循环向量、非循环向量以及各种分类，与代数、几何结合又形成了算子代数、 分类理论等前沿课题；从微观层面来看，是对具体的单个算子或某一类算子的 性质进行研究，如乘法算子、位移算子、投影算子、复合算子等，讨论这些算 子的谱、定义域、值域、核。在这方面，单侧位移算子( 符号为= 、i 的t o e p l i t z 算子) 一直是深受数学家们的关注，其中，b e u r l i n g 定理【1 1 1 7 的提出和证明对 这两个算子的研究起了重要的作用该定理引起了许多数学家的兴趣，进面投 入了大量的精力对算子理论进行研究并作出了不小的贡献，形成了二十世纪 六、七十年代算子理论热潮 t o e p l i t z 算子在这时也得到了很深入的研究最初的t o e p l i t z 研究是讨论 t o e p l i t z 矩阵的性质，系统的研究是从b r o w n 和h a m o s 在【1 4 】中对映射妒 l 作了很好的刻画开始，此后，d o u g l a s 又开刨了用代数的方法去研究这些问 题，使得对t o e p l i t z 算子的研究，无论从方法上还是在理论上，都有了很大的 进展。 二十世纪七十年代初，d o u g l a s 对后移算子的循环向量与不变空间进行了 考察【3 】，对后移算子的非循环向量及其性质做了详细的描述用m 表示后移 算子的所有非循环向量的集合。在【3 】中，m 的元素被刻画为日。中那些具有 拟一连续到复平面去掉闭单位圆盘上的n e v a n l i n n a 型函数，并给出了其具体形 式，证明了m 是h 2 中的第一纲集且是一个稠的线性流形，并进一步问：是 否m 是一个算子的值域，即是说它是否是一个有界算子的值域? b l o t t o 和 d s a r a s o n 在f 8 】中虽然没有证蹰到这个结果，但他们证明了与之相关的一个定 理如下： 四川大学硕士论文 2 设冗是一个从b a n a c h 空间到h 2 中的有界线性算子的值域， 厂是由冗生 成的s 一不变子空间，则在冗中的对s + j w 的循环向量在值域范数下形成冗 的一个国子集其中s + 是后移算子。 定理中n h 2 的情形，由h b e r c o v i c i 、b ，s z n a g y 和c f o i a s 给出了证明， 参见 9 在【1 0 中相关的讨论还有以下定理；h i l b e r t 空间中的一个线性流形是一 个算子的值域当且仅当它是一个闭算子的定义域在文章【2 】中，m i c h a e ls a n d 应用3 b o u r g a i n l 4 分解定理考察了m 作为值域的一部分的t o e p l i t z 算子，并证 明了这样的t o e p l i t z 算子必然是满的。作为定理的特殊情形，符号，抒o o 得 到以下结论：若，h 。且mct l h 2 ，则巧可逆并提出了值域包含m 的 t o e p l i t z 代数是否是满的。本文第一章通过对t o e p l i t z 算子的符号进行讨论，从 另一个角度去研究单个t o e p i i t z 算子满射的情形，第二节我们得到了一般性的 结论，即给出t o e p l i t z 算子满射的一些充分必要条件，第三节某些特殊情形进 行了进一步讨论，并对m i c h a e ls a n d 2 】的一个定理作了推广，第二章简单讨论 了两个符号在h ”+ e ( 冒) 中的t o e p l i t z 算子的乘积是否满射的条件，得到一些 较好的结论，部分地回答了f 2 j 中提出的关于t o e p l i t z 代数满射问题 四川大学硕士论文 第一章满射t o e p l i t z 算子 l 引言 3 设c 表示复平面，皿为单位圆盘 z c ：i z l 1 ) 且面是d 的边界，e ( 玎) 为t 上的连续函数全体，坼表示乘法算子一个数或一个函数上加一杠表示 它的共轭，一个集合上加一杠表示其拓扑闭包。 对1 p 。，l p 表示上p 方可积的l e b e s g u e 可测函数( 的等价类) 全 体构成的b a n a e h 空间，其上范数为： f l l ，：( ，i f l p d ，) “9 0 有 _ ”蕊棚 j o o ( 1 0 ) 对任意整数n 0 ，有 ，2 w ( a g x 1 ) 2 上取枷= o ( 1 1 ) 从而9 x 一，【7 p + r ，则得到( 7 n 】l 2 ( 可) ，由于9 o 口e ，显然，0 。