（基础数学专业论文）hilbert空间中的二阶微分包含问题.pdf

墅堂堡塑塞 塑搴一 摘要 本文讨论了h i l b e r t 空间中的二阶微分包含问题的解的存在性，共分两章： 在第一章里，我们研究了一类带有多点边值条件的_ 阶微分包含问题 i p ( t ) z ”( t ) + r ( ) ，z 讯) a z ( t ) + f ( t ，z ( t ) ) ，ne t n w l l ( 卫( o ) ，一庐( t ) 。7 ( t ) ) 车( 。( o ) 口，。( t ) 一6 ) 在实h i l b e r t 空间h 中的解的存在性，得到了本文的主要结论：定理3 1 和定理3 2 。 这里的a ：h - 2 打和：h h _ 2 。都是非线性的极大单调算子。这两个结果将 【1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 中的相应结论从有限维空间推广到了一般的 h i l b e r t 空间 作为定理3 1 和定理3 , 2 的一个预备性的结论，我们给出t - - 阶微分方程 j 一( p ( t ) 。”( f ) + r ( t ) z 7 ( ) ) + a x ( t ) ，( t ) ，ne ，t 0 ，明 1 ( z ，( o ) ，一f ( t ) 卫，( t ) ) ( 。( o ) 一。，z ( t ) 一6 ) 在实h i l b e r t 空间中解的存在性、唯一性和对n 、b 、，的连续依赖性这个结论将 f 1 ，2 ，2 9 的相应结论中对a 和f 的强制性要求减弱。 在第二章中，我们讨论了二阶反周期问题 iz ”( t ) a x ( t ) + f ( t ，z ( ) ) ，n e t 0 ，t 1 。( o ) ：一。( t ) ，州o ) ：一州t ) 在实h i l b e r t 空阉h 中的解的存在性。利用反周期函数的性质，我们得到了定理2 1 和 定理2 2 这两个结论主要是将前人的结果【4 ，7 j 从非扰动的情形推广到了扰动的情 形 本文使用的方法主要来自于单调算子理论、多值分析和不动点理论。 关键词： 极大单调算子；多值算子；二阶微分包含；反周期问题；下半连续；弱上 半连续；等度连续i s c h a u d e r 不动点定理；l e r a y s c h a u d e r 不动点定理 奎堕奎兰堡圭耋堡堡圣塑萋 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n st ot h es e c o n d - o r d e rd i f e r e n t j a l i n c l u s i o ni nar e a lh i l b e r ts p a c e i ti sc o n s i s t e do ft w oc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n st ot h en o n l i n e a rs e c o n d o r d e rd i 圩e r e n t i a li n c l u s i o n fp ( ) z ”( t ) + r ( t ) z ( t ) a x ( t ) + f ( t ，z ( t ) ) ，。e t 【0 ，t l ( z ( o ) ，一f ( t ) z ( t ) ) f ( z ( o ) 一。，x ( t ) 一b ) i nar e a l h i l b e r ts p a c e ，h e r e a ：h 2 ha n d ：h h 2 h 。厅a x e m a x i m a l m o n o t o n eo p - e r a t o r sa b o u tt h i sp r o b l e m 、t h em a i nr e s u l t sa x et h e o r e m3 1a n dt h e o r e m3 2 c o m p a r e d w i t hs o m er e s u l t si n 1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，t h e s er e s u l t se x t e n dt h e e s s e n t i a ls p a c eo ft h ea b o v ep r o b l e mf r o mf i n i t ed i m e n t a ls p a c er t ot h ei n f i n i t ed i m e n t a l s p a c e ， a s8p r e l i n f i n i n a x ys t e p ，w ee s t a b l i s ht h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dc o n t i n u o u sd e p e n d e n c eu p o na ，b ，fo fs o l u t i o n st ot h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n f 一( p 0 ) x i t ( ) + r ( t ) 。