（应用数学专业论文）基于pde的新图像扩散模型及分类扩散.pdf

j j i 亭 学位论文数据集 中图分类号 t p 3 9 1 4 1 学科分类号 1 1 0 8 7 论文编号 1 0 0 1 0 2 0 11 0 9 5 3 密级非保密 学位授予单位代码 1 0 0 1 0 学位授予单位名称北京化工大学 作者姓名李彦宝学号2 0 0 8 0 0 0 9 5 3 获学位专业名称应用数学获学位专业代码0 7 0 1 0 4 课题来源自选项目研究方向图像复原 论文题目基于p d e 的新图像扩散模型及分类扩散 关键词 图像复原，偏微分方程，各向异性扩散，图像特征，分类扩散 论文答辩日期2 0 1 1 年5 月2 9 日 。论文类型应用研究 学位论文评阅及答辩委员会情况 姓名职称 工作单位学科专长 指导教师姜广峰教授北京化工大学超平面构形与奇点理论 评阅人1孙华飞教授北京理工大学微分几何 评阅人2赵丽娜副教授北京化工大学计算几何 评阅人3 评阅人4 评阅人5 答辩委员会主席彩牮飞教授北京理工大学微分几何 答辩委员1杨永愉教授北京化工大学金融数学 答辩委员2杨丰梅 教授北京化工大学最优化理论及应用 答辩委员3崔丽鸿 教授 北京化工大学小波分析理论及应用 答辩委员4赵丽娜副教授北京化工大学计算几何 答辩委员5 注：一论文类型：1 基础研究2 应用研究3 开发研究4 其它 二中图分类号在中国图书资料分类法查询。 三学科分类号在中华人民共和国国家标准( g b t1 3 7 4 5 9 ) 学科分类与代码中 查询。 四论文编号由单位代码和年份及学号的后四位组成。 摘要 基于p d e 的新图像扩散模型及分类扩散 摘要 偏微分方程是近三十年新兴的重要图像处理工具，为以数字图像 处理为基础的众多领域注入了新的活力。图像复原是图像处理的重要 组成部分，其目的是提高退化图像的质量，使其更加的清晰。图像的 细节信息存在于图像的边缘部分，噪声可以分布于图像任何位置，噪 声又与细节在频域内相混叠等等，使得滤除噪声和保护边缘成为一种 矛盾。传统的方法较难处理这类问题，而新兴的偏微分工具提出的边 缘保护思想及各向异性扩散等方法均为保护细节提供新的思路。 本文以图像抑噪为主要研究方向，分别从滤波模型、滤波方法及 滤波思路三个方向出发，得到以下三个成果： 1 针对传统的滤波模型- p m 模型存在逆扩散现象，提出一种适定 的扩散方程。p m 模型中的传导因子对边缘过于敏感，造成模型在边 缘处出现逆扩散现象。通过更改模型的传导因子，降低其在边缘处的 敏感性，进而得到一种适定的滤波方程。 2 提出三种图像特征扩散模型。三种模型均沿着图像特征方向进 行扩散，这种扩散思路即使没有任何的边缘保护措施下依然会有效的 避免破坏边缘信息，保护图像的细节部分。 3 提出分类扩散的思想。传统的图像扩散思路为平滑扩散。使用 平滑抑噪思路使得边缘噪声较难滤除，影响图像的平滑性。分类扩散 t 北京化工大学硕士学位论文 分为抑噪和平滑两部分，抑噪的主要是降低边缘噪声的噪声幅度，使 其变为小噪声，而平滑滤波主要处理小噪声，平滑图像。从而既能有 效的滤除图像的噪声，又能保证图像的光滑性。 关键词：图像复原，偏微分方程，各向异性扩散，图像特征，分类扩 散 a b s t r a c t an e wd i f f u s i o nm o d e lb e s i co np d ea n d c l a s s i f i e dd i f f u s i o n a b s t r a c t p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a san e wt o o lo fi m a g er e s t o r a t i o ni n p a s t e dt h i r t yy e a r s ，h a si n j e c t e dn e w v i t a l i t y t o m a n y i m a g e p r o c e s s i n g - r e l a t e df i e l d s i m a g er e s t o r a t i o ni so n eo ft h em o s t i m p o r t a n tp a r t so fi m a g ep r o c e s s i n g ，w h i c hi st r y i n gt or u mt h ed e g