e ，否则 万= 0 ，由引理21 ， 7 p + 关于坂，是简单不变的 1 中定理6 2 4 推出，存在 k 伊使得1 7 i = 现在不妨设是一个外函数，令p = ，肚，从而，= 肚，其中 川= i ，这就是我们所要求的 定理2 1 ( 必要条件) 若，l m ( t ) ，且乃是满的，则对某个e 0 有i ，l e 。 注：本定理的证明运用到了j b o u r g a i n 的分解定理【4 】i 定理可叙述如下： 设，是圆周上的有界可测函数，若1 0 9 i ，i l 1 ，则，= g - ，其中g 日m ，h 打。 证明若乃h 2 = h 2 ，则1 巧日2 ，由引理2 2 ，存在幺模函数p 何* 及外函 数女，使得，= u k ，运用j b o u r g a i n 定理分解p 为p = 硇，其中$ 日o 。，# e 日。 又对z ，y 作内外分解，分别为。= 伽，”= w h ，由于卢是幺模的，有 i g h l = 嘞l = = 1( 1 2 ) 从而们是内函数，同时亦是外函数，我们由此得到曲是常数于是，曲可 逆，进而，正死可逆 h 2 = t , h 2 = i h 2 = 日2 ( 1 3 ) 四川大学硕士论文 6 这个式子蕴涵了日2 = 日2 ，由于拈是外函数，于是丽= h 2 故 e r = r a n ( t g 鼍h 2 ) 】1 = 【r 一( h 2 ) 】1 = i i 网1 = ( 0 1 ( 1 4 ) 从而丁蠹可逆，进一步推得可逆，于是n 可逆，我们有h ”可逆，这 说明e 对某个s 0 ，进而有 ，l = o 注：若乃是满射，由定理2 1 我们有，= 肚，其中= 1 且女日o 。可 逆，因而乃= t k 且。是满射。 一般说来，定理2 1 的逆命题不一定成立，设，= 肚，其中满足上述条件 且可逆，p 为非常数的内函数，则t l h 2 = p 日2 ，但# h 2 日2 ，这说明乃不满， 但如果取，= 础满足可逆，p 为非常数的内函数，则乃日：= 日。：日z ， 这样的t ，是满的。 另一方面，对，工。，要使得乃是满的，我们总可以将，分解为，= 麻， 其中h 。可逆，于是我们有 巧日2 = l i 日2 = t i t h 2 = 耳日2 = 耳日2( 1 6 ) 因此我们只须讨论耳满足川= 1 且卢l ”是否是满射。若耳满，则乃是满 的，否则巧不是满的，于是，我们将原来的问题转化为讨论符号为幺模函数 的t o e p l i t z 算子是否是满的 定理2 2 设p l 。满足= 1 ，则t h 2 = h 2 当且仅当d i s t ( f i ，s o o ) 1 证明t h 2 = h 2 当且仅当存在s b ( h 2 ) 使得s = 1 当且仅当咒左可 逆，再由1 中定理7 3 0 ，耳左可逆当且仅当d i s t ( f i ，h o o ) 1 推论2 2 1 设t s h 2 = h 2 ，则d i s t ( y - 1 , h ”) 南= i l 忆。 证明设，= 肚其中= l k 是外函数，则巧是满的当且仅当d i s t ( f i ，日。) 四川大学硕士论文 另一方面 d i s t ( 可，日。) = i n f h h * i l 芦一h i ( 1 7 j ：i n ， e h 。| | 了k 一 i i 。= f n ，k h 。i i ；一 i i 。 t n f i l l 町删圳；一 1 1 * = i n f l f d i 州，_ 1 ，日”) 由于t l 是满的，有 出s f ( 厂1 ，h ”) 丽寺7 2 i i7 1 i f o 。( 1 8 ) 推论2 2 2 设p = 列，其中妒，妒是内函数，则昂p 日2 = h 2 的充分必要 条件是d i s t ( 妒，妒日。) 1 。 证明由d i s t ( 妒t ，日。) = d i s t ( 妒，c h 。) 以及定理2 2 直接得到证明 3 特殊情形 从定理2 , 1 的证明过程及其逆命题的讨论，我们知道以下问题：对，l 0 。， 研究问题：巧是否满射? 就转化为研究其幺模部分，即研究z 如是否满的， 其中妒，妒为内函数。我们根据内函数的种类：有限b l a s c h k e 积、无限b l a s c h k e 积、奇异内函数来分别讨论 定理3 1 设妒，妒是如下的有限b l a s c h k e 积，则功十日2 = 舻的充分必要 条件是n m 。其中 妒= 娶n 。f z 一面a i 归。f i z - b i ； 。1 ，a 2 ，。