7 ( ) ) + a x ( t ) 弓，( t ) ，n e t 【0 ，t i ( 。，( 0 ) ，一f ( 丁) z 旧) ) f ( 。( o ) 一o ，z ( t ) _ 6 ) i nar e a lh i l b e r ts p a c e ，i et h e o r e m2 1 t h i sr e s u l te x t e n d st h er e s u l t si n 1 ，2 ，2 9 i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n st ot h es e c o n d o r d e r d i f f b r e n t i a li n c l u s i o n iz ”( ) a x ( t ) + f ( t ，。( t ) ) ，o e t 0 ，t i 。( o ) = 一z ( t ) ，z ( o ) = 一x t ( t ) i nar e a lh i l b e r ts p a c e a b o u tt h i sp r o b l e m ，t h em a i nr e s u l t s & r et h e o r e m2 - 1a n dt h e o r e m 2 2 ，w h i c he x t e n dt h er e s u l t si n 4 ，7 i nt h i st h e s i s ，o u rp r o o fi sm a i n l yb a s e do nt h et h e o r i e so ff i x e d p o i n tt h e o r e m e s ，m o n o - t o n eo p e r a t o ra n dm u l t i v a l u e da n a l y s i s k e y w o r d s ：m a x i m a l m o n o t o n e o p e r a t o r ；m u l t i f u n c t i o n ；l o w e rs e m i c o n t i n u o u s ；w e a k l yu p p e rs e m i c o n t i n u o u s ；e q u i c o n t i n u o u s ；s e c o n d o r d e rd i f f e r e n t i a li n c l u s i o n s ；a n t i 。p e r i o d i cp r o b - l e m ；s c h a u d e rf i x e d - p o i n tt h e o r e m ；l e r a y s c h a u d e rf i x e d - p o i n tt h e o r e m 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：璺 盘日期：名翌堕：蟹r 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文 的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档 的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借 阆可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大 学研究生院办理。 签名：垃塑导师签弛魄碑鱼， 蒌堕奎堂塑主堂堡篁壅 ! ! 童 引言 1 背景 b a n a c h 空间中的非线性算子理论及微分包含，是泛函分析中非常活跃且有着很 强应用背景的一个重要分支。近年来，它已广泛应用于微分方程( 见 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ， 8 ，9 、1 0 ，1 1 】) 、非线性发展方程( 见 8 ，9 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 】) 、变分问题( 见【1 6 ) 、最优 化理论及控制论( 见 1 ，2 ，7 ，1 5 ) 等。下面我们给出几个实例来进行说明： 例1 ：设q 是兄中具有光滑边界r 的有界域，元是在r 处的外法向单位矢量， 磊：i = 1 ，) 是_ r 。中的一组c a n n o n i c a l 基。