r a d e d i m a g e s t oc l e a r h i g h q u a l i t yp i c t u r e s a s w e k n o w t h a t ，i m a g e i n f o r m a t i o nd i s t r i b u t ei ne d g e ，n o i s ec a nb ea n y w h e r e ，t h et w os i t u a t i o n s m a k ed e n o i s i n ga n dd e t a i l s p r o t e c tt ob ea c o n t r a d i c t i o n h o w e v e r , t r a d i t i o n a lf i l t e r sc a n n o td e a lw i t ht h i sp r o b l e m w i t ht h ei d e ao fe d g e p r o t e c t e da n da n i s o t r o p i cd i f f u s i o ni n t r o d u c eb yp d e s ，t h i sc o n t r a d i c t i o n c a nb ew e l lr e s o l v e d t h i st h e s i si s o n l y f o c u so n d e n o i s i n gp r o b l e m ，i n v o l v e dt h e r e s t o r a t i o nm o d e l s ，d e n o i s i n gm e t h o d sa n di d e ao fn o i s er e m o v a lt h r e e a s p e c t s t h em a i no r i g i n a lc o n t r i b u t i o n so ft h i st h e s i sa r es u m m a r i z e da s f o l l o w s ： 1 t h ec l a s s i cm o d e l p mm o d e lc a nc a u s er e v e r s ed i f f u s i o n ，w h i c h 北京化工大学硕士学位论文 m a k et h em o d e li n s t a b l e a f t e ra n a l y z e dt h ed i f f u s i o nc o e f f i c i e n tf u n c t i o n o fp e r o n a & m a l i k ( p - m ) m o d e l ，t o os e n s i t i v ea te d g ei st h em a i nr e a s o n f o rp mm o d e l si l l p o s e d s o m ea m e n d m e n t sh a v ed o n et ot h ef u n c t i o n ， w eg o tap o s e dd i f f u s i o nm o d e l 2 p r o p o s e d t h r e ed i s c r e t em e t h o d sf o raa n i s o t r o p i cd i f f u s i o no p e r a t o r a n o s o t r o p i cd i f f u s i o ni sb a s e do nt h ed i r e c t i o no fi m a g ef e a t u r e s t o a v o i dt h ed a m a g e ，t h es m o o t h i n gh a st ob ec o n t r o l l e do n ep r i n c i p l e ： m i n i m a ls m o o t h i n gi nt h ed i r e c t i o n sa c r o s st h ei m a g ef e a t u r e s ，a n d m a x i m a ls m o o t h i n gi nt h ed i r e c t i o n