，b 1 ，b 2 ，b m 在d 内 ( 1 9 ) 证明由于l p , 妒e f t ) 且在t 上满足酬= = 1 ，故丁乩是f r e d h o l m 算子 且 i n d t 口2n m = d i m k e r t - 酣一d i m k e r t 知 若n m ，令妒= 妒l 妒2 ，其中 一娶嚣一；璺1 篙l = l+ ( 2 0 ) ( 2 1 ) 四j i 。大学硕士论文 则而。：巧讪且由于i n d t 丽p = 0 有弓砷可逆。因而 马o h 2 = z 万哳口h 2 = 粝督2 = h 2 反之，若n 0 的整数有 ，2 ” f 。订x m 胡= o( 2 5 ) ，0 即 ( x 。+ 。，妒，) = 0 ( 2 6 ) 固定自然数”，我们有妒，s p a n 1 ，x 1 ，尬，x 。一1 ) 。其中s l g m 1 ，x 1 ，x 2 ，x n - 1 ) 是由1 ，x 1 轴，x 。一- 张成的铲的子空间由于i p 是奇异内函数，这是不可能 的 我们将定理3 2 与定理3 1 应用于日* - i - a ( t ) 【1 】，由于日。+ g ( t ) 可表示为 犀百而，其中 日。+ p = 妒薪：妒丑，n o )( 2 7 ) 四川大学硕士论文 9 推论3 2 1设x f - 而h ”+ g ( 丌) ，其中，h 。，则7 _ ，日2 = h 2 的充分必 要条件是，不含奇异内函数，且而，在皿内的延拓，在d 中至多有n 个 根，重根按重数计算。 注：特别，当n = 0 时，我们得到符号在h o 。中的t o e p l i t z 算子满射的结 论。由上述推论，没有奇异内函数且，两在d 内没有零点，则可以得到， t ：h 2 = h 2 , ，h 。的充分必要条件为，可逆，进而巧可逆，这即是【2 中的定 理2 ，该推论可以看作将h ”上的满射的条件推广到h 一十e ( 可) 上的满射的条 件。 从定理3 1 的证明与推论3 21 ，我们可以得出进步的结论： 推论3 2 2 设p 是有限b l a s d l k e 积，h o 。，则丁钉h 2 = h 2 当且仅当， 没有奇异内函数，且雨在d 中根的个数不超过两在d 中根的个数，重根 按重数计算。 四川大学硕士论文 第二章两个t 0 e - l i t z 算子的乘积 5 1 引言 1 0 两个t o e p l i t z 算子的乘积乃，l o 。，9 l * 与一个t o e p l i t z 算子之间有下 列熟知的关系： 乃咒= 巧，当且仅当7 h 。或g h 。 用川表示后移算子的所有非循环向量全体构成的集合，对内函数妒， 令丸( 妒) = h 2e 妒日2 ，由b e u r l i n g 定理，咒( 妒) 是后移算子s 的不变子空间。 因此，h 2 是s + 的非循环向量当且仅当对某个内函数妒有，州( 妒) 因而 m = u “( _ p ) 。 设“h 2 ，v h 2 ，p a 一表示“y 的最大的公共内因子，显然，这种表示 在不考虑幺模常数因子的情况下是确定的 通过第一章对t o e p l i t z 算子的符号的讨论，研究t o e p l i t z 算子满射的关键是 考虑符号为幺模的情形，我们这一章首先从最特殊的情形，符号为h o 。+ e ( t ) 中的幺模函数，出发来进行讨论，即对内函数似，协考虑砖百，。i ，是否是满 的。要使得砖和。砖百，。为满的，必然要求t ；种。是满的，然后根据第一章的 某些结论对进行它考察最后讨论了巧瓦。其中，工* ，p 为幺模的情形。 2 基本结果及其讨论 定理2 1 设l p l ，妒2 为如下形式的有限b l a s c h k e 积，若m l + m 2sn 。，则 7 ；和。7 赢m h 2 = 日2 ，其中 一垂嚣一娶r n 2 而z - b i ， m ，a 2 ，a 。l ，b l ，6 2 ，b m 4 在皿内。 证明由于砖研。( x n 。日2 ) = 蛳日2 ，故砖和，h 22 忱日2 又民和。( 忱日2 ) = 磕。：h 2 由巳知条件与定理3 1 毒辱出百，。是满的从而我们有 z 焉讥t x - w 2 p ：日2 t 砷。( 忱日2 ) = 吒和m h 2 = h 2( 2 9 ) 四川大学硕士论文 即 t 裔p 。丁蓊p ：h 2 = h 2 ( 3 0 ) 推论2 , 2 设妒l 、妒2 、妒3 为有限b l a s c h k e 积，妒为无限b l a s c h k e 积，则 巧口】- 口3 h 2 = h 2 。 定理【a 1 设妒，u 是内函数，且w ( u ) c h 2 ，则z 是满射。 这个定理由s a r a s o n 给出了证明，参见 2 ，我们不妨将这个定理与第一章 定理3 2 作比较，我们将定理的值域分成两部分，其中一部分可以这样给出： 砖却( x 。