卢：l 2 ( n ) x 工2 ( q ) - 2 l 2 ( n ) l 2 ( n ) 极 大单调；k l 2 ( o ，t ；l 2 ( n n ) ) ；j ：r _ ( 一c 。，。 是一个下半连续正常凸泛函； p ，r g ( o ，卅；月) ，且p ( t ) 2c 0 ，vt 0 ，卅，我们考虑方程： 砟) 等。) + 哗) 警也。) 蚤n 瓦0 ( 面o u r 2 差) + l 五聊，剐枷汹h o e ( t ，茁) n ，p 2 ，0 0 ，z x ，方程j ( 。 一z ) + a a x j0 有唯一解。 。定义。 ：以。 凡。= 一 t ，( z a 。) ，则a 是整个x 到x 的单值单调算子，称为a 的y o s j d 。逼近。 3 主要工作 本文主要研究二阶非线性微分包含问题在实h i l b e r t 空间中的解的存在性。根据 边值条件的不同，我们共分两章对这一问题进行讨论。 在第一章中，我们主要讨论了以下问题在实h i l b e r t 空间h 中的解的存在性： ip ( t ) z ”( t ) + r ( ) 。m ) a z ( t ) + s ( t ，z ( ) ) ，口e t e ，：= 0 ，t 】 i ( 。7 ( o ) ，一f ( t ) 一( t ) ) ( z ( o ) 一n ，z ( t ) 一6 ) ， 其中f ：，xh _ 2 日o 是一个多值算子，a 、是定义在实h i l b e r t 空间h 和hxh 上的极大单调算子。 o ，b d ( a ) ；p ，r g ( ，；r ) ；e ( t ) = e x p ( 詹r ( s ) p ( s ) d s ) 根据多值算子f 是否具有凸值，我们把对问题( g ) 的讨论分成两部分来进行： 1 。f 具有非凸值。 在这种情形下，我们要求h 是可分空间，并且假设f 、a 、满足以下的条件： n ( f h fi h _ r ( 日) 满足： ( a ) ( t ，z ) 一f ( t ，x ) 图可测； ( b ) 对a e t j ，z _ s ( t ，x ) 下半连续； ( c ) 对a e t ，有lf ( t ，z ) i = s u p i lvi 【： ef ( t ，。) ) 毋( t ) + 妒0 ) | | zl l o ，其中 0 n 0 ，a et i ，b ( t ) = ef ( ，。) ：f lz 临k ) 在h 中是列紧集。 h ( a ) la ：d ( a ) ch - 2 日0 极大单调，0 d ( a ) ，且a 是一单调的。 h ( ) 2f ：d ( f ) ch h _ 2 “日极大单调，( 0 ，0 ) f ( o ，o ) ，且对任意的( q ，y i ) d ( ) ，( ，2 ；) ，y t ) ( 归1 ，2 ) ，存在u 0 ，p m a x 麦，d + 1 ) ，使 ( ( z l ，z i ) 一( z 2 ，= ：) ，( x l ，y t ) 一( x 2 ，y 2 ) ) u ( i l ( x l ，1 ) | 一l l ( x 2 ，9 2 ) l ) r 在以上条件下，我们应用连续选择、多值分析方面的有关定理及单调算子理论， 首先将问题( g ) 转化成一个不动点问题，然后利用s c h a u d e r 不动点定理，确定问题( g ) 有解，从而得到本文的第一个主要结论。即第一章3 的定理3 1 ： 定理3 1设h 是实可分h i l b e r t 空间，a 、分别满足h ( a ) 1 、h ( f ) 2 ； f ：，h _ 屁( 日) 满足h ( f ) l ；。，b d ( n ) ；p ，r ：，- r 连续，且对任意的t i ， 有p ( t ) c 0 ，则问题( g ) 至少有一个解。ew 2 2 ( ，h ) 2 。f 具有凸值。 在这种情形下，我们只要求h 是一般的空间，并且假设f 满足以下的条件： h ( f ) 2f ：i h _ 最。( 日) 满足： ( a ) 对v 。h ，t 时f ( t ，z ) 有可测选择； ( b ) 对a et ，z 卜f ( t 。) 弱 c ； ( c ) 对a , et j ，有jf ( t ，z ) i = s u p 】 | | ：u f ( t ，。) ) 咖( t ) 十妒( t ) | | 。i 【。，其中 0 a 0 ，a , e t ，b z ( t ) = ( f ( t ，z ) ：| | zi i sk ) 是h 中的列紧集。 因为此时空间h 不具有可分性，算子a 不具有凸性，所以在现有的条件下，既无 法得到需要的连续选择( 已有的连续选择定理大都要求空间可分) ，也不能将问题( g ) 直接转化成一个多值映射的不动点问题进行讨论( 多值映射的不动点定理大都要求该 映射具有凸值) 。因此，我们首先利用一个具可收缩值的多值映射的不动点定理( 即第 一章1 2 的引理1 ，4 ) 得到以下问题有解： i 一( p ( t ) 。