sa l o n gt h ei m a g ef e a t u r e s 3 i n t r o d u c ean e wd i f f u s i o nw a y ：c l a s s i f i e dd i f f u s i o n s m o o t h i n gi s t h eo n l yw a yt h a tt r a d i t i o n a ld i f f u s i o nt or e m o v en o i s e h o w e v e l m a r g i n a ln o i s ec a n n o tb ew e l ls m o o t h e d ，a sar e s u l t ，t h es m o o t h n e s so f i m a g ec a n n o tb ei m p r o v e dal o t c l a s s i f i e dd i f f u s i o nc a nb ed i v i d e di n t o t w op a r t s ，n o i s e r e d u c t i o na n ds m o o t h i n g t h ep a r to fn o i s e r e d u c t i o ni s t or e d u c et h ee x t e n to fm a r g i n a ln o i s e ，t h a tt ob eam i n o rn o i s e t h eo t h e r p a r ti s t or e m o v em i n o rn o i s e ，s m o o t h i n gt h ei m a g e u n d e rt w op a r t s w o r k ，t h ei m a g ec a nb ep r o c e s s e di n t oac l e a rp i c t u r e k e y w o r d s ： i m a g er e s t o r a t i o n ，p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ， a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ，i m a g ef e a t u r e s ，c l a s s i f i e dd i f f u s i o n i v 目录 目录 第一章绪论1 1 1 图像及数字图像处理1 i 2 偏微分方程在图像复原技术及研究现状2 1 3 本文主要工作4 1 4 一些常用符号及说明4 第二章图像处理的数学理论基础7 2 1 图像处理理论基础7 2 1 1 图像的数学描述7 2 1 2 图像噪声及分类7 2 1 3 图像边缘8 2 2 图像边缘预测9 2 3 经典的数字图像处理模型1 l 2 3 1 热扩散模型l l 2 3 2p - m 扩散方程1 l 2 3 3 选择性滤波1 4 2 3 4 张量扩散1 5 第三章图像特征方向扩散研究1 9 3 1 切向扩散1 9 3 1 1 模型提出及离散化1 9 v 北京化工大学硕士学位论文 第四章适定模型及分类扩散2 5 ：1 5 ：6 2 7 ：1 9 3 0 。：；3 3 7 ：；9 4 5 4 7 v i o 1 1 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 匕 匕 ，4 r 乍 一 一 散 一 一 散 一 一 一 离 一 一 离 一 一 型 及 一 一 及 一 验模绍验 一 绍验实变介实型介实值改型值模型值数小模数合模数 2 最 ， 2 混 2 l 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 目录 作者及导师简介4 9 v 北京化工大学硕士学位论文 c o n t e n t s c o n t e n t s c h a p t e r 1i n t r o d u c t i o n 1 1 1i m a g ea n d d i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g 1 1 2p d e a p p l i e di ni m a g er e s t o r a t