h 2 ) = 妒驴，故要证明某个符号为幺模函数的t o e p l i t z 算子是否满射， 只须考虑另外一部分定义域n ( x 。) ( 与x 。h 。直交) 在该t o e p l i t z 算子下的值域 与州( 妒) 的关系，事实上，我们只要求“( 妒) c ，n ( x 。) 即可，我们有下面的命 题作保证。定理a 已经给出了这种关系，而且给得更强。 但是如果没有定理a 这种条件，由于w ( 妒) 很复杂，见【3 】3 、1 1 1 、 1 2 】、 ( 1 3 】，我们只能得到以下的结论，对于单个t o e p l i t z 算子的更进一步的结论，我 们在前面的分析中已基本给出。 命题2 3 设妒是内函数，则砖却丸( ) c 花( 妒) 。 证明任取g z 1 - f “( x 。) ，则g = t y z , p hh w ( ) ，对任意的，h 2 ( g ，妒，) = ( p h ，妒，)( 3 1 ) = ( 妒幕砷，妒，) = ( 又i ，) = 0 ( 3 2 ) 上述等式成立是由于妒是内函数和丽 【h 。】上。所以 g w ( 妒) ( 3 3 ) 于是，在下面我们仍然用值域包含m 的条件去刻画，就可以得到有关两 个符号在h 。+ c ( t ) 中的t o e p l i t z 算子的乘积的满射的条件 定理2 4 如果致百p 。毪和，h 2 ) m ，_ p t ，_ p 2 h 。是内函数，则磕p 。赫。h 2 = h 2 。 四川大学硬士论文 证明任取，h 2 ，由于 ! 请p 。t 再7 2 p ：( x n ，+ n ：，) = t x k t v 。( 妒? x n ，) = 妒1 妒2 ， ( 3 4 ) 因此 妒l 轳2 日2c 砖和，砖神2 h 2( 3 5 ) 由假设 mct x - 丽i p l 虢p 2 h 2 ( 3 6 ) 特别 州( 妒1 妒2 ) cm c 丁专寸。砖币。h 2 ( 3 7 ) 所以 t x - i 7 口。了j 爵p 2 h 2 ) 妒l l p 2 圩2 + 丸( 妒l 妒2 ) = h 2 ( 3 8 ) 定理【b 设f 日。，妒是内函数，则 ( 1 ) 丽= 瓤( 妒伽a 伪 ( 3 9 ) ( 2 ) 丐1 w ( 妒) = 咒( 妒 )( 4 0 ) 其中，i 是，的内函数。 定理2 5 如果，h 2 1 , 4 ，l 。，母，妒是内函数，则巧是满的。 证明由于 t t h 2 ) 巧巧口h 2 a l( 4 1 ) 故由m i c h a e ls a n d 2 中的结论有乃是满的由第一章定理2 1 的证明过程及引 理2 2 知，可以将，分解为 ，= k g d - f w 2 h ( 4 2 ) 其中9 ，h ，k h * 为外函数，且g ，h 可逆，u - ，u 。为内函数由于 巧z 沁h 2 = 币： 口h 2( 4 3 ) = 珠7 知。t h p 铲 朋= u 咒( 一)( 4 4 ) 四川大学硕士论文 由上面定理f b 中的( 2 ) 有 t w f l 。；靠巧口h 2 ) 川 对任意的f h 2 ，存在u ，妒， h 2 使得 即 又 所以 进而有 毛m n z ( u 1 妒， ) = ? 1 _ u 。t h ( 灿l f h ) = 沁( 妒1 f ) = 妒u 2 ， 2 日2c 。：n t 日2 w ( 圳2 ) cm c t j y o j ：t h 而。h 2 哳u 2 t h h 2 ) p w 2 h 2 + h ( m ) = 日2 t f t 石, a h 2 = 喙砘t h 丁巩铲= h 2 ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 5 0 ) ( 5 1 ) 参考文献 参考文献 1 4 【1 r d o u g l a s ，b a n a c ha l g e b r at e c h n i q u e s j n o p e r a t o rt h e o r y ，a c a d e m i c p r e s s ，n e wy o r k ，1 9 7 2 【2 2 m i c h a e ls a n d ，o p e r a t o rr a n g e sa n dn o n c y c l i cv e c t o r sf o rt h eb a c k w a r d s h i f t ，i n t e g ro p e r t h ，v o l ，2 2 ( 1 9 9 5 ) 2 1 2 2 3 1 【3 】r o n a l dd o u g l a s ，h s h a p i r ea n da n e ns h i e l d s ，c y c l i cv e c t o r sa n di n v a r i a n t s u b s p a c e sf o rt h eb a c k w a r ds h i mo p e r a t o r ，a n n i n s t f o u r i e r ( g r e n o b l e 0 2 0 ，1 ( 1 9 7 0 ) 3 7 7 6 【4 j b o u r g a i n ，ap r o b l e m o fd o u g l a sa n dr u d i no n f r a c t o r i z a t i o n ，p d c i f i c j o u r n a lm a t h e m a t i c s1 2 1 ( 1 9 8 6 ) n o 1 ，4 7 5 0 5 c a i x i n gg u ，p r o d u c t so fs e v e r a lt o e p l i t zo p e r a t o r s ，j o u r n a lo ft r a n s t i o n a l a n a l y s i s1 7 1 ，4 8 3 5 2 7 ( 2 0 0 0 ) ， 6 p a u lr h a l m o s ，ah i l b e r ts p a c ep r o b l e mb o o k ，s p r i n g e r v e r l a g ，n e w y o r k ，h e i d e l b e r g ，b e r l i n ，1 9 8 2 ( 7 】k e n n e t hh o f f m a n ，b a n a c hs p a c eo f a n a l y t i cf u n c t i o n s ，p r e n t i c e h a l li n c ， e n g l e w o o dc l i f f s ，n j ，1 9 6 2 8 b e n l o t t o a n dd o n a l d s a r a s o n ，m u l t i p l i e r s o fd e b r a n g e s r o v n y a k s p a c e s ，i n d i a n au n i v e r s i t ym a t hj o u r n a l4 2 ( 1 9 9 3 ) ，9 0 7 9 2 0 【9 】 lb e r c o v i c i ，o p e r a t o rt h e o r ya n da r i t h m a t i ci n 日。0m a t h e m a t i c a ls u r v e y s a n dm o n o g r a g h s2 6 ，a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y ，p r o v i d e n c er i ，1 9 8 8 1 0 】p a f i l l m o r ea n dj p w i l l i a m s ，o no p e r a t o rr a n g e s ，a d v i nm a t h 7 ( 1 9 7 1 ) 2 6 5 - 2 8 1 ( 1 1 】e h a y a s h i ，t h ek e r n e lo fat o e p l i t zo p e r a t o r ，i n t e g r a le q u i t i o n so p e r a t o r t h e o r y9 ( 1 9 8 6 ) ，5 8 8 5 9 1 1 2 】e h a y a s h i ，t h es o l u t i o ns e t so fe x t r e m a lp r o b l e mi nh i p r o c a m e r m a t h s o c 9 3 ( 1 9 8 5 ) 6 9 0 6 9 9 1 3 】e h a y a s h i ，k e r n a lo ft o e p l i t zo p e r t o r sv i ab o u r g a i n sf a c t o r i z a t i o nt h e 0 _ 参考文献 1 5 r