：( ) + r ( t ) z j ( t ) ) + a ( 。 ( t ) ) 一f ( t ，瓤t ) ) ，。e t ， i ( z - ( o ) ，一f ( t ) z j ( t ) ) f ( z ( 0 ) 一o ，z ( t ) 一b ) 其中如是a 的y o s i d a 逼近。再令a 趋于0 ，得到原问题( g ) 有解。这一结果就是本 文的另一主要结论，即第一章53 的定理3 , 2 ： 定理3 2 设h 是实h i l b e r t 空间，a 、f 分别满足h ( a ) i 、日( ) 2 、日( f ) 2 ； n ，b d ( a ) ；p ，r ：，矗咒连续，且对任意的t ，有p ( t ) c 0 ，则问题( g ) 至少有一 个解o w 2 ，2 ( ，；h ) 。 定理3 1 和定理3 2 是本文的主要结论。我们在这里所做的工作，主要是将前人讨 论二阶微分包含问题时常用的基本空间( 参见 1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 l ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 】 及相关文献) ，从有限维空间r 。v 推广到了无限维空间h 。这一推广，至少使得我们 能把微分包含问题在方程方面的应用，从常微分方程领域拓广到偏微分方程领域同 时我们注意到，我们赋予问题( g ) 的形式和边值条件都具有很强的一般性。比如说， 【2 2 】中的微分包含就是问题( g ) 中p ( t ) ；l ，r ( t ) ；0 ，ai0 时的情形；而边值条件 ( z ，( o ) ，一f ( t ) z7 ( t ) ) f ( z ( o ) 一a ，z ( t ) 一b ) 至少包含以下的几种情况作为自己的特殊情 形( 参见第一章2 定理2 1 后的注) ： o ( 0 ) = a ，x ( t ) = b ； 堡塑查兰塑圭堂堡篁塞 ! ! 塞 v ( 2 2 1 ( 0 ) ，一i ( t ) 一( t ) ) f ( z ( o ) ，z ( t ) ) ； z ( o ) a ( 茹( o ) 一8 ) ，z ( 丁) f l ( z ( t ) 一b ) ； x ( 0 ) = z7 ( t ) = 0 ； g ( o ) = 。( t ) ，。7 ( 0 ) = 。( t ) 。 需要指出的是，和常见的关于f 的条件相比，我们在这里增加了对f 的一个紧性假设 h ( f ) i ( d ) 。但该条件在基本空间是有限维的情况下，可由h ( f ) l ( c ) c 自然得到，也就是 说，h ( f ) i ( d ) 在 1 6 ，2 2 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 中自然成立。 为了得到定理3 1 和定理3 2 ，我们首先考虑了与问题( g ) 相对应的非扰动问题： i 一( p ( ) z “( t ) + r ( t ) - z ( ) ) + a z ( t ) ，( t ) ， n e t ， ( h ) i ( 。( o ) ，一产( 丁) z ( t ) ) ( 。f o ) 一。，。( t ) 一6 ) 在这种情形下，我们可以适当减弱对f 的强制性要求，要求满足： h ( ) lf ：d ( ) ch h _ 2 胃“( 0 极大单调，( 0 ，0 ) f ( o ，o ) ，且 i n f ( ( z l ，z 2 ) ，( z ，y ) ) 川( x ，y ) | | ：( z 1 ，z 2 ) ( 。，y ) ) _ + 。，当| | ( z ，y ) l l + o 。 利用单调算子理论，我们得到了问题( 日) 的解的存在性和其它性质，即第一章 2 定理2 ，1 ，定理2 1 一方面可看作定理3 1 和定理3 2 的一个引理，另一方面也部分 的推广了【1 ，2 ，2 9 中的工作。和这些工作相比，它主要是在一个更为一般的边值条 件下减弱了对a 和f 的强制性要求。 在第一章的最后，我们给出定理3 1 和定理3 2 的两个应用，从而解决了前面提 到的例1 和例2 。 在第二章中，我们主要讨论了非线性反周期问题： j 一7 ( 。) ea z ( 。) + f ( 。，。( 2 ) ) ，m 。7 ：2 0 ，t )( i ) jz ( o ) = - x ( t ) ，z 7 ( o ) = 一。7 ( t ) ， 在实h i l b e r t 空间中的解的存在性。其中f ：，x h - 2 日0 是一个多值算子，a ：日_ 2 日 极大单调且满足： h ( a ) 2a ：d ( a ) ch _ 2 极大单调，a ( 一z ) = a ( 。) ，v zed ( a ) 。 