i o na n dr e s e a r c hs t a t u s 2 1 3o u r w o r k ，4 1 4s y m b o l s 4 c h a p t e r 2t h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo fi m a g e p r o c e s s i n g 7 2 1t h e t h e o r yo f t h ei m a g ep r o c e s s i n g 7 2 1 1t h e o r yo f t h ei m a g e 7 2 1 2n o i s ea n di t ss p e c i e s 7 2 1 3e d g e 8 2 3t h ec l a s s i cm o d e l o f d i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g 2 3 2l - md i f f u s i o nm o d e l 2 3 3s e l e c t i v ed i f f u s i o n 2 3 4c o h e r e n c e - e n h a n c i n gf i l t e r c h a p t e r3r e s e a r c hi ni m a g ef e a t u r e 3 1d i f f u s eb a s e so nt a n g e n t 3 1 1m o d e la n di t sd i s e r e t i z a t i o n 3 1 2e x p e r i m e n t s i x 北京化工大学硕士学位论文 3 2m i n i m a lc h a n g em o d e l 2 1 3 2 1m o d e la n di t sd i s c r e t i z a t i o n 2 1 3 2 2e x p e r i m e n t s 。2 2 3 3m i x e dm o d e l ，。2 3 3 3 1m o d e la n di t sd i s c r e t i z a t i o n 2 3 3 3 2e x p e r i m e n t s 2 3 c h a p t e r4p o s e dm o d e la n dc l a s s i f i e dd i f f u s i o n 2 5 4 2c l a s s i f i e dd i f f u s i o n ，2 6 4 2 1s m o o t h i n gm o d e l 2 7 4 2 2n o i s e - r e d u c t i o nm o d e l 2 9 4 3a l g o r i t h ma n di m p l e m e n t a t i o n 3 0 4 4e x p e r i m e n t s 。3 1 4 4 1d i f f u t i o nc o m p a r a t i v ea n a l y s i so nv i s u a le f f e c t ，。3 1 4 4 2p l u s - n o i s ee x p e r i m e n to nr e a li m a g e 。3 3 c h a p t e r5s u m m a r ya n d o u t l o o k 3 7 r e f e r e n c e s 3 9 a p p e n d i x 4 3 t h a n k s q 1 5 r e s e a r c hr e s u l t sa n d p a p e r s 4 7 x c o n t c n t s b 1 i e fi n t r o d u c t i o n so fa u t o ra n dt u t o r 。4 9 x i 北京化工大学硕士学位论文 x 第一章绪论 1 1 图像及数字图像处理 第一章绪论帚一旱殖比 图像日益成为社会生活中必不可少的部分，其重要性不言而喻。不仅是因为 其为最普遍最常用最直观的通讯媒介，而且它是表达信息及物理世界的最简单、 紧凑与普遍的方法【1 1 。简单的说，图像是通过人类的视觉传递信息的。有资料表 明，人类从外界获取的信息中有7 5 的来源于视觉系统。而人类的视觉系统就是 一套复杂的成像系统，因此可以说人类大部分信息都是从图像中获取的。图像技 术的广泛应用不仅是因为其获取信息的便捷性，而且与其相关技术蓬勃发展分不 开的：多种传感器的研发及应用促进采集设备的迅速发展，拓宽了图像获取的途 径，提高了图像的质量；网络设备及存储设备的不断更新换代，为图像的传输与 海量存储提供了便利；数字图像处理技术的不断更新与换代，提高了从图像中获 取信息的包容量。 数字图像处理( d i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g ) 又称计算机图像处理，它是指将图像 信号转换成数字信号并且利用计算机技术对其处理的过程。其作为一门学科大约 形成于2 0 世纪6 0 年代初期，首次获得实际成功应用的是美国喷气推进实验室 ( j p l ) 。通过处理从探测飞船获得的十万张照片，获得了月球的地形图、彩色图 及全景镶嵌图，为人类登月创举奠定了坚实的基础。数字图像处理的另一个巨大 成就是在医学上获得的成果x 射线计算机断层摄影装置，为人类做出夸时代的 贡献。 原始图像数据的粗糙性及庞大性，达不到在实际中的广泛应用。这也是促使 数字图像处理出现的根本原因。一般说来，数字图像处理的主要目的有三个方面： ( 1 ) 提高图像的视觉质量，通过变更图像的亮度、色彩，抑制或者增强图像中 的某些成分，图像的几何变换等，改善图像的质量。典型的应用包括图像 抑噪、图像增强、图像恢复和超分辨率分析等。 ( 2 ) 从图像中提取某些特性或者特殊信息，为计算机的后续分析图像信息提供 便利。提取的特征可以包括很多，如纹理特征，边缘特征，频域特征，形 状特征，灰度或者颜色特征，拓扑特征和关系结构等。 ( 3 ) 图像数据的编码、变换和压缩，不仅使得图像的存储和传输更加便利，而 且为图像的后续研究提供了实用的工具。 不论何种目的数字图像处理，都可以将其看成由计算机和图像相关设备组成 的图像处理系统，一个处理图像数据的输入输出系统，如图1 1 所示： 北京化工大学硕士学位论文 输入输出 图1 - 1 图像处理系统 f i g 1 - 1s y s t e mo fi m a g ep r o c e s s i n g 图像处理系统是数字图像处理的核心部件，也是研究人员研究的重点。该系 统常用方法分为六大类：图像变换、图像编码压缩、图像增强和复原、图像分割、 图像描述和图像分类。然而通常采用的工具可分为三类： 第一类为通过各种图像滤波和正交变换等方法，将图像由空间域变换到其他 正交的信号域中，变换后的图像可以得到在该信号域正交基下的稀疏表示，使得 更容易处理图像某些特性，处理之后再通过逆变换将图像转换到空间域中。常用 的正交变换有：傅里叶变换、沃尔什邛可达玛变换( w a l s h - h a d a m a r dt r a n s f o r m ) 、 霍特林变换( k - lt r a n s f o r m ) 、余弦变换、正弦变换和小波变换等等。 第二类是直接在空域处理图像。它包括各种统计方法、微分方法及其他数学 方法，如非线性滤波，基于偏微分方程的水平集演化和各向同性( 异性) 图像扩 散。 第三类是基于数学形态学的数字图像处理。以完备的数学集合论知识，简化 图像数据，保持图像基本的形状特性，并除去不相干的结构。形态学的基本运算 包括：膨胀( 或扩张) 、腐蚀( 或侵蚀) 、开启和闭合。 随着人类活动范围的不断扩大，图像处理技术的应用领域也在不断的扩大， 属于这些领域的有航空航天、生物医学工程、通信工程、工业和工程、机器人视 觉、公安司法、军事制导、电子商务等【2 - 4 1 。数字图像处理技术在这些领域受到 广泛重视并取得了重大的开拓性成就，使图像处理成为一门引人注目、前景远大 的新型学科。 1 2 偏微分方程在图像复原技术及研究现状 偏微分方程( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n p d e ) ，是现代科学中叙述各种自然规 律的最重要的工具，也在数字图像处理中拥有较为广泛的应用，如图像恢复、图 像分割、运动物体跟踪和物体检测等等。 最先使用偏微分方程处理数字图像的思想是由g a b o r t 2 7 】的工作和j a i n 的研究 引入的。后来研究人员研究和发现了尺度空问的概念，使偏微分方程在图像处理 中有了坚实的理论基础和实质性的开始。尺度空间开始出现于1 9 8 3 年w i t k i n t 6 】 的一篇关于讨论信号模糊工具的论文中。