与第一章中相类似，根据f 是否具有凸值，我们把对问题( ) 的讨论分成两部分 来完成： 1 0f 具有非凸值，h 是可分空间。 此时，我们假设f 满足以下的条件： 东南大学硕士学位论文引吉 h ( f ) 3f ：，h _ p 女( 日) 满足h ( f ) l ( n ，b ) 及： ( c ) 对a et i ，vk 0 ，只要】1z 怪k ，就有1f ( t ，州f = s l l p 圳 j f ( t ，：r ) ( t ) ，其中c k l q ( i ；r + ) ，1 0 ，使得j jz | = m 时，对vu f ( ，。) ，。f e t ，有( u ，z ) u ； ( e ) 对v k 0 ，a et ，b k ( t ) = u v ( t ，z ) ：1 lz 怪k ) 在h 中是列紧集。 利用连续选择、多值分析、单调算子理论及反周期函数特有的性质，我们首先将 问题( ，) 转化成一个不动点问题，然后利用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理，确定问题( ，) 有解，从而得到第二章的一个主要结论，即定理2 2 ： 定理2 2 设h 是实可分h i l b e r t 空问，f 、a 分别满足h ( f ) 3 、h ( a ) 2 ，则问 题( ，) 至少有一个解oe w 2 ，4 ( ，；h ) 。 2 6f 具有凸值，h 是一般的h i l b e r t 空司。 此时我们要求f 满足第一章中的h ( f ) 2 。在这种情况下，我们利用与第一章3 中定理3 2 相类似的证明思路，得到了第二章的另一主要结论，即定理2 ，3 ： 定理2 3 ：设h 是实h i l b e r t 空间，f 、a 分别满足h ( f ) 2 、h ( a ) 2 ，则问题 ( ，) 有一个解。w 2 ，2 ( ，；h ) 。 我们在本章中讨论的问题( ) ，给非线性微分包含问题赋予反周期的边值条件， 一方面部分的推广了【4 和 7 】中的结果，另一方面，也给出了二阶微分包含问题的一 个新模型，从而可以用a 的奇性假设代替原来讨论二阶问题时常用的强制性假设。因 为我们注意到，一般的定义在r 的无界区域上的椭圆算子并不一定是强制的同时 我们注意到，在定理2 2 中，我们是在l q ( f ；何) ( 1 q12 ) 中给出了问题( ，) 的解的 存在性，而前面介绍的文献【4 ，6 ，7 ，9 ，1 3 ，3 2 ，3 3 都是在三2 ( ，；日) 中进行讨论。 在第二章的最后，我们给出定理2 3 的一个应用。 注：本文中讨论的a 是多值算子，但为了书写的简便起见，我们在不引起混淆 的情况下，用 ( z ) 表示集合a ( z ) 中的任一元。 第一章h i l b e r t 空间中的二阶微分包含边值问题 1 介绍和预备知识 1 1 介绍 在这一章中，我们将着重讨论咀下的微分包含问题的解的存在性： jp ( t ) z ”( t ) + r ( t ) 。7 ( t ) a x ( t ) + f ( t ，z ( t ) ) ，。e t ：= 0 ，t ， i ( z 7 ( o ) ，一f ( t ) 。( 丁) ) ( 。( o ) 一。，。( t ) 一6 ) 其中f ：，h _ 2 打0 是一个多值算子，a 、是定义在实h i l b e r t 空间h 和h h 上的极大单调算子。，b d ( 4 ) ；p ，r g ( ，；r ) ：f ( t ) = e x p ( 厝r ( s ) i n s ) d s ) 。 较系统的关于微分包含边值问题的结果，最早由p r u s z k o 3 4 ，3 5 用拓扑度的方法 给出。随后，e r b e - k r a w c e v i c z 1 7 ，1 8 ，1 9 】、e r b e 等 2 0 ，2 1 】、b e n c h o h r a - n t o u y a s 2 2 】、 k r a v v a r i t i s p a p a g e o r g i o uf 2 3 在不同边值条件下讨论了半线性包含f ( t ，z ，。，) 或 z ”f ( t ，。) 的解的存在性。其中，h a l i d i a s p a p a g e o r g i o u 2 5 ，k a n d i l a k i s - p a p a g e o r g i o u f 2 4 1 分别讨论了问题 lz ”( t ) f ( t ，z ( ) ，z7 ( t ) ) ，oe t i ， 【( 一( o ) ，一石( t ) ) f ( z ( o ) z ( ? ) ) ， 在w 2 ，9 ( j ；r v ) ( 1 0 ，使，( 。) cf ( 。o ) + 最( o ) ，则称g 是e d t l se 的。易见g 若u sc ，则g 必是e 一6 - usc 的。若y 、z 都是度量空间，则g 是1 s c 等价于函数yhd z ( z ，g ( ) ) = i n f d z ( z ， ) ：。