1 9 8 4 年被k o e n d e r i n k t 7 1 扩展为多维的情 2 第一章绪论 况。其实早在他们二十年前一位日本人学者i i j i m a 在一篇论文中已经得到了高斯 作为唯一的滤波器，由于这篇论文是由日文著作而没有得到广泛的重视。在这些 研究人员的工作中，利用高斯滤波器可以得到图像的多尺度表示，这一过程类似 于通过静电的热扩散方程演化源图像，并且通过此方法可以得到各种各向同性扩 散流算法。随后h u m m e l t 8 】的研究中指出热扩散流方程不是唯一可建立尺度空间 的抛物线方程，满足极大值原理的演化方程均可以定义尺度空间。 理论研究和运算均表明，大部分的微分算子均可以转化为局部滤波算子。对 于二维图像而言，最普遍的滤波方法就是把图像滤波视为一个四周扩散系数相同 的均匀线性扩散过程( 高斯滤波，又称热扩散) 。这种均匀扩散算法，不能在去 噪的同时保留边缘信息，而只能在二者取一个折中。为了改进这种均匀扩散的缺 点，p e r o n a 与m a l i k 提出一个非线性扩散方程f 9 1 ，在该方程基础上得到了一种各 向异性扩散的方法。各向异性扩散的实质是利用图像结构的先验信息，减少在边 缘处的扩散以在去噪的同时更好的保持边缘。以梯度算子为独元函数的扩散系数 函数，在梯度小的地方具有较大的扩散系数，在梯度大的地方具有很小的扩散系 数。而梯度算子是一种经典的边缘检测算子，因而能够有效的滤除噪声。该滤波 方法其实是一个迭代求解过程，迭代中不断的根据最后一步获得的图像梯度作为 边缘检测结果，从而能避免噪声对边缘检测结果的影响。 这种经典各向异性扩散方法解决保护边缘的问题，但也揭开了一些本质性问 题的研究【2 2 2 5 】： ( 1 ) 边缘处的扩散系数较小。位于边缘位置的噪声由于扩散程度较少而被保 留。 ( 2 ) 边缘检测算子的准确率的限制，被预测为边缘的噪声较难滤除，影响图 像的光滑性。 ( 3 ) c a t t e 和w e i c k e r t 分别在各自的研究中证明了p e r o n a 等提出的滤波模型存 在逆扩散，滤波方程为不适定方程。 c a t t e 等人【1 2 】对模型进行了修改，提出一种具有自适应性选择光滑的模型，并 证明了解的存在性，唯一性，稳定性，解决不适定性问题的同时提高模型的去噪 能力。但在随后的研究中，a l v a r e z l l 3 l 等人指出c a t t e 模型在数学上是适定的。但 是当仃- - 90 时，该模型并不稳定，同时散度算子括号中包含梯度和梯度估计，模 型均不具备明确的几何解释。 为解决边缘去噪等问题，w e i c k e r t 将经典的扩散模型由变量扩散扩展到张量 扩散【l4 1 。在该模型中将扩散系数设计为一个张量矩阵，并使得该张量总是沿着 边缘的方向具有较大的扩散系数，而在垂直于边缘的方向具有较小的扩散系数， 这样就既能保留边缘又能对边缘处的噪声进行处理。这一方案的缺点是处理后的 3 北京化工大学硕士学位论文 图像会在平台区域出现不必要的纹理，而且边缘容易发生畸变。 此外，也有研究人员提出相当优秀的扩散方法，如c f i l b o a 等人研究了一种向 前向后扩散方程1 1 5 1 和复数域扩散【1 6 1 ，y o u 等人研究了四阶扩散方程等等。这些算 法均没有解决第二个问题，虽然在其他领域内如中值滤波，能处理这些边缘噪声， 但是处理混合噪声又对边缘的保护效果较差。 1 3 本文主要工作 本文通过对经典的滤波模型( p m 滤波) 及其扩散分析后，不仅提出了一系 列基于图像特征方向扩散的扩散方法，而且在模型的基础上通过更改传递因子的 敏感性，得到一个适定的滤波模型。在该模型的基础上提出了分类扩散的理念， 在光滑图像和抑制噪声双管齐下滤除噪声，不同于传统的光滑抑噪的简单思想。 本文共安排五章内容介绍上述算法与思想，各章内容如下： 第一章分析了图像处理的发展历程及分类，以及基于偏微分方程的图像复原 的技术及研究现状，最后介绍了本文的主要工作和论文安排。 第二章介绍了图像相关的理论及图像内容如噪声及边缘等，与此同时，介绍 了经典的图像复原方法，如热扩散模型，p m 模型，选择性滤波及一致性滤波等。 第三章介绍了三种基于图像特征方向扩散的滤波方法，通过实验分析和总结 各个滤波方法的滤波的优缺点。 第四章通过更改传递因子的敏感性，得到了一种适定的滤波模型。在该模型 的基础上提出了分类扩散的方法，该方法将传统的平滑滤波分解为平滑和抑噪两 个过程，将经典的滤波方法和基于图像特征方向扩散的方法有机的结合到一起。 采用了不同的测试图像及不同的噪声比较新方法与传统的方法的优缺点。 第五章对全文分析和总结，提出今后研究工作及展望。 1 4 一些常用符号及说明 图像区域，通常为矩形图像，【o ，n 】【o ，m c z 2 ； 图像边缘； 图像； 图像( i ，j ) 像素第k 次迭代后的灰度值； 高斯核； 经过高斯核平滑后的图像，2 q “ 梯度算子； 拉普拉斯算子； 4 1 j r c ：菌 “磋q v 第一章绪论 西v 色 散度算子； 关于时间t 的一阶导数。 北京化工大学硕士学位论文 6 第二章图像处理的数学理论基础 第二章图像处理的数学理论基础 2 1 图像处理理论基础 2 1 1 图像的数学描述 常见的图像均是通过科技手段将图像以可视化的形式展示的。在数学意义 上，图像是在一个矩形区域内一组有规律的数据，反应真实场景颜色变化的组合。 显示图像的内容的区域称之为支撑集，不妨假设支撑集为q 孵2 ，图像物理模 型是定义在q 上的一个映射，这个映射是一个二维函数”( e y ) ，即： 甜：( x ，y ) q - 9 , v( 2 1 ) 定义域q 范围内，”是一个大于等于零的标量，值域v 中的所有元素均大于 等于o 为了处理方便，通常将值域归一化，即值域为f o ，1 1 ，则映射可以表述为： z ，：( x ，y ) q - 9 【o ，1 】 1 2 2 ) 根据图像中包含的色彩不同可以将图像分为灰度图像和色彩图像，本文中处 理的对象为灰度图像。在处理过程中通常令像点( x ，j ，) 指长宽均为1 且中点坐标 为) 的小片源。因此，一副图像可以使用一个矩阵( 2 3 ) 来表述： 2 1 2 图像噪声及分类 ，l材l ，2 甜l ，。、 甜；，- 甜：- 甜引( 2 3 ) ： ：i 甜m l 甜m ，2 l , l m , n j 获取图像的过程中难免受到外界环境及自身设备扰动的影响，造成真实图像 存在各种各样的噪声，不能满足实际应用的要求。因此去除噪声往往是对图像进 一步处理的先决条件。 噪声在图像中表现形式较为明显，其灰度值与周围像素显著不同，造成图像 不光滑边缘畸变等现象，是妨碍人们感觉器官对所接收的信源信息理解的因素。 按照噪声的形成方式，可将噪声分为加性噪声、脉冲噪声和乘性噪声。 加性噪声的退化模型为： 甜( 墨y ) = i ( x ，y ) + 刀( 墨y ) ( 2 4 ) 7 北京化工大学硕士学位论文 高斯噪声就是一种典型的加性噪声。 脉冲噪声的退化模型为： 如加豫宝黧细 仁5 ， 椒盐噪声也是一种特殊的脉冲噪声。 乘性噪声的退化模型为： z ，( e 夕) = ，( e y ) 木n ( x ，少) ( 2 6 ) 其中，( t 力为原始图像，刀( e 力为噪声，甜化力为观测图像，a 为脉冲概率，p 为服从 0 ，l 】均匀分布的统计量。 数字图像中的噪声根据幅度的不同，又可以分为小噪声和边缘噪声两种。两 种不同的噪声滤波时的难易程度不同。小噪声是指与周围像素差异较小的即幅度 较小的噪声，平滑时采用高斯滤波等较为简单的平滑模型即可滤除。边缘噪声是 指与周围像素差异较大的噪声。边缘噪声和边缘完全是两个完全的不同物理量， 边缘噪声实质为一个噪声，在图像内容中可能为平坦区域像点，也可能为一个边 缘像素。但边缘是图像的特征像素，是图像信息的重要组成部分。边缘噪声与边 缘的某些性质类似，滤波时常将边缘噪声误判为边缘而被保留。 2 1 3 图像边缘 图像边缘，指周围像素灰度有阶跃变化或屋顶变化的像素集合，它存在于图 像中的物体与物体，区域与区域等之间。边缘是图像信息的重要表现形式，是图 像特征的重要组成部分。图像中包含的边缘越清晰则容纳的信息量越多。然而采 像时目标观测距离、目标形态、光照强度和图像分辨率等都会影响到边缘的清晰 度。在数学定义中，没有严格的定义上图像边缘。较为模糊抽象的边缘导致在图 像滤波中无法准确的得到保护。只能归纳和总结边缘的一些特征，从而有选择的 保护符合这些特征的边缘。 通常来说，边缘具有幅度和角度两个特征，沿着边缘走向，灰度值变化较为 平缓：垂直于边缘走向，灰度值变化较为剧烈。从另一个角度来讲，边缘点满足 以下两个基本的性质： 一、突变性。边缘点存在于灰度值变化较为剧烈的位置。 二、聚集性。沿着边缘走向，必然存在相同类型边缘点，可能同属阶跃 状，可能同属斜坡状。 