g ( ) ) 是上半连续的。 为简便起见，我们用h 表示实h i l b e r t 空间，用”虬( ，) 表示它及其乘积空间 日h 的范数和内积。a ：d ( a ) ch _ 2 h 0 ，f ：d ( ) ch h _ 2 ”x h 0 是两个 极大单调算子，0 _ d ( a ) ，( 0 ，0 ) ( o ，0 ) 。v 0 ，a 表示a 的y o s i d a 逼近。不失 一般性，我们设0 a ( 0 ) 。否则，可用五( z ) = a ( x ) 一a o ( o ) 来代替算子a 进行讨论， 这时只要将相应的，f 用，( t ) = ，( t ) + a o ( o ) ，f ( t ，z ) = f ( t ，z ) + a o ( o ) 来代替即可。 设t 0 ，记，= 0 ，t ；p ，r ：，_ r 连续，且p ( t ) c 0 ，vt ，。令 f ( z ) = e x p ( 矗r ( s ) p ( s ) d s ) ；e = l ；p ( j ；h ) ；e 中的内积和范数定义为： r t # r 十、 ( ( 训) ) 2 o 赫( z ( 2 捌) ) d t ，v z ，y e ， ，j r ：，、 2 2 z 瑞) m ，v z e r 易见，e 仁孛，l 2 ( j ；h ) 、且e 和三2 ( ，；廿) 范数等价。以下不妨设对v 。l 2 ( ；l r ) ， 有q - 0 、则问题( 1 2 ) 至少有一个 解。w 2 ，2 ( ，；h ) ；若a 或是一对一的，则解z 唯一且弱连续依赖于，；若a 局部有 界，则z 弱连续依赖于f 、a 6 。 证明：令b ：e _ e 为：b ( z ) = 一( p t ”+ r z7 ) = 一= p ( 庐。，) ， v z _ d ( b ) ，其中 d ( b ) = ( 2 日2 ( o ，t ；h ) ：( z ( o ) ，一i ( ? ) z ( t ) ) ( 。( o ) 一“，z ( ? ) 一6 ) ) ， 则由( 2 p r o p o s i t i o n 2 2 ) 可知，b ：e _ e 极大单调。记4 为a 在e 中的实 现。则据( 1 1 ，c h a p2 ，c o r o l l a r y1 3 ) ，可知b + 吣在匿中极大单调。因此对任意的 ，l 2 ( j ；日) ，都存在z d ( b ) ，满足： f - ( p ( t ) x 0 ) + r ( ) z i ( ) ) + z ( ) + z ( t ) j ，( t ) ， oe t ， ( 1 3 ) i ( z i ( o ) ，i ( t ) z j ( 丁) ) ( z a ( o ) 一o ，。 ( t ) 一b ) 以下分几步来完成定理的证明： 第一步：先证| | z a ( o ) i 。 ( t ) | | 有界。 v 0 ，设“ 是以下问题的解： 、 j 一( p ( t ) w ! ( ) + r ( t ) r 叫i ( t ) ) + a w x ( t ) + 札j ( ) 弓，( ) ， a e t ， 0 ，有f 【。 ( o ) 怄k 1 ，l l 。a ( t ) 临b 2 ，其中h ，幻是大于0 的常数。 第二步；证 lx al i o 。，l 。li ，lz x ，4 z 有界。 设y 是问题y ”a y ，y ( o ) = a ，y ( t ) = 6 的唯一解，则 a ( g ( t ) ) i i 1 ia o ( g ( t ) ) l lsl i ”( ) 忆n - e t ， 壅亘奎兰塑圭塞堡堡塞一一 用。 一y 与b z + a 2 1 x a + a z 一4 j + ，( ) 一a 在e 中作内积，有 第一章 6 0t(渊们7，酬刊dt+1鬻(确，酬叫dtoo 一 ( 庐( t ) 。- ( ) ) 7 ，。 ( t ) 一可( t ) ) + ：睾* ( a z ( t ) ，茁 ( t ) 一( t ) ) jp icj s ：7 器( 堋“( ? ，( 刚，州7 ) _ 巾f 、 即：f ( t ) ( z - ( t ) ，。i ( ) 一( t ) ) d t ，o z 丁器( 概州z 7 黧( + ，( 呐啪，州t ) _ 舛川t 利用h s l d e r 不等式，得： e z 1 2 一pfz if y l f a 。 jjyj + “，i + y ” ) “z j + iyj ) 其中p = s u p ( q p ( t ) i ：t ，) 。进一步利用c a u c h y 不等式，即可得 其中k 3 ，4 ，乜 0 是与 无关的常数以下不妨设0 0 ，再一次引用( 13 ) 式，有： b x x b z 町+ 4 z 一a _ 。 + a 。 一r x n = 0 用。 一嘞与上式在e 中作内积，有： 小- “i s z r 鬻( 概( f ) 邓搀) ，圳咱) 出 一z ? 