r 第二章图像处理的数学理论基础 这两个性质是认识和识别边缘的重要依据，进而才能有选择的保护边缘。上 文叙述中介绍到噪声同样具有突变性，无序的噪声也可能出现连续存在的事实。 这种情形无疑增加了识别噪声的难度。因此，滤波时需要综合考虑边缘预测对噪 声的影响，进而选择合理合适的边缘预测方法。 2 2 图像边缘预测 e 。= i v g o * u i ( 2 7 ) 雌o 9 北京化工大学硕士学位论文 廓漏检和位置偏差。因此，不存在完美的边缘预测方法。真正需要考虑的是这些 边缘预测方法对噪声的影响，特别是较难滤除的边缘噪声在这些边缘预测方法作 用下的表现形式。从而可以从容的将这些噪声滤除。 本文对上述的边缘预测算法：梯度、c a n n y 算子、l o g 算子和跳点梯度四种 边缘预测算法对噪声影响做了如下实验。对如图2 1 一副2 5 6 x 2 5 6 、灰度值从0 到1 渐变的人工合成图像进行加噪。每次加噪后，使用四种边缘预测方法进行预 测，然后记录幅度在某一范围内的噪声在预测方法作用下的均值。 a 人工合成图像 a s y n t h e t i ci m a g e b 噪声图 b n o i s ei m a g e 图2 - 1 人工合成图像及噪声图 f i g 2 - 1a r t i f i c i a li m a g ea n dn o i s ei m a g e 图2 - 2 各种边缘预测方法对噪声的预测结果 f i g 2 - 2t h ee f f e c to fm a r g i n a ln o i s eu n d e rk i n d so fe d g ef o r e c a s t i n gm e t h o d s 1 0 第二章图像处理的数学理论基础 如图2 1 为人工合成的图像，原图2 ( a ) 灰度值从左到右由0 渐变到l ，图2 1 ( b ) 为某次添加标准差为o 1 的高斯噪声后又添加了概率为0 1 的椒盐噪声的噪声图。 检测结果如图2 1 所示，横坐标为噪声图与原图相比幅值大于坐标值的像素，纵 坐标为对这些像素在边缘预测作用后取均值的结果。如图2 2 所示，一阶梯度预 测方法对噪声较为敏感，预测值随着幅度增加而增加。l o g 由于平滑的缘故， 降低了对噪声的敏感性，但是预测值还是和幅值成正比。c a n n y 和跳点梯度法的 检测结果不会随着噪声幅度的变化而变化。相对来说，跳点梯度法计算方法简单， 检测结果也较c a n n y 算法平稳。 2 3 经典的数字图像处理模型 2 3 1 热扩散模型 扩散是物理学中的一个重要的概念，主要是指物质从高浓度向低浓度转化的 过程。物质四周的浓度及介质均相同时四周扩散的速率相等，这种扩散我们称为 各项同性扩散；然而浓度和介质均不相等导致四周扩散的速率不等，这种扩散我 们称为各向异性扩散。不妨用z ，表示该物质的浓度，v u 刻画浓度变化的不均匀， 那么扩散过程可以表示为： 百0 u = d 1 ，( 口v z ，) ( 2 8 ) 西 、7 。 其中a 为传导系数函数，也称扩散系数。当a 与u 无关时，上式为各项同性 扩散方程，又称热扩散方程。 自从w t l 【i n 和k o e n d e r i n d 引入尺度空间概念后，偏微分方程才正式成为图 像处理的重要工具。由于使用热扩散方程进行扩散时，会导致图像的熵发生变化， 故热扩散是不可逆的。滤波时，梯度值越大的地方滤波程度越大，这就导致了图 像的边缘被过分的平滑，使得图像过于模糊达不到应用的要求。为了使得滤波后 的图像更有研究价值，需要修改模型使得能保留图像特征前提下进行滤波。 2 3 2p _ l l 扩散方程 热扩散不可避免的滤除边缘信息，引起了广大研究人员的广泛研究。最典型 的当属具有划时代意义的p e r o n a 和m a l i k 提出的p e r o n a - m a l i k ( p m ) 扩散方程。 他们使用梯度模i v “i 来分离图像的特征信息( 平坦区域和边缘等) ，本着边缘区 域不扩散或者少扩散的原则，将热扩散中的扩散系数a 改为关于梯度模i v 材 的严 格单调递减函数g ( 1 v ”1 2 ) ： 北京化工大学硕士学位论文 詈= 坊v ( g ( 附) v 甜) g ( i v 仆而丽1 u ( x ，y ，0 ) = z ，。( x ，少) ( 2 9 ) 一般说来，在滤波中常参量b 取值为边缘阈值( 边缘阈值，非边缘和弱边缘的分 割线) ，即所有i