器( 却- 呐蛔一确m z 丁器( 如x “地 鸭引出 ( a + q ) k s ， 其中k s 0 是与a ，q 无关的常数。令a ，q _ 0 + ，可知 z ) 是e 中的c a u c h y 列，不妨 设在e 中有。i _ ”，( _ o + ) 。因f 。z ) 在e 中有界，故我们可得z i 在c ( z ；圩) 中收 敛到口，且。! 在e 中弱收敛于v i 。 因 i iz ( o ) 吣有界，故可不妨设。a ( o ) 一f 。叉因为z ( t ) = ( o ) + ”z i ( 。) 出，故 。 ( 。) 。f 十| l ”( 。) 如。令z ( # ) = z + o ) 出、则z 淞) = u ( ) ，v 。，。即： ( 计一 茁( t ) ，vt ，；且在l 2 ( ，；日) 有口2 a = 一。9 茁x + r 嚣i ) j 一( p 。7 + r 。) 之b 。，( a _ + o + ) 。 又由f 极大单调，可知 在日皿。中闭，故有： 塞室奎兰堑圭堂堡篁苎 ：墨三塞：一8 又由 ( ( 十b x x ，。 ) ) = f ( 了_ ) ( z i ( t ) ，z ( t ) ) + ( z j ( o ) ，z ( o ) ) + f ( t ) i i 卫j ( ) 1 1 2d t j0 r t - f ( t ) ( z ( 丁) ，x ( t ) ) + ( xr ( o ) ，z ( o ) ) 十f ( ) i l 。( ) | | 2d t ，0 = + ( ( b x ，。) ) ， 及一日z a z + ，= 4 。a ，我们可以得到( ( z ，。 ) ) _ ( ( b x + ，3 7 ) ) 。又困在e 中有；z 一。；a a 。 = 一b z a z + ，一一b x + ，；结合a 的极大单调性，我们就 有。d ( a ) 且一b x + ，a z ，即z 是问题( 1 2 ) 的解。存在性得证 下证当a 或是一对一时，问题的解唯一且弱连续依赖于，。以下不妨设是 一对一的，a 是一对一的情形可类似讨论： 设。、y 是问题( 1 2 ) 的两个解。把对应的方程相减，得b x b y + a x a y 0 。 用3 2 一y 与上式在e 中作内积，可得ci 。一y 叩0 又因一，y g ( ，；h ) ，故我们有 。m ) = y l ( ) ，。( t ) = v ( t ) + d ，vt i ，其中d 是某常数。于是我们有： ( z ( o ) ，一i ( t ) z 7 ( t ) ) e ( ( 口( o ) 一。，。( ? ) 一b ) n f ( z ( o ) o d ，z ( t ) 一b d ) ) ， 因f 一对一，故d = 0 。即z ( t ) = ( ) ，vt ，。唯一性得证。 下设在e 中厶叶，。是对应于，n 的问题( 1 , 2 ) 的解由前面所证，可知i i 、 lz ：f 、i 。：i 都有界，且界只与i 厶l 、| | a o 。、| | a o b | | 有关。再一次引用( 1 2 ) 式， 有b z 。一b z 。+ a z 。一a 。f 。用z 。一z 。与上式在e 中作内积，就有： cj z ：一z 幺 名i 厶一南i - lz 。一z mi _ 0 ，( n ，m _ 。) 故 。： 是e 中的c a u c h y 列，不妨设z ：_ ，( n - o o ) 。因 。： ) 有界，故可得。： 收敛于u 在g h ) 中也成立。 同时，因删。( o ) 盼有界，故可设。( o ) 一7 于是 r tr 。( ) = x n ( o ) + z ：( s ) d 5 l + v ( s ) d s ：= 。( t ) ，v t i j u j u 用与证明解的存在性时相同的方法，即可得z 满足： b x + a x j ，；( z ( o ) ，一f ( t ) 。( r ) ) ( 。( o ) a ，z ( t ) 一6 ) ， 且。在e 中弱收敛于z 。 下面考虑a 局部有界的情形设在h 中a 。啪。，b n - b ，在e 中厶_ ，z 。 是相应的问题( 1 2 ) 的解。因a 局部有界，故存在m 0 ，使得当n n 时，就有 查室奎兰塑圭兰篁堡奎 篁三塞 ) 1 1a o n n 【a o b r 。| 1 茎m 。由前可知| | l l 。o 、 r ；。i 、i r ：l 的界只与| | a o “t i 【、 l 【a o b n 忆i l 有关，所以此时仍有i iz 。| j o 。、i 。：i 、【z ：i 有界。与上面进行类似 的讨论，可得在g ( ，；h ) 中z ：_ z ，在e 中z 。一z ，且。就是相应于o ，b ，的问题 ( 12 ) 的解。定理2 1 证毕。 注： ( z ( o ) ，一i ( t ) z7 ( t ) ) f ( 。( o ) 一。，x ( t ) b